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★ 点と直線の距離の公式について / ムウマ1993
点と直線の距離の公式は、
１点 A(p , q) から直線 ax+by+c=0 にひいた垂線の長さは
|ap+bq+c|√a2+b2とおいて、それぞれ代入するのが上席ですが、ここで問題。
円の中心が原点ではない場合は、どうなりますか。
例えば円 x^2+(y-4000)^2=4000^2 の中心は (0 , 4000)，半径は 4000
　点　(0 , 4000) と直線 3x - y+k=0 の距離 d はいくつになるのでしょうｋま。
No.72458 - 2021/01/29(Fri) 07:52:56
☆ Re: 点と直線の距離の公式について / ヨッシー
まず訂正から
|ap+bq+c|√a2+b2 ではなく |ap+bq+c|/√a2+b2
もっと正確には |ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

上席→定石

この公式は、原点からの距離ではなく、平面上の任意の点(p,q) からの
距離の公式なので、点(0,4000) からなら
　ｄ＝|3・0−4000＋k|/√(3^2＋1^2)
です。
ちなみに、原点から直線 ax+by+c＝0 までの距離は
　|c|/√(a^2+b^2)
これは、|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) に x=0, y=0 を代入したもので、その意味では、
　|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)
だけ知っていれば十分です。
No.72459 - 2021/01/29(Fri) 08:16:50
★ 剰余 / あ
１番についての質問ですが、直接証明で証明することは出来ましたが、S_i != S_j の時に除数の違いによるkの算出方法で条件分岐が多く証明が長くなりすぎてしまいます。対偶法や背理法も考えてみましたが、否定の処理で仮定がよくわからなくなってしまいます。

条件分岐を少なくする方法（剰余をどうまとめるか）、または対偶法や背理法での正しい仮定を教えてください
No.72455 - 2021/01/29(Fri) 05:43:56
☆ Re: 剰余 / あ
問題文です
No.72456 - 2021/01/29(Fri) 05:44:53
☆ Re: 剰余 / ast
# いくつかtypoが見られるのは, これ自分で打ち込んで何かで出力したものってこと?
## たとえば lt と le の混同 (後者は等号付きの判定を別で用意したとか?)
## ほかにもたとえば io(S) の戻り値は boolean だから 6 行目 "=" のあとは "T iff" が入る?
# もし手打ちしたなら, 掲示板に直接テキスト入力してもらった方がやり取りの際の引用など考えると
# 利便性の面でいろいろありがたいのだけど (画像は画像で意味はあるとは思うけど)

きちんと書いてみてはいないが, S' は 1,0,3,0 の繰り返しなのだから, 4項ごとにブロックに区切って (高校数学式に言うと群数列とかいうやつ), i も j も mod 4 で考えれば k は j+(4-j mod 4)+(i mod 4) くらい (でいいかな?) をとればイケるのでは?
# 想定している方法は, (i の属するのがどのブロックでも) i番目の項の値 x は 1,0,3,0 のどれかなので,
# 意味があるのは i がそのブロックの頭から何個目かだけ.
# 同様に (j が何番目のブロックにあっても) 1,2,3,4 のうち適当な数を足して
# 次のブロックの先頭を検出すれば, そこから i 番目の項と同じ値 x は必ず i mod 4 項先にある.

この方法も十分直截的な証明だと思うし, 質問者さんの言ってる「直接証明」ってのがどういうものかよくわからないからアレだが……
# まあ, 4 で割って 2 あまるのと 4 で割り切れるのとどっちかはサボれる気がするし,
# また j<i のときはややこしいこと考えなくても k=i で十分だから, 結局は i=1,2,3,4 だけ調べても
# この場合は一般性を失わないということでいいと思うけど.
No.72462 - 2021/01/29(Fri) 09:42:46
★ 空間ベクトル / たけかわ
次の問題を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

四面体OABCの辺OA、OB上にそれぞれ点D、Eをとる。ただし、点Dは点O、Aとは異なり、AEとBDの交点Fは線分AE、BDをそれぞれ2:1、3:1に内分している。また、辺BCをt:1 (t>0)に内分する点Pをとり、CEとOPの交点をQとする。直線FQと平面ABCが平行となるようなtの値を求めよ。

ちなみに答えがt=4/3になることが分かっています。すみませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.72454 - 2021/01/29(Fri) 02:29:52
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー
ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ と置きます。

