ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 大学への数学

任意の2つの楕円について、重なった部分の面積を求める一般式を導出することはできますか？ただし、それぞれの楕円の長軸・短軸は既知とします。

No.86602 - 2023/10/20(Fri) 13:28:49

☆ Re: / X

かなり雑ですが、
一般に、閉曲線C上の点を(x(t),y(t))(tはパラメータ)
とできるときのCで囲まれた図形の面積Sは
S=(1/2)∫[C](ydx-xdy)
=(1/2)∫[C](x'y-xy')dt
(但し積分路は反時計回りに取ります)
(∵)曲線を含む平面に垂直にz軸を設定することで
３次元に拡張してストークスの定理を使う。

ですので、二つの楕円の軸が平行で、交点が二つの場合
であれば、どうにか計算はできるようです。
(交点の座標をどう表すかの問題で計算結果は
余り綺麗にならないかもですが。)

しかし、一般には、
交点が３つ、４つになる場合
を考えなければならず、更に
二つの楕円の軸が平行でない場合
もありますので計算は煩雑になります。

No.86603 - 2023/10/21(Sat) 11:38:18

★ 一個下は間違えました / チム小3

73÷6のさくらんぼ計算でなぜ間違えてしまうのかを教えてください。
73を70と3にわけました。
70÷6を計算するときに、0を一旦隠して、7÷6＝1あまり1になり、0をどちらにもつけると10あまり10になりました。この時点でおかしいと感じました。なにがいけないのでしょうか？
73を60と13で分けて計算したらちゃんとできました。
なぜ73を70と3にわけるとうまく計算できなかったのでしょうか？
ちなみに、最初の70÷6をするときに0を一旦隠すのは、2桁の割り算がまだできないからです。

No.86592 - 2023/10/17(Tue) 22:21:18

☆ Re: 一個下は間違えました / ヨッシー

一個下の記事は消しましたが、一行目が
>70÷6のさくらんぼ計算で・・・
となっているものでした。

さて、73÷6 の「÷6」とはどういうことでしょうか？
よく、「6つに分ける」という言い方をされますが、
この考え方は、あまり良くなくて、「６が何回引けるか」
というふうに考えましょう。

73個（または70個）のさくらんぼから、
６個持ってきて、６人に１個ずつ上げる、でも良いですし
６個持ってきて、ふくろに入れる、でも良いです。
これを何回かやって、残っている分を「あまり」にしましょう
というのが、「割り切れない割り算」の考え方です。

ですから、70÷6 を、10 あまり 10 （6を10回引いて、10残っている）
も、間違いではありません。
ただ、「もう、これ以上引けない時の残りをあまりにしましょう」という
ルールがありますので、あまりの 10 からもう１回6を引いて
　10 あまり 10　→　11 あまり 4
と直してあげれば、問題ありません。

これに、最初に分けておいた3を加えると、もう１回6が引けますので、
　73÷6＝12 あまり 1
となります。

>2桁の割り算がまだできない
と言われますが、「何回引けるか」が割り算ですので、
引き算が出来れば、2桁でも3桁でも、答えを出すことは出来ます。
ただ、筆算など、便利なやり方は、今後習っていくということです。

No.86593 - 2023/10/18(Wed) 07:33:22

☆ Re: 一個下は間違えました / チム小3

ありがとうございました！

No.86596 - 2023/10/18(Wed) 19:13:55

★ 移項 / あみ

基本的なことですみません。なぜこうなるのか分からない移項があり、ルールのようなものがあれば教えてほしいです。

?@0.14-g=4÷50
　　　↓
?A0.14-4÷50＝g　（gは0.006であることを解かせる問題）

どうして?@を?Aのように変形させられるのでしょうか？
同じ数を足したり引いたりかけたりという移項のルールでは説明できない気がしました。

No.86581 - 2023/10/17(Tue) 09:49:43

☆ Re: 移項 / あみ

文字化けしてしまいましたが、
？＠はまるいち、？Aはまるにを入力していました。

No.86582 - 2023/10/17(Tue) 09:50:31

☆ Re: 移項 / ヨッシー

4÷50 のような割り算（掛け算も）は、足し算、引き算よりも
先に計算します。
移項も足し算、引き算を使った変形ですので、4÷50 は、移項よりも先に行います。

　0.14-g=(4÷50)
と書くとわかりやすいでしょうか。

ちなみに、ｇは0.006 ではなく、0.06 になります。

No.86583 - 2023/10/17(Tue) 10:08:39

☆ Re: 移項 / あみ

さっそくありがとうございます！
0.14-g=(4÷50)
で、
１．()部分を丸ごと左に移項させたということなのでしょうか。
２．左に移項させたので-（）の形になっているのですね？
３．ｇも同じく右に移動させたので＋になっているのですね。
４．移項は今回のような割り算だけでなく、足し算、引き算、掛け算の式も（）の考え方でまるごと移すことができるのですね？数字や英字ひとつ単位でしかできないと思っていました。
５．（）の考え方で式ごと移しても÷や＋はかわらず（÷が×になったりせず）、式の先頭の正負が逆になるだけなのですね。
念のため上の５点を確認させてください。

