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★ 存在範囲 / kei
高校２年です。

実数x,yについて、-1/2≦x≦1/2,-1/2≦y≦1/2を満たすとき、点(x^2+y^2,xy)の存在範囲を図示せよ、という問題なのですが、

u=x+y,v=xyとおくと、x,yは
t^2-ut+v=0
の-1/2≦t≦1/2の実数解であるから
f(t)=t^2-ut+vとおくと、

軸 -1/2≦u/2≦1/2
端点 f(-1/2)≧0
端点 f(1/2)≧0
判別式 u^2-4v≧0

よって、次の4式(☆とおく)
-1≦u≦1
v≧-u/2-1/4
v≧u/2-1/4
v≧u^2/4
が従う。

また、(X,Y)=(x^2+y^2,xy)とおくと、
X=u^2-2v,Y=xy ☆☆

ここまで考えてみたのですが、このあと上の☆の第4式に☆☆を代入して

Y≦X/2

まではよいのですが、☆の第1〜3式と☆☆をどう扱ってよいか困っています。

類題を探してみると点(x+y,x^2+y^2)の存在範囲のようなものはあったのですが、x+yがxyになっている問題は見つけられませんでした。

答えは分かっていません。

すみませんが、ご教授下さい。よろしくお願いします。




X=x^2+y^2,Y=xyとおき、
No.71539 - 2020/12/18(Fri) 00:19:52
☆ Re: 存在範囲 / kei
↑最後の行は無視して下さい。
申し訳ありません。
No.71540 - 2020/12/18(Fri) 00:20:41
☆ Re: 存在範囲 / X
＞＞↑最後の行は無視して下さい。
＞＞申し訳ありません。
レスを作る際にパスワードを設定しておけば
この掲示板の最下部のボックスに
レスの番号とパスワード
を入力することで、レスの内容を直接修正できます。

で、本題の回答ですが☆☆でYの置き換えが中途半端です。
X=u^2-2v,Y=v
となるので
v=Y
u^2=X+2Y
これらを用いて☆からu,vを消去します。
No.71543 - 2020/12/18(Fri) 04:27:58
☆ Re: 存在範囲 / kei
X様

設定のご説明、ありがとうございます！

とても初歩的な質問で申し訳ないのですが、
u^2=X+2Yを用いてX,Yの関係式をつくるには、たとえば
-1≦u≦1のときはu^2が現れるように
0≦u^2≦1
∴0≦X+2Y≦1
としてよいのでしょうか？

また、
v≧-u/2-1/4
v≧u/2-1/4
でvはv=Yで消去できるのですが、uはu^2=X+2Yからu=±√(X+2Y)として
Y≧±(1/2)√(X+2Y)-1/4
☆の第4式からY≧0なので、結局
Y≧1/2√(X+2Y)-1/4
∴Y+1/4≧√(X+2Y)
∴X≦Y^2-(3/2)Y+1/16

これと☆の第4式からu,vを消去した
Y≧X/2

の共通範囲を考えたものが答えで合っているでしょうか？
パラメータを消去する計算過程に、初めて√出てきたので少し心配しています。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71550 - 2020/12/18(Fri) 19:39:50
☆ Re: 存在範囲 / IT
式の形から三角関数を使いたくなります。
（略解)
0≦X=x^2+y^2≦1/2
(X,Y) が範囲内のとき(X,-Y) も範囲内なので範囲はY軸対称。
0≦x≦1/2,0≦y≦1/2…(1)について調べてX軸に対称に拡げればよい。

0≦X≦1/4 のとき
　x=(√X)cosθ,y=(√X)sinθ,0≦θ≦π/2とおける。
　Y=xy=Xcosθsinθ=(X/2)sin(2θ)なので　0≦Y≦X/2

1/4≦X≦1/2 のとき
　x=(√X)cosθ,y=(√X)sinθ,0≦θ≦π/2　の一部分（グラフを描くと分かり安い）で、
　x=1/2,y=√(X-x^2)= √(X-1/4) のとき　Yは最小値(1/2)√(X-1/4) をとり、
　最大値は0≦X≦1/4 のときと同様にX/2なので
　(1/2)√(X-1/4)≦Y≦X/2

これをX軸対称に拡げる。 （対称性を使わずにやってもそんなに煩雑でないかも知れません。）
No.71558 - 2020/12/19(Sat) 08:16:03
☆ Re: 存在範囲 / kei
IT様