最終目標は、ＦＱ を
　ｕａ＋ｖｂ＋ｗｃ
と表したとき、ｕ＋ｖ＋ｗ＝０ となるｔを求めることです。
（ＦＱ＝ｍＢＡ＋ｎＢＣ と表せる必要十分条件）

ＯＤ＝ｄａ、ＯＥ＝ｅｂ とします。
ＢＤ上の点Ｆについて
　ＯＦ＝(3d/4)ａ＋(1/4)ｂ
ＡＥ上の点Ｆについて
　ＯＦ＝(1/3)ａ＋(2e/3)ｂ
係数比較して
　ｄ＝4/9、ｅ＝3/8
となり
　ＯＦ＝(1/3)ａ＋(1/4)ｂ　　・・・(i)

ＥＱ：ＱＣ＝ｓ：１ とします。
　ＯＱ＝{1/(s+1)}ＯＥ＋{s/(s+1)}ＯＣ
　　　＝{3/8(s+1)}ｂ＋{s/(s+1)}ｃ
　ＯＰ＝{1/(t+1)}ｂ＋{t/(t+1)}ｃ
ＯＰ//ＯＱ より
　{3/8(s+1)}：{s/(s+1)}＝{1/(t+1)}：{t/(t+1)}
　{3/8(s+1)}{t/(t+1)}＝{s/(s+1)}{1/(t+1)}
両辺 (s+1)(t+1) を掛けて
　3t/8＝s
よって、
　ＯＱ＝{3/8(3t/8+1)}ｂ＋{3t/8(3t/8+1)}ｃ　・・・(ii)
と書けます。

(i)、(ii) より
　ＦＱ＝ＯＱ−ＯＦ
　　＝{3/8(3t/8+1)}ｂ＋{3t/8(3t/8+1)}ｃ−(1/3)ａ−(1/4)ｂ
係数を全部足して、
　{3/8(3t/8+1)}＋{3t/8(3t/8+1)}−1/3−1/4＝０
これを解いて
　ｔ＝4/3
となります。
No.72457 - 2021/01/29(Fri) 07:36:22
☆ Re: 空間ベクトル / らすかる
別解
条件を満たすためにはAとCが重なる方向から見た図でFとQが一致すればよく、
そのときOFとABの交点をGとすればGとPが一致するためt=GB/AG
「△OABの内部に点FがあってOFとABの交点をG、AFとBOの交点をE、BFとOAの交点をDとして
点GがABをp：qに内分し、点EがBOをr：pに内分し、点DがOAをq：rに内分しているとき
点FはOGをp+q：rに内分し、AEをr+p：qに内分し、BDをq+r：pに内分する」
を使うとp,q,rが互いに素な自然数として
AF：FE=r+p：q=2：1、BF：FD=q+r：p=3：1からp=3,q=4,r=5なので
AG：GB=p：q=3：4
∴t=4/3
No.72465 - 2021/01/29(Fri) 11:37:19
☆ Re: 空間ベクトル / たけかわ
ヨッシー様
らすかる様

丁寧な解説ありがとうございます！
とてもよく分かりました！
No.72469 - 2021/01/29(Fri) 15:57:48
★ 角の二等分線 / 明
次の問題を教えて下さい。

BA=BC=6の二等辺三角形ABCがある。∠Bの内角の二等分線と、∠Aの内角の二等分線の交点をI、∠Aの外角の二等分線の交点をJとする。IJ=5のとき、BIおよびACの長さを求めよ。

よろしくお願いします。
No.72452 - 2021/01/28(Thu) 22:24:25
☆ Re: 角の二等分線 / らすかる
ACの中点をMとすると∠MJA=∠MAI=∠BAIなので△BAJ∽△BIA
よってBI：AB=AB：BJからBI・BJ=BI・(BI+5)=(AB)^2=36
∴BI=4
またIM：AM=AI：AJ=AB：BJ=2：3とAM^2+(IM+4)^2=AB^2=36から
AM=30/13なので
AC=2AM=60/13
No.72453 - 2021/01/28(Thu) 23:43:40
☆ Re: 角の二等分線 / 明
とてもよく分かりました！
ありがとうございます！
No.72486 - 2021/01/30(Sat) 00:44:34
★ 三角関数 / 高2
次の問題を教えて下さい。
よろしくお願いします。

