こちらの問題の(2)の解説をお願いしたいです。
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No.73715 - 2021/04/17(Sat) 17:20:51
| ☆ Re: 高校数学 整数 / K | | | 私は(1)と同様にやろうとしたのですが、途中でつまってしまいました…
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No.73723 - 2021/04/17(Sat) 19:09:24 |
| ☆ Re: 高校数学 整数 / IT | | | ax+by=2009 を満たす自然数の組(x,y) でxが最大となるものを(s,t)とすると、
as+bt=2009, 1≦t≦a である
?@の自然数解の組は、(s,t)(s-b,t+a),(s-2b,t+2a),...,(s-20b,t+20a)の２１個であり､
s-20b≧1、s-21b≦0。
すなわち 20b+1≦s≦21b
a 倍すると、20ab+a≦as≦21ab
ここでas＝2009-bt なので 20ab+a≦2009-bt≦21ab
20ab≦2009-bt-a≦2004
21ab≧2009-ab すなわち 22ab≧2009
したがって 92≦ab≦99 （必要条件であり十分とは限りませんが、かなり絞られました。）
ab=92=(2^2)*23 のとき a=4,b=23 ,このとき 解が22個あり不適。（これをもっと簡単に排除できるとよいですね）
ab=93 のとき a=3,b=31 とすると条件を満たす。
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ab=94 のときの a=2,b=47
ab=95 のときの a=5,b=19
ab=96 のときの a=3,b=32 などでもOK。
途中もう少しスッキリ出来るのかも知れません。
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No.73727 - 2021/04/17(Sat) 21:46:14 |
| ☆ Re: 高校数学 整数 / ヨッシー  | | | (1) と同じように考えると、
ある a, b に対して?@が成り立つ、x, y を
ｘ＝ｃ, ｙ＝ｄ （ただし、ｄ＜ａ）とすると、ｙは
０＜ｙ＜2009/b の範囲でｃで割った余りがｄの自然数である。
そのようなｙは、c/b＋1 個程度ある。
そこで、
ｂ＝１１、ｃ＝２２０辺りを調べると、
220a＋11y＝2009
を満たせそうな a の値としてa=9 が見つかります。
a=9,b=11 のとき、
x=222, y=1 が１つの解であり、
x=211, y=10
x=200, y=19
・・・・
x=2, y=181
の21個が解となります。
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No.73729 - 2021/04/17(Sat) 23:02:46 |
| ☆ Re: 高校数学 整数 / K | | | ご回答ありがとうございます。
一つ目の13行目で≦99となるのは何故ですか？
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No.73730 - 2021/04/17(Sat) 23:07:37 |
| ☆ Re: 高校数学 整数 / IT | | | 20ab≦2009-bt-a≦2004
両辺を20で割って ab≦2004/20=100.2
ab≦100 ですね。
なお、2 〜2006(=2009-3) の間に 公差ab の等差数列の項が21個含まれる。と考えても良いですね。
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No.73731 - 2021/04/17(Sat) 23:15:53 |
| ☆ Re: 高校数学 整数 / K | | | No.73733 - 2021/04/17(Sat) 23:20:15 |
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