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★ 高一:場合の数 / 山田山
この問題に対して次の様な解き方で解きましたが解答と数値が一致しませんでした。何が原因か教えて頂けると幸いです。
No.87701 - 2024/03/10(Sun) 23:36:43
☆ Re: 高一:場合の数 / WIZ
特定の2人をA, Bとし、特定でない8人をC〜Jとします。

特定の2人(A, B)から2人を選ぶ方法は、C(2, 2) = 1通り
特定でない8人(C〜J)から5人を選ぶ方法は、C(8, 5) = 56通り

特定の2人(A, B)から1人を選ぶ方法は、C(2, 1) = 2通り
特定でない8人(C〜J)から6人を選ぶ方法は、C(8, 6) = 28通り

合計は、1*56+2*28 = 112通り

質問者さんの誤りは、特定の2人(A, B)から1人を選んだ場合、
その選んだ特定の人以外の9人から6人を選んでいること。
選んだ特定の人以外の9人には特定の2人の内の選ばれなかった人も含まれてしまっている
なので、特定の2人が同時に選ばれる場合を重複して数えてしまっている。
No.87705 - 2024/03/11(Mon) 00:56:46
☆ Re: 高一:場合の数 / 山田山
回答ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。
No.87706 - 2024/03/11(Mon) 01:58:53
★ 対数関数の不等式 / 数学
(2)についてです。過去問で勉強してるの
ですが、解説はありません。
真数条件でx＞2までしか分からず
どう解けば良いのか教えて頂きたいです。
No.87690 - 2024/03/10(Sun) 20:00:13
☆ Re: 対数関数の不等式 / IT
まず絶対値記号を除去します。

Log(x)+Log(x-2)-1＜3
Log(x)-(Log(x-2)-1)＜3,底2の表記は省略
は解けますか？

解けないなら、分かり易い解説付きの問題集をやる方が効率的だと思います。
No.87694 - 2024/03/10(Sun) 20:31:28
☆ Re: 対数関数の不等式 / 数学
回答ありがとうございます。
底がeなら省略されるっていう知識しかなく
よく分かってないです。
こんな感じでやれば値は求めれたのですが、
説明不足だったりしますかね、、、
No.87696 - 2024/03/10(Sun) 21:42:05
☆ Re: 対数関数の不等式 / IT
底2は、普通は省略しません。私がこの場の入力を簡単にするために省略したのです。
No.87697 - 2024/03/10(Sun) 21:50:31
☆ Re: 対数関数の不等式 / IT
適当な所に「かつ」を書いた方が良いと思います。
No.87698 - 2024/03/10(Sun) 21:55:59
☆ Re: 対数関数の不等式 / 数学
ITさん、ありがとうございます！助かりました！
No.87702 - 2024/03/11(Mon) 00:01:22
★ 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
こんにちは

整数問題-０7 京都大学過去問

何卒宜しくお願いします

以下問題

------------------------------
No.87681 - 2024/03/10(Sun) 15:38:22
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2
a=2を代入して整理すると(2b-5)(4c-5)=33となり、この式とb＜cを満たす解はない。
b=2を代入して整理すると(2a-5)(2c-1)=15となり、この式とa＜cを満たす解は(a,c)=(3,8)のみ。
従って条件を満たす解は(a,b,c)=(3,2,8)
No.87686 - 2024/03/10(Sun) 18:39:17
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / IT
少し違う解答のポイント（完成答案ではないです）
右辺＜17c なので ab≦8
またa,b は2以上で互いに異なるのでab≧6
よってab=6,8

左辺は偶数なのでbは偶数。
以上から(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2)　後は簡単。
No.87688 - 2024/03/10(Sun) 19:09:37
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

こんばんは

お久しぶりです

ご回答ありがとうございます。

早速ですが

>a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、‥?@
>(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2…?A

?@の不等式は、a≧3かつb≧3とすると仮定して評価されていますが、

a≧4かつb≧4とすると(左辺)≧32c
右辺)≦17cなので解なし、よってa=3,2またはb=3,2

とも考えられませんか

何卒宜しくお願いします
No.87689 - 2024/03/10(Sun) 19:50:41
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
a≧3かつb≧3で成り立たないのですから、3を大きくしても意味がありません。
a≧10かつb≧10とかでも同じことが言えますが、何か意味がありますか？
No.87699 - 2024/03/10(Sun) 22:00:32
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生
こんばんは

a≧4かつb≧4とすると(左辺)≧32c
右辺)≦17cなので解なし、よってa=3,2またはb=3,2

>a≧3かつb≧3で成り立たない

此れは、右辺)≦17cなので解なしを意味するもので

a=3,2またはb=3,2の場合を考慮しないでもいいわけではない



とは言えない


何が成り立たないのでしょうか
No.87700 - 2024/03/10(Sun) 23:27:05
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
何を言いたいのかわかりません。
「何が成り立たないのでしょうか」の「成り立つ」が何を指しているのかもわかりません。
例えば
a≧10かつb≧10とすると(左辺)≧200c
(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2,3,4,5,6,7,8,9またはb=2,3,4,5,6,7,8,9
としたらa=2,3,4,5,6,7,8,9とb=2,3,4,5,6,7,8,9の考慮が必要
と言いたいのですか？
数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れないだけのことなので
a≧4かつb≧4とするのは全く意味がないことだと思いますが。
単に
a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい
という考え方が正しいか、という意味でしたら正しいですが、そういうことでしょうか。
No.87707 - 2024/03/11(Mon) 02:05:27
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

夜遅くまでありがとうございます。

早速ですが

ラスカル先生の論法ですと

>数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

のです

>a≧3かつb≧3

だけから議論を始めた事に誤りがあるのではないでしょうか

>a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい

そのとらえ方で相違ありません

a≧3かつb≧3　のみで始めた論法は一般性を欠くと思われます
No.87708 - 2024/03/11(Mon) 02:54:42
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
なぜa≧3かつb≧3から始めるのが誤りなのですか？
なぜ一般性を欠くのですか？
a≧4かつb≧4から始めたら一般性を欠かないのですか？
「a≧3かつb≧3」の否定は「a＜3またはb＜3」なので
「a≧3かつb≧3のとき解なし」ならば
「解があるのはa＜3またはb＜3のとき」
この論理のどこに問題がありますか？
No.87710 - 2024/03/11(Mon) 02:59:32
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>a≧4かつb≧4から始めたら一般性を欠かないのですか？

これも一般性を欠きます


数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

では議論になりません。
No.87711 - 2024/03/11(Mon) 03:17:27
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)

------------------------------------
「a≧3かつb≧3」の否定は「a＜3またはb＜3」なので
「a≧3かつb≧3のとき解なし」ならば
「解があるのはa＜3またはb＜3のとき」
この論理のどこに問題がありますか？
--------------------------------------

問題ないと思われます
No.87712 - 2024/03/11(Mon) 03:22:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
問題ないのに、なぜ「一般性を欠く」とか「議論にならない」ということになるのですか？
解の範囲を絞るために
「条件Aを仮定すると解が存在しないから、
解が存在するためには条件Aを満たさない場合だけを考えればよい」
のように考えるのは全くもって普通の解き方だと思いますが、
これの何が悪いのですか？
No.87713 - 2024/03/11(Mon) 03:26:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
そもそも、
a≧3かつb≧3

