ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率 / アクア

問題

A、B、C、D、Eの5チームがあり、それぞれのチームは他のチームと1回ずつ試合をする。二つのチームが対戦するときの勝敗の確率は1/2とし、引き分けはない。
3勝1敗のチームがちょうど3チーム現れる確率は？

たとえばAが3勝する場合。
AがEに1敗し、B、C、Dに対して3勝するとします。
するとEが3勝するかどうかで場合分けが生じます。
Eが3勝する場合、Eが負けるのはB、C、Dの3通り。
よって、この場合は、5・4・3通り。
Eが3勝しない場合、B、C、Dから3勝する2チームの選び方が3通り。
よって、この場合も5・4・3通り。

以上から求める確率は5・4・3・2・(1/2)^10を計算して求めましたが、答えの3倍になってしまいます。どこを間違えていますでしょうか。どのように修正すればよいでしょうか。

No.72974 - 2021/02/20(Sat) 00:20:22

☆ Re: 確率 / ヨッシー

３勝したＡに勝ったＥが３勝しないというのは、
実は起こりません。

勝敗数の合計は10勝10敗なので、３人が３勝１敗で
合計９勝３敗なので、残り２人は１勝３敗と、０勝４敗です。

Ｅが０勝４敗、Ｄが１勝３敗として星取り表を書くと、
この２通りだけしか出来ないことに気付きます。

Ｅは全員に負ける。ＤはＥ以外の全員に負ける。
３勝１敗のＡ，Ｂ，Ｃは、互いに１勝ずつする、というパターンです。

０勝４敗のチームの選び方が５通り。
残りから１勝３敗のチームを選ぶのが４通り。
星取り表が２通り　なので、
　５×４×２
が分子となります。

No.72975 - 2021/02/20(Sat) 00:50:36

☆ Re: 確率 / アクア

ありがとうございました！

No.72976 - 2021/02/20(Sat) 01:14:19

★ 確率の問題です / 見習い

回答をしたのですが何が間違っているかわかりません。どうかご教授お願いします。（2）の問いになります。

No.72969 - 2021/02/19(Fri) 17:40:38

☆ Re: 確率の問題です / 見習い

解答になります。

No.72970 - 2021/02/19(Fri) 17:41:11

☆ Re: 確率の問題です / ヨッシー

(1,8,0,0) から、4!＝24 通りの並べ替えが出来たとして、
そのうちの１つ 1800 のうち、1 はもうひとつの１と取り替え可能です。
8 も同様です。よって、並べ方は
　24×2×2＝96　（通り）
(2,0,8,8) も同様に 96 通り
(1,1,8,8) は、他との入れ替えはないので、24通り
　合計 216通りで、確率は　216/1680＝9/70

No.72971 - 2021/02/19(Fri) 18:04:24

★ 複素数の問題です / 修行中

zを複素数とするときz-i/z+iの変革がπ/4であるようなzは複素数平面上でどんな図形をえがくか。
という問題なのですが、回答に書いてある円の大きさや中心点の求め方が分かりません。回答いただけると幸いです。

No.72966 - 2021/02/19(Fri) 16:39:06

☆ Re: 複素数の問題です / ヨッシー

円周角が45°→中心角が90°なので、
（－１，０）が中心、半径は√2 となります。

No.72967 - 2021/02/19(Fri) 17:00:05

★ 積分 / yuya

1番からつまづいています
どなたかご教授ください
A[n+2]=∫｛0 to π｝sin((n+2)x)/sinx dx
=∫｛0 to π｝{sin(n+1)x*cosx+cos(n+1)x*sinx}/sinx dx
=∫｛0 to π｝sin(n+1)x*cosx/sinx dx +∫｛0 to π｝cos(n+1)xdx
ここで∫｛0 to π｝cos(n+1)xdx=0なので、
A[n+2]=∫｛0 to π｝sin(n+1)x*cosx/sinx dx
=∫｛0 to π｝{sin(nx)cosx+cos(nx)sinx}*cosx/sinx dx
ここまでできました

