ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分 / カロン

これらの問題が分からないので解く手順を含めて教えていただきたいです。

No.74837 - 2021/05/23(Sun) 13:33:58

☆ Re: 積分 / X

最近の書式は右極限を"↓"で表現するのですね。

?@
sinx=tと置くと
I[7]=∫[0→1]logtdt=lim[ε↓0]{[tlogt][ε→1]-∫[ε→1]dt}
=-1 ((∵)第一項に(A)を使います。)

?A
8-2x=t
と置くと
I[7]=-(1/2)∫[8→0]dt/t^(1/3)
=(1/2)∫[0→8]dt/t^(1/3)
=lim[ε↓0](1/2)[(3/2)t^(2/3)][ε→8]
=3
となり、有限の値として存在します。

?B
e^x=tと置くと
I[7]=∫[0→∞]dt/(t^2+3t+2)
=∫[0→∞]{1/(t+1)-1/(t+2)}dt
=lim[ε→∞][log(t+1)-log(t+2)][0→ε]
=lim[ε→∞]{log{(ε+1)/(ε+2)}+log2}
=log2

?C
全て被積分関数の不定積分を容易に計算できるので
ご自分でどうぞ。
こちらの計算では収束するのは
I[0],I[2]
となりました。

?D
(i)α＝-1のとき
∫[16→∞]{x^(-α)}dx=lim[ε→∞](logε-log16)
∴発散
(ii)α≠-1のとき
∫[16→∞]{x^(-α)}dx=lim[ε→∞]{1/(1-α)}{ε^(1-α)-16^(1-α)}
となるので収束するには
1-α＜0
∴1＜α

ということで(A)となります。

No.74863 - 2021/05/23(Sun) 20:59:32

☆ Re: 積分 / 関数電卓

?Bは
∫[0→∞]dt/(t^2＋3t＋2)＝∫[0→∞]{1/(t+1)-1/(t+2)}dt

No.74866 - 2021/05/23(Sun) 21:19:47

☆ Re: 積分 / カロン

理解できました。ありがとうございます。

No.74900 - 2021/05/24(Mon) 14:13:38

☆ Re: 積分 / X

＞＞関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞カロンさんへ
ごめんなさい。関数電卓さんの仰る通りです。
No.74863を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.74924 - 2021/05/24(Mon) 18:59:35

★ 背理法の証明 / カズ

証明で質問があります。教えてください。

Q１

「整数 n について，n＾2 が偶数ならば，n は偶数であることを示せ．」
は対偶を使って証明することが多いですが、以下の背理法で証明できますか。

【証明】
n が偶数でないつまり奇数とする。
n が奇数なので、n = 2k + 1 (k は整数) とおく。
n＾2 = (2k + 1)＾2
= 4k＾2 + 4k + 1
= 2 (2k＾2 + 2k) + 1

2k＾2 + 2k は整数なので、n＾2 = 2 (2k＾2 + 2k) + 1 は奇数となる。
n^2が偶数であるこに矛盾する。
n＾2 が偶数ならば，n は偶数である。

Q2

「√2が無理数であることを示せ」の背理法の証明で、
ｐとqは互いに素として、計算すると
ｐとｑが偶数で互いに素にならないことで矛盾を使った証明は理解しているのですが、
以下の方法ではだめですか。
だめな理由も教えてください。

【証明】
√2が有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な正の整数 p、qを用いて
√2=q/p
とおける。

両辺を2乗して
2=q^2/p^2
つまり
2=（q/p)^2

右辺のq/pは自然数ではない（分数）ので、（q/p)^2も自然数でない（分数）となる。
ところが左辺2は自然数で、左辺（自然数）＝右辺（自然数でない）となり矛盾する。
よって√2が無理数である

No.74832 - 2021/05/23(Sun) 10:45:36

☆ Re: 背理法の証明 / IT

Q2
> 右辺のq/pは自然数ではない（分数）ので、（q/p)^2も自然数でない（分数）となる。

q/pは自然数ではない. はなぜ言えますか？
p=1 のとき　q/pは自然数です。

q/pは自然数ではないので、(q/p)^2も自然数でない.はなぜ言えますか？
√２は自然数でないですが、(√２)^2 は自然数です。

No.74834 - 2021/05/23(Sun) 11:32:06

☆ Re: 背理法の証明 / カズ

2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
矛盾が生じないので、
√2が有理数であると仮定したのは正しい。
よって、√2が有理数である。

