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★ 統計の問題 / カナ

高校１年生です。 問題）あるクラスの男子１２人、女子８人の生徒に数学のテストを行なった。その結果、男子１２人の平均点は６５点、標準偏差は６点、女子８人の平均点は６０点、標準偏差は４点であった。この時、男女２０人の生徒の平均点と分散及び標準偏差をそれぞれ求めよ。 上の問題で、平均点はもとまったのですが（５８点）、分散と標準偏差の解き方を教えていただけないでしょうか？ No.72932 - 2021/02/17(Wed) 20:59:40 ☆ Re: 統計の問題 / X >>平均点はもとまったのですが（５８点） 間違っています。 男女20人の平均点は (12・65+8・60)/20=1260/20 =63[点] です。 >>分散と標準偏差の解き方を〜 男女それぞれの得点の2乗和をl[1],l[2] とすると、条件から 6^2=l[1]/12-65^2 (A) 4^2=l[2]/8-60^2 (B) (A)より l[1]=12・(36+65^2) l[2]=8・(16+60^2) ∴男女20人の標準偏差をsとすると 分散は s^2=(l[1]+l[2])/20-63^2 ={3・(36+65^2)+2・(16+60^2)}/5-63^2 ={(108+3・65^2)+(32+2・60^2)}/5-63^2 =28+(3・65・13+2・60・12)-63^2 =28+15・265-63^2 =28+3975-63^2 =4003-3969 =34 ∴s=√34 No.72944 - 2021/02/18(Thu) 18:44:00

★ 互いに素 / マンボ

画像には互いに素である整数の性質が書かれているのですがもし、互いに素でなければ、なぜこの性質が成り立たないのか教えてください。 No.72931 - 2021/02/17(Wed) 20:44:05 ☆ Re: 互いに素 / IT １　a=2,b=2,c=1 やa=2,b=4,c=2 など ２　a=b=c=2、a=b=c=3など 　無数に反例がありますが　反例を示すだけではだめですか？ No.72933 - 2021/02/17(Wed) 21:00:58 ☆ Re: 互いに素 / IT 少し一般の場合を考えると 0でない整数a,bについて、 ２以上の整数kがa,b の公約数だとします。 a=a'k,b=b'k（a',b'は整数）とおける。 c=b' とすると,ac=a'b'k=a'b なのでacはbの倍数。 しかし、c は、bの倍数ではない。 c=a'b'k とすると cは、aの倍数であり,b の倍数でもあるがabの倍数ではない。 No.72935 - 2021/02/17(Wed) 22:12:31

★ 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / みみ

長さwの線分の任意の1点と原点の平均距離は∫[0〜w](w-x)dx=(w^2)/2でしょうか。 宜しくお願い申し上げます。 No.72925 - 2021/02/17(Wed) 13:06:50 ☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / ヨッシー 線分と原点の位置関係がわからないとなんとも言えません。 例えば、原点が東京駅で、線分が富士山頂にあるとすると... No.72926 - 2021/02/17(Wed) 13:13:22 ☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / みみ ヨッシーさん ご返信ありがとうございます。 wの長さの線分があり、その端の1つからその線分上の任意の点の平均距離の求め方についてでした。 宜しくお願い申し上げます。 No.72927 - 2021/02/17(Wed) 13:27:44 ☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / らすかる 前の問題ではたまたま0≦x≦1,0≦y≦1でしたので積分するだけで終わりでしたが、 0≦x≦wならば最後にwで割らないといけません。 （微小範囲の確率が0≦x≦1の場合の1/w倍になるため） よって答えはw/2です。 No.72929 - 2021/02/17(Wed) 14:46:00 ☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / みみ らすかるさん ご親切にして頂きありがとうございました。 No.72930 - 2021/02/17(Wed) 14:57:24

★ 全く分かりません / ゆき

2個のサイコロ投げて、大きい方の目の数を調べる実験の標本空間をSとし、標本点s ∈ Sの確率をP（s）とする。 確率空間（S,P）のエントロピーを計算し、その答えをalog2＋blog3＋clog5＋…の形で表しなさい。（即ち、真数を素数とすること） No.72919 - 2021/02/16(Tue) 22:42:34 ☆ Re: 全く分かりません / X 条件から P(1)=1/36 s=2,3,4,5,6のとき P(s)=(s^2)/36-{(s-1)^2}/36 =(2s-1)/36 ∴s=1,2,3,4,5,6に対し P(s)=(2s-1)/36 ∴求めるエントロピーは Σ[s=1〜6]P(s)log(1/P(s))=Σ[s=1〜6]{(2s-1)/36}log{36/(2s-1)} =Σ[s=1〜6]{(2s-1)/36}{2log6-log(2s-1)} =Σ[s=1〜6]{{(2s-1)/18}log6-{(2s-1)/36}log(2s-1)} ={{(6・7-6)/18}log6-{(3/36)log3+(5/36)log5+(7/36)log7+(9/36)log9+(11/36)log11} =2log2+2log3-{(1/12)log3+(5/36)log5+(7/36)log7+(1/2)log3+(11/36)log11} =2log2+(17/12)log3-(5/36)log5-(7/36)log7-(11/36)log11 No.72921 - 2021/02/17(Wed) 06:11:39

★ ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ

質問があります。 ある決まった長さの直線上(例えば長さ1)の任意の2点間の平均距離は数学的にどう求めたら良いのでしょうか？ 宜しくお願い申し上げます。 No.72918 - 2021/02/16(Tue) 22:33:22 ☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / らすかる 長さ1の線分ABがあり、「任意の2点」をPとQとして、AP=x,AQ=yとすると 距離は|x-y|ですね。よって ∫[0〜1]∫[0〜1]|x-y|dxdy を計算すれば求められます。 結果は1/3となりますので、一般の長さでは(線分の長さ)/3となります。 もし積分が使えない場合は、1〜nの離散値で求めてn→∞としても求められると思います。 No.72920 - 2021/02/17(Wed) 03:55:19 ☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ らすかるさん 詳しく教えてくださり、ありがとうございます。 助かりました。 No.72922 - 2021/02/17(Wed) 12:12:18 ☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ あと、できればこの絶対値付きの積分の計算過程を教えてくださると幸いです。宜しくお願い申し上げます。 No.72923 - 2021/02/17(Wed) 12:22:10 ☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ 何度も申し訳ございません。調べて説いてみました。 ∫[0〜1]∫[0〜y](y-x)dxdy+∫[0〜1]∫[0〜x](x-y)dydx =1/6+1/6 ということでしょうか。 宜しくお願い申し上げます。 No.72924 - 2021/02/17(Wed) 12:37:29 ☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / らすかる はい、それでよいと思います。 No.72928 - 2021/02/17(Wed) 14:40:34

