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★ したの続き / えっとう
お願いします
No.87201 - 2024/01/14(Sun) 15:53:27
★ 規則性、和？積？ / えっとう
お願いします
No.87200 - 2024/01/14(Sun) 15:19:56
★ 確率 / そら
3.4が分かりません
解説お願いします🙇‍♀️
No.87199 - 2024/01/14(Sun) 13:23:44
☆ Re: 確率 / X
X=k(k=0,1,2,3,4)となる確率を
P[X=k]
と書くことにします。

(1)
A,B共に0のカードを引く確率なので
P[X=0]=(2/5)(3/5)=6/25

(2)
前半)
A,Bのカードの一方が1,他方が0になればよいので
P[X=1]=(2/5)(3/5)+(2/5)(1/5)
=8/25
後半)
A,Bのカードの
一方が2,他方が0
又は
両方が1
となればよいので
P[X=2]=(1/5)(3/5)+(2/5)(1/5)+(2/5)(1/5)
=7/25

(3)
(2)の結果から、1回の試行でX=1又はX=2となる確率は
8/25+7/25=3/5
よって求める確率は
(4C2){(3/5)^2}{(1-3/5)^2}
=216/625

(4)
4回の試行で
3回目までにX=1,2となることがちょうど1回
かつ
4回目でX=1となる確率は(2)の結果により
(8/25)・(3C1)(3/5)(1-3/5)^2
=(8/25)・3・(3/5)(2/5)^2
=288/(625・5)
∴(3)の結果から求める条件付き確率は
{288/(625・5)}/(216/625)=4/15
No.87203 - 2024/01/14(Sun) 19:11:17
★ ひし形の証明 / 天文単位
証明の添削をお願いします。
No.87195 - 2024/01/13(Sat) 21:31:41
☆ Re: ひし形の証明 / 天文単位
続き
No.87196 - 2024/01/13(Sat) 21:32:31
☆ Re: ひし形の証明 / IT
四角形ADGJが平行四辺形であることは、直ぐ言えるのでは？
No.87197 - 2024/01/13(Sat) 22:05:37
☆ Re: ひし形の証明 / らすかる
AN=APも前提条件からただちに言えますので証明不要と思います。
No.87198 - 2024/01/14(Sun) 08:04:17
★ 円に内接する四角形 / ひき肉です
半径5の円Oに内接する四角形ABCDはAB=AD、CD=6、BCは直径である。さらにAからBCに垂線AEを引き、対角線あc、BDを引く。BDとAE、ACとの交点をそれぞれP、Qとする。
このとき、EAの延長とOQの延長の交点をRとしたとき、QRの長さを求めよ。


この問題の前の小問として
BQの長さを求めよ。
ABの長さを求めよ。
BP=PQを示せ。
というのがありました。
これらはそれぞれ
円周角を考えるとADが∠BCDの二等分線となるので角の二等分線と線分比の関係からBQ=5。
四角形が円に内接することからcos∠BAD=-3/5はわかり、△ABDで余弦定理からAB=2√5。
△ABEと△CBAは相似だから△ABPは二等辺三角形がわかり、そこで余弦定理からBP=5/2を得る。よってBP=PQ=5/2。
と解けました。

QRは四角形BORPでメネラウスを使うと思ったのですが、RPがわからなくて求まりません。

よろしくお願いします。
No.87191 - 2024/01/13(Sat) 17:26:23
☆ Re: 円に内接する四角形 / WIZ
QからBCに垂線をおろした足をFとすると、
△BQFは△BCDと相似で、辺の長さの比は3:4:5となります。
|BQ| = 5より、|BF| = 4, |QF| = 3
よって、xy座標でO(0, 0)とすると、Q(-1, 3)となります。
OとQを通る直線は(y-0)/(3-0) = (x-0)/(-1-0) ⇒ y = -3xとなります。

また、△BEPと△BCDも相似で、|BP| = 5/2より、|BE| = 4/2 = 2, |PE| = 3/2です。
よって、E(-3, 0)です。

Rのy座標はx = -3の時の直線y = -3xのyの値なので、R(-3, 9)となります。
以上から、|QR| = √{((-1)-(-3))^2+(3-9)^2} = 2√10となります。

# 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
No.87192 - 2024/01/13(Sat) 19:16:53
☆ Re: 円に内接する四角形 / ひき肉です
WIZさん回答ありがとうございます。
理解できました。
No.87193 - 2024/01/13(Sat) 20:43:05
★ 数列の極限 / ぴーたろ
解答は有理化をして「１」なのですが、この解き方のどこが間違っているか教えてください。
No.87188 - 2024/01/12(Fri) 17:14:58
☆ Re: 数列の極限 / ヨッシー
ａとｂの積　ａｂがあって、
　ａ→∞　ｂ→０
だからといって、
　ａｂ→０
とは限りません。