方程式asinxcosx+b(sinx-cosx)-1=0を満たすxが0≦x≦πの範囲に存在するような正の定数a,bの条件を求めよ。

自分ではとりあえず
t=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)とおくと
sinxcosx=(1-t^2)/2なので

at^2-2bt+2-a=0
という方程式まではたどり着きました。

このtの方程式が-1≦t≦√2で少なくとも1つの実数解をもつ条件を考えればよいのでしょうか？

申し訳ございませんが、この続きをお教え下さい。よろしくお願い致します。
No.72449 - 2021/01/28(Thu) 20:57:23
☆ Re: 三角関数 / らすかる
at^2-2bt+2-a=0 というtの二次方程式が-1≦t≦√2の範囲の解を持つためには
f(t)=at^2-2bt+2-aとおいたとき
f(-1)=0 または
f(√2)=0 または
f(-1)＞0 かつ f(√2)＜0 または
f(-1)＜0 かつ f(√2)＞0 または
f(-1)＞0 かつ f(√2)＞0 かつ (頂点のy座標)≦0 かつ -1＜(頂点のx座標)＜√2

f(-1)=a+2b+2-a=2b+2, f(√2)=2a-(2√2)b+2-a=a-(2√2)b+2
条件からf(-1)=2b+2＞0なのでf(-1)=0はあり得ない
f(√2)=0 のとき a-(2√2)b+2=0 すなわち b=(√2)(a+2)/4
f(-1)＞0 かつ f(√2)＜0 のとき
a-(2√2)b+2＜0 すなわち b＞(√2)(a+2)/4
f(-1)＞0なのでf(-1)＜0かつf(√2)＞0はあり得ない
f(t)=at^2-2bt+2-a=a(t-b/a)^2+2-b^2/a-a から
(頂点のx座標)=b/a、(頂点のy座標)=2-b^2/a-a なので、最後の条件は
a-(2√2)b+2＞0 かつ 2-b^2/a-a≦0 かつ -1＜b/a＜√2
すなわち
b＜(√2)(a+2)/4 かつ (a-1)^2+b^2≧1 かつ b＜(√2)a
以上をまとめると
b≧(√2)(a+2)/4 または
(a-1)^2+b^2≧1 かつ b＜(√2)a
No.72470 - 2021/01/29(Fri) 17:23:57
☆ Re: 三角関数 / 高2
らすかるさん
とても丁寧に教えていただき、ありがとうございました！
No.72484 - 2021/01/29(Fri) 23:36:12
★ (No Subject) / るる
教えてください。答えがないので答えもお願いします！
No.72447 - 2021/01/28(Thu) 20:14:26
☆ Re: / ヨッシー
１＋１＝１０
１＋１＋１＝１１
に従って、筆算すると以下のようになります。

No.72451 - 2021/01/28(Thu) 22:08:27
★ 絶対値を含む方程式 / 幸
|x^2+ax+2a|-a-1=0が異なる２つの実数解をもつaの値の範囲を求めて下さい。よろしくお願いします。
No.72445 - 2021/01/28(Thu) 19:00:04
☆ Re: 絶対値を含む方程式 / IT
＞異なる２つの実数解をもつ
ちょうど２つでしょうか？

ｙ＝|x^2+ax+2a|のグラフと
ｙ＝a+1のグラフに分けて考えた方が分類しやすかもしれませんね。
No.72446 - 2021/01/28(Thu) 19:29:42
★ 可算について / カキ
写真にあるように集合Sを定めると、Sは可算である.

このことを示していただきたいです。ご教授頂けると幸いです。

【命題】
任意のi≥1に対して、集合Xiが可算⇒Xiの有限直積集合ΠXiも可算である.

ヒントで、この命題を用いてSの濃度はQxQx...xQ(n個)の濃度と等しいことを使う。

とあったのですが、なぜ等しくなるのかそれも含めて教えていただけるとありがたいです。
No.72443 - 2021/01/28(Thu) 18:04:31
☆ Re: 可算について / ast
まずはこちらを参照してください. そこにも書きましたがそもそも χ_{J_k} (の形をした対象たち全体の成す集合) の濃度から数えないといけないのに, χ_{J_k} で何の概念を表しているのか書いてないのでは質問としても問題としてもそもそも成立していません.
# 想像するに k を止めるごとに J_k の取り方の全体が適当な濃度になるために特定の制限が掛かっているはず
# ("J は○○が××であるという条件を満たすような□□" とか "χ_J は J の△△" というような形式で書いてください)

