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★ (No Subject) / バカ
先日、数学掲示板サイト「考える葦」にてヨッシーさんに
「ｎ＝６，ｋ＝２ のとき、ＨＰ＝１（自然数）ですが、
ＨＰ＝ｋとはなりません。」
とお答え頂きました。
実際に上記の値で計算してみましたところ、成り立ちませんでした。
ですので、再度この問題について考えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。
問題文
△ABCについて、∠ABC＝９０°、ABの長さは１から３以上の自然数nまでの和、BC＝n＋１である。線分AC上にPをとり、Pを通るBCと平行な直線とABの交点をHとする。AHの長さは１から自然数kまでの和である。このとき、次の問いに答えよ。ただし、n、kは異なるものとする。



　(1)　ABの長さをnを用いた式で表わせ。

　(2)　HPの長さが自然数であるとき、HPの長さはkと等しくなることを示せ。

　(3)　(2)のとき、HPの長さを求めよ。
No.72564 - 2021/02/01(Mon) 20:08:54
☆ Re: / X
呼びにくいハンドルネームは変えた方が良いのでは？
No.72566 - 2021/02/01(Mon) 20:21:52
☆ Re: / バカ
ご指摘ありがとうございます。
言われてみれば、たしかにそのとおりだなぁと思います。（笑）
No.72568 - 2021/02/01(Mon) 20:29:36
★ 点と直線の距離の公式について / 寝屋川のムウマ
x^2+y^2=1で、これに接する直線がy=x+bであるとき、bの値はいくつですか。
判別式はd=b^2-4ac使えますか。
No.72560 - 2021/02/01(Mon) 18:43:30
☆ Re: 点と直線の距離の公式について / 寝屋川のムウマ
円の半径が不明な場合も教えてください。
No.72561 - 2021/02/01(Mon) 18:54:00
☆ Re: 点と直線の距離の公式について / 寝屋川のムウマ
> 円の半径が不明な場合も教えてください。
No.72562 - 2021/02/01(Mon) 19:42:02
☆ Re: 点と直線の距離の公式について / ヨッシー
判別式を使う方法
　x^2＋y^2＝1
に y=x+b を代入して
　x^2＋(x+b)^2＝1
展開して
　2x^2＋2bx＋b^2−1＝0
判別式を取って、
　b^2−2(b^2−1)＝2−b^2＝0
これを解いて
　b＝±√2

直線までの距離の公式を使う方法
原点から y=x+b までの距離は
　|b|/√2＝1
　b＝±√2

半径が不明とは、文字で与えられる場合でしょうか？
　x^2＋y^2＝r^2
とすると、判別式を使う方法は、
　x^2＋(x+b)^2＝r^2
　2x^2＋2bx＋b^2−r^2＝0
判別式を取って、
　b^2−2(b^2−r^2)＝2r^2−b^2＝0
これを解いて、
　ｂ＝±(√2)ｒ

直線までの距離の公式を使う方法
原点から y=x+b までの距離は
　|b|/√2＝r
　b＝±(√2)r

です。
No.72563 - 2021/02/01(Mon) 19:42:17
★ 整数 / Yuki
次の問題を教えて下さい。

(4444)^(4444)の各位の和をAとする。Aの各位の和をBとするとき、Bの各位の和を求めよ。

はじめの数は四千四百四十四の四千四百四十四乗を表しています。

よろしくお願いします。
No.72556 - 2021/02/01(Mon) 01:36:58
☆ Re: 整数 / らすかる
4444≡7(mod 9)なので
4444^4444=(4444^3)^1481×4444≡(7^3)^1481×7
=343^1481×7≡1^1481×7≡7 (mod 9)
4444＜10^4だから
4444^4444＜10^17776となり
4444^4444の桁数は17776桁以下
よってA＜17776×9＜17776×10＜180000なので
B≦5×9+1=46
従ってBの各位の和は12以下であり
B≡7 (mod 9)だから、Bの各位の和は7
No.72557 - 2021/02/01(Mon) 01:57:58
☆ Re: 整数 / Yuki
らすかるさん
いつも丁寧な回答ありがとうございます！
No.72558 - 2021/02/01(Mon) 05:50:22
★ 空間座標 / 東
高校二年生です。
次の問題をご教授下さい。

xyz空間内にA(0,1,2),B(a,3,4)がある。この空間内に2点C,Dを適当にとって四角形ABCDを正方形にしたい。ただし、点Cはxy平面上にとることにする。これが実現可能なaの値の範囲を求めよ。