ご回答ありがとうございます。
いくつがご質問をお願いできますか？

まず、Xの値で場合分けが生じるのはなぜでしょうか？初歩的な質問で申し訳ありません。

y^2=X-x^2≧0より(0≦)x^2≦X
また、0≦x^2≦1/4
なので、X≦1/4とX≧1/4で分けていると思ってよろしいですか？

また、場合分けをした後、後者の場合で、
x=(√X)cosθ,y=(√X)sinθ,0≦θ≦π/2の一部分となるのは、前者の場合と何が違うか分かりませんでした。申し訳ありません。

基本的なことが分かっておらず、理解できなくて反省しています。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71568 - 2020/12/19(Sat) 17:20:07
☆ Re: 存在範囲 / IT
図（グラフ）を描くと分かり安いかも知れません。
赤い円の一部が何を表しているか式は書いてないですが
見ればわかると思います。
No.71571 - 2020/12/19(Sat) 17:53:32
☆ Re: 存在範囲 / kei
IT様

ずっと考え込んでいたことが「なるほど！」とすっきり解決致しました。
(0≦x≦1/2,0≦y/1/2において半径√Xの円を考えていたことが、頭の中でうまく整理(把握)できていませんでした)

いつも本当にありがとうございます。とても感謝しています！そして、よく復習しておきます！
No.71574 - 2020/12/19(Sat) 19:32:41
★ 二重積分について / ako
二重積分についてです。

以下の写真の二重積分を解いていただけないでしょうか・・・
貴重なお時間を頂きますが、よろしくお願いいたします。
No.71523 - 2020/12/17(Thu) 12:10:19
☆ Re: 二重積分について / X
t=-x+y
u=x+y
と置くとヤコビヤンJは
J=det[M{(-1/2,1/2),(1/2,1/2)}]=-1/2
で
D={(t,u)|0≦t≦u,0≦u≦1}
となるので
(与式)=(1/2)∫[t:0→1]∫[u:0→t]tue^{(1/2)(t^2+u^2)}dudt
=(1/2)∫[t:0→1]te^{(1/2)t^2}[e^{(1/2)u^2}][u:0→t]dt
=(1/2)∫[t:0→1]t{e^(t^2)-e^{(1/2)t^2}}dt
=(1/2)[(1/2)e^(t^2)-e^{(1/2)t^2}][t:0→1]
=(1/2){(1/2)e-√e+1/2}
=(1/4)e-(1/2)√e+1/4
No.71524 - 2020/12/17(Thu) 17:15:25
☆ Re: 二重積分について / ako
解答ありがとうございます。

1つ質問でヤコビアンJは、det{(-1,1),(1,1)}=-2になるとおもうのですが、なぜ-1/2になるのでしょうか。
あとヤコビアンのところにあるMはなんでしょうか
No.71526 - 2020/12/17(Thu) 18:03:32
☆ Re: 二重積分について / X
ヤコビヤンの中にある
M{(-1/2,1/2),(1/2,1/2)}
はこれで一まとめに行列を示しています。
Mは行列であることを表す頭文字です。

＞＞なぜ-1/2になるのでしょうか。
ヤコビヤンで計算すべきヤコビ行列を間違えています。
t=-x+y
u=x+y
から
x=(u-t)/2
y=(t+u)/2
ここからヤコビ行列を計算します。
解析学の教科書などで、xy座標を
極座標に変換するときのヤコビヤンの
復習をしましょう。
No.71542 - 2020/12/18(Fri) 04:21:58
★ (No Subject) / 中学生
２円の共通外接線を引く作図の仕方を説明していただけませんか。
No.71520 - 2020/12/17(Thu) 10:15:41
☆ Re: / らすかる
図を描かないとわかりにくいと思いますので、
「２円の共通外接線を引く作図の仕方」を検索すると出てくる
例えば↓こことかをご覧下さい。
https://study-line.com/sakuzu-en-sessen/#2
No.71521 - 2020/12/17(Thu) 10:41:52
★ 存在範囲 / kei
高校２年です。

実数x,yについて、-1≦x≦1,-1≦y≦1を満たすとき、点(3x+y,x^2+xy)の存在範囲を求めよ、という問題なのですが、

X=3x+y,Y=x^2+xyとおくと、
-1≦y≦1より-1≦X-3x≦1
∴(X-1)/3≦x≦(X+1)/3 …☆
また、-1≦x≦1 …☆☆
XとYの2式からyを消去して
Y=-2x^2+Xx

