ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ２直線の平行垂直 / akira

2直線ax+by+c=0とpx+qy+r=0で確認したいことがあります。
よろしくお願いします。

＜１つ目の疑問＞

ax+by+c=0とpx+qy+r=0が平行 ⇔ aq-bp=0　……?@
ax+by+c=0とpx+qy+r=0が垂直 ⇔ ap+bq=0　……?A

のようなことが参考書、問題集に書いてありますが、
実際には、例えば?Aではb=0かつq=0ではax+by+c=0とpx+qy+r=0が垂直になりません。（平行になります）

?@?Aが本当に正しくするためには、どのような条件を入れるべきですか。

?Aの条件はb≠0かつq≠0で正しいですか。
?@はどのような条件になりますか。

＜２つ目の疑問＞
ax+by+c=0とpx+qy+r=0が平行（一致はのぞく） ⇔ a:b = p：q　かつ a:b ≠ c:r　……?B
ax+by+c=0とpx+qy+r=0がが一致　⇔ a:b：c = p：q:r　　……?C
?B?Cはどのような条件になりますか。a≠0など教えてください。
（比で0やマイナスを使っていいのですか？）

＜３つ目の疑問＞
（s,t)を通り直線ax+by+c=0に平行な直線はa(x-s)+b(y-t)=0　……?D
（s,t)を通り直線ax+by+c=0に垂直な直線はb(x-s)-a(y-t)=0　……?E
?D?Eはどのような条件になりますか。a≠0など教えてください。

No.74303 - 2021/05/04(Tue) 22:35:20

☆ Re: ２直線の平行垂直 / ヨッシー

＜１つ目の疑問＞
ｂ＝０　かつ　ｑ＝０　だけでは、そもそも
　ａｐ＋ｂｑ＝０
を満たしていません。

＜２つ目の疑問＞
?@?Aもそうですが、
　ａ＝ｂ＝０　や　ｐ＝ｑ＝０　だと
直線が存在しないので、これらは除きます。
また、?Bの２つ目は
　ａ：ｂ≠ｃ：ｒ　ではないのでは？

比にマイナスが入っても良いですし、０も、
　０：０：０
のようなものでなければ良いと思います。

＜３つ目の疑問＞
これも、
　ａ＝ｂ＝０
でなければ構いません。
ａ＝０であっても、
　ｂｙ＋ｃ＝０　（ｘ軸に平行）　に
平行な直線　ｂ（ｙ－ｔ）＝０　（ｘ軸に平行）
垂直な直線　ｂ（ｘ－ｓ）＝０　（ｙ軸に平行）
となります。

No.74305 - 2021/05/04(Tue) 23:26:27

☆ Re: ２直線の平行垂直 / akira

＜１つ目の疑問＞
ｂ＝０　かつ　ｑ＝０　だけでは、そもそも
　ａｐ＋ｂｑ＝０
を満たしていません。
↑
どのような条件ならばいいのですか。
ａ＝ｂ＝０　や　ｐ＝ｑ＝０と他に何を入れればいいですか。

＜２つ目の疑問＞
?@?Aもそうですが、
　ａ＝ｂ＝０　や　ｐ＝ｑ＝０　だと
直線が存在しないので、これらは除きます。
また、?Bの２つ目は
　ａ：ｂ≠ｃ：ｒ　ではないのでは？
↑
どのような条件ならばいいのですか。
ａ＝ｂ＝０　や　ｐ＝ｑ＝０と他に何を入れればいいですか。

No.74308 - 2021/05/04(Tue) 23:50:15

☆ Re: ２直線の平行垂直 / ヨッシー

まず、最初に
>2直線ax+by+c=0とpx+qy+r=0
と書いてあるので、自動的に a=b=0 や p=q=0 は除かれます。
ですので、書く必要はないです。

?Bも、参考書からの引用だとすれば、そこに書いてあることが
条件です。
>a:b = p：q　かつ a:b ≠ c:r
とは書いていないはずです。

No.74310 - 2021/05/05(Wed) 01:09:31

☆ Re: ２直線の平行垂直 / akira

?Bを書き直しました。

Q1.
?Bと?Cは他にa≠0など、（a,b,cなどが入った式）≠（p,q,rなどが入った式）のようなものが
あると思うのですが、どんな感じですか。

ax+by+c=0とpx+qy+r=0が平行（一致はのぞく） ⇔ a:b = p：q　かつ b:c≠ q:r　……?B
ax+by+c=0とpx+qy+r=0がが一致　⇔ a:b：c = p：q:r　　……?C

