円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5、BC=2、CD+DA=9であるとき、CDの取り得る値の範囲および四角形ABCDの面積の取り得る値の範囲を求めよ。
すみませんが、上記の問題をお教え下さい。よろしくお願いします。
|
No.72434 - 2021/01/27(Wed) 23:34:39
| ☆ Re: 数学?T / らすかる | | | CD≦1のときAB+BC+CD≦DAなので四角形になりません。
CD=1+ε（εは正の小さい数）のとき、AB+BC+CD＞DAなので
円周上にA,B,C,DをAB=5,BC=2,CD=1+εとなるようにとれば
半径が小さくなるときDA→0、半径が大きくなる時DA→8+εとなることから
DA=9-CD=8-εとなるような半径が必ず存在し、条件を満たす四角形ABCDは
存在します。
CD≧8のときAB+BC+DA≦CDなので四角形になりません。
CD=8-ε（εは正の小さい数）のとき、AB+BC+DA＞CDなので
円周上にA,B,C,DをAB=5,BC=2,CD=8-εとなるようにとれば
半径が小さくなる時DA→0、半径が大きくなる時DA→15-εとなることから
DA=9-CD=1+εとなるような半径が必ず存在し、条件を満たす四角形ABCDは
存在します。
従ってCDの取り得る値の範囲は1＜CD＜8となります。
四角形ABCDの面積Sは、ブラーマグプタの公式により
S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
（ただしa=AB,b=BC,c=CD,d=DA,s=(a+b+c+d)/2=8）
ですから、
c→8-0のときs-c→0となり面積はいくらでも0に近い値をとり、
最大はc+d=9,s=8から
(s-c)(s-d)=s^2-(c+d)s+cd=cd-8≦(c+d)^2/4-8=49/4（等号はc=dのとき）
なのでS=√{(8-5)(8-2)(49/4)}=21√2/2となります。
よって面積Sの取り得る値の範囲は0＜S≦21√2/2です。
ブラーマグプタの公式は↓こちら
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
|
No.72441 - 2021/01/28(Thu) 16:33:11 |
| ☆ Re: 数学?T / X | | | 別解)
∠ABC=θ
CD=x
と置くと
条件から
0°＜θ＜180° (A)
で、
前半)
△ABC,△CDAにおいて
CAについての余弦定理により
5^2+2^2-2・5・2cosθ=x^2+(9-x)^2-2x(9-x)cos(180°-θ)
これより
29-20cosθ=x^2+(9-x)^2+2x(9-x)cosθ
∴cosθ=(x^2-9x+26)/(x^2-9x-10) (B)
ここで(A)より
-1＜cosθ＜1 (A)'
(A)'(B)より
-1＜(x^2-9x+26)/(x^2-9x-10)＜1
これより
-(x^2-9x-10)^2＜(x^2-9x+26)(x^2-9x-10)＜(x^2-9x-10)^2 (B)'
∴
-(x^2-9x-10)^2＜(x^2-9x+26)(x^2-9x-10) (C)
(x^2-9x+26)(x^2-9x-10)＜(x^2-9x-10)^2 (D)
(C)より
(x^2-9x-10)(2x^2-18x+16)＞0
(x-10)(x+1)(x-1)(x-8)＞0
∴x＜-1,1＜x＜8,10＜x
(D)より
-1＜x＜10
∴(B)'の解は
1＜x＜8 (E)
xを元に戻して
1＜CD＜8
後半)
四角形ABCDの面積をSとすると
S=(1/2)・5・2sinθ+(1/2)x(9-x)sin(180°-θ)
∴S^2=(1/4){(x^2-9x-10)sinθ}^2 (F)
(F)に(A)を代入すると
S^2=(1/4){(x^2-9x-10)^2}{1-{(x^2-9x+26)/(x^2-9x-10)}^2}
=(1/4){(x^2-9x-10)^2-{(x^2-9x+26)^2}
=-9(2x^2-18x+16)
=-18(x^2-9x+8) (F)
横軸にx、縦軸にS^2を取った(F)のグラフを
(E)の範囲で描くことにより
0＜S^2≦(21^2)/2
∴求めるSの範囲は
0＜S≦(21/2)√2
|
No.72442 - 2021/01/28(Thu) 16:57:27 |
| ☆ Re: 数学?T / とし | | | らすかるさん
Xさん
とても丁寧な解答ありがとうございました！
|
No.72450 - 2021/01/28(Thu) 21:28:57 |
|