No.72959 - 2021/02/19(Fri) 07:14:04

☆ Re: 積分 / 関数電卓

1)
　sin(n＋2)x＝sin(nx＋2x)
　　　＝sin(nx)cos(2x)＋cos(nx)sin(2x)
　　　＝sin(nx)(1－2(sin(x))^2)＋cos(nx)2sin(x)cos(x)
　sin(n＋2)x/sin(x)－sin(nx)/sin(x)
　　　＝－2sin(nx)sin(x)＋2cos(nx)cos(x)
　　　＝2cos(n＋1)x
　∴ A[n＋2]－A[n]＝2∫{0,π}cos(n＋1)xdx＝0
　A[0]＝0，A[1]＝π ですから…
2)
　B[n＋1]－B[n]＝…＝∫{0,π}sin(n＋1)x/sinxdx
となり，この先 1)の結果を使います。B[n]＝nπ です。例えばこちら。

No.72962 - 2021/02/19(Fri) 11:34:26

☆ Re: 積分 / yuya

関数電卓さん

ありがとうございます
助かりました

No.72980 - 2021/02/20(Sat) 11:11:13

☆ Re: 積分 / yuya

2)のBn+1-Bnから∫{0,π}sin(n＋1)x/sinxdxの間はどのようにすればたどりつけますか？

No.72984 - 2021/02/20(Sat) 14:51:22

☆ Re: 積分 / 関数電卓

私も初めは素直に２乗を計算しましたが，
　(sinA)^2－(sinB)^2＝(sinA＋sinB)(sinA－sinB)　A＝(n＋1)x, B＝nx
の右辺を和関の公式で変形するのが早いようです。ガンバ！

No.72987 - 2021/02/20(Sat) 15:57:44

☆ Re: 積分 / yuya

解いてみたのですがいかがでしゅうか？

No.72992 - 2021/02/20(Sat) 16:59:25

☆ Re: 積分 / 関数電卓

はい。お書きのものでよろしいでしょう。
私もミスしていました。
　B[n＋1]－B[n]＝…＝∫{0,π}sin(2n＋1)x/sinxdx
でした。

No.73004 - 2021/02/20(Sat) 21:32:42

★ (No Subject) / j

この問題の(1)がどういう場合分けをしているかわかりません
教えていただきたいです

No.72953 - 2021/02/19(Fri) 01:11:52

☆ Re: / j

解答です

No.72954 - 2021/02/19(Fri) 01:12:15

☆ Re: / ヨッシー

積分区間が左のようか、右のようかで分けています。

No.72958 - 2021/02/19(Fri) 06:11:53

☆ Re: / IT

NO.72953と.72954の画像が小さくて良く見えませんが

√(sin(θ/2))^2 の√を外す際にsin(θ/2）の正負によって結果式が異なってくるから,積分区間に正負が変化する点を含むかどうかで分けているのだと思いますが、

ｊさんは、その場合分けをせずに、どう計算しようと考えていますか？

No.72979 - 2021/02/20(Sat) 08:27:09

★ 物理 / まゆみ

下記の欄の問題です。

No.72945 - 2021/02/18(Thu) 18:44:13

☆ Re: 物理 / 関数電卓

> 設問(3)の解答と途中式
(1)(2)は出来たのですか？
　棒が水平 ⇔ 棒の重心の回りの垂直抗力のモーメントが釣り合う
から解くことが出来ます。

No.72948 - 2021/02/18(Thu) 20:37:09

☆ Re: 物理 / まゆみ

ここまではできました。ここから先、どのように式を整理すれば良いのかがわかりません。お手数ですが教えて頂けませんか。

No.72952 - 2021/02/19(Fri) 00:51:31

☆ Re: 物理 / 関数電卓

(2) ３行目まで OK ですが，４行目がミスっています。
　S＝(27/5)H－2Mg/(5k)