Q2.
また、他にa≠0など、（a,b,cなどが入った式）≠（p,q,rなどが入った式）のようなものを
覚えていなくても（これを使わなくても）、テストでは?B?Cから求めた値をax+by+c=0とpx+qy+r=0に代入して
本当に平行、垂直であることを述べばいいのですか。

No.74330 - 2021/05/05(Wed) 18:26:03

☆ Re: ２直線の平行垂直 / ヨッシー

書き直したというのは、テキストの通りに書き直したということでしょうか？
それとも、自分の答案として書き直したと言うことでしょうか？

というのも、?Bは先ほどよりは良いですが、ｂ＝０（当然ｑも０）のときは
どうしますか、という穴が残っています。
書くなら、
　ａ：ｂ＝ｐ：ｑ　かつ　ａ：ｂ：ｃ≠ｐ：ｑ：ｒ
でしょう。

また、実際のテストでは、
平行なら傾きが等しい、一致なら切片も等しい（ただし、ｘ軸に垂直な場合は除く）
垂直なら傾きの積が－１（ただし、一方がｘ軸に平行な場合は除く）
のような形で解けますので、ａ：ｂなどの比を使う方法は、
定義を一般化するために用いる場合に限られると思います。

No.74336 - 2021/05/05(Wed) 22:24:29

☆ Re: ２直線の平行垂直 / akira

というのも、?Bは先ほどよりは良いですが、ｂ＝０（当然ｑも０）のときは
どうしますか、という穴が残っています。
書くなら、
　ａ：ｂ＝ｐ：ｑ　かつ　ａ：ｂ：ｃ≠ｐ：ｑ：ｒ
でしょう。

「ｂ＝０（当然ｑも０）のときは」も考えると、すべてのパターンを公式、定理などのようにまとめて書くとどうなりますか。

(1)　b≠0かつq=≠0のとき～
　　　　ax+by+c=0とpx+qy+r=0が平行（一致はのぞく） ⇔ 　　a:b = p：q　かつ b:c≠ q:r　

(2)　b=0かつq=0のとき……
(3)

また、(1)(2)(3)などをまとめて１の式などで書けることがあれば教えてください。

No.74377 - 2021/05/06(Thu) 22:29:21

☆ Re: ２直線の平行垂直 / ヨッシー

２直線 ax+by+c=0, px+qy+r=0 において、
　ａ：ｂ＝ｐ：ｑのとき両者は平行
とくに
　ａ：ｂ：ｃ＝ｐ：ｑ：ｒ
のとき両者は一致

No.74383 - 2021/05/07(Fri) 08:24:22

☆ Re: ２直線の平行垂直 / akira

２直線 ax+by+c=0, px+qy+r=0 において、
ａ：ｂ＝ｐ：ｑ　⇔　両者は平行　　……(あ）

ａ：ｂ：ｃ＝ｐ：ｑ：ｒ　⇔　両者は一致　……(い）

ａp+bq=0　　⇔　両者は垂直　……(う）

⇒と⇐　両方成り立ちますか。特に、a=0、b＝0、p=0、q=0
とか関係なく使って大丈夫ですか。

「２つの直線が平行であるような定数～の値を求めよ」の問題では、解答を場合、a=0、b＝0、p=0、q=0について触れるのは計算などが大変なので、これを避けて、まず（あ）を利用して、最後に求めた～の値が本当に平行になっているのかを述べればいいと思いました。

No.74386 - 2021/05/07(Fri) 10:57:40

☆ Re: ２直線の平行垂直 / ヨッシー

「２直線」と言った時点で、ａとｂ、またはｐとｑが
同時に０になるケースは排除されます。

（い）の３連比を掛け算で表すのが難しいので、比の形にしていますが、
（あ）のように２つなら、ａｑ＝ｂｐと書いた方が色々都合がいいです。
（０を含む比をどう考えるかと考えなくて良いため）

