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★ (No Subject) / 藻
aを実数とする。f(x)=x^3-3axとする。-1≦ｘ≦１における|f(x)|の最大値をMとする。Mの最小値とその時のaの値を求めよ。
No.85276 - 2023/04/17(Mon) 00:44:25
☆ Re: / らすかる
f(x)=x^3-3ax
f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)
a≦0のとき極値をとらないので
-1≦x≦1における|f(x)|の最大値は
x=1のときとなり、M=f(1)=1-3a≧1
a＞0のときx=-√aで極大値、x=√aで極小値をとる
0＜a≦1のとき-1≦x≦1の範囲に極値があるので
Mはf(-√a)とf(1)の小さくない方
f(-√a)=|f(x)|=f(-√a)=2a√a
f(1)=1-3a
2a√a＜1-3a → a＜1/4 なので
0＜a＜1/4のときM=f(1)=1-3a
このとき1/4＜M＜1
1/4≦aのときM=f(-√a)=2a√a
このとき1/4≦M
よってMの最小値は1/4で、そのときのaの値は1/4
No.85302 - 2023/04/22(Sat) 20:09:25
★ 算数 / ぽん太
算数です。
出来ればわかりやすく解説お願いします。
No.85275 - 2023/04/16(Sun) 20:49:37
☆ Re: 算数 / みと
㋐の面積を「ココ大事」の【青】の比で考え
　●×●÷2＝4.5　から
　　 ●×●＝9
　　　　 ●＝3

㋑の面積を「ココ大事」の【赤】の比で考え
　(△×2)×△÷2＝16　から
　　　　　△×△＝16
　　　　　　　△＝4

正方形ＡＢＣＤの一辺が
　●＋△＝3＋4＝7　なので
　　面積は，7×7＝49
No.85282 - 2023/04/18(Tue) 17:28:32
★ 算数 / ぽん太
算数。

扇形の半径を求めるために左の直角二等辺三角形を正方形にして一辺×一辺という事にしました。そうすれば扇形の半径にもなるからです。
私のこの解き方でもいいですか。
答えでは直角二等辺三角形の面積
12×6÷2=36センチm2
半径×半径=36×2=72
というやり方でした。
No.85274 - 2023/04/16(Sun) 20:46:32
★ 高校数学 / a
数Bの宿題で数列1,2,3,4,17,126,・・・の一般項を求めよって問題があるのですがどうしてもわかりません。教えていただきたいです、
No.85269 - 2023/04/16(Sun) 18:25:37
☆ Re: 高校数学 / IT
不定ですね。（いろいろな解がこじつけられると思います）
No.85270 - 2023/04/16(Sun) 19:08:26
☆ Re: 高校数学 / ポテトフライ
無理やり求めることはできます。

一般項a[n]=Σ[i=0,5]x_in^iとおいて
a[1]=1、a[2]=2、…a[6]=126
から係数x_0〜x_5の方程式を立てて求める。

まぁこのやり方は出題者の意図は完全に無視していると思いますが。
No.85271 - 2023/04/16(Sun) 19:16:45
☆ Re: 高校数学 / IT
ポテトフライさん方式を少し工夫してwolframに解いてもらうと

a(n)=(1/2)(n-3)^5+(1/2)(n-3)^4-(3/2)(n-3)^3-(1/2)(n-3)^2+2(n-3)+3　
No.85272 - 2023/04/16(Sun) 20:29:39
☆ Re: 高校数学 / IT
この形の方を求めるのが簡単かも

1*(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)
+2*(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)
・・・

+126*(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
No.85273 - 2023/04/16(Sun) 20:40:39
☆ Re: 高校数学 / らすかる
解はいろいろありますが、簡単な形では例えば
a[n]=(n-1)^[2^(n-5)+1]+1
a[n]=(n-1)^[(n/5)^4+1]+1
a[n]=(n-1)^{(|n-4|+n)/2-1}+1
（右辺の[　]はガウス記号）
No.85277 - 2023/04/17(Mon) 01:38:27
☆ Re: 高校数学 / IT
いずれにしても面倒な問題ですね。（出題者か質問者の記入ミスかな）
No.85278 - 2023/04/17(Mon) 18:22:02
★ 高校化学 / A
質量数4のヘリウム原子の原子量を、電子の質量、陽子の質量、中性子の質量、アボガドロ数を使って計算せよ。また、文献値を調べて、その値を比べてみよ。

