ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / タスかる

写真の問題の解法がわからず困っています。
よろしければ教えてください

No.71607 - 2020/12/21(Mon) 16:42:14

☆ Re: / X

大問が2問ありますがどちらの問題ですか？

No.71608 - 2020/12/21(Mon) 19:06:00

☆ Re: / タスかる

> 大問が2問ありますがどちらの問題ですか？

2題ともです。すみません

No.71612 - 2020/12/21(Mon) 20:14:25

☆ Re: / X

大問5
一見積分の計算が必要に見えますが
積分を使う必要はありません。
(1)
△OAH,△OBIの面積をそれぞれT,Uとすると
条件から
S[1]+U=S[2]+T
∴S[1]=S[2]+T-U (A)
ここで
T=(1/2)OH・AH=(1/2)・2・(1/2)=1/2 (B)
U=(1/2)OI・BI=(1/2)・3・(1/3)=1/2 (C)
(A)(B)(C)より
S[1]=S[2]

(2)
条件から
cos∠AOB=(↑OA・↑OB)/(OA・OB)
∴△OABの面積をS[3]とすると
S[3]=(1/2)OA・OBsin∠AOB
=(1/2)OA・OB√{1-(cos∠AOB)^2}
=(1/2)√{(OA・OB)^2-(↑OA・↑OB)^2}
=(1/2)√{(4+1/4)(9+1/9)-(6+1/6)^2}
=(1/12)√(17・82-37^2)
=(1/12)√(1394-1369)
=5/12
∴(1)の結果から
log[e](3/2)=S[2]=S[1]＜S[3]=5/12＜0.417

No.71613 - 2020/12/21(Mon) 20:36:47

☆ Re: / X

大問6
(1)
A=(3-1)^a+1
=Σ[k=0～a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)+1
=Σ[k=1～a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)+(aC0)(-1)^a+1
=Σ[k=1～a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)+(-1)^a+1
ここで条件からaは奇数なので
A=Σ[k=1～a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)-1+1
=Σ[k=1～a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)
∴Aは3の倍数

(2)
条件から
2^a+1=N・3^b
(Nは正の整数)
と置くことができる。
これより
2^a=N・3^b-1
∴A'=(N・3^b-1)^3+1
=…
(第1項を展開して整理し、
3^(b+1)を括り出してみましょう)

(3)
数学的帰納法で証明します。
(i)b=1のとき
…(これはご自分でどうぞ)
(ii)b=kのとき、問題の命題の成立、つまり
A=2^{c・3^(k-1)}-1は3^kで割り切れる
ことを仮定します。
このとき(2)の結果より
2^{3{c・3^(k-1)}}-1は3^(k+1)で割り切れる
ことが分かります。
ここで
2^{3{c・3^(k-1)}}-1＝2^{c・3^{(k+1)-1}}-1
∴問題の命題はb=k+1のときも成立。

No.71614 - 2020/12/21(Mon) 20:56:17

☆ Re: / タスかる

ありがとうございます。
もしよろしければ
下の画像の大問3もお教え下さい

No.71615 - 2020/12/21(Mon) 21:23:20

☆ Re: / IT

問題ごとに別々に質問された方が、質疑応答がしやすいですよ。

No.71618 - 2020/12/21(Mon) 22:08:31

★ 3次関数 / kei

高校２年です。

f(x)=x^3-ax+b (-1≦x≦1)における|f(x)|の最大値が1/4であるようなa,bの値を求めよ。ただし、0<a<3とする。

という問題なのですが、

f'(x)=3x^2-a=3{x+√(a/3)}{x-√(a/3)}

を計算した後、|f(x)|の最大値の候補が端点および極値のときだから

max{|f(-1)|,|f(-√(a/3))|,|f(√(a/3)|,|f(1)|}
=1/4

を考えることは分かるのですが、その後の場合分けはどのように進めていけばよいかお教え下さい。

よろしくお願いします。

No.71603 - 2020/12/21(Mon) 01:56:48

☆ Re: 3次関数 / らすかる

極大値・極小値とも-1≦x≦1の範囲内にあるため、f(x)のグラフの形から
f(-1)≧-1/4かつ(極大値)≦1/4かつ(極小値)≧-1/4かつf(1)≦1/4
を満たしていなければならないことがわかります。
f(-1)≧-1/4からa+b≧3/4
f(1)≦1/4からa-b≧3/4
2式を足して2a≧3/2すなわちa≧3/4
f(-√(a/3))≦1/4から(2a/3)√(a/3)+b≦1/4
f(√(a/3))≧-1/4から(2a/3)√(a/3)-b≦1/4
2式を足して(4a/3)√(a/3)≦1/2すなわちa≦3/4
従って条件を満たすためにはa=3/4
このときa+b≧3/4かつa-b≧3/4からb=0
∴(a,b)=(3/4,0)
(このとき|f(-1)|=|f(-1/2)|=|f(1/2)|=|f(1)|=1/4)