ｎ→∞　のとき
ａ＝ｎ、ｂ＝1/n だと　ａｂ→１
ａ＝ｎ、ｂ＝1/n^2 だと　ａｂ→０
ａ＝ｎ^2、ｂ＝1/n だと　ａｂ→∞
です。
No.87189 - 2024/01/12(Fri) 17:35:48
★ 数学1,A / ささき
この問題の解説をお願いします。
No.87184 - 2024/01/11(Thu) 21:07:32
☆ Re: 数学1,A / ヨッシー
［ア］は省略するとして、
(1)
各点の座標は
　Ｐ：(2t−8, 8−2t)、Ｐ’：(2t−8, 0)
　Ｑ：(t, 10t)、Ｑ’：(t, 0)
であるので、
　△ＯＰＰ’＝(8-2t)^2/2＝2t^2−16t＋32
　△ＯＱＱ’＝5t^2
よって、
　Ｓ＝7t^2−16t＋32　・・・[イウエオカ]
　Ｓ＝7(t−8/7)^2＋160/7
ｔ＝8/7 のときに、最小値 160/7 をとります。　・・・[キクケコサシ]
(i)
ａ≦ｔ≦ａ＋１　にｔ＝8/7 が含まれていれば良いので、
　1/7≦ａ≦8/7　　・・・[スセソタ]

(ii)
ｔ＝8/7　が　ａ≦ｔ≦ａ＋１　の範囲の中央に来る位置より、
この範囲が左にずれていれば良いので、
　0＜ａ≦8/7−1/2＝9/14　　・・・[チツテ]

(2)
ｙ＝2x^2＋bx＋c　(b, c は実数)　のグラフが、３点Ｏ，Ｐ，Ｑを通るためには、
　ｃ＝０
　2(2t−8)^2＋b(2t−8)＋c＝8−2t
　2t^2＋bt＋c＝10t
これを解いて、
　ｂ＝５、ｔ＝5/2　・・・[トナ]
このとき、
　ｙ＝2x^2＋5x＝2(x＋5/2)^2−25/2
となり、ｙ＝2x^2 を
ｘ軸方向に　−5/2、ｙ軸方向に　−25/2　移動したものとなります。　・・・[ニヌネノハヒフ]
No.87186 - 2024/01/12(Fri) 08:54:09
★ (No Subject) / RT
?C番おねがいします🤲🤲🤲
No.87175 - 2024/01/10(Wed) 22:34:55
☆ Re: / RT
> 4ばんおねがいします🤲🤲🤲
No.87176 - 2024/01/10(Wed) 22:35:26
☆ Re: / X
まず、元々の40℃の飽和ミョウバン水溶液1500[g]の中の
水の重さは、表により
1500[g]×100[g]/(100[g]+25[g])=1200[g] (A)
∴60℃のミョウバン水溶液の中の水の重さは
1200[g]+500[g]=1700[g]
ゆえ、この水を飽和させるミョウバンの重さは
表により
60.2[g]×1200[g]/100[g]=722.4[g] (B)
一方、元々の水溶液中のミョウバンの重さは
(A)と同様にして
1500[g]×25[g]/(100[g]+25[g])=300[g] (C)
(B)(C)より求める重さは
722.4[g]-300[g]=422.4[g]
No.87177 - 2024/01/10(Wed) 22:47:26
☆ Re: / RT
最後までお願いしたです🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️
No.87178 - 2024/01/10(Wed) 23:05:51
☆ Re: / X
No.87177を書き直しましたので、再度ご覧下さい。
No.87181 - 2024/01/11(Thu) 17:09:35
☆ Re: / WIZ
> Xさん
計算間違いをされていると思います。

> 60.2[g]×1200[g]/100[g]=722.4[g] (B)
60.2*1700/100 = 1023.4です。

> 722.4[g]-300[g]=422.4[g]
1023.4-300 = 723.4です。
No.87182 - 2024/01/11(Thu) 19:02:16
☆ Re: / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞RTさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
No.87185 - 2024/01/12(Fri) 06:25:57
★ (No Subject) / りぢき
a(n)の一般項を求めてください。
No.87166 - 2024/01/10(Wed) 17:13:40
☆ Re: / WIZ
n ≧ 2のとき、k, mを未知数として漸化式の両辺にk(5^(n-1))+mを加えます。

a[n] = 3a[n-1]+2(5^(n-1))-2
⇒ a[n]+k(5^(n-1))+m = 3a[n-1]+(k+2)(5^(n-1))+(m-2)

ここで、k = 5(k+2)/3かつm = (m-2)/3となるようにk, mを定めます。
3k = 5k+10 ⇒ k = -5
3m = m-2 ⇒ m = -1
よって、
a[n]+(-5)(5^(n-1))-1 = 3a[n-1]+(-3)(5^(n-1))-3
⇒ a[n]-(5^n)-1 = 3{a[n-1]-(5^(n-1))-1}