学校の宿題で出たんですけど、原子量は、同位体の相対質量×存在比で求めることができるって習ったんですけど、おそらく上の問題は相対質量×存在比というやり方以外で求めると思うんですが、その解法がわかりません。上の問題の解法と答えを教えて頂きたいです。化学の問題ですが、数学や物理と関連があると思い、質問させて頂きました。
No.85266 - 2023/04/15(Sat) 22:25:54
☆ Re: 高校化学 / X
ヒントを。
1molの定義を使います。
No.85267 - 2023/04/16(Sun) 08:45:12
☆ Re: 高校化学 / IT
質量数、原子量、アボガドロ数、の定義（意味）、ヘリウム原子の構造を教科書で確認すれば、後は簡単な加減乗除計算で求まると思います。
No.85268 - 2023/04/16(Sun) 09:39:23
★ (No Subject) / みかん
表は2013年から2017年度におけるある地域での漁船漁業を営む会社経営体の経営状態の推移を示したものである。これから確実に言えるのはどれか

1)2014から2017年度のうち営業利益の対前年度増加額が最も大きい年度は2017年度である

2)2014から2017年度の内漁労収入の対前年比の増加率が最も高い年度は2016年度である

3)2013年から2017年度の内漁労支出中の漁船漁具費が5割増加すると営業利益が黒字になある年度はなくなる

4)2013年から2017年のうち漁労支出にしめる油費の割合が最も高い年度は2016年度である

5)2013年から2017年度のうち漁労支出中のその他の費用が1割減少すると漁労利益が黒字になる年度は2年度ある

解答＆解説がなくて困っています。
解答＆解説よろしくお願いします
No.85263 - 2023/04/14(Fri) 12:56:15
☆ Re: / IT
1)から5) それぞれ注目している値を各年度ごとに求めて比較すればいいわけですが、どれも自力で求められませんか？

分からない言葉はどれですか？
No.85265 - 2023/04/15(Sat) 07:51:14
★ (No Subject) / みかん
平面上の→a,→bが
|→a+2→b|=1
|2(→a)−(→b)|＝1
を満たしているとき|→a−(2→b)|の取り得る値の範囲は？
解答がなくて困っています。解答，解説よろしくお願いします
No.85262 - 2023/04/14(Fri) 12:41:22
☆ Re: / X
↑a+2↑b=↑u (A)
2↑a-↑b=↑v (B)
と置くと、条件から
|↑u|=1 (C)
|↑v|=1 (D)
一方、(A)(B)を↑a,↑bについての連立方程式として
解くことにより
↑a=(↑u+2↑v)/5 (E)
↑b=(2↑u-↑v)/5 (F)
(E)(F)により
|↑a-2↑b|^2=|(↑u+2↑v)/5-(2↑u-↑v)/5|^2
=(1/25)|-↑u+3↑v|^2 (G)
∴↑u,↑vのなす角をθ(0≦θ≦π)とすると
(G)を展開することと、(C)(D)から
|↑a-2↑b|^2=(1/25)(10-6cosθ)
∴(1/25)(10-6)≦|↑a-2↑b|^2≦(1/25)(10+6)
つまり
4/25≦|↑a-2↑b|^2≦16/25
となるので
2/5≦|↑a-2↑b|≦4/5
No.85264 - 2023/04/14(Fri) 19:06:01
★ (No Subject) / ぐっち
添付画像の問題自体は理解したのですが、次のような拡張した問題がわかりません。ご教授お願い致します。
[問題]
kを1以上の整数，nをk以上の整数とする。
n個の整数1,2,…,nから異なるk個の数を選んで作る和の総和を求めよ。
No.85246 - 2023/04/11(Tue) 21:22:19
☆ Re: / IT
例えば１は何回加える（選ばれる）ことになりますか？
No.85247 - 2023/04/11(Tue) 22:04:33
☆ Re: / ぐっち
以下のように考えたのですが、答えあってるでしょうか。
1,2,…,nのうち異なるk個をとってa[1],a[2],…a[k]とする。今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
=Σ[M=a[1]〜n]M
=n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2
Pにおけるa[1]をa[1]=1からa[1]=n-kまで動かした総和が求める和Qである
Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
=1/6(n-k)(2n^2+2kn-k^2+3k-2)
No.85248 - 2023/04/11(Tue) 22:06:09
☆ Re: / ぐっち
ITさん、メッセージありがとうございます。
1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[n_C_2]通り
ってことですよね。なるほど、この方法でも行けそうです。
No.85249 - 2023/04/11(Tue) 22:17:48
☆ Re: / ぐっち
訂正
1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[n_C_[k-1]]通り
No.85250 - 2023/04/11(Tue) 22:20:55
☆ Re: / ぐっち
何度も間違ってすいません。
1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[[n-1]_C_[k-1]]通り
No.85251 - 2023/04/11(Tue) 22:22:03
☆ Re: / IT
> 以下のように考えたのですが、答えあってるでしょうか。
>
>今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
>P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
意味（意図）が良く分かりません。