計算間違えについても教えてくれてありがとうございます！

No.86584 - 2023/10/17(Tue) 10:36:42

☆ Re: 移項 / あみ

上の１－５は
0.14-g=4÷50
　　　↓
0.14-4÷50＝g
の変形理由について詳しく伺っている質問です。

No.86585 - 2023/10/17(Tue) 10:38:37

☆ Re: 移項 / ヨッシー

この問題はわかりますか？
　ａ＋ｂ＋ａ×ｂ
　ｘ－ｙ＋ｘ÷ｚ
は、項がいくつで、それらは何と何ですか？

実際はこういう問題は出ることはなくて、その前段階で、
　ａ＋ｂ＋ａ×ｂ
　ｘ－ｙ＋ｘ÷ｚ
上の式を、×、÷ を使わずに表しましょう。
というのがあります。

これが理解出来れば、項を動かす、という操作の意味が
理解できるのではないかと思います。

ちなみに、一番上の問題の答えは
　３個：ａとｂとａ×ｂ
　３個：ｘと－ｙとｘ÷ｚ
です。

何度も言いますが、項を動かすのです。

No.86586 - 2023/10/17(Tue) 11:11:09

☆ Re: 移項 / あみ

そもそも項の考え方を間違っていたことがわかりました！
とても詳しく丁寧に教えてくださってありがとうございます。
項がただしくわかったので最初の質問についても簡単なことだと理解できました。

No.86587 - 2023/10/17(Tue) 11:22:57

★ 代数学 / まゆき

代数学についての質問です。

問題4.17を教えてください。

よろしくお願いします。

No.86580 - 2023/10/17(Tue) 01:23:27

☆ Re: 代数学 / ast

# 上付きのバーは表記しづらいので, ここでは "^-" で表す:
# 例えば Z_n において n-1 (≡-1 (mod n)) の属する剰余類は (n-1)^- (=(-1)^-).
# (追記:) あと, これは単なる確認だけど, Aff(1,Z_n) の定義中, 行列の成分にある 0,1 は
# Z_n の零元 (加法単位元) 0 と単位元 (乗法単位元) 1.
## 整数の 0, 1 を用いると (記号の濫用で) 0=0^-, 1=1^- (左辺の 0,1 は Z_n の, 右辺の 0,1 は Z の).
## 同様に, 整数の -1 に対して (-1)^- は Z_n の単位元 1 の逆元だから (Z_n の) -1 とも書き得る: i.e. -1=(-1)^-.

(既約剰余類群 (Z_n)^* の定義, および二面体群 D_[2n] の生成元と基本関係式は既知であるものとしてここで解説するつもりはしてないが) 求める同型を与える同型写像 λ: Aff(1,Z_n) → D_[2n]=⟨a,b|a^2=1,b^n=1,aba=b^(-1)⟩ が,
　λ((-1, 0; 0, 1)))=a,
　λ((1, 1; 0, 1))=b
で決まること (この2点での値から λ が Aff(1,Z_n) 上の準同型に延ばせること, 延ばした λ が全単射になること) を見ればよい.
# この議論は φ(n)=2 となる n でのみ有効であることに注意する.

No.86594 - 2023/10/18(Wed) 14:28:19

☆ Re: 代数学 / まゆき

返信ありがとうございます。

各元の位数を計算したりはしたんですが、、、

解説を聞いてもいまいち理解できません。

延ばせるというのもよく分かりません。

n=3の場合のみ示してもらってもよろしいでしょうか。

よろしくお願いします。

No.86595 - 2023/10/18(Wed) 15:45:06

☆ Re: 代数学 / ast

> n=3の場合のみ示してもらってもよろしいでしょうか。
「のみ」は実質無理だと思いますが (単に n (ただし φ(n)=2) と書けばいいだけのところを強いて3と書かない限り, 普通に証明書いたら3,4,6を個別にという証明にはならない).
さりとてこちらが全部の場合を示すという形は ("代行" になってしまうので) 私個人のスタンスとして基本的にとりたくありません (とは言っても結局ほとんどのことは述べてる).

> 延ばせるというのもよく分かりません。
ガチガチの用語で言うなら「定義域の延長 (拡張, 拡大ともいう)」です (これ自体は解析学では頻出の概念なので知らないというのはたぶんないはず). 少なくとも, (用語を知っているかはともかくとして) 線型代数学では「線型写像は基底の行き先で決まる (基底の行き先を決めるとそれを線型に拡張して空間全体で定義された線型写像にできる)」という形で本件のアナロジーが既出なのでは?
# アナロジー (論理的な構造が同じ) だというのは,
# "線型写像"="線型空間という代数系における準同型", "基底"="線型空間の生成系" で,
# 本件が「"群という代数系における準同型" が "群の生成系" での値で決まる」という
# 対比ができるということ.

まあでも, (本質的には同じことのはずだが) 上に書いたのとは逆向きの写像 μ: D_[2n]→Aff(1,Z_n) を考えたほうが記述の見通しが立つかなあと思い直したので少し訂正を述べることにします. すなわち:

二元 a,b で生成される自由群を G, a^2,b^n,(ab)^2 で生成される G の正規部分群を N とすれば D_[2n]=G/N. G から Aff(1,Z_n) への準同型 ν を ν(a)=((-1)^-,0; 0, 1), ν(b)=(1,1; 0,1) (を準同型に拡張したもの) で定めると, N⊂Ker(ν) は容易に確かめられるから, 準同型定理 (の一種) により ν は準同型 μ: D_[2n]→Aff(1,Z_n) (μ(aN)=ν(a),μ(bN)=ν(b)) を誘導する.
(のであとはこの ν が全単射であることを言えばいい)
# 見通し云々は, 上で述べた λ が well-defined であることを直截的に述べるよりは
# 準同型定理 (が含意している μ のそれ) にまかせるほうがいいかなとか,
# μ, ν の Image や Kernel の計算が行列の計算に終始するので,
# とかいったような意味合いです.