上記から、a[n]-(5^n)-1は公比3の等比数列で、
初項はa[1]-(5^1)-1 = 3-5-1 = -3なので、
a[n]-(5^n)-1 = (-3)(3^(n-1)) = -(3^n)
⇒ a[n] = (5^n)-(3^n)+1

上記はn = 1でも成り立ちますので、一般項はa[n] = (5^n)-(3^n)+1となります。
No.87167 - 2024/01/10(Wed) 18:01:58
☆ Re: / りぢき
非常に大変ありがとうございます！！！
No.87169 - 2024/01/10(Wed) 20:07:40
☆ Re: / ast
蛇足:
本質的に上記 WIZ さんと同じ解法だが, 当該の漸化式は行列で (a[n]; 5^n; 1) = ((3,2,-2); (0,5,0); (0,0,1)) . (a[n-1]; 5^(n-1); 1) と書ける (ただし ";" は縦, "," は横に並べる) から, (a[n]; 5^n; 1) = ((3,2,-2); (0,5,0); (0,0,1))^(n-1) . (a[1]; 5^1; 1).
この行列の冪の計算は, 対角化すれば
　((3,2,-2); (0,5,0); (0,0,1)) = ((1;0;0), (1;1;0), (1;0;1)) . ((3,0,0); (0,5,0); (0,0,1)) . ((1;0;0), (1;1;0), (1;0;1))^(-1)
だから, もちろん ((1;0;0), (1;1;0), (1;0;1))^(-1). (a[n]; 5^n; 1) = (a[n]-5^n-1; 5^n; 1) に注意して,
　(a[n]-5^n-1; 5^n; 1) = ((3^(n-1),0,0); (0,5^(n-1),0); (0,0,1^(n-1))) . (a[1]-5^1-1; 5^1; 1)
と WIZ さんの回答と同じ形で書いてもいいが, 結局 (a[n]; 5^n; 1) = (-3^n+5^n+1; 5^n; 1).
No.87187 - 2024/01/12(Fri) 14:24:40
★ 至急教えて下さい！ / 車
（4）がわかりません。
よろしくお願いします。
No.87165 - 2024/01/09(Tue) 19:17:14
☆ Re: 至急教えて下さい！ / X
(1)(2)の結果から
{a[n]}は下に有界な単調減少列なので収束。
そこで
lim[n→∞]a[n]=A (A)
(Aは有限確定値)
と置くと(1)の結果により
A＞lim[n→∞]b[n]
これと(3)の結果から
{b[n]}は上に有界な単調増加列なので収束。
∴
lim[n→∞]a[n]=B (B)
(Bは有限確定値)
と置くことができます。
よって問題の二つの漸化式において
n→∞
とすると
A=(A+B)/2 (C)
4B^3=(3A^2+B^2)B (D)
(C)より
A=B
このとき(D)も成立。
∴(与式)=A-B=0
No.87168 - 2024/01/10(Wed) 19:17:10
☆ Re: 至急教えて下さい！ / 車
ありがとうございます。
はさみうちを利用した解答はありますか？
No.87170 - 2024/01/10(Wed) 20:44:33
☆ Re: 至急教えて下さい！ / IT
横から失礼します。
「n→∞とすると　A=(A+B)/2 」だけで　A-B=0が言えてるのでは？
（「このとき(D)も成立」　は、言わなくても良いのでは？）
No.87171 - 2024/01/10(Wed) 21:23:53
☆ Re: 至急教えて下さい！ / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
A=Bが(D)でも成立していると書くべきでした。

＞＞車さんへ
ごめんなさい。No.87168を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。
No.87172 - 2024/01/10(Wed) 21:52:18
☆ Re: 至急教えて下さい！ / X
＞＞はさみうちを利用した解答はありますか？

問題の漸化式から
a[n]-b[n]={a[n-1]+b[n-1]}/2-b[n]
これより
a[n]-b[n]={a[n-1]-b[n-1]}/2+(b[n-1]-b[n])
∴(3)の結果から
a[n]-b[n]＜(1/2){a[n-1]-b[n-1]}＜…＜{a[1]-b[1]}(1/2)^(n-1)
これと(1)の結果から
0＜a[n]-b[n]＜{a[1]-b[1]}(1/2)^(n-1)
∴はさみうちの原理により
(与式)=0
No.87174 - 2024/01/10(Wed) 22:27:32
☆ Re: 至急教えて下さい！ / 車
> ＞＞はさみうちを利用した解答はありますか？
>
> 問題の漸化式から
> a[n]-b[n]={a[n-1]+b[n-1]}/2-b[n]
> これより
> a[n]-b[n]={a[n-1]-b[n-1]}/2+(b[n-1]-b[n])
　
この式の意味を教えて下さい！
No.87179 - 2024/01/10(Wed) 23:24:45
☆ Re: 至急教えて下さい！ / 車
> > ＞＞はさみうちを利用した解答はありますか？
> >
> > 問題の漸化式から
> > a[n]-b[n]={a[n-1]+b[n-1]}/2-b[n]
> > これより
> > a[n]-b[n]={a[n-1]-b[n-1]}/2+(b[n-1]-b[n])
> 　
> この式の意味を教えて下さい！
理解しました。
ありがとうございます
No.87180 - 2024/01/10(Wed) 23:32:38
★ 高校数学２・B　数列 / ゼン
この問題の解説をお願いします。
No.87163 - 2024/01/08(Mon) 02:06:26
☆ Re: 高校数学２・B　数列 / IT
ア、イも分かりませんか？
分からないようなら、教科書で「等差数列」「等比数列」を復習されることをお勧めします。
No.87164 - 2024/01/08(Mon) 07:21:14
★ 高校数学1・A / うい
下の問題の解説をおねがいします。
No.87159 - 2024/01/05(Fri) 22:51:19
☆ Re: 高校数学1・A / X
方針を。