> Pにおけるa[1]をa[1]=1からa[1]=n-kまで動かした総和が求める和Qである
おかしいと思います。（小さいnで具体的に調べてみると良いかも）

> Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
> =1/6(n-k)(2n^2+2kn-k^2+3k-2)
まちがってますね。これだと、例えばn=k のとき0になりますね。
No.85252 - 2023/04/11(Tue) 22:31:23
☆ Re: / IT
> 1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[[n-1]_C_[k-1]]通り
そうですね。
No.85253 - 2023/04/11(Tue) 22:32:19
☆ Re: / ぐっち
> > 以下のように考えたのですが、答えあってるでしょうか。
> >
> >今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
> >P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
> 意味（意図）が良く分かりません。
>
> > Pにおけるa[1]をa[1]=1からa[1]=n-kまで動かした総和が求める和Qである
> おかしいと思います。（小さいnで具体的に調べてみると良いかも）
>
> > Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
> > =1/6(n-k)(2n^2+2kn-k^2+3k-2)
> まちがってますね。これだと、例えばn=k のとき0になりますね。

Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
訂正[+1が必要でした]
Q=Σ[a[1]=1〜n-k+1]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
=1/6*(n-k+1){3n(n+1)-(n-k)(n-k+1)}
No.85254 - 2023/04/11(Tue) 22:50:36
☆ Re: / IT
>Q=Σ[a[1]=1〜n-k+1]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
=1/6*(n-k+1){3n(n+1)-(n-k)(n-k+1)}
n=2,k=1 のときいくらですか？

繰り返しになりますが
>今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
>P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
意味（意図）が良く分かりません。
No.85255 - 2023/04/11(Tue) 23:02:10
☆ Re: / ぐっち
> >Q=Σ[a[1]=1〜n-k+1]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
> =1/6*(n-k+1){3n(n+1)-(n-k)(n-k+1)}
> n=2,k=1 のときいくらですか？
>
> 繰り返しになりますが
> >今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
> >P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
> 意味（意図）が良く分かりません。