No.71604 - 2020/12/21(Mon) 07:57:39

☆ Re: 3次関数 / kei

らすかる様

ご丁寧な解説ありがとうございました！
とても良く分かりました。

No.71605 - 2020/12/21(Mon) 08:47:17

★ 三角関数 / kei

高校2年です。

f(x)=(3+2cosx)/√(2+cos2x) (0≦x≦π)
の取り得る値の範囲を求めよ、という問題なのですが、文系の範囲で微分を用いずに解くにはどうすればよろしいのかお教え下さい。

答えは√3/3≦f(x)≦√11となっています。

よろしくお願い致します。

No.71592 - 2020/12/20(Sun) 22:42:57

☆ Re: 三角関数 / らすかる

2+cos2x=2+2(cosx)^2-1=2(cosx)^2+1
0≦x≦πで-1≦cosx≦1なので、cosx=tとおけば
-1≦t≦1でg(t)=(3+2t)/√(2t^2+1)が取り得る値の範囲を求めることになります。
(g(t))^2=(3+2t)^2/(2t^2+1)=2+(12t+7)/(2t^2+1)
h(t)=(2t^2+1)/(12t+7)　（t≠-7/12）とすると
h(t)=(1/6)t-7/72+121/{72(12t+7)}
=(1/72){(12t+7)-14+121/(12t+7)}
h(t)＞0のときの最小値とh(t)＜0のときの最大値を求めます。

h(t)＞0のとき、つまり12t+7＞0すなわち-7/12＜t≦1のとき
(12t+7)+121/(12t+7)≧2√121=22
（等号は12t+7=121/(12t+7)すなわちt=1/3のとき）
なので、h(t)はt=1/3のときに最小値h(1/3)=1/9をとります。

h(t)＜0のとき、つまり12t+7＜0すなわち-1≦t＜-7/12のときは
(12t+7)+121/(12t+7)
=-{-(12t+7)-121/(12t+7)}≦-2√121=-22
（等号は-(12t+7)=-121/(12t+7)すなわちt=-3/2のとき）
となりますが、t=-3/2は-1≦t＜-7/12の範囲外なので
-3/2に近いt=-1のときに最大値をとると考えられます。
実際、-1＜t＜-7/12のとき
h(-1)-h(t)=2(t+1)(5t+13)/{-5(12t+7)}＞0
となりますので、確かにt=-1のときに最大値h(-1)=-3/5をとります。

よってh(t)は正の最小値が1/9、負の最大値が-3/5ですから、
1/h(t)=(12t+7)/(2t^2+1)は正の最大値が9、負の最小値が-5/3となります。
従って(g(t))^2=2+(12t+7)/(2t^2+1)は
最大値が2+9=11、最小値が2-5/3=1/3となりますので、
g(t)は最大値が√11、最小値が√(1/3)=√3/3となり（∵g(t)＞0）、
f(x)は連続関数ですから
f(x)のとる値の範囲は√3/3≦f(x)≦√11となります。

No.71595 - 2020/12/20(Sun) 23:51:32

☆ Re: 三角関数 / mathmouth

別解です.
らすかるさんと着目した部分は同じで、私は逆像法で考えて処理しています.

No.71597 - 2020/12/20(Sun) 23:56:24

☆ Re: 三角関数 / kei

らすかる様
mathmouth様

とても丁寧な解説、どうもありがとうございます！
しっかり復習して、きちんと解けるように頑張ります！

No.71602 - 2020/12/21(Mon) 00:39:42

★ 円に内接する四角形の問題 / 曲線のショコラ

この問題をしばらく考えているのですが、最初のBDしか求められていません。わかる方いれば、解き方を教えて頂けませんか？多分そんなに難しい問題ではないはずなのですが、つまってしまっています。よろしくお願いします。

No.71587 - 2020/12/20(Sun) 20:29:37

☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓

AB:
円の中心を O とすると，∠BCD＝60°から，∠BOD＝120°，
(1/2)∠AOB＝α，(1/2)∠AOD＝β とすると，α＋β＝60°…<1>
AB：AD＝1：2 より，sinα：sinβ＝1：2 …<2>
<1><2>より sinα＝(√21)/14，∴ AB＝2sinα＝(√21)/7

△ABD＝(1/2)AB･ADsin120°＝AB^2･(√3)/2＝(3√3)/14

取りあえずここまで。この先も結構面倒です。

No.71594 - 2020/12/20(Sun) 23:20:25

☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓

BE：DE＝3：4 より
　△ABE：△ADE＝△CBE：△CDE＝3：4　∴ △ABC：△ACD＝3：4 …<3>
∠ABC＝θ とすると ∠ADC＝180°－θ
　△ABC＝(1/2)AB･BCsinθ …<4>
　△ACD＝(1/2)AD･CDsin(180°－θ)＝(1/2)2AB･CDsinθ …<5>
<3><4><5>より
　BC：CD＝3：2 …<6>
　