(*)を平方完成すると
y=2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2+10a+1
y=2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1
∴頂点の座標は
(a+1,-2a^2+6a-1)

よって
(1)Gがx軸に接するとき
-2a^2+6a-1=0
これを解くと…

(2)
前半)
-1≦x≦3とGの対称軸の位置関係で場合分けします。
従って場合分けは
(i)-1≦a+1≦3、つまり-2≦a≦2のとき
(ii)a+1＜-1、つまりa＜-2のとき
(iii)3≦a+1、つまり2≦aのとき
(i)(ii)(iii)それぞれのときのGの概形を描くと
(i)のとき
m=(x=a+1のときの(*))=…
(ii)のとき
m=(x=-2のときの(*))=…
(iii)のとき
m=(x=2のときの(*))=…

後半)
前半の結果を使って、(i)(ii)(iii)それぞれで
m=7/9のときのaの方程式を立てて解き
その結果が(i)(ii)(iii)それぞれのaの値の範囲に
含まれるかをチェックします。
No.87160 - 2024/01/06(Sat) 08:39:57
☆ Re: 高校数学1・A / 位相空間を中和
>Xさん
横から失礼します。
グラフの頂点ですが、(a+1,-2a^2+6a-1)だと思います。
No.87161 - 2024/01/06(Sat) 13:57:14
☆ Re: 高校数学1・A / X
＞＞位相空間を中和さんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞ういさんへ
ごめんなさい。位相空間を中和さんの仰る通りです。
No.87160を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.87162 - 2024/01/06(Sat) 18:03:42
☆ Re: 高校数学1・A / うい
Xさん、位相空間を中和さん、ありがとうございました。
本当に助かりました
No.87183 - 2024/01/11(Thu) 21:06:15
★ 数3 積分 / 山田山
点線より下で何をしているのか分かりません。解説お願いします。
No.87145 - 2024/01/03(Wed) 22:49:37
☆ Re: 数3 積分 / 山田山
問題はこちらです
No.87146 - 2024/01/03(Wed) 22:50:18
☆ Re: 数3 積分 / ast
「面積を求めるべき領域は左ページの右下の図の通りなので,
　[i] y=y_2(x), y=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
　[ii] y=-a, y=y_3(x), x=a で囲まれた領域
の合併で全領域を覆うことができて, 覆いすぎている
　[iii] y=y_1(x), x=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
　[0] 円 (糸巻) 全体
を除けばいい」という至極泥臭いが当然の内容を, 各領域の面積をこれまた愚直に積分の式として書いてあるだけだと思います.
# もし「求めるべき領域 (とくに P が描く「円の伸開線」) を何もない状態からイメージを描け」
# というのであるならば初学者には酷な話となりもするだろうけれど, いまはそうではなくて,
# 式も図も揃った状態で面積を求めようというのだから, 積分と面積の関係というすごく基本的な話です.
No.87148 - 2024/01/04(Thu) 03:12:50
☆ Re: 数3 積分 / 山田山
回答ありがとうございます。
私の疑問としてはy=f_2(x)とy=aで区間積分した場合、y=aより下の積分区間が出るのかと言う事です。数学2まではy=f_2(x)とy=aの上の区間、y=f_2(x)とy=aとy=-aの間の区間と積分してきました。なぜ、この解答のように積分できるのか教えていただけると幸いです。
No.87155 - 2024/01/04(Thu) 21:20:52
☆ Re: 数3 積分 / ast
あなたの使う記号や用語が滅茶苦茶なので何言ってるのか全く分からない (例えば「区間」は一次元 (直線上) で考えるものなので下の区間とか上の区間とかどこを指したいのか分からない, 積分区間ということなら x に関する言及のはずなのに y についてしかあなたは述べていない. またf_2(x) は何 (とくに "_2" は何の 2) を表してる? ) のでもっときちんと内容を推敲してから書いてください.

