ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 偏微分 / aki

(1)(2)の解き方を教えてください
連鎖律を用いて解く感じですか？
初見の問題のため、解法が思いつかないです。

No.72631 - 2021/02/05(Fri) 00:51:56

☆ Re: 偏微分 / ast

解法がとおっしゃいますが, 端的に言って, 単純な計算問題と言って差し支えない内容だと思います. (1) は, 左辺を真面目に計算すれば
　(右辺) - (左辺)
　= ( ω_1*∂f/∂u_1(ω_1,ω_2,ω_3) +ω_2*∂f/∂u_2(ω_1,ω_2,ω_3) +ω_3*∂f/∂u_3(ω_1,ω_2,ω_3) )^2
　(≥ 0)
のような感じの計算結果になるはず. (2) もちゃんと微分すればこの結果とちゃんと結びつきます.

多変数の微分が出てくることを除けばほかに新しいことはなく (その微分についても連鎖律の公式は既知で), とくに不等式の証明に関しては正攻法 (例えば "(右辺)-(左辺) が 0 以上かどうか調べる" とか "(…)^2 (≥ 0)" の形を利用するとかの, 高校までで既に習ったはずの典型的な手法) で攻めれば済む話なので, これを初見だからどうこうというのは, 何か的外れな印象を受けます.

No.72637 - 2021/02/06(Sat) 09:43:50

★ 数学B / 浜松

先日はお世話になりました。

a,b,cは整数、nは0以上の整数とする。座標空間において
a+b+c=0
|a|+|b|+|c|≦2n
を満たす整数の組(a,b,c)の個数を求めよ。

という問題をお教え下さい。よろしくお願いします。

No.72625 - 2021/02/04(Thu) 18:37:52

☆ Re: 数学B / IT

a,b,c の負のものの個数(0個,1個,2個）で場合分けして数えるのが早いのでは？　
（対称性を利用して場合分けを少なくする）

a+b+c=0 を使って変数の個数を１つ減らす。

パターンは（０００）、（＋＋ー）、（＋０－）、（＋ーー）、で、
　（＋＋ー）と（＋ーー）の個数は等しい。

No.72627 - 2021/02/04(Thu) 20:48:39

☆ Re: 数学B / らすかる

別解
a=nのときb+c=-nかつ|b|+|c|≦nなのでb=-n～0のn+1個
a=n-1のときb+c=-n+1かつ|b|+|c|≦n+1なのでb=-n～1のn+2個
a=n-2のときb+c=-n+2かつ|b|+|c|≦n+2なのでb=-n～2のn+3個
・・・
a=1のときb+c=-1かつ|b|+|c|≦2n-1なのでb=-n～n-1の2n個
a=0のときb+c=0かつ|b|+|c|≦2nなのでb=-n～nの2n+1個
a＜0の場合はa,b,cすべての符号を反転すると考えればa=1～nの場合と同数
従って全部で2n+1+2Σ[k=n+1～2n]k=3n^2+3n+1個

No.72630 - 2021/02/04(Thu) 23:41:17

☆ Re: 数学B / 浜松

ITさん
ありがとうございます。早速、教えていただいた指針をもとにチャレンジしてみます！

らすかるさん
詳しい別解ありがとうございます。より深く理解できるよう頑張ります！

No.72634 - 2021/02/05(Fri) 11:45:22

★ 上に有界？ / meow

写真の問題についてですが，
lim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)|　
が存在して有限ということについて質問なのですが，
そもそも(a,b]において常にa<xなので，
(x-a)^β > 0
|g(x)| > 0
より
(x-a)^β |g(x)|　
は下に有界だと言えると思うのですが，上に有界だということはどのように表せるでしょうか？

No.72622 - 2021/02/04(Thu) 05:01:56

☆ Re: 上に有界？ / IT

条件がlim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)|　が存在して有限ということなので、
lim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)|　が上下に有界であることは当然であり、改めて示す必要はないと思いますが？

No.72623 - 2021/02/04(Thu) 12:44:59

☆ Re: 上に有界？ / meow

ITさん回答ありがとうございます．
わかりました．このまま証明を進めてみます．

No.72628 - 2021/02/04(Thu) 21:47:33

☆ Re: 上に有界？ / ast

当然というのには同意ですが,
> 条件がlim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)|　が存在して有限ということなので、
> lim[x,a+0] (x-a)^β |g(x)|　が上下に有界であることは当然
だと, 極限値 lim[x→a+0](x-a)^β|g(x)| の有限性と, 函数 (x-a)^β|g(x)| の半開区間 (a,b] 上 (のとくに x=a の近傍で) の有界性を混同した記述にも読めなくもないので, 少し補足しておきます.