No.71596 - 2020/12/20(Sun) 23:55:41

☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 曲線のショコラ

関数電卓さん、早速ありがとうございます。出だしだけでもわかるだけで、だいぶ違いますね。残りも、もう少し考えてみます。思ったよりも、面倒な問題だったようですね。

No.71598 - 2020/12/20(Sun) 23:57:01

☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓

ではこの先はヒントを。

C から BD に下ろした垂線の足を F とし，∠BCF＝γ，∠DCF＝δ とすると，
　γ＋δ＝60°…<7>
<6>より BC＝3k，CD＝2k とすると，
　BCcosγ＝CDcosδ …<8>
　BCsinγ＋CDsinδ＝BD＝√3 …<9>
<7><8><9>から k，sinγ，cosγ が求まり，以下は容易です。

No.71600 - 2020/12/21(Mon) 00:10:27

☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓

　AB＝(√21)/7, AC＝(2√21)/7, AB：AC＝1：2
　BC＝(3√21)/7, CD＝(2√21)/7, BC：CD＝3：2
です。
こんな数の組み合わせ，よく見つけたものですね！（驚？）

No.71617 - 2020/12/21(Mon) 21:56:05

★ 添削 / Ran

京大2011の過去問なのですが、添削していただきたいです。答えはあってます。

No.71585 - 2020/12/20(Sun) 19:42:02

☆ Re: 添削 / Ran

私の答えです。
語のはしょりとかはすいません。

ただ書かなければいけないところをはしょっていたり、逆にかきすぎとかは指摘して頂きたいです。よろしくお願いします。

ボールペンが好きで、字が汚くてすいません。

No.71586 - 2020/12/20(Sun) 19:43:42

☆ Re: 添削 / IT

0＜θ＜π/2 の根拠を示すべきでは？　特にθ＜π/2

P(x,x)も明記したほうが良いのでは。直線ｙ＝ｘを引いても良いかも。

AP、BPは結んで、θは図示したほうが良いのでは。（できればα、βも　補助線を使って表示）

No.71590 - 2020/12/20(Sun) 21:36:17

☆ Re: 添削 / mathmouth

ITさんのいう通りはじめから断りなく(0<)θ<π/2というのは良くないと思います.(θ>0はθの定義から大丈夫です.θ<π/2は「図より」と書いても微妙かもしれませんが何も根拠を書かないよりはマシです)
きちんと示すのであればA,Bを直径の両端とする円を描いてあげて直線y=xが常にその円の外部にある(点Pが円の外部にある)ことをいえば円周角の定理より割と直観と符合してθ<π/2が示せます.(この発想があるくらいなら、わざわざ数式で処理せずに図形的にアプローチして「三角形ABPの外接円が直線y=xに接するときθが最大値π/4をとる(∵円周角の定理)」とするほうが圧倒的に楽ですね.ものの数分で終わります.)
他の方法(例えばベクトルAPとベクトルBPの内積が正など)でもっと簡潔にθ<π/2が示せるかもしれませんが、そこまでしてはじめからθ<π/2を示すメリットはないと思います.(どうしても必要なら「図より」程度で良さそうです.ここは採点者の裁量の問題です.)

0<θ<π/2と述べているのにtanθに絶対値記号ltanθlをつけている意図もわかりません.つけなくてOKでしょう.
(別に0<θ<πであってもtanθに絶対値記号をつける意味はありません.)

Ranさんの定義の仕方だとBPの傾きが負のときθ=α-β+2πになることについても触れておいたほうがいいと思います.

θの範囲についてですが、
はじめは0<θ<πくらいにしておいて、とりあえずtanαとtanβが定義できて
tanθを加法定理によりxを用いて表したときxに依らずtanθが正となることがいえれば、(tanθという値がどんなx>0に対しても定義できて)どんなxに対してもtanθ>0なのでここで0<θ<π/2がいえます.
このようにπ/2をとるかもしれないθに対してもtanθの値を考えるとき、先に思い切ってtanθの値を導いて、それが絶対に有限値であることがわかればθはπ/2ではないし、分母が0となるようなことがあれば後に「ただし(分母)≠0」と断ればよくそれでπ/2以外のθに対するtanθの値を考慮できます.

No.71593 - 2020/12/20(Sun) 22:43:37

☆ Re: 添削 / Ran

>>>>このようにπ/2をとるかもしれないθに対してもtanθの値を考えるとき、先に思い切ってtanθの値を導いて、それが絶対に有限値であることがわかればθはπ/2ではないし、分母が0となるようなことがあれば後に「ただし(分母)≠0」と断ればよくそれでπ/2以外のθに対するtanθの値を考慮できます.