おそらく, 質問者さんがお読みの本では「ずっと前のほうにはきちんと書いてあって, そのあとは暗黙の諒解として同じ意味で用いる」というような書き方がされていると考えるのが蓋然性が高そうですので, 質問の際にそれをきちんと補って問題文をなるべくセルフコンテインドな形で提示することは (できる限り有効な返答を引き出したいと思うならば) 質問者さんのほうでやるべきことです (というか, 読んでる本の記述が具体的にわかるならともかく, そうでない以上は回答者には物理的に無理です).
No.72444 - 2021/01/28(Thu) 18:52:18
★ ベルトラン・チェビシェフの定理について。 / メラゾーム
以下のURLについて（i)〜（vii)についてご教授下さい。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/956
No.72440 - 2021/01/28(Thu) 16:29:26
★ ベクトル空間の基底 / べに
[1.0.-2.3]
[1.2. 1.0]
[1.2.-1.1]

上のベクトル空間の基底を求めるとき、ガウスの消去法により
x_1 = -2x_4
x_2 = (3/4)x_4
x_3 = (1/2)x_4
x_4 = x_4
となることが分かったのですが、ここから基底を求めるにはどうすれば良いでしょうか
No.72436 - 2021/01/28(Thu) 00:06:15
☆ Re: ベクトル空間の基底 / IT
x_1、x_2 ,x_3,x_4 はそれぞれ　何ですか？

問題に
> [1.0.-2.3]
> [1.2. 1.0]
> [1.2.-1.1]
> 上のベクトル空間

と書いてありますか？　書いてあるとおりに書いてください。


> x_1 = -2x_4

どうやって　こうなりましたか？　具体的に計算過程を書いてください。（
No.72439 - 2021/01/28(Thu) 05:47:03
★ 三角関数 / 高2
次の問題を教えて下さい。

実数x,y,z,wがx>0,y>0,z>0,w>0,x+y+z+w=πを満たすとき、sinx+siny+sinz+sinwの最大値を求めよ。

学校の先生がグラフの凸性を使う方法と使わない方法があるとお話しされていたのですが、凸性をもし使うとしたら四角形の重心？を考えるのでしょうか？また、凸性を使わないとしたらどのように解いていくのでしょうか？

質問ばかりで申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
No.72435 - 2021/01/27(Wed) 23:50:14
☆ Re: 三角関数 / 関数電卓
x≦y≦z≦w としてよく
　sinx＋siny＝2sin((x+y)/2)cos((x−y)/2)≦2sin((x＋y)/2), 　　(等号は x＝y のとき)
を何回か使えば良いでしょう。
No.72437 - 2021/01/28(Thu) 00:23:12
☆ Re: 三角関数 / 高2
ありがとうございます！無事に解決致しました。
No.72448 - 2021/01/28(Thu) 20:40:24
★ 数学?T / とし
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5、BC=2、CD+DA=9であるとき、CDの取り得る値の範囲および四角形ABCDの面積の取り得る値の範囲を求めよ。

すみませんが、上記の問題をお教え下さい。よろしくお願いします。
No.72434 - 2021/01/27(Wed) 23:34:39
☆ Re: 数学?T / らすかる
CD≦1のときAB+BC+CD≦DAなので四角形になりません。
CD=1+ε（εは正の小さい数）のとき、AB+BC+CD＞DAなので
円周上にA,B,C,DをAB=5,BC=2,CD=1+εとなるようにとれば
半径が小さくなるときDA→0、半径が大きくなる時DA→8+εとなることから
DA=9-CD=8-εとなるような半径が必ず存在し、条件を満たす四角形ABCDは
存在します。
CD≧8のときAB+BC+DA≦CDなので四角形になりません。
CD=8-ε（εは正の小さい数）のとき、AB+BC+DA＞CDなので
円周上にA,B,C,DをAB=5,BC=2,CD=8-εとなるようにとれば
半径が小さくなる時DA→0、半径が大きくなる時DA→15-εとなることから
DA=9-CD=1+εとなるような半径が必ず存在し、条件を満たす四角形ABCDは
存在します。
従ってCDの取り得る値の範囲は1＜CD＜8となります。

四角形ABCDの面積Sは、ブラーマグプタの公式により
S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
（ただしa=AB,b=BC,c=CD,d=DA,s=(a+b+c+d)/2=8）
ですから、
c→8-0のときs-c→0となり面積はいくらでも0に近い値をとり、
最大はc+d=9,s=8から
(s-c)(s-d)=s^2-(c+d)s+cd=cd-8≦(c+d)^2/4-8=49/4（等号はc=dのとき）
なのでS=√{(8-5)(8-2)(49/4)}=21√2/2となります。
よって面積Sの取り得る値の範囲は0＜S≦21√2/2です。

