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★ 小５算数教科書問題について / かずえい
写真の問題について、解答は、?@変わらない?A変わらない?Bいえる7.5平方センチ?Cいえる ですが、?Cの問題に関して納得がいきません。頂点Dを点Gまで移動させるとありますが、これが、三角形ＥDＦのDなのか、四角形ABCDのDなのかが、書いていないため、四角形のDとして、読み取った場合は、２分の１といえないという答えになると思うからです。設問として、不完全だと、私と担任はは考えておりますが、教科書会社では、三回も検定を通っているので、わかりにくいが、間違いではないとのことでした。いろんなところで、聞いてみようと思います。どのように思われますでしょうか？お手数お掛け致しますが、教えて頂ければと思います。
No.71690 - 2020/12/24(Thu) 16:33:07
☆ Re: 小５算数教科書問題について / ヨッシー
頂点Ａを点Ｅまで動かします。
頂点Ｃを点Ｆまで動かします。
さらに・・・
点の移動に関してはこのような流れになっていますし、
図もそれに沿って描かれているので、疑いの余地はないと思います。
△ＥＤＦのＤです。
No.71693 - 2020/12/24(Thu) 17:02:59
☆ Re: 小５算数教科書問題について / かずえい
ありがとうございます。

頂点A(点線の四角形ABCD)を点Ｅまで動かします
頂点C(点線の四角形ABCD)を点Ｆまで動かします
さらに・・・
という流れで、ここで突然、
頂点D(最後の図に記入していない三角形ＥDＦ)を点Gまで動かす
ということであれば、
今まで、点線の四角形からの移動は、図にも書いてあったのに、突然、図にかいていない三角形から移動するという流れは、変わってるように思います。
(底辺共有で高さの長さが同じ分には面積変わらずという流れは、変わってないと思いますが。)

最後の図で、三角形ＥGＦがかかれていることから、これを無駄にしないために、三角形ＥDＦからの移動であることを察する必要は、あるのかなと思いました。
が、かいてある要素が無駄になる問題もごくたまにあり、それが、決定権を持つかと言われれば、疑問もあります。
小学生の問題なので、あまりないかもしれませんが。

最後の図においては、
四角形ABCDのDから→がでているという要素
と
三角形ＥＦGができあがっているという要素
で、どちらをとるかにより、問題がどちらをきいているのかを推察しなければならないように思います。

そのことから、最後の図に三角形ＥGＦがかかれている、もしくは、問題文に三角形か四角形かの記入が必要があるように思いましたがいかがでしょうか？
No.71699 - 2020/12/24(Thu) 20:12:42
☆ Re: 小５算数教科書問題について / かずえい
ごめんなさい、最後の図にかかれているべきと思うのは、三角形ＥDＦです。間違いました。
No.71700 - 2020/12/24(Thu) 20:20:29
☆ Re: 小５算数教科書問題について / mathmouth
四角形上の点か三角形上の点かに着目しているからそのように「突然」と感じられるのかもしれませんが、そもそも四角形上の点か三角形上の点かをいちいち区別させるような記述は写真中には少なくともありません.
四角形上の点や三角形上の点など関係なしに手順通りに点を動かしていって、「さらに」という言葉からも?A→?Cでは?Aで動かした後の状態から?Cの操作を重ねているので何も不自然なことではありません.あと△EDFは2つ目の図に太線で描れてあるので、操作の記述も併せて考えれば△EDFの状態から頂点Dを動かしていくことがわかります.（最後の3つ目の図にも△EDF を描けば?Aの操作後と変わらない状態で図として変化がなく普通にわかりにくく不自然です.）

それでも「さらに」の意味が汲み取れず「記述だけでははじめの四角形の状態からなのかそれ以前の操作による移動後の三角形の状態からなのか」がわからないならば、それこそ右に添えられている図を見て判断すべきです.

「図だけでは決定するに至らない場合もある」とおっしゃっていますが、では今回の問題では何のために図があるのでしょう？そもそも操作自体図を頼りにして説明しているのに、「図なしでは判別がつかない」などと文句をつけても、「じゃあ図を見ればいいじゃん」となります.図に基づいて説明しているのに図を見て（推察というより）判断しないほうが不自然だと思います.

【補足】
「解答に必要ない無駄な要素を含む図もある」と述べられていますが、その場合は「その図なしで一意的に正解にたどりつけ、かつその図が正解に影響しない」ということであって、「図があってはじめて正解にたどりつけるような問題についても、その図を確実な根拠にしてはならない」ということではありません.（その「解答に必要ない無駄な図」も、何かしら問題と関連のある、児童の理解を補助する形の図となっているはずです.）

無駄な情報を含む図があるからといって、別にその図が誤りであるわけではないし、本来解答に必要な図も宛にならないというわけではありません.
図が添えてあればそれは解答を導くための道具として利用すべきであるし、本当に解答を導く上で無駄な図は利用しなければいいわけです.（別に図だけでなく、問題文の情報についても同じです.）

例えば
「ある問題文の中で無駄な情報が含まれている場合があるから、あらゆる問題文中の情報は解答に明確な決定権をもたない」という主張は明らかに誤りですよね？今回は上の主張で問題文→図としたものですが、これも同じく誤りではないですか？
No.71705 - 2020/12/24(Thu) 22:16:41
★ 中学数学が分からないです / アキラ
こういう問題が苦手で解き方が分からないので、教えていただけると助かります。
No.71688 - 2020/12/24(Thu) 16:22:02
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
こちらになります。
No.71689 - 2020/12/24(Thu) 16:22:31
☆ Re: 中学数学が分からないです / ヨッシー
(1)
<60> はいくつですか？
<27> はいくつですか？
それぞれ、60の約数の個数、27の約数の個数を訪ねています。
出来たら、引き算をします。
(2)
＝2 ということは、約数が２個ということです。
１の約数は１だけなので <1>＝１ です。
２の約数は 1, 2 の２個なので <2>＝２ です。
３の約数は 1, 3 の２個なので <3>＝２ です。
４の約数は 1, 2, 4 の３個なので <4>＝４ です。
では、約数が２個のものをいくつか並べてみましょう。
小さい方から　2, 3, 5, 7, 11 です。
そのような数で、２桁で最大のものを見つけます。
<99>＝6　約数は 1,3,9,11,33,99
<98>＝6　約数は 1,2,7,14.49.98
なのでこれらではありません。