たしかにそうですね！
ありがとうございます！
わかりやすいしホントありがとうございました！

No.71625 - 2020/12/22(Tue) 08:40:12

★ 値域 / kei

高校2年です。
いつもお世話になっています。

実数x,yが0≦y≦x≦6を満たすとき、
x^3-2x^2y-x^2+7xy-5x-3y
の取り得る値の範囲を求めよ、という問題なのですが

与式をFとおき、yについて整理して
F=-(2x-1)(x-3)y+x^3-x^2-5x

yの傾きに着目して
0≦x≦1/2,3≦x≦6でxを固定するとy=0で
Fは最大値x^3-x^2-5xをとり、

x:0→1/2
x^3-x^2-5x:0→-21/8

x:3→6
x^3-x^2-5x:3→150

また、y=xでFは最小値-x^3+6x^2-8xをとり、
x=(6±2√3)/3で極値をとるので

x:0→1/2
-x^3+6x^2-8x:0→-21/8

x:3→6
-x^3+6x^2-8x:3→-48

以上から-48≦F≦150

と分かったのですが、あとは1/2≦x≦3のときxを固定して、上と同様にy=0でFが最小、y=xのときFが最大として考えていけばよろしいのでしょうか？

問題の答えが、与式が-48以上150以下になっていたので、これだけで完結できるのか疑問に思った次第です。

よろしくお願いします。

No.71582 - 2020/12/20(Sun) 06:17:28

☆ Re: 値域 / IT

>
> 以上から-48≦F≦150
>
> と分かったのですが、あとは1/2≦x≦3のときxを固定して、上と同様にy=0でFが最小、y=xのときFが最大として考えていけばよろしいのでしょうか？
>
> 問題の答えが、与式が-48以上150以下になっていたので、これだけで完結できるのか疑問に思った次第です。
>
これだけで完結できる　の「これだけ」とは？
「以上から-48≦F≦150」までだけ　ということですか？

厳密に確認していませんが
たまたま、1/2＜x＜3　では、最小値も最大値もとらないだけのような気がします。

No.71584 - 2020/12/20(Sun) 19:05:51

☆ Re: 値域 / kei

IT様

ありがとうございます。
続き(残り)もきちんと計算しておきます。

No.71589 - 2020/12/20(Sun) 21:31:30

★ 最大値 / kei

高校2年です。

直角をはさむ2辺の長さがx,yで、斜辺の長さがzの直角三角形を考える。ただし、周の長さは2pである。
いま、斜辺を軸として、直角三角形を1回転させてできる立体の体積が、直角をはさむおのおのをそれぞれ軸とし、三角形を1回転して得られる立体の体積和のm倍に等しい。
このとき、正の定数mの取り得る値の範囲を求めよ。また、zをm,pを用いて表せ。

という問題なのですが、斜辺を底辺と見たときの高さが(xy)/zなので、題意より
(1/3)π{(xy)/z}^2×z
=(1/3)πx^2×y+(1/3)πy^2×x

∴(xy)/z=m(x+y) (∵z=2p-(x+y))

∴m=xy/{(2p-(x+y))(x+y)}

三角形の成立条件より
x+y>z
x+y>2p-(x+y)
∴x+y>p

ここまで考えてみたのですが、この後の指針をお教え下さい。よろしくお願いします(答えは分かっておりません)。

No.71576 - 2020/12/19(Sat) 20:34:20

☆ Re: 最大値 / らすかる

m=xy/{(x+y)z}
=xy/{(x+y)√(x^2+y^2)}
=(y/x)/{(1+y/x)√(1+(y/x)^2)}
t=y/xとおくと
m=t/{(1+t)√(1+t^2)}
t＞0に注意して増減を調べることで
0＜m≦√2/4
（最大値はt=1すなわちx=yのとき、またx/y→0またはy/x→0のときm→0）
とわかりますね。

後半は
z^2=(x+y)^2-2xyと
m=xy/{(x+y)z}からxyを消去すれば
z=p{m+1-√(m^2+1)}/m
が導けます。
先にこの式を導き出してから
2(√2-1)≦z/p＜1
を使ってmの範囲を出すこともできますね。

No.71577 - 2020/12/19(Sat) 21:10:23

☆ Re: 最大値 / kei

らすかる様

いつも丁寧なご回答ありがとうございます。
実際に計算してみたのですが

mの範囲ですが、
m^2=t^2/{(1+t)^2(1+t^2)}
右辺をf(t)とおき微分すると、

f(t)の分子
=2t(1+t)(1-t^3)

f(t)の分母>0、f(0)=0、f(t)→0(t→∞)
に注意して

0<f(t)≦1/8

各辺の√をとって
0<m≦√2/4

また、後半はxy=m(x+y)zを
z^2=(x+y)^2-2xy⇔z^2+2xy=(x+y)^2
に代入して
z^2+2m(x+y)=(x+y)^2
両辺にm^2(x+y)^2を加えて
{z+m(x+y)}^2=(1+m^2)(x+y)^2