ブラーマグプタの公式は↓こちら
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
No.72441 - 2021/01/28(Thu) 16:33:11
☆ Re: 数学?T / X
別解)
∠ABC=θ
CD=x
と置くと
条件から
0°＜θ＜180° (A)
で、
前半)
△ABC,△CDAにおいて
CAについての余弦定理により
5^2+2^2-2・5・2cosθ=x^2+(9-x)^2-2x(9-x)cos(180°-θ)
これより
29-20cosθ=x^2+(9-x)^2+2x(9-x)cosθ
∴cosθ=(x^2-9x+26)/(x^2-9x-10) (B)
ここで(A)より
-1＜cosθ＜1 (A)'
(A)'(B)より
-1＜(x^2-9x+26)/(x^2-9x-10)＜1
これより
-(x^2-9x-10)^2＜(x^2-9x+26)(x^2-9x-10)＜(x^2-9x-10)^2 (B)'
∴
-(x^2-9x-10)^2＜(x^2-9x+26)(x^2-9x-10) (C)
(x^2-9x+26)(x^2-9x-10)＜(x^2-9x-10)^2 (D)
(C)より
(x^2-9x-10)(2x^2-18x+16)＞0
(x-10)(x+1)(x-1)(x-8)＞0
∴x＜-1,1＜x＜8,10＜x
(D)より
-1＜x＜10
∴(B)'の解は
1＜x＜8 (E)
xを元に戻して
1＜CD＜8

後半)
四角形ABCDの面積をSとすると
S=(1/2)・5・2sinθ+(1/2)x(9-x)sin(180°-θ)
∴S^2=(1/4){(x^2-9x-10)sinθ}^2 (F)
(F)に(A)を代入すると
S^2=(1/4){(x^2-9x-10)^2}{1-{(x^2-9x+26)/(x^2-9x-10)}^2}
=(1/4){(x^2-9x-10)^2-{(x^2-9x+26)^2}
=-9(2x^2-18x+16)
=-18(x^2-9x+8) (F)
横軸にx、縦軸にS^2を取った(F)のグラフを
(E)の範囲で描くことにより
0＜S^2≦(21^2)/2
∴求めるSの範囲は
0＜S≦(21/2)√2
No.72442 - 2021/01/28(Thu) 16:57:27
☆ Re: 数学?T / とし
らすかるさん
Xさん
とても丁寧な解答ありがとうございました！
No.72450 - 2021/01/28(Thu) 21:28:57
★ 積分 / けー
この積分の答えが0>xのときは0なのですが2π<xのときは1になるのですが、なぜでしょうか？
No.72427 - 2021/01/27(Wed) 21:09:31
☆ Re: 積分 / IT
なぜと聞かれても、そうなるように出題者が定義したからとしかいいようがないと思いますが。
No.72428 - 2021/01/27(Wed) 21:35:47
☆ Re: 積分 / けー
言葉足らずでした。F(x)の答えがです。
No.72429 - 2021/01/27(Wed) 21:46:19
☆ Re: 積分 / IT
答えは、0>xのときは0なのですが2π<xのときは1になる。
と与えられているが、
自分では計算できない。あるいは、自分で計算すると違う値になる。

ということでしょうか？　後者なら、計算過程と計算結果を書き込んでください。
No.72430 - 2021/01/27(Wed) 22:07:09
☆ Re: 積分 / けー
x>2πのときf(x)の値は0なので、F(x)を計算すると0の定積分であるため答えは0になるのではと考えました。
No.72431 - 2021/01/27(Wed) 22:26:19
☆ Re: 積分 / IT
定積分の基本が分かっておられないか、勘違いをしておられるようです。
a<b<c について
∫[a,c]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx　です。