異なるk個の数は小さい順に並べることができる。今、k個を取り出して、それを小さい順にa[1],a[2],…,a[k]とすると
a[1]<a[2]<a[3]<…<a[k]≦n
と必ずなる。固定したa[k]の取り得る値を考えると
Σ[M=a[k]〜n]M
となる、と考えました。他のa[1]〜a[k-1]に対しても同様の考えでそれらの和をとりました。
No.85256 - 2023/04/11(Tue) 23:21:45
☆ Re: / ぐっち
異なるk個の数は小さい順に並べることができる。今、k個を取り出して、それを小さい順にa[1],a[2],…,a[k]とすると
a[1]<a[2]<a[3]<…<a[k]≦n
と必ずなる。固定したa[k]に対して取り得る値を考えると
Σ[M=a[k]〜n]M
となる、と考えました。他のa[1]〜a[k-1]に対しても同様の考えでそれらの和をとりました。
なんか説明しにくくてうまく言えないです。すいません。
No.85257 - 2023/04/11(Tue) 23:26:15
☆ Re: / ぐっち
ITさんに教えていただいた考え方でやってみてはいるのですが、C(組み合わせ)の計算でどうしていいかわからず詰まっています。
No.85258 - 2023/04/11(Tue) 23:59:00
☆ Re: / ぐっち
ぐちゃぐちゃなんかややこしいことをやってしまっていたようです。たぶん、以下の解答で合っていると思うのですが、どうでしょうか。
数mが何回現れるかを考えると、[n-1]C[k-1]
すべてのm(1〜n)に対して言えるので求める総和は
[n-1]C[k-1](1+2+…n)
=[n-1]C[k-1]n(n+1)/2
No.85259 - 2023/04/12(Wed) 16:52:50
☆ Re: / IT
合っていると思います。
No.85260 - 2023/04/12(Wed) 18:17:28
★ 3球の共通部分の体積 / 大西
領域D1,D2,D3をそれぞれ
D1：(x-a)^2+y^2+z^2≦a^2
D2：x^2+(y-a)^2+z^2≦a^2
D3：x^2+y^2+(z-a)^2≦a^2
(a＞0)
とするとき、D1とD2とD3の共通部分の体積を求めよ。
という問題なのですが、図を描いても立体のイメージが付かないです。
どこで切っても体積を求められないのですが、求め方を教えてください。
No.85239 - 2023/04/09(Sun) 20:09:59
☆ Re: 3球の共通部分の体積 / 関数電卓
体積を求める立体を平面 z＝k で切った断面は図の水色部分です。この面積 S(k) は何とか求まると思います。
後は S(k) を k のある範囲で積分することですが，これが首尾良く出来るかどうかは，やっていないので分かりません。済みませんが私は食指が動きません。
図は k＝a/2 の場合です。
No.85242 - 2023/04/09(Sun) 23:30:08
☆ Re: 3球の共通部分の体積 / 大西
関数電卓さん返信ありがとうございます。

立体のイメージはできました。
積分でも求めるのは難しそうですね。
ありがとうございました。
No.85244 - 2023/04/10(Mon) 07:16:35
☆ Re: 3球の共通部分の体積 / らすかる
そのままの向きでは大変そうなので、移動して1/a倍して
D1：(x-1/√6)^2+(y-1/√2)^2+z^2≦1
D2：(x-1/√6)^2+(y+1/√2)^2+z^2≦1
D3：(x+2/√6)^2+y^2+z^2≦1
とします。対称性から、0≦y≦(√3)x,z≧0の部分の体積を求めて12a^3倍すればOKです。
y=t（0≦t≦(√6-√2)/4）で切って
(x+2/√6)^2+z^2≦1-t^2 かつ x≧t/√3 を満たす弓型の面積を求めると
∫[t/√3〜√(1-t^2)-2/√6]√{1-t^2-(x+2/√6)^2} dx
=(π/4)(1-t^2)-(1/6)(√2+t)√(1-2t√2-4t^2)
-(1/2)(1-t^2)arctan((√2+t)/√(1-2t√2-4t^2))

これをt=0〜(√6-√2)/4で積分して
∫[0〜(√6-√2)/4](π/4)(1-t^2)-(1/6)(√2+t)√(1-2t√2-4t^2)
-(1/2)(1-t^2)arctan((√2+t)/√(1-2t√2-4t^2)) dt
=(1/72){6π+2-(15√2)arctan(√2)}