このあと、Xを固定してYをxの関数とみて☆および☆☆の下で値域を調べるか、xの2次方程式が☆および☆☆の下で実数解を持つ条件を調べる方向でよろしいでしょうか？

また、その際☆と☆☆の共通部分を(-4≦X≦4などにも注意して)求めてxの範囲を考えるので、煩雑な場合分けにつながっていくと思ってよいのでしょうか？

すみませんが、お教え下さい。よろしくお願いします。
No.71516 - 2020/12/17(Thu) 01:25:06
☆ Re: 存在範囲 / らすかる
そのような方針でうまくいくのかどうかよくわかりませんので、自分なりの解答を書きます。

3x+y=uとおくと-4≦u≦4

x^2+xyの最大値
x^2+xy=-2x^2+ux=-2(x-u/4)^2+u^2/8 … (1)
x=u/4のときy=u-3x=u/4となり
-4≦u≦4から-1≦u/4≦1であり、uの値によらず
(x,y)=(u/4,u/4)の値をとれるので、
x^2+xyは(x,y)=(u/4,u/4)のとき最大値u^2/8をとる。

x^2+xyの最小値
-4≦u≦-2のときx＜0なのでx^2+xyはyが最大のときに最小
yの最大値はx=-1のときのy=u+3なので、
x^2+xyは(x,y)=(-1,u+3)のとき最小値-u-2をとる。
-2≦u≦0のときxの取り得る範囲は(u-1)/3≦x≦(u+1)/3であり
|(u-1)/3-u/4|=1/3-u/12≧1/3+u/12=|(u+1)/3-u/4|なので
(1)からx=(u-1)/3のときx^2+xyが最小
よってx^2+xyは(x,y)=((u-1)/3,1)のとき最小値(u-1)(u+2)/9をとる。
0≦u≦2のときxの取り得る範囲は(u-1)/3≦x≦(u+1)/3であり
|(u-1)/3-u/4|=1/3-u/12≦1/3+u/12=|(u+1)/3-u/4|なので
(1)からx=(u+1)/3のときx^2+xyが最小
よってx^2+xyは(x,y)=((u+1)/3,-1)のとき最小値(u-2)(u+1)/9をとる。
2≦u≦4のときx＞0なのでx^2+xyはyが最小のときに最小
yの最小値はx=1のときのy=u-3なので
x^2+xyは(x,y)=(1,u-3)のとき最小値u-2をとる。

よってまとめると
(3x+y,x^2+xy)=(X,Y)として
-4≦X≦-2のとき -X-2≦Y≦X^2/8
-2≦X≦0のとき (X-1)(X+2)/9≦Y≦X^2/8
0≦X≦2のとき (X-2)(X+1)/9≦Y≦X^2/8
2≦X≦4のとき X-2≦Y≦X^2/8
となり図は以下のとおり。

※図は曲線がわかりやすいように縦に伸ばしています。
No.71519 - 2020/12/17(Thu) 08:23:33
☆ Re: 存在範囲 / IT
>このあと、Xを固定してYをxの関数とみて☆および☆☆の下で値域を調べるか、xの2次方程式が☆および☆☆の下で実数解を持つ条件を調べる方向でよろしいでしょうか？

私は、前者でやってみました。

>また、その際☆と☆☆の共通部分を(-4≦X≦4などにも注意して)求めてxの範囲を考えるので、煩雑な場合分けにつながっていくと思ってよいのでしょうか？

そんなに煩雑とは思いませんが、らすかるさんのグラフを見ても分かるように、どんな方法でもある程度の場合分けはやむを得ないのでは？　そのため（的確に場合分けできるか試すため）に出題している向きもあります。
No.71535 - 2020/12/17(Thu) 22:00:49
☆ Re: 存在範囲 / IT
(X,Y) が範囲に入るとき
　X=3x+y,Y=x^2+xy (-1≦x,y≦1)で、
　-X=3(-x)+(-y),Y=(-x)^2+(-x)(-y) (-1≦-x,-y≦1)ですから
　(-X,Y) も範囲に入ります。
したがって求める範囲はY軸について対称ですので、0≦X≦4のときを考えます。

Y=-2x^2+Xx=-2(x-X/4)^2+X^2/8=x(X-2x)＝f(x) と置く。

-4≦X≦4なので(X-1)/3≦X/4≦(X+1)/3 かつ -1≦X/4≦1…(0)

「(X-1)/3≦x≦(X+1)/3 かつ -1≦x≦1」…(1)
(0)よりx=X/4は(1) を満たす。したがってYの最大値はX^2/8

(X+1)/3と1の大小により場合分けする。

(X+1)/3 ≦１　すなわち　0≦X≦2のとき
　(1)は、(X-1)/3≦x≦(X+1)/3
　Yの最小値はmin(f((X-1)/3),f((X+1)/3))=min((X-1)(X+2)/9,(X+1)(X-2)/9)=(X+1)(X-2)/9