極限 lim[x→a+0](x-a)^β|g(x)| が有限値に確定することを ε-δ で書けば, 任意の ε>0 に対して適当な δ>0 が存在して (a,a+δ) 上では (x-a)^β|g(x)| が所期の極限値+ε よりも小さいことが言えますので, 適当に ε=1 とかに対する δ を何でもいいから一つとります. (この δ が b よりも大きく取れれば話は終わるが, 一般には小さい可能性が消えないので, その場合) あとに残る閉区間 [a+δ,b] 上では函数 (x-a)^β |g(x)| の連続性から, その閉区間上での有界性がしたがいますので, それで半開区間 (a,b] 全体での有界性が出ます (その意味で a 付近での仮定から「当然」言える, ということになります).
# なお, "閉区間上で連続なら有界" は基本的な事項なので既知と想定しましたが,
# 未知であれば非自明な事項なので要証明です.

もとの問題には手を付けていませんが, 仮定の与え方からして |∫g(x)dx|≤∫|g(x)|dx≤(定数)*∫(x-a)^(1/β)dx のような形で適当に評価する話 (そのために「有界性」に言及した) が解説されているのでしょうね.

No.72629 - 2021/02/04(Thu) 23:34:45

☆ Re: 上に有界？ / meow

astさん回答ありがとうございます．
写真のように証明を続けていきたいと思っています．
a付近(a,a+δ)で有界は自明，[a+δ,b]でも有界といえるということでよいでしょうか？

No.72632 - 2021/02/05(Fri) 02:29:56

☆ Re: 上に有界？ / ast

すみません, No.72632 の意図がよくわかりません, もし No.72629 の説明で分かりにくいところがあったという意図であればより具体的に箇所を指定してください (ほとんどのそのままなぞれば証明になるので, むしろ書きすぎたかもしれないとすら考えていました).
> 写真のように証明を続けていきたいと思っています．
全く証明に見えないので意図が読み取れません. 具体的にあなたがきちんとした証明だと思える文章の形にして提示して頂ければ意図が分かるかもしれません.
> a付近(a,a+δ)で有界は自明
No.72629 では具体的な上界を根拠を付けて挙げています. 私自身は No.72629 では「自明」とは一言も言っていませんし, むしろこの文脈でいちばん非自明なところだと思います (実際, もし g の定義域が [a,b] だったなら x→a+0 の極限に関する仮定は不要になる).
> [a+δ,b]でも有界といえるということでよいでしょうか？
訊き返している時点で
>> # 未知であれば非自明な事項なので要証明です.
が当てはまるということではないかと邪推しますが…….

No.72638 - 2021/02/06(Sat) 10:21:38

☆ Re: 上に有界？ / IT

私の回答は、ast さんのご指摘のとおり、適切でなかった（ナンセンスだった）ので無視してください。

No.72640 - 2021/02/06(Sat) 12:10:24

★ 座標 / 並木

高校二年生です。

放物線y=x^2と円x^2+y^2=r^2の第一象限内の交点をPとし、Pにおけるそれぜれの接線とx軸との交点をQ,Rとする。∠QPR=θを最小とする円の半径 rを求めよ、という問題を教えて下さい。

よろしくお願いします。

No.72616 - 2021/02/03(Wed) 21:28:05

☆ Re: 座標 / X

y=x^2 (A)
x^2+y^2=r^2 (B)
とします。

P(X,Y)とすると
Y=X^2 (A)'
X^2+Y^2=r^2 (B)'
0＜X,0＜Y (C)
又(A)より
y'=2x
∴∠PQR=α(但し0＜α＜π/2)
とすると
tanα=2X (D)
一方、(B)のPにおける接線の方程式は
Xx+Yy=r^2 (E)
(C)よりY≠0に注意すると
(E)の傾きは
-X/Y=-1/X (∵)(A)'を代入
∴∠PRQ=β(0＜β＜π/2)
とすると
tanβ=|-1/X|=1/X (F)
更に△PQRの内角により
θ=π-α-β
∴tanθ=-tan(α+β)
=-(2X+1/X)/(1-2X/X) (∵)加法定理
=2X+1/X
∴相加平均と相乗平均の関係から
tanθ≧2√2
(等号成立は2X=1/X、つまりX=1/√2のとき)
よってθが最小となるとき
X=1/√2
これを(A)'に代入して
Y=1/2
∴(B)'から
r^2=1/2+1/4=3/4
となるので
r=(√3)/2