No.86601 - 2023/10/19(Thu) 13:27:13

★ 積分（数学?V） / yamada

(2)からがわかりません。
高?Vの問題です。解答がありません、申し訳ありません。

No.86573 - 2023/10/16(Mon) 14:15:35

☆ Re: 積分（数学?V） / WIZ

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

(1)
I = ∫[0, 1]{e^(πx)/(1+e^(πx))}dx, J = ∫[0, 1]{1/(1+e^(πx))}dxとおきます。

I = ∫[0, 1]{(1/π){(1+e^(πx))'}/(1+e^(πx))}dx
= (1/π)[log(1+e^(πx))]_[0, 1] = {log(1+e^π)-log(2)}/π = log((1+e^π)/2)/π

更に、
J+I = ∫[0, 1]{(1+e^(πx))/(1+e^(πx))}dx = ∫[0, 1]{1}dx = [x]_[0, 1] = 1
⇒ J = 1-log((1+e^π)/2)/π = {log(e^π)-log((1+e^π)/2)}/π = log(2(e^π)/(1+e^π))/π

(2)(i)
kとnは自然数として、(k-1)π < x < kπならば、
e^((k-1)π/n) < e^(x/n) < e^(kπ/n)
⇒ 1/(1+e^(kπ/n)) < 1/(1+e^(x/n)) < 1/(1+e^((k-1)π/n))
⇒ ∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2/(1+e^(kπ/n))}dx < ∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2/(1+e^(x/n))}dx < ∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2/(1+e^((k-1)π/n))}dx
# 被積分関数は積分範囲の端点では「<」ではなく「=」になりますが、端点を除けば「<」なので上記不等式は成立します。

ここで、
∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2}dx = ∫[(k-1)π, kπ]{(1+cos(2x))/2}dx
= [x/2+sin(2x)/4]_[(k-1)π, kπ] = π/2
ですので、
π/(2(1+e^(kπ/n))) < ∫[(k-1)π, kπ]f[n](x)dx < π(2(1+e^((k-1)π/n)))
と言えます。

(ii)
I[n] = (1/n)Σ[k=1, n]{∫[(k-1)π, kπ]f[n](x)dx}なので、
(1/n)Σ[k=1, n]{π/(2(1+e^(kπ/n)))} < I[n] < (1/n)Σ[k=1, n]{π/(2(1+e^((k-1)π/n)))}

n→∞のとき区分求積により、
(1/n)Σ[k=1, n]{1/(1+e^(kπ/n))} = (1/n)Σ[k=1, n]{1/(1+e^((k-1)π/n))}
= ∫[0, π]{1/(1+e^x)}dx = log(2(e^π)/(1+e^π))/π
# 上記計算は(1)の結果を利用しました。

以上から、
lim[n→∞]I[n] = (π/2){log(2(e^π)/(1+e^π))/π} = log(2(e^π)/(1+e^π))/2

# 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください。

No.86574 - 2023/10/16(Mon) 17:31:27

★ 過程の計算を知りたいです。 / rada

dy/dz
=(dy/dx)(dx/dz)
={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(x-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(z-1)^(n+2)

よりdy/dz=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(z-1)^(n+2)
の式のyにy={(x-1)^(-1)}^(n) (※x=z)を代入して整理したら

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)と導けるでしょうか？

仮に導ける場合は導くまでの過程の計算をわかりやすく教えて下さい。

No.86572 - 2023/10/16(Mon) 14:09:19

☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / GandB

86542
と同じようにわけのわからん文章だな。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13626498.html
　マルチポスト先の回答者も困惑しているので

> (d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)と導けるでしょうか？

に対する落書きを書く。回答ではなく、落書きであるwww

　上の式の左辺は 1/(z-1) を (n+1)回微分したものであろう。つまり

　　( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)

である。この微分は 1/(z^2-1) を z = -1 の回りに 0 < |z+1| < 2 という条件でローラン展開するとき、普通の二項級数による方法ではなく、留数を利用して展開係数を求めるとき出てくる。たぶん、その '筋' からきたものだろうwwwwww

　　((z-1)^(-1) )^(1) = ((z-1)^(-1) )'　　 = -1(z-1)^(-2)
　　((z-1)^(-1) )^(2) = (-(z-1)^(-2) )'　　=　2(z-1)^(-3)
　　((z-1)^(-1) )^(3) = (2(z-1)^(-3) )'　　= -3!(z-1)^(-4)
　　((z-1)^(-1) )^(4) = (-3!(z-1)^(-4) )'　=　4!(z-1)^(-5)
　これくらいやれば、
　　( (z-1)^(-1) )^(n+1) = (-1)^(n+1)(n+1)!(z-1)^(-(n+2))
　　　　　　　　　　　　 = (-1)^(n+1)(n+1)!/(z-1)^(n+2)
が推定できる。

No.86575 - 2023/10/16(Mon) 18:33:48

☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / rada

ありがとうございます。
あのすいません。

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)の左辺は1/(z-1) を (n+1)回微分したものであろう。
つまり、正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
という事でしょうか？

また、
>>((z-1)^(-1) )^(1) = ((z-1)^(-1) )'　　 = -1(z-1)^(-2)
　　((z-1)^(-1) )^(2) = (-(z-1)^(-2) )'　　=　2(z-1)^(-3)
　　((z-1)^(-1) )^(3) = (2(z-1)^(-3) )'　　= -3!(z-1)^(-4)
　　((z-1)^(-1) )^(4) = (-3!(z-1)^(-4) )'　=　4!(z-1)^(-5)
　これくらいやれば、
　　( (z-1)^(-1) )^(n+1) = (-1)^(n+1)(n+1)!(z-1)^(-(n+2))
　　　　　　　　　　　　 = (-1)^(n+1)(n+1)!/(z-1)^(n+2)
が推定できる。

