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★ よろしくお願い致します / めぐみ
この問題の解き方と答えが分かりません。どなたかよろしくお願い致します
No.72044 - 2021/01/12(Tue) 16:56:39
☆ Re: よろしくお願い致します / 関数電卓
(1)
　∫∫D(x/y)dxdy
　＝∫(1,2){∫(x,e)(x/y)dy}dx
　＝…
後は，ご自分で！
No.72056 - 2021/01/12(Tue) 19:47:17
☆ Re: よろしくお願い致します / X
(2)
極座標に変換すると
(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:0→√5]{re^(r^2)}drdθ
=π(e^5-1)
No.72057 - 2021/01/12(Tue) 19:57:10
★ (No Subject) / せい
下の▲ABCがあり、辺BCを直径とする円が辺AB、辺ACに交わる点をそれぞれD、Eとする。AB＝16、BC＝14、CA＝10のとき
BD.DE.ECを求めろ。

この問題でどの公式を使って解けばいいですか？
No.72042 - 2021/01/12(Tue) 15:34:13
☆ Re: / らすかる
BCが円の直径であることからBD⊥CDなので
BD^2+CD^2=BC^2 → BD^2+CD^2=196
AD^2+CD^2=CA^2 → (16-BD)^2+CD^2=100
2式の差をとって 32BD-256=96
∴BD=11
BCが円の直径であることからBE⊥ECなので
EC^2+BE^2=BC^2 → EC^2+BE^2=196
AE^2+BE^2=AB^2 → (10-EC)^2+BE^2=256
2式の差をとって 20EC-100=-60
∴EC=2
AD=AB-BD=5、AE=CA-EC=8
△ABC∽△AEDで相似比は2：1なので、DE=(1/2)BC=7
No.72043 - 2021/01/12(Tue) 16:44:09
☆ Re: / せい
ありがとうございます！
No.72047 - 2021/01/12(Tue) 17:22:59
★ 同相写像 / 鹿
Cを複素数全体の集合とし、
S^3={(x,y,z,w)∈R^4 : x^2+y^2+z^2+w^2=1}を3次元球面とする。このとき、C^2-{(0,0)}からS^3×Rへの同相写像を定義し、それが実際に同相写像になっていることを確かめよ。
この問題で、具体的なC^2-{(0,0)}からS^3×Rへの同相写像が求められません。
ご教授お願いいたします。
No.72035 - 2021/01/12(Tue) 11:09:01
☆ Re: 同相写像 / ast
次元を2つ下げたバージョン: C-{0} ≈ S^1×R ("≈" は同相を表すものとします) は実質的に極形式を考えるだけなので, 本問も同様にできるのでは.
# C,C^2 と書く意味があまりないので最初から R^2, R^4 で考えていいと思います.
# そうすれば常に R^(n+1)-{0} ≈ S^n×R_+ (≈ S^n×R) は同じ仕方で出る.
## ただし, R_+ は正の実数全体とします. また, R と R_+ の同相性は既知と仮定しました.
No.72036 - 2021/01/12(Tue) 13:00:46
☆ Re: 同相写像 / 鹿
そのような考え方があるのですね！
参考にさせていただきます。
No.72068 - 2021/01/12(Tue) 22:59:34
★ (No Subject) / カイ
集合E∊L (L:実数全体の集合Rのルベーグ可測集合の全体)とし、mをルベーグ測度とする。

m(E)<∞のとき、任意のε>0に対して、m(E△F)<εと満たすような自然数Nと有限個の有界な閉区間の和集合Fが存在する.

ただし、E△F=(E＼F)∨(F＼E):EとFとの対称差.

