ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ トーナメントの問題 / やまちゃん

数学で組み合わせの問題なのですがさっぱりわかりません。
教えてください。

No.72229 - 2021/01/19(Tue) 23:25:51

☆ Re: トーナメントの問題 / ヨッシー

問１
Ｎ個のチームを１列に並べれば、それだけでトーナメント表が出来る。
少しでも違えば、別のトーナメント表となる。
よって、Ｎ個の物を並べる順列で、Ｎ！通り。

問２
仮に、トーナメント表のより左にある方が先攻、右が後攻とします。
トーナメント表の分岐点（試合）で、左右を入れ替えても同じトーナメント表と
見なすので、問１の結果を、２^(試合数)＝２^(N-1) で割って、
　Ｎ！/２^(N-1)　通り

問３
トーナメント表の頂上から優勝チームを下ろしてきます。
最初の分岐点(試合)で、その試合で負けたチーム（決勝戦敗退）を
加え、左か右に振り分けます。ここで２通り。
左に降りたチームとその試合で負けたチーム（準決勝敗退）を加え
左右に振り分けます。右に降りたチームも同様です。ここまでで、２×２×２通り
その下の４つの試合（準々決勝）で負けたチームを加え左右に振り分けると
　２×２×２×２×２×２×２　通り。
つまり、試合ごとに組み合わせが２倍になるので、２^(N-1)　通り。

No.72257 - 2021/01/20(Wed) 23:55:27

★ 図形の問題です。 / R

高校２年です。次の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

1辺の長さが1の正四面体OABCがある。辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBの中点をQとする。辺OC上に点Rをとり、頂点Oから平面PQRに垂線を引き、その足をHとする。
点Hが三角形PQRの内部にある(周上を含まない)とき、線分ORの長さの取り得る値の範囲を求めよ。

No.72227 - 2021/01/19(Tue) 22:48:52

☆ Re: 図形の問題です。 / らすかる

正四面体OABCの一辺の長さを6√2としてO(0,0,0),A(6,6,0),B(0,6,6),C(6,0,6)とおくと
P(2,2,0),Q(0,3,3),R(t,0,t)(0≦t≦6、OR=(√2)t)となる。
このとき平面PQRの方程式は(t+6)x+(5t-6)y+(-t+6)z=12tとなるので
半直線OHはs(t+6,5t-6,-t+6)(s≧0)と書ける。
平面OABはx-y+z=0,平面OBCはx+y-z=0,平面OCAは-x+y+z=0であり
△ABCの重心は(4,4,4)なので、
正四面体OABCの内部である条件はx-y+z＞0,x+y-z＞0,-x+y+z＞0
よって
(t+6)-(5t-6)+(-t+6)＞0 → t＜18/5
(t+6)+(5t-6)-(-t+6)＞0 → t＞6/7
-(t+6)+(5t-6)+(-t+6)＞0 → t＞2
となり条件を満たすtの範囲は2＜t＜18/5すなわち
2√2＜OR＜(18/5)√2となるので、
一辺の長さが1の場合はこれを6√2で割って
1/3＜OR＜3/5

No.72232 - 2021/01/20(Wed) 02:34:52

☆ Re: 図形の問題です。 / R

丁寧な解説ありがとうございました！

No.72254 - 2021/01/20(Wed) 18:46:02

★ 等式の証明 / 八

高校２年です。
a+b+c=0,abc≠0のとき
{(b-c)/a+(c-a)/b+(a-b)/c}×
{a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)}=9
が成り立つことを証明せよ、という問題を教えて下さい。よろしくお願い致します。

No.72221 - 2021/01/19(Tue) 19:22:31

☆ Re: 等式の証明 / IT

きれいな方法があるかも知れませんが、

まずは、分母≠0を示す。（例えばa≠b）
文字を１つ減らす。
そして　b=ka とおくと(k≠0,1)、kだけの式になります。

No.72222 - 2021/01/19(Tue) 19:30:47

☆ Re: 等式の証明 / 八

どうもありがとうございます！
おかげさまで
左辺＝{(k-1)(2k+1)(k+2)}/{k(k+1)}
×{9k(k+1)}/{(2k+1)(k+2)(k-1)}
＝9＝右辺
となり、証明することができました！