(3) 5H－S＝2Mg/(5k)－(2/5)H
　6H－S＝2Mg/(5k)＋(3/5)H
力のモーメントのつり合いより，
　(1/2)k(2Mg/(5k)－(2/5)H)P＝k(2Mg/(5k)＋(3/5)H)Q
　∴ (Mg－kH)P＝(2Mg＋3kH)Q
　∴ P＝(2Mg＋3kH)/(Mg－kH)･Q

No.72961 - 2021/02/19(Fri) 09:00:02

☆ Re: 物理 / まゆみ

そんなところで、ミスってたなんて...
ご丁寧に対応して頂きありがとうございました🙇

No.72964 - 2021/02/19(Fri) 15:22:28

★ この式の中間計算 / あああああ

AO dot N =
Nx(Ox - Ax) + Ny(Oy - Ay)+ Nz(Oz-Az) = 0
上の式が
Oy = Ay - 1/Ny{Nx(Ox - Ax) + Nz(Oz - Az)}
この式になるみたいです。
ただこの式の中間計算がわかりません
どうやってOyが左辺に行ったか知りたいです。

No.72938 - 2021/02/18(Thu) 00:12:20

☆ Re: この式の中間計算 / X

Nx(Ox - Ax) + Ny(Oy - Ay)+ Nz(Oz-Az) = 0
をOyについての方程式と見て解くことを
考えましょう。

No.72940 - 2021/02/18(Thu) 06:37:12

★ (No Subject) / 田中

解き方を教えてください！

No.72937 - 2021/02/17(Wed) 23:50:27

☆ Re: / IT

元の三角形の頂点を上から反時計回りにABCとします。
その他の各点にD,E,F,G,H など名前を付けます。
xの右隣もxcm です｡

各点から辺AC、辺BCに垂線を下ろします。
垂線の足にも名前を付けます。

そこまで書き込んで載せてください。

相似比などを使って垂線の長さの比や各辺の長さの比を
右側から順に求めていきます。

？何年生の問題ですか？

No.72939 - 2021/02/18(Thu) 01:02:25

☆ Re: / IT

下図で面積比の関係などから各小三角形の高さや辺の長さを求めます。

垂線の印（直角マーク）は省略しています。
途中なぜその長さになるかは省略しています。図を見て考えてください。
最後にｈ、ｄを計算する（dがxの何倍か求める）とｘが求まります。

No.72947 - 2021/02/18(Thu) 20:23:21

☆ Re: / IT

難しくやりすぎました、縦の補助線（垂線）だけで計算できますね。
△ABD:△ABC=1:6 より　z=BD=BC/6=4
△HDE:△HEC=1:3 より　y=DE=EC/3=2x/3
・・・・

No.72949 - 2021/02/18(Thu) 22:23:21

☆ Re: / 関数電卓

問題文に「ときましょう」とあるので，小学生用ですね。書かれていない情報は，適当に（うまく）決めてしまって良いのです。

下図のように，△ABC の高さ(AI)を 20 とすると，△ABC＝240。
よって，分割された６つの三角形の面積はそれぞれ 40。
　△ABD＝(1/2)BD･20＝40 より，BD＝4
　このとき，△HDC＝(1/2)･20･HJ＝160　∴ HJ＝16
　△HEC＝(1/2)･EC･16＝120　∴ EC＝15
　△GEF＝△GFC より，EF＝FC＝7.5

（IT さんが書かれているとおりですが，図を作ってしまったので，捨てずに書き込みました。）

No.72950 - 2021/02/18(Thu) 23:14:24

☆ Re: / らすかる

左端の三角形は全体の面積の1/6だから、底辺は24÷6=4cm
左二つを除いた三角形の底辺は24-4=20cm
その中の4つの三角形のうちの左端の三角形は全体の面積の1/4だから、
底辺は20÷4=5cm
残りの底辺は20-5=15cmで、右端二つの三角形が同じ面積だから
xは15÷2=7.5cm