よって元の問題の答えは
{π+1/3-(5/√2)arctan(√2)}a^3
No.85245 - 2023/04/11(Tue) 05:16:13
☆ Re: 3球の共通部分の体積 / らすかる
上記の答えが正しいかどうかよくわかりませんでしたので、
モンテカルロ法により値を求めてみました。
解答の式でa=1とすると
π+1/3-(5/√2)arctan(√2)=0.0973716926…
という値になりますが、
-1≦x,y,z≦1である乱数を1000億組発生し
(x-1)^2+y^2+z^2≦1 かつ x^2+(y-1)^2+z^2≦1 かつ x^2+y^2+(z-1)^2≦1
を満たす回数を数えて
(条件を満たす回数)÷(試行回数)×8　（※8は乱数発生範囲の体積）
という式で値を出したところ
0.0973715416
という値が得られましたので、答えの式は正しそうでした。
No.85261 - 2023/04/14(Fri) 03:42:55
★ (No Subject) / 桜餅
直径が1の円Aと直径が2の円Bがあり円Aを円Bの内側に沿って滑らないように回転させる。この状態で円Bと接する円Aの点をPとしこの状態から円Aが回転し始め一周して元の位置に戻るまでに点Pが描く軌跡はどのようになるか？

どのように考えればよいでしょうか。解説よろしくお願いします
No.85235 - 2023/04/09(Sun) 07:46:37
☆ Re: / X
xy平面上に原点を中心として円Bを取り、
点Pの初期位置Pが(2,0)となるように円Aを取ります。
つまり、円Aの中心の初期位置は(1,0)ですね。

今、円Aの中心をAとして、動径OAの極角をθ
(0≦θ＜2π)
とすると
↑OA=(cosθ,sinθ)
一方、このときの円A,Bの接点をP'とすると、
ここまで円A,Bが接してきた弧の長さについて
1・∠PAP'=2θ
∴∠PAP'=2θ
となるので
↑AP=(cos(θ-2θ),sin(θ-2θ)) (点Pは時計回りに回転することに注意)
=(cosθ,-sinθ)
∴↑OP=↑OA+↑AP=(2cosθ,0)

ということで求める軌跡は
点Pの初期位置を端点とする円Bの直径
となります。
No.85237 - 2023/04/09(Sun) 10:47:32
☆ Re: / X
参考として、以下のキーワードをネット検索してみて下さい。
サイクロイド　内サイクロイド
No.85238 - 2023/04/09(Sun) 10:48:33
☆ Re: / ヨッシー
イメージはこちら

ただし、その先の先にある解説は、リンクが切れています。
No.85243 - 2023/04/10(Mon) 06:12:16
★ (No Subject) / ああ
この問題なんですけど
x=3tanθとおいて
x^/(x^2+9)=1-9/(x^2+9)=1-1/(tan^2θ+1)=1-cos^2θ
って感じで計算するのは理解できました。
しかし積分区間でx=√3をθに直すのができなくて困ってます。教えてください
No.85232 - 2023/04/08(Sat) 21:12:07
☆ Re: / X
x=√3より
3tanθ=√3
これより
tanθ=1/√3 (A)
∴例えば
x=0にθ=0
を対応させるのであれば
(A)から
θ=π/6
となります。
No.85233 - 2023/04/08(Sat) 21:29:35
★ 高校数学　数2 微分法 / 山田山
(ア)の範囲について　0<√a≦1ではなく0<√a<1となるのはなぜでしょうか。
No.85230 - 2023/04/08(Sat) 16:35:54
☆ Re: 高校数学　数2 微分法 / IT
たしかに(ア)の範囲について　0<√a≦1　としても良いと思います。
その後の論述からして、0<√a≦1　の方が自然だとおもいます。（どちらでも間違いではないですが）

連続関数についてのこの種の問題では、境界の値はどちら側に入れても良い場合が多いです。
No.85231 - 2023/04/08(Sat) 19:55:29
☆ Re: 高校数学　数2 微分法 / 山田山
回答ありがとうございます。
No.85234 - 2023/04/09(Sun) 01:14:47
★ 高校数学　極限 / ともや
(1)1
(2)cos1、sin1
解答はあるんですけど解き方が全くわかりません
No.85226 - 2023/04/03(Mon) 20:36:58
☆ Re: 高校数学　極限 / X
(1)
(与式)=lim[n→∞](1+1/n^2)^(n/2)
=lim[n→∞]{(1+1/n^2)^(n^2)}^{1/(2n)}
=e^0
=1