から始めた議論です

その議論が

数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

では、一般的な議論はできません
No.87714 - 2024/03/11(Mon) 03:33:08
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
それが理解できません。
解の範囲をなるべく狭く絞りたいから、
右辺の係数2+5+10=17から
17より大きい18になるように
2×3×3=18からa≧3,b≧3とすれば最大限に絞れる
という考え方で決めた数です。
数字を大きくすると解の存在範囲を絞れないのではなく、
解の候補が多くなってその後が面倒になるだけで
別にa≧4かつb≧4から始めても問題はありません。
「一般的な議論」が何のことを言っているのか
いまだにサッパリわかりませんので、
何を意味しているのか具体的に書いてもらえませんか？
No.87715 - 2024/03/11(Mon) 03:42:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)


ラスカル先生は
a≧3,b≧3

から始めて

a≧4かつb≧4

仮に

a≧pかつb≧p とすると

ラスカル様の論法では

考慮すべきpは無限大に存在します

それを一般的に扱えますか
No.87716 - 2024/03/11(Mon) 04:10:49
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
この問題では、「考慮すべきp」は無限には存在しません。
（例えばp=10などは考慮するだけ無駄なので、「考慮すべきではありません」。）
p=3だけ考慮すれば十分であり、4以上のpは考慮する必要がありません。
p=3の考慮だけで全く正しく問題が解けているのに、なぜ4以上を考慮する必要があるのですか？
No.87717 - 2024/03/11(Mon) 04:16:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>この問題では、「考慮すべきp」は無限には存在しません。

全くその通りです

ただ、ラスカル様の論法では

------------------------------------------

a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい

--------------------------------------------

無限に存在します。
No.87718 - 2024/03/11(Mon) 04:24:14
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「考慮可能なもの」は無限に存在しますが
「考慮すべきもの」は無限ではありません。
「考慮可能なものが無限に存在する」ということは、すなわち「解き方が無限に存在する」ということになるだけで、その無限にある解き方のうち最も簡単なものが「a≧3かつb≧3」ですから、この条件にするのが最適です。
No.87719 - 2024/03/11(Mon) 04:32:57
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)

----------------------------------------------

その無限にある解き方のうち最も簡単なもの

が「a≧3かつb≧3」ですから、この条件にするのが最適です。

------------------------------------------

此れは議論ではありません

「最も簡単なもの」これは主観です
No.87720 - 2024/03/11(Mon) 04:51:37
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>「考慮すべきもの」は無限ではありません。
「考慮すべきもの」此れは主観ですか？
No.87721 - 2024/03/11(Mon) 05:02:51
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
---------------------------------------
a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい
という考え方が正しいか、という意味でしたら正しいです
-------------------------------------------
つまり、無限大に考慮しなければなりません。
No.87722 - 2024/03/11(Mon) 05:12:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
> 「最も簡単なもの」これは主観です
主観ではありません。
a≧3かつb≧3のときに解がないことが示せれば、
解を調べるのはa=2とb=2の二つだけです。
これをa≧4かつb≧4にするとa=2,3とb=2,3の4つ、
a≧5かつb≧5にするとa=2,3,4とb=2,3,4の6つですから、
どう考えても「a≧3かつb≧3」とするのが最も簡単です。

> 「考慮すべきもの」此れは主観ですか？
主観ではありません。
例えば「a≧3かつb≧3のときに解がない」ことが示せれば、
自動的に
「a≧4かつb≧4のときに解がない」
「a≧5かつb≧5のときに解がない」
・・・
も成り立ちますので、「考慮すべきもの」は一つしかありません。
もし何かの勘違いで
「a≧4かつb≧4のときに解がない」
を示してしまったとしても、やはり自動的に
「a≧5かつb≧5のときに解がない」
「a≧6かつb≧6のときに解がない」
・・・
も成り立ちますので、同じく「考慮すべきもの」は一つしかありません。
つまりどれか一つのpに関して考慮すればそれ以上は考慮する必要がありませんので、
「考慮すべきものは無限」ということはあり得ません。
No.87723 - 2024/03/11(Mon) 05:25:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
少し話が逸れたようです。原点に戻りましょう

>a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2

a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮

しなければなりません
No.87724 - 2024/03/11(Mon) 06:06:15
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
朝が来ちゃいましたね

ありがとうございます。
No.87725 - 2024/03/11(Mon) 06:08:59
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
No.87724 - 2024/03/11(Mon) 06:06:15
補足

(考慮すべき),(考慮可能)ではなく

考慮しなければなりません
No.87726 - 2024/03/11(Mon) 06:17:24
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことが示せたら、
「a≧4かつb≧4のとき」
「a≧5かつb≧5のとき」
なども解がないことが自明ですから、
「a≧3かつb≧3」で考えれば「a≧4かつb≧4」や「a≧5かつb≧5」などを
「考慮する必要はありません」。

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2とb=2を考慮する必要があります。
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2,3とb=2,3を考慮する必要があります。
「a≧pかつb≧pのとき解はない」ことがわかった場合、
2≦a＜pと2≦b＜pを考慮する必要があります。
これらは当然ですが、
「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことを示す労力
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことを示す労力
「a≧5かつb≧5のとき解はない」ことを示す労力
・・・
は全く同じですから、
その後に示すのがa=2とb=2の二つだけである
「a≧3かつb≧3」について示すのが最も簡潔な解答になります。
No.87727 - 2024/03/11(Mon) 06:42:21
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
長くお付き合い頂きありがとうございます。

「労力」とは、どういう意味ですか

また、

No.87727 - 2024/03/11(Mon) 06:42:21

を答案にするとどの様になりますか
No.87728 - 2024/03/11(Mon) 07:00:16
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「労力」は、ほぼそれを示すの書く必要のある文字数です。
並べて書いたものは全部全く同じ式で数値が異なるだけですから、
労力は同じですね。

「87727を答案にする」とはどういう意味ですか？
「答案としてa≧3かつb≧3のとき解はないこととa=2とb=2について調べれば十分」
ということを詳しく説明しているだけで、87727は答案ではありません。

一つ質問なのですが、私が87686で書いた最初の解答は「誤り」とお考えですか？
No.87729 - 2024/03/11(Mon) 07:06:16
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>一つ質問なのですが、私が87686で書いた最初の解答は「誤り」とお考えですか？

以下の記述が無い限り不十分と考えます
-------------------------------------------

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2とb=2を考慮する必要がある
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2,3とb=2,3を考慮する必要がある。
「a≧pかつb≧pのとき解はない」ことがわかった場合、
2≦a＜pと2≦b＜pを考慮する必要がある

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことを示す労力
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことを示す労力
「a≧5かつb≧5のとき解はない」ことを示す労力
・・・
は全く同じである
その後に示すのがa=2とb=2の二つだけである

-----------------------------------------------
No.87730 - 2024/03/11(Mon) 07:20:50
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
それではもうこれ以上説明しても（今まで説明したことの繰り返しにしかならず）理解して頂くのは無理っぽいので、これで終わりにします。
87686の解答は
a=2かつb=2の場合は「a=2のとき」と「b=2のとき」に含まれる
a=2かつb≧3の場合は「a=2のとき」に含まれる
a≧3かつb=2の場合は「b=2のとき」に含まれる
a≧3かつb≧3の場合は最初の解なしの説明に含まれる
となっていてすべての場合を網羅しており、完全に正しく、不十分な点は何一つありません。
87730で書いてあることは解答には全く不要です。
以後、このスレへの回答は控えさせていただきます。
No.87731 - 2024/03/11(Mon) 07:49:14
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.87732 - 2024/03/11(Mon) 07:55:46
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / 通りすがり