(3)
<81> は実際に求めて、
　<x>2−12×<x>−9×<81>＝０
に代入します。
<x> を１つの文字として、この２次方程式を解きます。
そのうち正のものが <x> となります。
i)　ａm の約数の数は m+1 です。
ii)　ａmｂn の約数の数は (m+1)(n+1) です。
これを使って、i) の場合のｍ、ii) の場合のｍ，ｎを求めましょう。

とりあえずここまで。
No.71691 - 2020/12/24(Thu) 16:52:20
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
ありがとうございます。とりあえず(2)までは解けそうなので、やってみます。
No.71694 - 2020/12/24(Thu) 17:27:37
☆ Re: 中学数学が分からないです / ast
検算用に (本問で言う <x> は「約数の個数函数」のような名前で呼ばれる函数で, 一般には σ_0(x) のように書くほうが標準に近いようです):
(1): σ_0(60)-σ_0(27)
(2): σ_0(a)=2, 10≤a≤99 の整数解
(3): σ_0(x)^2-12σ_0(x)-9σ_0(81)=0, 100≤x≤999 の整数解
No.71695 - 2020/12/24(Thu) 17:38:51
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
(1)は9、(2)はa=97が正解だと思うのですが、(3)は<81>=5で、この与えられた二次方程式を解いて、<x>=15(＊ -3は不適)だと思うのですが、そのあとはどうすれば導けますか？
No.71757 - 2020/12/27(Sun) 05:32:14
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
求める自然数は、x=144で合ってますか？
No.71758 - 2020/12/27(Sun) 08:43:29
★ 図形問題 / kei
高校２年です。

3点A(-2,0),B(2,0),C(1,4)に対し、点P,Q,Rをそれぞれ辺AB,BC,CA上にとる。△PQRがRを直角の頂点とする直角二等辺三角形となるように3点を動かすとき、△PQRの面積が最小となるような点Pの座標を求めよ、という問題をお教え下さい。よろしくお願いします。

自分では
直線AC:y=(4/3)x+8/3
直線BC:y=-4x+8
なので、R(t,(4/3)t+8),P(x,0)とおいて
ベクトルRP=(x-t,-(4/3)t-8/3)を90°回転して
ベクトルRQ=((4/3)t+8/3,x-t)
ベクトルOQ=OR+RQ=((7t+8)/3,x+(t+8)/3)
点Qの座標を直線BCに代入して
x=(-29t-16)/3 ☆
-2≦☆≦2より-22/29≦t≦-10/29
この範囲で、☆をベクトルRPに代入して大きさを求め、直線二等辺三角形の面積を最小にするtの値からxを求めるとx=2となったのですが、答えが合いませんでした(計算ミスなのか根本的に解き方が違うのかは自分では分かりませんでした)。

正しい答えがP(-18/65,0)になることは分かっています。いつも質問してばかりで申し訳ございませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71684 - 2020/12/24(Thu) 12:49:35
☆ Re: 図形問題 / らすかる
多分計算ミスでしょう。
RP=(-16(2t+1)/3,-4(t+2)/3)
|RP|^2=256(2t+1)^2/9+16(t+2)^2/9
=(1040t^2+1088t+320)/9
=16(65t^2+68t+20)/9
=16{65(t+34/65)^2+144/65}/9
なので最小になるのはt=-34/65のとき
∴x=(-29t-16)/3=-18/65
No.71685 - 2020/12/24(Thu) 13:34:45
☆ Re: 図形問題 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
もう一度自分で計算してきちんと確かめてみます！
No.71686 - 2020/12/24(Thu) 13:46:15
☆ Re: 図形問題 / らすかる
Pの座標からRの座標が求められる方法の別解を作ってみました。
特に計算は簡単になりませんでしたが、こういう方法もあるということで
参考のために記載します。

Rを中心としてCを時計回りに90°回転した点をC'とすると
RC=RC'なので△RC'Cは直角二等辺三角形
よって直線CC'はAを中心としてCを時計回りに90°回転した点(2,-3)を
通るので直線CC'の方程式はy=-7x+11
↑PC'は↑QCを時計回りに90°回転したものだから直線PC'の傾きは1/4
よってPの座標を(t,0)とすると直線PC'の方程式はy=(1/4)(x-t)なので
C'の座標は((t+44)/29,(-7t+11)/29)
↑RC'は↑RCを時計回りに90°回転したものだから直線RC'の傾きは-(3/4)
よって直線RC'の方程式はy=-(3/4)(x-(t+44)/29)+(-7t+11)/29なので
直線AC(y=(4/3)(x+2))との交点であるRの座標は(-(3t+16)/29,-4(t-14)/29)
従ってPR^2={-16(2t+1)/29}^2+{-4(t-14)/29}^2=16{65(t+18/65)^2+13456/65}/841
によりPRが最小となるtは-18/65なのでP(-18/65,0)
No.71687 - 2020/12/24(Thu) 14:37:29
☆ Re: 図形問題 / kei
らすかる様

ご丁寧にありがとうございます。
お陰さまで無事に正解に辿り着けました！
No.71707 - 2020/12/25(Fri) 00:06:32
★ 数の性質 / 受験生
解説できればお願いします。
No.71679 - 2020/12/24(Thu) 08:31:36
☆ Re: 数の性質 / ヨッシー
例えば、３で割っても５で割っても１あまる最小の自然数は１です。
次に小さいのは　１＋１５＝１６　です。その次は３１です。
このように、最小のものを見つけたら、１５を足していけば、同じ性質の数を次々と見つけられます。
（たとえ、最小が見つからなくても、１５を引けば最小に近づく）
３で割ると１あまり、５で割ると３あまる　ということなので、
　3, 8, 13, 18 ・・・
の中で３で割ると１あまる数を見つけると、13 が見つかり、これが最小です。
２番めは　１３＋１５＝２８　です。
さて、３番めは？
No.71680 - 2020/12/24(Thu) 08:45:18
☆ Re: 数の性質 / らすかる
「3で割ると1余り5で割ると3余る自然数」に2を足すと
「3でも5でも割り切れる自然数」になります。
よって「3で割ると1余り5で割ると3余る自然数」は
15の倍数から2を引いた数ですから
15×1-2=13, 15×2-2=28, 15×3-2=43,・・・
のようになります。
No.71681 - 2020/12/24(Thu) 10:23:04
☆ Re: 数の性質 / 受験生
> 例えば、３で割っても５で割っても１あまる最小の自然数は１です。
> 次に小さいのは　１＋１５＝１６　です。その次は３１です。
> このように、最小のものを見つけたら、１５を足していけば、同じ性質の数を次々と見つけられます。
> （たとえ、最小が見つからなくても、１５を引けば最小に近づく）
> ３で割ると１あまり、５で割ると３あまる　ということなので、
> 　3, 8, 13, 18 ・・・
> の中で３で割ると１あまる数を見つけると、13 が見つかり、これが最小です。
> ２番めは　１３＋１５＝２８　です。
> さて、３番めは？