★ 不等式のθの範囲 / 修業中
ある問題なのですが、θの範囲の求め方解らなくて質問させていただきました。 問題文にはθの大小関係が記載され、「０＜θ１＜π＜θ２＜２π」ここから θ１ーθ２の範囲を求めるのですが、 解答では、ここから−２π＜θ１−θ２＜０と求められるのですが θ１ーθ２の範囲の考え方がよくわかりません。教えていただけたら幸いです。 No.72916 - 2021/02/16(Tue) 12:18:17 ☆ Re: 不等式のθの範囲 / ヨッシー 　０＜θ1＜π 　−2π＜−θ2＜−π 各辺足して 　−2π＜θ1−θ2＜０ となります。 No.72917 - 2021/02/16(Tue) 12:48:07

★ 極限値 / ゆう

Σ{n=1..∞}((n-1)!)^2/(2n)!=π^2/18を高校数学の範囲内で示したいのですが、 どこから手を付けて良いのか分からないです。 区分求積法でも厳しそうだし、Σ(n=1..∞)1/n^2=π^2/6からも示せなさそうだし。 No.72915 - 2021/02/16(Tue) 00:53:48 ☆ Re: 極限値 / ゆう Σ{n=1..∞}((n-1)!)^2/(2n)!=π^2/18 私の書き方がまずかったので返信いただけないのだと思うのですが、 この左辺は、((0!)^2)/2!+((1!)^2)/4!+((2!)^2)/6!+・・・のことです。 書き方が悪くて申し訳ございません。 教えてください。 No.72951 - 2021/02/18(Thu) 23:52:29 ☆ Re: 極限値 / 無理 あなたが投稿された時間以降にほかのレスに返信している人は多分解けないんだと思います。 No.72973 - 2021/02/19(Fri) 20:07:19 ☆ Re: 極限値 / ゆう 私の記述の仕方がまずいのでしょうか？ それとも何かルール違反でもしているのでしょうか？ 初めての質問なのでもしルール違反があったら教えてください。 質問する前に何か最初にしておかなければならないことがあれば 教えてください。 No.72977 - 2021/02/20(Sat) 07:47:07 ☆ Re: 極限値 / ヨッシー そういうわけではありません。 私を含め、この記事を見た人が一人ひとり 「解けません」 「解けません」 と書き込むことはありませんので、レスがないのは そういうことだと思ってください。 No.72978 - 2021/02/20(Sat) 08:15:14 ☆ Re: 極限値 / ゆう ありがとうございました。 こちらの問題は諦めます。 No.73002 - 2021/02/20(Sat) 21:17:20

★ 数lll / たいち

解答&解説が知りたいです！よろしくお願いします🙇⤵️ No.72904 - 2021/02/15(Mon) 15:03:21 ☆ Re: 数lll / X (1) 条件から f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ) (α,β,γ,δはα＜β＜γ＜δなる実数の定数) と置くことができます。 ∴f'(x)=(x-β)(x-γ)(x-δ)+(x-α)(x-γ)(x-δ)+(x-α)(x-β)(x-δ)+(x-α)(x-β)(x-γ) となるので f'(α)=(α-β)(α-γ)(α-δ)＜0 (A) f'(β)=(β-α)(β-γ)(β-δ)＞0 (B) f'(γ)=(γ-α)(γ-β)(γ-δ)＜0 (C) f'(δ)=(δ-α)(δ-β)(δ-γ)＞0 (D) よって中間値の定理により α＜x＜β,β＜x＜γ,γ＜x＜δ においてそれぞれ f'(x)=0 (E) の実数解が少なくとも1つづつ存在します。 ∴(E)の異なる実数解の個数をNとすると 3≦N (F) 一方、f'(x)がxの3次式であることから N≦3 (G) (F)(G)より N=3 (2) 条件からf"(x)はx^2の係数が12の2次式で f"(0)=0 ∴f"(x)=12x^2+ax (aは実数の定数) と置くことができます。) これを積分し、f'(0)=0に注意すると f'(x)=4x^3+ax^2 =(4x+a)x^2 ∴f'(x)=0のとき x=0,-a/4 となるので a≠0のときf'(x)=0の異なる実数解の個数は2個 a=0のときf'(x)=0の実数解の個数は1個 となり、命題は成立します。 (3) 条件から f(x)=(x-u)(x-v)^3 (A) (u,vはu≠vなる実数の定数) と置くことができます。 ∴f'(x)=(x-v)^3+3(x-u)(x-v)^2 =(4x-3u-v)(x-v)^2 f"(x)=4(x-v)^2+2(4x-3u-v)(x-v) =6(2x-u-v)(x-v) となるのでf'(0)=0,f"(0)=0により (-3u-v)v^2=0 (B) 6(-u-v)(-v)=0 (C) (A)より v=0,-u/3 (B)' (B)より v=0,-u (C)' (B)'(C)'においてu≠vを満たす組み合わせを 考えて u≠0,v=0 ∴(A)より f(x)=(x-u)x^3 となるので f(0)=0 No.72905 - 2021/02/15(Mon) 16:28:46 ☆ Re: 数lll / IT 横から失礼します。 (3)４重解を持つときも「３重解を持つ」ということもあるので、 f(x)=(x-u)(x-v)^3 (A)とだけおいても良いかも知れませんね。そうすると、途中計算はＸさんのとおりで、 ･･･ (3u+v)v^2=0 (B) (u+v)v=0 (C) (B)-(C)×3v ：-2v^3=0 　∴　v=0 (A) より f(x)=(x-u)x^3 ･･･ No.72907 - 2021/02/15(Mon) 19:05:00 ☆ Re: 数lll / IT 手持ちの代数学のテキストでは、ちょうど３重解のときを「３重解」としていましたので上記は参考まで。 No.72909 - 2021/02/15(Mon) 19:33:21 ☆ Re: 数lll / IT （３）の別解 （補題）f(x) は一般の整式です。 　f(x) を　xについての2次以上の整式とする. 　f(α)＝0…(1)かつf'(α)＝0…(2)のとき、x＝αはf(x)＝0の重解である。 （証明） 　(1)よりf(x)＝(x-α)g(x),　g(x)は１次以上の整式とおける。 　f'(x)＝(x-α)g'(x)+g(x) 　(2)よりf'(α)＝g(α)＝0 　よってx＝αはf(x)＝0の重解である。 (3)条件から,f(x)=g(x)(x-u)^3,　g(x)は１次の整式とおける。 　f'(x)=g'(x)(x-u)^3+3g(x)(x-u)^2=h(x)(x-u)^2,　h(x)は１次の整式。 　一方f'(0)=f''(0)=0 なので（補題）からx=0はf'(x)=0の重解。 　したがってu＝0. No.72911 - 2021/02/15(Mon) 20:50:25 ☆ Re: 数lll / IT （２）の別解 （補題）より、f'(x)=0 は、x=0 を重解に持つ。 一方、f'(x)=0 は3次方程式なので、f'(x)=0の実数解の個数は高々３個である。 したがって、f'(x)=0の異なる実数解の個数は2個以下である。 No.72913 - 2021/02/15(Mon) 21:28:24 ☆ Re: 数lll / IT (1)の別解 f(α)=f(β)=f(γ)=f(δ)=0 (α,β,γ,δはα＜β＜γ＜δなる実数)とおける。 平均値の定理から　 0＝(f(β)-f(α))/(β-α)=f'(a) ,α＜a＜βなるaが存在する。 同様に　f'(b)=f'(c)=0,β＜b＜γ＜c ＜δなるb,c が存在する。 No.72914 - 2021/02/15(Mon) 21:46:54 ☆ Re: 数lll / たいち Xさん、ITさん、お二方とも丁寧なご解答ありがとうございました！ No.72965 - 2021/02/19(Fri) 15:27:02