(X+1)/3≧１　すなわち　　２≦X≦４のとき
　(1)は、(X-1)/3≦x≦1
　　Yの最小値はmin(f((X-1)/3),f(1))=min((X-1)(X+2)/9,X-2)=X-2

最小値と最大値の間の任意の値をとり得ることは、fの連続性からOKだと思います。
No.71536 - 2020/12/17(Thu) 22:28:22
☆ Re: 存在範囲 / kei
らすかる様
IT様

いつも大変丁寧な解説をありがとうございます。とてもよく分かりました！

これまで表面的にしか学習してこなかったので、一つ一つの場合分けを面倒臭がらず、丁寧にこなしていくことを心がけていきたいです。

頑張ります。
No.71538 - 2020/12/17(Thu) 23:37:56
★ 最大値・最小値 / kei
高校２年です。

実数x,y,zが0≦x≦1,1≦y≦2,2≦z≦3を満たすとき、
2(xy+yz+zx)-7(x+y+z)
の最大値・最小値を求めよ、という問題なのですが、以下のような解答でよろしいでしょうか？

答えが分からないので、正解の自信が持てないのですが、

与式をFとおき、x,yを固定してzの関数とみると

F={2(x+y)-7}z+2xy-7(x+y)
ここで、2(x+y)-7<0 (∵0≦x≦1,1≦y≦2)なので、

z=2のときFは最大値

F=-3(x+y)+2xy-14
=(2x-3)y-3x-14 (xを固定してyの関数とみる)

をとる。いま、2x-3<0 (∵0≦x≦1)なので、これはy=1のとき最大値

F=-x-17

をとり、これはx=0のとき最大値-17をとる。

最小値も一文字ずつ固定して考えることで-23と求まりました。

自分の解答(指針)が合っているかどうかを自分で判別できなくてはいけないことは分かっているのですが、すみませんが、ご確認をお願いします。
No.71515 - 2020/12/17(Thu) 00:02:55
☆ Re: 最大値・最小値 / らすかる
問題ないと思います。
No.71518 - 2020/12/17(Thu) 06:51:43
☆ Re: 最大値・最小値 / kei
らすかる様

ありがとうございました！
No.71537 - 2020/12/17(Thu) 22:54:12
★ (No Subject) / 匿名特茶
直径が25cmと22cmの差動滑車を用いて、200kgの物体を持ち上げるのに必要な力Fを求めなさい。また、物体を1m上げるのに必要な鎖を引く距離sを求めなさい。
この問題を教えてください。
No.71507 - 2020/12/16(Wed) 16:48:43
★ 図形 / たいち
特に課題という訳では無いのですが、解答がないのでどなたか教えていただきたいです。
No.71505 - 2020/12/16(Wed) 15:32:54
☆ Re: 図形 / X
問題の接平面の接点の座標を(X,Y,Z)、
法線ベクトルを↑nとすると
↑n=grad(xyz-k)|(x,y,z)=(X,Y,Z)
=(YZ,ZX,XY)
∴接平面の方程式は
YZ(x-X)+ZX(y-Y)+XY(z-Z)=0
ここでXYZ=k≠0に注意して整理をすると
x/(3X)+y/(3Y)+z/(3Z)=1
よってこの接平面とx,y,z軸との交点の座標は
(3X,0,0),(0,3Y,0),(0,0,3Z)
∴問題の四面体の体積をVとすると
V=(1/3)(1/2)|3X|||3Y||3Z|
=(9/2)|k|=(一定)
No.71510 - 2020/12/16(Wed) 19:08:58
☆ Re: 図形 / 関数電卓
>> X さん
接点は接平面上にもありますから
　x/X＋y/Y＋z/Z＝3
ですね。
No.71511 - 2020/12/16(Wed) 19:45:37
☆ Re: 図形 / X
＞＞関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞たいちさんへ
ごめんなさい。No.71510で誤りがありましたので
直接修正しました。再度ご覧下さい。
No.71517 - 2020/12/17(Thu) 05:57:50
☆ Re: 図形 / たいち
本当にありがとうございました！とてもスッキリしましたm(._.)m
No.71530 - 2020/12/17(Thu) 19:13:07
★ 中学数学 / 受験生
付属の解説を見ても解き方が分からず困っています。開設できればよろしくお願いいたします。
No.71504 - 2020/12/16(Wed) 14:08:05
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
Ｐの速さをａ(＝15)、Ｑの速さをｂとします。
状態としては、
１．Ｐ--->　<---Ｑ　ａ＋ｂの速さで近づく
２．<---Ｐ　Ｑ--->　ａ＋ｂの速さで離れる
３．Ｐ--->　Ｑ--->　ａ−ｂの速さで近づく
４．Ｑ--->　Ｐ--->　ａ−ｂの速さで離れる
が考えられ、グラフで言うとそれぞれ
１．急な右下がり
２．急な右上がり
３．緩やかな右下がり
４．緩やかな右上がり
となり、グラフの数字の書かれた時刻で区切られた７つの区間は順に
　２．３．４．１．２．４．１．
となります。0〜7秒が２．、7〜21秒が３．という意味です。

