問題が間違ってたので再掲します。
(1)はコサインに関する三倍角の公式の
cos(3θ) = 4 cos(θ)3 − 3 cos(θ) を用いるのですが、
それ以降がわからないので教えて下さい
問題文が違い改めて考えたのですが、よくわかりませんでした。
(2)は2 倍角の公式及び解と係数の関係を用いて β, γ を α の多項式として表すとQ(α) がある多項式の Q 上の最小分解体であることがわかる。というヒントがありますがわかりません…
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No.72177 - 2021/01/17(Sun) 21:20:39
| ☆ Re: 代数ガロア拡大 / IT | | | （１）のヒントだけ
θ=2π/9,4π/9,8π/9 のとき cos(3θ)がそれぞれいくらになりますか？
それらを 4(cos(θ))^3 − 3 cos(θ) − cos(3θ) ＝0に代入すると それぞれどうなりますか？
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No.72179 - 2021/01/17(Sun) 21:52:57 |
| ☆ Re: 代数ガロア拡大 / ast | | | > というヒントがありますがわかりません…
実際のヒントがどういう形で与えられているのか知りませんが, もしかして質問者さんが複数のヒントをごちゃまぜにしているのでは……?
β,γ が α の多項式になることは二倍角公式だけからすぐに出ます. そして α の共軛元 β,γ がすべて α の多項式になっているということだけがここで肝要な点です.
# もし γ に二倍角を二度使って α の式にすると次数が 4 と大きくなるのですが,
# これは 2 次以下に落とせるはず (α の最小多項式は 3 次だから) です.
# 次数の落とし方はいろいろありますが, 例えば X^2 の係数に関して根と係数の関係を適用すれば,
# α+β+γ=0 だから, α, β (α の二次式の形) を使って γ は α の二次式として実際に表せる,
# というあたりが「2 倍角の公式及び解と係数の関係を用いて」の部分なのでしょう.
### が, ハッキリ言えばこの部分は全く必要ない議論です.
β, γ が α の多項式になる, ということは α が含まれるような体への拡大では必ず β, γ もその拡大体に入るので, そのような拡大によって分離的多項式 f(X) は必ず分解されるというのが, 本来与えられたヒントから汲むべき骨子ではないかと思います (というか, そこを汲めるようにヒントの文言に出題者が拘るべき話, か).
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No.72252 - 2021/01/20(Wed) 15:37:22 |
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