ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 固有多項式 / aki

画像のような固有多項式を表す方法を教えてください

No.72078 - 2021/01/13(Wed) 01:39:07

☆ Re: 固有多項式 / aki

自分でやってみたのですが、画像のようになりうまくいきません。

No.72080 - 2021/01/13(Wed) 01:41:06

☆ Re: 固有多項式 / ヨッシー

使うのは、

この公式です。これを使って

のように、バラしていけば出来ます。

No.72087 - 2021/01/13(Wed) 10:43:47

☆ Re: 固有多項式 / ast

どうやら質問者さんは No.72078 のように各列ごとに展開した後

|a[11] a[12] a[13]|　|b[11] b[12] b[13]|
|a[21] a[22] a[23]|+ |b[21] b[22] b[23]|
|a[31] a[32] a[33]|　|b[31] b[32] b[33]|

　|a[11]+b[11]　a[12]+b[12]　a[13]+b[13]|
= |a[21]+b[21]　a[22]+b[22]　a[23]+b[23]|
　|a[31]+b[31]　a[32]+b[32]　a[33]+b[33]|

になるのではないかと考えて計算した結果が No.72080 という意味で質問されているように見受けられます.
うまくいかないと仰っているので分かっているものとは思いますが, これは誤り (「行列式の和」|A|+|B| は「行列の (要素ごとの) 和の行列式」|A+B|とは一般には一致しない) です.

結論から言うと, 各項 ("+" で繋がれてるそれぞれの行列式) の値はそれぞれ行列式の定義に従って計算してから (それらの結果は多項式に (とくに単項式に) なりますので) 多項式として和を計算してくださいということですね. (まあそもそも3×3行列の行列式の計算の仕方そのものが分からないからこんな質問をしている, という可能性のほうが高い気はするのですが, もしそうであるならばさすがにそれは掲示板でやる様なことではなく教科書の受け持ちだと思いますので, 深入りしません.)

# まあでも個人的にはそもそも No.72078 のように展開する必要性を感じませんが……
## たしかに行列式は行列の要素に 0 が出てくるほど計算しやすいですし
## No.72078 はそのままで降冪の順になるようにあらかじめ並べてある
## などの配慮は見受けられますが.

No.72094 - 2021/01/13(Wed) 17:56:07

★ (No Subject) / 中田

大学２回生です。

Σ[0] = {(a1, b1] ∪ · · · ∪ (an, bn] | n ∈ N, 0 ≤ a1 ≤ b1 ≤ · · · ≤ an ≤ bn ≤ 1} は (0, 1] 上の
有限加法族であるが、σ-加法族ではないと定める

ν[0](F) =(F＝∅の時0　F＝∅でない時∞)

と ν[0] を定義したとき、ν[0] は ((0, 1], B(0, 1]) の測度へと拡張できる。ν[0] が可算加法的であることを示せ。さらに、
T(F) = (F の元の個数)
と定義すると、Tは ((0, 1], B(0, 1]) 上の測度であることと Σ[0] 上では ν[0] と等しくなることを示せという問題が分かりません。

どなたか解答をお願いします。

No.72074 - 2021/01/13(Wed) 00:26:49

☆ Re: / ast

これはもともとの文書から何か改変 (あるいはおかしな切り取り方) がなされているのではないかと疑っています. もしそうならもともとどういう文章だったかちゃんとわかるように何等かの資料を必ず提示して欲しいと思います. とりあえず特に気になったいくつかの点に関しては書いておきます.

> 有限加法族であるが、σ-加法族ではないと定める
そのように「定める」のは変です (例えば「調べてそうとわかった」というなら意味が通りますが, 定めるというのはそういう意味にはなりえませんし).