それぞれの区間の状態は、
０秒　ＰとＱが出会う
０〜７秒　　Ａ<---Ｐ　Ｑ--->Ｂ
７秒　ＰがＡに着く
７〜21秒　　ＡＰ--->　Ｑ--->Ｂ
21秒　ＰがＱに追いつく
21〜25秒　　ＡＱ--->　Ｐ--->Ｂ
25秒　ＰがＢに着く
25〜27秒　　ＡＱ--->　<---ＰＢ
27秒　ＰとＱが出会う
27〜33秒　　Ａ<---Ｐ　Ｑ--->Ｂ
33秒　ＱがＢに着く
33〜43秒　　Ａ<---Ｐ　<---ＱＢ
43秒　ＰがＡに着く
43〜54秒　　ＡＰ--->　<---ＱＢ
54秒　ＰとＱが出会う
です。

(1) 上の通り７秒後
(2) ＰがＡに着いてからＢに着くまで
　　25−7＝18(秒)
　かかっているので、ＡＢの長さは
　15×18＝270(cm)
(3) 0秒から27秒の間に、ＰとＱと合わせて、
　ＡＢ間の１往復分(540cm)進んでいる。
　Ｐは 27×15＝405(cm) 進むので、Ｑが進んだのは
　　540−405＝135(cm)
　Ｑの速さは　135÷27＝5(cm毎秒)
　27秒の時点で、ｙ＝０ であり、その後33秒までの6秒間で
　　6×(15＋5)＝120(cm)
　離れて、さらにその後の10秒間で
　　10×(15−5)＝100(cm)
　離れるので、ＰＱの距離は　120＋100＝220(m)
　よって、33秒から43秒までのｙの値域は
　　120≦ｙ≦220
No.71508 - 2020/12/16(Wed) 16:49:50
★ 値域 / kei
高校2年生です。

実数x,y,zが
0≦x≦y≦z
xy=1
x^2+y^2+z^2-(x+y)z=2
を満たすとき、zの値域を求めよ、という問題なのですが

まず、第3式をxの方程式とみて、
x^2-zx+(y^2+z^2-yz-2)=0
判別式=-3z^2-4y^2+4yz+8≧0
∴4y^2-4zy+3z^2-8≦0
これを満たす実数zが存在する条件は
判別式=-8z^2+32≧0
∴-2≦z≦2

答えは(1+√5)/2≦z≦2なのですが、上の解答で「0以上の」実数という条件を考慮していなかったことに加えて、与えられた第1式のx,y,zの大小関係と第2式は、どのように使えばよいのでしょうか？

すみませんが、お教え下さい。よろしくお願いします。
No.71498 - 2020/12/15(Tue) 23:59:01
☆ Re: 値域 / kei
これを満たす実数yが存在する条件は…でした。
No.71499 - 2020/12/16(Wed) 00:00:06
☆ Re: 値域 / らすかる
x^2+y^2+z^2-(x+y)z=2
t=x+yとおくとxy=1からx^2+y^2=t^2-2なので
z^2-tz+t^2-4=0 … (1)
0=z^2-tz+t^2-4=(z-t/2)^2+(3/4)t^2-4
≧(y-t/2)^2+(3/4)t^2-4　（∵z-t/2≧y-t/2=(y-x)/2≧0)
={(y-x)/2}^2+(3/4)t^2-4
=(x+y)^2/4-xy+(3/4)t^2-4
=t^2-5
∴t^2≦5
またt=x+y=1/y+y≧2なので2≦t≦√5
(1)からt^2-tz+z^2-4=0
このtに関する二次方程式が2≦t≦√5の範囲に解を持たなければならない。
t^2-tz+z^2-4=(t-z/2)^2+(3/4)z^2-4=0
この式から少なくとも(3/4)z^2-4≦0すなわちz≦4√3/3なので
z/2≦2√3/3＜2から軸はt＜2の範囲にある。
よって2≦t≦√5の範囲に解を持つためには
f(t)=t^2-tz+z^2-4として
f(2)≦0かつf(√5)≧0
f(2)≦0から0≦z≦2
ただし1≦y≦zなので1≦z≦2 … (2)
f(√5)≧0からz≦(√5-1)/2,(√5+1)/2≦z … (3)
(2)と(3)から
(√5+1)/2≦z≦2 … (4)
x=y=1,z=2のときx^2+y^2+z^2-(x+y)z=2
x=(√5-1)/2,y=z=(√5+1)/2のときx^2+y^2+z^2-(x+y)z=2
で条件を満たしているので、(4)が求める範囲。
No.71506 - 2020/12/16(Wed) 15:59:18
☆ Re: 値域 / IT
√(16-3t^2)の微分を使えば、少し短く解けます。