No.72626 - 2021/02/04(Thu) 18:41:37

☆ Re: 座標 / 並木

とても丁寧に教えていただきありがとうございました！

No.72633 - 2021/02/05(Fri) 07:33:27

★ 無限級数 / taka

2つの数列{a_n}{b_n}を次の条件(ア)(イ)を満たすように定める。
（ア）a_1=3,b_1=9である。
（イ）整式x^2+(a_n)x+b_nをx-3で割ったときの商がx+a_{n+1}で,余りがb_{n+1}　（n=1,2,・・・)
(1)a_nを求めよ。
(2)b_nを求めよ。
(3)S_n=?納k=1→n](2/(9k^2-7k+16))で、極限lim[n→∞]S_nを求めよ。
という問題です。よろしくお願いします。

(1)はa_n=3n (2)b_n=(9/2)n^2-(7/2)n+8
まではできていると思うのですが。（３）ができません。

No.72606 - 2021/02/03(Wed) 08:32:48

☆ Re: 無限級数 / ast

その (3) の極限は, WolframAlphaの結果からしても求まりそうにない気配がするし, そもそもそのままの問題文では ((1),(2) を解いていってもそれに繋がりそうな式や関係式は見えてこないので) 不自然に感じるのですが, 正しく問題の内容を提示されていますか? もし元々の文章から何らかの改変があるなら, 意味のない考察が発生したりするだけなので, やめて欲しいところですが.

# たとえば (3) が, もし "S[n]=?納k=1,…,n] 1/b[k] とおくとき, lim[n→∞] S[n] を求めよ" という問題ならば,
# (1),(2) が正しく解けていれば, 部分分数分解で容易に求まる畳み込み級数の話になります.

No.72611 - 2021/02/03(Wed) 12:02:20

☆ Re: 無限級数 / taka

たいへん失礼いたしました。b_nが間違っていました。お手数をおかけしました。

No.72612 - 2021/02/03(Wed) 15:09:40

★ 体積 / 高3

次の問題を教えて下さい。

xyz空間において平面z=1の上に点A(0,0,1)を中心とする半径1の円Cがある。正四面体PQRSをP,QがC上、R,Sがxy平面上にあるようにつくるとき、この正四面体が存在し得る領域の体積を求めよ。

すみませんが、よろしくお願い致します。

No.72604 - 2021/02/03(Wed) 06:18:36

☆ Re: 体積 / X

方針を。

問題の四面体の１辺の長さをlとします。
今、辺PQ,RSの中点をそれぞれTUとすると
PT=RU=l/2
一方
RT=PRsin∠PRQ=lsin(π/3)
=(√3/2)l
∴△RTUにおいて三平方の定理より
TU=√(RT^2-RU^2)=l/√2
条件より、これが平面z=1とxy平面との間の
距離に等しくなるので
l/√2=1
∴l=√2
よって
(辺PQとz軸との間の距離)=(△OPQの辺PQを底辺と見たときの高さ)
=1/√2
となり、問題は
辺PQ,RSがそれぞれ平面z=1,xy平面にあり
辺PQとz軸との距離が1/√2となるような
1辺の長さが√2である正四面体PQRS
をz軸の周りに回転してできる回転体
の体積を求める
ことに帰着します。
(続く)

No.72605 - 2021/02/03(Wed) 08:31:47

☆ Re: 体積 / X

(続き)
なんだかややこしそうですが、正四面体の対称性から
まだかみ砕くことができます。

円Cの中心をO'とすると、
PQ=√2
O'P=O'Q=1
より△O'PQは直角二等辺三角形
そこで
P(1,0,1),Q(0,0,1)
と取った上で、四面体PQRSの
平面z=k (A)
(0≦k≦1)
による断面を考えてみます。

このとき
T(1/2,1/2,1)
∴U(1/2,1/2,0)
で対称性から
PQ⊥RS
に注意すると結局
R(0,0,0),S(1,1,0)
∴△PQRを含む平面の方程式は
x-y-z=0 ((B)
△PQSを含む平面の方程式は
x+y+z=2 (C)

従って(A)による(B)(C)の断面の直線
の方程式はそれぞれ
x-y-k=0 (B)'
x+y+k=2 (C)'
(B)'(C)'とz軸との間の距離をp,qとすると
(B)'(C)'のxy平面への正射影を考え、
点と直線との間の距離の公式を
使うことにより
p=|-k|/√2=k/√2
q=|k-2|/√2
∴(A)による問題の回転体の断面の同心円の
ドーナツ型の図形の面積をS(k)とすると
S(k)=πq^2-πp^2=(π/2){|k-2|^2-k^2}
=2π(1-k)
∴求める体積をVとすると
V=∫[0→1]S(k)dk=∫[0→1]2π(1-k)dk
=π
となります。