> と ν[0] を定義したとき
これはどこ上で定義されているの (つまり ν[0] の定義域は何) ですか? (F はどの集合から取ってきている?)
"(F＝∅の時0　F＝∅でない時∞)" だけなら任意の σ-加法族で (もっと言えば任意の集合族で) 定義できますが, それだと
> ((0, 1], B(0, 1]) の測度へと拡張できる
が (とくに「拡張できる」が) 意味不明になるので, 特定の加法族が定義域のはず.

> ν[0] が可算加法的であることを示せ
これもどこ上で σ-加法的だと言っているのかはっきりしてください.

> という問題が分かりません。
結局問題の内容, あるいは質問の内容はどこからどこまでなのでしょうか, 聞きたいのは最後だけ (…では, おそらくは, ないですよね)? 少なくとも「を示せ」というのが複数出てきますが, それぞれが別々の「問題」なのですか (そうであった場合, 質問したい問題はどれですか)?
示せと明示的に言われている以外の部分でも非自明で証明すべき点がいくつもありますが, それは「問題」ですか?

とりあえず,
> Tは ((0, 1], B(0, 1]) 上の測度であることと Σ[0] 上では ν[0] と等しくなることを示せ
については, 内容は「空でない Σ[0] の元は無限集合であることを示せ」という意味ですから, 自明だと思います.

No.72097 - 2021/01/13(Wed) 18:44:26

★ (No Subject) / ぴと

2番がわかりません。
教えてくださいお願いします泣

No.72070 - 2021/01/12(Tue) 23:14:30

☆ Re: / X

問題の直円錐の底面の円の半径をx、高さをhとすると
V=(1/3)πhx^2 (A)
一方円錐の表面積をSとすると
S=πx^2+(πh^2)(x/h)
=πx^2+πhx (B)
(A)より
h=3V/(πx^2)
これを(A)に代入し
S=πx^2+3V/x

後は0＜xにおけるSの増減表を書きます。

No.72082 - 2021/01/13(Wed) 05:56:27

☆ Re: / ヨッシー

X さん

側面(というのか？）の面積の方は、
　π×(底面の半径)×(母線の長さ)
なので、ｘとｈとで母線を表さないといけないのでは？

かくいう私も、解き切れていません。

No.72083 - 2021/01/13(Wed) 06:18:28

☆ Re: / X

＞＞ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞ぴとさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
改めてアップします。

問題の直円錐の底面の円の半径をx、高さをhとすると
V=(1/3)πhx^2 (A)
一方、円錐の表面積をS、側面の母線の長さをl
とすると
S=πx^2+(πl^2)(x/l)
=πx^2+πlx (B)
l=√(x^2+h^2) (C)
(B)に(C)を代入して
S=πx^2+πx√(x^2+h^2) (B)'
一方、(A)より
πx^2=3V/h
これと(B)'から
S=πx^2+(πx^2)√{1+(h/x)^2}
=3V/h+(3V/h)√{1+{π/(3V)}h^3} (B)"
このままhに対するSの増減を考えてもよいのですが
計算が面倒なので変数を置き換えます。
3V/h=u
と置くと
3V/u=h
で(B)"は
S=u+u√{1+(9πV^2)/u^3} (B)"'
∴dS/du=1+√{1+(9πV^2)/u^3}-(3/2){(9πV^2)/u^3}/√{1+(9πV^2)/u^3}
=1+{1-(1/2)(9πV^2)/u^3}/√{1+(9πV^2)/u^3}
となるので、
dS/du=0
のとき
{1-(1/2)(9πV^2)/u^3}^2=1+(9πV^2)/u^3 (D)
1＜(9πV^2)/u^3 (E)
(D)より
{u^3-(1/2)9πV^2}^2=u^6+(9πV^2)u^3
(18πV^2)u^3=(81/4)(π^2)V^4
u^3=(9/8)πV^2 (D)'
これは(E)を満たします。
(D)'のとき、(B)"'は
S=4u (∵)√の中のu^3を消去します。
=4{(9/8)πV^2}^(1/3)
=(72πV^2)^(1/3)
ここで
lim[u→+0]S=∞
lim[u→∞]S=∞
で0＜uにおいて(B)"'は連続ですので
(D)'のときSは極小、つまり最小となり
命題は成立します。