もし
> y=f_2(x)とy=aで区間積分した場合、y=aより下の積分区間が出るのか
が "y=y_2(x) と y=-a で挟まれた領域" (の "y=y_2(x) と y=-a の交点の x-座標 x=-3πa/2" から x=πa/2 までの区間での積分): つまり No.87148[i] の領域 (の面積), の誤りという話ならば, [i] は y=-a の上側 (かつ y=y_2(x) の下側) の領域の話なのだから, y=-a より下側の領域の面積なんて出るわけがない.
図の y=-a よりも下側の領域の話は [ii] で, とくに y=y_2(x) はその領域には関わりが無いので疑問に思う理由が分からない.
# 関わりが無いといえば, y=-a と異なり直線 y=a はいずれの領域にもかかわりない.

> 数学2まではy=f_2(x)とy=aの上の区間、y=f_2(x)とy=aとy=-aの間の区間と積分してきました。
これも全く意味が分からない (とくに後者は概念として何がしたいのか分からないので, 実際に既習の内容を正しく表してないと思う) ので, この文の解釈を放棄することにするが, 一般論として数学2まででも (f(x),g(x) は例えば二次函数などに限るとしても,)
　(*)「二つの曲線 y=f(x),y=g(x) が x 座標が x=α,x=β となるような2点で交わり, かつ α≤x≤β ならば常に f(x)≤g(x) となっているとき, 二つの曲線 y=f(x),y=g(x) で囲まれる領域の面積を求めよ」
というような積分の問題はきっと既出のはずだから, いまさら教えることなどないのではないか.
# 面積を得るのに最もつまづきやすい部分は「符号」の間違いで, それは
# ∫_[α,β]|f(x)-g(x)|dx のように絶対値を忘れずにつけるか,
# 曲線の上下を最初からきちんと意識して g(x)-f(x) (「上」引く「下」) の積分と思うか
# (どっちが覚えやすい・間違えにくい方法かは個人によって違うとは思うが)
# そういう形で十分に注意があったはずの内容だと思う.
## 例えばもし (上の設定と異なり) 途中で曲線の上下が入れ替わるような設定の問題では,
## 入れ替わる所で積分を分けた経験があるでしょ.
# いずれにせよ本問においては
#　 [i] では y=y_2(x) が「上」, y=-a が「下」;
#　 [ii] では y=-a が「上」, y=y_3(x) が「下」;
#　 [iii] では y=y_1(x) が「上」, y=-a が「下」
# になってるだけで, 面積が出る理由は全部 (*) と同じ理屈.
No.87156 - 2024/01/04(Thu) 23:43:53
☆ Re: 数3 積分 / 山田山
回答ありがとうございます。
ようやく理解する事が出来ました。あくまでその関数(軌跡)内での話である前提を理解できておらず
———————————————————
　[i] y=y_2(x), y=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
　[ii] y=-a, y=y_3(x), x=a で囲まれた領域
の合併で全領域を覆うことができて, 覆いすぎている
———————————————————
この部分を理解できていませんでした。
本当にありがとうございました。
No.87158 - 2024/01/05(Fri) 12:17:10
★ 確率 / 位相空間を中和
0~9までの10個の数字がランダムに書かれたくじが20枚あります。当たりの数字は1つだけです。3枚当たる確率を求めなさい。
という問題なんですが、どうやって解いたらいいですか。
自分の回答は、
1枚当たる確率は10分の1,3枚だから3をかけて10分の3としました。
No.87143 - 2024/01/03(Wed) 21:28:41
☆ Re: 確率 / らすかる
20枚の中にちょうど3枚当たりの数字がある確率ということでしたら、
(1/10)^3×(9/10)^17×20C3
=950599356880994433/5000000000000000000
となります。
No.87147 - 2024/01/04(Thu) 00:21:59
☆ Re: 確率 / 位相空間を中和
ありがとうございました！
「3枚以上」のときはどうなりますか？
No.87149 - 2024/01/04(Thu) 10:00:47
☆ Re: 確率 / 位相空間を中和
(1/10)^3×(9/10)^17×20C3 ←3回当たる確率
(1/10)^4×(9/10)^16×20C4 ←4回当たる確率
(1/10)^5×(9/10)^15×20C5 ←4回当たる確率
これを20回までやって足せばいいですか？
つまり、以下の式で合っていますか？
No.87150 - 2024/01/04(Thu) 10:15:52
☆ Re: 確率 / らすかる
はい、合っています。
ただし、「3枚以上」ならば「全体」から「2枚以下」を引いた方が計算は楽になります。
No.87151 - 2024/01/04(Thu) 11:03:46
☆ Re: 確率 / 位相空間を中和
ありがとうございます！
No.87154 - 2024/01/04(Thu) 17:33:27
★ 三角比 / A
数I三角比の問題です。三角形ABCにおいて
(a -c cosB)sinA= (b -c cosA)sinB
が成り立つ理由がわかりません。解説お願いします。
No.87137 - 2024/01/03(Wed) 16:10:32
☆ Re: 三角比 / X
△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理、余弦定理により
(左辺)={a-c・(a^2+c^2-b^2)/(2ac)}・a/(2R)
={a^2-(a^2+c^2-b^2)/2}/(2R)
=(a^2-c^2+b^2)/(4R)
(右辺)={b-c・(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}・b/(2R)
={b^2-(b^2+c^2-a^2)/2}/(2R)
=(a^2-c^2+b^2)/(4R)
∴(左辺)=(右辺)
No.87138 - 2024/01/03(Wed) 18:08:04
☆ Re: 三角比 / A
ありがとうございます。
No.87140 - 2024/01/03(Wed) 18:21:20
★ Σの書き方 / cat
数列の和Σでｋの式を他の文字で書いたとき、ｓの範囲で？と？？を教えてください。

