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★ (No Subject) / せんぞう
この問題の解き方が分かりません。
どなたか教えてください
No.71846 - 2021/01/02(Sat) 09:00:04
★ (No Subject) / 正月
二直線√3x−3√3y−5＝0,5x-(5y/2)＋7=0のなす角(ただし0≦Θ≦π/2)とする時Θの値は？
tanΘ＝29/13になるんですが…。これを満たすΘの値なんて知らないし…。tanΘ＝1とか√3とかそういう値が出てくると思ったのですが…

＜解き方＞
√3x−3√3y−5＝0とx軸とのなす角をΘ1とするとtanΘ1=1/3
5x-(5y/2)＋7=0とx軸とのなす角をΘ2とするとtanΘ2=10
√3x−3√3y−5＝0,5x-(5y/2)＋7=0を表す式を座標平面上に書いてみるとΘ1＋Θ＝Θ2が成り立つからΘ=Θ2-Θ1
ここから加法定理を用いてtanΘを求めると…という風にやったのですが…
No.71841 - 2021/01/02(Sat) 01:15:48
☆ Re: / らすかる
> 5x-(5y/2)＋7=0とx軸とのなす角をΘ2とするとtanΘ2=10

tanθ2=5/(5/2)=2です。
No.71843 - 2021/01/02(Sat) 01:41:27
★ 受験生 / ゆう
質問お願いいたします。
この問題z軸で切った場合の解き方は
分かるのですが、x軸.y軸で切った場合の　
解き方が分かりません。
よろしくお願いします。
No.71832 - 2021/01/01(Fri) 16:03:00
☆ Re: 受験生 / IT
ｘ軸に垂直な平面で切る。ということでしょうか？

できないことはないと思いますが、計算が面倒だと思うので
回転軸（ｚ軸）に垂直な平面で切って考えれば良いのでは？
No.71833 - 2021/01/01(Fri) 16:57:48
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
私の計算では 179π/3 になるのですが… ??
No.71834 - 2021/01/01(Fri) 20:18:01
☆ Re: 受験生 / X
＞＞関数電卓さんへ
私の計算では添付写真通り
176π/3
となりました。

求める体積をVとすると
V=5・(5^2)π-1・(3^2)π-π∫[1→5]{(-z+1)^2+3^2}dz
=116π-π[(1/3)(z-1)^3+9z][1→5]
=116π-π(64/3+36)
=80π-64π/3
=176π/3
No.71835 - 2021/01/01(Fri) 21:53:38
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
私は，以下のように計算しました。
所要の回転体の体積は，下右図の

　正方形 OBCG を回転させた円柱（体積 125π）
から
　台形 FECG を回転させた円錐台（体積 (1/3)25π･10{1−(3/5)^3}＝196π/3）
を除いたもの
よって，
　(125−196/3)π＝179π/3
No.71836 - 2021/01/01(Fri) 23:17:52
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
すみません。私には X さんの V を求める式の第２項と第３項の根拠が分かりません。
No.71837 - 2021/01/01(Fri) 23:37:57
☆ Re: 受験生 / X
＞＞関数電卓さんへ
私はNo.71836の添付写真右側の図でいうと
台形BCEDを断面とした回転体の体積として
計算しました。

問題の立体の
0≦z≦1
の範囲の部分は
底面が半径5の円柱
から
底面が半径3の円柱
を取り除いた立体
になるのでは？
No.71839 - 2021/01/01(Fri) 23:59:43
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
あれ？！？ その通りですね。大変失礼致しました。
でも，そうすると体積は
　179π/3−9π＝152π/3
となりますね。
No.71840 - 2021/01/02(Sat) 00:10:42
☆ Re: 受験生 / らすかる
＞関数電卓さん