「√2が無理数であることことを示せ」なのに結果が反対になりました。
どこが誤りですか？

No.74835 - 2021/05/23(Sun) 11:40:39

☆ Re: 背理法の証明 / IT

> 2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
> 矛盾が生じないので、
・・・
> どこが誤りですか？

１行目からおかしいです。もう一度、見直してみてください。

No.74836 - 2021/05/23(Sun) 12:37:09

☆ Re: 背理法の証明 / カズ

【証明】
√2が有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な正の整数 p、qを用いて
√2=q/p
とおける。

両辺を2乗して
2=q^2/p^2
つまり
2=（q/p)^2

2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
両辺とも自然数で矛盾が生じないので、
√2が有理数であると仮定したのは正しい。
よって、√2が有理数である。

私は、(わかっていませんが）以下のように

2=（q/p)^2よりp=1,q=2で、
両辺とも自然数で矛盾が生じないので、√2が有理数であると仮定したのは正しい。
よって、√2が有理数である。

が正しいと思って、√２は有理数（正解は√２は無理数）になってしまうのですが、
なぜこれはだめなのですか。

No.74847 - 2021/05/23(Sun) 17:52:22

☆ Re: 背理法の証明 / IT

> 2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
> 矛盾が生じないので、
・・・
> どこが誤りですか？
p=1,q=2 のとき、
（q/p)^2 の値はどうなりますか？
　2=（q/p)^2を満たしますか？

No.74850 - 2021/05/23(Sun) 17:56:21

☆ Re: 背理法の証明 / カズ

確かにｐ＝１，q=2では
2=（q/p)^2
にならず、私の勘違いでした。

続けて質問ですが、

√2=q/p
より、両辺を2乗して
2=q^2/p^2
つまり
2=（q/p)×（q/p)
ｐ、ｑが互いに素な自然数のとき、
2=（q/p)×（q/p)にならないので、
ｐ、ｑが互いに素な自然数であることに矛盾する。
よって√2は無理数である。

これはなぜ誤りですか。

No.74853 - 2021/05/23(Sun) 18:27:01

☆ Re: 背理法の証明 / IT

> ｐ、ｑが互いに素な自然数のとき、
> 2=（q/p)×（q/p)にならないので、

言っていることは、正しいですが、なぜそう言えるかを説明する必要があります。

No.74854 - 2021/05/23(Sun) 19:15:44

☆ Re: 背理法の証明 / カズ

確かに、
ｐ、ｑが互いに素な自然数のとき、
2=（q/p)×（q/p)にならない
理由を説明しにくいですね。

だから、
2=（q/p)＾2から
2p＾2＝q^2を使って、qが偶数などの方法を使ったのですね。
わかりました。ありがとうございます。

もし可能であればQ１の質問も答えてください。

No.74856 - 2021/05/23(Sun) 20:10:45

★ 関数 / 高専

この問題の解答解説を教えてください
調和関数であることは示せたので、正則関数を求めるやり方が聞きたいです
コーシーリーマンを使うこともなんとなくわかっています

No.74828 - 2021/05/22(Sat) 20:00:34

☆ Re: 関数 / X

添付写真に書き込まれた?@?Aを使います。

?@より
v=2xy+f(x)
(f(x)はxのみの任意関数)
これを?Aに代入すると
2y+f'(x)=2y
∴f'(x)=0
f(x)=C
(Cは任意定数)
∴v=2xy+C
ということで求める正則関数は
w=x^2-y^2+i(2xy+C)
(但し、Cは任意定数、z=x+iy)

No.74830 - 2021/05/22(Sat) 20:23:10

☆ Re: 関数 / 高専

v=2xy+f(x)を?Aに代入すると2y+f'(x)=2yになるっていうことがわからないんで、詳しく教えてくださいm(_ _)m
どのように代入しているのでしょうか？