ｔ＝ｋ＋３とおくと
＜ｋ＝１→ｋ＝ｎ＞Σ（k+3)
=4+5+6+…+(n+3)
=＜ｔ＝４→ｔ＝ｎ＋３＞Σｔ


s＝3k+1とおくと
＜ｋ＝１→ｋ＝ｎ＞Σ（3k+1)
=4+7+10+…+(3n+1)
=＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ
No.87132 - 2024/01/03(Wed) 11:00:29
☆ Re: Σの書き方 / X
＞＞=4+7+10+…+(3n+1)
の隣り合う項の階差は1ではありませんので
＞＞=＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ
の形には書けません。
No.87134 - 2024/01/03(Wed) 11:27:16
☆ Re: Σの書き方 / cat
t＝3x+1とおくと
∫＜x＝１→x＝ｎ＞（３ｘ＋１）dx
=∫＜４＝１→x＝3n+1＞t(1/3) dｔ
のように,
s＝3k+1とおいたら、1/3などを使って
＜ｋ＝１→ｋ＝ｎ＞Σ（3k+1)
＝＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ(1/3)などのようにできるのですか？
No.87144 - 2024/01/03(Wed) 22:37:09
☆ Re: Σの書き方 / X
No.87134でも書きましたが、もう少し詳細を。

高校数学で使うΣのパラメータは、階差が1の整数に
限られます。
教科書に書かれているのは
Σ[k=1〜n]
とか
Σ[k=0〜n-1]
といったものですが、例えば
Σ[k=-10〜10]
といったものも定義できます。

しかし
s＝3k+1
と置いた場合は、sの階差は3であるので
＞＞＝＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ(1/3)
の形には書けません。


注)
大学の講義で使う教科書などの専門書では
議論の過程で、ある関数に対して、
パラメータを変化させて和を取る
という意味で
Σ[(和を取るパラメータの条件)]〜
という形で書く場合もあるにはあります。
その意味で書くのであれば
s=3k+1
と置いたとき
Σ[k=1〜n](3k+1)=Σ[s=3k+1,kはn以下の自然数]s (A)
と書くこともできます。
しかし、(A)の式の書き方は明らかに冗長で、置き換える意味がありません。
No.87152 - 2024/01/04(Thu) 15:33:05
☆ Re: Σの書き方 / X
もう一点回答を。

＞＞t＝3x+1とおくと
＞＞∫＜x＝１→x＝ｎ＞（３ｘ＋１）dx
＞＞=∫＜４＝１→x＝3n+1＞t(1/3) dｔ
ですが、これは区間が連続している実数ですので
Σの場合とは条件が異なります。
No.87153 - 2024/01/04(Thu) 15:44:50
☆ Re: Σの書き方 / cat
Xさんの解答で理解できました。
ありがとうございました
No.87157 - 2024/01/05(Fri) 01:56:27
★ 円 / ひき肉です
AB=5、AC=4、BC=3の三角形ABCについて、CからABに垂線CDを引く。またABを直径とする円Oとする。さらにCD、AB、円Oに接する円Pとする。円Oと円Pの接点をE、CDと円Pの接点をFとする。
このとき、O、P、Eは同一直線上にあることを示せ。またA、E、Fは同一直線上にあることを示せ。

さっぱりです。
よろしくお願いします。
No.87131 - 2024/01/02(Tue) 22:29:31
☆ Re: 円 / X
前半)
点Eにおける円Oの接線をLとすると、条件からLは
点Eにおける円Pの接線でもあるので
OE⊥L,PE⊥L
∴点O,P,Eは同一直線上にある。

後半)
条件から△ABC∽△BCDゆえ
BD=(BC/AB)BC=9/5
∴AD=5-9/5=16/5 (A)
∴円Pの半径をrとすると
△OHPにおいて三平方の定理により
(5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
これをr＞0に注意して解くと
r=6/5 (B)

さて
条件から△EFPと△OHPに注目することにより
∠EFP=(1/2)HOP
∴∠DAF=∠(1/2)HOP (P)
が示せれば、PF//ABにより、
A,E,Fが同一直線上にある
ことが示せますので、(P)を証明します。
まず(A)(B)より
tan∠DAF=DF/AD=(6/5)/(5-16/5)
=2/3 (C)
一方
cos∠HOP=OH/OP=(5/2-16/5+6/5)/(5/2-6/5)
=(1/2)/(13/10)
=5/13 (D)
(C)(D)より
{tan(∠HOP/2)}^2=(1-cos∠HOP)/(1+cos∠HOP)
=8/18=4/9
={tan(∠DAF)}^2
∴tan(∠HOP/2)＞0,tan(∠DAF)＞0より
tan(∠DAF)=tan(∠HOP/2)
条件から
0＜∠DAF＜π/2,0＜∠HOP＜π/2
∴∠DAF=∠HOP/2