∴z+m(x+y)=(x+y)√(1+m^2)

z=(x+y)(√(1+m^2)-m)
z=(2p-z)√(1+m^2)-m)
{1-m+√(1+m^2)}z=2p(√(1+m^2)-m)

z=2p(√(1+m^2)-m)/{1-m+√(1+m^2)}

分母と分子に1-m-√(1+m^2)をかけて整理して

z={p(1+m^2-√(1+m^2))}/m

と、らすかる様のご回答の答えと無事に一致しました！かなり計算が大変だったのですが、もし、計算過程でもの変な部分(遠回りな部分)がございましたらお教え下さい。

式が見にくいうえ、とても欲張ったお願いで大変申し訳ございません。もし可能ならばお願い致します。

No.71578 - 2020/12/20(Sun) 00:49:44

☆ Re: 最大値 / らすかる

問題ないと思います。
私の計算量もほとんど同じでした。

No.71579 - 2020/12/20(Sun) 05:23:07

☆ Re: 最大値 / kei

らすかる様

どうもありがとうございました。

No.71581 - 2020/12/20(Sun) 05:51:36

★ (No Subject) / 綿あめ

Kを定数とするとxについての不等式|2x-3|≦x＋kを満たす実数xが存在するためにはk≧?@の時のみである。またこの不等式を満たすxの値の範囲に整数がちょうど8個ふくまれるときのkの値の範囲を求めよ

X＜3/2の時，x≧3/2の場合に場合分けするとどちらの場合も|2x-3|≦x＋kを満たすkの値の範囲はk＞-3/2になる。
そして|2x-3|≦x＋kを満たすxの値はk＞-3/2の時
1-(k/3)≦x≦k+3
…
前にこれと似た問題を解いたことがあるんですがその時のやり方(模範解答じゃなくて自己流）でやると条件を満たす範囲に8個の整数があるのなら7≦k+3-(1-k/3)＜8…＊というふうにやったけど確かこのやり方間違いだったはずだったと思う…

仮にkがk+3=2,1-(k/3)=9を満たす時なら7≦k+3-(1-k/3)＜8を満たす。
だけど仮にkがK+3=1.9 1-(k/3)=8.9を満たす値だとすると7≦k+3-(1-k/3)＜8は確かに満たすけど1-(k/3)≦x≦k+3を満たす整数の値は2,3,4,5,6,7,8の7個になり条件を満たさないから＊の条件から求めるkの値は求められなかったと思うんですがじゃあどうやってkの値の範囲求めればよいのでしょうか

No.71561 - 2020/12/19(Sat) 09:35:07

☆ Re: / らすかる

> X＜3/2の時，x≧3/2の場合に場合分けすると
> どちらの場合も|2x-3|≦x＋kを満たすkの値の範囲はk＞-3/2になる。

x＜3/2のときk＞-3/2
x≧3/2のときk≧-3/2
になると思います。

> どうやってkの値の範囲求めればよいのでしょうか
1-k/3≦x≦k+3を満たす整数xの値が8個であるためには、少なくとも
7≦(k+3)-(1-k/3)＜9である必要があります。
これを解いて15/4≦k＜21/4
1-k/3はk=15/4のとき-1/4、k=21/4のとき-3/4なので
1-k/3≦xはxが整数ならば0≦xと同じです。
よって8個であるためにはx=0～7が解にならなければいけませんので
x≦k+3から4≦k＜5と決まります。

# この問題ではたまたま左側の不等号から0≦xと決まりましたが、
# kの値によって0≦xまたは1≦xとなるような場合は
# 場合分けが必要になります。

No.71562 - 2020/12/19(Sat) 10:50:50

☆ Re: / 綿あめ

なんで1-k/3≦x≦k+3を満たす整数xの値が8個であるためには、少なくとも7≦(k+3)-(1-k/3)＜9(←ここが分からない）である必要があります
なんで最大値が9までなのでしょうか。…分かりません。

No.71572 - 2020/12/19(Sat) 17:59:07

☆ Re: / IT

数直線を描いてみるとわかると思います。

簡単のため、狭くして幅２のa,a+2の間（両端含む）に入る整数の個数を調べてみてください。

なお、
＞最大値が9まで
＜9　なので、９は含まれていません。

No.71573 - 2020/12/19(Sat) 18:33:25

☆ Re: / らすかる

例えば「1～8の整数を含む区間」は
最も小さいとき 1≦x≦8 で幅7
ほぼ最大のとき 0.000000001≦x≦8.999999999 で幅8.999999998
のようになりますので、7≦(区間の幅)＜9となります。

No.71580 - 2020/12/20(Sun) 05:26:55

★ (No Subject) / 綿あめ

台形ABCDにおいてAD∥BC，AB=8,BC=10,DA=6,cos∠BCD=11/24 とし∠ADCの二等分線は辺BCと点Eで交わっているとする

辺BCの長さは
?@7 ?A8 ?B9 ?C10 5⃣?@～4⃣はどれも正しくない

AD∥BCより∠ADE＝∠CDE＝∠DEC
より三角形CDEは二等辺三角形
よってCD＝xとすると
余弦定理からDE＾2＝(13/12)x^2
また三角形CDEと予言定理を用いてcos∠DEC=√39/13
からcos∠DEB=－√39/13

▲BEDと余弦定理から
BD^２=(25/12)x^2－(253/12)x＋665/6…?@
また三角形BCDにおいて余弦定理より
BD^2=100＋x^2-(55/6)x…?A