どうぞ宜しくお願い致します。
No.72553 - 2021/02/01(Mon) 00:16:42
☆ Re: 空間座標 / らすかる
C(x,y,0)とすると
AB=BCから a^2+2^2+2^2=(x-a)^2+(y-3)^2+4^2
整理して x^2-2ax+y^2-6y+17=0 … (1)
AC=(√2)ABから 2(a^2+2^2+2^2)=x^2+(y-1)^2+2^2
整理して 2a^2=x^2+y^2-2y-11 … (2)
(1)-(2)を整理して y=(14+a^2-ax)/2
(2)に代入してyを消去し、整理すると
(a^2+4)x^2-2a(a^2+12)x+a^4+16a^2+96=0
xが実数解を持つためには
D/4=a^2(a^2+12)^2-(a^2+4)(a^4+16a^2+96)≧0
整理して (a^2+8)(a^2-12)≧0
a^2≧0なので a^2≧12
∴|a|≧2√3
No.72554 - 2021/02/01(Mon) 01:00:56
☆ Re: 空間座標 / 東
らすかるさん
こんなに早く回答していただき、本当にありがとうございます。とてもよく分かりました！
No.72555 - 2021/02/01(Mon) 01:13:05
★ テンパズル / √
教えてください

４個の数字で１０を作る時（テンパズル）
途中計算で、
答えが「整数にならない割り算（分数）」
を使うのは

１１９９
１１５８
３４７８
１３３７

の４通りだけですか？
No.72543 - 2021/01/31(Sun) 19:14:17
☆ Re: テンパズル / らすかる
数字の結合を許さないならば、その4通りです。
数字の結合を許す場合は「1 1 5 8」だけです。

# 1〜9の重複を許す4つの数字の組み合わせでは、
# 数字の結合を許さないと出来ないものがたくさんあります。
No.72544 - 2021/01/31(Sun) 19:40:28
☆ Re: テンパズル / √
らすかるさん
いつも有難うございます。

「数字の結合」とは
どういう意味でしょうか？

また、
４個の数字の中に重複する数字が無ければ
解は必ず存在すると聞いたことがあるのですが、

これは１から９までの９個の数字で考えた
場合であって
０が入っていたらダメですよね？
No.72546 - 2021/01/31(Sun) 20:10:40
☆ Re: テンパズル / √
上記に追加です。

失礼しました。
０が入っていたらダメな場合がある
でした。
ｅｘ）０１２３

０が入っても大丈夫な場合
ｅｘ）３７０１
No.72548 - 2021/01/31(Sun) 20:26:36
☆ Re: テンパズル / らすかる
数字の結合を許せば
1,1,9,9は 19×1-9=10
3,4,7,8は 38-4×7=10
1,3,3,7は 31-3×7=10
のようにできます。
1,1,5,8だけは数字が結合するような解は存在せず、10を作れる解は唯一です。

4個の数字が1〜9から選んだ相異なる4数であれば、
数字の結合を許さなくても必ず解があります。
上の例のように同じ数字の重複があると、
1,1,6,9
6,7,7,8
のように10が作れないものが多数あり、
また2,2,5,7のように数字の結合を許さないと
出来ないものも多数あります。
No.72550 - 2021/01/31(Sun) 21:53:00
☆ Re: テンパズル / √
らすかるさん