★ 数II 三角関数 / みか
「t=cosx+sinxとする。xが実数全体を動くとき、tの最大値と最小値と、そのときのxの値を求めなさい。」 という問題で、解答には最小値をとるときのxの値を、 x+π/4=2nπ-π/2(nは整数) としていたのですが、 x+π/4=2nπ+(3/2)π(nは整数) と答えても同じことですか？どなたか教えて下さい！ No.72901 - 2021/02/15(Mon) 12:05:33 ☆ Re: 数II 三角関数 / ヨッシー 同じことです。 No.72902 - 2021/02/15(Mon) 12:57:09 ☆ Re: 数II 三角関数 / みか ヨッシーさん教えて下さりありがとうございます！同じだと分かって安心しました！またよろしくお願いします！ No.72903 - 2021/02/15(Mon) 13:37:54

★ なんどもすみません… / エラスムス
（ｓ−ｔ）（３ｓ＋３ｔ＋２ｑ）＝０ ｓ≠ｔより （３ｓ＋３ｔ＋２ｑ）＝０ というのがすこし不思議な感じがしたのですが これもやはりよくある考え方なのでしょうか No.72899 - 2021/02/15(Mon) 10:51:14 ☆ Re: なんどもすみません… / ヨッシー 　２ｘ＝０ ２≠０ なので、 両辺２で割って 　ｘ＝０ これは不思議ではないですね？ 　(ｓ−ｔ)(３ｓ＋３ｔ＋２ｑ)＝０ ｓ−ｔ≠０　なので、両辺ｓ−ｔで割って 　(３ｓ＋３ｔ＋２ｑ)＝０ 同じですね。 No.72900 - 2021/02/15(Mon) 11:17:08

★ (No Subject) / かける

302の⑵の電化保存のところで右のコンデンサーの電荷をマイナスとおいてるので、 3×10^-6V2-1×10^-6V2=になり解答の符号が逆だと思ったのですが、 この考えのどこが間違っているのでしょうか？ No.72896 - 2021/02/15(Mon) 04:34:20 ☆ Re: / かける 解答です No.72897 - 2021/02/15(Mon) 04:34:49 ☆ Re: / X ＞＞右のコンデンサーの電荷をマイナスとおいてるので、 それは二つのコンデンサーの接続前の話です。 問題のV[2]についての方程式の左辺は 「接続後の電位差に対する」電荷の和 ですので引き算ではなくて足し算になります。 No.72898 - 2021/02/15(Mon) 06:13:53 ☆ Re: / h > ＞＞右のコンデンサーの電荷をマイナスとおいてるので、 > それは二つのコンデンサーの接続前の話です。 > 問題のV[2]についての方程式の左辺は > 「接続後の電位差に対する」電荷の和 > ですので引き算ではなくて足し算になります。 コンデンサーの下側を使って式を立てると-25vになります マイナスがつくというのはどういうことなのでしょうか？ No.72906 - 2021/02/15(Mon) 18:39:37 ☆ Re: / X 問題の方程式はV[2]を接続後のコンデンサーの 上側を基準とした電位差としたときに 成立する方程式です。 正解がコンデンサーの下側を基準としたときに 正の値になるのであれば、hさんの計算結果が 負の値になるのは当然です。 (電位差の基準点を上下逆に取っていますので。) No.72908 - 2021/02/15(Mon) 19:06:02