No.74842 - 2021/05/23(Sun) 17:31:34

☆ Re: 関数 / X

＞＞v=2xy+f(x)
より
v_x=2y+f'(x)
だからです。

No.74862 - 2021/05/23(Sun) 20:40:22

★ (No Subject) / 数学

この問題が分かりません。円弧とサイクロイドの違いも分からないです。

No.74803 - 2021/05/20(Thu) 21:19:23

☆ Re: / ヨッシー

こちらのように、円があるものに沿って転がるとき
円周上の一点が描く図形がサイクロイドです。

円弧は文字通り円周の一部です、
１．３．４．がそれに当たります。

半円の中心は必ず直線部分ができるので、５．も違います。

No.74804 - 2021/05/20(Thu) 22:24:12

☆ Re: / 数学苦手

この問題の図のPから下に接したもの、その接した箇所から2段目の先端箇所にいったもの、2段目の先端箇所から下まで接する手前で途切れたもの。この3つの線全てサイクロイドということですね。

もし、この問題と同じ階段のような場所で1、3、4が転がったイメージを書いてみました。汚くてすみません。5番の形は前の方の問題に同じものがありました。

No.74806 - 2021/05/20(Thu) 22:55:36

☆ Re: / 数学苦手

正直、頭の中で考えても分からなかったです(⌒-⌒; )馬鹿なので

No.74807 - 2021/05/20(Thu) 22:56:14

☆ Re: / 数学苦手

?@の場合なんかだと空中で点があって凸凹になってたりとかしてますね。それがあればサイクロイドではないと分かりました。
?B?Cはサイクロイドかどうかより見た感じで違うかなと…

No.74808 - 2021/05/20(Thu) 23:21:34

★ (No Subject) / simple is best

私の答案です

正しいですか他によい考え方はありますかあ

教えてください。

何卒宜しくお願い致します。

問題と私の答案
https://imgur.com/a/sIWDDZG

No.74801 - 2021/05/20(Thu) 20:42:33

☆ Re: / ヨッシー

だいたい同じですが、途中の内積は座標を使いました。

図のようにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｐをおいて、θは 0≦θ≦π/3 を考えれば十分です。

Ｔ^2 を考えるまでは同じで、
　ＰＡ・ＰＢ＝ＰＡ・ＰＢ/cos∠ＡＰＢ
において、
　cos∠ＡＰＢ＝cos(π/3)＝1/2
　ＰＡ・ＰＢ＝(-1-cosθ, -sinθ)・(1/2－cosθ, √3/2－sinθ)
　　＝(-1-cosθ)(1/2－cosθ)＋sinθ(sinθ－√3/2)
　　＝cos^2θ＋(1/2)cosθ－1/2＋sin^2θ－(√3/2)sinθ
　　＝1/2＋(1/2)cosθ－(√3/2)sinθ
以上より
　ＰＡ・ＰＢ＝1＋cosθ－(√3)sinθ
同様に
　ＰＡ・ＰＣ＝1＋cosθ＋(√3)sinθ
また
　ＰＢ・ＰＣ＝(1/2－cosθ, √3/2－sinθ)・(1/2－cosθ, －√3/2－sinθ)
　　＝(1/2－cosθ)^2＋(√3/2－sinθ)(－√3/2－sinθ)
　　＝1/4－cosθ＋cos^2θ＋sin^2θ－3/4
　　＝1/2－cosθ
より
　ＰＢ・ＰＣ＝ＰＢ・ＰＣ/cos∠ＢＰＣ
　　＝２cosθ－1

以上より
　ＰＡ・ＰＢ＋ＰＢ・ＰＣ＋ＰＣ・ＰＡ＝4cosθ＋1
よって、
　Ｔ^2＝6＋2(4cosθ＋1)＝8cosθ＋8
　θ＝0 でＴ^2の最大値16で、Ｔの最大値は４
　θ＝π/3 でＴ^2の最小値12で、Ｔの最小値は2√3