0≦x≦y≦z…(1)、xy=1…(2)、x^2+y^2+z^2-(x+y)z=2　…(3)
（略解）
(2)より x=1/yであり、(1)よりy≧1.
t=x+y とおくと t=y+1/y ≧2…(4)
(3)は,z^2-tz+t^2-4=0,zについて解くと、z=(t±√(16-3t^2))/2
y≦zより z=(t+√(16-3t^2))/2であり、　1/y+√(16-3t^2)≧y
移項して√(16-3t^2)≧y-1/y
両辺０以上なので二乗して16-3t^2≧(y-1/y)^2
移項して整理すると、5≧t^2
(4)とあわせて　2≦t≦√5　この範囲で16-3t^2≧0であり、t+√(16-3t^2)は連続で単調減少。
t=2のとき、z=2｡t=√5のとき、z=(1+√5)/2

したがって、(1+√5)/2≦z≦2
No.71512 - 2020/12/16(Wed) 21:41:06
☆ Re: 値域 / kei
らすかる様
IT様

いつも本当にありがとうございます。感謝の気持ちでいっぱいです。数学が苦手な自分でも、お陰様でどうにか頑張ることが出来ています。

まだまだ色々なことが使いこなせなかったり、知識が断片的になっている状態なので、きちんと復習していきます！
No.71514 - 2020/12/16(Wed) 23:41:16
★ 計算問題 / うしろ
単に引いて整理したら良いだけのように思い、何度もトライしているのですが、解けません。そもそも解けるのか、あるいは解き方が誤っているのか、ご教示のほどお願いします。

・X(t)=(a(t)+b(t)d(t)/(b(t)+c(t)))/(a(t)+b(t)d(t)/(b(t)+c(t))+e(t)+c(t)f(t)/(b(t)+c(t)))
であるときに、

ΔX(t)=X(t)-X(t-1)を計算して、ΔX(t)=αΔa(t)＋βΔb(t)＋γΔc(t)＋δΔd(t)＋εΔe(t)＋ζΔf(t)の形に整理せよ。
（α、β、γ、δ、ε、ζを求めよ）