横レス失礼
Nishino氏は、「a≧3かつb≧3」を満たす正の整数(a,b)の集合が、「a≧pかつb≧p (p≧4)」を満たす正の整数(a,b)の集合を含んでいるという集合の包含関係を理解していないように見える。だから、別の集合と考えて、場合分けのようにp≧4に言及しないといけないと考えているのではないか。
　
もしNishino氏が上記のことを理解しているとしたら、上記のこと（集合の包含関係）を自明とするらすかる氏と、自明としてはいけないと考えるNishino氏の間で齟齬が生じているように見える。（私は自明派）
No.87744 - 2024/03/12(Tue) 20:31:10
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / けんけんぱ
もう一つ横レスです
Nishino氏は中学2年なのですから、まずは学校の先生に質問するのが良いと思います。
ネットの掲示板では、文字だけのやりとりですので、読解力と文章力を必要とします。
見ていると語彙の少ないNishino氏では、どちらもまだ未熟であると言わざるを得ません。
まずは身近な大人に質問をし、ネットの掲示板を利用する際はその大人が質問するようにした方がいいと思いますよ。
No.87746 - 2024/03/12(Tue) 23:07:01
★ 三角関数 / 高校生
QA²の計算方法が分かりません。
答えは分かるのですがその過程の展開
を詳しく知りたいです。
No.87676 - 2024/03/10(Sun) 14:38:27
☆ Re: 三角関数 / 高校生
Q(cos2θ，sin2θ)です。
No.87677 - 2024/03/10(Sun) 14:39:52
☆ Re: 三角関数 / IT
図で考えると計算は簡単だと思います。
No.87678 - 2024/03/10(Sun) 14:58:21
☆ Re: 三角関数 / IT
下図のとおり、QA^2= (2sinθ)^2 です。
No.87687 - 2024/03/10(Sun) 18:54:04
☆ Re: 三角関数 / Nishino (中学２年生)
IT先生へ

質問とは異なるのですが

添付されているきれいな図は

何のソフトを使って作成されているのですか
No.87691 - 2024/03/10(Sun) 20:02:10
☆ Re: 三角関数 / IT
> 何のソフトを使って作成されているのですか
grapes です
https://tomodak.com/grapes/
No.87693 - 2024/03/10(Sun) 20:25:22
☆ Re: 三角関数 / Nishino (中学２年生)
IT先生

こんばんは


教えて頂きありがとうございます。

早速、インストールして練習してみます

彼処
No.87695 - 2024/03/10(Sun) 21:25:11
★ 整数問題-０6 鳥取大学 / Nishino (中学２年生)
整数問題-０6 鳥取大学

こんにちは

何卒宜しくお願いします

以下問題

----------------------------------------
No.87665 - 2024/03/09(Sat) 01:51:58
☆ Re: 整数問題-０6 鳥取大学 答案 / Nishino (中学２年生)
こんにちは

答案出来ました

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
No.87679 - 2024/03/10(Sun) 15:04:57
☆ Re: 整数問題-０6 鳥取大学 / Nishino (中学２年生)
追伸

Pick's theorem を格子点の個数を求めることが楽になる問題は、先ずないのであるが、、、
この問題は、特異のケース
No.87680 - 2024/03/10(Sun) 15:11:21
★ 最大値のｘの範囲がわかりません / 宇宙人
答えは順番に0　2√3/9　5
なんですけど解き方が分かりません。
No.87663 - 2024/03/08(Fri) 23:40:48
☆ Re: 最大値のｘの範囲がわかりません / IT
問題を正しく理解できていますか？
（母国語（＝日本語？）で書いてみられた方がいいかも）

特に,「"the number of real　solutions" is maximum 」は、
「"solutions" is maximum 」ではないですよ。

問題を正しく理解されたうえで、まずy=x|x^2-3x+2| のグラフを描きます。
No.87667 - 2024/03/09(Sat) 08:29:38
★ 体積の求め方（３）の問題 / 学力不足　中３
答え　１８√２　㎤
学力不足で解き方が解りません。詳しい解説を、よろしくお願いします。
No.87657 - 2024/03/08(Fri) 19:38:07
☆ Re: 体積の求め方（３）の問題 / IT
(2)の 線分AH の長さはどうなりましたか？

△ABHの面積は分かりますか？
（ABを底辺としたときの高さを三平方（ピタゴラス）の定理で求ます。）

後は、三角錐の体積の公式を使えば、問題の体積が求められると思います。
No.87658 - 2024/03/08(Fri) 20:06:53
☆ Re: 体積の求め方（３）の問題 / 学力不足　中３
ありがとうございます。何とか解けました。
No.87666 - 2024/03/09(Sat) 04:24:40
★ 確率と期待値 / Nick
この問題の解説をお願い致します
No.87653 - 2024/03/08(Fri) 13:19:56
☆ Re: 確率と期待値 / Nick
(1)と(2)はこのようになりました。(3)は(2)の和で求められるかと思うのですが、この式ではおそらく発散するので求められず、分かりません。
よろしくお願い致します
No.87654 - 2024/03/08(Fri) 13:22:34
☆ Re: 確率と期待値 / IT
(2)までが合っているかは、最後までは確認していませんが
合っていたとして、(3)の和は、有限和なので「発散」しないのでは？
No.87659 - 2024/03/08(Fri) 21:42:51
☆ Re: 確率と期待値 / Nick
私の発散という解釈が間違っていました。ただNを無限大にすることができれば区分求積法から求められるとは思うのですが、問題からはNを無限大にすることはできないです。したがって値を出すことはできないと思いました。
No.87660 - 2024/03/08(Fri) 22:09:10
☆ Re: 確率と期待値 / IT
Σが使ってあっても各Nについて値は求まっていることに違いはないと思いますが？
No.87661 - 2024/03/08(Fri) 22:42:52
☆ Re: 確率と期待値 / Nick
それはそうなのですが、シグマを使わずに値を表すことはできないです。私はシグマを使わずに値を出したいのです。
No.87662 - 2024/03/08(Fri) 22:54:19
★ 高校 数学A 場合の数と確率 期待値について / 高校2年生
下記のような問の期待値を求める問題で、私と先生との答えが違っている状況です。

・コインを投げ、表が出たらもう一度投げられるが、裏が出たら終わりというゲームである。
・1回目に表が出たら4円、2回目に表が出たら4の2乗の16円、3回目に表が出たら64円貰える。
というようにn回目まで連続して表を出したら、4のn乗円もらえる。
（→3回目まで表の時は、足した84円でなく、64円のみである）
・裏が出たら、ゲーム終了で、それまでの金額も没収で0円となる。・途中でやめることもでき、やめた場合はその時の金額がもらえる
・表が出る限り最大で10回目まで投げることができる。
なおその時の当選金額は1048576円である

このゲームの期待値を求める際、
私は人によってやめる回数が変わるので期待値はそれぞれのやめる回数の期待値の最小値（1回目 確率1/2 当選金4円 期待値2円）から期待値の最大値（10回目 確率1/1024 当選金1048576円 期待値 1024円）の間の金額となると思うのですが、
先生は1回目から10回目の期待値を求め、足してしまい、2046円となっています
(正確には期待値の定義式x1p1+x2p2+…+xnpnに代入して求めていると思います)