分かりました。
有難うございました。
No.72551 - 2021/01/31(Sun) 22:04:53
★ (No Subject) / akn
問1の(2)が分かりません
答えは2です
No.72538 - 2021/01/31(Sun) 14:31:42
☆ Re: / X
以下の通りです。
　
(与式)=∫[0→π/2][-2√{-y+(cosx)^2}][y:0→(cosx)^2]dx
=2∫[0→π/2]|cosx|dx
=2∫[0→π/2]cosxdx
=2
No.72542 - 2021/01/31(Sun) 19:06:32
★ 円と接線の交点を知りたい。 / 寝屋川のムウマ
エクセルで計算を行っています。
x^2+(y-3745.613)^2=3745613^2と
y=0.33x/100+kのkの値を求めたいのですが、
ここで便利になってくるのが点と直線の公式です。
|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)というのがあります。
ちなみに|と|の間は必ず絶対値です。
この時、円の中心は(0,3745.613)なのでpに0、qに3745.613。
y=0.33x/100+kを0.33x/10000-y+k=0に直して、
aに0.33/100、bに-1、cにkを代入します。
この結果、共有点はどことどこになるのでしょうか。
計算してみたけど
共有点が原点に比べ数千も離れていました。
これって合っているのでしょうか。
No.72536 - 2021/01/31(Sun) 11:53:21
☆ Re: 円と接線の交点を知りたい。 / IT
直接の回答ではないですが、
実務上の計算のようなので、単位を変えて例えば(mならｋｍに変えて）各数値を1000で割った値で計算すると扱いやすいのでは？
No.72537 - 2021/01/31(Sun) 12:15:17
★ 行列の問題 / たく
n次正方行列 Aの3乗がEとなるとき
Aの固有値を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。
No.72533 - 2021/01/31(Sun) 09:12:40
★ 背理法と対偶法の関係 / 巻き寿司
友達と話していて混乱してきました
話題は「”対偶法は、背理法の特別な場合である”という主張は適切か」というものです。一応下のように考えて、適切だといえるのではないか、と合意したのですが、正しいでしょうか？間違っている部分があれば指摘してほしいです。

証明とは、前提となる条件p(仮定条件、または数学的に正しい事実)から、結論qを導くものである。

対偶法は、pが仮定条件であり、「p⇒q」を示す場合に、qの否定を仮定し、pの否定を導くものである。よって「pの否定の真理集合全体にqの真理集合が含まれている」を示している

一方背理法は、pが仮定条件を含む場合もあるし、pの真理集合が単に数学的に正しい事実の集合である場合もある。その上で、qの否定を仮定し、pを用いながら推論し、矛盾を導く。つまりqの否定を仮定し、それがpとは両立し得ないことを示す手法である。よって「pの否定の真理集合全体、またはその一部にqの真理集合が含まれる」を示している

だから対偶法は背理法の特殊な場合と言える

(「真理集合」という言葉を「数学的に正しい事実の集合」に用いるのは不適切？かもしれません)
No.72531 - 2021/01/31(Sun) 04:09:40
☆ Re: 背理法と対偶法の関係 / IT
ご質問への直接の回答ではないですが、下記に「背理法」と「対偶法」について詳しい記述（主張）があります。

東京理科大学安部研究室
http://abel.a.la9.jp/index.html
No.72532 - 2021/01/31(Sun) 07:35:15
☆ Re: 背理法と対偶法の関係 / 黄桃
ITさんが示されたURLにある「脱背理法」はかなりクセがあると思うので、数学基礎論をある程度知っている人にはいいでしょうが、そうでなければお勧めしません。

P,Qが命題の時に、P⇒Qを証明するのに、それと同値な命題、¬Q⇒¬P を示すのが対偶証明法です。
命題Rを示すのに、それと同値な命題 ¬R⇒O (Oは矛盾）を示すのが背理法です。
Rが条件文P⇒Qの場合には、(P∧¬Q)⇒O を示すのが背理法です。
つまり、P⇒Qと¬Q⇒¬Pと(P∧¬Q)⇒O はすべて同値ですからどれを示してもよく、対偶：¬Q⇒¬Pがいえるなら、O=P∧¬Pとして背理法の証明にもなっている、ということですね。

これを踏まえて、P,Qが条件の時を考えます。このときは、話が少し複雑で、
命題R:∀x (P(x)⇒Q(x)) を示すのに、
(a) ∀x(¬Q(x)⇒¬P(x))を示せば対偶証明法、
(b) (¬(∀x(¬Q(x)⇒¬P(x))))⇒O (つまり、(∃x(¬Q(x)∧P(x)))⇒O )を示せば背理法
は間違いないのですが、ご質問の内容は、次の
(c) ∀x((¬(P(x)⇒Q(x)))⇒O) つまり、∀x ((P(x)∧¬Q(x))⇒(P(x)∧¬P(x)))　を示す証明
は背理法か？という議論に見えます。

(c)は(b)のような典型的な背理法とはいいがたいですが、P⇒Qと(P∧¬Q)⇒O が同値であることを使った証明ではあります。
ただ、(a)を回りくどくしているだけにもみえます。なので、背理法の定義の問題かもしれません。