ありがとうございます。大変参考になりました！
No.71714 - 2020/12/25(Fri) 07:52:56
★ 空間ベクトル / kei
高校２年です。

四面体OABCにおいて、OA=OB=2,OC=1,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とする。
辺OA上に点Pをとり、△OBCの内部に点Qを
↑PQ・↑OB=↑PQ・↑OC=0
となるようにとる。点Pが辺OA上を自由に動くとき、四面体BCPQの体積の最大値を求めよ、という問題をお教え下さい。

自分では最低限、
△OABが正三角形、△OBCと△OCAが60°定規の形になり、AB=2,BC=CA=√3であることと、内積の条件からPQ⊥平面OBCであることは把握しました。

答えが(√2)/12であることは分かっています。
すみませんが、よろしくお願い致します。
No.71676 - 2020/12/24(Thu) 01:26:12
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー
１辺が２の正四面体ＯＡＢＤのＯＤの中点をＣとすると、
与えられた四面体ＯＡＢＣが出来ます。

図のように、ＰとＱが重なる方向からこの立体を見ます。
図の部分をｘとすると、Ｐの△ＯＢＣからの距離(高さ)ｈは、
　ｘ＝０　で　2√6/3　ｘ＝１　で　０
なので、
　ｈ＝2√6/3−(2√6/3)ｘ＝(2√6/3)(1−x)
また　ＢＣ＝√3　なので、四面体ＢＣＰＱの体積は
　(1/6)×√3×ｘ×(2√6/3)(1−x)＝(√2/3)(ｘ−ｘ^2)
となり、(中略)
ｘ＝1/2 のとき、最大値　√2/12 を取ります。
No.71678 - 2020/12/24(Thu) 07:13:38
☆ Re: 空間ベクトル / kei
ヨッシー様

とても良く分かりました！前回に続き、図も作って下さりありがとうございます。しっかり復習しておきます！
No.71683 - 2020/12/24(Thu) 12:29:35
★ 面積 / kei
高校２年(文系)です。

放物線y=(3/4)x^2-7/4をCとし、Cを原点を中心に時計回りに90度回転して得られる曲線をC'とする。CとC'は4個の交点を持ち、それらをx座標の小さい順にP,Q,R,Sとする。Cの弧QRとC'の弧QRによって囲まれる部分の面積を求めよ、という問題なのですが、

C':x=(3/4)y^2-7/4とCの交点のx座標を求めて
x=-5/3,-1,1/3,7/3
(求める過程でy=xと、y=-x-4/3とC,C'の交点を考えました)

このあと、文系範囲の問題なので本来は数?Vを用いずに解けるはずなのですが、自分は解法が思いつかず、強引に

∫[-1→1/3]{(-2/√3)√(x+3/4) -(3x^2/4-7/4)}dx=…=7/27

と求めたのですが(答えは正解にでした)、本当はどのように解くべき問題だったのでしょうか？

すみませんが、ご教授下さい。よろしくお願い致します。
No.71674 - 2020/12/24(Thu) 00:50:24
☆ Re: 面積 / IT
PQ 、QRをそれぞれ直線で結んでみればよいのでは？
No.71675 - 2020/12/24(Thu) 01:21:47
☆ Re: 面積 / kei
IT様

ありがとうございます！

直線QRと放物線Cで囲まれた面積(8/27)を求めた後、直線PQと放物線Cで囲まれた面積(1/27)を求めて、8/27から1/27を引いて無事に題意の面積が求まりました。
No.71677 - 2020/12/24(Thu) 01:39:20
★ 空間座標 / kei
高校２年です。

座標空間内に、xy平面と頂点Aのみを共有する立方体ABCD-EFGHがある。頂点B,D,Eのz成分がそれぞれ1,2,4であるとき、この立方体の一辺の長さを求めよ、という問題をお教え下さい。

答えが√21になることは分かっています。

Aを原点にもってきて、座標を色々置いてみたのですが、置き方が悪く文字だらけになり駄目でした(AB,AD,AEが互いに垂直になっていることもうまく利用できませんでした。外積なども一応知っています)。

すみませんが、よろしくお願い致します。
No.71670 - 2020/12/23(Wed) 21:52:09
☆ Re: 空間座標 / ヨッシー
立方体の１辺をａとし、座標空間上に
　Ａ(0,0,0)、Ｂ(a,0,0)、Ｄ(0,a,0)、Ｅ(0,0,a)
と置きます。この立方体を、ｘ軸周りにθ回転させます。
この時の変換式は
　Ｘ＝ｘ、Ｙ＝ｙcosθ−ｚsinθ、Ｚ＝ysinθ＋zcosθ
さらに、ｙ軸周りに−φ回転させます。
この時の変換式は、
　Ｘ＝−zsinφ＋ｘcosφ、Ｙ＝ｙ、Ｚ＝zcosφ＋xsinφ
です。これによって、
　Ｂ(a,0,0)→(a,0,0)→（ａcosφ,0,ａsinφ）
　Ｄ(0,a,0)→(0,ａcosθ,ａsinθ)→(−ａsinθsinφ,ａcosθ, ａsinθcosφ)
　Ｅ(0,0,a)→(0,−ａsinθ,ａcosθ)→(−ａcosθsinφ,−ａsinθ,ａcosθcosφ)
のように移ります。条件より
　ａsinφ＝１　　　・・・(i)
　ａsinθcosφ＝２　・・・(ii)
　ａcosθcosφ＝４　・・・(iii)
(ii)(iii)より
　sinθ：cosθ＝1：2 より sinθ＝1/√5, cosθ＝2/√5
(ii)に代入して、
　ａcosφ＝2√5
(i) とともに
　sinφ：cosφ＝１：2√5　より　sinφ＝1/√21, cosφ＝2√5/√21
(i) より
　ａ＝√21　・・・答え