★ 数II 微分積分 / みか

この問題の(2)の点Pのx座標を求める方法が分かりません。 どなたか教えて下さい！ No.72882 - 2021/02/14(Sun) 17:16:35 ☆ Re: 数II 微分積分 / IT ２つの接線の方程式を求める。 ２つの接線の交点の座標を求める。ab の値を使う。 交点が直線4x-2y+1=0上にあることを使う。 No.72883 - 2021/02/14(Sun) 18:27:37 ☆ Re: 数II 微分積分 / IT （略解） 接線の方程式はy=2ax-a^2…(ア)、y=2bx-b^2…(イ) Pは(ア)(イ)の交点なので、y座標はy=ab=-1/4 Pは4x-2y+1=0上にあるので　x=y/2-1/4=-3/8 No.72892 - 2021/02/14(Sun) 20:10:44 ☆ Re: 数II 微分積分 / みか ITさん教えて下さりありがとうございました！無事最後まで解けました！これからもよろしくお願いします！ No.72895 - 2021/02/14(Sun) 21:27:19

★ 二次関数の頂点 / 15

入試の問題で以下の問題が出ました。 y=-2ｘ+4とy=(x-1)^2+aはある点で交わる。 ?@y=-2x+4のグラフを書け。 ?A-2≦ｘ≦1の間で最大値と最小値を答えよ。 ?Aを進める上で頂点を求める必要があると思いましたが、座標の情報がなく求め方が分かりませんでした。 このような場合の頂点(1,a)のaの求め方を教えてください。 No.72880 - 2021/02/14(Sun) 16:47:53 ☆ Re: 二次関数の頂点 / IT 何の最大値と最小値を答えるのですか？ その条件だけからではaは一つには定まらないのでaのままで良いのでは？ No.72881 - 2021/02/14(Sun) 17:06:00 ☆ (No Subject) / 15 言葉足らずで申し訳ありません。 試験問題も持ち帰れず、うろ覚えで質問しております。 最大値最小値の問題なので y=(x-1)^2+aのことかと思いました… 最大値、最小値、形が異なるグラフの交点は解いてきたのですが、頂点が分からない問題は始めてで、 もしかしたら一次関数との交点から頂点を求めることができるのかと思って質問させていただきました。 No.72885 - 2021/02/14(Sun) 19:04:28 ☆ Re: 二次関数の頂点 / IT >y=-2ｘ+4とy=(x-1)^2+aはある点で交わる。 「接する」では？ No.72886 - 2021/02/14(Sun) 19:25:15 ☆ (No Subject) / 15 前述にもあるように試験問題を持ち帰れていないので 記憶を辿りながら質問しております。 接するのと交わるのでは解釈が変わるのでしょうか？ ?Ay=(x-1)^2+aの頂点は 問題文だけの要素だけで求めることはできますか？ No.72887 - 2021/02/14(Sun) 19:33:55 ☆ Re: 二次関数の頂点 / IT > 接するのと交わるのでは解釈が変わるのでしょうか？ 接すると交わるは異なります。 > > ?Ay=(x-1)^2+aの頂点は > 問題文だけの要素だけで求めることはできますか？ 接するだとy=(x-1)^2+aは一つに決まりますからaが求まります。 No.72888 - 2021/02/14(Sun) 19:48:06 ☆ Re: 二次関数の頂点 / 15 そうだったのですね… うろ覚えの問題文、そして理解力が伴っておらず本当に申し訳ありません。 もしITさんのお時間があれば 「接する」場合の解き方を教えて頂けますか？ No.72890 - 2021/02/14(Sun) 19:51:25 ☆ Re: 二次関数の頂点 / 15 何度も申し訳ありません。 まず、接すると交わるの違い分かりました。 接する場合の解き方も分かりました。 時間を割いて教えてくださる方に甘えてしまっていました(;_;) 根気よく付き合ってくださりありがとうございました。 No.72891 - 2021/02/14(Sun) 20:07:59

★ (No Subject) / エラスムス
ベクトルなのですが、 （-op・oq）+（op・oa）-（oq・ob）+（ob・oa）=-bp+bp=0 であっていますか？ No.72877 - 2021/02/14(Sun) 16:18:57 ☆ Re: / X 間違っています。 左辺が内積の和で中辺がベクトルの和であるのなら そもそも等しくなることはあり得ません。 No.72879 - 2021/02/14(Sun) 16:23:18

★ ベクトル / 　kitano

こんにちは、宜しく御願いします 問題 No.72871 - 2021/02/14(Sun) 10:36:22 ☆ Re: ベクトル / らすかる もし問題が |a|=1,|b|=1を満たすとき、|2a+b|の最大値を求めよ （ただしa,bはベクトルです） だったら解けますか？ No.72872 - 2021/02/14(Sun) 12:01:25 ☆ Re: ベクトル / 　kitano らすかる様。 お久しぶりです。ご回答有難うございます 早速考えてみました。。。 以下 No.72873 - 2021/02/14(Sun) 12:31:06 ☆ Re: ベクトル / らすかる どちらの方法でも問題ないですね。 後者は|a|=|b|で2a+bが最大になるのはa=bの場合であるというのは 計算するまでもなく明らかだと思います。 元の問題でa+3b=s, 3a-b=tとおくと |s|=1,|t|=1を満たすとき、|(2s+t)/5|の最大値を求めよ という問題に変わり、簡単になりますね。 No.72875 - 2021/02/14(Sun) 13:27:56 ☆ Re: ベクトル / 　kitano らすかる様 今回も有難うございました。 また、宜しく御願いいたします、 kitano No.72876 - 2021/02/14(Sun) 13:31:37

