[x]でx以下の最大の整数を表すとき、x>0における
f(x)=(x^2+2x+1)/{x([x]+[1/x]+[x][1/x]+1)}
のとりうる値の範囲を求めよ、という問題を教えて下さい。
f(x)=(x+1)^2/{x([x]+1)([1/x]+1)}
と変形してみたのですが、
x>1のとき[1/x]=0だから
f(x)=(x^2+2x+1)/{x([x]+1)}
x=1のときf(1)=1
0<x<1のとき[x]=0なので
f(x)=(x+1)^2/{x([1/x]+1)}
まで考えたのですが、その先が分かりませんでした。
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No.72734 - 2021/02/09(Tue) 22:42:19
| ☆ Re: ガウス記号を含む関数 / ast | | | 単純に半直線 (0,+∞) を無限個の半開区間 (1/(m+1),1/m], [n,n+1) (m,n は任意の自然数) くらいに分割してそれぞれの場合を見ればよいだけでは.
こうすると, それぞれの場合で "m ≤ 1/x < m+1 だから [1/x]=m" (もちろん [x]=0) や "n ≤ x < n+1 だから [x]=n" (もちろん [1/x]=0) のようにしてガウス記号の値は統制できます.
# 厳密には端点で値をとるかとらないか (グラフの端点を白丸にするか黒丸にするか) を考慮のうえで
# 分割すべきだがそれについては考慮しなかったので, 上記の分割の仕方は実際には不適切かもしれない.
参考: こういうグラフ で x→1/2+0,2-0 で sup(f)=9/4, x→0+0,+∞ で inf(f)=1 みたい.
(これらの値を max や min では取れないとは思うが自信はない)
# あと inf と sup の中間の値を全部取るかはまったく確認してない
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No.72738 - 2021/02/10(Wed) 00:02:30 |
| ☆ Re: ガウス記号を含む関数 / IT | | | 元の定義式に戻って見ると、
f(x)=(x+2+1/x)/([x]+[1/x]+[x][1/x]+1) なので f(1/x)=f(x) です。
したがって x≧1のときの値域を考えればよい。
f(1)=1
x>1のとき[1/x]=0だから f(x)=(x+1)^2/(x([x]+1))
1<x<2のとき f(x)=(x+1)^2/2x=(x+2+1/x)/2 ：連続で真に増加関数
lim[x→1+0]f(x)=2
lim[x→2-0]f(x)=9/4
よって、2<f(x)<9/4 :f(x)は、この範囲のすべての値を取る。
2以上の自然数nについて
n≦x＜n+1のとき f(x)=(x+1)^2/(x(n+1))：連続で真に増加関数
f(n)=(n+1)/n
lim[x→n+1-0]f(x)=(n+1+1)^2/((n+1)(n+1))=(n+2)^2/(n+1)^2
よって、(n+1)/n≦f(x)＜(n+2)^2/(n+1)^2:f(x)は、この範囲のすべての値を取る。
ここで(n+1)/nと(n+2)^2/(n+1)^2 は、減少関数。
n≦x＜n+1のときの最小値(n+1)/nと
n+1≦x＜n+2のときの上側の(n+3)^2/(n+2)^2を比較すると
(n+1)/n＝1+2/(2n)＜(n+3)^2/(n+2)^2＝1+2/(n+2)+1/(n+2)^2
また、f(n)=1+1/n＞1 かつ lim[n→∞]f(n)=1
したがって 2≦x のとき 1＜f(x)＜(2+2)^2/(2+1)^2=16/9:f(x)は、この範囲のすべての値を取る。
３つを併せて求める範囲は,1≦f(x)＜16/9,2＜f(x)＜9/4
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No.72748 - 2021/02/10(Wed) 23:08:16 |
| ☆ Re: ガウス記号を含む関数 / GC | | | astさん
ITさん
回答ありがとうございます！
ITさん、とても分かりやすく丁寧に解説していただき感謝です。自分でもう一度確認して、しっかり解けるように頑張ります！！
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No.72756 - 2021/02/11(Thu) 15:13:59 |
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