＃証明法の名前なんてどうでもいいではないか、とは思いますが。
No.72534 - 2021/01/31(Sun) 09:13:04
★ 3次方程式 / 高校3年
(2)までは解けるのですが、どうしても(3)の時方が思いつきません、、、。解き方及び答えを教えていただけると助かります。
No.72528 - 2021/01/31(Sun) 01:04:05
☆ Re: 3次方程式 / IT
g(x)=x^2-2x+(2a^2-a-1)とおく
f(x)+p^3=0 ⇔(x-3)g(x)=-p^3

g(x)=(x-1)^2+a(2a-1)-2なので
g(x)が負になるのは,a=1,x=1のときだが (x-3)g(x)=2となり不適。

したがって、g(x)は正整数、∴x-3 は負の整数。
xは正整数なのでx=1,2。
　x=1 のとき
　　-2(2a^2-a-2)=-p^3,
　　pは素数なのでp=2,aは正整数なのでa=2

　x=2 のとき
　　-1(2a^2-a-1)=-p^3
　　∴2a^2-a-1=p^3
　　∴(2a+1)(a-1)=p^3　
　　a-1=1 のとき　左辺＝5となり不適
　　よって　2a+1=p^2,a-1=p
　　∴ 2a+1=(a-1)^2
　　∴ a(a-4)=0
　　aは正整数なのでa=4 このときp=3


　
No.72529 - 2021/01/31(Sun) 01:43:05
★ 確率 / 奏
高校２年です。
いつもお世話になってています。次の問題を教えて下さい。

机の上に長方形の枠が横一列に6個並べて書いてある。枠には左から順に赤、赤、緑、緑、青、青の色がつけられている。また、カードが6枚あり、2枚ずつ赤、緑、青に塗られている。この6枚のカードをよくきった後、枠に１枚ずつ左から順に並べる。枠の色と中のカードの色が一致している枠の個数がnである確率P[n] (n=0,1,2,3,4,5,6)を求めよ。
No.72518 - 2021/01/30(Sat) 19:33:21
☆ Re: 確率 / IT
６枚のカードの並べ方は,6!=720 通り。

そのうち色が一致している枠の個数が
６個、４個、３個、２個,0個の場合の数を求めます。
５個の場合はありません。
１個の場合は、720から1個以外の場合の数を引いて求めればいいと思います。

本質的ではないですが、試験問題を解くとき、赤、青、緑とかは画数がおおいので　A,B,C とか1,2,3とかに置き換えて書くといいと思います。R,B,G でもいいかも知れません。

できるところをやってみてください。
No.72521 - 2021/01/30(Sat) 20:58:32
☆ Re: 確率 / 奏
まず、二枚の赤は赤枠、二枚の緑は緑枠に、二枚の青は青枠に入ると考えて
P[6]=(2！×2！×2！)/6！=1/90と求まりました。

P[4]は例えば赤二枚が赤の枠に入り、緑と青が１枚ずつ同じ色の枠に入る場合の数を求めると
2！×2×2×2=8
(赤の入り方が2！通り、緑二枚は一方は緑枠(2通り)、他方は青枠(2通り)、残りの青二枚の入れ方は、残り2箇所の枠に入れるので2通り)
青二枚が青枠、緑二枚が緑枠に入ると時も同様に考えて
P[4]=8×3/720=1/30
となりました。
まだ途中ですが、ここまで合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.72525 - 2021/01/30(Sat) 22:14:21
☆ Re: 確率 / IT
＞　P[4]は例えば赤二枚が赤の枠に入り、緑と青が１枚ずつ同じ色の枠に入る場合の数を求めると
2！×2×2×2=8
(赤の入り方が2！通り、緑二枚は一方は緑枠(2通り)、他方は青枠(2通り)、残りの青二枚の入れ方は、残り2箇所の枠に入れるので2通り)

緑２枚のどちらを緑枠に入れるかで、さらに　×２通り　になりませんか？

また、2！×2×2×2=8　は、計算間違い？
No.72527 - 2021/01/30(Sat) 23:20:58
☆ Re: 確率 / IT
（略解）
赤をA,青をB、緑をCと表記する。
６枚のカードの並べ方は全部で6!＝720通り。
一致する個数がｎのときの場合の数をS(n) とおく。