No.74388 - 2021/05/07(Fri) 11:18:23

★ (No Subject) / 数学苦手

小学生の方でも簡単に解ける人はいると思いますが質問失礼します。
この問題についてです。

No.74294 - 2021/05/04(Tue) 20:55:39

☆ Re: / 数学苦手

この計算しないやり方でやろうとしていますができないです。

No.74295 - 2021/05/04(Tue) 20:58:06

☆ Re: / 数学苦手

こんな感じでやってますけど…

No.74296 - 2021/05/04(Tue) 20:59:01

☆ Re: / ヨッシー

２、３、５が違うのはすぐわかりますが、
１、４はちゃんと計算してください。

ちなみに、手書きのは、何を比較しようとしていますか？
１～５にその計算が必要なものはないと思いますが。

No.74298 - 2021/05/04(Tue) 21:20:18

☆ Re: / 数学苦手

了解です。とりあえず解説見てみます。

No.74301 - 2021/05/04(Tue) 22:22:30

☆ Re: / 数学苦手

雑費の方でした。あと問題番号も前の問題番号と間違えてました。すみません。とりあえず、端数を消して、四捨五入して計算するしかないのでしょうか

No.74304 - 2021/05/04(Tue) 23:24:11

☆ Re: / ヨッシー

雑費だとしても、上の手書きの計算はおかしいです。
0.122(＝12.2%) という数値はどこにも出てきませんし。

>端数を消して、四捨五入して計算するしかないのでしょうか
端数を消す必要も、四捨五入する必要もありません。
桁の末端まで計算してください。
慣れれば、例題のように上２ケタの概算も出来るようになりますが、
「しかない」わけではありません。

No.74306 - 2021/05/04(Tue) 23:31:41

★ ３直線の交わり / akira

（では、プレビューしないでもう一度送って見ます。）

３つの直線の交わる問題で質問がありますので教えてください。

質問１
問１の問題文だけ見て（解答は見ない場合）「３つの直線が１点で交わる」という問題は
「３つの直線が１点で交わる。無数の点で交わる（２直線が一致してする）場合も考える」
ということですか。（問２の問題では「ただ１点で交わる」と書いてあるので、問１
は無数に交わる問題と判断してしまいました）

質問２
問1で「３つの直線が１点で交わる」の解答を見ると、最後にａ＝２で
終っていますが、求めたaの値が本当に正しいのかを確認しなくていいのですか。
（ａ＝２をａｘ－ｙ＋３＝０に代入して
この直線が他の直線と平行ではないので１点で交わることを確認しなくていいのですか。）

問題２の解答では求めたaの値が本当に正しいのかを確認（a≠１であるからa=1/2，２）
していますが、問題１では確認していないので、確認しなくてもよい理由がわかりません。

No.74289 - 2021/05/04(Tue) 19:14:50

☆ Re: ３直線の交わり / IT

私には、「平面上の３直線が１点で交わる」と「平面上の３直線がただ１点で交わる」とは、同じとしか思えませんが、
その問題・解答では使い分けていますね。

ちがうのだとすると
「平面上の３直線が１点で交わる」は、
３直線をA,B,C としたとき　AとBが１点で交わり、AとCが別の１点で交わる。BとCは平行。（２点で交わる？）

A,B,Cの２本ずつが　異なる３点で交わる。　場合も含むということでしょうか？

これらの場合「３直線が１点で交わる」とは言わない気がしますが。

あるいは、質問者の考えのように
前者は、２本が同一でそれに他の１本が交わる場合も含み
後者は、３本がすべて互いに異なり１点で交わる場合だけ
というつもりということでしょうが、しっくり来ません。

No.74291 - 2021/05/04(Tue) 19:50:41

☆ Re: ３直線の交わり / らすかる

予想ですが、問1の方は前の2直線が1点で交わることから
絶対に無数の点で交わることがないので、「ただ」を
書いても書かなくても同じなので書かなかった、
ということではないでしょうか。

> 「３つの直線が１点で交わる。無数の点で交わる（２直線が一致してする）場合も考える」
ここに少し勘違いがあると思います。3直線のうち2直線が一致しても交点は無数にならず、やはり「3直線の交点」は1点です。
ですから前の2直線が1点で交わっていれば、3直線目が何であっても「交点が無数」はあり得ません。

問2の方は固定の直線が一つだけであり、実際に解いてみないと
「3直線がすべて一致する」可能性がありますので
「ただ」を入れているような気がします。

質問2の方は、確認は必要ありません。
(-1,1)を通っていれば確実に1つの交点があり、交点が2点以上になることはありません。

No.74292 - 2021/05/04(Tue) 20:05:26

☆ Re: ３直線の交わり / akira

質問2の方は、確認は必要ありません。
(-1,1)を通っていれば確実に1つの交点があり、交点が2点以上になることはありません。

なぜ確認の必要はないのですか。
(-1,1)を通っていれば問題１の座標で、問題２では通らないのではないですか。

問題２で２番目、３番目の直線はaが入っているので求めたa=2とａ＝1/2が平行ではないことを確認して書くべきではないですか。

No.74293 - 2021/05/04(Tue) 20:47:22

☆ Re: ３直線の交わり / らすかる

質問2は「問1で確認しなくていいのですか」という質問ですよね？
ですから私は問1に関して「確認の必要はない」と書きました。
私のその回答は問2とは関係ありません。