の部分は( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の右辺に関しての話だと思いますが、私の質問と何の関係があるのでしょうか？
多分、何かしら勘違いな推定をされて書かれたのだと思っています。

No.86577 - 2023/10/16(Mon) 23:30:23

☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / GandB

> つまり、正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
> ( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
> という事でしょうか？
　どっちでもよい。ただ、テキスト形式だとより誤解のない表記がいいのでは。

> ( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
> の右辺に関しての話だと思いますが
　へ？
　左辺と右辺はまったく同じなのだが・・・

No.86579 - 2023/10/17(Tue) 00:47:32

☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / rada

GandB様、ありがとうございます。

頂いた画像の式に関してはf(z)=1/(z-1)の指数がn+1の時、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の右辺と左辺が当たり前ではありますが等しい事を表すために作って頂いた式だとわかりました。

あの申し訳ありません。
>>正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
という事でしょうか？

について、
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)の式と
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の式が等しい事を証明していただけないでしょうか。

No.86588 - 2023/10/17(Tue) 12:44:55

☆ Re: 過程の計算を知りたいです。 / rada

編集です。

GandB様、ありがとうございます。

頂いた画像の式に関してはg(z)=1/(z-1)の指数がn+1の時、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の右辺と左辺が当たり前ではありますが等しい事を表すために作って頂いた式だとわかりました。

あの申し訳ありません。
>>正しくは(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)ではなく、
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)
という事でしょうか？

について、
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)の式と
( d^(n+1)/(dz^(n+1) )( 1/(z-1) ) = ( (z-1)^(-1) )^(n+1)の式が等しい事を証明していただけないでしょうか。

No.86589 - 2023/10/17(Tue) 13:06:02

★ 直角三角形 / えっとうくん

なぜ直角三角形の斜辺の長さは3辺の中で必ず一番長いのか教えていただきたいです。
経緯:グラフ上の2点(a,b) (c,d)間の距離を求めるときに三平方の定理より
=√{(c-a)^2+(d-b)^2}
によりだせると学校で習いました。しかし位置関係によっては、3辺の大小関係は変化するのではないかとおもい疑問に思いました。学校の先生に聞いたところ直角三角形の斜辺がもっとも長くなる、そういうものなの！といわれてしまい、とてもモヤモヤします。
こういう経緯のため、三平方、三角関数はなるべく使わずにユークリット幾何学の公理を用いての証明をお願いします。
要求が多くてすみません。お願いします。

No.86568 - 2023/10/15(Sun) 14:06:32

☆ Re: 直角三角形 / IT

直角三角形の図を載せます。

No.86569 - 2023/10/15(Sun) 16:19:07

☆ Re: 直角三角形 / IT

Aを中心に半径bの円を描き、この円と直線ABとのB側の交点をDとする。
二等辺三角形ACDにおいて、0＜∠ACD＜直角　を使えば、
AC=AD＜ABが言えるのでは？

No.86570 - 2023/10/15(Sun) 16:25:40

☆ Re: 直角三角形 / 黄桃

三角形においては、
*大きい角に対する辺は長い
*(長い辺に対する角は大きい）
ということが言えます。
これより、直角三角形では直角が最大角ですから斜辺が一番長くなります。

この事実は、直観的には、三角形ABCの外接円を書き、中心をOとすれば、辺の長さABは∠AOBの大きさで決まり（逆に辺＝弦が決まれば対応する中心角の大きさも決まる）、中心角の大きさは0と180度の間で角が大きいほど弦も長いから、といえます。

ですが、念のため、以下の図で∠A>∠B を仮定してBC>ACを導いてみましょう。

x=(∠A+∠B)/2, y=(∠A-∠B)/2 とし、Aから∠BAD=y となるように直線を引き、線分BCとの交点をDとします。
仮定から∠A>∠Bなので、DはBC上（両端を含まず）にあります。
このとき、∠CAD=x です。
さらに、∠ADC=∠B+∠y=(∠A+∠B)/2=x だから三角形CADはAC=DCとなる二等辺三角形です。
したがって、CD=ACであり、DはBC上にあるから、BC=BD+DC>DC=ACとなります。

No.86571 - 2023/10/15(Sun) 17:46:17

★ 領域の体積 / 大西

p,q,r,sが0≦p,q,r,s≦1の範囲を自由に動くとき、点(p-q,q-r,r-s)が動きうる領域の体積を求めよ。という問題が分かりません。

点(p-q,q-r)が動きうる領域の面積は1辺の長さが1の正方形の中心が、(-1/2,1/2)から(1/2,-1/2)の線分を動くときの正方形の周とその内部が通過する部分の図形なので、3だと思うのですが、立体になると分からないです。教えてください。