★ 宿題 / 112358

凸四角形ABCDを底面とする四角すいK-ABCDがあり、 全ての辺が単位球面に接しており、 かつその球面の中心は底面ABCD上にある。 このとき、KA+KB+KC+KD≦AB+BC+CD+DA を示せ。 大数2月の宿題です(本が手元にないので問題文の表現はかえてますが)。 締切(2月10日)は過ぎたので、できれば方針だけでも教えて頂けたら幸いです。 宜しくお願いします。 No.72870 - 2021/02/14(Sun) 10:14:00 ☆ Re: 宿題 / 112358 なお、辺KAと球面の接点をA' とするとき 「KA' が1以下」がいえれば嬉しいのですが、 これはそもそも正しくないでしょうか。 No.72889 - 2021/02/14(Sun) 19:48:22 ☆ Re: 宿題 / 関数電卓 まだ解き切れてはいませんが，題意のような四角錐が存在するとすれば， 　４辺 KA, KB, KC, KD は，K を頂点とする円錐の母線上にあり， 　４点 A, B, C, D は，この円錐と単位球の中心を通る平面との交線の楕円上にある だと思うのですが…。 うまい図が描けたら描いてみます。 No.72910 - 2021/02/15(Mon) 20:37:53 ☆ Re: 宿題 / 関数電卓 上は，間違いではないと思いますが，後の計算が煩雑で断念しました。 自明な正四角錐以外では，試行錯誤の末，比較的数字がきれいなものの一例で下図を見つけました。 　A(3/2,0,0), C(−2,0,0), B(4−√15,2√3−√5,0), D(4−√15,−2√3＋√5,0), 　K(4−√15,0,2√3−√5) です。図で E,F,G,H,I,J,L,M は四角錐の各辺と球面との接点です。 球面の対称性から，四角錐は断面 KAC について対称で， 　KA＝AB＝AD, KC＝CB＝CD, KB＝KD となるようです。 よって，題意は 　KA＋KC≧KB＋KD に帰着されるようです。証明は難しい？？ 図の場合， 　KA＝3√3−(3√5)/2≒1.842…，KC＝4√3−2√5≒2.456… 　KB＝KD＝√2･(2√3−√5)≒1.736… で，確かに題意は成り立っています。 A(a,0,0), C(−b,0,0) とすると全ての点の座標は a,b で表されます。この後いろいろやってみたのですが，残念ながら完全な証明には至りませんでした。『大数』の解答が楽しみです。 No.72941 - 2021/02/18(Thu) 11:29:52

★ / α

n,mを自然数とするとき, 3n(n+1)=4m(m+1) を満たす(n,m)の組は (n,m)=(7,6)のみでしょうか？ 数学好きの仲間内で上がった話題で、反例又は証明が欲しい議題なのでよろしくお願いします. m(__)m No.72859 - 2021/02/14(Sun) 01:01:44 ☆ Re: / らすかる a[1]=7, a[2]=104, a[k+2]=14a[k+1]-a[k]+6 b[1]=6, b[2]=90, b[k+2]=14b[k+1]-b[k]+6 とおくと(n,m)=(a[k],b[k])が解です。 つまり(n,m)=(7,6),(104,90),(1455,1260),(20272,17556),… のように無数にあるということです。 No.72864 - 2021/02/14(Sun) 03:56:15 ☆ Re: / α 有り難うございます.よく分かりました. 数列a[k],b[k]がどのように現れたのか教えて頂けると幸いですm(__)m No.72866 - 2021/02/14(Sun) 05:10:24 ☆ Re: / らすかる (n,m)を自作プログラムで探して解をいくつかみつけ、 oeis.orgにnの数列を入力して一般解(http://oeis.org/A001921)を調べ、 mの数列は見つかりませんでしたが初期値を変えるだけでした。 No.72867 - 2021/02/14(Sun) 08:01:21