No.74823 - 2021/05/22(Sat) 07:10:53

☆ Re: / simple is best

今回もありがとうございました。

No.74826 - 2021/05/22(Sat) 18:59:15

★ 数?V極限 / 雪太郎

数?Vの極限の問題です。難しくて困っています。どのように解けばよいのか解法を教えていただけるとありがたいです。

No.74800 - 2021/05/20(Thu) 20:28:26

☆ Re: 数?V極限 / IT

f(x)が縮小写像の場合は、その数列が収束することは、「バナッハの不動点定理」「縮小写像の不動点定理」などという定理で大学の初年級の微積分の教科書などに載っています。

f(x)が縮小写像であることを示せればいいと思うのですが
縮小写像
　0＜K＜1があって　|f(x)-f(y)｜≦K|x-y|
とは少し条件が違ってますね。

No.74805 - 2021/05/20(Thu) 22:25:49

☆ Re: 数?V極限 / IT

(fの条件２）x,y∈[0,1]に対して、x≠y ⇒　|f(x)-f(y)|＜|x-y|

（元の問題の解法）
h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって　h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a (#　a はf(x)の「不動点」です。)
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）

＃以下は、全面的に直しました。＃

d(x)=|h(x)| とおく。d(x)は連続関数。

d(x[n])は、非増加数列で0以上なので収束する。
lim(n→∞)d(x[n])=βとする。

[0,1]は有界閉集合なので{x[n]}は、[0,1]内に収束する部分列{x[n[k]]}を持つ。
　（大学レベルだと思います。）
lim(k→∞)x[n[k]]=zとする。z ∈[0,1]
lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）

d(x)は連続関数なので
　lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=β
　lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=β
∴d(z)=d(f(z))=β
すなわち|z-f(z)|=|f(z)-f(f(z))|
(fの条件２）から、z=f(z) ∴β＝0
∴z=a

よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。

すなわち{x[n]}はaに収束する。

#「Edelsteinの不動点定理」と呼ばれるものです。
（数3の範囲で厳密に示すのは無理かなと思います）

# y=x とy=f(x) のグラフを描いて見ると分かり安いと思います。
# x[1]=x のx とそうでない一般のxの区別が分かりにくいので,x[1] として表記しています。

No.74824 - 2021/05/22(Sat) 07:30:42

☆ Re: 数?V極限 / IT

（数３レベルの証明の流れにしてみました。細かいところは自分で補足してください。）

h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって　h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）
x[1]=a　のとき,任意の自然数nについてx[n]=a となる。

x[1]≠a　のとき任意の自然数nについてx[n]≠aなので、
　ｆの条件から|x[n+1]-a|=|f(x[n])-f(a)|＜|x[n]-a|
　d(x)=|x-a|とおく、
　d(x[n])は、減少数列で0より大きいので収束する。
　lim(n→∞)d(x[n])=δとおく。（δ≧0）

　{x[n]} を、x[n]＜a の部分列と、x[n]＞aの部分列に分けて考えると、少なくとも一方は無限個の項がある。
　x[n]＜a の部分列の項が無限個あったとする。
　その部分列を{x[n[k]]}とする。

　{x[n[k]]}は、増加数列で　x[n[k]]＜aなので収束する。
　lim(k→∞)x[n[k]]=zとおく。z ∈[0,a]。
　lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）

d(x)は連続関数なので
　lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=δ
　lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=δ
∴d(z)=d(f(z))=δ
すなわち|z-a|=|f(z)-a|=|f(z)-f(a)|
(fの条件２）から、z=a

よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。

すなわち{x[n]}はaに収束する。

x[n]＞aなる部分列の項が無限個ある場合も同様。

No.74833 - 2021/05/23(Sun) 11:25:24

★ 写像 / 牡蠣

写像の問題です。
写像p:R^2→R^3を以下のように定める。
p(u,v)={(3+cosu)cosv,(3+cosu)sinv,sinu}
pはどんな曲面か、像を描け、という問題です。
どのような像になるのかご教授お願いいたします。

No.74796 - 2021/05/20(Thu) 17:39:41

☆ Re: 写像 / 関数電卓

下図のような円環面（ドーナツの表面）ですね。

No.74798 - 2021/05/20(Thu) 19:15:37

☆ Re: 写像 / 関数電卓

　x＝(3+cosu)cosv …(1)
　y＝(3+cosu)sinv …(2)
　z＝sinu 　　　　…(3)
v＝π/2 とすると，cosv＝0, sinv＝1 で，上式は
　x＝0 　　 …(1)'
　y＝3+cosu …(2)'
　z＝sinu 　…(3)'
で，下図の円（右側）になり，
これを z 軸の回りに回転すると，上のドーナツ面になります。

