AならばBが成り立つとき、AはBに含まれるので、
余弦定理から三角形の成立条件を導けることから、「余弦定理は三角形の成立条件に含まれる」という関係になると思いました。しかし、調べたところ「三角形の成立条件は余弦定理に含まれる」という関係であるそうです。ほかにも、三角形の成立条件から三角形の各辺の長さが正という条件を導けるので、「成立条件は各辺正という条件に含まれる」と思ったのですが、授業で「各辺正という条件は成立条件に含まれる」と説明されました。どこが間違っているのかがわかりません。回答よろしくお願いします。
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No.73246 - 2021/03/10(Wed) 01:42:46
| ☆ Re: 集合について / 浪人生 | | | 加えて今、気づいたのですが、成立条件→余弦定理も導けるので、余弦定理と三角形の成立条件は同値であるとも言えるのでしょうか?
成立条件→余弦定理の証明)
三角形が存在することと、三角形の成立条件が成り立つことは同値である。よって成立条件が成り立てば、その三角形は存在する。このもとで余弦定理は成立する。よって題意は示された。
いろいろ質問してしまい、申し訳ありません。
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No.73247 - 2021/03/10(Wed) 02:07:35 |
| ☆ Re: 集合について / IT | | | ３点ABCについて a=BC,b=AC,c=AB とする。
例えばa=b=1 c=0 のとき
c^2=a^2+b^2-2abcosC=0 余弦定理成立(?)ですがABCは三角形にならない と思いますが？
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No.73248 - 2021/03/10(Wed) 07:32:09 |
| ☆ Re: 集合について / IT | | | ピント外れかも知れませんが、
一般の正の数a,b,c について 余弦定理に出てくる角度A,B,Cはどう定めますか？
例えば、（平面上の）三角形の３辺の長さになり得ない a=3,b=1,c=1 の場合。
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No.73250 - 2021/03/10(Wed) 07:48:38 |
| ☆ Re: 集合について / 浪人生 | | | 回答ありがとうございます。
余弦定理は、等式単独のものではなく、”三角形が成立する元で等式が成り立つ”という条件付きのものだと思っていたので、成立しない元で余弦定理の等式を使おうと思いませんでした。余弦定理→成立条件を示す際には、やはり三角形が成立しない場合を考える必要があるのでしょうか？
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No.73252 - 2021/03/10(Wed) 14:08:48 |
| ☆ Re: 集合について / IT | | | それぞれの定理や命題を省略せずに書いてみてください。
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No.73253 - 2021/03/10(Wed) 19:04:00 |
| ☆ Re: 集合について / 浪人生 | | | “三角形の成立条件とは、3辺の長さがa,b,cである三角形が存在する必要十分条件のことで、それはa+b>cかつb+c>aかつc+a>bである”
“余弦定理とは、三角形の3辺の長さをa,b,cとした時にa^2=b^2+c^2-2bccosA、b^2=c^2+a^2-2cacosB、c^2=a^2+b^2-2abcosCが成り立つことである”
命題1: 三角形の成立条件が成り立つならば、余弦定理が成立する
命題2: 余弦定理が成立するならば、三角形の成立条件が成り立つ
命題3: 三角形の成立条件が成り立つならば、3辺の長さは正である
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No.73254 - 2021/03/10(Wed) 19:39:23 |
| ☆ Re: 集合について / IT | | | そもそも、今考えている空間で「余弦定理が成立しない。」ということがあるのでしょうか？
定理なので恒真では？
余弦定理は、三角形の辺の長さと角度の関係についての真な命題ですから、三角形の成立条件をうんぬん（議論）することはナンセンスであるような気がします。
浪人生さんは、何が疑問なのかが私には、いまいちよく分かりません。
的外れな回答により混乱させるといけないので、命題論理に詳しい方の回答を待ちたいと思います。
No.73217 の続きですね。続けて質疑応答された方が解決しやすいと思います。
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No.73256 - 2021/03/10(Wed) 19:48:59 |