No.72963 - 2021/02/19(Fri) 13:11:34

★ 統計 / ラプラス

統計分析に関する質問です。
「陽気さ」を表すパラメータα（50を標準＜陽気でも陰気でもない＞とし、0から100までの任意の実数をとりうる）（※αの値は自己評価に基づいて決定されるため、サンプルないし母集団の平均が50であるとは限らない）をもつ被験者n人に対し、特定の属性（嗜好）の有無を尋ねる二者択一式の質問（例：「あなたは猫よりも犬の方が好きですか？」→はい／いいえ）を投げかけることを想定し、それに対する回答とαとの相関を調べたいのですが、どのような手法を用いればよいでしょうか？先の例で言えば、「犬派」という属性の「陽気さ指数（犬派は比較的陽気な人（α≧50）が多いのか、比較的陰気な人（α≦50）が多いのか、またその相関の強さはどの程度か）」が知りたいわけです。
要領を得ない説明で申し訳ありません。不明瞭な箇所をご指摘いただければ補足します。
ご回答をお待ちしております。

No.72936 - 2021/02/17(Wed) 22:18:03

☆ Re: 統計 / 黄桃

そもそも、ここでいう連続型変数と2値変数との相関というのは何でしょうか。個人的には意味がわかりませんので、これをまず明確にすべきでしょう。
そのうえで、こういう実験を行う場合は、
どのように被験者を選ぶか
どのような質問をするか
が非常に重要です（バイアスのかかったサンプルや質問からは偏った答しか出ないでしょう）。数学よりも統計分析をする心理学の先生に質問した方がいいです。

nが十分大きい時に、犬が好きな人の（自己申告）「陽気さ」の平均は、犬が好きでない人の「陽気さ」の平均よりも大きい、という仮説について、有意水準95%で判定せよ、なら統計の問題になるでしょう。

No.72960 - 2021/02/19(Fri) 08:01:20

★ 統計の問題 / カナ

高校１年生です。

問題）あるクラスの男子１２人、女子８人の生徒に数学のテストを行なった。その結果、男子１２人の平均点は６５点、標準偏差は６点、女子８人の平均点は６０点、標準偏差は４点であった。この時、男女２０人の生徒の平均点と分散及び標準偏差をそれぞれ求めよ。

上の問題で、平均点はもとまったのですが（５８点）、分散と標準偏差の解き方を教えていただけないでしょうか？

No.72932 - 2021/02/17(Wed) 20:59:40

☆ Re: 統計の問題 / X

>>平均点はもとまったのですが（５８点）
間違っています。
男女20人の平均点は
(12・65+8・60)/20=1260/20
=63[点]
です。

>>分散と標準偏差の解き方を～
男女それぞれの得点の2乗和をl[1],l[2]
とすると、条件から
6^2=l[1]/12-65^2 (A)
4^2=l[2]/8-60^2 (B)
(A)より
l[1]=12・(36+65^2)
l[2]=8・(16+60^2)
∴男女20人の標準偏差をsとすると
分散は
s^2=(l[1]+l[2])/20-63^2
={3・(36+65^2)+2・(16+60^2)}/5-63^2
={(108+3・65^2)+(32+2・60^2)}/5-63^2
=28+(3・65・13+2・60・12)-63^2
=28+15・265-63^2
=28+3975-63^2
=4003-3969
=34
∴s=√34

