(b+c)/a = (c+a)/b = (a+b)/c のとき、この式の値を求めよ、という問題があります。普通に解く分には簡単にできました。
ただ、あるところで、この問題は「3平面の共有点をイメージすると結果に納得がいく」「行列の固有値と関係がある」と述べられているのを目にしました。ずっとその意味を考えているのですが、恥ずかしながら、そのどちらともこの問題との関連性が見えてきません。どちらかでも良いのでどう関連しているのか解説してくれると助かります。
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No.72652 - 2021/02/06(Sat) 19:28:28
| ☆ Re: 問題の背景 / IT | | | 空間図形をイメージする力がないとむつかしいですね。
（私は、空間図形が苦手なので的外れかも知れません）
式の値をｋとおいて分母を払って移項して、
-ka+b+c=0…A,a-kb+c=0…B,a+b-kc=0…C とすると
３つの平面A,B,Cは、常に原点を通る。
kの条件は３つの平面A,B,Cがa≠0かつb≠0かつc≠0である共有点を持つことで、
その共有点からなる集合は、１直線・１平面が候補である。
この問題の場合は、a,b,cについて対称なので原点を通る直線、平面が決まってくる。
ということでしょうか。
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No.72654 - 2021/02/06(Sat) 22:32:59 |
| ☆ Re: 問題の背景 / IT | | | 0a+b+c=ka,a+0b+c=kb,a+b+0c=kcを行列とベクトルの積で書くと
{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}(a,b,c)=k(a,b,c) (a,b,c) は縦ベクトル。
行列{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}の固有値は、-1,-1,+2 で
固有ベクトルは順に(-1,0,1),(-1,1,0),(1,1,1)
(-1,0,1),(-1,1,0)は、成分＝0があり不適なので
（（注）この部分は間違いでした。質問者の大学一年生さんの回答のとおりですね。）
(1,1,1)
このとき固有値k=2
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No.72656 - 2021/02/07(Sun) 08:27:37 |
| ☆ Re: 問題の背景 / 大学1年生です | | | ITさん
とても参考になりました！
空間図形の共有点の集合の考え方に関しては目からウロコです。
条件a+b+c=0(k=-1)のとき原点を通る平面、条件a=b=c(k=2)のとき原点を通る直線で、いずれもa,b,cに関して最も対称性の良いものとなっていて元の式の形と符合します。
固有値に関して、問題の答えはk=2, -1なのでその考え方で完結している思います。空間図形と併せて考えると、
固有値2のとき固有ベクトル(1,1,1)。これはまさに直線a=b=c
固有値-1のとき固有ベクトル(-1,0,1), (-1,1,0)で、この2つのベクトルが張る平面がまさにa+b+c=0になっていますね。
たいへん貴重な解説、本当にありがとうございました！
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No.72659 - 2021/02/07(Sun) 11:10:48 |
| ☆ Re: 問題の背景 / IT | | | 固有値-1のとき固有ベクトル(-1,0,1), (-1,1,0) のところ
おっしゃる通りで その部分、私の回答はまちがいでしたね。
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No.72660 - 2021/02/07(Sun) 11:18:20 |
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