71836の図で左側の直線ECが右の図でも直線になっていますが、そこが正しくありません。
右図のEの(3,1)とCの(5,5)はよいとして、
例えばCEの中点をM(-2,3,4)とすると
OM=√(3^2+2^2)=√13ですから
右図ではM(√13,4)となり、右図のCEの中点(4,4)より少し左になります。
よって右図のCEは少し左に膨らんだ曲線(z=√(r^2-9)+1)になりますので、
「円錐台」では求められません。
No.71842 - 2021/01/02(Sat) 01:31:44
☆ Re: 受験生 / ゆう
やはり難しいのですね、自分で考えても
全くわからなく苦戦しておりました。
返答ありがとうございます。！
No.71844 - 2021/01/02(Sat) 02:18:20
☆ Re: 受験生 / らすかる
x軸で切った場合の計算

外側は x^2+y^2=25
内側は
0≦z≦1: x^2+y^2=9
1≦z≦5: x^2+y^2=(z-1)^2+9
となりますので、x≧0かつy≧0の部分だけ考えるとして、
x=tのときの断面は
外側は y=√(25-t^2)
内側は
0≦z≦1の場合
0≦t≦3では y=√(9-t^2)
3＜t≦5では なし
1≦z≦5の場合
z=√(y^2+t^2-9)+1　（ただしt＜3ではy≧√(9-t^2)）
となります。
よってy≧0の部分の断面積は
0≦t≦3のとき
√(25-t^2)-√(9-t^2)+∫[√(9-t^2)〜√(25-t^2)]√(y^2+t^2-9)+1dy
=3√(25-t^2)-√(9-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(9-t^2)}
3≦t≦5のとき
√(25-t^2)+∫[0〜√(25-t^2)]√(y^2+t^2-9)+1dy
=3√(25-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(t^2-9)}
となりますので、回転体の体積は
∫[0〜3]3√(25-t^2)-√(9-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(9-t^2)}dt
+∫[3〜5]3√(25-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(t^2-9)}dt
={(75/2)arctan(3/4)+18}-{(9/4)π}+{9log(3/5)-(11/3)arctan(3/4)-4}
+{(75/4)π-(75/2)arctan(3/4)-18}+{9log(5/3)-(11/6)π+(11/3)arctan(3/4)+4}
=(44/3)π
の4倍の(176/3)πとなります。

# 積分にはWolframAlphaを使いましたが、少し複雑になると定積分の値は
# 求めてくれませんので、例えば
# ∫(t^2-9)log(4+√(25-t^2))dt=
# -t^3/18-(1/3)t√(25-t^2)-(9/2)tlog(√(25-t^2)+4)
# +(9/2)log(4√(25-t^2)-3t+25)-(9/2)log(4√(25-t^2)+3t+25)
# +(t^3/6)log(√(25-t^2)+4)+3t-(11/3)arcsin(t/5)+C
# のような不定積分だけ求めて手作業でtに値を代入して整理したりしました。
# （これはごく一部の計算です）
# WolframAlphaを使ってもかなり面倒でしたので、これを全部
# 手作業でやるのは気が遠くなります。
# このように、回転体を回転軸に垂直でない平面で切ると
# とんでもなく面倒になって時間を浪費しますので、
# そういうことはあまり考えない方が良いと思います。
# （この問題はたまたま求められましたが、一般には
# 　積分不可能で求められない可能性もあります）
No.71845 - 2021/01/02(Sat) 05:50:49
☆ Re: 受験生 / 関数電卓
何ともお粗末なレスを書いてしまい，お恥ずかしい限りです。
3D の図を描いていたときには「一葉双曲面になりそうだ」という思いが一時はあったのですが，その後飛んでしまっていました。
図を修正しました。
No.71847 - 2021/01/02(Sat) 12:05:49
★ (No Subject) / 高いち
解き方を含めて教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.71828 - 2021/01/01(Fri) 12:27:23
☆ Re: / 高いち
255を2進数に直して解いたら出来ました。
ありがとうございました
No.71830 - 2021/01/01(Fri) 13:23:11
☆ Re: / IT
「裏が出たら１１」を「裏が出たら１」と見間違えていたので、ヒントを書き直そうといったん消しましたが、出来たのなら良かったです。
No.71831 - 2021/01/01(Fri) 13:36:40
★ 数学 / 受験生
画像の通りです。解説がついていなくて困っています。よろしくお願いいたします。
No.71822 - 2020/12/31(Thu) 20:15:23
☆ Re: 数学 / IT
（1）だけ､ 40-4 の約数で　4 より大きい自然数の個数です。
No.71823 - 2020/12/31(Thu) 20:39:10
☆ Re: 数学 / らすかる
(1)40をある自然数で割ると4余るということは、
36をその自然数で割ると割り切れるということです。
よって割る数は36の約数です。
また「4余る」ということから割る数は5以上です。
従って条件を満たす自然数は6,9,12,18,36の5個です。