No.74799 - 2021/05/20(Thu) 20:09:11

☆ Re: 写像 / 牡蠣

(y-3)^2+z^2=1
(y+3)^2+z^2=1
この2つの円が出てくることは分かりました。
ただ、回転させる、という考えはどこからきたものでしょうか。
お手数おかけし申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。

No.74809 - 2021/05/20(Thu) 23:33:10

☆ Re: 写像 / X

問題の像を円筒座標に変換してみましょう。

No.74815 - 2021/05/21(Fri) 05:20:06

☆ Re: 写像 / 関数電卓

(1)(2)(3)で，v を固定（例えば v＝π/2）し u を変化させると，(1)'(2)'(3)'の円になりました。
次に u＝u0 と固定し，3＋cos(u0)＝A とおけば，
　x＝Acosv …(1)''
　y＝Asinv …(2)''
　z＝sin(u0) …(3)''
となります。
ここで v が変化すると「xy 平面に平行で，中心 (0,0,sin(u0)), 半径 A の円」になりますね。
これが，「z 軸の回りに回転させる」ことの正体です。

尚，X さんがお書きの円筒座標とは，
(1)^2＋(2)^2： x^2＋y^2＝(3＋cosu)^2＝r^2 とし，
　r＝3＋cosu …(4)
　z＝sinu 　　…(5)
と書き表すものを言います。

No.74816 - 2021/05/21(Fri) 09:07:36

★ 背理法 / 亮

高校1年です。
√ｍ、√ｎ、√ｍｎ、がいずれも無理数であるような自然数ｍ、ｎについて、a√ｍ＋ｂ√ｎ＋ｃ√ｍｎが有利数となるような有理数a,b,cはa=0,b=0,c=0以外にないことを示せ。
という問題なんですが分からない
ので教えてください。

No.74784 - 2021/05/20(Thu) 01:32:07

☆ Re: 背理法 / らすかる

a√m+b√n+c√mn=d　(dは有理数)とすると
a√m+b√n=d-c√mn
(a√m+b√n)^2=(d-c√mn)^2
a^2m+b^2n+2ab√mn=d^2+c^2mn-2cd√mn
2(ab+cd)√mn=d^2+c^2mn-a^2m-b^2n
右辺は有理数なのでab+cd=0
元の式に戻って
a√m+b√n+c√mn=d
c^2√mn+ac√m+bc√n=cd
c^2√mn+ac√m+bc√n+ab=ab+cd=0
(c√m+b)(c√n+a)=0
c√m+b=0またはc√n+a=0
c√m+b=0のときb=c=0なので元の式からa√m=dとなりa=d=0
c√n+a=0のときa=c=0なので元の式からb√n=dとなりb=d=0
従っていずれにしてもa=b=c=d=0なので、
a√m+b√n+c√mnが有理数ならばa=b=c=0。

No.74787 - 2021/05/20(Thu) 04:00:49

☆ Re: 背理法 / IT

（別解）
a√m+b√n+c√mn-d=0 （dは有理数)…(1) とする。

d=0 のとき　すなわちa√m+b√n+c√mn=0…(2) のとき

a√m=-(b√n+c√mn) 両辺二乗すると　2bcn√mは有理数。
b√n=-(a√m+c√mn) 両辺二乗すると　2acm√nは有理数。
c√mn=-(a√m+b√n) 両辺二乗すると　2ab√mnは有理数。

∴bc=ac=ab=0 よってa,b,c のうち少なくとも２つは0
(2)からa=b=c=0

一般の場合
(1)×am,am(a√m+b√n+c√mn)-amd=0
(1)×d√m,amd+bd√mn+cdm√n-d^2√m=0

両者を足すと((a^2)m-d^2)√m+(abm+cdm)√n+(acm+bd)√mn=0
(2)の形になったので　(a^2)m-d^2=0
　a≠0ならば　m=(d/a)^2,√m=|d/a|：有理数となり√mが無理数に反する
　よって　a=0∴d=0
したがって　a=b=c=d=0