No.74300 - 2021/05/04(Tue) 22:05:52

☆ Re: ３直線の交わり / akira

とてもよくわかりました。
ありがとうございます。

No.74302 - 2021/05/04(Tue) 22:30:05

★ (No Subject) / akira

（すみません。画像を添付して、プレビューで画像もあるのですが、投稿すると画像が消えてしまいます。もう一度送って見ます。）

３つの直線の交わる問題で質問がありますので教えてください。

質問１
問１の問題文だけ見て（解答は見ない場合）「３つの直線が１点で交わる」という問題は
「３つの直線が１点で交わる。無数の点で交わる（２直線が一致してする）場合も考える」
ということですか。（問２の問題では「ただ１点で交わる」と書いてあるので、問１
は無数に交わる問題と判断してしまいました）

質問２
問1で「３つの直線が１点で交わる」の解答を見ると、最後にａ＝２で
終っていますが、求めたaの値が本当に正しいのかを確認しなくていいのですか。
（ａ＝２をａｘ－ｙ＋３＝０に代入して
この直線が他の直線と平行ではないので１点で交わることを確認しなくていいのですか。）

問題２の解答では求めたaの値が本当に正しいのかを確認（a≠１であるからa=1/2，２）
していますが、問題１では確認していないので、確認しなくてもよい理由がわかりません。

No.74287 - 2021/05/04(Tue) 19:10:40

☆ Re: / IT

プレビューすると、なぜか画像（添付ファイル）がなくなるかも

No.74288 - 2021/05/04(Tue) 19:12:34

☆ Re: / ヨッシー

プレビュー機能を使用した際は、再度「参照ボタン」から画像を選択する必要がございます。
とのことでした。
掲示板の仕様ですので、ご了承ください。

No.74297 - 2021/05/04(Tue) 21:11:07

☆ Re: / akira

ありがとうございます。
次回から、プレビュー機能を使用した際は、再度「参照ボタン」から画像を選択させていただきます。

No.74299 - 2021/05/04(Tue) 21:55:36

★ 商の微分法 / タカダ

y=√x　/ (x^2　-2x) という式を微分すると
y'=(2x　-3x^2)/(2√x(x^2 -2x)^2) になるらしいのですが、途中式が分かりません。商の微分法を使って
y'=(x^2　-2x　-2x^(3/2)　+2x^(1/2) )/ (2√x(x^2 -2x)^2)まではできたのですが、
(x^2　-2x　-2x^(3/2)　+2x^(1/2) )がどうやったら
(2x　-3x^2)になるのか教えてください。よろしくお願いします。

No.74271 - 2021/05/04(Tue) 13:22:16

☆ Re: 商の微分法 / らすかる

分子分母に2√xを掛けたとき、
分子第1項の (1/2)x^(-1/2)(x^2-2x) が x^2-2x になるところは正しいですが、
分子第2項の -x^(1/2)(2x-2) に 2√x を掛け忘れています。

No.74276 - 2021/05/04(Tue) 14:33:34

☆ Re: 商の微分法 / タカダ

> 分子分母に2√xを掛けたとき、
> 分子第1項の (1/2)x^(-1/2)(x^2-2x) が x^2-2x になるところは正しいですが、
> 分子第2項の -x^(1/2)(2x-2) に 2√x を掛け忘れています。

分子分母に２√xをかけているのではなくて、(1/2)x^(-1/2)を
1/(2√x)に書き直しただけなので、分子第二項に２√xをかける必要はないと思うのですが、このやり方は間違っていますか？

No.74282 - 2021/05/04(Tue) 18:10:48

☆ Re: 商の微分法 / らすかる

はい、間違っています。
分子の片方だけに掛かっているものを分母に移動することはできません。
例えば
{(1/2)4+3}/5
で同じことをやると
{(1/2)4+3}/5={4+3}/(2×5)=7/10
となりますが、正しくは
{(1/2)4+3}/5={2+3}/5=1
なので違いますね。
間違えないように、きちんと「分子分母に○を掛ける」のように考えた方がいいです。