(3)
最初のページが奇数で各紙2ページずつですから、
最後のページは偶数です。
2,4,1を並べ替えてできる偶数は124,142,214,412の4つですが、
このうち241より大きいものは412だけです。
従って最後のページは412ですから、
紙は全部で(412-241+1)÷2=86枚となります。

(5)
2a+2-a/2-1/2の計算が間違っています。見直しましょう。

(6)
「×3」が誤りです。2重に重なった部分を除くのですから「×2」です。
No.71824 - 2020/12/31(Thu) 20:44:05
☆ Re: 数学 / ヨッシー
(1)
40を割ると4余るということは、36を割ると割りきれるということです。
では、36の約数 1,2,3,4,6,9,12,18,36 の９個かというとそうではないのです。

(3)
ページ数は偶数なので、最初のページが241(奇数)であれば、最後の数は偶数です。
考えられるのは
　124, 142, 214, 412
ですが、条件を満たすのは１つだけです。

(5)
２つある 3/4 を正しい数値に替えると多分うまくいきます。

(6)

図のように変形すると半径４の扇形から正方形を引いた分の面積となります。
たぶん、記事の回答の　×３　が引きすぎだと思われます。
No.71825 - 2020/12/31(Thu) 20:58:04
☆ Re: 数学 / 受験生
大変わかりやすく参考になりました。良い年末を迎えることができそうです^^

ありがとうございました！
No.71826 - 2020/12/31(Thu) 21:19:15
★ 4次関数の接線と接点 / kei
高校２年です。

曲線y=x^4-8x^2+2x+20をCとする。直線lは曲線C上の異なる2点でCに接している。直線l上の点PからCに接線を引く。lと異なる接線が1本だけ引けるような点Pの座標を求めよ、という問題をお教え下さい。答は(-2,0),(2,8),(±√3,4±2√3)であることが分かっています。

自分では、直線lの式がy=2x+4、lとCの接点のx座標が-2と2であるところまでは求まりました。

このあと、C上の点(t,t^4-8t^2+2t+20)における接線y=(4t^3-16t+2)(x-t)+t^4-8t^2+2t+20
が直線l上の点P(p,2p+4)を通るとして、

3t^4-4pt^3-8t^2+16pt-16=0 ☆

を得たのですが(方程式の左辺をf(t)とおくとf'(t)=12(t-p)(t+2/√3)(t-2/√3) )

☆がちょうど2個の実数解をもつ条件をどのように考えればよいか分かりませんでした。

よろしくお願い致します。
No.71820 - 2020/12/31(Thu) 08:28:01
☆ Re: 4次関数の接線と接点 / IT
pと-2/√3、2/√3　の大小関係で分類して、fの増減・極値などを調べると良いのでは？、f(0)＜0なども使うかも。
No.71821 - 2020/12/31(Thu) 09:40:47
☆ Re: 4次関数の接線と接点 / kei
IT様へ

ご回答ありがとうございます。無事に解決致しました！

まず、「☆がちょうど2個の実数解をもつ条件」というところから間違っていました(今回は複接線なので、接線が２本引けても接点は2個とは限らず出だしから間違っていました)。

グラフからどこまで明らかにしてよいかは微妙だと思うのですが、題意の既に1本の直線が2接点をもち、さらにその直線上から接線を1本引こうとするときっと接点は新規に1個しか出てこないと決めつけると、☆が相異3実数解をもつ問題になるので比較的解きやすくなるのかな？などと考えたりしました。