No.86564 - 2023/10/14(Sat) 01:12:45

☆ Re: 領域の体積 / らすかる

z=0つまりr-s=0のとき→0≦r≦1
q=1ならば-1≦p-q≦0,0≦q-r≦1の正方形
q=1/2ならば-1/2≦p-q≦1/2,-1/2≦q-r≦1/2の正方形
q=0ならば0≦p-q≦1,-1≦q-r≦0の正方形
のようになり面積は3（これは(p-q,q-r)の場合と同じ）
z=1/2つまりr-s=1/2のとき→1/2≦r≦1
q=1ならば-1≦p-q≦0,0≦q-r≦1/2の長方形
q=1/2ならば-1/2≦p-q≦1/2,-1/2≦q-r≦0の長方形
q=0ならば0≦p-q≦1,-1≦q-r≦-1/2の長方形
のようになり面積は2
（z=0のときの正方形の上半分がなくなった形）
z=1つまりr-s=1のとき→r=1
q=1ならば-1≦p-q≦0,q-r=0の線分
q=1/2ならば-1/2≦p-q≦1/2,q-r=-1/2の線分
q=0ならば0≦p-q≦1,q-r=-1の線分
のようになり面積は1
よってz=0～1で面積は3～1に直線的に変化するので、z≧0の体積は2
対称性からz≦0の体積はz≧0の体積と同じなので、求める体積は4

No.86566 - 2023/10/14(Sat) 07:55:36

☆ Re: 領域の体積 / 大西

Xさんご返信ありがとうございます。
らすかるさんご回答ありがとうございます。

z=tで切って、2次元の時と同じように考えれば良いのですね。
zに具体的な値を代入すれば立体もイメージすることができますね。
ありがとうございました。

3次元のグラフを描くソフトがあればもう少し立体をイメージすることができそうですね。

No.86567 - 2023/10/14(Sat) 08:39:25

★ 数列について。 / りーちむ

(2)からが分かりません💦

No.86561 - 2023/10/13(Fri) 20:55:35

☆ Re: 数列について。 / りーちむ

高2の数列です！

No.86562 - 2023/10/13(Fri) 20:56:17

☆ Re: 数列について。 / ヨッシー

５ａ＋１０ｄ＝２５　より
　ａ＋２ｄ＝５
　a[3]＝25÷5＝5, a[1]＋a[3]＋a[5]＝3a[3]＝15

(1)
　a[3]＋a[4]＋a[5]＋a[6]＋a[7]＋a[8]＝6a[3]＋15d＝０
　a[3]＝5 より　ｄ＝－２
　ａ＝a[3]－２ｄ＝９

(2)
　(左辺)＝(5-2d)^2＋(5-d)^2＋5^2＋(5+d)^2＋(5+2d)^2
　　＝10d^2＋125＝175
　ｄ＝±√5

この次、何行か欠けているようですが、
　a[1]a[2]a[3]a[4]a[5]＝5(5-2d)(5+2d)(5-d)(5+d)
　　＝5(25－4d^2)(5－d^2)
　から積を求める問題かと思います。

(3)
ａ＋２ｄ＝５　と　ａ＋ｄ＝３　から
　ａ＝１、ｄ＝２

1/a[k]a[k+1]＝1/{a+(k-1)d}(a+kd)
　＝(1/d)[1/{a+(k-1)d}－/(a+kd)]
であるので、
　Σ[k=1～99]1/a[k]a[k+1]＝(1/d)[{1/a－1/(a+d)}＋{1/(a+d)－1/(a+2d)}＋・・・＋{1/(a+98d)－1/(a+99d)}]
　　＝(1/d){1/a－1/(a+99d)}
これに　ａ＝１、ｄ＝２　を代入すると
　(1/2)(1－1/199)＝99/199

No.86563 - 2023/10/13(Fri) 22:43:50

★ 高校１年生の範囲 / 金ちゃん

ファイルの問題の（１）は解けたのですが（２）以下が分かりません。解答は添付しておきました。（１）は相似で解けたので中学生から高校１年生の範囲内で解けるはずなんですが。宜しければお助けを。

No.86557 - 2023/10/09(Mon) 12:56:29

☆ Re: 高校１年生の範囲 / ヨッシー

(1)
方べきの定理より
　ＰＢ・ＰＡ＝ＰＣ・ＰＤ
ＰＣ＝ｘとすると、
　４・６＝ｘ(ｘ＋５)
　ｘ^2＋５ｘ－２４＝０
これを解いて
　ｘ＝３，－８
よって、
　ＰＣ＝３

(2)
チェバの定理より
　(ＡＳ/ＳＤ)(ＤＣ/ＣＰ)(ＰＢ/ＢＡ)＝１
　ＡＳ/ＳＤ＝(ＣＰ/ＤＣ)(ＢＡ/ＰＢ)＝(3/5)(2/4)＝3/10
よって
　ＡＳ：ＳＤ＝３：１０

(3)
メネラウスの定理より
　(ＰＱ/ＱＳ)(ＳＡ/ＡＤ)(ＤＣ/ＣＰ)＝１
　ＰＱ/ＱＳ＝(ＡＤ/ＳＡ)(ＣＰ/ＤＣ)＝(13/3)(3/5)＝13/5
よって
　ＰＱ：ＱＳ＝１３：５

(4)
△ＡＰＤにおける余弦定理からでも出来ますが、ここでは２次方程式で。
　ＰＧ＝ｘ　とすると　ＧＤ＝８－ｘ
ＡＧ^2 を△ＡＰＧ、△ＡＤＧにおける三平方の定理で表すと、
　ＡＧ^2＝36－ｘ^2
　ＡＧ^2＝76－(８－ｘ)^2
よって
　36－ｘ^2＝76－(８－ｘ)^2
　36－ｘ^2＝12＋16x－ｘ^2
　２４＝１６ｘ
　ｘ＝3/2
よって、
　PG=3/2