No.72224 - 2021/01/19(Tue) 20:40:37

☆ Re: 等式の証明 / IT

a+b≠0などはいえても、a≠bなど　は、言えませんね（勘違いかも）
例えばa=b=1,c=-2 など､

なので分母≠0という前提があるとするか、自分で断るかですね。

No.72225 - 2021/01/19(Tue) 21:25:27

☆ Re: 等式の証明 / らすかる

分母に(2k+1)(k+2)(k-1)がありますので、
k≠-1/2,k≠-2にも言及しておく必要がありますね。

# abc≠0という条件だけ付けて(a-b)(b-c)(c-a)≠0という条件を付けていないのは
# どういうつもりだったのでしょうね。私は問題に違和感を感じました。
# 解答に「(分母)≠0から(a-b)(b-c)(c-a)≠0」と注釈を書くならば
# abcも同じことで、そもそも問題にabc≠0という条件はいらないはず。

No.72231 - 2021/01/20(Wed) 01:03:15

★ (No Subject) / あすか

[a＋ｂ3√２　:a,b∈Q(有理数)]について通常の加法、乗法に関して体ではないという事を証明しろという問題に関して

a＋ｂ3√２は定義に従うと加法に関して0元も存在するし(a=0,b=0の場合)マイナス元も存在します。また積に関しても交換則や単位元(a=1 b＝0)なども存在するためどう考えても体だと思うのですがどのようにして体でないと証明すれば良いのでしょうか？どなたか教えて下さい。

※ｂ3√２は分かりにくいですがｂ×3乗根の√２です

No.72217 - 2021/01/19(Tue) 18:09:44

☆ Re: / IT

積について、０以外のすべて元に対して逆元が存在しますか？

No.72218 - 2021/01/19(Tue) 18:59:12

☆ Re: / ast

そもそも積で閉じてないから環ですらない

No.72219 - 2021/01/19(Tue) 19:05:48

☆ Re: / IT

↑たしかにそうですね。
　まずは、（可換？）環、体の定義を再確認されることをお勧めします。

No.72220 - 2021/01/19(Tue) 19:18:07

★ 線形代数です / ゆうたろう

すみません、この問題が解けません。分かる方お願いします。

No.72211 - 2021/01/19(Tue) 14:50:27

☆ Re: 線形代数です / ast

(ア) φ の像 Im(φ) とは, 定義通り行列の積を計算すればわかる通り,

　　Im(φ) = {x^1(0;1;1)+x^2(0;-1,1)+x^3(1;1;0)+x^4(1;0;1)+x^5(2;1;1) | x^i は任意の実数}

という A の列ベクトルたちの一次結合全体の成す集合 (とうぜん, φ の終域R^3 の部分空間になります) なのだから, やるべきことはわかるはずです.

(イ) 中学以来お馴染みの書き方をすれば, 連立一次方程式

　0x^1+0x^2+ x^3+ x^4+2x^5=0
　 x^1- x^2+ x^3+0x^4+ x^5=0
　 x^1+ x^2+0x^3+ x^4+ x^5=0

を解け, という問題ですから難しくはないはずです.

(ウ) 特に解説は必要ないと思います. グラム-シュミットなどなんらかの直交化アルゴリズムを習ったのでしょうから, それらの手続きに掛ければよいでしょう.

No.72249 - 2021/01/20(Wed) 15:09:47

★ 極限値 / ３すけ

a,b,c,dは正の定数、数列f[n]がf[1]=a/(a+b)
f[n+1]=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*f[n]+d/(a+b+n*c+n*d)
で定義するとき、limf[n](n→∞)を求めたいのですが、
はさみうちの定理をうまく使えません。
極限値が存在するとしたら、
limf[n]=limf[n+1]=α(n→∞)なので、
α=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*α+d/(a+b+n*c+n*d)
を解いて、
α=1/2
なので、
f[n+1]-1/2=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*(f[n]-1/2)
なので、
a[n]=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)とおくと、
a[n]=1-2d/(a+b+n*c+n*d)より
0<a[n]<1
からlimf[n]=1/2(n→∞)
だと思ったのですが、nが大きくなると
a[n]がだんだんと1に近づいて来るので、
a[1]×a[2]×・・・×a[n]の極限が0にならないような気がします。
また、a[1]は1よりも大きい可能性があるので
f[n]-1/2=a[2]×a[3]×・・・a[n]*(f[2]-1/2)
としないといけないのでしょうか？
極限値を教えてください。