(2)
(1+i/n)^nの偏角をθ[n]とすると
ド=モアブルの定理により
θ[n]=nα[n] (A)
(但し、0＜α[n]＜π/2,tanα[n]=1/n (B))
なるα[n]が存在し、また、
a[n]={|1+i/n|^n}cosθ[n] (C)
b[n]={|1+i/n|^n}sinθ[n] (D)
ここで
0＜x＜π/2において、sinx＜x＜tanx(証明は省略します)
∴(B)より
sinα[n]＜α[n]＜tanα[n]
1/√(1+n^2)＜α[n]＜1/n (∵)1+1/(tanx)^2=1/(sinx)^2を使った。
これと(A)により
n/√(1+n^2)＜θ[n]＜1
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]θ[n]=1 (E)
(C)(D)(E)と(1)の結果により
lim[n→∞]a[n]=cos1
lim[n→∞]b[n]=sin1
No.85228 - 2023/04/04(Tue) 00:46:46
☆ Re: 高校数学　極限 / ともや
解答ありがとうございます。
No.85229 - 2023/04/04(Tue) 14:41:10
★ 組合せ / ほの
自然数Zを素因数分解したときに、素因数である2の指数がmである時、Zは2をm個持つということにする。

n＞rを満たす整数に対して、4nC4rとnCrの持つ2の個数は必ず等しくなると言えるか。言えるのならそれを示し、言えないのなら反例を示しなさい。
No.85224 - 2023/04/03(Mon) 12:41:03
☆ Re: 組合せ / らすかる
(4n)C(4r)÷nCr
=
{{4n・(4n-1)・(4n-2)・…・(4n-4r+1)}/{4r・(4r-1)・(4r-2)・…・1}}
÷
{{n・(n-1)・(n-2)・…・(n-r+1)}/{r・(r-1)・(r-2)・…・1}}
=
{{4n・(4n-1)・(4n-2)・…・(4n-4r+1)}/{n・(n-1)・(n-2)・…・(n-r+1)}}
÷
{{4r・(4r-1)・(4r-2)・…・1}/{r・(r-1)・(r-2)・…・1}}
=
{4^r・(4n-1)・(4n-2)・(4n-3)・(4n-5)・(4n-6)・…・(4n-4r+1)}
÷
{4^r・(4r-1)・(4r-2)・(4r-3)・(4r-5)・(4r-6)・…・1}}
=
{(4n-1)・(4n-2)・(4n-3)・(4n-5)・(4n-6)・…・(4n-4r+1)}
÷
{(4r-1)・(4r-2)・(4r-3)・(4r-5)・(4r-6)・…・1}}
=
{{(4n-1)・(4n-3)・(4n-5)・…・(4n-4r+1)}・{2^r・(2n-1)・(2n-3)・(2n-5)・…・(2n-2r+1)}}
÷
{{(4r-1)・(4r-3)・(4r-5)・…・1}・{2^r・(2r-1)・(2r-3)・(2r-5)・…・1}}
=
{{(4n-1)・(4n-3)・(4n-5)・…・(4n-4r+1)}・{(2n-1)・(2n-3)・(2n-5)・…・(2n-2r+1)}}
÷
{{(4r-1)・(4r-3)・(4r-5)・…・1}・{(2r-1)・(2r-3)・(2r-5)・…・1}}