No.74790 - 2021/05/20(Thu) 07:33:51

☆ Re: 背理法 / 亮

らすかるさん右辺が有理数なのでab+cd=0のところがわからないので詳しく教えてくれませんか。すいません

No.74791 - 2021/05/20(Thu) 09:02:30

☆ Re: 背理法 / らすかる

もしab+cd≠0ならば2(ab+cd)√mnは無理数ですから
右辺が有理数、左辺が無理数となって成り立ちません。
よってab+cd=0です。
一般にp,qが有理数でp×(無理数)=qならばp=q=0であり、
これを下の方で繰り返し使っています。

No.74792 - 2021/05/20(Thu) 10:26:58

★ 物理です / のの

積分を使ってとくのですが、まっったく分からないので詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

No.74778 - 2021/05/19(Wed) 17:43:49

☆ Re: 物理です / X

積分を使う必要はありません。
方針だけ。

(1)
条件から
y_max=v[0]t[1]-(1/2)gt[1]^2 (A)
v[0]-gt[1]=0 (B)
(A)(B)をt[1],y_maxについての連立方程式として解きます。

(2)
条件から
v[0]t[2]-(1/2)gt[2]^2=0 (C)
v[2]=v[0]-gt[2] (D)
t[2]＞0 (E)
(C)(D)(E)をt[2],v[2]についての連立方程式
として解きます。
v[2]の向きについてですが、
v[0]が鉛直上向き
であることに注意して考えてみましょう。

No.74779 - 2021/05/19(Wed) 18:03:14

☆ Re: 物理です / IT

積分を明示的に使うと
（１）は
v[0]-gt[1]=0 ∴ t[1]=v[0]/g…（ア）
t秒後の速度はv[t]=v[0]-gt…（イ）

y[max]＝∫[0,t[1]]v[t]dt
（イ）を代入
=∫[0,t[1]](v[0]-gt)dt
=[v[0]t-(1/2)gt^2][0,t[1]]
=v[0]t[1]-(1/2)gt[1]^2
（ア）を代入
=v[0]v[0]/g-(1/2)g(v[0]/g)^2
=v[0]^2/g-(1/2)v[0]^2/g
=(1/2)v[0]^2/g

No.74783 - 2021/05/20(Thu) 00:11:44

☆ Re: 物理です / GandB

　IT さんの説明で十分とは思うが
> 積分を使ってとくのですが、まっったく分からないので詳しく教えていただけると助かります。
> 積分を使って解かないといけないので積分を使うと言わせていただきました。
が少し気になるので蛇足を追加しておく。

　ボールには質量が与えられてないから、力学ではなく運動学の問題。変位を y としたとき、速度 v、加速度 a を高校物理の教科書では
　　Δy/Δt = v, Δv/Δt = a
で定義していると思う。この極限をとって速度 v、加速度 a を改めて
　　dy/dt = v, dv/dt = a
で定義する。
「積分を使って解かないといけない」ということなら、この定義から等加速度直線運動の式を導くことがわかればいいのだろうから(1)を示せば十分だろう。

　鉛直上向きを正とする。ボールには鉛直下向きの加速度 g が働いているのだから
　　dv/dt = -g
　加速度を積分すると速度になるから
　　v = -∫gdt = -gt + C.
　初期条件より C = v0.
　　∴v = -gt + v0.
　これで問題文で与えられた g、v0 を使って v を表すことができた。
　t = t1のとき v = 0 なのだから
　　0 = -gt1 + v0.　　∴t1 = v0/g.

　速度を積分すると変位になるから
　　y = ∫vdt
　　　= ∫-gt + v0 dt
　　　= v0t - (1/2)gt^2 + C.
　初期条件より C = 0.
　　∴y = v0t - (1/2)gt^2.
　t = t1のとき y = ymaxなのだから
　　ymax = v0t1-(1/2)g(t1)^2
　　　　 = v0(v0/g)-(1/2)g(v0/g)^2
　　　　 = (1/2)(v0)^2/g

No.74788 - 2021/05/20(Thu) 06:26:36