No.74284 - 2021/05/04(Tue) 18:43:54

☆ Re: 商の微分法 / タカダ

分かりました！先生に聞いても教えてもらえなかったので、らすかるさんに教えて頂くことが出来てよかったです。ありがとうございました！

No.74290 - 2021/05/04(Tue) 19:19:49

★ (No Subject) / りつ

三角形ABCにおいて、∠B＝30°,∠C＝45°,AB=2√2とする。三角形ABCの外接円の中心Oと直線BCとの距離をhとするとき、h^2の値を求めなさい。

∠A=105°,AC=OB=OC=√2のところまで分かりましたが、続きが分りません。よろしくお願いします。

No.74268 - 2021/05/04(Tue) 12:33:02

☆ Re: / IT

線分BCの長さを求めて
△OBCの面積を２通りの計算方法で求めて比較すれば良いのでは？
（もっと速い方法があるかも知れません）

No.74270 - 2021/05/04(Tue) 13:07:59

☆ Re: / りつ

すみません。
BCと三角形OBCの面積の求め方が分かりません。

No.74272 - 2021/05/04(Tue) 13:29:06

☆ Re: / IT

> AC=OB=OC=√2のところまで分かりましたが、
どうやって求めましたか、図を載せてみてください。

No.74273 - 2021/05/04(Tue) 13:37:39

☆ Re: / りつ

よろしくお願いします。

No.74274 - 2021/05/04(Tue) 14:00:17

☆ Re: / IT

AC=OB=OC=√2　ではなくて　=2 ですね？

AからBCに垂線AHを引いて、BH,CHを求めます。
∠COBを求めます。
　CO をO側に延長してCOとOBが成す角を考えても良いです。

△OBC＝(1/2)BC×h
△OBC＝(1/2)OC×OB(sin∠COB ) です。

（別解）∠BCO＝15°を使えば、sin15°を求めることに帰着できます。

No.74275 - 2021/05/04(Tue) 14:14:39

☆ Re: / らすかる

別解
ITさんが書かれたようにBCを求めたら、三平方の定理により
h^2=OB^2-(BC/2)^2なのでh^2が求められますね。

No.74278 - 2021/05/04(Tue) 15:13:35

☆ Re: / IT

らすかるさんの方法が簡明ですね。

No.74279 - 2021/05/04(Tue) 15:25:41

☆ Re: / りつ

らすかる様、分かりやすい回答ありがとうございます。

追伸、IT様

計算してのですが、答えが合いません。
どこが間違っいるのか教えて頂けると助かります。

No.74280 - 2021/05/04(Tue) 15:49:04

☆ Re: / IT

正解はいくらですか？
分母を有理化してありませんか？

No.74281 - 2021/05/04(Tue) 16:07:50

☆ Re: / りつ

最後に有理化していませんでした。
2-√3になり、答えが合いました。

丁寧に教えて頂き、ありがとうございます。

No.74283 - 2021/05/04(Tue) 18:28:20

★ 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ

こんにちは。

問題を答える時に必要十分条件か必要条件で答えるのかわからないので教えてください。

【Q1】
2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つとき，定数aの範囲を求めよ。

「～を持つとき（定数aの範囲を求めよ）」は十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。

[解答]
「異なる2つの実数解」または「1つの実数解」を持つから判別式D≧0
D/4=a^2-1≧0
a≦-1,1≦a

【Q2】
2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つような，定数aの範囲を求めよ。

「～を持つような（定数aの範囲を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。

[解答]
異なる2つの実数解を持つから判別式D＞0
D/4=a^2-1＞0
a＜-1,1＜a

【Q3】
どんな問題でも「～を持つような（定数aの範囲を求めよ）」「次の条件を満たすとき（定数aの値を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。

No.74258 - 2021/05/04(Tue) 08:59:18

☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / IT

> 【Q3】
> どんな問題でも「～を持つような（定数aの範囲を求めよ）」「次の条件を満たすとき（定数aの値を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。