No.72607 - 2021/02/03(Wed) 09:00:06

☆ Re: 体積 / 高3

Xさん
こんなに丁寧に方針と解答を書いていただき、感謝の気持ちでいっぱいです。どうもありがとうございます！
自分なりに考えてはみたものの、時間だけが過ぎていき困っていました。引き続き頑張ります！

No.72621 - 2021/02/04(Thu) 00:39:54

★ 楕円 / 豆まき

以下の問題を教えて下さい。

xyz空間で考える。xy平面上の楕円C:x^2+y^2/4=1がある。yz平面上の点P(0,α,β)から楕円Cを眺めるとき、Cが円周に見えるためのα、βの条件を求めよ。

どうぞよろしくお願いします。

No.72600 - 2021/02/03(Wed) 00:38:40

☆ Re: 楕円 / IT

Pを頂点とする円錐のxy平面による断面が楕円Cになる。ということだと思いますが面倒そうですね。

No.72615 - 2021/02/03(Wed) 21:03:26

☆ Re: 楕円 / らすかる

円錐面x^2+y^2=(z/t)^2（z≧0,t＞0）を平面z=ax+b（a＞0,b＞0）で
切ることを考えます（楕円の長軸は平面y=0上にあるものとします）。
まず長径を求めるために平面y=0と平面z=ax+bの交線である
直線y=0,z=ax+bと円錐面との交点を求めると
(b(a±t)/(t^2-a^2),0,ab(a±t)/(t^2-a^2)+b)　（複号同順）
よって長径は
√{{2bt/(t^2-a^2)}^2+{2abt/(t^2-a^2)}^2}
=2bt√(a^2+1)/(t^2-a^2)　（∵交線が楕円になるためにはt＞a）
これが楕円Cの長径と一致するためには
2bt√(a^2+1)/(t^2-a^2)=4
∴b=2(t^2-a^2)/{t√(a^2+1)}
x^2+y^2=(z/t)^2とz=ax+bからzを消去して
楕円を平面z=0に投影した楕円の式は
{(x-ab/(t^2-a^2))/{bt/(t^2-a^2)}}^2+{y/{b/√(t^2-a^2)}}^2=1
短半径はb/√(t^2-a^2)であり
これが楕円Cの短半径と一致するためには
b/√(t^2-a^2)=1
これにb=2(t^2-a^2)/{t√(a^2+1)}を代入してaについて解くと
a=(√3)t/√(t^2+4)
bの式に代入して整理すると
b=t√(t^2+1)/√(t^2+4)
従って円錐面x^2+y^2=(z/t)^2を
平面z={x√3+√(t^2+1)}t/√(t^2+4)
で切れば切断面が楕円Cと合同になることがわかりました。

原点からz=ax+bに下した垂線の足は(-ab/(a^2+1),0,b/(a^2+1))
この点から原点までの距離は
√{{-ab/(a^2+1)}^2+{b/(a^2+1)}^2}=b/√(a^2+1)
楕円の中心(ab/(t^2-a^2),0,bt^2/(t^2-a^2))までの距離は
√{{ab/(t^2-a^2)+ab/(a^2+1)}^2+{bt^2/(t^2-a^2)-b/(a^2+1)}^2}
=ab(t^2+1)/{(t^2-a^2)√(a^2+1)}
よって問題の座標系に直すと
α=ab(t^2+1)/{(t^2-a^2)√(a^2+1)},β=b/√(a^2+1)
これにa=(√3)t/√(t^2+4),b=t√(t^2+1)/√(t^2+4)を代入してa,bを消去すると
α=√{3(t^2+4)}/2,β=t/2
tを消去すると、求める式は
α^2=3(β^2+1)

# 計算には自信がありませんが、
# 結構綺麗な答えになったので合っていそうな気がします。
# 答えが綺麗なので、おそらくうまい解き方をすれば
# もっと簡単な計算で出せるのでしょうね。

No.72620 - 2021/02/03(Wed) 23:42:24

☆ Re: 楕円 / 豆まき

らすかるさん
どうもありがとうございます！
大変お世話になりました。解説していただいたものを、まずはきちんと理解できるように頑張ります！
ITさんもありがとうございました。