このことを示していただけないでしょうか。
貴重なお時間を頂きますが、よろしくお願いいたします。
No.72033 - 2021/01/12(Tue) 09:16:31
★ (No Subject) / 新田
(2)が分かりません。わかる方よろしくお願い致します。
No.72028 - 2021/01/12(Tue) 01:41:50
☆ Re: / ヨッシー
下の方で［原田］さんが同じ質問をされていますので、ご覧ください。
No.72032 - 2021/01/12(Tue) 06:53:06
★ 教えてくださいまし / 抹茶
僕は数学の自作問題を作るのが趣味な中学２年生(中学３年生の必修範囲までは大体知ってます)のですが、自分が作った問題なのに答えだけわかって、解き方がわかりません。高校から大学の範囲の知識で解ける問題なのでしょうか。よろしくお願いします。ちなみに答えは((t^2-t)/2，t-1)だと思います。
問題
原点をOとする座標平面上に、点A(1＋2＋3＋…＋t，t＋1)をとる。
直線OA上に、x座標とy座標がともに整数値である点Bをとった。点Bの座標を求めよ。
No.72027 - 2021/01/12(Tue) 00:08:45
☆ Re: 教えてくださいまし / らすかる
例えばt=6のときA(21,7)なので
線分OA上に(3,1),(6,2),(9,3),(12,4),(15,5),(18,6)があります。
((t^2-t)/2,t-1)はこのうち(15,5)だけしか言っていませんので
正しくないと思います。
（「((t^2-t)/2,t-1)がOA上にある」は正しいですが、
　「OA上にある格子点は((t^2-t)/2,t-1)」は正しくないということです。）

線分OA上にある全格子点は
(nt/2,n)
（ただしnはtが偶数のとき1≦n≦tを満たす整数、
　tが奇数のとき2≦n≦t-1を満たす偶数）
です。
No.72029 - 2021/01/12(Tue) 04:38:01
★ 集合 / 鹿
R^3を3次元ユークリッド空間とすると、次の部分集合がそれぞれ開集合、閉集合、どちらでもない、のいずれかであるかを理由とともに答えよ。
(1)D={(x,y,z)∈R^3 : x≠0,y≠0,z=0}
(2)原点(0,0,0)
この2問が分かりません。よろしくお願いいたします。
No.72021 - 2021/01/11(Mon) 21:42:54
☆ Re: 集合 / IT
開集合、閉集合　の定義はどうなっていますか？
No.72022 - 2021/01/11(Mon) 21:51:47
☆ Re: 集合 / 鹿
定義はある程度理解しているつもりですが、証明に自信がありません。
例えば、R^2を2次元ユークリッド空間としたときA={(x,y)∈R^2 : x^2+y^2=1}に関して、
f:R^2→R,f(x,y)=x^2+y^2とすると、fは連続であり、A=f^-1({1})
ここで{1}はRの閉集合なのでAはR^2の閉集合
というように証明をしました。
No.72023 - 2021/01/11(Mon) 22:12:11
☆ Re: 集合 / IT
定義を直接書いてください。
No.72024 - 2021/01/11(Mon) 22:15:38
☆ Re: 集合 / 鹿
すみません。
A が R^nの開集合であるとは、
∀x∈A ∃ε>0 s.t. B(x;ε)⊂A

AがR^nの閉集合であるとは、
∀x∈Aの補集合　∃ε>0 s.t. B(x;ε)⊂Aの補集合
No.72025 - 2021/01/11(Mon) 22:20:37
☆ Re: 集合 / IT
（１）まず開集合かどうか
定義に従って、(x,y,z)∈Ｄについて　(x,y,z)のある近傍がＤに含まれるように出来るか調べてみるとよいのでは？

３次元だと少しむつかしいかも知れませんが、ポンチ絵を描くのも理解を助けると思います。

次元を落として２次元で類例を考える方法もあります。
No.72026 - 2021/01/11(Mon) 22:53:59
☆ Re: 集合 / 鹿
ありがとうございます。
考えてみます。
No.72034 - 2021/01/12(Tue) 11:07:06
★ 大学数学確率論 / サンダース
. 測度空間(S, Σ, µ)とf, g ∈ (mΣ)+ に対して、fµ = gµが成り立つならば、
f = g µ-a.e. であることを示せという問題が分かりません。