もし私の考え方が違っている場合は、期待値をどういう捉え方で考えたらよいか、教えていただき、
先生の考え方が違っている場合は、期待値が2046円にならない理由を教えてほしいです。
よろしくお願いします
No.87650 - 2024/03/08(Fri) 08:05:09
☆ Re: 高校 数学A 場合の数と確率 期待値について / WIZ
この問題文だけでは当選金の期待値は計算できないと思います。
私が問題文に不足していると思う情報は「ゲームをやめるかやめないかの確率」です。

当選金を確率変数x, その当選金となる確率pとすれば
期待値はΣ{x[k]p[k]}という定義で、人による解釈の違いが入り込む余地はありません。
xの取り得る値は{0, 4, 4^2, 4^3, ・・・, 4^10}の11通りで、これは問題文から明確に分かります。
しかし、各xの値に対する確率pが問題文からは決定できないと思うのです。

質問者さんの考え方に誤りがあると思う点として、
「最小値（1回目 確率1/2 当選金4円 期待値2円）」という記述です。

当選金を得るためにはゲームをやめるという選択をしなければなりません。
例えば、(やめる確率, やめない確率) = (1/2, 1/2)だとすると、
最小値である1回目は、(当選金 = 4円)*(表が出る確率 = 1/2)*(やめる確率 = 1/2) = (期待値 = 1円)
となるのではないかと思います。

数学から少し離れますが、(やめる確率, やめない確率)について考察してみると

参加費が無く、負けても当選金が0になるだけで損をすることはないのだから、
常に(やめる確率, やめない確率) = (0, 1)というギャンブラー(!)もいるでしょう。

或いは、1回や2回表がでても当選金なんてたかが知れているからやめないが、
もし5回も続けて表が出たら当選金は1000円超えなので、次裏が出て没収されるのは惜しいから
この辺でやめておくかと考える人もいるでしょう。
この場合は当選金が増えるとやめる確率も上がるという慎重派というか現実派とも言えます。

10回続けて表が出たらやめなくてはいけないのだから、
この時は(やめる確率, やめない確率) = (1, 0)とも言えます。
当選金は最大で4^10なのだから、k回目(1 ≦ k ≦ 10)での
(やめる確率, やめない確率) = ((1/4)^(10-k), 1-(1/4)^(10-k))とか?

先生がどういう計算をしたのかは分かりませんが、
9回目までは(やめる確率, やめない確率) = (1/2, 1/2)という固定、
10回目は(やめる確率, やめない確率) = (1, 0)だとすると、

x[0] = 0, 1 ≦ k ≦ 10としてx[k] = 4^k,
1 ≦ k ≦ 9としてp[k] = ((1/2)^k)(1/2), p[10] = (1/2)^10
p[0] = 1-Σ[k=1, 10]p[k] = 1-(1/4){1-(1/2)^10}/{1-1/2} = 1/2-(1/2)^11

(期待値) = Σ[k=0, 10]{x[k]p[k]}
= 0*{1/2-(1/2)^11}+Σ[k=1, 9]{(4^k)((1/2)^k)(1/2)}+(4^10)((1/2)^10)
= (1/2)Σ[k=1, 10]{(2^k)}+2^10 = (1/2)*2*(1-2^10)/(1-2)+1024 = 2^10-1+1024 = 2047

(やめる確率, やめない確率) = ((1/4)^(10-k), 1-(1/4)^(10-k))だとすると、
(期待値) = Σ[k=0, 10]{x[k]p[k]}
= 0*1+Σ[k=1, 10]{(4^k)((1/2)^k)((1/4)^(10-k))}
= Σ[k=1, 10]{(2^k)(4^(k-10))} = Σ[k=1, 10]{(8^k)/(4^10)}
= (8/(4^10)){1-8^10}/{1-8} = (8/7)(8^10-1)/(4^10) = 1170.28574・・・

# まあ、私の個人的感覚が多分に入った理屈ですから、話半分として聞いといてください。
No.87651 - 2024/03/08(Fri) 11:34:46
☆ Re: 高校 数学A 場合の数と確率 期待値について / 黄桃
>裏が出たら、ゲーム終了で、それまでの金額も没収で0円となる。
のであれば、
k回(k≧1)続けて表が出たらやめる、という作戦の期待値は確かに
(1/2)^k*2^(2k)=2^k (円)です。
この期待値が最大になるのはkが最大の時です。
だから、期待値を最大にする作戦、というのであれば、裏が出るまで続けろ、ということになります。

＃1回だけのゲームなら、無理ゲーでも、
＃期待値の計算では、いくらでも(1兆回でも)繰り返してもよい
＃という前提なので、一発勝負とは話がかなり変わってきます。

>先生は1回目から10回目の期待値を求め、足してしまい、
これは裏が出ても没収されない場合ですね。
先生は、没収されない場合を扱った有名な問題(サンクトペテルブルクのパラドックス、あるいは、サンクトペテルブルクの問題)をアレンジしようとしてうっかりしたのではないでしょうか。
Wikipedia にいろいろ書いてあるので興味があれば読んでみてください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
No.87668 - 2024/03/09(Sat) 11:44:48
★ 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
整数問題-０5 学習院大学大学

おはようございます。
雪が降っております。ご自愛くださいませ。

何卒宜しくお願いします

以下問題

------------------------------------
No.87649 - 2024/03/08(Fri) 06:52:26
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
問題の等式から
m^2-1=2^n
(m+1)(m-1)=2^n
∴正の整数の組(m,n)の候補に対し
m+1=2^k (A)
m-1=2^(n-k) (B)
(但し、k=0,1,…,n)
(A)-(B)より
2^k-2^(n-k)=2
∴2^n={2^(k-1)-1}・2^(k+1) (B)'
ここで
2^(k-1)-1は偶数にはなりえない
ことに注意すると
2^(k-1)-1=1
∴k=2
このとき(A)(B)'から
(m,n)=(3,3)
No.87656 - 2024/03/08(Fri) 19:24:29
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんばんは

お久しぶりです。

回答読ませていただきました

以下答案です

------------------------------

ありがとうございます。

大筋、私も同じ考え方をしました
No.87664 - 2024/03/09(Sat) 01:37:50
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
＞＞(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)=2
とありますが
(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)
とした根拠は何ですか？
No.87669 - 2024/03/09(Sat) 16:49:55
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんにちは

返信が遅くなり申し訳ありません

早速ですが

>(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)とした根拠は何ですか？

m+1>m-1, かつ、(m+1)-(m-1)=2

から

(m+1)=2^(k+1)と置くなら,
(m-1)=2^k と置く他ありません
No.87682 - 2024/03/10(Sun) 15:50:48
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
いえ、
m+1=2^(k+1) (A)
m-1=2^k (B)
と置くことができることは分かります。
そうではなくて、何故そのとき
＞＞(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)
と変形できるか、ということです。
(A)(B)のとき
(m+1)-(m-1)=(2^k)(2-1)=2^k
ではありませんか？
No.87683 - 2024/03/10(Sun) 16:58:22
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんにちは

>(m+1)-(m-1)=(2^k)(2-1)=2^k

申し訳ございません。その通りですね

ここから、k=1 と保証できます

ご指摘ありがとうございます。
No.87684 - 2024/03/10(Sun) 17:30:02
★ よろしくお願いします / cavy
斜線部の面積を求める問題です。小学生が分かる解き方でお願い致します。
No.87643 - 2024/03/07(Thu) 11:10:27
☆ Re: よろしくお願いします / らすかる
二つの直角三角形は相似なので
6：(下の直角三角形の縦の長さ)=(上の直角三角形の横の長さ)：4
よって
(下の直角三角形の縦の長さ)×(上の直角三角形の横の長さ)=6×4=24
なので
(斜線部の面積)=(下の直角三角形の縦の長さ)×(上の直角三角形の横の長さ)÷2=12
No.87644 - 2024/03/07(Thu) 11:41:46
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
新しく斜線を引いた部分と同じ面積であると
気づいたなら、
　4×6÷2＝12
と出来ます。
No.87646 - 2024/03/07(Thu) 13:07:04
☆ Re: よろしくお願いします / cavy
どちらの解法も小学生が理解出来そうです。ありがとうございました。
No.87655 - 2024/03/08(Fri) 16:50:32
★ 確率　期待値 / Nick
(2)(3)を教えていただきたいです。
(1)は順に1/3, 11/45, 681/4050となりました。もし違うのであればご指摘お願いします。
No.87630 - 2024/03/05(Tue) 20:56:45
☆ Re: 確率　期待値 / ヨッシー
(1) は合っていますが、約分し切れていないものがあります。

この問題、出典は何ですか？
No.87639 - 2024/03/07(Thu) 00:52:13
☆ Re: 確率　期待値 / Nick
227/1350でしたね。ありがとうございます
出典は東京大学の2020年度編入学試験からです。
No.87641 - 2024/03/07(Thu) 08:39:03
☆ Re: 確率　期待値 / Nick
(2)の(b)(c)は解答できました。合っているでしょうか？ただ(d)(e)の漸化式の解き方が分かりません。(c)は数列を書き出して求めました。
No.87642 - 2024/03/07(Thu) 09:50:11
☆ Re: 確率　期待値 / WIZ
(2)(a)
現状で残り球数は、n ≧ 1かつ(赤, 青, 白) = (L, M, n)個として、S = L+M+nとおきます。
白がn個ある状態で、後m回でゲーム終了となる確率をp(n, m)とします。

p(n, 1) = (赤) = L/S

p(n, 2) = (青赤)+(白赤)
= (M/S)(L/S)+(n/S)(L/(S-1))
= (M/S)p(n, 1)+(n/S)p(n-1, 1)

p(n, 3) = (青){(青赤)+(白赤)}+(白){(青赤)+(白赤)}
= (M/S){(M/S)(L/S)+(n/S)(L/(S-1))}+(n/S){(M/(S-1))(L/(S-1))+(n/(S-1))(L/(S-2))}
= (M/S)p(n, 2)+(n/S)p(n-1, 2)

一般に、mを2以上の整数として
p(n, m) = (M/S)p(n, m-1)+(n/S)p(n-1, m-1)
となると推論できます。

厳密ではありませんが、確率p(n, m)は、
青を引き(確率 = M/S)、白がn個のまま後m-1回でゲーム終了となる(確率 = p(n, m-1))か、
白を引き(確率 = n/S)、白がn-1個となり後m-1回でゲーム終了となる(確率 = p(n-1, m-1))
という確率の和であるということで証明に代えさせて頂きます!

G(n)とは終了となるまでのゲーム回数の期待値だから、

G(n) = Σ[m=1, ∞]{p(n, m)*m}
= p(n, 1)*1+Σ[m=2, ∞]{p(n, m)*m}
= L/S+Σ[m=2, ∞]{{(M/S)p(n, m-1)+(n/S)p(n-1, m-1)}*m}
= L/S+Σ[m=1, ∞]{{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}*(m+1)}
= L/S+Σ[m=1, ∞]{{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}*m}+Σ[m=1, ∞]{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}

ここで、確率の総和なので、
Σ[m=1, ∞]p(n, m) = 1
Σ[m=1, ∞]p(n-1, m) = 1
と考えられるので(厳密なのか?)

⇒ G(n) = L/S+(M/S)*G(n)+(n/S)*G(n-1)+M/S+n/S
⇒ S*G(n) = L+M*G(n)+n*G(n-1)+M+n
⇒ (S-M)*G(n) = (L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)

・・・と目的の式は導けます。
# 不備だらけだと思いますので、識者の方のツッコミよろしくお願いいたします!
No.87645 - 2024/03/07(Thu) 12:00:33
☆ Re: 確率　期待値 / WIZ
> Nickさん
答案についてコメントします。

(c)で(a)の関係式を使ってしまうなら、
(b)でも使ってしまえばもっと短い回答にできると思いますがというツッコミは置いといて、

(b)はL = Mという前提なのだから、そして明記されていませんがL ≠ 0だと思いますので、
G(0) = (L+M)/Lで計算を止めないで、G(0) = (L+M)/L = 2L/L = 2ですよね?

次に(c)の回答で、
> G(N) = (N/(1+N))*G(N-1)+(2+N)/(1+N)
> G(N) = (N^2+5N+4)/(2(N+1))
と上の式から下の式にいきなり変形しているのが気になります。
# 何か暗算でできるような上手い方法があるのかな?
# 「数列を書き出して」って書いてありましたね。失礼!

L = M = 1, n = N, G(0) = 2で、G(n)を数列と捉えれば、(a)の関係式から

(L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
⇒ (1+N)*G(N) = 2+N+N*G(N-1)
⇒ (1+N)*G(N)-N*G(N-1) = 2+N
⇒ Σ[k=1, N]{(1+k)*G(k)-k*G(k-1)} = Σ[k=1, N]{2+k}
⇒ (1+N)*G(N)-1*G(0) = 2N+N(N+1)/2
⇒ (1+N)*G(N) = G(0)+(N^2+5N)/2 = 2+(N^2+5N)/2
⇒ G(N) = (N^2+5N+4)/(2(N+1)) = (N+1)(N+4)/(2(N+1)) = (N+4)/2

(d)
L = M = 2, n = N

(L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
⇒ (2+N)*G(N) = 4+N+N*G(N-1)
⇒ (2+N)(1+N)*G(N) = (4+N)(1+N)+(1+N)N*G(N-1)
⇒ (2+N)(1+N)*G(N)-(1+N)N*G(N-1) = N^2+5N+4
⇒ Σ[k=1, N]{(2+k)(1+k)*G(k)-(1+k)k*G(k-1)} = Σ[k=1, N]{k^2+5k+4}
⇒ (2+N)(1+N)*G(N)-2*1*G(0) = N(N+1)(2N+1)/6+5N(N+1)/2+4N

# 続きは質問者さんの方で計算してみてください!

(e)
L = M = 3, n = N

(L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
⇒ (3+N)*G(N) = 6+N+N*G(N-1)
⇒ (3+N)(2+N)(1+N)*G(N) = (6+N)(2+N)(1+N)+(2+N)(1+N)N*G(N-1)