No.72624 - 2021/02/04(Thu) 18:32:33

☆ Re: 楕円 / 黄桃

かなり予備知識がいるのでどうしようかと思いましたが、参考までに幾何学的考察を使った解法を示します。
まず、円錐の切断面と楕円の関係については、例えば、
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/ensuisetsudan015.pdf
を参照してください。

このように円錐の断面が楕円になる場合、楕円と円錐両方に接する球を考えると、この球は２つの焦点で楕円面と接します。
ららすかるさんがやったように、x=0 の平面で切れば、楕円は、2点A(2,0),B(-2,0)となり、焦点は(±√3,0)になります。
元の円錐と楕円に接する２つの球は、１つは△PABの内接円（中心は球と同じ）、もう１つは△PABの傍心円の１つ（こちらの中心も元の球と同じ）となります。
逆にyz平面でこうなっていれば、x軸回りに回転させることで、問題の条件をみたすことになりますので、以下この平面上で考えます。

△PABの内接円が、ABとD(√3,0)で接するとは、AD=2-√3　ということです(接点が(-√3,0)になる場合はAD=2+√3)。傍心円の場合も同様です。
このような時は、
https://mathtrain.jp/boushin
にあるように、
BD=(AB-PA+PB)/2
DA=(AB+PA-PB)/2
という関係にあり、傍心円の場合も（Dとは異なる焦点EとすればAE=2+√3、AD=2+√3 ならAE=2-√3）同様の関係式が出てきます。
PA=a,PB=bとして、AD=2-√3, AE=2+√3 を代入すれば、(4+a-b)/2=2+√3 が出てきます。A,Bを入れ替えたり、Dを(-√3,0)にしたりすると、いずれの場合も、結局 |a-b|=2√3 と同値になります。
つまり、(2,0)と(-2,0)からの距離の差が2√3 であるような点の集合が求めるものです。

（例えば、
https://math.nakaken88.com/textbook/basic-hyperbola-focus-x/
にあるように）これはx軸上で、(2,0),(-2,0)を焦点とする双曲線を意味しますのでα^2/3-β^2=1 となり、らすかるさんと同じ結果がでてきます。

＃ただ、現実的には、β=0 の場合、つまり、焦点の位置から楕円を「みて」円に見える、とは思えない、とか、
＃もっと一般に、視野角、つまり、PAとPBのなす角、に制限があるべきではないのか、とか疑問はあります。

No.72648 - 2021/02/06(Sat) 16:40:29

★ (No Subject) / 高齢人参

1から9までの数が1つずつ書かれた9枚のカードがある。この中から無作為に4枚のカードを取り出し、カードに書かれた4つの数の積をMとおく。
Mが14の倍数になる確率を求めよ。
という問題で、私は
7*2or4or6or8*なんでもいい数*なんでもいい数

なので、1*4C2*7C2で84通り。
全事象は9C4で126通り。
よって、84/126=2/3
と解いたのですが、答えは違っていました。
どこが間違っていたのか教えてください。

No.72599 - 2021/02/03(Wed) 00:37:38

☆ Re: / 高齢人参

ちなみに答えは26/63です。

No.72601 - 2021/02/03(Wed) 00:41:12

☆ Re: / らすかる

例えば
2or4or6or8で4が選ばれてなんでもいい数が5と6だった場合と
2or4or6or8で6が選ばれてなんでもいい数が4と5だった場合は
同じ結果ですが、これを別々のものとして計算しているため
重複して数が多くなっています。
この問題は
7*なんでもいい数*なんでもいい数*なんでもいい数
から
7*7以外の奇数*7以外の奇数*7以外の奇数
を引けば
(1×8C3-1×4C3)÷9C4=26/63
と求まりますね。

No.72602 - 2021/02/03(Wed) 02:47:12

☆ Re: / 高齢人参

なるほど！ありがとうございます！

No.72609 - 2021/02/03(Wed) 10:08:56

★ 空間内の球と線分 / 高3

次の問題を教えて下さい。
宜しくお願い致します。

空間内の点Aを中心とする半径1の球面をSとする。Sの内部の点Pにおいて互いに直交する3直線l,m,nを考え、l,m,nからSによって切り取られる線分の長さを順にa,b,cとする。
(1)AP=pのとき、a^2+b^2+c^2をpを用いて表せ。ただし、0≦p<1とする。
(2)AP=(1/2)√3のとき、a+b+cの最大値と最小値を求めよ。

