放物線y=x^2上にx座標がt,t+1である2点P,Qをとる。
tが-1≦t≦0を満たしながら動くとき、線分PQが通る領域を求めよ。
解説お願いします。
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No.86438 - 2023/09/16(Sat) 19:43:30
| ☆ Re: / X | | | 方針を。
条件から、直線PQの方程式は
y=(2t+1)(x-t)+t^2
これより
y=(2t+1)x-t^2-t
t^2-(2x-1)t+y-x=0 (A)
∴求める条件は
tの二次方程式(A)が
-1≦t≦0 (B)
なる実数解を少なくとも一つ持つ
条件ということになります。
そこで
f(t)=t^2-(2x-1)t+y-x (C)
と置き、横軸にt、縦軸にf(t)
を取った(C)のグラフが
t軸と(B)の範囲で少なくとも一つ
交点を持つ条件を求めます。
ということで
(C)のグラフの軸と(B)との位置関係
について3つに場合分けをします。
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No.86439 - 2023/09/16(Sat) 20:04:29 |
| ☆ Re: / 存在条件 | | | No.86440 - 2023/09/16(Sat) 20:41:56 |
| ☆ Re: / X | | | ごめんなさい。(B)が誤っていましたので
No.86440を直接修正しました。
再度ご覧下さい。
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No.86441 - 2023/09/17(Sun) 04:08:41 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | Xさん:
問題は線分PQとなっているので、もう少し条件が必要です。(B)だけでは、直線y=x全体も求める領域に含まれてしまいます（t=0, y=x は(A)も(B)も満たす）。
線分PQなので、(B)に加えて t≦x≦t+1 (B')も必要です。
xの正負に応じて(B)かつ(B')の範囲を決定し、その後にf(t)のグラフの対称軸の位置でさらに場合分けすることになると思います。
マルチポストなので、詳細は控えておきます。
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No.86442 - 2023/09/17(Sun) 14:48:06 |
| ☆ Re: / X | | | ＞＞黄桃さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞存在条件さんへ
ごめんなさい。黄桃さんの仰る通り、線分PQの条件から
t≦x≦t+1
つまり
x-1≦t≦x (B)'
が必要になります。
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No.86443 - 2023/09/17(Sun) 17:24:50 |
| ☆ Re: / X | | | もう一点訂正を。
(A)(C)が間違っていましたので、No.86439を
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
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No.86444 - 2023/09/17(Sun) 17:50:10 |
| ☆ Re: / X | | | ＞＞存在条件さんへ
ごめんなさい。
No.86444のアップした後に改めてNo.86439の方針の続きを
計算してみたところ、かなり計算が煩雑になることが
分かりました。
もうかなり時間が経っていますが、(B)'を条件に加えた上で
No.86439の方針の続きで、ある程度煩雑さを減らしたものを
アップしておきます。
(B)、(B)'のtの値の幅が共に1であることに注意すると
(B),(B)'から
(I)-1≦x-1≦0、つまり0≦x≦1
(II)-1≦x≦0
の場合分けが必要になり、この(I)(II)それぞれに対し、
f(t)のグラフの対称軸との位置関係から
更に3通りの場合分けが必要になります。
(つまり、まともに計算するなら合計6通りの場合分けが必要)
但し、直線PQの方程式が
y=(2t+1)x-t^2-t
もう少し変形して
y=2(t+1/2)x-(t+1/2)^2+1/4
となることと
-1≦t≦0
から、求める領域はy軸に関して対称になります
(詳細は省きます)ので、実際は(I)の場合の3通りの場合分け
のみ計算し、得られた領域(Eとします)と、Eをy軸に関し、
対称移動させた領域(E'とします)を合わせた領域
E∪E'
を求める領域とすれば良いことになります。
ここでf(t)のグラフの対称軸の方程式が
t=x-1/2 (D)
であることに注意しておきます。
又(A)の解の判別式をとしておきます。
ということで
(I)の場合について。
tの値の範囲は
x-1≦t≦0
ですので
(i)x-1/2＜x-1のとき
これは-1/2＜-1となるので不適。
(ii)x-1≦x-1/2≦0、つまり0≦x≦1/2のとき
求める条件は
{f(x-1)=(x-1)^2-(2x-1)(x-1)+y-x≧0 (F)
又は
f(0)=y-x≧0 (G)}
かつ
D=(2x-1)^2-4(y-x)≧0 (H)
(F)より
(x^2-2x+1)-(2x^2-3x+1)+y-x≧0
∴y≧x^2
(G)より
y≧x
ここで
{(x,y)|0≦x≦1/2,y≧x^2}⊃{(x,y)|0≦x≦1/2,y≧x}
ですので、(G)又は(H)は
y≧x^2
にまとめることができます。
更に(H)より
y≦x^2+1/4
(iii)0＜x-1/2、つまり1/2＜x≦1のとき
求める条件は
f(x-1)=(x-1)^2-(2x-1)(x-1)+y-x≧0 (I)
f(0)=y-x≦0 (J)
(I)より
y≧x^2
(J)より
y≦x
以上から
E={(x,y)|0≦x≦1/2,x^2≦y≦x^2+1/4}
∪{(x,y)|1/2＜x≦1,x^2≦y≦x}
∴
E'={(x,y)|-1/2≦x≦0,x^2≦y≦x^2+1/4}
∪{(x,y)|-1≦x＜-1/2,x^2≦y≦-x}
となるので求める領域は
E∪E'={(x,y)|-1/2≦x≦1/2,x^2≦y≦x^2+1/4}
∪{(x,y)|1/2＜x≦1,x^2≦y≦x}
∪{(x,y)|-1≦x＜-1/2,x^2≦y≦-x}
となります。
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No.86450 - 2023/09/20(Wed) 16:45:34 |
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