# 計算が面倒なだけで、(c)(d)とほとんど同じ。
# 実は(c)(d)の計算からもっと効率的な方法が見えてくるのかもしれませんね。
No.87647 - 2024/03/07(Thu) 21:14:05
☆ Re: 確率　期待値 / Nick
大変詳しい解説ありがとうございます。復習してみます。
No.87652 - 2024/03/08(Fri) 13:19:08
★ 京都大学過去問　不定方程式 / Nishino (中学２年生)
京都大学過去問　不定方程式

何卒宜しくお願いします

以下問題

--------------------------------------
No.87625 - 2024/03/05(Tue) 13:08:37
☆ Re: 京都大学過去問　不定方程式 答案 / Nishino (中学２年生)
おはようございます。

答案を作成しましたので添付します

結構苦労して作成しました

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

追伸　ラスカル先生お帰りなさい、少し心配しました。
No.87648 - 2024/03/08(Fri) 04:04:17
☆ Re: 京都大学過去問　不定方程式 / GandB
　よくもまあこんな方法を考えつくもんだなあ。
　常識的な解法は絶対に使いたくないという質問者の趣味＆執念に、ある意味感心するwwwwwww
　答えは合っているんだろうが、とても詳細を追う気にはなれない。
　ただ、入試問題の解答ということであれば、採点者は大量の解答を裁かないといけないので、詳細を追うのをめんどくさがって大幅減点されるかもしれないwwww
No.87692 - 2024/03/10(Sun) 20:18:14
★ 敬えるWIZ先生へ / Nishino (中学２年生)
こんにちは

ご指摘ありがとうございます。

答案に補足しました

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

>No.87622 - 2024/03/05(Tue) 12:00:32
No.87623 - 2024/03/05(Tue) 12:25:59
★ 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
黄色チャートの問題なのですが、模範解答とは違う解法をしたところ、余分な解が出てきてしまいました。おそらく回答過程で同値関係が崩れてしまったのだと考えているのですが、どこで間違えているのか、なぜ間違えているのかを教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。
No.87615 - 2024/03/05(Tue) 02:19:56
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
すみません。
画像が荒くて見えづらいので一つずつ送りなおします。
No.87616 - 2024/03/05(Tue) 02:23:25
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
二枚目です
No.87617 - 2024/03/05(Tue) 02:24:09
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
三枚目です
No.87618 - 2024/03/05(Tue) 02:24:40
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / らすかる
同値関係が崩れているのは
> これらが2次方程式x^2+bx+a=0…(ii)の解になるので
> x=-a,x=bをそれぞれ(ii)に代入しても成り立つ
の部分です。つまり
「-aとbが2次方程式x^2+bx+a=0の解」⇒「x=-a,x=bをそれぞれ代入しても成り立つ」
は正しいですが、逆が正しくありません。お察しの通り-a=bの場合に問題があります。
つまり-a=bの場合は
「bが2次方程式x^2+bx+a=0の全解」⇒「x=bを代入して成り立つ」
という意味になりますので、x^2+bx+a=0の解がx=bと他の値である場合も
成り立ってしまいます。
従って求めた答えで-a=bとなった場合は、x^2+bx+a=0の解でbでないものが
存在すれば（すなわちbが重解でなければ）不適となります。
No.87619 - 2024/03/05(Tue) 04:19:24
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
丁寧なご回答ありがとうございます。

理解を深めるため自分なりの言葉で要点をまとめましたので誤りがありましたらご指摘ください。

-a≠bのとき、「-aとbが2次方程式x^2+bx+a=0の解」⇔「x=-a,x=bをそれぞれ代入して成り立つ」は正しい。
しかし、
-a=bのとき、「bとbが2次方程式x^2+bx+a=0の解（bが重解）」⇒「x=bを代入して成り立つ」は正しいが、逆は正しくない。（反例：2次方程式x^2+bx+a=0の解がx=b,x=(b以外の値)のとき）
ゆえに、-a＝ｂのとき得られたa=-1/2,b=1/2についてはx^2+bx+a=0に代入して、この2次方程式がx=b=1/2という重解をもつか十分性を確認する必要がある。
重解を持つならば、a=-1/2,b=1/2も適する。
重解を持たないならば、a=-1/2,b=1/2は不適。
今回の場合、
a=-1/2,b=1/2をx^2+bx+a=0に代入して得られた2次方程式x^2+1/2x-1/2=0はx=1/2の他にx=-1を解に持つので、a=-1/2,b=1/2は不適である。


また、このような同値性を練習できるような単元や問題（高校数学までの範囲）、同値性が関わる問題を解くときの意識すべきことや知っておくべき知識など、役に立ちそうなことを何でも教えていただけたら幸いです。
No.87629 - 2024/03/05(Tue) 17:32:23
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / らすかる
同値性が問題になるようなケースはそれほど多くないと思います。具体的に思い出せるのは、根号の付いた方程式で両辺を2乗するときとか、2乗以上の連立方程式を解くような場合ぐらいですね。なので、それ以外の場合の同値性については私も結構不注意かも知れません。
ただし私は、答えが元の条件を満たすかどうかという確認は（同値変形しかしていないつもりであっても）ほぼ毎回行いますので、今回の問題を同じ解き方で解いたとしても不適解には気づいたと思います。同値性を気にするかどうかにかかわらず、答えの確認の癖は付けた方が良いのではないかと思います。そうすれば、少なくとも不適解を解答してしまうことは避けられますね。
No.87633 - 2024/03/06(Wed) 00:43:46
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
ご回答ありがとうございます。
「答えを確認する癖」意識していきたいと思います。そのうえで、なぜ不適解が出てきてしまうのかという理論の部分まで考察できるように精進していきたいです。

らすかる様、この度は誠にありがとうございました。
No.87638 - 2024/03/06(Wed) 23:29:46
★ 極座標 / ムアンスリン
極座標でr<0を考えることがいまいち分かりません。解説いただけるとありがたいです。
No.87614 - 2024/03/04(Mon) 23:45:51
☆ Re: 極座標 / WIZ
解説と言えるかどうか分かりませんが、-1 = e^(iπ)なのだから、rとθを実数として、
r < 0ならr*(e^(iθ)) = |r|*(e^(i(θ+π)))であり、|r| ≧ 0ですよね?
No.87674 - 2024/03/10(Sun) 12:05:59
★ (No Subject) / 1
こんにちは
こちらの問題は途中式は必要ですか？
必要であれば教えていただきたいです。
No.87608 - 2024/03/04(Mon) 15:29:28
☆ Re: / ヨッシー
要らんでしょう。
No.87610 - 2024/03/04(Mon) 15:51:51
★ (No Subject) / Nick
高校　確率の問題
この問題を教えてください
No.87606 - 2024/03/04(Mon) 14:13:44
☆ Re: / Nick
略解ですが、このようになりました。検算はn=2まで行いましたが合っているでしょうか？
No.87607 - 2024/03/04(Mon) 14:15:11
☆ Re: / ヨッシー
合ってると思います。
最後は 1/2＋(1/2)^(n+1) や(1/2)(1＋1/2^n) の方が、
スマートかと思います。
No.87609 - 2024/03/04(Mon) 15:43:14
☆ Re: / Nick
ありがとうございます。漸化式がかなり大変だったのですが、簡単に解ける別解などはあるのでしょうか？
No.87611 - 2024/03/04(Mon) 16:24:38
☆ Re: / 黄桃
問題の書き方からしてP12(n)等々を求めずともP1(n)が求まりそうだ、と想像し、
P23,P24,P34がなんとかならんか、と考えるわけです。
すると
P23(n)+P24(n)+P34(n)=1-(P12(n)+P13(n)+P14(n))
=1-P1(n)
に気づいて、
P1(n+1)=P12(n+1)+P13(n+1)+P14(n+1)
=(1/2)P1(n)+1/4
がすぐ出てきます。
No.87613 - 2024/03/04(Mon) 23:31:33
☆ Re: / Nick
P1(n+1)=P12(n+1)+P13(n+1)+P14(n+1)
=(1/2)P1(n)+1/4
なぜこのような式変形になるのでしょうか？
No.87620 - 2024/03/05(Tue) 09:20:49
☆ Re: / Nick
ごめんなさい、理解しました
こちらの方が簡単でいいですね。教えていただきありがとうございました。
No.87621 - 2024/03/05(Tue) 09:32:54
★ 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
整数問題-０3 東京大学

