高校2年です。
nを正の整数とする。A(n,n,n),B(n,-n,-n),C(-n,n,-n),D(-n,-n,n)を頂点とする四面体の内部および表面に含まれる格子点の個数を求めよ、という問題を教えて下さい。
よろしくお願いします。
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No.72577 - 2021/02/02(Tue) 01:34:22
| ☆ Re: 格子点 / らすかる | | | z=t（-n≦t≦n）で切って考えると、
t=nのとき
(n,n,n)と(-n,-n,n)を結ぶ線分なので格子点は2n+1個
t=n-1のとき
(n,n-1,n-1),(n-1,n,n-1),(-n,-n+1,n-1),(-n+1,-n,n-1)を
4頂点とする長方形なので、格子点は1×2+3×(2n-1)=6n-1個
t=n-2のとき
(n,n-2,n-2),(n-2,n,n-2),(-n,-n+2,n-2),(-n+2,-n,n-2)を
4頂点とする長方形なので、格子点は(1+3)×2+5×(2n-3)=10n-7個
t=n-3のとき
(n,n-3,n-3),(n-3,n,n-3),(-n,-n+3,n-3),(-n+3,-n,n-3)を
4頂点とする長方形なので、格子点は(1+3+5)×2+7×(2n-5)=14n-17個
・・・
t=n-k（k＜n）のとき
(n,n-k,n-k),(n-k,n,n-k),(-n,-n+k,n-k),(-n+k,-n,n-k)を
4頂点とする長方形なので、格子点は
{1+3+5+…+(2k-1)}×2+(2k+1)(2n-(2k-1))
=2(2k+1)n-2k^2+1=2n^2+2n-2t^2+1個 … (1)
t=0のとき
(n,0,0),(0,n,0),(-n,0,0),(0,-n,0)を4頂点とする正方形なので、
格子点は1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=2n^2+2n+1個
(1)はt=nやt=0のときも正しいので、全部で
Σ[t=-n〜n]{2n^2+2n-2t^2+1}=(2n+1)(4n^2+4n+3)/3個
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No.72578 - 2021/02/02(Tue) 02:35:14 |
| ☆ Re: 格子点 / kei | | | とても丁寧に解説していただき、ありがとうございました！
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No.72596 - 2021/02/02(Tue) 23:44:27 |
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