No.72202 - 2021/01/19(Tue) 01:16:42

☆ Re: 極限値 / らすかる

極限値は1/2です。
与式を変形すると
f[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)
f[n]=1/2のときf[n+1]=f[n]
1/2＜f[n]＜1のとき
-1＜1-2f[n]＜0,0＜d/(a+b+nc+nd)＜1なので
f[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＞f[n]+(1-2f[n])=1-f[n]
またf[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＜f[n]なので
1-f[n]＜f[n+1]＜f[n]
1/2-f[n]＜f[n+1]-1/2＜f[n]-1/2
∴|f[n+1]-1/2|＜f[n]-1/2 … (1)
0＜f[n]＜1/2のとき
0＜1-2f[n]＜1,0＜d/(a+b+nc+nd)＜1なので
f[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＜f[n]+(1-2f[n])=1-f[n]
またf[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＞f[n]なので
f[n]＜f[n+1]＜1-f[n]
f[n]-1/2＜f[n+1]-1/2＜1/2-f[n]
∴|f[n+1]-1/2|＜1/2-f[n] … (2)
(1)(2)から0＜|f[n+1]-1/2|＜|f[n]-1/2|なので|f[n]-1/2|は収束し、
従ってf[n]も収束する。
収束値はf[n]=f[n+1]=αとおくことでα=1/2とわかる。

> nが大きくなると
> a[n]がだんだんと1に近づいて来るので、
> a[1]×a[2]×・・・×a[n]の極限が0にならないような気がします。

a[n]=1-2d/(a+b+n*c+n*d) は
p=(a+b)/(2d), q=(c+d)/(2d) とおくと
a[n]=1-1/(p+qn)
=1-1/{(p/n+q)n}
＜1-1/{(p+q)n}
よってp+q=tとおけば
a[1]×a[2]×…×a[n]＜{1-1/t}{1-1/(2t)}…{1-1/(nt)}
右辺の逆数は
{1+1/(t-1)}{1+1/(2t-1)}…{1+1/(nt-1)}
＞1/(t-1)+1/(2t-1)+…+1/(nt-1)
＞1/t+1/(2t)+…+1/(nt)
=(1/t)(1/1+1/2+…+1/n)
→∞(n→∞)
となりますので右辺は0に収束、従って
a[1]×a[2]×…×a[n]も0に収束します。

No.72206 - 2021/01/19(Tue) 11:03:40

☆ Re: 極限値 / ３すけ

らすかるさんありがとうございました。
非常によく理解できました。
f[n+1]-1/2=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*(f[n]-1/2)
の部分で絶対値を取れば
0<f[n]<1/2と1/2<f[n]<1で場合分けしなくても良いでしょうか？

No.72208 - 2021/01/19(Tue) 13:19:58

☆ Re: 極限値 / らすかる

そうですね、良いと思います。

No.72209 - 2021/01/19(Tue) 14:38:55

☆ Re: 極限値 / ３すけ

らすかるさんありがとうございました。

No.72214 - 2021/01/19(Tue) 15:28:42

★ 電場について / 物理

物理の電場についてご質問させて下さい。

画像を以下に添付致します。
数カ所ほど今の自分では解けないところがあり、問題文に波線をさせていただきました。（問３の立式も自信がなかったので、波線を描きました。）
全体的に正答率が良くないかもしれませんが、
間違い箇所がございましたら、お教え頂きたく思います。

解答が間違っているところのみご解答頂けますと幸いです。

どうかよろしくお願い申し上げます。

No.72196 - 2021/01/18(Mon) 21:02:55

☆ Re: 電場について / 物理

もう一つの画像です。
よろしくお願い申し上げます。

No.72197 - 2021/01/18(Mon) 21:04:32

☆ Re: 電場について / X

2
(a)
向きの図示の仕方が間違っています。
物理の教科書、参考書などの磁場の項目で
紙面に垂直な向きの磁場や力の図示の仕方を
調べましょう。
例えば紙面に対して鉛直下向きの場合は
〇の中に×を描く形になっていませんか？

(b)(c)
いずれについてもフレミングの左手の法則を使いましょう。
図示の仕方は(a)の場合と同じです。

No.72198 - 2021/01/18(Mon) 22:03:58

☆ Re: 電場について / 物理

Xさん、ご回答ありがとうございます。
2の(a)は、
先ほど、ネットで調べてみました。○の中に×を書く以外には間違いはないでしょうか？

(b)(c)は法則を見落としておりました。
（b）はｒの距離の線にちょうど重なる形で、導線ｂから導線a方向にベクトルFを書いて、
(c)はその逆向きのベクトルFを導線aから出ているように書く、という解答でよろしいでしょうか？