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.87133 - 2024/01/03(Wed) 11:24:53
☆ Re: 円 / WIZ
> Xさん

> △OHPにおいて三平方の定理により
> (5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
> これをr＞0に注意して解くと
> r=6/5 (B)

上記は|OH|^2+|HP|^2 = |OP|^2を計算していると思いますが、
|OH| = |OD|+|DH|かつ、|DH| = rかつ、
|OD| = |AD|-|AO| = 16/5-5/2 = 7/10より、
|OH| = 7/10+rとなります。
つまり、(7/10+r)^2+r^2 = (5/2-r)^2から、r = 4/5となります。

> tan∠DAF=DF/AD=(6/5)/(5-16/5)
> =2/3 (C)

Xさんご自身で、|AD| = 16/5を導ていているのに、何故分母が5-16/5になるのでしょう?
tan(∠DAF) = |DF|/|AD| = (4/5)/(16/5) = 1/4です。


> cos∠HOP=OH/OP=(5/2-16/5+6/5)/(5/2-6/5)
> =(1/2)/(13/10)
> =5/13 (D)

cos(∠HOP) = |OH|/|OP| = (7/10+4/5)/(5/2-4/5) = 15/17です。


> {tan(∠HOP/2)}^2=(1-cos∠HOP)/(1+cos∠HOP)
> =8/18=4/9
> ={tan(∠DAF)}^2

tan((∠HOP)/2)^2 = (1-cos(∠HOP))/(1+cos(∠HOP)) = (1-15/17)/(1+15/17) = 1/16
よって、tan(∠DAF)^2 = (1/4)^2 = 1/16 = tan((∠HOP)/2)^2
No.87135 - 2024/01/03(Wed) 14:21:35
☆ Re: 円 / ひき肉です
お返事ありがとうございます。

Xさん

> 後半)
> 条件から△ABC∽△BCDゆえ
> BD=(BC/AB)BC=9/5
> ∴AD=5-9/5=16/5 (A)
> ∴円Pの半径をrとすると
> △OHPにおいて三平方の定理により
> (5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
> これをr＞0に注意して解くと
> r=6/5 (B)

WIZさんの指摘のr=4/5ではないでしょうか？
私も計算したらそうなりました。


> さて
> 条件から△EFPと△OHPに注目することにより
> ∠EFP=(1/2)HOP
> ∴∠DAF=∠(1/2)HOP (P)
> が示せれば、PF//ABにより、
> A,E,Fが同一直線上にある
> ことが示せますので、(P)を証明します。

この中で
> EFP=(1/2)HOP
がわかりません。これは成立すると言えるのでしょうか？



また回答を読んでおもいついたのですが

PF//AB、前半のO、P、Eが同一直線上にあることから同位角から
∠AOE＝∠FPE
が言えて、△EFPと△OHPは二等辺三角形であるので底角が等しいので△EFP∽△OHPである。
よって∠OEA＝∠PEFからA、E、Fは同一直線上にある。

ではダメでしょうか？
No.87136 - 2024/01/03(Wed) 15:40:28
☆ Re: 円 / WIZ
# 私が口を出すのは差し出がましいけど・・・。

> この中で
>> EFP=(1/2)HOP
> がわかりません。これは成立すると言えるのでしょうか？

△EFPは、|EP| = |FP| = r(円Pの半径)であり二等辺三角形と言えます。
よって、∠EFP = ∠FEPです。

直線OEの内、円Pの内部の部分を考えれば∠OPE = πです。
よって、∠FPO = π-∠EPF = π-(π-2∠EFP) = 2∠EFPとなります。

FP // HOなので、∠FPOと∠HOPは平行線の錯角となり、
2∠EFP = ∠FPO = ∠HOP
⇒ ∠EFP = (1/2)∠HOPとなります。

> PF//AB、前半のO、P、Eが同一直線上にあることから同位角から
> ∠AOE＝∠FPE
> が言えて、△EFPと△OHPは二等辺三角形であるので底角が等しいので△EFP∽△OHPである。
> よって∠OEA＝∠PEFからA、E、Fは同一直線上にある。