No.71672 - 2020/12/23(Wed) 23:36:36
☆ Re: 空間座標 / kei
ヨッシー様

丁寧なご回答ありがとうございます！

教科書の三角関数の単元で、回転の話が発展事項として載っており、どんなときに使うかあまりイメージがわかなかったのですが、とても良く分かりました！(文系なので複素数平面もあまり深く学習していないので回転には疎かったです)

ご回答のように座標を定めた後、頂点Aだけがxy平面と共有するように、x軸回りにθ回転、y軸回りにΦ回転するのですね！(z成分が正なので、回転後の成分からθもΦも鋭角)

必要最小限の文字ですっきり解答できて、感動しました！(自分ではなるべく0が多く登場するように座標をおいてみましたが駄目だったので)

アニメーションも含めて、どうもありがとうございました！
No.71673 - 2020/12/24(Thu) 00:18:46
☆ Re: 空間座標 / ヨッシー
φをプラス側に取ると、ｚがマイナスの方に振れるので、
−φ としています。
そこだけご注意を。
No.71682 - 2020/12/24(Thu) 11:19:27
☆ Re: 空間座標 / kei
ヨッシー様

ありがとうございます！
気をつけます！(納得いたしました)
No.71706 - 2020/12/25(Fri) 00:03:29
★ 数A 余りによる整数の分類 / むりんご
n(n＋1)(5n＋1)は3の倍数であることを証明するとき、整数nをn＝3k、n＝3k＋1、n＝3k＋2に分けるのはどうしてですか？
No.71664 - 2020/12/23(Wed) 17:56:17
☆ Re: 数A 余りによる整数の分類 / ヨッシー
理由１：代入すると、３を含む項がいくつか出てきて、
３の倍数かどうかを調べるのに便利だから。
理由２：すべての整数ｎは、n＝3k、n＝3k＋1、n＝3k＋2 の
いずれかで表せるから。
No.71666 - 2020/12/23(Wed) 18:39:56
☆ Re: 数A 余りによる整数の分類 / むりんご
ありがとうございます！
No.71692 - 2020/12/24(Thu) 16:59:19
★ (No Subject) / 質問者
以下の問題について質問があります
A,B,Cが次の手順で優勝者を決定する。引き分けはないものとする。
1,くじによって３人の中から無作為に一人を選ぶ

2,くじで選ばれなかった二人で「ファーストステージ」を行う。そこでは互いに0ポイントの状態から何度か対戦し買ったものは１ポイントを得、先に２ポイント得たものを勝者とする。

3,「ファーストステージ」の勝者とくじで選ばれたもので勝負を行い先に２ポイント得たものを勝者とする。くじで選ばれたものは１ポイント得た状態からはじまる。

問１
まず、くじで選ばれたものがAである場合を考える。
AとB、AとC、BとCで対戦した時それぞれAが勝つ確率、Bが勝つ確率は1/2である。

くじで選ばれたものがAで、かつ「ファーストステージ」の勝者がBである確率?@

「ファーストステージの勝者がBという条件のもとでAが優勝する確率?A

くじで選ばれたものがAであるとき、Aが優勝者となる確率?B
とAが優勝者になったという条件の下で「ファーストステージ」の勝者がBであるという条件付確率?C

?@は1/3[(1/2)^2+2C1(1/2)^2(1/2)]＝1/6とわかります

?Aも条件付確率の考え方で1/6[1/2+1/4]÷ 1/6=3/4とわかります

?B?Cなんですが?Bについては解答に
1/2　×　3/4 + 1/2 ×3/4＝3/4とあるのですがここではなぜくじで選ばれたものがAであることを考えて×1/3をしないのでしょうか？
４でも同様に1/2 × 3/4 ÷　3/4 =1/2 となっています。


またこのいくつか後に来る問題で
AとBが戦いAが勝つ確率がx　AとCが戦いAが勝つ確率がｙ
[0<x<1,0<y<1]、ＢとＣが戦いＢが勝つ確率が2/3であるとする。くじで選ばれたものがＡであるとき以下の正誤を答えろ

1,x>1/2かつy>1/2のときＡが勝つ確率は1/2より大きい
2,x=y=1/2のときＡが優勝する確率は1/2より大きい

解説ではファーストステージの勝者がＢであったという条件の下でＡが優勝する確率をＸ、ファーストステージの勝者がＣという条件の下でＡが優勝する確率をＹとおく
Pをファーストステージの勝者がBである確率とするとき
Ａが優勝する確率は
XP+Y[1-P」　でx>=1/2かつｙ＞＝1/2のとき
Ｘ＞１/2かつＹ＞1/2より
ＸＰ+Ｙ「1-P]>1/2P+1/2[1-p]=1/2とあるのですが
ここがいまいち理解できません。　

Ｘ＝2/3×[x+[1-x]×x]÷2/3ですよね？
そうなるとXP+Y[1-P]=P[2x-x^2]+ [1-p][2y-y^2]となって上のような式にならないような気がするのですが。どの部分の考え方が間違っているのでしょうか？

解説よろしくお願いします。
No.71663 - 2020/12/23(Wed) 13:13:46
☆ Re: / ヨッシー
>なぜくじで選ばれたものがAであることを考えて×1/3をしないのでしょうか？
Ａが選ばれたことは確定なので、100% です。
同じ意味で、?Aも、Ｂが勝ったことは確定なので、そこから
　Ａが勝つ　1/2
　Ｂが勝ってＡが勝つ　1/4　合わせて　3/4
で十分です。