| ☆ Re: 集合について / 浪人生 | | | 続けて質問するべきでした。申し訳ありません。
疑問をまとめると、
1. 三角形の成立条件が余弦定理に含まれるのか、それとも、余弦定理が三角形の成立条件に含まれるのか。
2. 三角形の成立条件と余弦定理は同値なのか
3. 三角形の成立条件が3辺の長さが正という条件が含まれるのか、それとも、3辺の長さが正という条件が三角形の成立条件に含まれるのか
の3点になります。
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No.73261 - 2021/03/10(Wed) 20:59:48 |
| ☆ Re: 集合について / 黄桃 | | | >AならばBが成り立つとき、AはBに含まれる
の意味が曖昧です。確かに、x∈U(全体集合)に関する条件A(x),B(x)について、命題「(すべてのxについて)A(x)ならばB(x)」が真、と、{x∈U|A(x)}が{x∈U|B(x)}に含まれる、とは同じ、というのは正しいです。
ですが、条件A(x)とそれを満たす集合{x|A(x)}は違います。含む、というのは通常集合について使う用語です。ご質問のケースでは、条件Aが条件Bに含まれる、といっているので、この意味を明確にしてください（とりあえず、条件を満たす集合の包含関係を指していると仮定します）。
なお、条件を扱う場合は、何に関する条件なのか、つまり、変数は何で(例えばa,b,c)、その変数として考える全体集合は何か(例えば実数全体の集合)、ということも、明確にしてください。
以上をふまえて、本題です。
ここでいう余弦定理とは何ですか？
(1) 正の実数 a,b,c と 実数t, 0<t<π についての条件 c^2=a^2+b^2-2abcos(t)
のことですか？
三角形の成立条件とは何ですか？
(2) 正の実数a,b,c について、|a-b|<c<a+b
のことですか？
いずれもYESだとすれば、(1)は a,b,c,t に関する条件で、(2)はa,b,c に関する条件です。
(2)にはtが出てきませんから、(1)から(2)は言えるかもしれません（実際いえます）が、(2)から(1)はいえないでしょう。
同値にしたいなら、ITさんが述べているように、tが何かを示すか、このようなtが存在する、として、a,b,cだけの条件にする必要があります。
a,b,cを正の実数とするとき（全体集合として正の実数全体を考え、そのようなa,b,cに関する条件を考える、という意味）、
条件A: c^2=a^2+b^2-2abcos(t)となる0より大きくπより小さい実数tが存在する
条件B: |a-b|<c<a+b
とすれば、a,b,cに関する条件Aと条件Bは同値です。
なお、a,b,cを単に実数だとすると、ITさんが述べているように、Aでは c=0 としたり、a,b,cのうちいくつか（全部でも）負にしても成立する場合があります。
一方Bでは、a,b,cを実数としても、おっしゃるようにa,b,c>0 が出てきますから、Bと同値ではなくなります。つまり、
a,b,cを実数とするとき、
条件A: c^2=a^2+b^2-2abcos(t)となる0より大きくπより小さい実数tが存在する
条件B: |a-b|<c<a+b
とすると、条件Aと条件Bは同値ではありません（BならばAは言える）。
というわけで、まずは、ITさんがおっしゃっているように、ご自身が思っている2つの条件「余弦定理」と「三角形の成立条件」（特に、何に関する条件で、全体集合は何か）を明確にしてください。
>授業で「各辺正という条件は成立条件に含まれる」と説明されました。
について。
a,b,cを実数とするとき、
条件P: |a-b|<c<a+b
条件Q: a>0 かつ b>0 かつ c>0
とすると、PならばQはいえます(逆はダメです)。だから、Pを仮定する場合はQも仮定できます。
想像ですが、こういう場合に条件P,Qに関して「条件Qは条件Pに含まれる」と言っている可能性があります（条件を満たす集合の包含関係とは逆なので注意が必要です）。正確な意味は授業を行った先生に聞いてください。
なお、最後の質問も、条件同士が「含まれる」というのでは意味が不明確なので、きちんとした命題（条件P,Qを明確にしたうえで、PならばQなどの形にする）で述べてください。
＃おそらく、この整理ができないから疑問になっているのではないかと思います。
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No.73263 - 2021/03/10(Wed) 22:01:51 |
| ☆ Re: 集合について / 浪人生 | | | 自分の条件、命題、集合の理解がとてもいい加減であることに気づきました。疑問を整理してみたら、解決しました。 ITさん、黄桃さん、丁寧に解説していただきありがとうございました、とても助かりました！
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No.73268 - 2021/03/11(Thu) 01:09:31 |
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