注1)
始めは(A)を使って(B)'からhを消去する方針でしたが
それだとxの次数が上がって計算が煩雑なため
xを消去してみました。

注2)
(A)の下での(B)'の条件付き極値問題として
ラグランジュの未定乗数法を使う方針も
考えましたが、極値を与える独立変数についての
連立方程式を解く段階で挫折しました。

No.72095 - 2021/01/13(Wed) 18:04:25

★ 大学数学 / 森

U = { z∊C ; |z|=1 } とする。写像 f;R→Uをf(x)=e^(2πix)と定める。ただし、Rを和により、Uを積により群とみなす。
(1)集合f^-1(1)を求めよ。
(2)x,y∈Rに対して、関係x～yをf(x)=f(y)が成り立つとき、これは同値関係になることを示せ。
(3)前問の同値関係による剰余群R/～はUと群として同型であることを示せ。
(4)商空間R/～はUと同相であることを示せ。

解けたところまで記載します。
(1)f^-1(x)=2πi/logxと出ましたが、x=1を代入すると分母が0になるため、訳が分からなくなってしまいました。
(2)は解けたので大丈夫です。
(3)と(4)に関しては証明の過程が分からないので、ご教授願います。

No.72069 - 2021/01/12(Tue) 23:10:40

☆ Re: 大学数学 / 森

(1)解決しました！
(3)と(4)のみお願いいたします。

No.72072 - 2021/01/13(Wed) 00:03:03

★ (No Subject) / 新田

(1)は分かったのですが(2)が分かりません。わかる方よろしくお願い致します。

No.72059 - 2021/01/12(Tue) 21:02:28

☆ Re: / 関数電卓

> (1)は分かったのですが
(1) ∂(x,y,z)/∂(r,θ,z)
の結果はどうなりました？

No.72062 - 2021/01/12(Tue) 21:49:50

☆ Re: / 新田

rになりました。

No.72063 - 2021/01/12(Tue) 21:51:23

☆ Re: / 関数電卓

　∫∫∫_V(x^2＋y^2＋z^2)dxdydz＝∫∫∫_V(r^2＋z^2)rdrdθdz …(*)
の右辺を
　r について 0～1 で，
　θについて 0～2π で，
　z について 0～1 で
積分するだけです。ある文字で積分するとき，他の文字は定数です。積分の順序はお好きに！

No.72065 - 2021/01/12(Tue) 22:17:41

★ (No Subject) / なかむ

証明問題ですどなたか教えてください

No.72058 - 2021/01/12(Tue) 20:43:58

☆ Re: / 関数電卓

(2) 媒介変数表示された曲線
　x＝f(t), y＝g(t), a≦t≦b
の長さ l が
　l＝∫[a,b]√{(f’(t))^2＋(g’(t))^2}dt
で計算できることはお分かりですか？

No.72061 - 2021/01/12(Tue) 21:19:19

☆ Re: / なかむ

はい、わかります

No.72064 - 2021/01/12(Tue) 22:01:49

☆ Re: / 関数電卓

> はい、わかります
であれば，あとはコツコツ計算するだけですね。一見大変そうですが，√ もはずれて積分しやすい形になります。
(1)は
　x＝(cos(t))^3，y＝(sin(t))^3
と媒介変数表示できます。
(3)は，x,y のまま計算した方が良いですね。