後に来る問題
1. 「Ａが勝つ」とは「Ａが優勝する」でしょうか？　以下、そうだとして...
ファーストステージでＢが勝つ確率
　(2/3)(2/3)＋(2/3)(1/3)(2/3)＋(1/3)(2/3)(2/3)＝20/27
この後、Ａが優勝する確率
　x＋(1-x)x＝2x−x^2
ファーストステージでＣが勝つ確率
　1−20/27＝7/27
この後、Ａが優勝する確率
　y＋(1-y)y＝2y−y^2
ご質問の表現だと、
　Ｘ＝2x−x^2、Ｙ＝2y−y^2、Ｐ＝20/27
となります。
　Ｘ＝2x−x^2 は、0＜x＜1 の範囲で単調増加で、x=1/2 のとき Ｘ＝3/4
　よって、x＞1/2 のときは、X＞3/4＞1/2
同様に、Ｙ＞1/2
ここまでで、とくに論理的誤りはありません。3/4 ではなく 1/2 で切るのは、
ＸＰ＋Ｙ(１−Ｐ) が 1/2 になる境目を示したものと思われます。
No.71665 - 2020/12/23(Wed) 18:37:08
☆ Re: / 質問者
ありがとうございます。疑問点が解決しました。
正しい表現はＡが優勝するですね。混乱させてしまい申し訳ありませんでした。
No.71668 - 2020/12/23(Wed) 19:47:17
★ ベクトル / kei
高校２年です。

以下、全体を通して見にくい文章で申し訳ありません。

ベクトル↑p,↑qは、
|↑p|=1
↑q・(↑q-↑p)=1
を満たしている。
このとき、|↑q|の最大値と|↑q-↑p||↑q+↑p|の最大値を求めよという問題なのですが、

まず、条件の第2式から
|↑q|^2-↑p・↑q=1

|↑q|^2
=1+↑p・↑q
=1+|↑p||↑q|cosθ (θは↑pと↑qのなす角)

ここで、|↑p|=1および-1≦cosθ≦1なので
1-|↑q|≦|↑q|^2≦1+|↑q|

∴|↑q|^2+|↑q|-1≧0,|↑q|^2-|↑q|-1≧0

|↑q|>0に注意して、連立不等式を解いて

(-1+√5)/2≦|↑q|≦(1+√5)/2
よって最大値|↑q|=(1+√5)/2 (θ=0のとき)

ここまでは解けました(一応、|↑q|の範囲ごと求めておきました)。

このあと、後半は与式を2乗して

|↑q-↑p|^2|↑q+↑p|^2
=(|↑q|^2+1-2↑p・↑q)(|↑q|^2+1+2↑p・↑q) ∵|↑p|=1
=|q|^4-2(2cos^θ-1)|q|^2+1
=(|↑q|-cos2θ)^2-cos^2(2θ)+1

をつくってみたのですが、ここでストップしてしまいました。

すみませんが、後半の大きさの積の最大値の求め方をお教え下さい。
答が4/√3になることは分かっています。

１日に何度も質問をして申し訳ありません。
No.71658 - 2020/12/23(Wed) 11:08:05
☆ Re: ベクトル / mathmouth
後半は、全てl↑qlで表してしまいましょう.
l↑ql²を固まりで捉えると二次関数となり、処理できます.
その際に前半で求めたl↑qlの範囲が効いてきます.
No.71661 - 2020/12/23(Wed) 12:56:52
☆ Re: ベクトル / らすかる
ベクトルの矢印は省略します。
|q|^2=1+|q|cosθからcosθ=(|q|^2-1)/|q|なので
|q|^4-2{2(cosθ)^2-1}|q|^2+1
=|q|^4-2{2(|q|^2-1)^2/|q|^2-1}|q|^2+1
=-3(|q|^2-5/3)^2+16/3
|q|^2-5/3=0すなわち|q|=√15/3のとき
cosθ=(5/3-1)/(√15/3)=2/√15なので
|q|=√15/3を満たすθは存在する。
よって|q-p|^2|q+p|^2は|q|^2-5/3=0のとき最大値16/3をとるので
|q-p||q+p|の最大値は4/√3。
No.71662 - 2020/12/23(Wed) 12:57:12
☆ Re: ベクトル / kei
らすかる様

どうもありがとうございます。
cosθを消去すれば良かったのですね！途中の計算過程を含め、ご丁寧な回答に感謝致します。
No.71669 - 2020/12/23(Wed) 20:29:59
★ 空間座標 / kei
高校２年です。

座標空間に正四面体ABCDがあり、A(2,4,0)、B(3,6,0)である。また、直線CDはx軸と交わっている。このとき、線分CDの中点の座標を求めよ、という問題をお教え下さい。

自分では最低限、

・線分ABの中点をMとするとM(5/2,5,0)
・AB=√5
・線分CDの中点をNとすると、MN⊥AB
(以前、ベクトルの問題で正四面体の性質で証明した性質が使えないか考えました)
・MN=(√10)/2
・ベクトルMNはベクトルABを±90度回転して(√3)/2倍したもの
・2点A,Bはxy平面上の点

であることを求めたり考えました(問題文の「直線CDはx軸と交わっている」の使い道は分かりませんでした)。

答えが(27/10,49/10,±(7√5)/10)になることは分かっています。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71655 - 2020/12/23(Wed) 07:54:00
☆ Re: 空間座標 / らすかる
求め方はいろいろあると思います。

解法1
ABの中点M(5/2,5,0)を通りABに垂直な面は2x+4y=25
この面とx軸の交点Pは(25/2,0,0)なのでMP=5√5
AB=√5
CDの中点をNとするとMN=√10/2
NとPが直線CD上にありMN⊥CDであることから
MN⊥NPなのでNP=√(MP^2-MN^2)=7√10/2
NからMP上(=xy平面上)に下した垂線の足をHとすると△MNP∽△NHPなので
HP=(NP/MP)NP=49√5/10、HN=(MN/NP)HP=7√5/10
HはMP上の点でHP/MP=49/50、P(25/2,0,0),M(5/2,5,0)なので
Hの座標は(25/2-(49/50)(25/2-5/2),5(49/50),0)=(27/10,49/10,0)
HN=7√5/10だから、Nの座標は(27/10,49/10,±7√5/10)