(5)
(4)の結果より
　cos∠ＡＰＤ＝ＰＧ/ＡＰ＝1/4
△ＡＰＣにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＰ^2＋ＰＣ^2－２ＡＰ・ＰＣcos∠ＡＰＤ
　　＝36＋9－2・6・3・(1/4)
　　＝36＋9－9＝36
よって、
　ＡＣ＝６

(6)
　sin∠ＡＰＤ＝√(1－1/16)＝√15/4
よって
　△ＡＰＤ＝(1/2)ＡＰ・ＰＤsin∠ＡＰＤ＝(1/2)・６・８・√15/4
　　　＝6√15
また
　△ＡＰＤ＝(1/2)ＡＰ・ＡＤsin∠ＰＡＤ
より
　sin∠ＰＡＤ＝２△ＡＰＤ/(ＡＰ・ＡＤ)
　　＝12√15/6√76＝2√15/√76
よって
　cos∠ＰＡＤ＝√(1－60/76)＝√(4/19)
△ＡＢＤにおける余弦定理より
　ＢＤ^2＝ＡＢ^2＋ＡＤ^2－２ＡＢ・ＡＤcos∠ＰＡＤ
　　＝4＋76－2・2・√76・√(4/19)
　　＝4＋76－16＝６４
よって、
　ＢＤ＝８

解答にＢＣ＝８　とあるのは、ＢＤ＝８　の誤りですね。
頑張れ、先生。

No.86558 - 2023/10/09(Mon) 22:06:52

☆ Re: 高校１年生の範囲 / 金ちゃん

どうもありがとうございました。私は「先生」と呼ばれるほどの者ではないですよ(笑)。

No.86559 - 2023/10/12(Thu) 12:45:24

☆ Re: 高校１年生の範囲 / IT

横から失礼します。
ヨッシーさんの＞頑張れ、先生。
は、解答を間違えた　金ちゃんの先生への"カツ"と読むのが自然だと思います。

No.86560 - 2023/10/12(Thu) 13:37:21

★ 最小二乗法に関する証明 / りん

この問題の(1)のαまではまとめられましたが、それ以降がどうしても求まりません。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.86545 - 2023/10/07(Sat) 12:31:48

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん

αを求めた自分の解答です。

No.86546 - 2023/10/07(Sat) 12:32:46

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん

(2)の途中でわからなくなった部分です。

No.86547 - 2023/10/07(Sat) 12:36:30

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X

まず、αを求めている計算ですが、添付写真2枚目の
＞＞○1、○2から
(○1、○2はそれぞれ、○の中に1、○の中に2の意味です。)
の行から3行下の行で両辺を
X[t]-1
で割っている計算が誤りです。
(Σの外にX[t]-1を係数として出すことはできませんので。)

ちなみに○3を導く計算ですが、○2を使わなくても
○1の両辺をnで割って整理すれば求められます。
(ということで、○3を○1に代入することは全く意味がありません。)

次にβの計算ですが、○3に○2を代入した上で
条件である
x[t]=X[t]-X_
y[t]=Y[t]-Y_
(X_,Y_はそれぞれX,Yの上にバーの意味です)
から
Σ[t=1～n]x[t]=0
Σ[t=1～n]y[t]=0
となることを使い、整理をします。

No.86550 - 2023/10/07(Sat) 14:25:35

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X

最後に(2)について。

添付写真３枚目の４行目に
Σ[t=1～n]x[t]=0
Σ[t=1～n]y[t]=0
であることを使います。

No.86551 - 2023/10/07(Sat) 14:31:05

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん

(1)ベータについてです。
ここまで式変形できたのですが、どのように
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
を組み込んでゆくのか、わかりません。
お忙しいところ大変恐縮ですが、解説いただけませんでしょうか。

No.86552 - 2023/10/07(Sat) 15:59:25

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X

添付写真の最終行の左辺から、更にX[t]を消去すると
Σ[t=1～n](x[t]+X_)(βx[t]-y[t])=0
これより
Σ[t=1～n]{βx[t]^2+βx[t]X_-x[t]y[t]-y[t]X_}=0 (A)
ここで
Σ[t=1～n]x[t]=0
Σ[t=1～n]y[t]=0
により、(A)の左辺のΣの中の第2項,第4項が消えて
Σ[t=1～n]{βx[t]^2-x[t]y[t]}=0
∴β=(Σ[t=1～n]x[t]y[t])/Σ[t=1～n]x[t]^2

No.86553 - 2023/10/07(Sat) 21:42:08

☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん

お忙しいところ、ありがとうございました。理解できました。本当にありがとうございます。

No.86556 - 2023/10/08(Sun) 23:17:22

★ テイラー展開についての質問です。 / rada

テイラー展開において疑問があります。

画像の赤い下線部の式はz=0の周りでz=0.001としてテイラー展開してf(0.001)の時の値を導いているのですが、
仮にz=0.001の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...?@
また、
出来れば、z=1の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...?A

この2点について、
どうか、画像にある赤い下線部の式(z=0の周りでz=0.001としてテイラー展開した式)からf(0.001)の値を導くまでの過程の計算のように?@,?Aにおいて、f(0.001)の値を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

ちなみに、?Aに関しては、
ある方から
「f(z)=1/(z^2-1)
でz=1を基準に展開すると
z=1、Δz=-0.999 なら
f(0.001)=f(1-0.999)=f(1)+Σa_n(-0.999)^n
a_n=fのz=1でのn階微分係数/n!
ですか、f(1)やa_1が計算出来ないのは明白ですよね。」
と言われたのですが、これはf(1)やa_1に関してはテイラー展開に含まれる f(a), f’(a), f’’(a)を求めるために使ったf(a)=1/(a^2-1)の分母が0になり数式として成り立たないためf(1)やa_1の時は計算が出来ないという事でしょうか？