No.72066 - 2021/01/12(Tue) 22:40:26

☆ Re: / なかむ

ありがとうございます！！

No.72071 - 2021/01/12(Tue) 23:15:33

★ (No Subject) / あｓ

X:集合,A:ルベーグ可測集合,μ:ルベーグ測度に対し、(X,A,μ):測度空間とする。

s(x)=Σ_{1≦i≦n} ai・χ_Ei，ai≠0，Ei：A-可測集合とするとき、

(‖s‖_Lp)^p = Σ_{1≦i≦n} |ai|^p・μ(Ei)
が成り立つとある教科書に書かれていたのですが、なぜ成り立つのでしょうか。

ご教授頂けると幸いです。

No.72046 - 2021/01/12(Tue) 17:19:52

☆ Re: / あｓ

補足です。

μ({x∊X:s(x)≠0})<∞が前提で示されていました。

No.72060 - 2021/01/12(Tue) 21:07:08

☆ Re: / ast

定義通り左辺を計算しただけ (まあ式を整理する程度の多少の計算くらいはするけど) だと思います.
# ただし, "≤" でなく "=" が成り立つと書かれているのならば, {E_i} についてまだちょっとした条件がついているはずですが.

No.72096 - 2021/01/13(Wed) 18:07:27

★ 追加です。すいません / めぐみ

こちらの2問も解答が分からないです。立て続けに申し訳ございません。どなたかよろしくお願い致します

No.72045 - 2021/01/12(Tue) 16:58:20

☆ Re: 追加です。すいません / 関数電卓

(2) z＝log(e^x＋e^y) に対し，
∂z/∂x の計算は出来ますか？

No.72049 - 2021/01/12(Tue) 18:21:12

☆ Re: 追加です。すいません / めぐみ

> (2) z＝log(e^x＋e^y) に対し，
> ∂z/∂x の計算は出来ますか？

考え直して計算したところ出来ました！ありがとうございます！

No.72051 - 2021/01/12(Tue) 18:46:56

★ (No Subject) / せい

下の▲ABCがあり、辺BCを直径とする円が辺AB、辺ACに交わる点をそれぞれD、Eとする。AB＝16、BC＝14、CA＝10のとき
BD.DE.ECを求めろ。

この問題でどの公式を使って解けばいいですか？

No.72042 - 2021/01/12(Tue) 15:34:13

☆ Re: / らすかる

BCが円の直径であることからBD⊥CDなので
BD^2+CD^2=BC^2 → BD^2+CD^2=196
AD^2+CD^2=CA^2 → (16-BD)^2+CD^2=100
2式の差をとって 32BD-256=96
∴BD=11
BCが円の直径であることからBE⊥ECなので
EC^2+BE^2=BC^2 → EC^2+BE^2=196
AE^2+BE^2=AB^2 → (10-EC)^2+BE^2=256
2式の差をとって 20EC-100=-60
∴EC=2
AD=AB-BD=5、AE=CA-EC=8
△ABC∽△AEDで相似比は2：1なので、DE=(1/2)BC=7

No.72043 - 2021/01/12(Tue) 16:44:09

☆ Re: / せい

ありがとうございます！

No.72047 - 2021/01/12(Tue) 17:22:59

★ 同相写像 / 鹿

Cを複素数全体の集合とし、
S^3={(x,y,z,w)∈R^4 : x^2+y^2+z^2+w^2=1}を3次元球面とする。このとき、C^2-{(0,0)}からS^3×Rへの同相写像を定義し、それが実際に同相写像になっていることを確かめよ。
この問題で、具体的なC^2-{(0,0)}からS^3×Rへの同相写像が求められません。
ご教授お願いいたします。

No.72035 - 2021/01/12(Tue) 11:09:01

☆ Re: 同相写像 / ast

次元を2つ下げたバージョン: C-{0} ≈ S^1×R ("≈" は同相を表すものとします) は実質的に極形式を考えるだけなので, 本問も同様にできるのでは.
# C,C^2 と書く意味があまりないので最初から R^2, R^4 で考えていいと思います.
# そうすれば常に R^(n+1)-{0} ≈ S^n×R_+ (≈ S^n×R) は同じ仕方で出る.
## ただし, R_+ は正の実数全体とします. また, R と R_+ の同相性は既知と仮定しました.