どなたか解説して頂けると幸いです。
No.72019 - 2021/01/11(Mon) 19:14:40
★ 大学数学確率論 / サンダース
大学の確率論の問題です

確率変数 X ∈ L(Ω, F, P) に対して、
E[X | {Ø, Ω}] = E[X] a.s.
であることを示せという問題が分かりません。

どなたか教えて頂けると幸いです。
No.72018 - 2021/01/11(Mon) 19:08:40
★ 積分です / meg
こちらの積分の計算の途中式が分かりません。お願い致します。
No.72013 - 2021/01/11(Mon) 13:37:28
☆ Re: 積分です / X
(与式)=I[n]
と置くと
I[n]=[{-√(1-x^2)}x^(2n)][0→1]+2n∫[0→1]{√(1-x^2)}{x^(2n-1)}dx
=2n∫[0→1]{√(1-x^2)}{x^(2n-1)}dx
=2n∫[0→1]{(1-x^2)x^(2n-1)}/√(1-x^2)dx
=2n{I[n-1]-I[n]}
∴I[n]={2n/(2n+1)}I[n-1]
となるので
I[n]={2n/(2n+1)}{2(n-1)/(2n-1)}・…・(2/3)I[0]
={{{(2^n)n!}^2}/{(2n+1)!}}∫[0→1]{x/√(1-x^2)}dx
={(4^n)(n!)^2}/(2n+1)!
No.72014 - 2021/01/11(Mon) 14:26:44
☆ Re: 積分です / meg
ありがとうございます！
No.72015 - 2021/01/11(Mon) 14:39:30
★ 微分方程式 / meow
形式的議論ではなく，数学的に厳密に解け．
とはどのような意味なのでしょうか．

解法等についてご教授お願いいたします．
No.72009 - 2021/01/10(Sun) 22:58:05
☆ Re: 微分方程式 / meow
画像を忘れておりました．
No.72010 - 2021/01/10(Sun) 22:58:37
☆ Re: 微分方程式 / meow
微分方程式の解は写真のようになると思われます．
No.72011 - 2021/01/11(Mon) 03:20:15
☆ Re: 微分方程式 / X
0で割ることを避けるように場合分けをして解け、ということでは？。
No.72012 - 2021/01/11(Mon) 12:26:31
☆ Re: 微分方程式 / meow
Xさん．回答ありがとうございます．
試してみます．
No.72020 - 2021/01/11(Mon) 21:32:44
★ 線形代数 / 大学生
次の問題が示せません。ご教授お願い致します。

内積X•Y=tr(X’Y) (X’はXの転置)とする。
X:n次正方行列、B:直交行列のとき、F: X→XBが直交変換であることを示せ。
No.72001 - 2021/01/10(Sun) 18:47:53
★ 中2数学 / かえるくん
解き方がわからないのですが、教えていただきたいです。
3けたの正の整数Nがある。Nを100で割った余りは百の位の数を12倍した数に1を加えた数に等しい。
また、Nの一の位の数を十の位に、Nの十の位の数を百の位に、Nの百の位の数を一の位にそれぞれ置きかえてできる数はもとの整数より63大きい。このとき、正の整数Nを求めなさい。

答え　673
No.72000 - 2021/01/10(Sun) 18:33:22
☆ Re: 中2数学 / かえるくん
> 変数は３つ使っていいですか？
2次方程式までしか習ってないですが、解き方教えてもらっていいですか？
No.72003 - 2021/01/10(Sun) 19:10:33
☆ Re: 中2数学 / X
＞＞Nを100で割った余り
がNの下二桁となっているのが最初のポイントです。

Nの百の位の値をaとすると、条件からNの下二桁は
12a+1
とならなくてはならないので
13≦12a+1≦99
これより
12≦12a≦98
1≦a≦49/6 (A)
一方、このとき
N=100a+12a+1 (B)
従って後半の条件の桁ずらしをした後の値は
10(12a+1)+a
となるので(B)より
100a+12a+1+63=10(12a+1)+a (C)
(C)をaについての方程式として解くと
a=6
これは(A)を満たします。
よって(B)から
N=673
No.72004 - 2021/01/10(Sun) 19:30:21
☆ Re: 中2数学 / かえるくん
Xさま