お世話になりました！
No.71827 - 2021/01/01(Fri) 03:56:44
★ 軌跡 / kei
高校２年です。

曲線C:y=x^3と放物線D:y=ax^2+bx+cは点Pで接し、点Qで交わる(ただし、(Pのx成分)<(Qのx成分)。CとDで囲まれた部分の面積が1/12で、1≦a≦4をみたす条件下においてa,b,cを自由に動かすとき、放物線Dの通過領域を求めよ、という問題なのですが、


PとQのx座標をそれぞれp,q(p<q)とおき
CとDを連立して
x^3=ax^2+bx+c
x^3-ax^2-bx-c=0

解と係数の関係より
2p+q=a
p^2+2pq=-b
p^2q=c

また、面積を計算すると(q-p)^4/12であり、これが1/12に一致するので、

q-p=1 ∵p<q
∴q=p+1

以上からa,b,cをpのみの式で表すと
a=3p+1
b=-3p^2-2p
c=p^3+p^2
(また、1≦a≦4より0≦p≦1となる)

これらをy=ax^2+bx+cに代入して整理したpの3次方程式
p^3+(1-3x)p^2+(3x^2-2x)p+x^2-y=0
が0≦p≦1で実数解をもつ条件を求めれば(x,y)の存在範囲が求まる、

と考えたのですが、ここから先が分かりませんでした。

申し訳ございませんが、上記のような方針でよろしかったかお教え下さい。また、0≦p≦1で解をもつ条件の求め方をご教授下さい。

よろしくお願い致します。
No.71814 - 2020/12/30(Wed) 20:22:35
☆ Re: 軌跡 / IT
＞　これらをy=ax^2+bx+cに代入して整理したpの3次方程式
p^3+(1-3p)x^2+(-3x^2-2x)p+x^2-y=0

途中確認していませんが、整理した結果が上記のようになるとは思えませんが？
No.71816 - 2020/12/30(Wed) 22:59:08
☆ Re: 軌跡 / kei
IT様
ご指摘ありがとうございます。訂正致しました。
No.71817 - 2020/12/31(Thu) 00:39:20
☆ Re: 軌跡 / らすかる
y=(3p+1)x^2-p(3p+2)x+(p+1)p^2
=p^3+(1-3x)p^2+(3x^2-2x)p+x^2

f(p)=p^3+(1-3x)p^2+(3x^2-2x)p+x^2とおくと
f'(p)=3p^2+2(1-3x)p+(3x^2-2x)=3{p-(x-2/3)}(p-x)なので
f(p)はp=x-2/3で極大値、p=xで極小値をとる。

x≦0のとき0≦p≦1で増加なので
f(p)の最小値はf(0)=x^2、最大値はf(1)=4x^2-5x+2

0＜x≦2/3のときp=xで極小値をとるので
f(p)の最小値はf(x)=x^3
最大値はf(0)とf(1)の小さくない方だが
0＜x≦2/3のときf(1)-f(0)=(3x-2)(x-1)≧0なので
最大値はf(1)=4x^2-5x+2

2/3＜x＜1のときp=x-2/3で極大値、p=xで極小値をとる
f(p)の最小値はf(0)とf(x)の大きくない方だが
2/3＜x＜1のときf(x)-f(0)=(x-1)x^2＜0なので
最小値はf(x)=x^3
最大値はf(x-2/3)とf(1)の小さくない方だが
f(x-2/3)-f(1)=(3x-2)(3x-5)^2/27＞0なので
最大値はf(x-2/3)=x^3+4/27

1≦x＜5/3のときp=x-2/3で極大値をとるので
f(p)の最大値はf(x-2/3)=x^3+4/27
最小値はf(0)とf(1)の大きくない方だが
1≦x＜5/3のときf(1)-f(0)=(3x-2)(x-1)≧0なので
最小値はf(0)=x^2