?@=?Aより
13(x＾2)－143x＋130＝0
13(x＾2－11x＋10)＝0
(x－1)(x－10)＝0
x＝1，10

ってなったのですが…これあってますかね…。この後の問題解いていくと何か違う気がするんですが…

No.71560 - 2020/12/19(Sat) 09:31:14

☆ Re: / らすかる

残念ながらあっていません。
×予言定理
○余弦定理

×cos∠DEC=√39/13
○cos∠DEC=√39/12

×cos∠DEB=-√39/13
○cos∠DEB=-√39/12

×BD^２=(25/12)x^2－(253/12)x＋665/6…?@
○BD^2=x^2-(55/6)x+100

上3つは単純な記載ミスだと思いますが、
最後の一つは途中計算をミスっています。
おそらく余弦定理の式の中の2*BE*DE*cos∠DEBのDEは
DE=(√(13/12))xでなければいけないところが
DE=(√(13/12))としてしまったのでしょう。

あと、CDを求めるのにその計算は遠回りすぎます。
Dを通りABと平行な直線とBCの交点をFとすると
四角形ABFDは平行四辺形となり、
BF=AD=6からFC=4
DF=AB=8
なので
8^2=4^2+CD^2-2*4*x*(11/24)
からただちにCD=9と求まります。

No.71563 - 2020/12/19(Sat) 11:38:30

★ (No Subject) / 綿あめ

1組のトランプのカードからハート，ダイヤ，スペード，クラブそれぞれのマークについて1,2,3,4が書かれたカードを一枚ずつ合計16枚取り出す。この16枚の中から3枚のカードをむき出し左から並べて3桁の整数を作るものとする

(1)3枚のカードが全部同じマークになるような並べ方は何通りあるか
?@72 ?A84 ?B96 ?C108 ?D上の4つの答えはどれも正しくない

4×4^3=256(使うマークの選び方×それぞれのカードの書かれている数字の選び方)

(2)3枚のカードが全部異なるマークになるような並べ方は
?@1536 ?A2304 ?B3072 ?C3840 ?D上の答えはどれも正しくない

4P3×4^3=1536{(ハート，ダイヤ，スペード，クラブの書かれた4枚のカードから3枚を選んで並べる)×(それぞれのカードに書き入れる数字の選び方)}

(3)3枚のカードがすべて同じマークになり完成した3桁の整数が3の倍数になるときの並べ方は何通りか
?@48 ?A60 ?B72 ?C84 ?D上の答えはどれも正しくない

M=100a＋10b＋cとするとMが3の倍数になるのはa＋b＋cが3の倍数になる時であり
3≦a＋b＋c≦12より
条件を満たすa＋b＋cの値は3,6,9,12であり
A＋b＋c＝3の時(a、b、c)＝(1,1,1)
A＋b＋c＝6の時
(a,b,c)=(1,1,4)(1,2,3)(1,3,2,)(1,4,1)
=(2,1,3)(2,2,2)(2,3,1)
=(3,1,2)(3,2,1)
=(4,1,1)

A＋b＋c=9の時
(a,b,c)=(1,4,4)
(2,3,4)(2,4,3)
(3,2,4)(3,3,3)(3,4,2)
(4,1,4)(4,2,3)(4,3,2)(4,4,1)
A＋b＋c＝12の時
(a,b,c)=(4,4,4)
よって4×(1＋10＋10＋1)=4×22＝88

(4)3枚のカードの内2枚が同じマークで1枚だけがほかのカードと異なるマークになり完成した3桁の整数が3の倍数になるような並び方は
?@144 ?A288　?B432　?C576 ?D上の答えはどれも正しくない
(3)より3桁の数字が3の倍数になるような数字の並べ方は22通り
数字が書かれたカードに付け加える記号(ハート，スペード，クラブ，ダイヤ)の選び方は
4C2=6通り
さらに記号の記入の仕方はそれぞれ3通り
例　左）ハートの1,ハートの1,ダイヤの1(右)
　　左）ハートの1 ダイヤの1 ハートの1(右)
　　左)ダイヤの1 ハートの1 ハートの1　(右)

よって22×6×3=396

(5) 3枚のカードの内2枚が同じマークで1枚だけがほかのカードと異なるマークになり完成した3桁の整数が6の倍数になるような並び方は
M=100a＋10b＋cとするとMが６の倍数になるのは4(a＋b)＋cが６の倍数になるときである
また9≦4(a＋b)＋c≦36よりこの中で6の倍数は12,18.24.30,36である
?@4(a＋b)＋c＝12の時
4(a＋b)＝12－c
C=4の時12－cは4の倍数になりこの時a＋b＝2
よって条件を満たすa,b,cの値は(a,b,c)=1,1,4
以下同様に. 4(a＋b)＋c＝18,24,30,36を満たすa,b,cの値を求めていくと条件を満たすa,b,cの組み合わせは全部で11通りある
そしてそれぞれの3つの数字の列に記号を記入する方法は(4)と同様に考え4C2×3通りある
よって11×6×3=198
…