丁寧に教えていただきありがとうございます！！
じっくりもう一度やってみます！
No.72005 - 2021/01/10(Sun) 20:12:30
★ 図形の問題です。 / 高1
BC=8,∠A=30°の鋭角三角形ABCがある。点Bから辺ACに引いた垂線の足をD、点Cから辺ABに引いた垂線の足をEとする。このとき、3点A,D,Eを通る円の半径を求めよ、という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.71998 - 2021/01/10(Sun) 14:52:46
☆ Re: 図形の問題です。 / IT
図形問題は、まず作図から始まります。
作図して書き込んでください。BDとCEの交点をFとしてください。

（ポイント）
△ADEについての正弦定理から・（途中省略）・・3点A,D,Eを通る円の半径=DE。
△FEDと△FBCの相似比を使うと　DE=(√3/2)BC　がいえます。
No.71999 - 2021/01/10(Sun) 18:31:44
☆ Re: 図形の問題です。 / 高1
どうもありがとうございました！
No.72006 - 2021/01/10(Sun) 20:55:05
★ 【再送】中学数学　関数問題に関して / めや
質問です。
（ア）-1/2
（イ）y=-1/2x-1
となるのは分かったのですが、その後の線分EFと線分FDの長さの比がどうしても求め方がわかりません。
どなたか、教えていただけないでしょうか？
ちなみに答えは1:2でした。
No.71994 - 2021/01/09(Sat) 21:32:54
☆ Re: 【再送】中学数学　関数問題に関して / IT
分かっている点の座標や直線の式などを図に書き込む

２点OCを通る直線の方程式を立てる
直線OCと直線DEの交点である点Fのｘ座標を求める（ｙ座標を求めてもいいです）
そのために直線OCの方程式と直線DEの方程式の連立方程式を解きます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
EFとFCの傾きの比から求めることも出来ます。
FからECに垂線FGを引きます。
No.71996 - 2021/01/09(Sat) 22:01:37
★ 接点 / グリーンの定理について
解説がないのでわかる方お願いします
No.71991 - 2021/01/09(Sat) 17:35:47
☆ Re: 接点 / X
(4)
グリーンの定理により
∫[C]ω=∬[D]{dx/dx-(d/dy)(y+2)}dxdy=0

(5)
C[2]と-C[2]は積分路が逆向きになっているだけなので
∫[-C[2]]ω=-∫[C[2]]ω
ということで-1倍

(6)
(5)の結果とCの定義により
∫[C]ω=∫[C[1]]ω-∫[C[2]]ω

(7)
条件のとき、C[2]において
ω=2dx
∴a=2

(8)
(7)の結果と点A,Bの定義から
I=∫[√3→-√3]2dx=-4√3
No.72007 - 2021/01/10(Sun) 21:15:13
★ 空間座標 / kei
高校２年です。

Oを原点とする座標空間の3点を
A(-1,2,-2),B(6,0,-3),C(-2,4,-1)とする。直線BC上に中心Pをもつ球面は、点Aを通りOA⊥APを満たす。この球面と直線BCの交点をE,Fとするとき、三角形OEFの面積を求めよ。

という問題なのですが、
直線BC:(x,y,z)=(6,0,-3)+t(-4,2,1)上の
点P(6-4t,2t,-3+t)に対して、↑AP⊥↑AOからt=3/2を求め、P(0,3,-3/2)であること。また、AP=3/2なので問題の球面の方程式が
x^2+(y-3)^2+(z+3/2)^2=9/4
であることが分かりました。