5/3≦xのとき0≦p≦1で増加なので
f(p)の最小値はf(0)=x^2、最大値はf(1)=4x^2-5x+2

従って整理すると
f(p)の最小値は
x≦0のときx^2
0＜x＜1のときx^3
1≦xのときx^2
f(p)の最大値は
x≦2/3のとき4x^2-5x+2
2/3＜x＜5/3のときx^3+4/27
5/3≦xのとき4x^2-5x+2
となるので、放物線の通過領域は
g(x)=
x^3 (0＜x＜1)
x^2 (上記以外)
と
h(x)=
x^3+4/27 (2/3＜x＜5/3)
4x^2-5x+2 (上記以外)
で挟まれた領域。


参考
高校の問題の解答としては適切ではありませんが、上の境界線の式は
g(x)=(x^3+x^2-x|x^2-x|)/2
h(x)={27x^3+108x^2-135x+58-(3x-5)|(3x-2)(3x-5)|}/54
のようにまとめることが出来ますので、放物線の通過領域は
(x^3+x^2-x|x^2-x|)/2≦y≦{27x^3+108x^2-135x+58-(3x-5)|(3x-2)(3x-5)|}/54
とも表せます。
（一つの式で表されていると、グラフソフトでグラフが描きやすくなります）
No.71818 - 2020/12/31(Thu) 04:35:10
☆ Re: 軌跡 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
とても丁寧な解説で、よく分かりました！

場合分けが避けられない以上(今回は3次なので特に解をもつ条件にこだわりすぎず)xを固定して地道にyの値域を調べていけば良かったのですね。基本的な手法が身についていませんでした。

参考もとても勉強になりました！式を一本化できる絶対値は便利ですね！(一本化できる力を身につける方が先ですが)

しっかり復習しておきます。
どうもありがとうございました！
No.71819 - 2020/12/31(Thu) 07:56:33
★ 確率 / 餅
簡単な問題なんでしょうが、わかりません、いろいろ試して見ましたがダメでした、、、一通りの流れを教えてください。
この画像の大門4です。よろしくお願いします。
No.71812 - 2020/12/30(Wed) 19:41:47
☆ Re: 確率 / けんけんぱ
A) 和が素数になる組み合わせが何通りあるかを確認する。
B) ５枚のカードから２枚のカードを取り出す組み合わせが何通りあるかを数える。
A)÷B)が求める確率です。
No.71813 - 2020/12/30(Wed) 20:02:45
★ (No Subject) / 坂本
この計算なのですが、青い波線部分はやはり間違っていますか？答えが合いません。なぜいけないのか教えていただきたいです。
No.71809 - 2020/12/30(Wed) 15:34:10
☆ Re: / X
間違っています。
一般に
Σ[k=1〜n]a[k]b[k]=(Σ[k=1〜n]a[k])(Σ[k=1〜n]b[k])
は成立しません。

例)
1・2+3・4=14
(1+3)・(2+4)=24
∴1・2+3・4≠(1+3)・(2+4)
No.71810 - 2020/12/30(Wed) 15:36:34
☆ Re: / X
もしその計算をするのであれば
{3^(k-1)}{2^(k-1)}=6^(k-1)
と変形した上で等比数列の和の公式を適用します。
No.71811 - 2020/12/30(Wed) 15:38:02
☆ Re: / 坂本
ありがとうございます！
No.71815 - 2020/12/30(Wed) 20:51:22
★ 巡回群の証明 / てんてん
pを素数、Gを群とし、|G|=p^2とする。位数がpより大きい元をGが含むときGが巡回群であることを証明せよ。
この問題の証明の過程が分かりません。
ご教授、お願いいたします。
No.71807 - 2020/12/30(Wed) 10:38:35
☆ Re: 巡回群の証明 / IT
「有限群の位数」と「元の位数」、「部分群の位数」の関係についてどんなことが既知ですか？
No.71808 - 2020/12/30(Wed) 11:31:50
★ 数I / 馬
高校1年です

AB＝3、AD＝4の長方形ABCDの辺AB、BC、DA上（両端を含む）にそれぞれ点P、Q、Rをとり、AP＝2x、CQ＝x、DR＝3xとする。
xがいろいろな値をとって変化するとき、△PQRの面積の最小値とその時のxの値を求めよ。