よって(4n)C(4r)÷nCrを約分すると分子も分母も奇数になるので、
(4n)C(4r)とnCrの2の個数は同じ。
No.85225 - 2023/04/03(Mon) 18:07:58
☆ Re: 組合せ / ほの
ありがとうございました。^^
No.85227 - 2023/04/03(Mon) 22:09:05
★ 二次関数 / ハナミズキ
高校1年生の二次関数の問題です。
放物線C(y=x^2-4x+11)と直線l(y=ax+2)が異なる2つの共有点を持つ時を考えます。その時の共有点をP, Qとし、原点をOとするときに、三角形OPQの面積が8となるaを教えていただきたいです。
解の公式を利用してPQそれぞれの座標を求め、それをS=1/2|x1y2-x2y1|に代入して求めようとしましたが、あまりに式が複雑でこの方法は現実的ではないと考えています。
No.85218 - 2023/04/02(Sun) 18:19:06
☆ Re: 二次関数 / IT
解の公式は使わず
２解をα、βとしたままで、P,Qそれぞれの座標をS=(1/2)(x1y2-x2y1)に代入するとどうですか？
なお、P,Qは直線y=ax+2 上の点であることからy座標がα、βで表せます。
No.85220 - 2023/04/02(Sun) 19:01:19
☆ Re: 二次関数 / ハナミズキ
P(α, aα+2)、Q(β, aβ+2)と置いて
8=1/2|α(aβ+2)-β(aα+2)|
=1/2|aαβ+2α-aαβ-2β|
=1/2|2α-2β|
となり、求めたいはずのaが消去されてしまいます。
No.85221 - 2023/04/02(Sun) 19:36:21
☆ Re: 二次関数 / IT
|α-β|＝8 で解の公式を持ち出しても良いですし、

α+β＝a+4、|α-β|＝8、αβ＝9を使ってもaが求まると思います。
No.85222 - 2023/04/02(Sun) 19:53:55
☆ Re: 二次関数 / ハナミズキ
解けましたありがとうございます！
No.85223 - 2023/04/02(Sun) 20:52:51
★ (No Subject) / すすき
ここまでは進みました
No.85217 - 2023/04/02(Sun) 17:52:33
★ (No Subject) / すすき
この和がわかりません
よろしくお願いします
No.85215 - 2023/04/02(Sun) 17:49:36
☆ Re: / すすき
この先で詰まっています
No.85216 - 2023/04/02(Sun) 17:50:47
☆ Re: / すすき
解決しました
No.85219 - 2023/04/02(Sun) 18:22:00
★ (No Subject) / satoru
この問題の解き方を教えてください。なんかベクトルとか複素数がごっちゃになってく分からなくなってしまいました。
No.85213 - 2023/04/02(Sun) 12:42:59
☆ Re: / IT
α=1 でいくつか除外し、残りから探す。

(γ-β)/(α-β)=(α-γ)/(β-γ) と変形して
両辺の絶対値と偏角を比較して
BC/BA=CA/CB,∠ABC＝∠BCAなどから条件を満たす図形を探すとどうですか？
　（なす角の向きも注意）
No.85214 - 2023/04/02(Sun) 14:19:29
★ 確率 / 大西
1,2,3,4,…,nまでの数字が1個だけ書かれたn種類のカードがあります。
このn種類のカードから無作為に4枚同時に取って、大きい方から順にa,b,c,dとします。

（1）n=100のとき、10≦(a+d)/(b+c)＜100を満たす確率を求めよ。
（2）n=1000のとき、10≦(a+d)/(b+c)＜100を満たす確率を求めよ。

（1）は、
b+c=kとおくと、
b+c≧3+2=5
b+c≧d+2+d+1=2d+3よりd≦(k-3)/2となって、
(a+d)/(b+c)≦(100+(k-3)/2)/k＜10/k+1/2よりk＞11のとき(a+d)/(b+c)の値が10未満となってしまうので
5≦k≦10の範囲で考えれば良い。

10k≦a+d＜100kなので
k=5のとき(b,c,d)=(3,2,1)でこのとき49≦a≦100よりaが52個
：
k=10のとき(b,c,d)=(8,2,1),(7,3,1),(7,3,2),(6,4,1),(6,4,2),(6,4,3)でこのときaの個数はそれぞれ
2,2,3,2,3,4で合計16個
全部足し合わせて
52+42+97+67+76+16=350
よって、求める確率は350/(100C4)＝2/22407だと思うのですが、合っていますでしょうか？

（2）は（1）と同じようにすると5≦k≦105までやらないといけないので数え上げではなくて他に求め方があると思うのですがわかりません。教えてください。
No.85208 - 2023/04/01(Sat) 07:58:51
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)は合っています。
(2)はとりあえず求められましたが、この方法だと手計算では結構面倒です。