そう思います。
この例題の場合は
　必要条件でよいなら　a≠0でも答えになります。
　十分条件でよいなら　a＝2だけでも答えになります。

もちろん「定数aの値を１つ求めよ」だと１つでいいと思いますが、

> 【Q1】
> 2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つとき，定数aの範囲を求めよ。
>
> 「～を持つとき（定数aの範囲を求めよ）」は十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。
>
>
> [解答]
> 「異なる2つの実数解」または「1つの実数解」を持つから判別式D≧0
> D/4=a^2-1≧0
> a≦-1,1≦a
これは「必要条件」であり「十分条件」になってません。
異なる2つの実数解を持つための必要十分条件であるa＜-1,1＜a　とすべきだと思います。
　
> 【Q2】
> 2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つような，定数aの範囲を求めよ。
>
> 「～を持つような（定数aの範囲を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。
>
> [解答]
> 異なる2つの実数解を持つから判別式D＞0
> D/4=a^2-1＞0
> a＜-1,1＜a
合っていると思います。

なお、途中、「⇔、よって、ゆえに、∴」などでつないだ方が良いと思います。必要十分条件（同値）であることを明確にする記号は⇔だとおもいますが、この程度の問題ならどれでもいいかなと思います。

No.74259 - 2021/05/04(Tue) 09:13:24

☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ

（すみません返信を押したつもりでしたが、返信になっていませんでした）

【Q3】
どんな問題でも「～を持つような（定数aの範囲を求めよ）」「次の条件を満たすとき（定数aの値を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。

必要条件でよいなら　a≠0でも答えになります。

a≠0で正しいですか？

a≠0（例えばa=1/2）⇒2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ
にならないと思います（x^2+1=0で異なる2つの虚数解）がどうですか。

すみません。

【Q1】は以下のようにして下さい。

2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つとき，定数aの範囲を求めよ。

「～を持つとき（定数aの範囲を求めよ）」と問題に書いてあった場合は必要条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。

[解答（必要条件と判断した場合）]
「異なる2つの実数解」または「1つの実数解」を持つから判別式D≧0
D/4=a^2-1≧0
a≦-1,1≦a

No.74261 - 2021/05/04(Tue) 10:03:22

☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / IT

＞a≠0で正しいですか？
a≠0は、２次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つための「必要条件」の一例です。

「必要条件を求めよ」という解釈ならa≠0も必要条件ですから答えの一つになります。
それでは（「必要条件を求めよ」という解釈では）、問題としておかしいのではないかということです。

＞a≠0（例えばa=1/2）⇒2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ
＞にならないと思いますがどうですか。
そのとおりです。
a≠0は、２次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つための「必要条件」ですが「十分条件」ではないからです。

「必要条件」の意味を誤解しておられませんか？

No.74264 - 2021/05/04(Tue) 10:09:11

☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ

私がわかっていなかったようです。
考え直しました。多分以下のことで正しいですよね。

2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ（つまりa＜-1,1＜a）⇒a≠0

よって　a≠0は必要条件（十分条件ではない）ですね。

ちなみに、必要条件でよいなら　a≠0でも答えになりましたが、

2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ（つまりa＜-1,1＜a）⇒a≠1/3
だから、必要条件で良いなら　a≠1/3でも答えになりすよね。

No.74265 - 2021/05/04(Tue) 11:14:24

☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / IT

そうですね。

No.74266 - 2021/05/04(Tue) 11:18:20

☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ

ありがとうございました。
また，機会があれば教えて下さい。

No.74269 - 2021/05/04(Tue) 12:43:35

★ 環について / meow

環Rは零環でないとする．このとき，Rの単元は零因子にならないことを示せ．

という問題についてなのですが，自分は以下のように考えました．

環Rは零環ではないので1≠0
x∈Rに対して，xy=yx=1となるy∈Rが存在するとき，
xy=1≠0, yx=1≠0より， xは零因子にはならない．

これで良いでしょうか．
環について勉強中でこれで良いのかわかりません．

No.74256 - 2021/05/04(Tue) 02:11:15

☆ Re: 環について / IT

零因子の定義を確認してください。
xy=yx=1となるy 以外のz（≠0）についても
　xz＝0,zx=0となることがないことを　示す必要があるのでは？

（書いておられることを使って示せると思います。）

No.74257 - 2021/05/04(Tue) 02:47:21

☆ Re: 環について / meow

ITさん回答ありがとうございます．

x∈Rに対して，xy=yx=1となるy≠0∈Rが存在するとき，
xy=1≠0, yx=1≠0より， xは零因子にはならない．

理由　:
もしx=0の場合，
0y=(0+0)y=0y+0y
Rは加法群で逆元が存在し，0yを両辺から引くと，
0=0y+0
0=0y
同様に
0=y0

いろいろと混乱してきてしまいました...