グラフを描いて確認してください。
No.72432 - 2021/01/27(Wed) 22:35:00
★ 方程式 / n
次の問題を教えて下さい。

f(y)=(y-3)^2-ay^2とおく。
正の実数xでf(x+(1/x))=0を満たすものは何個あるか。

よろしくお願い致します。
No.72422 - 2021/01/27(Wed) 19:29:18
☆ Re: 方程式 / らすかる
a＜0のとき
f(y)=(y-3)^2-ay^2＞0なのでf(y)=0を満たすyはありません。
a=0のときf(y)=0を満たすyは3であり、x+1/x=3を満たすxは2個です。
a=1のときf(y)=-6y+9=0を満たすyは3/2ですが、x+1/x≧2なので
f(x+1/x)=0を満たすxはありません。
a＞0,a≠1のとき
f(y)=(y-3)^2-ay^2={y-3+(√a)y}{y-3-(√a)y}={(1+√a)y-3}{(1-√a)y-3}から
f(y)=0を満たすyは3/(1±√a)
ここでさらに場合分けすると
0＜a＜1のとき
0＜3/(1+√a)＜3/(1-√a)
3/(1+√a)=2となるのはa=1/4のときで、
このとき3/(1-√a)=6であり、x+1/x=2となるxは1個、x+1/x=6となるxは2個なので
f(x+1/x)=0を満たすxは3個
0＜a＜1/4のとき2＜3/(1+√a)＜3/(1-√a)となり
2より大きい解が二つあるので、f(x+1/x)=0を満たすxは4個
1/4＜a＜1のとき3/(1+√a)＜2＜3/(1-√a)となり
2より大きい解は一つなので、f(x+1/x)=0を満たすxは2個
1＜aのとき
3/(1-√a)＜0＜3/(1+√a)＜2なので2より大きい解がなく、f(x+1/x)=0を満たすxは0個
以上をまとめると
a＜0のとき 0個
a=0のとき 2個
0＜a＜1/4のとき 4個
a=1/4のとき 3個
1/4＜a＜1のとき 2個
1≦aのとき 0個
No.72424 - 2021/01/27(Wed) 20:00:08
☆ Re: 方程式 / n
らすかるさん

１つ１つとても説明していただきありがとうございます。お陰様で無事に理解することができました！
No.72438 - 2021/01/28(Thu) 00:43:58
★ 微分方程式 / くも
x'''-3x''+4x=0
の実数値一般解が分かりません
No.72414 - 2021/01/27(Wed) 13:51:39
★ 重積分　体積 / penguin
z=(x^2)yとz=(y^2)+yで囲まれた体積を求めよ。
この問題の解答が分かりません。
詳しい方、解説お願い致します。
No.72413 - 2021/01/27(Wed) 10:15:10
☆ Re: 重積分　体積 / らすかる
「囲まれる部分」の存在領域は-1≦x≦1, -1≦y≦0, -1/4≦z≦0の中にあり
その「部分」をy=t（-1≦t≦0）で切るとt^2+t≦z≦tx^2となります。
z=t^2+tとz=tx^2の交点のx座標は±√(t+1)なので、求める体積は
∫[-1〜0]∫[-√(t+1)〜√(t+1)]tx^2-(t^2+t)dxdt
=∫[-1〜0]-(4/3)t(t+1)^(3/2)dt
=16/105
となります。
No.72415 - 2021/01/27(Wed) 15:54:28
☆ Re: 重積分　体積 / penguin
返信有り難うございます。
囲まれる部分はどのようにして求めたのでしょうか。
(x^2)y=y^2+yを計算してもy=0 or y=x^2-1しか出てこないのですが...。
No.72416 - 2021/01/27(Wed) 16:52:36
☆ Re: 重積分　体積 / らすかる
三次元で「面で囲まれる部分」が存在するとき、
その「囲まれる部分」が存在する範囲で平面で切断すれば、
必ず切断平面上でも「線で囲まれる部分」になるはずですね。
y=tで切ると
z=tx^2
z=t^2+t
となり、これをxz平面に図示すると
-1＜t＜0,0＜tのときに「囲まれる部分」が存在します。
0＜tのときの「囲まれる部分」は、
tがいくら大きくなっても閉じませんので、
三次元では「囲まれる部分」になりません。
-1＜t＜0のときの「囲まれる部分」は、
t→-1+0のときもt→-0のときも面積→0となりますので、
三次元で考えた場合も「囲まれる部分」になっています。
よってy=t（-1≦t≦0)で切って面積を求めて積分すれば
体積が出ますね。