単に引いて計算すれば良いのだろうと思ったのですが、Δa(t)などの形に持っていくことができません。

どうぞよろしくお願いします。
No.71497 - 2020/12/15(Tue) 23:26:54
★ 複素解析 / 鹿
複素解析の問題です。
-1と1を不動点とするような一次関数は一般的にどのような形をしているか求めよ。
この問題が分かりません。よろしくお願いいたします。
No.71495 - 2020/12/15(Tue) 22:15:49
★ (No Subject) / 高校受験レベル模試
(1),(2)ともに教えていただきたいです。(1)は自分なりに解いてみたら1:3になりましたが、合ってるか分からないので(1)も(2)も解説お願いしたいです。問題文の「図1の図形で」の条件はDE//BF、DF//BCです。よろしくお願いします。
No.71494 - 2020/12/15(Tue) 21:51:26
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＤＥ//ＢＦ　より
　ＤＱ：ＱＥ＝ＢＲ：ＲＦ＝１：１
メネラウスの定理より
　(BR/RF)(FA/AC)(CP/PB)＝１
　(1/1)(1/3)(CP/PB)＝１
よって、BP:PC＝１：３
(2)
メネラウスの定理より
　(AR/RP)(PB/BC)(CF/FA)＝１
　(AR/RP)(1/2)(2/1)＝１
よって、
　ＡＲ：ＲＰ＝１：１
ＤＦとＡＰの交点をＳとすると、同様に
　ＡＱ：ＱＳ＝１：１
ＡＳ：ＳＰ＝１：２　より
　ＡＱ：ＱＰ＝１：５
また
　ＡＥ：ＥＣ＝１：８
以上より、△ＡＱＥは△ＡＢＣの
　1/2×1/6×1/9＝1/108
△ＲＢＰは△ＡＢＣの
　1/2×1/2＝1/4
よって
　△ＡＱＥは△ＲＢＰの　1/27 倍
No.71501 - 2020/12/16(Wed) 07:26:19
☆ Re: / 高校受験レベル模試
高校受験レベルなのでメネラウスは使えないんですよ。
ほぼ確実に相似を使うとは思うのですが。。
No.71502 - 2020/12/16(Wed) 11:58:58
☆ Re: / ヨッシー
例えば、(2) の最初の部分は、
　△ＡＲＢ：△ＣＲＢ＝ＡＦ：ＦＣ＝１：２
　△ＢＲＰ：△ＣＲＰ＝ＢＰ：ＰＣ＝１：１
よって、
　△ＡＲＢ：△ＢＲＰ：△ＣＲＰ＝１：１：１
よって、
　ＡＲ：ＲＰ＝△ＡＲＢ：△ＢＲＰ＝１：１
のように出来ます。
このように、メネラウスの定理やチェバの定理の根本は、
三角形の面積を介して、辺の比を決めていく方法で
知識自体は中学の範囲内です。

ちなみに、私立高校の入試だと、メネラウスは必須中の必須です（早く解く武器として）。
No.71503 - 2020/12/16(Wed) 12:20:06
★ 証明問題です / eg
こちらの問題が正直さっぱりという感じで分かりません。
分かる方がいらっしゃいましたら、すみませんがお願いしたいです...
No.71488 - 2020/12/15(Tue) 20:03:44
☆ Re: 証明問題です / 関数電卓
こんな課題を出されるのは，物理学科で量子力学を学んでいる学生さんでしょうが，
> さっぱり…分かりません
は，どうしたことでしょう？「エルミートの多項式」で検索すれば，いくつもヒットしますよ。
例えば， こちら とか， こちら とか。
No.71490 - 2020/12/15(Tue) 21:18:32
☆ Re: 証明問題です / eg
ありがとうございます。

ですが物理学科ではなく情報系です...。そしてこの科目は数学です。
新しい先生ですが先輩に聞くとこの内容は最初で最後だろうねだそうです。
No.71492 - 2020/12/15(Tue) 21:24:30
☆ Re: 証明問題です / 関数電卓
> ですが物理学科ではなく情報系です...。そしてこの科目は数学です。
それはそれは，大変失礼いたしました。
昨今話題によく上る「量子暗号通信」を見据えてのことでしょうが，(先生の学生への)「課題の丸投げ」はいただけませんね。
No.71493 - 2020/12/15(Tue) 21:39:58
★ 存在範囲 / kei
高校２年です。

実数x,yが0≦x≦π,0≦y≦π/2の範囲で自由に動くとき、点(x+y,sinx+cosy)の存在範囲を求めよ、という問題の考え方をお教え下さい。

(X,Y)=(x,sinx)+(y,cosy)と分解した後、行き詰まってしまいました。片方を固定して、動かしていくとのだと思いますが、具体的にどうすればよいか困っています。

答えは求める存在範囲上の点を(X,Y)とすると、
0≦X≦π/2でcosX≦Y≦1+sinX
π/2≦X≦3π/2でsin(X-π/2)≦Y≦2cos(X/2-π/4)
となっています。

よろしくお願い致します。
No.71485 - 2020/12/14(Mon) 23:18:58
☆ Re: 存在範囲 / IT
X=x+y などだと見間違えるので　A=x+y 、B=sinx+cosyとします｡
y=A-x、B=sinx+cos(A-x) です。

0≦x≦π…(1)
0≦y=A-x≦π/2 ∴A-π/2≦x≦A…(2)

0≦A≦3π/2 を固定して、x を動かしてBの最小値と最大値を求める。

例えば 0≦A≦π/2のとき､(1)(2) より0≦x≦A です｡
　B=sinx+cos(A-x)
　0≦x≦π/2 において　sinx は連続で単調増加
　0≦y≦π/2で cosy は連続で単調減少なので xの関数としてcos(A-x)は連続で単調増加です.
よって　sin0+cos(A-0)≦B≦sinA+cos(A-A)