という問題がわかりません。よろしくお願いします。
No.71805 - 2020/12/30(Wed) 02:06:52
☆ Re: 数I / らすかる
△PBQ=(4-x)(3-2x)/2
△APR=2x(4-3x)/2=x(4-3x)
台形RQCD=3(x+3x)/2=6x
なので
△PQR=3×4-(4-x)(3-2x)/2-x(4-3x)-6x
=(4x^2-9x+12)/2
=2(x-9/8)^2+111/32
x=9/8のとき0＜2x＜3、0＜x＜4、0＜3x＜4なので
条件を満たしており、このとき最小値111/32をとる。
No.71806 - 2020/12/30(Wed) 02:48:06
★ 群論 / 鹿
逆像を求める問題です。
群ℤ/42ℤおよび直積群(ℤ/2ℤ)×(ℤ/3ℤ)×(ℤ/7ℤ)について
写像f:ℤ/42ℤ→(ℤ/2ℤ)×(ℤ/3ℤ)×(ℤ/7ℤ)をf([x]_42)=([x]_2,[x]_3,[x]_7)で定義する。ここでx∈ ℤに対して[x]_nは群ℤ/n ℤにおいてxが属する剰余類を表す。
(問題)元([1]_2,[2]_3,[5]_7)∈ (ℤ/2ℤ)×(ℤ/3ℤ)×(ℤ/7ℤ)のfによる逆像を求めよ。
この問題が分かりません。よろしくお願いいたします。
No.71800 - 2020/12/29(Tue) 21:41:15
☆ Re: 群論 / 鹿
すみません、解決しました！
No.71803 - 2020/12/29(Tue) 22:02:17
★ ガウスの発散定理に関する証明 / だん
大学1年です。

X=(f, g, h)をR^3乗のC1ベクトル場としたとき，divX=0ならば
面積分integralX・n dS　
はAの境界の曲線Γのみに依存して定まることを示せ。
逆にこの積分が境界の曲線Γのみに依存して定まるならば，divX=0となることを示せ。

証明の流れだけでもお願いします。
No.71799 - 2020/12/29(Tue) 18:08:20
☆ Re: ガウスの発散定理に関する証明 / 関数電卓
　divX＝0 …(1)
ならば X は
　X＝rotV …(2)
なるベクトルポテンシャル V をもちます。これは既知でよいですね？
このとき所要の面積分は
　∫Sn･XdS＝∫Sn･rotVdS …(3)
であり，(3)の右辺は
　∫Sn･rotVdS＝∫ΓV･tdΓ …(4)
となり，これは ストークスの定理 そのものです。

ストークスの定理については，検索すればいくらでも出てきますが，直観的には こちら が分かり易い。“逆” については，ご自分で！
　
No.71804 - 2020/12/29(Tue) 22:14:12
★ ガウス記号 / kei
高校２年です。

0≦x≦10のとき
[√(x)+1/2]=[[√([x])]+1/2]

を解けという問題なのですが、
(方程式の右辺は、「[x]のルートをとったもの」のガウス記号と1/2の和のガウス記号を表しています。分かりにくくて申し訳ありません。また、答え0≦x<1/4,1≦x≦9/4,4≦x≦25/4,9≦x≦10であることが分かっています)

自分なり考えてみたのですが、以下のような解答でよろしいでしょうか？

m=[√(x)+1/2]とおくと、1/2≦√(x)+1/2≦1/2+√10よりm=0,1,2,3のいずれかであることが分かる。

m=[√(x)+1/2]を変形すると
m-1/2≦√(x)<m+1/2
m=0のとき0≦x<1/4
m≧1のときm^2-m+1/4≦x<m^2+m+1/4 ☆

また、[[√([x])]+1/2]=mでもあるので
m≦[√([x])]+1/2<m+1
∴[√([x])]=m ∵[√([x])]は整数
よって
m≦√([x])<m+1
m^2≦[x]≦m^2+2m
∴m^2≦x<m^2+2m+1 ☆☆

☆かつ☆☆より
m^2≦x<m^2+m+1/4 ★
(m=0のときは0≦x<1/4となる)