n=6のとき 　[AA],[BB],[CC] のパターンのみなので
　　S(6)=2^3 = 8

n=5のとき　５個一致すると残りの１個も一致するので、あり得ない
　　S(5)＝0

n=4のとき [AA][BC][BC] のパターンで
　　S(4)=3×(2^2)×(2^3)=96

n=3のとき [AA]などは出現できないので
　　[AB][BC][CA],[AC][BA][CB]のパターン
　　S(3)=2×(2^3)×(2^3)=128

n=2のとき
　　[AA][CC][BB]のパターンは、3×(2^3)=24 通り｡
　　[AC][BC][AB]のパターンは、3×(2^3)×(2^3)=192通り｡
　　S(2)=216

n=1のとき
　　[AB][CC][AB]のパターンで
　　S(1)=(3×2）×(2^2)×(2^3)=192

n=0 のとき
　　[BC][AC][AB] (2^3)×(2^3)=64通り
　　[BB][CC][AA] (2^3)=8通り
　　[CC][AA][BB] (2^3)=8通り
　　S(0)=80

漏れを防ぐためにもｎ=0,...,6 すべてそれぞれ数え上げた方が安心ですね。
No.72539 - 2021/01/31(Sun) 17:17:30
☆ Re: 確率 / 奏
ITさん

色々とご助言いただきながら、結局私の解答が追い付かなくて申し訳ありません。
丁寧に解説していただき感謝致します。

今一度、自分でもきちんと計算してみて解いてみます。どうもありがとうございました！
No.72547 - 2021/01/31(Sun) 20:20:20
☆ Re: 確率 / IT
同じ色のカードは区別しない。という考え方をすれば、数え上げが少しシンプルになりますが、前段で説明をする必要があります。
No.72559 - 2021/02/01(Mon) 18:33:06
★ 方べきの定理？ / 中学３年生です。
次の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

Oを中心とする円Cに円外の1点Pから2本の接線を引き、接点をA,Bとしたところ、PA=5、∠APB=90°だった。さらに、Pを通る直線を円Cと2点Q,Rで交わるように引いたところ、QR=4√6となった。線分AOと線分QRが交点Nをもつとき、線分ANの長さを求めよ。

自分では方べきの定理からPA^2=PQ×PRなので、PQ=7-2√6を求めた後、手が止まってしまいました。

よろしくお願いします。
No.72516 - 2021/01/30(Sat) 19:20:15
☆ Re: 方べきの定理？ / IT
Qを通ってOBに垂直な直線とAPとの交点をS、OBとの交点をTとする。
AN:AP=SQ:SP

PQの値やOQ＝5であること、三平方の定理などを使えば、SQ：SPが求まるのでは？

補助線付きの図を描きこまれると分かり安いと思います。
No.72519 - 2021/01/30(Sat) 19:58:22
☆ Re: 方べきの定理？ / 中学３年生です。
ITさん
ご回答ありがとうございます。

AN=rとおいて、△OTQの各辺の長さをrで表し、三平方の定理を使ってみようと思いました。

△PQSは△PNAと相似なのでPQ:PS:QS=√(r^2+25):5:rだから、
PS=(7-2√6)×5/√(r^2+25)
SQ=(7-2√6)×r/√(r^2+25)

よってQT=5-SQ、OT=5-PSでOQ=5以外の△OTQの各辺がrで表されたので、計算を楽にするため(数値を小さくするため)各辺の長さを5で割り、a=(7-2√6)/√(r^2+25)とおいた三角形で三平方の定理を用いました。

(1-a)^2+(1-ar/5)^2=1^2
(r^2+25)a^2+25-10a(r+5)=0
(7-2√6)^2+25-10a(r+5)=0
98-28√6=10a(r+5)
両辺を2で割りaを戻して
7(7-2√6)=5×(7-2√6)/√(r^2+25)×(r+5)
分母を払って二乗して
49(r^2+25)=25(r^2+10r+25)
これを0<r<5のもとで解いて
r=15/4と求まりました。

かなり強引に解いたのですが、これで良いでしょうか？
No.72523 - 2021/01/30(Sat) 21:55:37
☆ Re: 方べきの定理？ / IT
合ってると思いますが、途中7-2√6などを文字で置き換えたとしてもけっこう面倒ですね。
他に良い方法があるのかも知れませんね。
No.72535 - 2021/01/31(Sun) 11:35:03
☆ Re: 方べきの定理？ / らすかる
OからQRに垂線OHを下すと
OQ=OR=5,QR=4√6からOH=1
OP=5√2なのでPH=√{(5√2)^2-1^2}=7
△OHN∽△PANでOH：PA=1：5なので
AN=xとおくとHN=x/5、PN=√(x^2+5^2)
PN+HN=PH=7なので
√(x^2+5^2)+x/5=7
これを解いて x=15/4
No.72541 - 2021/01/31(Sun) 17:23:56
☆ Re: 方べきの定理？ / IT
らすかるさんの解答を少しだけ変える計算方法
OQ=OR=5,QR=4√6からOH=1