その後、2点E,Fの座標を求めるため、再び直線BC上の点の座標を(6-4t,2t,-3+t)として、球面の方程式に代入して7t^2-21t+15=0
∴t=(21±4√21)/14
まで求めたのですが、このあと、△OEFの面積を計算するには
△OEF=1/2√{(OE^2×OF^2)-(↑OE・↑OF)^2}などを用いて地道に計算するしかないのでしょうか？
上で求めた2つのtをα、βとして、EのF座標をα、βで表して面積を計算し、最後にα+β=3,αβ=15/7を 代入すれば最終的に面積は求まると思うのですが、方針は以上のような形でよろしいでしょうか？

最初の段階で、違う観点(図形的な視点)から考えるべき問題なのではないかと思い、質問させていただきました(計算量が随分と多くなりそうなので)。

よろしくお願い致します。
No.71988 - 2021/01/09(Sat) 14:10:36
☆ Re: 空間座標 / ヨッシー
ＥＦは球の直径なので、３です。
Ｏから直線ＢＣまでの距離が高さになります。
たとえば、Ｏを通って、ＢＣに垂直な平面
　−4x＋2y＋z＝0
の式に、ＢＣの式を代入すれば、ＯからＢＣに下ろした
垂線の足の座標が求められます。
No.71989 - 2021/01/09(Sat) 14:47:01
☆ Re: 空間座標 / kei
ヨッシー様

ありがとうございます！
とてもよくわかりました！
No.71990 - 2021/01/09(Sat) 15:19:09
★ (No Subject) / 原田
全く分かりません。わかる方よろしくお願い申し上げます。
No.71985 - 2021/01/09(Sat) 06:16:43
☆ Re: / IT
（１）は「ヤコビアン」の定義にしたがって、基本的な微分計算をするだけです。「ヤコビアン」が既習でないのに出題されることはないと思いますので、テキストを確認されることをお勧めします。
No.71987 - 2021/01/09(Sat) 09:29:27
★ (No Subject) / 守屋
dx/dt＝X^１＋ϵ　　ϵ > 0, x(0) = c0 > 0 の解は有限時間しか存在しないことを示せという問題が分かりません。
どなたか教えて頂けると幸いです。

※ちなみに【C0】はネットでの書き方が分からなかったのでこう書きましたがC×0ではなくX1、Y1などのように文字の下に数字が小さく書いてあるものです
No.71982 - 2021/01/08(Fri) 12:18:08
☆ Re: / X
問題の微分方程式から
{1/x^(1+ε)}dx/dt=1
∴-1/(εx^ε)=t+C
(Cは任意定数)
ここで
x(0)=C[0]
ゆえ
C=-1/(εC[0]^ε)
∴-1/(εx^ε)=t-1/(εC[0]^ε)
x^ε=-(C[0]^ε)/(εtC[0]^ε-1)
よって
x＞0
という条件付きであるなら
0≦t＜1/(εC[0]^ε)
となるので命題は成立します。
No.71983 - 2021/01/08(Fri) 18:47:55
☆ Re: / 守屋
Xさん分かりやすい解説ありがとうございました！
No.72017 - 2021/01/11(Mon) 18:46:04
★ 大学数学 微分分野 / 守屋
大学3回生です。

定理 U は平面上の点 (x0, y0) を含む開集合とし, f(x, y) ∈ C^２(U ; R)
かつ
f(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) ＝ 0でないとする. このとき (x0, y0) の近傍で f(x, y) = 0 をみたすｘ、ｙはC1-関数φ(ｘ)によってｙ＝φ(ｘ)と書ける　

この定理の証明方法をどなたか教えて頂けると幸いです。
No.71981 - 2021/01/08(Fri) 12:08:38
☆ Re: 大学数学 微分分野 / IT
「陰関数定理」で検索すると、いくつも見つかると思います。

何らかの形の「陰関数定理」は、既習ではないのですか？
No.71984 - 2021/01/08(Fri) 22:18:42
☆ Re: 大学数学 微分分野 / 守屋
ITさんありがとうございます
なんとか頑張ってみます！
No.72016 - 2021/01/11(Mon) 18:45:21
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