★にm=0,1,2を代入すると答と一致し、m=3のときはx≦10を考慮して答と一致したのですが、上記のような答案で合っていますでしょうか？

どうぞよろしくお願い致します。
No.71795 - 2020/12/28(Mon) 22:45:14
☆ Re: ガウス記号 / らすかる
問題ないと思います。
No.71796 - 2020/12/28(Mon) 22:57:30
☆ Re: ガウス記号 / kei
らすかる様

以前「xを1以上の実数とするとき[√(x+4)]^2-4√(x-1)=0を解け」という問題を質問させていただき、その時の(らすかる様からの)ご回答をもとに自分なりに色々と考えてみたので、何だかとても嬉しく思っています。

いつもありがとうございます！
No.71798 - 2020/12/28(Mon) 23:43:14
★ 群論 / 鹿
n=pqr (p,q,rはどの二つをとっても互いに素)
f:ℤ/nℤ→(ℤ/pℤ)×(ℤ/qℤ)×(ℤ/rℤ)
このとき、写像fが同型であることを示す問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
(×は直積の記号です。)
No.71794 - 2020/12/28(Mon) 21:37:31
☆ Re: 群論 / IT
写像fが何者かが書いてないですし、既習事項が分かりませんので直接の回答はできませんが、下記など参考にされるとよいのでは？「中国の剰余定理」で検索しても良いと思います。

https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2011/07.pdf
No.71797 - 2020/12/28(Mon) 23:25:41
☆ Re: 群論 / 鹿
ありがとうございます！
No.71802 - 2020/12/29(Tue) 21:45:29
★ 数A / むりんご
整数a、bを5で割った余りをそれぞれr、r’とするとき、abを5で割った余りはrr’を5で割った余りに等しいことを証明せよ。
ab＝(5q＋r)(5q’＋r’)
＝5(5qq’＋qr’＋q’r)＋rr’
ここから結局どうして等しくなるかわかりません。回答よろしくお願いします。
No.71783 - 2020/12/27(Sun) 19:53:26
☆ Re: 数A / 関数電卓
お書きの通り
　ab＝(5q＋r)(5q’＋r’)＝5(5qq’＋qr’＋q’r)＋rr’
です。
5(5qq’＋qr’＋q’r) は 5 の倍数ですから 5 で割ったあまりは 0。よって，abを5で割った余りはrr’を5で割った余りに等しい ですよね。
No.71784 - 2020/12/27(Sun) 20:00:55
☆ Re: 数A / IT
rr’を5で割った商をs余りをt とでもして表すとどうですか？
No.71785 - 2020/12/27(Sun) 20:01:33
☆ Re: 数A / むりんご
b＝(5q＋r)(5q’＋r’)
＝5(5qq’＋qr’＋q’r)＋rr’
ゆえに、abを5で割った余りはrr’を5で割った余りに等しい。

解答はこのように記述されていて自分には説明が省かれているように感じ「ゆえに」の意味がまったく分からないんですが、「abをmで割った余りは、rr’をmで割った余りに等しい」この定理を使っているから解答は「ゆえに〜」となっているんでしょうか？
No.71788 - 2020/12/27(Sun) 20:48:49
☆ Re: 数A / ヨッシー
ITさんの書かれているように
　rr'＝5s＋t　(rr' を 5で割った余りが t)
とおくと、
　ab＝(5q＋r)(5q'＋r')
　　＝5(5qq'＋qr'＋q'r)＋rr'
　　＝5(5qq'＋qr'＋q'r＋s)＋t
これより ab を５で割った余りは t で、rr' を５でわった余りと等しい
No.71789 - 2020/12/27(Sun) 21:25:51
☆ Re: 数A / むりんご
理解出来ました！皆さんありがとうございました
No.71790 - 2020/12/27(Sun) 21:34:50
★ 部分積分の同型出現について / コウコウ
画像の3，4番についてです。置換積分法を使うのがスタンダードな解き方であると思いますが、この2つの問題を部分積分法で解きたいです。