No.72593 - 2021/02/02(Tue) 19:44:27

☆ Re: 空間内の球と線分 / らすかる

Aを原点としてl,m,nをx軸,y軸,z軸方向に合わせ、P(u,v,w)とおく。
条件からp=√(u^2+v^2+w^2)。
直線lと球面の交点のx座標は±√(1-v^2-w^2)なのでlの長さは2√(1-v^2-w^2)
同様にmの長さは2√(1-u^2-w^2)、nの長さは2√(1-u^2-v^2)
よって
a^2+b^2+c^2=4(1-v^2-w^2)+4(1-u^2-w^2)+4(1-u^2-v^2)
=12-8(u^2+v^2+w^2)=12-8p^2

AP=√3/2からa^2+b^2+c^2=12-8(√3/2)^2=6
(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
（等号はa=b=cのとき）からab+bc+ca≦a^2+b^2+c^2=6
(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)≦6+2×6=18
∴a+b+c≦√18=3√2
(u,v,w)=(1/2,1/2,1/2)のときAP=√(1/4+1/4+1/4)=√3/2であり
a=b=c=2√(1-1/4-1/4)=√2からa+b+c=3√2となるから、これが最大値。

AP=√3/2なのでa,b,cはすべて最大2、最小1（直径に直交するとき）
よって(a-3/2)^2+(b-3/2)^2+(c-3/2)^2≦(1/2)^2+(1/2)^2+(1/2)^2=3/4
（等号はa,b,cがいずれも1または2のとき）
(a^2+b^2+c^2)-3(a+b+c)+27/4=(a-3/2)^2+(b-3/2)^2+(c-3/2)^2≦3/4
3(a+b+c)≧(a^2+b^2+c^2)+27/4-3/4=12
∴a+b+c≧4
(u,v,w)=(√3/2,0,0)のときAP=√3/2であり
a=2√(1-0^2-0^2)=2, b=2√(1-(√3/2)^2-0^2)=1, c=2√(1-(√3/2)^2-0^2)=1
となりa+b+c=4となるから、これが最小値。

従ってa+b+cの最小値は4、最大値は3√2。

No.72597 - 2021/02/03(Wed) 00:01:17

☆ Re: 空間内の球と線分 / 高3

とても丁寧に教えていただき、ありがとうございます！お陰様で良く分かりました！

No.72614 - 2021/02/03(Wed) 19:03:35

★ (No Subject) / ロッキー

高校2年です
オンライン授業で出たのですが
まったく理解が出来ませんでした。
教えていただけませんか？お願いします。

No.72584 - 2021/02/02(Tue) 14:50:44

☆ Re: / ヨッシー

￢p は p が真のとき偽、偽のとき真なので、p|p と書けます。
p∧q は、p|q の否定なので　(p|q)|(p|q)
p∨q は、偽偽のときのみ偽なので、真真のときのみ偽の p|q の
大元をひっくり返せばいいので、￢p|￢q
p→q は、￢(p∧￢q) と同値なので、{(p|￢q)|(p|￢q)}｜{(p|￢q)|(p|￢q)}

もっとシンプルな別の表現があるかもしれません。

No.72585 - 2021/02/02(Tue) 16:06:07

☆ Re: / IT

｜だけを使って表現せよということでは？
p→q は(p|q)|p でもp|(q|q)でもp|(p|q)でも良いようです。

｜は可換なので　(p|q)|p とp|(p|q)は当然同値ですね。

No.72594 - 2021/02/02(Tue) 20:41:54

☆ Re: / IT

p∨q は、偽偽のときのみ偽なので、真真のときのみ偽の p|q の大元をひっくり返せばいいので、￢p|￢q　
　ここまで、ヨッシーさんのとおりで
￢p|￢q⇔(p|p)|(q|q)…(1)

p→q は、￢p∨q と同値なので
(1)より (￢p|￢p)|(q|q)⇔(￢(￢p))|(q|q)⇔p|(q|q)

No.72595 - 2021/02/02(Tue) 21:42:34

☆ Re: / IT

A|B を真にしたいところはA,Bの少なくとも１つが偽、偽にしたいところはA,Bともに真になるようにすればいいので、

ヨッシーさんの書かれた真偽表を見ながらいろいろ組み合わせてみるのも方法の一つです

No.72619 - 2021/02/03(Wed) 22:57:34

★ 格子点 / kei

高校2年です。

nを正の整数とする。A(n,n,n),B(n,-n,-n),C(-n,n,-n),D(-n,-n,n)を頂点とする四面体の内部および表面に含まれる格子点の個数を求めよ、という問題を教えて下さい。