(2)以外全部答え?Dになる…。そんなことあるかなぁ？あってる？

No.71559 - 2020/12/19(Sat) 09:30:12

☆ Re: / らすかる

> この16枚の中から3枚のカードをむき出し左から並べて3桁の整数を作るものとする

「カードをむき出す」とはどういう意味ですか？
「カードを取り出す」と意味が違うのですか？
方言か何かですか？

No.71564 - 2020/12/19(Sat) 11:54:22

☆ Re: / 綿あめ

カードを取り出すの書き間違いです。

No.71565 - 2020/12/19(Sat) 12:10:00

☆ Re: / ヨッシー

まぁ、「抜き出す」と書きたかったのでしょうね。

さて、たとえば (3) で、条件を満たす並べ方の１つとして、
３枚ともハートとしましょう。このとき
　ａ＋ｂ＋ｃ＝１２
になるときと言うのは、何と何と何を並べたときですか？

「スペードの２」と「クラブの４」と「ダイヤの３」のように書いてみてください。

No.71566 - 2020/12/19(Sat) 13:15:29

☆ Re: / らすかる

(1) 4×4P3=96(あるいは16×3×2=96)なので?B
(4はマークの種類、4P3は4枚から3枚選んで並べる場合の数)

(2) 正しいです。

(3) 3の倍数になるのは(1,2,3)か(2,3,4)を選んだときなので
4×2×3!=48通りとなり?@

(4)
同じマークの2枚の和が
(a)3の倍数→(1,2),(2,4)の2通り
(b)3で割って1余る数→(1,3),(3,4)の2通り
(c)3で割って2余る数→(1,4),(2,3)の2通り
異なるマークの1枚は
(a)のとき3のみ、(b)のとき2のみ、(c)のとき1または4
よって求める場合の数は
(1+1+2)×2×4P2×3!=576通りとなり?C
(4P2はマークの種類、3!は並べる順番)

(5)
(1,2)と3のとき偶数は1個、(2,4)と3のとき偶数は2個
(1,3)と2のとき偶数は1個、(3,4)と2のとき偶数は2個
(1,4)と1のとき偶数は1個、(1,4)と4のとき偶数は2個
(2,3)と1のとき偶数は1個、(2,3)と4のとき偶数は2個
従って(4)のうち半分は偶数が1個、半分は偶数が2個なので
(1/2)×(1/3)+(1/2)×(2/3)=1/2から
求める場合の数は(4)のちょうど半分となり288通り
(選択肢が書かれていませんので何番になるかはわかりません)

No.71567 - 2020/12/19(Sat) 13:33:32

☆ Re: / 綿あめ

これ2日ぐらい前に解いた問題でもう一回自力で解いてみたんですけど(らすかるさんの答えを見る前に)答え合わないんですがなんでかわかりますか？

(4)の問題
1から4の数字を並べる(最大2個まで同じ数字を使っていい←違うマークをつければいいから。(例えばハートの1とスペードの1という風に))時3桁の数字が3の倍数になるような数字の選び方は?@1,4,4　?A2,3,1 ?B3,4,2が考えられる

?@使う数字が1,4,4の時
数字の並べ方が3通り
使用するマークの選び方が4C2＝6通り
さらにどのマークを2枚のカードに書き入れるかを考えるとさらに2通り考えらえる
そして並べたカードに記号を記入する仕方は2通り(2枚のうちのどちらか一方の1と４)
よって3×6×2×2＝72通り

?A使う数字化2,3,1の時
この3つのカードの並び方は3通り
このカードに書き入れる記号の選び方は4C2＝6通り
さらにどの記号を2枚のカードの書き入れるかを考えるとさらに2通り考えられる
そしてカードの記号を記入する仕方が3通り
(例：ハートの1 ハートの2 ダイヤの3
　　ハートの1 ダイヤの2 ハートの3
ダイヤの1 ハートの2 ハートの3）
＜2枚のカードのハートを書き入れる場合＞

よって6×6×2×3=216通り

?B　?Aと同様に考え216通り

?@から?Bより216×2＋72=504通り

らすかすさんのやり方分かったんですけどなんでこれだとうまくいかないか分かりません…

No.71570 - 2020/12/19(Sat) 17:51:48

☆ Re: / らすかる

1,1,4が抜けています。

No.71575 - 2020/12/19(Sat) 19:47:46

★ 大学1年の問題です / ASI

3の(c)がどのように書けばいいのか分かりません。線の下は(a)(b)を解いた結果です。
お願いします。

No.71547 - 2020/12/18(Fri) 13:50:04

☆ Re: 大学1年の問題です / ast

質問者さんの (2) の計算が間違っている (おそらく被積分函数に分母があるのを忘れてる) から出ないだけですね. 本来なら (c) の指示の通りにするだけで (1) の積分がそのまま求める和の形そのものにちゃんと書き変わります.