解法2
ABの中点M(5/2,5,0)を通りABに垂直な面は2x+4y=25
この面とx軸の交点Pは(25/2,0,0)なのでMP=5√5
AB=√5
CDの中点をNとするとMN=√10/2
M(5/2,5,0)とMN=√10/2からNは球面(x-5/2)^2+(y-5)^2+z^2=(√10/2)^2上にある
MPの中点をQとするとQ(15/2,5/2,0)、PQ=MP/2=5√5/2であり
NとPが直線CD上にありMN⊥CDであることからMN⊥NPなので
Nは球面(x-15/2)^2+(y-5/2)^2+z^2=(5√5/2)^2上にある
よってNは
2x+4y=25
(x-5/2)^2+(y-5)^2+z^2=(√10/2)^2
(x-15/2)^2+(y-5/2)^2+z^2=(5√5/2)^2
の3式を満たす点
第2式-第3式から4x-2y=1
これと第1式からx=27/10,y=49/10
これを第2式に代入してz=±7√5/10
従ってNの座標は(27/10,49/10,±7√5/10)
No.71656 - 2020/12/23(Wed) 09:23:54
☆ Re: 空間座標 / kei
らすかる様

複数の解法、ありがとうございます！
教えて頂いた解き方をもとに、自分でもきちんと解いてみて無事に正解に辿り着けました(とても丁寧な解説で、感謝の気持ちでいっぱいです)
No.71657 - 2020/12/23(Wed) 10:32:00
★ ガウス記号 / kei
高校２年です。

xを1以上の実数とするとき
[√(x+4)]^2-4√(x-1)=0
を解け、という問題なのですが(答えがx=2,97/16,17であることは分かっています)

方程式を
[√(x+4)]^2=4√(x-1) ☆
と変形した後、

√(x-1)が0以上の整数になるとき、
x-1=m^2 (mは0以上の整数) とおくと

m^2<x+4=m^2+5<(m+1)^2 (m≧3)
このとき☆は
m^2=4m
∴m=4
よってx=17

また、m=0,1,2のとき順にx=1,2,5となり、これらのうち☆を満たすものはx=2、と分かりました。

このあと、答えを見てx=97/16が求められていないことに気づき、√(x-1)が (整数)/(4の約数)となるときを考えていないことに気がつきました。

この場合はどのように答案をつくっていけばよいかお教え下さい。よろしくお願い致します。
No.71649 - 2020/12/23(Wed) 02:01:00
☆ Re: ガウス記号 / らすかる
[√(x+4)]=n（n≧2）とおくと問題の方程式から
n^2=4√(x-1)
∴n^4=16(x-1)
また[√(x+4)]=nから
n≦√(x+4)＜n+1
n^2≦x+4＜n^2+2n+1
n^2-5≦x-1＜n^2+2n-4
16(n^2-5)≦16(x-1)＜16(n^2+2n-4)
16(n^2-5)≦n^4＜16(n^2+2n-4)　（∵16(x-1)=n^4）
16(n^2-5)≦n^4は変形すると(n^2-8)^2+16≧0となるので常に成り立つ。
n^4＜16(n^2+2n-4)は変形すると(n^2-2n-14)(n^2+2n+2)+92＜0となるので
少なくともn^2-2n-14＜0でなければならない。
これを解くと-2≦n≦4なのでn≧2と合わせてn=2,3,4となり
n=2,3,4はいずれもn^4＜16(n^2+2n-4)を満たす。
n^4=16(x-1)からx=n^4/16+1なので
n=2のときx=2
n=3のときx=97/16
n=4のときx=17
よって条件を満たす解はx=2,97/16,17
No.71651 - 2020/12/23(Wed) 04:21:53
☆ Re: ガウス記号 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
いつも「こんなに綺麗に解けるのか！」と感動しています。

自分の文字の設定を反省しつつ、しっかり復習しておきます！
No.71653 - 2020/12/23(Wed) 07:13:12
★ (No Subject) / p
問題16と問題18の解説解答をお願いします。
No.71648 - 2020/12/23(Wed) 01:45:48
☆ Re: / ヨッシー
16
５枚の１円玉を１枚の５円玉に両替すると、硬貨の枚数は４枚減るので、
全部両替した時点で、５円玉は
　260÷4＝65(枚)
になっています。（１円玉は０〜４枚)
これを１０円玉に両替すると
　10円玉32枚、5円玉1枚
になります。さらに100円玉に両替すると
　100円玉3枚、10円玉2枚、5円玉1枚
となり、1円玉は
　８−３−２−１＝２(枚)
とわかります。金額は　327円です。

18
(1)
Ｃさんの速さを毎分Ｘｍとすると、
ＣさんとＡさんの距離は毎分Ｘ−60ｍ
ＣさんとＢさんの距離は毎分Ｘ−130ｍ
ずつ縮まります。追いつくまでの時間の比が
　９：13.5＝２：３
なので、縮まる速さはその逆比で
　Ｘ−60：Ｘ−130＝３：２
となります。

図より　?@ は毎分70ｍにあたり、Ｘは
　70×3＋60＝270　または　70×2＋130＝270
となります。
　答え　毎分270ｍ
(2)
　270−60＝210
毎分210ｍの速さで9分かかるので、池の周りは
　210×9＝1890(m)　または　140×13.5＝1890(m)
となります。
　答え　1890ｍ
No.71652 - 2020/12/23(Wed) 06:13:20
☆ Re: / p
ありがとうございます。
No.71792 - 2020/12/28(Mon) 02:27:12
★ (No Subject) / ｋ
ある教科書の証明の中で、

集合Sを写真のように定義したとき、QxQxQ=⋃_{q∊Q} QxQx{q} ・・・（＊）は可算であるから、Sは可算である.

と書かれていたのですが、なぜ（＊）が可算だとして、Sは可算になるのでしょうか。
No.71640 - 2020/12/22(Tue) 22:51:04
☆ Re: / ast
そもそも論として, 定義が述べられてない記号が複数ある時点で, それだけでは答えられない, と答えるしかないと思いますので, 質問者はもっとちゃんと式の作りを説明する文章を質問文に追加してください.

どうせ χ_J (および J) が Q×Q の数だけあって（＊）は bχ_J の総数を意味していることになるような設定になっているのではないかと邪推しますが, その場合の質問
> なぜ（＊）が可算だとして、Sは可算になるのでしょうか。
に対する答えは, たとえば
　[1] bχ_J が Q×Q×Q の濃度だけあること
がそもそも分からないのと
　[2] [1] はわかるが (n を一つ決めたときの) ?農[k=1,…,n] b_k*χ_{J_k} の数
　　　　(や, それを n∈N の範囲で動かした union をとったときの数)
がわからないというのではだいぶ違うと思います.
No.71660 - 2020/12/23(Wed) 12:12:04
★ (No Subject) / ako
0<ε<1/2,f=X_(a,b) ただし、Xは単関数を表し、a<bです.