(1)
Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[d=1〜c-1]Σ[a=10b+10c-d〜100]1
=Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[d=1〜c-1]100-10b-10c+d+1
=Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c](c-1)(100-10b-10c+1)+c(c-1)/2
=Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c](c-1)(202-19c)/2-10(c-1)b
=Σ[c=2〜4](10-2c)(c-1)(202-19c)/2-10(c-1){(10-c)(10-c+1)/2-c(c+1)/2}
=Σ[c=2〜4]19c^3-206c^2+647c-460
=19(8+27+64)-206(4+9+16)+647(2+3+4)-460×3
=350

(2)
Σ[c=2〜52]Σ[b=c+1〜105-c]Σ[d=1〜c-1]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
とすると100b+100c-d-1＞1000とか10b+10c-d＞1000のときにうまくないので
Σの順番を入れ替えて
Σ[d=1〜51]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜100+[d/10]-c]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
これで10b+10c-d≦1000は満たしているが、[d/10]があって計算しづらいのと
まだ100b+100c-d-1＞1000の場合が残っていてうまくないのでc,dで場合分けして
Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
+Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=11-c〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=5〜10]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=11〜52]Σ[d=1〜9]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=10〜19]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜101-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=20〜29]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜102-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=30〜39]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜103-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=40〜49]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜104-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=50〜51]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜105-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
d=10〜49はΣでまとめられるので
Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
+Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=11-c〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=5〜10]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=11〜52]Σ[d=1〜9]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[t=1〜4]Σ[d=10t〜10t+9]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜100+t-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=50〜51]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜105-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
=15300+241740+1381210+3711240+4612925+36
=9962451

※いずれも求めたのは場合の数なので、全体で割る必要があります。
No.85209 - 2023/04/01(Sat) 10:46:30
☆ Re: 確率 / 大西
らすかるさん、ご回答ありがとうございます。

（２）はΣでやろうとも思ったのですが、a≦1000以下の部分の計算が難しくて挫折してしまいました。

ありがとうございます。
No.85211 - 2023/04/01(Sat) 11:17:21
★ (No Subject) / ぐっち
すいません。以下のように考えてみたのですが、合っていますでしょうか。
n個の区間を
a[i]≦x[i]≦b[i]（a[i]≦a[j](i<j)）(i=1,2,…,n)
とする。いま、a[1]≦x[1]≦b[1]は他のどの区間a[i]≦x[i]≦b[i]に対しても交わりが空ではないので
a[i]≦x≦b[1]を交わりにもつ。
Max[a[i]]=Max{a[2],…,a[n]}と表すことにすると
Max[a[i]]≦x≦b[1]
は全部との交わりを表し、空でない。
No.85203 - 2023/03/31(Fri) 22:16:04
☆ Re: / ぐっち
失礼しました。
No.85199
の質問をしたものです。
No.85204 - 2023/03/31(Fri) 22:17:39
☆ Re: / ぐっち
以下のような感じ訂正しました。あってますか。
n個の区間を
a[i]≦x[i]≦b[i]（a[i]≦a[j](i<j)）(i=1,2,…,n)
とする。いま、a[1]≦x[1]≦b[1]は他のどの区間a[i]≦x[i]≦b[i]に対しても交わりが空ではないので
a[i]≦x≦Cを交わりにもつ。
Max[a[i]]=Max{a[2],…,a[n]}と表すことにすると
Max[a[i]]≦x≦C
Cについては、
b[i]≦b[1]のとき，C=b[i]
（このとき，a[i]≦x[i]≦b[i]は他のどの区間に対しても交わりが空でないので重なりはMax[a[i]]≦x≦b[i]を満たしている）
b[i]≦b[1]のすべてのiについてのb[i]の最小値をB[i]とするC=B[i]
b[1]≦b[i]のとき、C=b[1]
であり、
Max[a[i]]≦x≦C
これより、全部の交わりが空でないことが証明された。
No.85205 - 2023/03/31(Fri) 22:54:36
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