よろしくお願いします。

No.72577 - 2021/02/02(Tue) 01:34:22

☆ Re: 格子点 / らすかる

z=t（-n≦t≦n）で切って考えると、
t=nのとき
(n,n,n)と(-n,-n,n)を結ぶ線分なので格子点は2n+1個
t=n-1のとき
(n,n-1,n-1),(n-1,n,n-1),(-n,-n+1,n-1),(-n+1,-n,n-1)を
4頂点とする長方形なので、格子点は1×2+3×(2n-1)=6n-1個
t=n-2のとき
(n,n-2,n-2),(n-2,n,n-2),(-n,-n+2,n-2),(-n+2,-n,n-2)を
4頂点とする長方形なので、格子点は(1+3)×2+5×(2n-3)=10n-7個
t=n-3のとき
(n,n-3,n-3),(n-3,n,n-3),(-n,-n+3,n-3),(-n+3,-n,n-3)を
4頂点とする長方形なので、格子点は(1+3+5)×2+7×(2n-5)=14n-17個
・・・
t=n-k（k＜n）のとき
(n,n-k,n-k),(n-k,n,n-k),(-n,-n+k,n-k),(-n+k,-n,n-k)を
4頂点とする長方形なので、格子点は
{1+3+5+…+(2k-1)}×2+(2k+1)(2n-(2k-1))
=2(2k+1)n-2k^2+1=2n^2+2n-2t^2+1個 … (1)
t=0のとき
(n,0,0),(0,n,0),(-n,0,0),(0,-n,0)を4頂点とする正方形なので、
格子点は1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=2n^2+2n+1個
(1)はt=nやt=0のときも正しいので、全部で
Σ[t=-n～n]{2n^2+2n-2t^2+1}=(2n+1)(4n^2+4n+3)/3個

No.72578 - 2021/02/02(Tue) 02:35:14

☆ Re: 格子点 / kei

とても丁寧に解説していただき、ありがとうございました！

No.72596 - 2021/02/02(Tue) 23:44:27

★ 接線 / たけかわ

次の問題をご教授下さい。

放物線y=(1/4)x^2-xの接線のうちに、「正方形0≦x≦1,a-1≦y≦aを、底がy軸に平行な2つの台形(長方形を含む)に分割する」ものが存在するのは、aがどのような値のときか。

あまり底という表現を聞いたことがないのですが、原文のまま載せています。

すみませんが、よろしくお願い致します。

No.72574 - 2021/02/02(Tue) 00:25:55

☆ Re: 接線 / らすかる

「底」は台形の平行な2辺のことですね(上底、下底といいますね)。
底がy軸に平行ということは、正方形の4辺のうちのy軸に平行な
2辺(頂点を除く)を横切るような接線があるか、ということですね。
つまり傾きの絶対値が1より小さい接線がx=0,x=1のどこを通るかを
考えることになります。
(t,t^2/4-t)で接する接線の式はy=(t-2)x/2-t^2/4であり
傾きの絶対値が1より小さいということは|(t-2)/2|＜1
これを解くと0＜t＜4です。
接線とx=0との交点のy座標は-t^2/4、x=1との交点のy座標は
(-t^2+2t-4)/4です。
傾きが負のときすなわち0＜t＜2のとき、-t^2/4＞(-t^2+2t-4)/4であり
a＞-t^2/4かつ(-t^2+2t-4)/4＞a-1を満たせば条件を満たすように
分割されます。
0＜t＜2のとき-1＜-t^2/4＜0ですからa＞-1である必要があります。
また0＜t＜2のとき-1＜(-t^2+2t-4)/4＜-3/4ですからa-1＜-3/4
すなわちa＜1/4が必要です。従って接線の傾きが負のときに
条件を満たすような接線が引けるaの範囲は-1＜a＜1/4となります。
傾きが非負のときすなわち2≦t＜4のとき、-t^2/4＜(-t^2+2t-4)/4であり
a-1＜-t^2/4かつ(-t^2+2t-4)/4＜aを満たせば条件を満たすように
分割されます。
2≦t＜4のとき-4＜-t^2/4≦-1ですからa-1＜-1すなわちa＜0である必要があります。
また2≦t＜4のとき-3＜(-t^2+2t-4)/4≦-1ですからa＞-3が必要です。
従って接線の傾きが非負のときに条件を満たすような接線が引ける
aの範囲は-3＜a＜0となります。
これと傾きが負のときの-1＜a＜1/4を合わせると-3＜a＜1/4となりますので、
条件を満たすaの範囲は-3＜a＜1/4です。