★ 確率 / kei

高校２年です。 男子7人、女子5人の計12人の中から3人を選んで第1グループをつくる。次に、残った人の中から3人を選んで第2グループをつくる。 このとき、第2グループの中に男子が１人である確率を求めよ。 解答には「第1グループに男子が1人の時の確率と同じで7/22」とだけ書いており、学校の先生に質問しても「くじ引きで当たりが出る確率が引く順番によって変わらないのと一緒」と言われ、分かったような分からないようなかんじで、正直、自分の中できちんと納得が(理解が)できていません。 解法の質問とは異なるのですが、どなたか理解力のない私に今一度説明をしていただけないでしょうか？どうぞよろしくお願いします。 No.72849 - 2021/02/13(Sat) 21:52:41 ☆ Re: 確率 / IT あらかじめ１２人をランダムに１列に並べておいて 最初の３人を第1グループ、次の３人を第２グループにする。 と考えると良いのでは？ そうでないと、第１グループの状況によって場合分けして確率を計算するような手間を掛ける必要が出てくると思います。 No.72855 - 2021/02/13(Sat) 22:39:23 ☆ Re: 確率 / ast > 解答には「第1グループに男子が1人の時の確率と同じで7/22」とだけ書いており、 これは「第1グループの中に男子が１人である確率を求めよ」という設問がこの小問の前の小問としてあったのか無かったのかどちらなのでしょう? もしあったのならどのように求めているのでしょうか, 解説があればその解説の内容を提示してください. そういう小問が無かったのであれば, まずは「第1グループの中に男子が１人である確率を求めよ」という問題にどう解答するか, ということから考えないといけません. # まあ「だけ」と書かれているので, そういう前段すらないと解釈するのが自然ですかね…… 対して, もしあったなら, その確率の求め方が「第1グループでないといけない方法になっていたか」ということをまず検証すべき, ということになりますので, あるとないとでは話が全く違ってきます. # 何も検証していませんが, 12人を並べる方法のうち条件に合うものを数えるので, # 　イメージ的には, 注目するグループに入る男女の選び方 7C1.5C2 通り×その三人の並び方 3! 通り # 　注目するグループ以外には残り9人の並べ方は何も制約が無いので 9! 通り # 　全員の並べ方が 12! 通りなので, 求める確率は # 　　7*(5*4/2*1)*3!*9!/12! # のような感じの内容を想定しています (数値は適当, 7/22 と等しいかすら検証していません). # これが第何グループを想定してもいいこと, あるいは人数やグループ数をもっと増やした類題を作っても # 同じ理屈が通用するかどうか, といった点 (つまり模範解答や先生の仰ってることの意味) について考える, # という話になります. No.72856 - 2021/02/13(Sat) 23:12:43 ☆ Re: 確率 / kei IT様 ast様 ご回答感謝致します。 本問は2019の慶大の商学部の問題なのですが、 原題は 男子7人、女子5人の12人の中から3人を選んで第1グループを作る。次に、残った人の中から3人を選んで第2グループを作る。 (1)第1グループの男子の人数が 0人である確率は□、1人である確率は□、 2人である確率は□、3人である確率は□である。 (2)第1グループも第2グループも男子の数が1人である確率は□である。また、第2グループの男子の数が1人である確率は□である。 (3)第2グループの男子の数が1人であるとき、第1グループの男子の数も1人である確率は□である。 という問題です。 (1)の解答で第1グループの男子の数が1人である確率は (7C1×5C2)/(12C3)=7/22★と計算しています。 そして(2)の後者の問いの解答で、以下、原文通りです。 「第2グループの男子の数が1人である確率は、第1グループの男子が1人である確率と同じで(★と計算方法は同じ)その確率は7/22」 となっています。 No.72860 - 2021/02/14(Sun) 01:47:15 ☆ Re: 確率 / ast 問題の誘導 (および解答解説) が思ったよりきっちりしてる (ので補足すべき点がとくに見当たらない) ことにちょっと面食らってます……. とりあえず > (1)の解答で第1グループの男子の数が1人である確率は > (7C1×5C2)/(12C3)=7/22★と計算しています。 には納得しているのですよね? (ここでは「納得」というのは, 分子 7C1×5C2 と分母 12C3 が何を数えているのかハッキリ説明できる程度の意味として考えています) # ただ, もしこれに納得してるなら (2)後半に対して # > きちんと納得が(理解が)できていません。 # となってしまう状況がわたしにはうまく理解できないので, 念を入れて確認しています. ## つまり, (1)の解答の★が理解できていないことが根本原因ではないかと邪推しています. No.72862 - 2021/02/14(Sun) 02:44:07 ☆ Re: 確率 / kei ast様 丁寧なご回答ありがとうございます。 第1グループの際の★の式は大丈夫納得しています。色々と申し訳ないです… IT様のご回答にも関係するのですが、自分の中で、第1グループの状況によって場合分けをしているわけでもないのに、いきなり第2グループだけを考える際に★の式のようになることをきちんと整理できていません(意味不明でお恥ずかしい限りです)。 ★で第2グループを(第1グループをすっ飛ばして)考えられるのは、例えば当たり3本、外れ7本のくじ引きで、A,Bの2人が戻さずに順に1本ずつ取り出すときに、 Bの当たる確率を(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)のように求めるのではなく、時系列にとらわれず「(Bが当たりでAは任意)/(2人引き方は10×9通り)」と(3×9)/(10×9)通りのように求めているのと同じなのでしょうか？ (第1グループ→第2グループと選んでいますが、男子1人となるように第2グループを先に選んで、第1グループは任意、と確率を求めているようなかんじでしょうか？) 伝わりにくい文章で申し訳ありません。 もう少し、きちんと文章で疑問点を伝えられるように頑張ります。 No.72863 - 2021/02/14(Sun) 03:33:04 ☆ Re: 確率 / 黄桃 No.72855のITさんのおっしゃる通りだと思いますが、もう少し説明してみます。 ポイントは1対1対応、という考え方で、1対1に対応している２つのものの数は（数えなくても）等しい、ということです。 確率というのは、 (今考えている事象の同様に確からしい場合の数)/（同様に確からしいすべての場合の数） であるのはいいですね。 第1グループを選び、次に第2グループを選ぶ、ということを行ったとします。そのうちの１つの選び方が 第1グループ:a,b,c 第2グループ:A,B,C だったとしましょう。これに対して、 第1グループ:A,B,C 第2グループ:a,b,c という組合せを対応させることを考えます。この対応は、すべての場合からすべての場合への1対1対応になっています（対応先が同じなら元も同じ；第1と第2を入れ替えているだけなので）。 さて、第2グループの中に男子が1人である場合、について、今の対応を行うことを考えます。 すると、 第2グループの中に男子が1人である場合、と、第1グループの中に男子が1人である場合 が1対1に対応します。つまり、両者の数は同じ、ということです。 したがって、その確率も同じ、ということになり、第1グループの中に男子が1人である確率と同じになります。 No.72869 - 2021/02/14(Sun) 08:37:21 ☆ Re: 確率 / kei 黄桃さん どうもありがとうございます！ とても丁寧に説明していただきありがとうございます。1対1対応を意識して、もう一度きちんと自分の頭の中で整理してみます！ No.72912 - 2021/02/15(Mon) 20:58:41

★ ガウス記号の公式について / YUKI

nをxを超えない最大の整数とすると、この公式は成り立ちますか？ No.72842 - 2021/02/13(Sat) 21:12:10 ☆ Re: ガウス記号の公式について / IT 成り立ちますね。 x=a+(m/n)+s ,a,mは整数,0≦m＜n, 0≦s＜1/n とおいて両辺を計算するとよい。 No.72844 - 2021/02/13(Sat) 21:36:23 ☆ Re: ガウス記号の公式について / YUKI ありがとうございます。 No.72845 - 2021/02/13(Sat) 21:37:33 ☆ Re: ガウス記号の公式について / IT ｎが正のときしか考えてませんでした。　少し工夫がいりますね。 またｎ≦ｘの条件は不要のようです。 No.72846 - 2021/02/13(Sat) 21:38:51 ☆ Re: ガウス記号の公式について / YUKI nはnatural numberの頭文字なので大丈夫です。 ありがとうございました。 No.72848 - 2021/02/13(Sat) 21:45:52 ☆ Re: ガウス記号の公式について / IT 左辺でxの小数部分でn倍することにより繰り上がる（整数になる）量（整数）と 右辺でxの小数部分に1/n,2/n,3/n,....,(n-1)/n を加えることにより１以上になり繰り上がる量（個数）の和が等しくなる。 ということですね。 No.72850 - 2021/02/13(Sat) 21:56:22 ☆ Re: ガウス記号の公式について / YUKI ｎが正でｎ≦ｘの条件は不要という理解でいいですか？ ありがとうございました。 No.72851 - 2021/02/13(Sat) 22:00:57 ☆ Re: ガウス記号の公式について / IT > ｎが正でｎ≦ｘの条件は不要という理解でいいですか？ ｎが正の条件は必要だと思います。 ｎが正でないと　1/n,2/n,....(n-1)/n のところがおかしくなりますね。 ｎ≦ｘの条件は不要だと思います。 No.72854 - 2021/02/13(Sat) 22:18:12