No.74307 - 2021/05/04(Tue) 23:36:12

☆ Re: 環について / IT

>
> xy=1≠0, yx=1≠0より， xは零因子にはならない．
>
> 理由　:
> もしx=0の場合，
そもそも「零因子」の定義を正しく理解しておられないのではないかと思います。
テキストで「零因子」の定義を確認してください。

No.74311 - 2021/05/05(Wed) 01:10:58

★ (No Subject) / りつ

0°≦θ≦180°とする。tanθ=√5のとき、
sinθ＋cosθ/sinθ-cosθの答えを求めなさい。

答えは、3＋√5/2なのですが、答えまでの過程が分かりません。よろしくお願いします。

No.74235 - 2021/05/03(Mon) 14:12:03

☆ Re: / IT

(sinθ＋cosθ)/(sinθ-cosθ)

分母と分子をcosθで割ります。
sinθ/cosθ＝tanθ＝√5　を代入します。
分母を有理化します。

No.74236 - 2021/05/03(Mon) 14:18:22

☆ Re: / ホトトギス

問題文書く時は分かりやすく書いてね。今回の場合は分子と分母が見にくいから。

(sinθ＋cosθ)/(sinθ-cosθ)でしょ。

数?Tで出てくる三角関数の重要３公式
(1)(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
(2)sinθ=cosθtanθ
(3)1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2

まずtanθ=√5だから、θは0°,90°,180°にはなり得ないよね。sinθとかcosθが0にならないかは確認した方がいい。

あとは公式を使って調理していくだけ。

公式(2)を使うと、
(cosθtanθ+cosθ)/(cosθtanθ-cosθ)

cosθは0でないから、分母分子をcosθで割ると
(tanθ+1)/(tanθ-1)

tanθ=√5なので、
(√5+1)/(√5-1)

分母を有理化すると、
(6+2√5)/4

分母分子を2で割ると
(3+√5)/2

以上

No.74237 - 2021/05/03(Mon) 14:22:30

☆ Re: / りつ

IT様、ホトトギス様、分かりやすい回答ありがとうございます。

追伸：ホトトギス様、これからは、問題文を書くときは気を付けて書きます。アドバイス、ありがとうございます。

No.74243 - 2021/05/03(Mon) 15:54:52

★ (No Subject) / あんこ

R^2⊃A= {(x,y)｜1＜x＜2,1＜y＜3} ∪ {(x,y)｜2＜x＜3,1＜y＜2}
このとき、

?@Aをxy平面に図示せよ
?AR^2∋P=(5/2,5/2)について、PはAの内点・外点・境界点のうちどれか。証明をつけて答えよ。
?BAの内部、外部、境界をxy平面に図示せよ。内部の図、外部の図、境界の図をそれぞれ別に描くこと。証明はしなくてよい。
?CAは開集合かそうでないか。また閉集合かそうでないか。それぞれ証明をつけて述べよ。 (1)はなんとなくできました。(2)は完全に外の点だなと思うのですが、証明の仕方がわかりません。また開集合とかどういう事かわかりません。どなたか得意な方お願いします

No.74220 - 2021/05/03(Mon) 02:29:29

☆ Re: / IT

(1) Aの図は手書きでもいいので、出来れば写して載せられるといいと思います。
(2)
・内点、外点の定義はどうなっていますか？
・また点Pを(1)の図にプロットされるといいです。

No.74221 - 2021/05/03(Mon) 07:42:45

☆ Re: / あんこ

ご返信ありがとうございます！
(1)は写真のような感じだと思います汚くてすみません。

内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
調べたら以下のように出てきました。
)A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
Ai :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A}⊂A.
(2) A の外点全体の集合を A の外部 (exterior) といい，Ae で表す:
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}=(Ac)i ⊂Ac.
(3) A の境界点全体の集合を A の境界 (frontier, boundary) といい，Af (または Ab) で表す:
Af :={x∈Rn |∀ε>0に対して，B(x;ε)∩A̸=∅かつB(x;ε)∩Ac ̸=∅}.