さらに||f-g||_Lp<εとなるような連続関数gが存在すると仮定する.

このとき、δ>0に対して、|X_(a,b)(x_0)-g(x_0)|<ε/2
と、　|X_(a,b)(x_1)-g(x_1)|<ε/2
となるようなx_0∊(a,a+δ),x_1∊(a-δ.a)が存在する.

上のような、x_0,x_1が存在する理由を教えていただけないでしょうか。

読みづらくて申し訳ありませんが、ご教授のほどお願いいたします。
No.71638 - 2020/12/22(Tue) 22:34:32
☆ Re: / ast
問題設定として a < b と仮定しているのに結びの
> となるようなx_0∊(a,a+δ),x_1∊(a-δ.a)が存在する.
は b が関係してこない話になっていますし, それをふくめて問題の設定が正確に述べられているのか疑問です. 少なくとも
> Xは単関数を表し
に対して "_(a,b)" を付けることでどのような効果が設定されるのかについてはちゃんとはっきりすべきと思います.
# 実際たとえば, もし定義域を表すのなら "x_1∊(a-δ.a)" が意味を持ちませんし,
# あるいはもしなんらかの台を表すのなら a の前後で不連続になるのかもしれません.
# なので, 他にも解釈の余地はありそうですが, これだけでも問題設定上大きな意味をもちえますので,
# 回答する側としてははっきりしないのは答えられない. (はっきりしたら応えられる, とは限らないけれども)
No.71659 - 2020/12/23(Wed) 11:57:12
★ 未来の予測 / √
かなり昔に、
「微分」は世の中で、どのような事に
役立っているのか？　という質問に対して、

確か、
らすかるさんに、天気予報に使われていると
教えて頂いたような記憶があります。

では、微分を使って
コロナ感染者の増加予測とか、
未来の地球温暖化予測とかも
出来るのですか？
No.71635 - 2020/12/22(Tue) 21:52:13
☆ Re: 未来の予測 / けつねのラメ入り
> では、微分を使って
> コロナ感染者の増加予測とか、

> 未来の地球温暖化予測とかも
> 出来るのですか

変化について予測するときには微分や積分が大いに役立っています。

自動車に乗っているのであれば、そうですね、
加速度は速度の微分です。速度の変化を知りたいので微分した加速度を調べるわけです。
ついでに申しますと速度を積分すると距離になります。
No.71636 - 2020/12/22(Tue) 22:03:16
☆ Re: 未来の予測 / 関数電卓
>コロナ感染者の増加予測とか
感染のメカニズムが 定量的に確立されれば，微積分で将来を予測することが（ある程度は）出来ますが，現時点ではまだまだですよね。

> 未来の地球温暖化予測
これも（ある程度の）予測が発表されていますが，不確定要素が多すぎるので，信頼性はそう高くはない，と私は思います。

何れにしても，微積分は「道具」でしかないので，量と量の間の因果関係が確立されなければ，確かな結果は導きません。
「ラプラスの魔」という有名な言葉があるのですが，解釈は人により様々です。
No.71641 - 2020/12/22(Tue) 23:29:30
☆ Re: 未来の予測 / √
けつねのラメ入りさん
関数電卓さん

「微分」は、何をやっているのか、よく分かって
いないのですが・・・
とりあえず、有難うございました。
No.71647 - 2020/12/23(Wed) 00:51:48
★ ガウス記号 / kei
高校２年です。

x-[x]+1/x-[1/x]=7/6 を満たす正の有理数をxを求めよ、という問題をお教え下さい。

方程式の左辺は
x ひく [x] たす 1/x ひく [1/x]
を表しています。

答えはx=2/3,3/2であることが分かっています。

[x]と[1/x]が整数で、方程式の右辺が1+1/6
なので、xの範囲を絞れそうで色々やってみたのですがうまくいきませんでした。

よろしくお願いします。
No.71631 - 2020/12/22(Tue) 19:35:03
☆ Re: ガウス記号 / IT
0＜x＜1、x＝１、1＜ｘ　にわければよいのでは？
ｘ＝１は解でないので、
xと1/x を入れ替えればよいので0＜x＜1、1＜ｘ　どちらかだけを考えればよい。
1＜ｘのとき
x=n+a (n は１以上の整数､ 0≦a＜１）として、
a の2次方程式をつくり、それが0≦a＜１かつ有理数解を持つときのn、a を求める。
No.71633 - 2020/12/22(Tue) 19:50:38
☆ Re: ガウス記号 / kei
IT様

いつもご回答ありがとうございます。
x=n+a (n は１以上の整数､ 0≦a＜１）
を与えられた方程式に代入すると

a+1/(n+a)=7/6
分母を払って整理すると

6a^2+(6n-7)a+6-7n=0 ☆

左辺をaの関数f(a)とみると
f(0)=6-7n<0 ∵n≧1
なので

f(a)=0が0≦a<1で解を持つとき
f(1)=5-n>0
が必要。n≧1とあわせて

n=1,2,3,4

これらのnに対して☆は順に
6a^2-a-1=0
6a^2-5a-8=0
6a^2-11a-15=0
6a^2+17a-22=0
となるが、0≦a<1を満たす有理数aは最初(n=1のとき)の方程式のa=1/2に限る。

よって、x=1+1/2=3/2と求まり、このとき1/x=3/2も解である。

以上のような解答でよろしいでしょうか？
何度も申し訳ありません。
No.71634 - 2020/12/22(Tue) 21:27:09
☆ Re: ガウス記号 / IT
6a^2-5a-8=0
6a^2-11a-15=0
6a^2+17a-22=0