最後に、上記のベクトルFなどを考えてみて、（d）は「斥力」と解答致しましたが、間違っておりますでしょうか？

どうかよろしくお願い申し上げます。

No.72201 - 2021/01/18(Mon) 23:02:29

☆ Re: 電場について / X

＞＞2の(a)は、～を書く以外には間違いはないでしょうか？
問題ありません。

＞＞(b)(c)は～いう解答でよろしいでしょうか？
問題ありません。

＞＞最後に、～間違っておりますでしょうか？
間違っています。(b)(c)で図示した力の向きを
もう一度よく見ましょう。

No.72203 - 2021/01/19(Tue) 05:41:28

☆ Re: 電場について / 物理

ご指摘頂きまして、ありがとうございます。
理解致しました。

ご回答ありがとうございました。
これからもどうかよろしくお願い申し上げます。

No.72264 - 2021/01/21(Thu) 14:11:46

★ 円と放物線の関係について / 寝屋川のムウマ

放物線y=nx^2と2つの共有点を持つr4000もしくは3000の円について教えてください。
放物線は原点を通り、y軸に対象です。円もy軸に対象ですが、中心が原点ではないです。
以下の図のようになるとき、円の方程式、それから共有点を教えてください。

No.72190 - 2021/01/18(Mon) 18:59:06

☆ Re: 円と放物線の関係について / ヨッシー

円の中心を　(0, a) 、半径をｂとすると、
円の方程式は　x^2＋(y-a)^2＝b^2
これを、ｙ＝ｎｘ^2 に代入して、
　ｙ＝n{－(y-a)^2＋b^2}
ｂには4000 または 3000 が入ります。
これはｙについての２次方程式であり、ｙが重解を持つときのａが、放物線と円が接するときの円の半径となります。

No.72192 - 2021/01/18(Mon) 19:25:26

☆ Re: 円と放物線の関係について / らすかる

x^2+(y-t)^2=r^2,y=nx^2からyを消去して整理すると
n^2x^4+(1-2nt)x^2+t^2-r^2=0
2点で接するためには(判別式)=0かつ(軸)＞0なので
t=(4n^2r^2+1)/(4n)かつn＞1/(2r)
このときx^2=(4n^2r^2-1)/(4n^2)となるので
2接点は(±√(4n^2r^2-1)/(2n),(4n^2r^2-1)/(4n))
従って
y=nx^2とr=4000の円の2接点は
(±√(64000000n^2-1)/(2n),(64000000n^2-1)/(4n))で
円の中心は(0,(64000000n^2+1)/(4n))
（ただしn＞1/8000）
y=nx^2とr=3000の円の2接点は
(±√(36000000n^2-1)/(2n),(36000000n^2-1)/(4n))で
円の中心は(0,(36000000n^2+1)/(4n))
（ただしn＞1/6000）

> ヨッシーさん
xを消すと、yが重解を持っても接しないことがあるのでは？
(nが小さく2点で接することが不可能な場合)

No.72194 - 2021/01/18(Mon) 19:44:48

★ 空間座標 / R

高校２年です。
次の問題を教えて下さい。

空間の4点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)を頂点とする四面体に含まれ、中心軸がz軸と平行な直円柱のうち、体積が最大になるものの底面の半径と高さ、およびその最大値を求めよ。

どうぞよろしくお願いします。

No.72183 - 2021/01/18(Mon) 01:56:05

☆ Re: 空間座標 / ヨッシー

直円柱の底面の半径をｒとします。
底面をｘｙ平面上でｘ軸とｙ軸の両方に接するように置き
高さを最大まで延ばした時を考えます。

図の、点((1＋√2)ｒ，(1＋√2)ｒ，0）をｚ軸方向に伸ばして、
３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面　ｘ＋ｙ＋ｚ＝１に触れるまでが
高さの最大です。
この時の高さは
　ｚ＝１－ｘ－ｙ＝1－2(1＋√2)ｒ　0＜ｒ＜1－1/√2
直円柱の体積Ｖは
　Ｖ＝πｒ^2{1－2(1＋√2)ｒ}＝π{ｒ^2－2(1＋√2)ｒ^3}
ｒで微分して
　dV/dr＝π{2－6(1＋√2)ｒ}ｒ
よって、ｒ＝０で極小、ｒ＝(√2－1)/3 で極大となります。
(以下略)