仮にそうならば、z=2の周りでz=0.001とした場合はf(0.001)の値が求められるわけでしょうか？...?B

もし求まるなら?Bにおいて、f(0.001)の値を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

No.86542 - 2023/10/05(Thu) 16:10:27

☆ Re: テイラー展開についての質問です。 / rada

z=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合で考えた際にネットから

「z=2を基準にテーラー展開してf(2-1.999)
=f(2)+?蚤_n(-1.999)^n
で求めるという話なら無理。

収束半径内に特異点は存在出来ません。」

と出てきましたが、なぜ無理なのでしょうか？
また、テイラー展開に特異点は関係あるのでしょうか？

「収束半径内に特異点は存在出来ません」と書かれた理由がいまいちわかりません。
どうか理由を教えて頂きたいです。

No.86543 - 2023/10/05(Thu) 18:02:04

☆ Re: テイラー展開についての質問です。 / ポテトフライ

もう何が何やら訳がわからない。

> 赤い下線部の式はz=0の周りでz=0.001として
前者のzと後者ので記号が混同しています。

そもそもaを中心としたテイラー展開の一般的式がどう記述できるかわかっていますか？
f(a+h)=…

収束半径とかの話はそれから考える方が良さそうです。

No.86544 - 2023/10/07(Sat) 12:29:53

★ 微分 / fff

x = a+ b*c
y = a-b
のとき、dx/dyを求めることはできますか？

No.86538 - 2023/10/04(Wed) 03:11:41

☆ Re: 微分 / WIZ

a, b, cがどのような定義かが分からないのですが、
例えば同一の1つのパラメタを用いて、a = a(t), b = b(t), c = c(t)と表せるのなら、
dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) = {da/dt+(db/dt)c+b(dc/dt)}/{da/dt-db/dt}となります。

No.86539 - 2023/10/04(Wed) 11:42:55

☆ Re: 微分 / fff

> a, b, cがどのような定義かが分からないのですが、
> 例えば同一の1つのパラメタを用いて、a = a(t), b = b(t), c = c(t)と表せるのなら、
> dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) = {da/dt+(db/dt)c+b(dc/dt)}/{da/dt-db/dt}となります。　

ご返信ありがとうございます。　勉強になります。
こちらの展開された式（da/dt+...の式）は名前のある公式などがありますか？

No.86540 - 2023/10/04(Wed) 14:17:26

☆ Re: 微分 / WIZ

「合成関数の微分」や「関数の積の微分」を計算に使用していますが、
全体として特に名前の付いた公式ではないと思います。

あと、もう一度言っておきますが、あくまで「a = a(t), b = b(t), c = c(t)」であり、
先程は書きませんでしたが「x = x(t), y = y(t)」と全て同一のパラメタtの1変数関数の場合の例に過ぎません。

a, b, cの依存関係などが異なる場合、私の示した式が必ずしも適切とは言えない場合があるかも知れません。

No.86541 - 2023/10/04(Wed) 16:01:02

★ 追加で失礼いたします… / ふゆ＠中3生

追加での質問です。
何度も何度もすみません。。。

【問】
A=-3x-4y+3,B=5x+3y-1,C=-x-y+3のとき、
3B-5A-2{2C-2(A-B)}の値を求めよ。

解答は、2x+5y-12になっているのですが、何回やってもこの答えにならず……私の計算の仕方が悪いのだとは思いますが…。

こちらも説明していただけるとありがたいですが、無理しなくて大丈夫です。
よろしければ、お願い致します。

No.86531 - 2023/10/03(Tue) 17:55:44

☆ Re: 追加で失礼いたします… / X

値を求める式はできるだけ簡単にしてから、代入をします。

(与式)=3B-5A-4C+4(A-B)
=-B-A-4C
=-(A+B+4C)
=-(2x-y+2-4x-4y+12)
=-(-2x-5y+14)
=2x+5y-14

解答と違いますね。
問題文か、解答のタイプミスはありませんか。

No.86532 - 2023/10/03(Tue) 18:11:56

☆ Re: 追加で失礼いたします… / ふゆ＠中3生

私も、2x+5y-14になるんですけど……
解答が間違っているのでしょうか？(こんなことってありますか？？？)

No.86533 - 2023/10/03(Tue) 18:51:01

☆ Re: 追加で失礼いたします… / ast

> A=-3x-4y+3,B=5x+3y-1,C=-x-y+3のとき、
が例えば
　A=-3x-4y+1,B=5x+3y-1,C=-x-y+3のとき、
や
　A=-3x-4y+3,B=5x+3y-3,C=-x-y+3のとき、
などであれば 2x+5y-12 になるはず.
# A,B,C の定数項をそれぞれ a,b,c とすれば, 求める式の定数項は 3b-5a-2(2c-2(a-b)) (=-(a+b+4c)).

> (こんなことってありますか？？？)
めったにないので質の悪い問題集にでもあたったのでしょう. が, 逆に言えば稀にありますから驚く話でもないと思います.

No.86535 - 2023/10/03(Tue) 19:12:46

☆ Re: 追加で失礼いたします… / ふゆ＠中3生

> > (こんなことってありますか？？？)
> めったにないので質の悪い問題集にでもあたったのでしょう. が, 逆に言えば稀にありますから驚く話でもないと思います.