AN=xとおくとPN=√(x^2+5^2)
△OHN∽△PANで、ON/OH=PN/PA なので
5-x=√(x^2+5^2)/5
これを解くと　x=15/4
No.72545 - 2021/01/31(Sun) 20:07:50
☆ Re: 方べきの定理？ / IT
下記が計算が簡単ですね。

大半はらすかるさんの解答と同じですので、省略した部分があります。
△PHOは直角三角形なので　PH=√((5√2)^2-1^2)=7
△HNO∽△ANP で　相似比=1:5 より HN=x/5、NP=5NO
∴PN=PH-HN=7-x/5=5(5-x) ∴x=15/4
No.72549 - 2021/01/31(Sun) 21:05:54
☆ Re: 方べきの定理？ / 中学３年生です。
ITさん
らすかるさん

ご回答ありがとうございます！
お陰様ですっきり解くことができました！
No.72552 - 2021/01/31(Sun) 22:59:02
★ 関数 / 中学3年生
写真の(3)が分かりません。解答解説がついてないです。

おそらく媒介変数を用いるとおもうのですが、どのようにやれば良いでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.72515 - 2021/01/30(Sat) 18:47:20
☆ Re: 関数 / らすかる
二次方程式を使う場合
直線mの傾きがkのときmの式はy=kxなのでPの座標は(12,12k)
（ただし0＜k＜2/3）
よってQの座標は(6k,12k)となりQP=12-6k、AD=8、DP=8-12kなので
四角形AQPDの面積は(12-6k+8)×(8-12k)÷2=4(10-3k)(2-3k)=36k^2-144k+80
36k^2-144k+80=57を解くとk=1/6,23/6なので
0＜k＜2/3からk=1/6

二次方程式を使わない場合
直線lと直線CDの交点をEとすると
Eの座標は(12,24)で△EADの面積は8×16÷2=64だから
△EQPの面積は64+57=121
△EOCの面積は12×24÷2=144
よって△EQP：△EOC=121：144=11^2：12^2だからEP：EC=11：12
よってCP=(1/12)EC=2だから、直線mの傾きは2/12=1/6
No.72520 - 2021/01/30(Sat) 20:14:57
☆ Re: 関数 / 中学3年生
> 二次方程式を使う場合
> 直線mの傾きがkのときmの式はy=kxなのでPの座標は(12,12k)
> （ただし0＜k＜2/3）
> よってQの座標は(6k,12k)となりQP=12-6k、AD=8、DP=8-12kなので
> 四角形AQPDの面積は(12-6k+8)×(8-12k)÷2=4(10-3k)(2-3k)=36k^2-144k+80
> 36k^2-144k+80=57を解くとk=1/6,23/6なので
> 0＜k＜2/3からk=1/6
>
> 二次方程式を使わない場合
> 直線lと直線CDの交点をEとすると
> Eの座標は(12,24)で△EADの面積は8×16÷2=64だから
> △EQPの面積は64+57=121
> △EOCの面積は12×24÷2=144
> よって△EQP：△EOC=121：144=11^2：12^2だからEP：EC=11：12
> よってCP=(1/12)EC=2だから、直線mの傾きは2/12=1/6