こんにちは

何卒宜しくお願いします

以下問題

------------------------------
No.87595 - 2024/03/03(Sun) 09:18:02
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / けんけんぱ
ひとつお尋ねします。
何を、お願い、しているのでしょうか？
問題の解答、それともあなたの解答の添削？
中学2年なら、学校の先生に聞いてみるのがいいと思いますよ。
No.87596 - 2024/03/03(Sun) 09:34:35
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / GandB
　No.87586と同じく有名問題らしいので、ネット上に解答が大量にあるぞ。
No.87597 - 2024/03/03(Sun) 10:37:22
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)

けんけんぱさん

こんにちは

>何を、お願い、しているのでしょうか？

この掲示板には、優秀な回答者様が揃っているので、例えばこの問題ならどの様にお考えになるのかを知りたくて質問ささせて頂いております

また、この問題の答案は作成中です

彼処
No.87598 - 2024/03/03(Sun) 10:46:55
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
GandB先生、
こんにちは

お久しぶりです。

>ネット上に解答が大量にあるぞ。

ここの掲示板を除いて。ネット上に解答は稚拙な解法が多いので解説をネット上に解答で探す事はしておりません

彼処
No.87599 - 2024/03/03(Sun) 11:10:51
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / IT
有限の問題ですから、どうとでも解けますが
「稚拙な解法」と言われるのは嫌なので書きません。

簡単なプログラムで解くと　a=625 です。
No.87600 - 2024/03/03(Sun) 15:43:40
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
IT先生、

今晩は

>「稚拙な解法」と言われるのは嫌なので書きません。

ネット、参考書などは、だれが読んでも分かるように配慮された解法が掲載されており、解法を追求することを望めば不向きと考えています。

IT先生を含めここの掲示板は、敬える方ばかりですので、誤解を招いたならお許しください
No.87601 - 2024/03/03(Sun) 18:55:26
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / IT
私は、だれが読んでも分かるような、出来るだけ簡明な解法が良いと考えています。
この問題も私の解法は
a^2-a=a(a-1)でa とa-1 は互いに素
10000＝(2^4)(5^4)=16*625
625≡1(mod16)
aは３以上で16*625より小さい奇数
を使います。他の解法も大筋で同じような解法になると思います。
No.87603 - 2024/03/03(Sun) 23:01:03
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
IT先生、並びに諸先生方

おはようございます。

私の答案が出来上がりましたので、添付します

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
No.87604 - 2024/03/04(Mon) 09:38:07
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
答案にミスがありました。

申し訳ございません
No.87605 - 2024/03/04(Mon) 10:19:51
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / WIZ
何故「a^2-a-625k*16l = 0」から「(a-625k)(a+16l) = 0」が導けるの?

500歩くらい譲って導けるとしても、-1000の因数分解は(-625)*16だけじゃない。
b, cを整数として-1000 = bcなら(a-bk)(a-cl) = 0という可能性もあるんじゃないの?
(b, c) = (625, -16)以外を排除して良い理由は何?

もし、最終的に正しい結果だとしても途中経過を端折って結論だけ書くのはダメでしょ?
曲芸の様で、自分だけ分かる展開だとみんな感心してくれるとでも思ってるの?
数学は誰が見ても納得する論理の展開で主張を正当化する理屈の塊りだよ。

そもそも、aは奇数なんだからa+16lも奇数、つまりa+16l ≠ 0。
なので「(a-625k)(a+16l) = 0」はa = 625kということと同じだ。
何故、序盤からそんなことが言えるのか?
解法を知っていて、そこから逆算したからじゃないの?

この質問者さんは回答レスが付いた場合、その回答に記載された論理を避けて自身の答案を作成する性癖がある。
だから、ITさんのレスで使われている「aとa-1は互いに素」という論理は何が何でも使いたくない。

解法をネットや参考書で調べていて「625k-16l = 1」という不定方程式は避けられないから、
「a^2-a-625k*16l = (a-625k)(a+16l)」という根拠のない式を捻出して、
係数比較で「625k-16l = 1」を捻出し辻褄を合わせたというところだろう。

おそらく殆ど全ての解法が「aとa-1は互いに素」であることを用いているはず。
aは奇数だからa-1は偶数、よって16はa-1の約数となりlを整数としてa = 16l+1
625がa-1の約数であると仮定すると、a-1 ≧ 16*625 > 9999-1と前提に反するので、
625はaの約数となりkを整数としてa = 625k
以上から625k = 16l+1を得る・・・となっていると思う。

数学とは無関係な話になるが「この掲示板は、敬える方ばかり」などと言っておきながら
この掲示板に投稿する自身の答案に、折角回答してもらった論理を使わないのは何故?
何の為に質問の形式をとってるの? 自身の答案を自慢する為?
# この書き込みで質問者の気持ちは「この掲示板は、WIZを除き敬える方ばかり」に変わることは必至ですな。
No.87612 - 2024/03/04(Mon) 19:28:13
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
WIZ先生、こんにちは

早速ですが
>(b, c) = (625, -16)以外を排除して良い理由は何?

以下の答案に補足しました
No.87622 - 2024/03/05(Tue) 12:00:32
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
追伸

>折角回答してもらった論理を使わないのは何故?

>No.87603 - 2024/03/03(Sun) 23:01:03

のご回答の事でしょうか？

稚拙な私には、理解できませんでした

ごめんなさい

彼処
No.87624 - 2024/03/05(Tue) 12:45:41
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / WIZ
aは奇数だから、16はaの約数ではない。
a-1は偶数だから、16はa-1の約数でなければならない。
・・・という推論は正しい。

しかし、
aは奇数だから、625はaの約数でなければならない。
a-1は偶数だから、625はa-1の約数ではない。
・・・という推論をしたのなら、これは正しくない。

625 = 5^4だから、aが5^3で割り切れて、a-1が5^1で割り切れて、
よってa(a-1)が5^4で割り切れるというような場合を排除できるのは何故?

どうしても「aとa-1が互いに素である」という論理を使いたくないか、本当に理解できないのかは分からないが
もし、回答レスの内容が理解できないのなら追加説明を求めるべきで、無視しちゃうのは何故?
回答レスしてくれた「敬える方」に対して失礼じゃないの?

