解答&解説が知りたいです！よろしくお願いします🙇⤵️
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No.72904 - 2021/02/15(Mon) 15:03:21
| ☆ Re: 数lll / X | | | (1)
条件から
f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)
(α,β,γ,δはα＜β＜γ＜δなる実数の定数)
と置くことができます。
∴f'(x)=(x-β)(x-γ)(x-δ)+(x-α)(x-γ)(x-δ)+(x-α)(x-β)(x-δ)+(x-α)(x-β)(x-γ)
となるので
f'(α)=(α-β)(α-γ)(α-δ)＜0 (A)
f'(β)=(β-α)(β-γ)(β-δ)＞0 (B)
f'(γ)=(γ-α)(γ-β)(γ-δ)＜0 (C)
f'(δ)=(δ-α)(δ-β)(δ-γ)＞0 (D)
よって中間値の定理により
α＜x＜β,β＜x＜γ,γ＜x＜δ
においてそれぞれ
f'(x)=0 (E)
の実数解が少なくとも1つづつ存在します。
∴(E)の異なる実数解の個数をNとすると
3≦N (F)
一方、f'(x)がxの3次式であることから
N≦3 (G)
(F)(G)より
N=3
(2)
条件からf"(x)はx^2の係数が12の2次式で
f"(0)=0
∴f"(x)=12x^2+ax
(aは実数の定数)
と置くことができます。)
これを積分し、f'(0)=0に注意すると
f'(x)=4x^3+ax^2
=(4x+a)x^2
∴f'(x)=0のとき
x=0,-a/4
となるので
a≠0のときf'(x)=0の異なる実数解の個数は2個
a=0のときf'(x)=0の実数解の個数は1個
となり、命題は成立します。
(3)
条件から
f(x)=(x-u)(x-v)^3 (A)
(u,vはu≠vなる実数の定数)
と置くことができます。
∴f'(x)=(x-v)^3+3(x-u)(x-v)^2
=(4x-3u-v)(x-v)^2
f"(x)=4(x-v)^2+2(4x-3u-v)(x-v)
=6(2x-u-v)(x-v)
となるのでf'(0)=0,f"(0)=0により
(-3u-v)v^2=0 (B)
6(-u-v)(-v)=0 (C)
(A)より
v=0,-u/3 (B)'
(B)より
v=0,-u (C)'
(B)'(C)'においてu≠vを満たす組み合わせを
考えて
u≠0,v=0
∴(A)より
f(x)=(x-u)x^3
となるので
f(0)=0
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No.72905 - 2021/02/15(Mon) 16:28:46 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | 横から失礼します。
(3)４重解を持つときも「３重解を持つ」ということもあるので、
f(x)=(x-u)(x-v)^3 (A)とだけおいても良いかも知れませんね。そうすると、途中計算はＸさんのとおりで、
･･･
(3u+v)v^2=0 (B)
(u+v)v=0 (C)
(B)-(C)×3v ：-2v^3=0 ∴ v=0
(A) より f(x)=(x-u)x^3
･･･
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No.72907 - 2021/02/15(Mon) 19:05:00 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | 手持ちの代数学のテキストでは、ちょうど３重解のときを「３重解」としていましたので上記は参考まで。
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No.72909 - 2021/02/15(Mon) 19:33:21 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | （３）の別解
（補題）f(x) は一般の整式です。
f(x) を xについての2次以上の整式とする.
f(α)＝0…(1)かつf'(α)＝0…(2)のとき、x＝αはf(x)＝0の重解である。
（証明）
(1)よりf(x)＝(x-α)g(x), g(x)は１次以上の整式とおける。
f'(x)＝(x-α)g'(x)+g(x)
(2)よりf'(α)＝g(α)＝0
よってx＝αはf(x)＝0の重解である。
(3)条件から,f(x)=g(x)(x-u)^3, g(x)は１次の整式とおける。
f'(x)=g'(x)(x-u)^3+3g(x)(x-u)^2=h(x)(x-u)^2, h(x)は１次の整式。
一方f'(0)=f''(0)=0 なので（補題）からx=0はf'(x)=0の重解。
したがってu＝0.
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No.72911 - 2021/02/15(Mon) 20:50:25 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | （２）の別解
（補題）より、f'(x)=0 は、x=0 を重解に持つ。
一方、f'(x)=0 は3次方程式なので、f'(x)=0の実数解の個数は高々３個である。
したがって、f'(x)=0の異なる実数解の個数は2個以下である。
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No.72913 - 2021/02/15(Mon) 21:28:24 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | (1)の別解
f(α)=f(β)=f(γ)=f(δ)=0 (α,β,γ,δはα＜β＜γ＜δなる実数)とおける。
平均値の定理から
0＝(f(β)-f(α))/(β-α)=f'(a) ,α＜a＜βなるaが存在する。
同様に f'(b)=f'(c)=0,β＜b＜γ＜c ＜δなるb,c が存在する。
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No.72914 - 2021/02/15(Mon) 21:46:54 |
| ☆ Re: 数lll / たいち | | | Xさん、ITさん、お二方とも丁寧なご解答ありがとうございました！
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No.72965 - 2021/02/19(Fri) 15:27:02 |
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