No.72036 - 2021/01/12(Tue) 13:00:46

☆ Re: 同相写像 / 鹿

そのような考え方があるのですね！
参考にさせていただきます。

No.72068 - 2021/01/12(Tue) 22:59:34

★ 教えてくださいまし / 抹茶

僕は数学の自作問題を作るのが趣味な中学２年生(中学３年生の必修範囲までは大体知ってます)のですが、自分が作った問題なのに答えだけわかって、解き方がわかりません。高校から大学の範囲の知識で解ける問題なのでしょうか。よろしくお願いします。ちなみに答えは((t^2-t)/2，t-1)だと思います。
問題
原点をOとする座標平面上に、点A(1＋2＋3＋…＋t，t＋1)をとる。
直線OA上に、x座標とy座標がともに整数値である点Bをとった。点Bの座標を求めよ。

No.72027 - 2021/01/12(Tue) 00:08:45

☆ Re: 教えてくださいまし / らすかる

例えばt=6のときA(21,7)なので
線分OA上に(3,1),(6,2),(9,3),(12,4),(15,5),(18,6)があります。
((t^2-t)/2,t-1)はこのうち(15,5)だけしか言っていませんので
正しくないと思います。
（「((t^2-t)/2,t-1)がOA上にある」は正しいですが、
　「OA上にある格子点は((t^2-t)/2,t-1)」は正しくないということです。）

線分OA上にある全格子点は
(nt/2,n)
（ただしnはtが偶数のとき1≦n≦tを満たす整数、
　tが奇数のとき2≦n≦t-1を満たす偶数）
です。

No.72029 - 2021/01/12(Tue) 04:38:01

★ 集合 / 鹿

R^3を3次元ユークリッド空間とすると、次の部分集合がそれぞれ開集合、閉集合、どちらでもない、のいずれかであるかを理由とともに答えよ。
(1)D={(x,y,z)∈R^3 : x≠0,y≠0,z=0}
(2)原点(0,0,0)
この2問が分かりません。よろしくお願いいたします。

No.72021 - 2021/01/11(Mon) 21:42:54

☆ Re: 集合 / IT

開集合、閉集合　の定義はどうなっていますか？

No.72022 - 2021/01/11(Mon) 21:51:47

☆ Re: 集合 / 鹿

定義はある程度理解しているつもりですが、証明に自信がありません。
例えば、R^2を2次元ユークリッド空間としたときA={(x,y)∈R^2 : x^2+y^2=1}に関して、
f:R^2→R,f(x,y)=x^2+y^2とすると、fは連続であり、A=f^-1({1})
ここで{1}はRの閉集合なのでAはR^2の閉集合
というように証明をしました。

No.72023 - 2021/01/11(Mon) 22:12:11

☆ Re: 集合 / IT

定義を直接書いてください。

No.72024 - 2021/01/11(Mon) 22:15:38

☆ Re: 集合 / 鹿

すみません。
A が R^nの開集合であるとは、
∀x∈A ∃ε>0 s.t. B(x;ε)⊂A

AがR^nの閉集合であるとは、
∀x∈Aの補集合　∃ε>0 s.t. B(x;ε)⊂Aの補集合

No.72025 - 2021/01/11(Mon) 22:20:37

☆ Re: 集合 / IT

（１）まず開集合かどうか
定義に従って、(x,y,z)∈Ｄについて　(x,y,z)のある近傍がＤに含まれるように出来るか調べてみるとよいのでは？

３次元だと少しむつかしいかも知れませんが、ポンチ絵を描くのも理解を助けると思います。

次元を落として２次元で類例を考える方法もあります。

No.72026 - 2021/01/11(Mon) 22:53:59

☆ Re: 集合 / 鹿

ありがとうございます。
考えてみます。

No.72034 - 2021/01/12(Tue) 11:07:06