★ ベクトル方程式の１次独立 / TOM

数学Bのベクトル方程式の１次独立で質問があります。よろしくお願いします。 Q1　教科書、参考書の↑OAと↑OBは一次独立についての質問です。 「↑OP=s↑OA+t↑OB 点Pが直線AB上にある⇔ｓ＋ｔ＝１」……（※） と教科書や参考書に書いてありますが、 「↑OAと↑OBは一次独立だから， ↑OP=s↑OA+t↑OB点Pが直線AB上にある⇔ｓ＋ｔ＝１」 のように一次独立を入れないといけないと思うのですが、どうなのですか。 O(0,0),A(0,1),B(0,2),P(0,3)のようにＯ，Ａ，Ｂが一直線上にあるときは、 ｓ＝１，ｔ＝１でｓ＋ｔ＝2 ↑OP=ｓ↑OA+t↑OB＝↑OA+↑OB ｓ＝-3，ｔ＝3でｓ＋ｔ＝0 ↑OP=ｓ↑OA+t↑OB＝-3↑OA+3↑OB となりｓ＋ｔ＝１以外のものがでてきます。 「↑OP=s↑OA+t↑OB 点Pが直線AB上にある⇔ｓ＋ｔ＝１」……（※） が成り立ちません。 Q2　問題集の解答で↑OAと↑OBは一次独立についての質問です。 以下の問題（問題集）で解答がありますが、（ア）の「点Dは直線AB上にあるから，　2k/3＋k/6=1」の前に 「↑OAと↑OBは一次独立だから」を書くべきではないですか。 [問題] △OABにおいて，辺OBの中点をM，線分AMを1:2に内分する点をCとし，直線OCと辺ABの交点をDとする。 このとき，OC:ODを求めよ。 [解答] AC:CM=1:2より，↑OC＝（内分の計算、途中計算を省略しました）＝2/3↑OA＋1/6↑OB 点Dは直線OC上にあるから，実数kを用いて ↑OD＝k↑OC＝k（2/3↑OA＋1/6↑OB）＝2k/3↑OA＋k/6↑OB 点Dは直線AB上にあるから，　2k/3＋k/6=1　　……（ア） よってk=6/5 ↑OD＝6/5↑OCより OC:OD=5:6 No.72838 - 2021/02/13(Sat) 20:52:58 ☆ Re: ベクトル方程式の１次独立 / 黄桃 A=Bなら直線ABが決まりませんので、そうでないとします。 (※)は、よく読むと、 (☆)Pが直線AB上にある⇔ ↑OP=s↑OA+t↑OB, s+t=1 を満たす実数s,tが(ただ1組)存在する と書いてあるはずです。 これは、↑OAと↑OBは一次独立かどうかとは無関係に成立します。 O(0,0),A(0,1),B(0,2),P(0,3)の場合、s=-1,t=2 です(ABを2:1に外分する点がP)。 Q2も同様で、(ア)を満たすkが存在することがDがAB上にあるということで、実際kがみつかったわけです。 ＃Pが直線AB上にある ＃⇔↑OP=k(↑OA-↑OB)+↑OB となる実数kが(ただ１つ)存在する ＃⇔↑OP=k↑OA+(1-k)↑OB　となる実数kが(ただ１つ)存在する ＃⇔(☆) （s=k, t=1-k と対応） ＃以上どこにも、↑OAと↑OBが一次独立は使ってません。 ＃↑OA-↑OBが方向ベクトルであること、つまり0ベクトルでないこと、だけが必要です。 No.72861 - 2021/02/14(Sun) 01:49:15 ☆ Re: ベクトル方程式の１次独立 / TOM (※)は、よく読むと、 (☆)Pが直線AB上にある⇔ ↑OP=s↑OA+t↑OB, s+t=1 を満たす実数s,tが(ただ1組)存在する と書いてあるはずです。 ↑ これは 「↑OAと↑OBは一次独立」と書かないと 「↑OP=s↑OA+t↑OB点Pが直線AB上にある⇔ｓ＋ｔ＝１、ｓ＋ｔ＝0，ｓ＋ｔ＝2，などs+tが無数にある。」 になってしまい誤りになると思います。 「↑OAと↑OBは一次独立」がないと↑OP=s↑OA+t↑OBはｓとtは無数にありますので、 「↑OP=s↑OA+t↑OB点Pが直線AB上にある⇔ｓ＋ｔ＝１、ｓ＋ｔ＝0，ｓ＋ｔ＝2，などs+tが無数にある。」 になってしまい誤りになると思います。 「↑OAと↑OBは一次独立」を書かないのであれば必要条件になってしまい 「Pが直線AB上にある　⇚　↑OP=s↑OA+t↑OB, s+t=1 を満たす実数s,tが(ただ1組)存在する」……（イ） ではないですか。 しかし、（イ）を利用して[問題][OC:ODを求めよ] を解くのは誤りでｓとtが１組になること（必要十分条件）を考えるので、「↑OAと↑OBは一次独立」 を書かないとだめだと思いますがどうですか。 No.72868 - 2021/02/14(Sun) 08:25:20 ☆ Re: ベクトル方程式の１次独立 / 黄桃 > 「↑OP=s↑OA+t↑OB点Pが直線AB上にある⇔ｓ＋ｔ＝１、ｓ＋ｔ＝0，ｓ＋ｔ＝2，などs+tが無数にある。」 これは、 ↑OP=s↑OA+t↑OB と書かれている場合、つまり、O,A,B,s,t が与えられている場合に 点Pが直線AB上にある からといって s+t=1 とは限らない、といいたいのですよね。つまり、↑OP=s↑OA+t↑OBを満たすO,A,B,P,s,t に関する条件として、 点Pが直線AB上にある と s+t=1 は同値でない、といいたいのですね。それはその通りです。 そのことと (*)「Pが直線AB上にある⇔　↑OP=s↑OA+t↑OB　かつ ｓ＋ｔ＝１ を満たすs,tが存在する」 とは違うことを意味しています。 (*)はO,A,B,Pが与えられている時に Pが直線AB上にある ことと ↑OP=s↑OA+t↑OB　かつ ｓ＋ｔ＝１ を満たすs,tが存在する ことが同値だと言っています。s+t=0やs+t=2を満たすs,tについては、考えていません。 ＃点(x,y)が単位円上にある⇔ x=cos(t), y=sin(t),　0≦t＜2π となるtが存在する ＃という命題に対し、(1,0)=(cos(4π),sin(4π))というように0≦t＜2πを満たさない t があります ＃と文句をいっているようなものです。 No.72874 - 2021/02/14(Sun) 12:34:27 ☆ Re: ベクトル方程式の１次独立 / TOM (*)「Pが直線AB上にある⇔　↑OP=s↑OA+t↑OB　かつ ｓ＋ｔ＝１ を満たすs,tが存在する」 とは違うことを意味しています。 (*)はO,A,B,Pが与えられている時に Pが直線AB上にある ことと ↑OP=s↑OA+t↑OB　かつ ｓ＋ｔ＝１ を満たすs,tが存在する ことが同値だと言っています。s+t=0やs+t=2を満たすs,tについては、考えていません。 なんとなくわかりました。 しかし Q3 これまでの話では 「Pが直線AB上にある⇔　↑OP=s↑OA+t↑OB　かつ ｓ＋ｔ＝１ を満たすs,tが存在する」 は１次独立を書かなくてもよいということですが、以下の[解答１][解答２]で（う）（え）の部分のように１次独立を書いてあります。（別の参考書で書いていないものもあります。） 以下の解答では１次独立を書いていなくても正解としていいのですか。 Q4 ↑OP=s↑OA+t↑OB　かつ ｓ＋ｔ＝１ を満たすs,tが存在する ことが同値だと言っています。s+t=0やs+t=2を満たすs,tについては、考えていません。 つまりs+t=0やs+t=2になってもよいということでよね。 s+t=0やs+t=2になってもよいということで[問題1][問題2]ではｓ＋ｔ＝0、s+t=2でもよいと答えが無数にでてきますが、いいのですか。 平面ベクトルの解答の（う）の部分で「↑AB，↑AQは1次独立であること」を書いてある問題があります。 [問題1] △ABCにおいて，辺ABの中点をP，辺ACを1:2に内分する点をQとする。さらに， 線分BQと線分CPの交点をRとする。↑ARを↑AB，↑ACを用いて表せ。 [解答1] 3点C，R，Pは同一直線上にあるから， ↑AR=(1-s)↑AC＋s↑AP……?@ と表せる。 ここで， ↑AC＝3↑AQ，↑AP＝1/2↑ABであるから?@に代入して ↑AR=(1-s)(3↑AQ)＋s(1/2↑AB) 　　=(3-3s)↑AQ＋s/2↑AB ここで，↑AB，↑AQは1次独立であり，……（う） 点Rは直線BQ上にあるから， (3-3s)＋s/2=1 ⇔　s=4/5 したがって ↑AR=1/5↑AC＋4/5↑AP=2/5↑AB＋1/5↑AC 同じように空間ベクトルの解答の（え）の部分で「↑OA，↑OM，↑ONは1次独立であること」を書いてある問題があります。 [問題2] 四面体OABCの辺OBを3:2に内分する点をM,辺OCを1:2に内分する点をN，三角形ABCの重心をGとする。 平面AMNと直線OGの交点をPとするとき，↑OPを↑OA，↑OB，↑OCを用いて表せ。 [解答2] ↑OG=1/3↑OA＋1/3↑OB＋1/3↑OC 点Pは直線OG上の点であるから， ↑OP＝t↑OGとなる実数tがある。 よって↑OP=t↑OG 　　　　　=t/3↑OA＋t/3↑OB＋t/3↑OC 　　　　　=t/3↑OA＋t/3（5/3↑OM）＋t/3(3↑ON) 　　　　　=t/3↑OA＋5t/9↑OM＋t↑ON ↑OA，↑OM，↑ONは1次独立であり，……（え） 点Pは平面AMN上にあるから， t/3＋5t/9＋t=1 ⇔　t=9/17 したがって ↑OP=3/17↑OA＋3/17↑OB＋3/17↑OC No.72884 - 2021/02/14(Sun) 18:32:52 ☆ Re: ベクトル方程式の１次独立 / 黄桃 私には、これ以上はもう繰り返しの説明しかできませんので、これで最後にします。 Q3の解答1では、?@で決まったsを用いて ↑AR　=(3-3s)↑AQ＋s/2↑AB と表せる、といっており、これはなにか知らないけど確定した実数sとして扱っています。 だから、↑OP=s↑OA+t↑OB をみたす O,A,B,s,t　に関する条件として、点Pが直線AB上にある条件を使おうとしているのです。 そのため、↑OA,↑OBが1次独立を付け加えないと、s+t=1 が言えないのです。 解答2も同様。O,A,M,N,P,t に関する条件を用いたからです。 最初の解答(ア)の部分は、厳密には、もし(ア)を満たすkがあれば Dは直線AB上にある、というべきで、実際k=6/5ならそれをみたしているからOKで、このkは同時に↑OD＝k↑OCも満たしている、という論理です。 こちらの場合は、「…となるkが存在する」というO,A,B,C,Dに関する条件で押し通して、最後でkが確かに存在する、としているわけです。 だから、これと同じ論理を解答１,2で使っても構いません。何に関する条件として使ったかの違いで、どちらか一方だけが正しいというわけではありません。 確かに、「…が存在する」という形の条件を扱うのは面倒なので、それを避けるというのはアリかもしれません。だから理解できないなら、1次独立だからをつけるのが正しい、と考えてもいいでしょう（つけたからと言って多分減点はされないでしょう）。ただ、どうせ将来（現在も？）軌跡の問題などで必要となる考え方なので、理解するよう努力することをお勧めします。 この議論が将来、ためになることを祈ってさようなら。 No.72894 - 2021/02/14(Sun) 21:12:16

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