No.74222 - 2021/05/03(Mon) 08:34:57

☆ Re: / IT

Aの図は良いと思います。（どの境界線が含まれるかどうかの記述は要ると思いますが）

> 内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
> 調べたら以下のように出てきました。
> )A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
お使いの授業のテキストなどで調べられたのですか？　

では、「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

PをAの図に描いてください。

No.74223 - 2021/05/03(Mon) 08:45:03

☆ Re: / あんこ

集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？

あと点Pはここですか？

No.74224 - 2021/05/03(Mon) 09:29:25

☆ Re: / IT

>> 「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

> 集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？
違います。私が聞いているのは、「内点」の定義です。
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
が理解できてないようです。だとするとこの問題を解くのは難しいと思います。

B(x;ε)は、どんなものか分かりますか？
テキストに「内点」やB(x;ε)について　図解で定義や説明がしてないですか？

授業を受けておられて、それに関連した出題だと思いますので、授業で使われたテキストや授業で示された定義を理解し、それを基にして考える必要があります。

>
> あと点Pはここですか？

そうですね。

No.74225 - 2021/05/03(Mon) 09:37:05

☆ Re: / あんこ

0より大きいε(限りなく小さな数)があって、

BはAの部分集合、という意味でしょうか？

No.74226 - 2021/05/03(Mon) 09:58:20

☆ Re: / IT

> 0より大きいε(限りなく小さな数)があって、
> BはAの部分集合、という意味でしょうか？
「限りなく小さな数」というものはありません（少なくともこの議論の中では）
0より大きいある実数εがあって
　B(x;ε)⊂A 　すなわちB(x;ε) はA の部分集合となる。

B(x;ε)は、どんな集合ですか？
これは、考えることではなくて、テキスト（か講義ノート）に書いてあることを確認するだけです。テキストはないのですか？

No.74227 - 2021/05/03(Mon) 10:05:19

☆ Re: / あんこ

B(x ; ε)
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合

でしょうか？

No.74228 - 2021/05/03(Mon) 10:23:40

☆ Re: / IT

> B(x ; ε)
> xからの距離が εより小さい点全体からなる集合
> でしょうか？
合っています。

では、整理すると
・集合Aの「内点」の定義はどう書けますか？
・集合Aの「外点」の定義はどう書けますか？
・点Pが集合Aの「外点」であることを示すには、何を示せば良いですか？
・図に　B(P;0.2) を描いてみてください。

No.74229 - 2021/05/03(Mon) 10:39:50

☆ Re: / あんこ

内点の定義
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
0より大きいある実数εがあって　　
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の部分集合となる。

外点の定義
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}
0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合となる。

点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
でしょうか？？

No.74230 - 2021/05/03(Mon) 11:09:47

☆ Re: / IT

> 外点の定義
> 0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合となる。
集合B(x;ε)はA の補集合とは限りません。
集合B(x;ε)はAの補集合に含まれる。（Aの補集合の部分集合である。）です。

>
> 点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
> でしょうか？？
あるε>0を見つけて　B(P;ε)⊂Ac　であることを示すのです。

B(P;0.2)は、描いて見ましたか？

No.74233 - 2021/05/03(Mon) 13:23:45

☆ Re: / あんこ

なるほど、ありがとうございます！

0.2はどこからきたんですか？

No.74238 - 2021/05/03(Mon) 14:44:50

☆ Re: / IT

> 0.2はどこからきたんですか？
B(P;ε)⊂Ac　であるためには、
　εは、0より大きく0.5 以下なら　いくらでもいいです。

なぜかは、B(P;0.2)　B(P;0.5) などを描いて見ると分かると思います。（手と目と頭を動かして考えましょう）

No.74239 - 2021/05/03(Mon) 14:55:46

☆ Re: / あんこ

そういう考え方なのですね！
難しいなあ

円で書けば良いですか？
Aに接しない円ができるので合っていますか？

No.74240 - 2021/05/03(Mon) 14:58:51

☆ Re: / IT

> 円で書けば良いですか？
もちろんそうです。

> Aに接しない円ができるので合っていますか？
そうですね。（おおむねそういうことで合っています）

No.74241 - 2021/05/03(Mon) 15:22:54

☆ Re: / あんこ

円がかけたのですが、
p(2,5)を中心とする半径0.2の円の内部をPとして、
P=｛(x,y)｜(x-2)^2+(y-5)^2<0.2｝
このP上の任意の点が、Aに含まれるかどうかを調べるような形で良いですか？

No.74246 - 2021/05/03(Mon) 16:39:56

☆ Re: / IT

そうですね。

No.74247 - 2021/05/03(Mon) 16:42:37

☆ Re: / あんこ

沢山聞いてすみませんでした。
ありがとうございました

No.74248 - 2021/05/03(Mon) 17:05:45