そうなんですか。
今までこういう問題集を見たことがなかったので、驚きました。次回からは驚かなくなると思いますが。。。
そうですね、わざわざ返事をしてくださってありがとうございます。

No.86537 - 2023/10/03(Tue) 20:29:17

★ 式の計算 / ふゆ＠中3生

何度も質問、すみません💦
本当に初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えてくださるとありがたいですm(_ _)m

例えば、(8)の()の中に、a²とb³があって、それを2乗するって書いてあるじゃないですか。
これって、a²だったら、a⁴、b³だったら、b⁵という解釈でいいのでしょうか？

多分、習っているとは思うのですが、どうしても思い出せなくて……本当に申し訳ありません、よろしくお願い致します。

No.86527 - 2023/10/03(Tue) 17:33:57

☆ Re: 式の計算 / ヨッシー

係数は省略すると、
　(ａ^2ｂ^3)^2＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)^2
　　＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)×(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)
　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
です。
ａがいくつで、ｂがいくつですか？

No.86528 - 2023/10/03(Tue) 17:47:26

☆ Re: 式の計算 / ふゆ＠中3生

> 係数は省略すると、
> 　(ａ^2ｂ^3)^2＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)^2
> 　　＝(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)×(ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ)
> 　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
> です。
> ａがいくつで、ｂがいくつですか？

式の計算？なので、具体的な数字はないです。
ですが、考え方はわかりました！
ありがとうございます！
単純な計算ではないのですね…汗
全く違う計算の仕方をしていました。

No.86530 - 2023/10/03(Tue) 17:54:13

☆ Re: 式の計算 / ast

> > ａがいくつで、ｂがいくつですか？
> 式の計算？なので、具体的な数字はないです。

> 　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
のなかに a が何個 b が何個掛け合わされているか数えるように言われた返答がそれというのはおかしくないですか?

> 単純な計算ではないのですね…汗
x^m×x^n=x^(m+n) や (x^m)^n=x^(m×n) あたりは "単純な計算" ではないですか?

No.86534 - 2023/10/03(Tue) 18:58:11

☆ Re: 式の計算 / ふゆ＠中3生

> > 　　＝ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ×ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｂ
> のなかに a が何個 b が何個掛け合わされているか数えるように言われた返答がそれというのはおかしくないですか?
そういうことだったんですね…理解力がなくてすみません。。。
aが4個で、bが6個です。
失礼いたしました。

> > 単純な計算ではないのですね…汗
> x^m×x^n=x^(m+n) や (x^m)^n=x^(m×n) あたりは "単純な計算" ではないですか?

そうですね
理解力が本当になくてすみません。。。

No.86536 - 2023/10/03(Tue) 20:26:20

★ 濃度の問題 / ふゆ＠中3生

この問題がわかりません。教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
(写真をとるのが下手で、問題が読みづらくてすみません)

No.86513 - 2023/10/01(Sun) 14:58:06

☆ Re: 濃度の問題 / ふゆ＠中3生

ちなみに、x＝210が正解です。
どうやって求めればいいのかわからないので、式なども一緒に説明していただけると助かります。
いつもすみませんが、よろしくお願いします。

No.86514 - 2023/10/01(Sun) 15:00:31

☆ Re: 濃度の問題 / X

条件から、溶液を入れ替えた後のA,Bの濃度について
100{10(300-x)/100+5x/100}/300=100{5(700-x)/100+10x/100}/700
これを解いてxを求めます。

No.86517 - 2023/10/01(Sun) 19:40:00

☆ Re: 濃度の問題 / ふゆ＠中3生

説明していただき、ありがとうございます。
それなのに、また質問してしまいすみません。
説明していただいた式の数字のそれぞれがよくわからないのですが、どうしてこの式で求められるのでしょうか？

> 100{10(300-x)/100+5x/100}/300=100{5(700-x)/100+10x/100}/700

あと、左辺の式の {} の中は、10(300-x)÷100+5x÷100をする、という解釈でいいのでしょうか？？

式の見方すらわかっていなくてすみません。

No.86519 - 2023/10/02(Mon) 05:36:08

☆ Re: 濃度の問題 / X

では少しヒントを。

まず、食塩水を入れ替えた後の
(1)Aに含まれる食塩の重さ
(2)Bに含まれるの食塩の重さ
をそれぞれxで表します。
(問題の方程式の左辺の{}の中は(1)、
右辺の{}の中は(2)に当たります。)

食塩水を入れ替えても、A,Bの食塩水としての
重さはそれぞれ変わりませんので、A,Bの
濃度をxで表すと、どうなりますか？

No.86520 - 2023/10/02(Mon) 07:06:09

☆ Re: 濃度の問題 / X

全く返信がないようなので、食塩水を入れ替えた後の
Aの食塩水の中の食塩の重さ(つまり(1))
について、アップしておきます。

食塩水を入れ替えるためにAからx[g]取り出したとき
Aに残っている食塩水の重さは
300-x[g]
従ってAに残っている食塩水の中の食塩の重さは
10(300-x)/100[g]
一方、Bから取り出したx[g]の食塩水の中の
食塩の重さは
5x/100[g]
従って、食塩水を入れ替えた後のAの食塩水の中の
食塩の重さは
10(300-x)/100+5x/100

(2)についても同じように考えます。

No.86525 - 2023/10/03(Tue) 16:36:31

☆ Re: 濃度の問題 / ふゆ＠中3生

答えてくださっていたのに、返信できなくてすみません！
そういうことなんですね！
丁寧に説明していただき、ありがとうございました！
(次回からはきちんと返信できるよう、頑張ります！)

No.86526 - 2023/10/03(Tue) 17:29:33