# 最初はz=tで切ったのですが、積分が大変なのでy=tで切り直しました。
No.72418 - 2021/01/27(Wed) 17:41:15
☆ Re: 重積分　体積 / penguin
詳しい解説有り難うございます。
切断して断面積を積分する形という事は、重積分のように一つの式では体積が表せないということで合っていますか？
度々の質問お許し下さい。
No.72420 - 2021/01/27(Wed) 18:47:47
☆ Re: 重積分　体積 / らすかる
ちょっと雑な言い方ですが、
断面積は距離を積分して求めますので
(体積)=∫(断面積)=∫∫(距離)であり
一つの式で表せます。
実際、上の回答で一つの式で
∫[-1〜0]∫[-√(t+1)〜√(t+1)]tx^2-(t^2+t)dxdt
と書いていますよね。
No.72421 - 2021/01/27(Wed) 19:09:20
☆ Re: 重積分　体積 / penguin
有り難うございます。
お陰様で理解できました。
No.72423 - 2021/01/27(Wed) 19:33:44
★ 式と証明 / ナックル
次の証明を教えて下さい。

xとyが実数のとき、3つの式x+y+4、x-3y-2、-x^3+3x+9yのうち少なくとも1つは負であることを示せ。

宜しくお願いします。
No.72407 - 2021/01/26(Tue) 23:53:24
☆ Re: 式と証明 / IT
a(x,y)=x+y+4,b(x,y)=x-3y-2,c(x,y)=-x^3+3x+9y とおく

a(x,y)≧0かつb(x,y)≧0…(1)のとき　c(x,y)＜0を示す。
　(1)のとき　-x-4 ≦y≦(x-2)/3
　 ∴　x≧-5/2 かつ y≦(x-2)/3

この領域で　c(x,y)≦-x^3+3x+9((x-2)/3）= -x^3+6x-6
右辺の最大値を調べると、
　x=√2 のとき極大で極大値は負、また左端のx=-5/2 のときの値も負なので、最大値は負。
したがってc(x,y)＜0.
No.72409 - 2021/01/27(Wed) 01:04:03
☆ Re: 式と証明 / らすかる
参考
x≧-5/2のとき6x+15≧0なので
-x^3+6x-6=-{((6x+15)+2)(12x-17)^2+3(6x+15)+226}/864＜0
No.72412 - 2021/01/27(Wed) 07:07:47
☆ Re: 式と証明 / ナックル
ITさん
らすかるさん

どうもありがとうございました！
No.72426 - 2021/01/27(Wed) 20:07:38
★ 複素関数論 / K
こんにちは
大学数学、複素関数の直行関数、フーリエ級数展開についての質問です
以下の画像の問題が解けなくて困っております 。
どなたか解答を示して頂けると幸いです。
よろしくお願いします
No.72406 - 2021/01/26(Tue) 23:47:15
☆ Re: 複素関数論 / X
誤差が
|f(x)-g(x)|
と定義されていると仮定すると、平均二乗誤差
をεとして、条件から

ε=√{{1/(2L)}∫[x:-L→L]|f(x)-g(x)|^2dx}
ここで
{1/(2L)}∫[x:-L→L]|f(x)-g(x)|^2dx={1/(2L)}∫[x:-L→L]{x-{B[1]sin(πx/L)+B[2]sin(2πx/L)+B[3]sin(3πx/L)}}^2dx
={1/(2L)}∫[x:-L→L]{x^2+[{B[1]sin(πx/L)}^2+{B[2]sin(2πx/L)}^2+{B[3]sin(3πx/L)}^2]
-2[xB[1]sin(πx/L)+xB[2]sin(2πx/L)+xB[3]sin(3πx/L)]
+2[B[1]B[2]sin(πx/L)sin(2πx/L)+B[2]B[3]sin(2πx/L)sin(3πx/L)+B[3]B[1]sin(3πx/L)sin(πx/L)]}dx (A)
(A)の被積分関数の最初の[]の中に半角の公式、２つ目の[]については部分積分を使い、
3つ目の[]には和積の公式を適用すると、結局
(A)={1/(2L)}{(2/3)L^3+L{B[1]^2+B[2]^2+B[3]^2}+(2L/π)[2LB[1]cosπ+LB[2]cos2π+(2/3)LB[3]cos3π]}
=(1/3)L^2+(1/2){B[1]^2+B[2]^2+B[3]^2}-(1/π)[2LB[1]-LB[2]+(2/3)LB[3]]
={(1/2)B[1]^2-(2L/π)B[1]}+{(1/2)B[2]^2+(L/π)B[2]}+{(1/2)B[3]^2-(2L/(3π))B[3]}+(1/3)L^2
=(1/2){B[1]-2L/π}^2+(1/2){B[2]+L/π}^2+(1/2){B[3]-2L/(3π)}^2+(1/3)L^2-(2+1/2+2/9)(L/π)^2
=(1/2){B[1]-2L/π}^2+(1/2){B[2]+L/π}^2+(1/2){B[3]-2L/(3π)}^2+{1/3-49/(18π^2)}L^2
∴求める値は
(B[1],B[2],B[3]=(2L/π,-L/π,2L/(3π))
No.72419 - 2021/01/27(Wed) 17:58:54
★ 図形 / EFG
図形の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