その時の途中式、解説をお願いします。同型出現なら、同型出現で何をIと置いたかを明記してくれると助かります。
No.71781 - 2020/12/27(Sun) 19:30:41
☆ Re: 部分積分の同型出現について / 関数電卓
> 部分積分法で解きたい
(3)(4)どちらも無理ですね。
(3) e^(x^2) の不定積分が出来ない。
(4) 部分積分が出来るためには微分して消える項がなければなりませんが，(4)は「ぐるぐる回り」するだけで消えません。
No.71782 - 2020/12/27(Sun) 19:46:54
☆ Re: 部分積分の同型出現について / コウコウ
> > 部分積分法で解きたい
> (3)(4)どちらも無理ですね。
> (3) e^(x^2) の不定積分が出来ない。
> (4) 部分積分が出来るためには微分して消える項がなければなりませんが，(4)は「ぐるぐる回り」するだけで消えません。

そうですか・・・では置換積分法で解くしかないのでしょうか？
No.71786 - 2020/12/27(Sun) 20:03:48
☆ Re: 部分積分の同型出現について / らすかる
> 置換積分法で解くしかないのでしょうか？
そんなことはありません。
例えば(4)は
∫(2e^x-1)^2e^xdx
=∫4e^(3x)-4e^(2x)+e^xdx
=(4/3)e^(3x)-2e^(2x)+e^x+C
のように置換積分も使わずに解けますし
(3)も
e^(x^2)を微分すると
2xe^(x^2)だから
∫xe^(x^2)dx
=(1/2)∫2xe^(x^2)dx
=(1/2)e^(x^2)+C
のように解くこともできます。
No.71787 - 2020/12/27(Sun) 20:15:23
★ 絞り込みについての質問 / nao
下記の動画で出題されてる問題について質問です。

https://www.youtube.com/watch?v=hTGMPASzEKU&list=PLd3yb0oVJ_W0T_e62uPntx5TtIIbNJfxn&index=24

問題：
次の方程式の自然数解を全て求めよ
x+2y+3z=2xyz(x<=y<=z)

解答では左辺の文字を全てzにしたものは右辺以上になる(=z+2z+3z>=2xyz)、と解説されていますが、これって仮にx=2,y=3,z=4とした時には成り立たないですよね？
あくまでzのみに着目した場合には式が成り立つ、という認識で合っているのでしょうか？（その場合、なぜそれが方程式として適切なのでしょうか？）
No.71776 - 2020/12/27(Sun) 17:18:06
☆ Re: 絞り込みについての質問 / ヨッシー
>x=2,y=3,z=4とした時には成り立たないですよね？
なので、x=2,y=3,z=4 はこの方程式の解ではないのです。

この方程式を満たすｘ、ｙ、ｚについては、というのが暗黙の条件です。
No.71777 - 2020/12/27(Sun) 17:27:53
☆ Re: 絞り込みについての質問 / nao
理解しました。ありがとうございます。
No.71778 - 2020/12/27(Sun) 17:48:27
★ Σの計算 / kei
高校２年です。

Σ[k=1〜n](2k+1)/(k^4+2k^3++3k^2+2k+2) を計算せよ、という問題なのですが、

着眼点の良し悪しは別として、
分母が(k^2+k+1)^2+1
分子が(k+1)^2-k^2となっていることなどは分かったのですが、その後の良い式変形が分かりませんでした。

先程も似たような問題を質問したばかりで申し訳ありませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71770 - 2020/12/27(Sun) 13:26:55
☆ Re: Σの計算 / らすかる
分母は{(k+1)^2+1}{k^2+1}なので
1/{k^2+1}から1/{(k+1)^2+1}を引いてみると
1/{k^2+1}-1/{(k+1)^2+1}=(2k+1)/(k^4+2k^3+3k^2+2k+2)
となりますね。
No.71772 - 2020/12/27(Sun) 14:05:22
☆ Re: Σの計算 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
なるほど！そうするのですね！無事に解決いたしました。
No.71791 - 2020/12/27(Sun) 23:48:25
★ (No Subject) / あべしんのすけ
この写真みたいな感じだったら等しくならないなぁ〜とおもってそこからわかりません
No.71769 - 2020/12/27(Sun) 13:11:39
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