おへんじおそくなりすみません。助かりました！
No.72610 - 2021/02/03(Wed) 11:54:34
★ ヤコビ行列 / まり
f(x,y)=x^2-y^2+x+i(2xy+y)のヤコビ行列を求めよという問題が分かりません。途中の考え方も含めて教えて頂きたいです。iは虚数を意味するものです。
No.72513 - 2021/01/30(Sat) 18:02:00
★ 数学 / ちゃんちゃん
さっぱりわかりません
No.72505 - 2021/01/30(Sat) 15:59:39
☆ Re: 数学 / IT
１問ずつ、もう少し大きな画像を載せて質問された方が回答がつきやすいと思います。（テキストに例題があり、それを真似すればある程度はできるのでは？）
No.72506 - 2021/01/30(Sat) 16:21:52
★ (No Subject) / えっぴい0322
某サイトで見つけてきたのですが、
R(1-Cosθ)＝ｈは果たして成り立つのでしょうか。
成り立たないのだとすれば、半径と角度だけではhの高さは求まらないと言うことです。
No.72503 - 2021/01/30(Sat) 15:10:13
☆ Re: / X
h,Lの長さになっている線分の交点をB,
h,Lの長さになっている線分のBの反対側
の頂点をそれぞれC,A、
扇形の中心をO
とすると、接弦定理により
∠ACB=∠AOC/2=θ/2
又、△AOCにおいて余弦定理を用いることにより
CA=2Rsin(θ/2)
∴h=CAsin∠ACB
=2R{sin(θ/2)}^2
=2R(1-cosθ)/2 (∵)半角の公式
=R(1-cosθ)
L=CAcos∠ACB
=2Rsin(θ/2)cos(θ/2)
=Rsinθ (∵)2倍角の公式
ということで、(1)(2)は成立します。
但し、(3)は成立しません。
(反例)
θ=π/2のとき
図から
R=h
となるのは明らかですが、(3)は
R=h(1/2+2/π^2)≠h
No.72507 - 2021/01/30(Sat) 17:06:07
☆ Re: / IT
（１）（２）はsin,cos の定義からすぐでは？

（図）
No.72509 - 2021/01/30(Sat) 17:15:19
★ 円の傾きを調べる方法について / ムウマ1993
例えばx^2+(y-4000)^2=4000^2の場合、傾きが0度の時は、x=0、y=0か、x=0、y=8000ですよね。傾きが30度の時の座標はいくつになりますか。
No.72498 - 2021/01/30(Sat) 10:58:29
☆ Re: 円の傾きを調べる方法について / IT
図を描いて書き込んで下さい。
三角関数は習っておられますか？
１辺の長さ１の正三角形の高さがいくらか分かりますか？
No.72499 - 2021/01/30(Sat) 13:23:15
★ 幾何の問題です。 / Yuki
線分AC上に点Bをとり、線分BCの中点をOとする。次に、線分AC、線分BCを直径とする半円を、線分ACについて同じ側にとる。さらに、点Aから弧BCへ接線を引き、接点をP、弧ACとの交点をQとする。また、直線CPと弧ACのCでない方の交点をRとする。AP=5、PQ=3のとき、RPの長さを求めよ、という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.72490 - 2021/01/30(Sat) 07:03:36
☆ Re: 幾何の問題です。 / らすかる
△APO∽△AQCからAO：OC=5：3なのでAO：OP=5：3
よって△APOは辺の比が3：4：5である直角三角形なので
AO=(5/4)AP=25/4、OC=(3/5)AO=15/4、AC=AO+OC=10
PからACに垂線PHを引くと△AHPも3：4：5の直角三角形なので
AH=4、PH=3とわかり、CH=AC-AH=6ですからCP=√(CH^2+PH^2)=3√5です。
そして△CAR∽△CPHからCR=(CH/CP)AC=4√5ですから、
RP=CR-CP=√5となります。
No.72491 - 2021/01/30(Sat) 07:31:22
☆ Re: 幾何の問題です。 / Yuki
らすかるさん
解説ありがとうございました！
No.72514 - 2021/01/30(Sat) 18:24:48
★ 不等式 / 茶
xy=1, x≠yとする。
x^2+y^2 ≥ 2(√2)|x − y| を証明せよ。

x^2+y^2-2 ≥ 2(√2)|x − y|-2
x^2+y^2-2xy ≥ 2(√2)|x − y|-2
(x-y)^2 ≥ 2(√2)|x − y|-2
(x-y)^2+2 ≥ 2(√2)|x − y|
[(x-y)^2+2]^2 ≥ [2(√2)|x − y|]^2
(x-y)^4+4(x-y)^2+4 ≥ 8(x-y)^2
(x-y)^4-4(x-y)^2+4 ≥ 0
[(x-y)^2-2]^2 ≥ 0
(x-y)^2-2 ≥ 0

ここまでは出来たのですが、ここからどうやってAM-GM不等式やx^2+y^2 ≥ 0 に変えていくかわかりません。教えてください
No.72489 - 2021/01/30(Sat) 05:16:40
☆ Re: 不等式 / らすかる
最後の1行は間違いです。
例えばx=3/4、y=4/3のとき成り立ちませんね。
で、その前の[(x-y)^2-2]^2≧0は常に成り立つ式ですから、
この式から全部逆順に書けば証明は終わります。
（何の説明もなく証明すべき式を変形していった解答は、
　証明されていない式を使っていることになりますので誤りです。）
No.72492 - 2021/01/30(Sat) 07:37:58
☆ Re: 不等式 / IT
x,yは実数ですか？
[(x-y)^2-2]^2 ≥ 0 からたどればよいのでは？