No.72944 - 2021/02/18(Thu) 18:44:00

★ 互いに素 / マンボ

画像には互いに素である整数の性質が書かれているのですがもし、互いに素でなければ、なぜこの性質が成り立たないのか教えてください。

No.72931 - 2021/02/17(Wed) 20:44:05

☆ Re: 互いに素 / IT

１　a=2,b=2,c=1 やa=2,b=4,c=2 など

２　a=b=c=2、a=b=c=3など

　無数に反例がありますが　反例を示すだけではだめですか？

No.72933 - 2021/02/17(Wed) 21:00:58

☆ Re: 互いに素 / IT

少し一般の場合を考えると

0でない整数a,bについて、
２以上の整数kがa,b の公約数だとします。
a=a'k,b=b'k（a',b'は整数）とおける。

c=b' とすると,ac=a'b'k=a'b なのでacはbの倍数。
しかし、c は、bの倍数ではない。

c=a'b'k とすると cは、aの倍数であり,b の倍数でもあるがabの倍数ではない。

No.72935 - 2021/02/17(Wed) 22:12:31

★ 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / みみ

長さwの線分の任意の1点と原点の平均距離は∫[0～w](w-x)dx=(w^2)/2でしょうか。
宜しくお願い申し上げます。

No.72925 - 2021/02/17(Wed) 13:06:50

☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / ヨッシー

線分と原点の位置関係がわからないとなんとも言えません。

例えば、原点が東京駅で、線分が富士山頂にあるとすると...

No.72926 - 2021/02/17(Wed) 13:13:22

☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / みみ

ヨッシーさん

ご返信ありがとうございます。
wの長さの線分があり、その端の1つからその線分上の任意の点の平均距離の求め方についてでした。
宜しくお願い申し上げます。

No.72927 - 2021/02/17(Wed) 13:27:44

☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / らすかる

前の問題ではたまたま0≦x≦1,0≦y≦1でしたので積分するだけで終わりでしたが、
0≦x≦wならば最後にwで割らないといけません。
（微小範囲の確率が0≦x≦1の場合の1/w倍になるため）
よって答えはw/2です。

No.72929 - 2021/02/17(Wed) 14:46:00

☆ Re: 長さwの線分上の任意の1点と原点の平均距離について / みみ

らすかるさん

ご親切にして頂きありがとうございました。

No.72930 - 2021/02/17(Wed) 14:57:24

★ 全く分かりません / ゆき

2個のサイコロ投げて、大きい方の目の数を調べる実験の標本空間をSとし、標本点s ∈ Sの確率をP（s）とする。確率空間（S,P）のエントロピーを計算し、その答えをalog2＋blog3＋clog5＋…の形で表しなさい。（即ち、真数を素数とすること）

No.72919 - 2021/02/16(Tue) 22:42:34

☆ Re: 全く分かりません / X

条件から
P(1)=1/36
s=2,3,4,5,6のとき
P(s)=(s^2)/36-{(s-1)^2}/36
=(2s-1)/36
∴s=1,2,3,4,5,6に対し
P(s)=(2s-1)/36

∴求めるエントロピーは
Σ[s=1～6]P(s)log(1/P(s))=Σ[s=1～6]{(2s-1)/36}log{36/(2s-1)}
=Σ[s=1～6]{(2s-1)/36}{2log6-log(2s-1)}
=Σ[s=1～6]{{(2s-1)/18}log6-{(2s-1)/36}log(2s-1)}
={{(6・7-6)/18}log6-{(3/36)log3+(5/36)log5+(7/36)log7+(9/36)log9+(11/36)log11}
=2log2+2log3-{(1/12)log3+(5/36)log5+(7/36)log7+(1/2)log3+(11/36)log11}
=2log2+(17/12)log3-(5/36)log5-(7/36)log7-(11/36)log11

No.72921 - 2021/02/17(Wed) 06:11:39

★ ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ

質問があります。
ある決まった長さの直線上(例えば長さ1)の任意の2点間の平均距離は数学的にどう求めたら良いのでしょうか？
宜しくお願い申し上げます。

No.72918 - 2021/02/16(Tue) 22:33:22

☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / らすかる

長さ1の線分ABがあり、「任意の2点」をPとQとして、AP=x,AQ=yとすると
距離は|x-y|ですね。よって
∫[0～1]∫[0～1]|x-y|dxdy
を計算すれば求められます。
結果は1/3となりますので、一般の長さでは(線分の長さ)/3となります。
もし積分が使えない場合は、1～nの離散値で求めてn→∞としても求められると思います。