いずれにしても、「a^2-a-625k*16l = 0」から「(a-625k)(a+16l) = 0」が導けることが説明できていないので、
答案としては0点です。
# GandBさんが採点者だったら-10点だぞ。いや今回は赤点落第かも。

P.S
最近、ここ以外も含めて数学掲示板でらすかるさんを見かけなくて心配していたんですが、
今日別のスレで発言されていて安心しました。
No.87626 - 2024/03/05(Tue) 15:51:06
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
WIZ先生

こんばんは

早速ですが、
私の補足では、a=625k と表せる

不十分と仰っりたいのですか？

何卒宜しくお願いします
No.87627 - 2024/03/05(Tue) 16:11:41
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
追伸

a,a-1は互いに素のひと言を入れた方がいい

という話でしょうか？

連続する２つの整数は互いに素は自明としました。

何卒宜しくお願いします
No.87628 - 2024/03/05(Tue) 16:21:55
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / WIZ
質問者さんの答案ではa = 625kであることの説明が不十分どころか、全く説明されていない。

aは奇数でa-1は偶数だから、a-1が16で割り切れる。
aとa-1は互いに素だから、aとa-1の一方のみが5^4で割り切れると言える。
a-1が5^4で割り切れると仮定すると、a-1 ≧ 16*5^4 > 9999-1と前提条件に反する。
よって、aが5^4で割り切れなければならない。

・・・ときっちり説明しなければ、答案としては採点してもらえないよ。

あとさ、数学とは無関係だけど
最初、回答レスの論理を質問者さんが無視して答案に採用しないのは、
質問者さんが他人の論理を「稚拙」だと思っているからなんだろうなと私は思ってた。

そのこと指摘したら、質問者さんは、自身が「稚拙」で理解できなかったからと言った。

そして、更に私が理解できないなら追加質問すべきと指摘したら、
今度は質問者さんは、理解できなかったはずなのに自明だから省略したと言い訳した。

いったいアンタの性格ってどうなってんの?

「ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。」と言っているが、
指摘や指導を無視し、理解しようとせず、決して自身の考えを改良・改善しないなら、
質問したり答案を投稿しても意味無いじゃん。
No.87631 - 2024/03/05(Tue) 22:01:16
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
WIZ先生

こんばんは

夜遅くまでありがとうございます。

少し私の対応を誤解された様なので、釈明させていただきます。

>今度は質問者さんは、理解できなかったはずなのに自明だから省略したと言い訳した

私が理解できないといったのは

以下の本文全体のことです

------------------------------------------

>a^2-a=a(a-1)でa とa-1 は互いに素
10000＝(2^4)(5^4)=16*625
625≡1(mod16)
aは３以上で16*625より小さい奇数
を使います。他の解法も大筋で同じような解法になると思います

---------------------------------
a とa-1 は互いに素が理解できないわけではありません

誤解を招いたなら陳謝致します。
No.87632 - 2024/03/06(Wed) 00:29:55
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
>指摘や指導を無視し、理解しようとせず、決して自身の考えを改良・改善しないなら、

実際に下記の通り改善をしております

>No.87557 - 2024/02/27(Tue) 21:02:08
No.87634 - 2024/03/06(Wed) 00:54:19
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / IT
「本文全体が分からない。」と言われると、私にはどうしようもないです。
No.87635 - 2024/03/06(Wed) 12:43:54
☆ Re: 整数問題-０3 東京大学 / Nishino (中学２年生)
IT先生

こんにちわ

早速ですが

>「本文全体が分からない。」と言われると、私にはどうしよ>うもないです。

全体像が見えないので理解できません

出来ましたら、答えに至るまでの、この問題の IT先生の答案を教えて下さい

何卒宜しくお願いします
No.87636 - 2024/03/06(Wed) 13:10:27
★ 整数問題０２整数問題 / Nishino (中学２年生)
整数問題

何卒宜しくお願いします

以下問題

--------------------------------
No.87586 - 2024/03/02(Sat) 14:23:23
☆ Re: 整数問題０２整数問題 / WIZ
a = tan(A), b = tan(C), c = tan(C)とします。
0 < A < πより、a = tan(A) ≠ 0
0 < B < πより、b = tan(B) ≠ 0
0 < C < πより、c = tan(C) ≠ 0です。
但し、c < 0つまりC > π/2だと、A < π/2かつB < π/2なので、a > 0かつb > 0となります。
つまり、a, b, cの中で負になるものは高々1つです。

c = tan(C) = tan(π-A-B)
= {tan(π)+tan(-A-B)}/{1-tan(π)tan(-A-B)}
= {0-tan(A+B)}/{1+0*tan(A+B)}
= -tan(A+B)
= -{tan(A)+tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}
= -{a+b}/{1-ab}
⇒ c*(1-ab) = -(a+b)
⇒ abc = a+b+c

(ア)a, b, cの3個とも正の場合
a ≦ b ≦ cと仮定しても一般性は失われません。
⇒ ab = a/c+b/c+c/c ≦ 1+1+1 = 3
よって、1 ≦ ab ≦ 3となります。

(ア-1)ab = 1の場合
abc = a+b+c ⇒ c = a+b+c ⇒ 0 = a+b
(a, b) = (1, 1)なので、上記は不可。

(ア-2)ab = 2の場合
abc = a+b+c ⇒ 2c = a+b+c ⇒ c = a+b
(a, b) = (1, 2)なので、c = 3。これは適。

(ア-3)ab = 3の場合
abc = a+b+c ⇒ 3c = a+b+c ⇒ 2c = a+b
(a, b) = (1, 3)なので、c = 2。
これはb ≦ cに反するので不適。
# (a, b, c) = (1, 3, 2)は解としては間違っていないが(ア-2)の並び替えなので捨てる。

(イ)a, b, cの内、2個が正で他の1個が負の場合
0 < a, 0 < b, c < 0としても一般性は失われません。
abc = a+b+c ⇒ c(ab-1) = a+b
ここで、ab-1 ≧ 0なので、c(ab-1) ≦ 0。
しかし、a+b > 0なので、これは不可。

以上から、(a, b, c) = (1, 2, 3)及び順序を入れ替えたもののみ。

# 計算間違いしていたらごめんなさい!

以下余談

a = tan(A) = 1はA = π/4, sin(A) = cos(A) = 1/√2
b = tan(B) = 2はsin(B) = 2/√5, cos(B) = 1/√5
c = tan(C) = 3はsin(C) = 3/√10, cos(C) = 1/√10

正弦定理より、
|BC|/sin(A) = |CA|/sin(B) = |AB|/sin(C)
⇒ |BC|√2 = |CA|(√5)/2 = |AB|(√10)/3

|CA| = |BC|*2√(2/5) = |BC|*(2/5)√10
|AB| = |BC|*3√(2/10) = |BC|*(3/5)√5

よって、3辺の長さの比は
1:(2/5)√10:(3/5)√5 = 5:2√10:3√5

余弦定理による検算
{25+40-45}/{2*10√10] = 1/√10
{25+45-40}/{2*15√5} = 1/√5
{40+45-25}/{2*6√50} = 1/√2
No.87591 - 2024/03/02(Sat) 17:53:15
☆ Re: 整数問題０２整数問題 / Nishino (中学２年生)
WIZ先生、

こんばんは

ご回答頂きありがとうございました。

>⇒ abc = a+b+c

は、美しい定理ですよね。定理は知っていましたが、証明は考えた事がなく勉強になりました

私の答案です

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
No.87593 - 2024/03/02(Sat) 22:59:43
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