係数の計算まちがいか記入ミスがあるのでは？
No.71637 - 2020/12/22(Tue) 22:31:28
☆ Re: ガウス記号 / kei
IT様

ご指摘の通りです。
6a^2+(6n-7)a+6-7n=0 にn=2,3,4を代入したときの方程式は正しくは
6a^2+15a-8=0
6a^2+11a-15=0
6a^2+17a_22=0
でした。失礼いたしました。
No.71643 - 2020/12/22(Tue) 23:43:29
★ 利用用途について / 真剣さん
数学で下記の公式を利用しています。
1,COS(θ+Π/2)=-SIN(θ)
2,SIN(θ+Π/2)=COS(θ)
式の意味は、理解できるのですが
実際に1,2の式は、どのような場面に利用しますでしょうか？
No.71626 - 2020/12/22(Tue) 13:02:58
☆ Re: 利用用途について / らすかる
特定の場面には限定されず、三角関数が問題や解答中に出てくる応用問題なら
どんな問題でも幅広く使用されます。
No.71629 - 2020/12/22(Tue) 19:13:39
☆ Re: 利用用途について / 真剣さん
> 特定の場面には限定されず、三角関数が問題や解答中に出てくる応用問題なら
> どんな問題でも幅広く使用されます。
すいません。
具体的にどのような問題で利用されるのでしょうか
No.71639 - 2020/12/22(Tue) 22:44:10
☆ Re: 利用用途について / らすかる
利用される機会は「具体的にこの問題」と覚えていられるほど少なくありませんので、
その公式を使った問題がどんな問題だったかとか、いちいち覚えていません。
例えば「除算は具体的にどのような問題で利用されるのでしょうか？」と
聞かれたら答えに困りませんか？
そのくらい（三角関数の中では）基本的なことです。
ちなみに、私が最後にその公式を使ったのは、積分の問題だったような気がします。

# もし「このパターンの問題が出てきたらこの公式を使う」といえるような回答を
# 期待しているのでしたら、それは無理です。
# 三角関数が出てくる応用問題ならいつでも使う可能性がありますので、
# 常に念頭に置いておかなければならない、基本中の基本の公式です。
No.71646 - 2020/12/23(Wed) 00:46:37
★ ラグランジュの定理？ / meow
群論についてです．
HはGL(n,R)の部分群であるのは容易に示すことができたのですが，
(GL_n(R):H)をどのように求めるのかわかりません．
いままで(Z_12:<4>)などでは考えてきていたのですが，行列になった途端どのようにすれば良いのか全くわかりません．
教えていただきたいです．よろしくお願いいたします．
No.71623 - 2020/12/22(Tue) 03:22:35
☆ Re: ラグランジュの定理？ / IT
行列の積の行列式は、行列式の積であること
　det(AB)＝det(A)det(B) ,
　det(A)≠0のとき　det(A^-1)=1/det(A)
　
と（G：H）の定義に戻れば、容易では？

群Gとその部分群Hについて（G：H）は、何を表しますか？
No.71624 - 2020/12/22(Tue) 04:41:54
☆ Re: ラグランジュの定理？ / meow
ITさんありがとうございます．

(G:H)はHの左剰余類の濃度を示していると思います．
ただ，GL(n,R)もHも非加算無限集合なのでラグランジュの定理は使えないのではないかとも思ってきました．
H'として
H'={A ∈ GL(n,R) | det(A)<0}とすれば，
GL(n,R)=H ∪ H'
となるので，
(GL(n,R) : H) = 2
これは考え方的にどうなのでしょうか．
よろしくお願いいたします．
No.71650 - 2020/12/23(Wed) 02:43:50
☆ Re: ラグランジュの定理？ / IT
>ただ，GL(n,R)もHも非加算無限集合なのでラグランジュの定理は使えないのではないかとも思ってきました．

そうですね。ラグランジュの定理を使っても求められませんね。

>GL(n,R)=H ∪ H'
>となるので，
>(GL(n,R) : H) = 2
>これは考え方的にどうなのでしょうか．

単にGL(n,R)=H ∪ H'は、当然ですね。これだけでは(GL(n,R) : H) = 2はいえないと思います。
Hの左剰余類としてどうなるかを示す必要があります。
（H'がHとは異なる一つの左剰余類になるかどうか）
No.71654 - 2020/12/23(Wed) 07:27:49
☆ Re: ラグランジュの定理？ / meow
ITさん返信ありがとうございます．
なるほどです．
H'=AHを示せば良いと言うことですね．
ありがとうございます．
No.71671 - 2020/12/23(Wed) 21:54:36
★ 整数問題 / kei
高校２年です。

どの2数の積も残りの数で割ると1余るような相異なる3つの自然数を求めよ、という問題をお教え下さい。

上の問題で「積」が「和」の場合は解けたのですが、「積」の場合が分かりませんでした。

答えは2,3,5になることが分かっています。

どうぞよろしくお願いします。
No.71620 - 2020/12/21(Mon) 23:04:19
☆ Re: 整数問題 / らすかる
3数をa,b,c（a＜b＜c）とすると
ab-1はcで割り切れる
bc-1はaで割り切れる
ca-1はbで割り切れる
よって
(ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割り切れる
(ab-1)(bc-1)(ca-1)=(abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)-1なので
(ab+bc+ca)-1はabcで割り切れる
(ab+bc+ca-1)/abcは自然数
(ab+bc+ca-1)/abc=kとおくと
ab+bc+ca-1=abck
k≧2のとき
abck≧2abc=(1/3)abc+(7/6)abc+(1/2)abc
＞ab+bc+ca（∵a≧1,b≧2,c≧3)
＞ab+bc+ca-1
となりab+bc+ca-1=abckが成り立たないのでk=1
∴ab+bc+ca-1=abc
a≧3のときabc≧3bc=bc+bc+bc＞ab+bc+ca＞ab+bc+ca-1となり
ab+bc+ca-1=abcが成り立たないのでa≦2
a=1のとき
b+bc+c-1=bc
b+c-1=0
b+c=1となり不適
a=2のとき
2b+bc+2c-1=2bc
bc-2b-2c+1=0
(b-2)(c-2)=3
3≦b＜cなので
b=3,c=5
従って条件を満たす3つの自然数は2と3と5

# もし3数のうち2つが同じ数だとすると「1余る」という条件を満たしませんので、
# 「相異なる」という条件は特にいらないですね。
No.71622 - 2020/12/22(Tue) 01:52:24
☆ Re: 整数問題 / kei
らすかる様

いつもありがとうございます。
とても丁寧に過程を記述していただき、感謝しています。
1余るということは、ab-1がcで割り切れるということに着眼できなかったことを反省しています。
補足事項もありがとうございました！
No.71627 - 2020/12/22(Tue) 15:14:16
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