上記の△OHPが△AEOの書き間違いなら正しく、一番エレガントだと思います。
No.87139 - 2024/01/03(Wed) 18:10:24
☆ Re: 円 / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞ひき肉ですさんへ
ごめんなさい。rの計算間違いを含め、
WIZさんの仰る通りです。
No.87141 - 2024/01/03(Wed) 18:28:46
☆ Re: 円 / ひき肉です
Xさん、WIZさん
理解できました。ありがとうございました。
No.87142 - 2024/01/03(Wed) 20:33:43
★ 2等分線の証明 / A
高校1年数Aの問題です。
三角形ABCの内心をIとし角Aの2等分線と角Bの外角の2等分線の交点をPとする時三角形ABCの外接円は線分IPを2等分することを証明せよ。
点P を通る三角形IBCの外接円Oを書き、角の大きさと辺の長さの関係を書き込んだのですが、どのように証明すれば良いのかわかりません。どのように証明すれば良いですか。
No.87127 - 2024/01/02(Tue) 15:19:27
☆ Re: 2等分線の証明 / A
図はこれです。
No.87128 - 2024/01/02(Tue) 15:20:55
☆ Re: 2等分線の証明 / ヨッシー
よくある問題で、
こちらなどにも質問と回答があります。
No.87129 - 2024/01/02(Tue) 16:52:25
☆ Re: 2等分線の証明 / A
ありがとうございます。
No.87130 - 2024/01/02(Tue) 17:06:04
★ (No Subject) / 雪だるま
一辺の長さがLの正方形の折り紙が3枚ある。3枚とも図1のように対角線においてある一定の同じ角度で山折りにする。それら3枚を組み合わせることによりすべての面が合同である直角二等辺三角形によって構成される六面体ABCDEを作ることができる。その六面体ABCDEはxyz空間に図2で示すように以下の通りに配置する

●点Aは原点Oと一致する
●点Cはzx平面上にある
●点Eはx軸上にある

→ABを成分表示せよ

(解答)
題意から3点A,C,Eはzx平面上にある
AC＝AE＝CE=√L2+L2=√2L
Zx平面において△ACEは一辺の長さが√2Lの正三角形であり△BCE，△BAC，△BEAはいずれも直角二等辺三角形であるから点Bから平面に垂線BHを下すと点Hは△ACEの重心である。よって点A(0,0,0),点C((√2)/2 L,0 (√6)/2L)点E(√2L,0,0)より
点H(1/3 (0+√2/2 L+√2L),0,１/３(0+(√6)/2L+0))
すなわち点H((√2)/2 L,0,(√6)/6 L)
よって点B(√2/2 L，y，√6/6 L)とおくと
AB2＝((√2)/2 L)2+y2+((√6)/6L)2=L2
よりy2=L2-2/3L2=1/3L2

<図2＞より点Bのy座標はy<0であるのでy=-(√3)/3L
これより点B(√2/2 L，-(√3)/3 L，√6/6 L)となるので
→AB=((√2/2 L，-(√3)/3 L，√6/6 L)

って書いてあるんですが3枚の折り紙をどう配置したらいいのかさっぱり分かりません。具体的(図とか使って)に説明してもらえませんでしょうか。よろしくお願いします
No.87124 - 2023/12/31(Sun) 23:38:56
☆ Re: / X
底面が辺の長さL√2の正三角形で他の辺の長さがLである
四面体を2つ用意し、底面を貼り合われば、問題の6面体
ができます。


それで問題の折り紙の張り方ですが、上記の
張り合わせる面である正三角形の各辺が

折り紙の折り線である正方形の対角線になる

ことを踏まえてもう一度考えてみて下さい。
No.87126 - 2024/01/01(Mon) 15:42:23
★ 重心の証明 / A
高校1年数Aの問題です。
三角形ABCの辺AB、ACの中点をそれぞれD、Eとし、Eを通りABに並行な直線とDを通りBEに並行な直線との交点をFとする。点Eは三角形CFDの重心であることを証明せよ。
図形は書いてみたのですが、そこからどのように証明すれば良いのかわかりません。どのようにすればいいですか。
No.87112 - 2023/12/31(Sun) 14:50:34
☆ Re: 重心の証明 / A
写真90°傾いています。すみません。
No.87113 - 2023/12/31(Sun) 14:51:52
☆ Re: 重心の証明 / らすかる
図が正しくありません。まずは正しく描いてみましょう。
正しくないのはFの位置です。
No.87116 - 2023/12/31(Sun) 15:16:14
☆ Re: 重心の証明 / A
これであっていますか。
No.87117 - 2023/12/31(Sun) 15:39:14
☆ Re: 重心の証明 / らすかる
はい、合っています。
BCの中点をG、GFとCDの交点をHとすると
DE=GCかつDE//GCなので四角形DGCEは平行四辺形
よって直線FGはCDの中点を通っているのでFHは△FDCの中線
四角形BGEDも四角形BEFDも平行四辺形なのでGE=EF
そして四角形DGCEが平行四辺形であることからEG=2EHなのでFE：EH=2：1
従ってEは中線FHを2：1に内分する点なので、△CFDの重心。
No.87119 - 2023/12/31(Sun) 17:08:29
☆ Re: 重心の証明 / A
ありがとうございます。
No.87122 - 2023/12/31(Sun) 17:26:25
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