No.72920 - 2021/02/17(Wed) 03:55:19

☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ

らすかるさん
詳しく教えてくださり、ありがとうございます。
助かりました。

No.72922 - 2021/02/17(Wed) 12:12:18

☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ

あと、できればこの絶対値付きの積分の計算過程を教えてくださると幸いです。宜しくお願い申し上げます。

No.72923 - 2021/02/17(Wed) 12:22:10

☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / みみ

何度も申し訳ございません。調べて説いてみました。

∫[0～1]∫[0～y](y-x)dxdy+∫[0～1]∫[0～x](x-y)dydx
=1/6+1/6
ということでしょうか。

宜しくお願い申し上げます。

No.72924 - 2021/02/17(Wed) 12:37:29

☆ Re: ある決まった長さの直線上の任意の2点間の平均距離について / らすかる

はい、それでよいと思います。

No.72928 - 2021/02/17(Wed) 14:40:34

★ 不等式のθの範囲 / 修業中

ある問題なのですが、θの範囲の求め方解らなくて質問させていただきました。

問題文にはθの大小関係が記載され、「０＜θ１＜π＜θ２＜２π」ここから
θ１ーθ２の範囲を求めるのですが、

解答では、ここから－２π＜θ１－θ２＜０と求められるのですが
θ１ーθ２の範囲の考え方がよくわかりません。教えていただけたら幸いです。

No.72916 - 2021/02/16(Tue) 12:18:17

☆ Re: 不等式のθの範囲 / ヨッシー

　０＜θ1＜π
　－2π＜－θ2＜－π
各辺足して
　－2π＜θ1－θ2＜０
となります。

No.72917 - 2021/02/16(Tue) 12:48:07

★ 極限値 / ゆう

Σ{n=1..∞}((n-1)!)^2/(2n)!=π^2/18を高校数学の範囲内で示したいのですが、
どこから手を付けて良いのか分からないです。
区分求積法でも厳しそうだし、Σ(n=1..∞)1/n^2=π^2/6からも示せなさそうだし。

No.72915 - 2021/02/16(Tue) 00:53:48

☆ Re: 極限値 / ゆう

Σ{n=1..∞}((n-1)!)^2/(2n)!=π^2/18

私の書き方がまずかったので返信いただけないのだと思うのですが、

この左辺は、((0!)^2)/2!+((1!)^2)/4!+((2!)^2)/6!+・・・のことです。
書き方が悪くて申し訳ございません。
教えてください。

No.72951 - 2021/02/18(Thu) 23:52:29

☆ Re: 極限値 / 無理

あなたが投稿された時間以降にほかのレスに返信している人は多分解けないんだと思います。

No.72973 - 2021/02/19(Fri) 20:07:19

☆ Re: 極限値 / ゆう

私の記述の仕方がまずいのでしょうか？
それとも何かルール違反でもしているのでしょうか？
初めての質問なのでもしルール違反があったら教えてください。
質問する前に何か最初にしておかなければならないことがあれば
教えてください。

No.72977 - 2021/02/20(Sat) 07:47:07

☆ Re: 極限値 / ヨッシー

そういうわけではありません。

私を含め、この記事を見た人が一人ひとり
「解けません」
「解けません」
と書き込むことはありませんので、レスがないのは
そういうことだと思ってください。

No.72978 - 2021/02/20(Sat) 08:15:14

☆ Re: 極限値 / ゆう

ありがとうございました。
こちらの問題は諦めます。

No.73002 - 2021/02/20(Sat) 21:17:20