No.72185 - 2021/01/18(Mon) 06:57:44

☆ Re: 空間座標 / X

直円柱の底面の円の半径ではなくて、
高さを固定した場合の別解の方針を。

問題の円柱の高さをhとして
点O'(0,0,h)
を取ります。
今、3点A,B,Cを通る平面が
x+y+z=1 (A)
であることに注意すると、(A)と
平面z=hとの交線の方程式は
z=h,x+y+h=1 (B)
∴(A)(B)とzx平面、yz平面との交点を
A',B'に取ると、
A'(1-h,0,h),B'(0,1-h,h)
となるので、hを固定したとき、
問題の直円柱の底面の円
の半径が最大となるとき、その円は
△OA'B'の内接円
となっています。
よってこの円の半径をrとすると、
△ABCの面積について
(1/2)r{2(1-h)+(1-h)√2)}=(1/2)(1-h)^2
これより
r=(2-√2)(1-h)/2
∴このときの直円柱の体積をVとすると
V=h・πr^2=π{(3-2√2)/2}h(1-h)^2
=π{(3-2√2)/2}(h^3-2h^2+h)

後はdV/dhを求めて、0＜h＜1の範囲で
Vについての増減表を書きます。

No.72187 - 2021/01/18(Mon) 17:30:42

☆ Re: 空間座標 / らすかる

直円柱を固定して平面を動かす別解（微分は使っていません）

直円柱を固定し、A(t,0,0),B(0,t,0),C(0,0,s)（t＞2）とおいて
平面ABCと直円柱の接点を(1,1,1)とすると
x/t+y/t+z/s=1が(1,1,1)を通ることからs=t/(t-2)
全体を縮小してA(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)となるようにすると
x方向とy方向が1/t倍、z方向が(t-2)/t倍なので
直円柱の体積は(t-2)/t^3倍になる。
(t-2)/t^3=kとおいて整理し、3変数の相加相乗平均を適用すると
1=kt^2+1/t+1/t≧3[3]√kとなるから
kの最大値は1/27となり、そのときkt^2=1/tからt=3
よって平面ABCと直円柱の接点が(1/t,1/t,(t-2)/t)=(1/3,1/3,1/3)
のときに直円柱の体積が最大となるから、
直円柱の底面の半径が(2-√2)/3、高さが1/3のときに
体積が最大値2π(3-2√2)/27となる。

ヨッシーさんの解答ともXさんの解答とも合わないのでいろいろ確認したのですが、

> ヨッシーさん
> 図の、点((1＋√2)ｒ，(1＋√2)ｒ，0）をｚ軸方向に伸ばして、
これは点((2+√2)r/2,(2+√2)r/2,0)ではありませんか？

> Xさん
> △ABCの面積について
> (1/2)r{2(1-h)+(1-h)√2)}=(1/2)(1-h)^2
> これより
> r=(√2-1)(1-h)/2
(1/2)r{2(1-h)+(1-h)√2)}=(1/2)(1-h)^2 を変形すると
r=(2-√2)(1-h)/2 になりませんか？

# もし私の勘違いでしたらご容赦下さい。
# ヨッシーさんとXさんの答えが一致しているので、いくら確認しても不安…

No.72189 - 2021/01/18(Mon) 18:43:22

☆ Re: 空間座標 / R

ヨッシー様
X様
らすかる様

皆さんありがとうございます。
らすかる様のご指摘下さった通り、
点の座標が(r+r/√2,r+r√2,0)で体積を計算したところ、
V=πr^2{1-(2+√2)r}
V'=πr{2-(6+3√2)r}
でr=(2-√2)/3のとき、らすかる様の答えと一致致しました！

沢山の別解ありがとうございます。
じっくり勉強致します！

No.72193 - 2021/01/18(Mon) 19:40:29

☆ Re: 空間座標 / ヨッシー

らすかるさん
いえ、こちらが間違っています。

Ｒさん
らすかるさんの答えと合ってよかったです。

No.72195 - 2021/01/18(Mon) 20:09:46

☆ Re: 空間座標 / X

＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Rさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.72187を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.72199 - 2021/01/18(Mon) 22:07:14

☆ Re: 空間座標 / R

どうもありがとうございました！

No.72226 - 2021/01/19(Tue) 22:42:06