No.72576 - 2021/02/02(Tue) 01:32:09

☆ Re: 接線 / たけかわ

らすかるさん
いつもありがとうございます！
どんな問題も鮮やかに、そして分かりやすく丁寧に解説して下さり本当に感謝しています。

No.72590 - 2021/02/02(Tue) 17:26:21

★ 断面積 / 浜松

次の問題を教えて下さい。よろしくお願い致します。
xyz空間内の点A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,1,1),E(0,0,0),F(1,0,0),G(1,1,0),H(0,1,0),を頂点とする1辺の長さが1の立方体を考える。辺BF上に1点Pをとり、線分BPの長さをaとする。3点A,G,Pを通る平面によるこの立方体の切断面の面積をaを用いて表せ。

No.72571 - 2021/02/01(Mon) 22:41:27

☆ Re: 断面積 / らすかる

AP=√(1+a^2), PG=√(1+(1-a)^2), AG=√3
なのでヘロンの公式の変形
　辺の長さの2乗がp,q,rのとき
　S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
に代入することで
(切断面の面積)=2S
=(1/2)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
=(1/2)√{2{(1+a^2)(1+(1-a)^2)+3(1+(1-a)^2)+3(1+a^2)}
　　-{(1+a^2)^2+(1+(1-a)^2)^2+3^2}}
=(1/2)√{8(a^2-a+1)}
=√{2(a^2-a+1)}

# ヘロンの公式が使えない（覚えていない）場合は上記の解答はまずいですが、
# 要はA,G,Pの座標がわかっていて△AGPの面積の2倍を求めれば
# よいということですから、他に方法はたくさんありますね。
# ・点と直線の距離の公式でPとAGの距離mを求めれば(√3)mが答え
# ・3辺の長さから三平方の定理でPとAGの距離を求めて計算
# ・座標からcos∠APGを求め、AP・GP・sin∠APGで計算
# ・座標からPQ（Qは(0,1,a)）とAGのなす角のsinを求めてAP・GP・(その値)で計算
# など、好きな方法で求めてみて下さい。

No.72573 - 2021/02/01(Mon) 23:17:27

☆ Re: 断面積 / 浜松

たくさんの解法ありがとうございます！
とても勉強になりました！

No.72579 - 2021/02/02(Tue) 03:28:16

★ 中学３年生　自作問題 / バカ

件名を入れ忘れたので再投稿です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
先日、数学掲示板サイト「考える葦」にてヨッシーさんに
「ｎ＝６，ｋ＝２のとき、ＨＰ＝１（自然数）ですが、
ＨＰ＝ｋとはなりません。」
とお答え頂きました。
実際に上記の値で計算してみましたところ、成り立ちませんでした。
ですので、再度この問題について考えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。
問題文
△ABCについて、∠ABC＝９０°、ABの長さは１から３以上の自然数nまでの和、BC＝n＋１である。線分AC上にPをとり、Pを通るBCと平行な直線とABの交点をHとする。AHの長さは１から自然数kまでの和である。このとき、次の問いに答えよ。ただし、n、kは異なるものとする。

　(1)　ABの長さをnを用いた式で表わせ。

　(2)　HPの長さが自然数であるとき、HPの長さはkと等しくなることを示せ。

　(3)　(2)のとき、HPの長さを求めよ。

No.72565 - 2021/02/01(Mon) 20:16:55

☆ Re: 中学３年生　自作問題 / バカ

一応(3)の答えはn-１だと思います...

No.72567 - 2021/02/01(Mon) 20:22:46

☆ Re: 中学３年生　自作問題 / ヨッシー

最初の問題とどこが違いますか？

No.72569 - 2021/02/01(Mon) 22:29:56

☆ Re: 中学３年生　自作問題 / バカ

変わったところはありません。

No.72570 - 2021/02/01(Mon) 22:38:32

☆ Re: 中学３年生　自作問題 / ヨッシー

では、(2) が問題として成り立っていないので、
(3) の「(2) のとき」も無意味です。

ちなみに、ＨＰ＝k(k+1)/n であるので、
適当なｋを持ってきて、k(k+1) の約数でｋより大きいものを
ｎとすれば、、ＨＰが自然数になる n, k の組合せはいくらでも出来ます。

No.72575 - 2021/02/02(Tue) 00:32:45

☆ Re: 中学３年生　自作問題 / バカ

適当な組というのは一組しかないはずなんですが…

No.72582 - 2021/02/02(Tue) 10:56:15

☆ Re: 中学３年生　自作問題 / ヨッシー

(n,k) = (3,2), (6,3), (10,4), (15,5), (21,6),
　　　　(4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7)
など、いくらでもあると思いますが。

問題の解釈が違います？

No.72583 - 2021/02/02(Tue) 11:41:25