鋭角三角形ABCにおいて、各頂点から対辺へ垂線AP,BQ,CRを下ろすと、それらが1点Hで交わり、PH=1,AQ=2,QC=となった。このとき、三角形PQH、三角形QRH、三角形RPHの 面積比を求めよ。

自分ではP,Q,Rが同一円周上にあることと、Hが三角形PQRの内心であることまでは分かりました。

よろしくお願いします。
No.72395 - 2021/01/26(Tue) 19:29:59
☆ Re: 図形 / ヨッシー
QC の長さはいくらですか？
No.72396 - 2021/01/26(Tue) 19:47:55
☆ Re: 図形 / EFG
申し訳ありません。
QC=4です。
No.72397 - 2021/01/26(Tue) 19:50:35
☆ Re: 図形 / ヨッシー

△ＢＨＰにおいて、ＢＰ＝ａ、ＢＨ＝ｂとおき、
これと相似な三角形を抜き出すと図のようになります。
　ＢＣ＝ＢＰ＋ＰＣ
より
　４ｂ＝ａ＋6/b
を
　ｂ^2＝ａ^2＋１
に代入して、ａ，ｂ（いずれも正）を求めると、
　ａ＝(2/5)√5、ｂ＝(3/5)√5、ＣＰ＝2√5
となり、これにチェバの定理やメネラウスの定理を駆使して
各線分の比を求めると下のようになります。

数字は、線分の長さではなく比です。

△ＡＢＣの面積を１とすると
　△ＰＱＨ＝2/3×5/8×1/6＝5/72＝35/504
　△ＱＲＨ＝1/3×3/8×2/7＝1/28＝18/504
　△ＲＰＨ＝2/7×1/8×5/6＝5/168＝15/504
よって、求める比は
　３５：１８：１５
No.72411 - 2021/01/27(Wed) 06:46:00
☆ Re: 図形 / EFG
ヨッシーさん

とても分かりやすく説明していただきありがとうございます！しっかり勉強しておきます！
No.72433 - 2021/01/27(Wed) 23:16:42
★ 三角関数 / 高2
a,bを0≦a≦1,1≦b≦2を満たす定数とする。f(x)=asinx+bcosx (π/6≦x≦7π/6)の最大値と最小値を求めよ、という問題を教えて下さい。
よろしくお願い致します。
No.72393 - 2021/01/26(Tue) 19:06:01
☆ Re: 三角関数 / X
0≦a≦1,1≦b≦2
により
0≦a/b≦1
に注意すると、三角関数の合成により
f(x)={√(a^2+b^2)}cos(x-α) (A)
(但しαは
tanα=a/b,0≦α≦π/4
なる角)
ここで
π/6≦x≦7π/6
より
π/6-α≦x-α≦7π/6-α (B)
で
-π/12≦π/6-α≦π/6
11π/12≦7π/6-α≦7π/6

(i)π/6-α≦0のとき
π/6≦α
∴1/√3≦tanα=a/b
∴b≦a√3
このとき
11π/12≦7π/6-α≦π
∴f(x)は
x-α=0、つまりx=α
のとき最大となり、最大値は
f(α)=√(a^2+b^2)
又、
x-α=7π/6-α、つまりx=7π/6
のとき最小となり、最小値は
f(7π/6)=-{(√3)/2}a-b/2

(ii)0＜π/6-αのとき
(i)と同様の計算により
a√3＜b
このとき
π＜7π/6-α≦7π/6
であることから、f(x)は
x-α=π、つまりx=π+αのとき最小となり
最小値は
f(π+α)=-√(a^2+b^2)
又、x-α=π/6-α、つまりx=π/6
のとき最大となり、最大値は
f(π/6)={(√3)/2}a+b/2

以上をまとめて
b≦a√3のとき
最大値は
f(α)=√(a^2+b^2)
最小値は
f(7π/6)=-{(√3)/2}a-b/2

a√3＜bのとき
最大値は
f(π/6)={(√3)/2}a+b/2
最小値は
f(π+α)=-√(a^2+b^2)

(但しαは
tanα=a/b,0≦α≦π/4
なる角)
No.72399 - 2021/01/26(Tue) 20:01:55
☆ Re: 三角関数 / 高2
X様
とても分かりやすい解説ありがとうございました！
No.72405 - 2021/01/26(Tue) 23:46:51
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