（そのままでは、各不等式間の関係などが書いてないので証明としては不備です。）
No.72493 - 2021/01/30(Sat) 07:40:38
★ 群論について / meow
この問題なのですが，
どのようにして部分群だということを言えば良いのでしょうか？
Hがどのような集合かは理解できていると思います．
kを動かさない集合であると思っています．
例えば3次対称群で，k=2であれば，
{e,(1 3)}
であると思います．

n次で考えた場合どのようになるかご教授いただけないでしょうか？
No.72488 - 2021/01/30(Sat) 03:39:40
☆ Re: 群論について / IT
Ｈの元を網羅的に表す（外延的記法）必要はありません。
当たり前のことですが、群であることを示せばいいです。

何と何を示せばいいかは分かりますか？
（結合法則は、示さなくてもいいと思います）
No.72494 - 2021/01/30(Sat) 07:43:02
☆ Re: 群論について / meow
> 群であることを示す．
群の公理でしょうか？
それならば結合則，単位元，逆元の存在のことを指していると思います．
ここでいう単位元というのは恒等写像のことかと思います．
kを動かさない集合ということなのeはかならず存在しているといえそうですね．
逆元については，
kを含まない互いな素な巡回置換の積としてあらわすことができることから，逆元は存在していると思います．

これらを用いて部分群の証明を行えばよいのでしょうか？
たとえば，
A,B ={σ∈Sn |σ(k)=k}とし
A・BとA^{-1}が閉じているということを言えれば良いのですよね？

A・BとA^{-1}においてkが動かないのは，明らかだと思うのですが．
No.72500 - 2021/01/30(Sat) 14:54:45
☆ Re: 群論について / meow
ITさん
回答ありがとうございます．
No.72501 - 2021/01/30(Sat) 14:55:18
☆ Re: 群論について / meow
連投すみません．
あと(2）についてですが，3>=nだと，対称群は可換でないことから，世紀部分群ではないことを証明すれば良いでしょうか．
No.72502 - 2021/01/30(Sat) 14:56:42
☆ Re: 群論について / IT
3>=nのとき対称群は可換でないことだけからは
その部分群が正規部分群でないと証明できないと思います。
具体的に正規性に反する事例を示せばよいと思います。

正規部分群とはどんな部分群か　書いてみてください。
No.72504 - 2021/01/30(Sat) 15:55:06
☆ Re: 群論について / meow
ITさん回答ありがとうございます．
HをGの部分群としたとき，
Gのどのような元gに対しても
gH=Hg
が成り立つことだと思います．
ご指摘のように集合としてみているので，可換でなくても，正規部分群になることはありえるということですね．

先ほどの3次対称群の例(k=2)だと，
{(1 3),e}は部分群になると思いますが，
(1 2 3){(1 3),e}≠{(1 3),e}(1 2 3)
となるので正規部分群ではないということで良いでしょうか．(反例)

何度も質問申し訳ありません．
No.72508 - 2021/01/30(Sat) 17:14:35
☆ Re: 群論について / IT
(1 2 3){(1 3),e}≠{(1 3),e}(1 2 3)
となることを示さないといけないと思います。
No.72510 - 2021/01/30(Sat) 17:29:26
☆ Re: 群論について / meow
(1 2 3)(1 3)=(2 3)
(1 3)(1 2 3)=(1 2)
eは恒等写像なので
(1 2 3)e=(1 2 3)
e(1 2 3)=(1 2 3)
よって
{(2,3),(1 2 3)}≠{(1,2),(1 2 3)}

このような感じでしょうか．
手取り足取り申し訳ないです．
ご指摘あればいただきたいです．
No.72511 - 2021/01/30(Sat) 17:38:04
☆ Re: 群論について / IT
証明としての書きぶりを整えれば、n＝３の場合はそれでいいと思いますが、

一般のｎ＞２について示すには、Hのすべての元について調べるのは無理なので、

Snのある元a,Hのある元h について、aha^-1がHの元でないことを示せばよいと思います。
No.72512 - 2021/01/30(Sat) 17:49:12
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