No.71548 - 2020/12/18(Fri) 15:17:20

☆ Re: 大学1年の問題です / ASI

すみません、こうなりますでしょうか?

x=sin(y)
y:0→π/2

∫[0,π](sin(y))^(2n+1)dy
=B(n+1,1/2)
=√πn!/Γ(n+3/2)
=√πn!((n+1/2)(n-1/2)•••(1/2)Γ(1/2))^(-1)
=2^(n+1)n!/((2n+1)!!)

No.71554 - 2020/12/18(Fri) 22:24:23

☆ Re: 大学1年の問題です / ast

少し間が空いてしまった気がしますが, 当初の (c) に関する疑問は解決なさったでしょうか. 解決している場合は No.71544 に対する返答はもちろん無用かと思いますが, 解決していない場合でも (2) や (c) について今のところ付け加える必要がある点は特にないと考えています. 敢えて言うなら, なぜ No.71554 の最後の式を (b) の結果と揃えないのか, というくらいでしょうか.

あと, 直截の回答でない点で補足するとすれば, No.71544 で出てきた sin(y)^(2n+1) の積分は高校数学の範囲の知識でじゅうぶん解けます ( I_n:=∫[0,π/2]sin(θ)^(2n+1)dθ と置いて部分積分を複数回用いれば, 数列 {I_n} に関する漸化式が得られる). 大学一年生向けの問題ということであれば, 想定される解答はこちらを用いたものではないでしょうか.
# まあベータ函数やガンマ函数を抵抗なく使いこなせる方であれば, 手段を制限されるいわれもないとは思いますが.

No.71642 - 2020/12/22(Tue) 23:36:54

★ 集合 / エル

集合A、B、Cの要素の個数をそれぞれ

n(A)=16、n(B)=48、n(C)=78

とし、n(A∨B)=kとする。また、

n(A∨B)：n(B∨C)：n(C∨A)=2:4:3

とする。kが最大になる時のn(A∨B∨C)の値を全て求めよ。

よろしくお願いします。

No.71541 - 2020/12/18(Fri) 02:09:04

☆ Re: 集合 / X

n(A∨B):n(B∨C):n(C∨A)=2:4:3
より
n(A∨B)/2=n(B∨C)/4=n(C∨A)/3
これと
n(A∨B)=k (A)
により
n(B∨C)=2k (B)
n(C∨A)=3k/2 (C)
さて、
n(A)=16、n(B)=48、n(C)=78
により
n(A∨B)に対して
(A)より2k≦16
∴k≦8 (A)'
n(B∨C)に対して
(B)より2k≦48
∴k≦24 (B)'
n(C∨A)に対して
(C)より3k/2≦16
つまりk≦32/3 (C)'
(A)'(B)'(C)'より
k≦8
(C)よりkが偶数しか取れないことに注意すると
kの最大値は8
このとき(A)(B)(C)より
n(A∨B)=8
n(B∨C)=16
n(C∨A)=12
∴n(A∨B∨C)の取りうる値は
0,1,2,3,4,5,6,7,8

No.71544 - 2020/12/18(Fri) 04:45:25

☆ Re: 集合 / エル

回答ありがとうございます。

問題を間違えてました。n(A∧B∧C)でした。

kの最大値は62だそうです。答えは0または1だそうです。

なぜそうなるのかわからないです。あらためてお願いします。

No.71546 - 2020/12/18(Fri) 12:06:29

☆ Re: 集合 / X

ごめんなさい。
∩と∪の意味を取り違えていました。
改めて回答を。

n(A∨B):n(B∨C):n(C∨A)=2:4:3
より
n(A∨B)/2=n(B∨C)/4=n(C∨A)/3
これと
n(A∨B)=k (A)
により
n(B∨C)=2k (B)
n(C∨A)=3k/2 (C)
ここで
n(A)=16 (D)
n(B)=48 (E)
n(C)=78 (F)
により
48≦n(A∨B)≦48+16
78≦n(B∨C)≦78+48
78≦n(C∨A)≦78+16
これらに(A)(B)(C)を代入すると
48≦k≦64 (G)
78≦2k≦126 (H)
78≦3k/2≦94 (I)
(G)(H)(I)を連立で解き
52≦k≦188/3=62+2/3
∴kの最大値は62
このとき、(A)(B)(C)から
n(A∨B)=62 (A)'
n(B∨C)=124 (B)'
n(C∨A)=93 (C)'
(A)'(D)と
n(A∨B)=n(A)+n(B)-n(A∧B)
から
n(A∧B)=n(A)+n(B)-n(A∨B)
=16+48-62
=2 (J)
同様にして
n(B∧C)=n(B)+n(C)-n(B∨C)
=48+78-124
=4 (K)
n(C∧A)=n(C)+n(A)-n(C∨A)
=78+16-93
=1 (L)
(J)(K)(L)のうち最も小さい値をmとすると
m=1
0≦n(A∧B∧C)≦m
∴n(A∧B∧C)=0,1

No.71549 - 2020/12/18(Fri) 16:05:43