という感じでできませんか？後半は少し面倒かも知れません。やってみてください。

xの範囲を　sinx が増加となる0≦x≦π/2 と減少となるπ/2 ≦x≦πに分けて考えても良いかも知れません。　　
No.71486 - 2020/12/15(Tue) 01:18:59
☆ Re: 存在範囲 / IT
sinx+cosy=sinx+sin(y+(π/2))=2sin((x+y)/2+π/4)cos(((x-y)-(π/2))/2)　（和積公式
ですから、
A=x+yを固定したとき　Bの値はcos(((x-y)-(π/2))/2)によって変化することが分かります。
これを使うと良さそうです。

見通し良く考えるには　sinx（0≦x≦π) cosx（0≦x≦π/2)のグラフを描いてみるのが良いかも知れません。
No.71487 - 2020/12/15(Tue) 19:43:03
☆ Re: 存在範囲 / IT
少し厳密性に欠けるかも知れませんが、下記のような考えも分かり安いかも。

0≦A=x+y≦π/2のとき
　0≦x≦π/2 でsinxは増加,cosxは減少なので
　B=sinx+cosyが最小となるのはx=0,y=Aのときで最小値cosA
　最大となるのはx=A,y=0のときで,最大値sinA+1

π/2≦A≦3π/2のとき
（最小値）
　x=0,y=π/2 のときのsin0+cos(π/2)＝0 からxをA-π/2に増加させたときの
　sin(A-π/2)が最小値となる。

（最大値）
　x=π/2,y=0 からx が増加するとsinxは減少し、yが増加するとcosyは減少する。
　ここでsinx(π/2≦x≦π) のグラフとcosy(0≦y≦π/2)のグラフは一致し
x,y が大きくなればなるほど、sinx、cosyの減少の割合が大きくなることから
　x=π/2,y=0 からの増分をx,y 均等にしたときBは最大となる。

　すなわちx=π/2+(A-π/2)/2,y=(A-π/2)/2のとき、
　最大値sin(π/2+(A-π/2)/2)+cos((A-π/2)/2)＝2cos(A/2-π/4)
No.71491 - 2020/12/15(Tue) 21:22:25
☆ Re: 存在範囲 / kei
IT様

詳細な解説ありがとうございます。

0≦A≦π/2のときは最初の回答のように考えることで分かりました！

π/2≦A≦3π/2のときは
まず、0≦x≦πかつA-π/2≦x≦Aなので
A-π/2≦x≦min{A,π}

B=sinx+cos(A-x)
=sinx+sin{π/2-(A-x)}
=2sin(x+π/4-A/2)cos(A/2-π/4) (和積の公式)

cos(A/2-π/4)≧0 (∵π/2≦A≦3π/2)なので、sin(x+π/4-A/2)の最大値と最小値を調べればよい。

A/2-π/4≦x+π/4-A/2≦π/4-A/2+min{A,π}において、
x=π/4+A/2のときsin(x+π/4-A/2)は最大値1をとるから
B≦2×1×cos(A/2-π/4)=cos(A/2-π/4)

ここまではきちんと示せていると思うのですが、

x=A/2-π/4のとき(★ここがうまく示せませんでした)、sin(x+π/4-A/2)は最小値sin(A/2-π/4)をとるので
B≧2×sin(A/2-π/4)×cos(A/2-π/4)
=sin(A-π/2)

∴sin(A-π/2)≦B≦2cos(A/2-π/4)

★のところをきちんと示すには、どのように書くのがよいのでしょうか？(もっとも、上記のような考え方でよろしいでしょうか？)

すみませんが、ご教授下さい。
No.71496 - 2020/12/15(Tue) 23:09:26
☆ Re: 存在範囲 / IT
> x=A/2-π/4のとき(★ここがうまく示せませんでした)、sin(x+π/4-A/2)は最小値sin(A/2-π/4)

x=A/2-π/4のとき x+π/4-A/2=0 なので　間違っているのでは？

A-π/2≦x≦min{A,π}のときの　C=x+π/4-A/2の値の範囲を調べ　そこでの　sinC の増減を調べる必要があると思います。
No.71500 - 2020/12/16(Wed) 07:24:32
☆ Re: 存在範囲 / kei
IT様

ありがとうございました！
No.71513 - 2020/12/16(Wed) 23:08:23
★ 電場について / 物理
物理の電場についてご質問させて下さい。

未学習の箇所の問題でありますため、式の立て方自体が分かりませんでした。

申し訳ございませんが、どうかよろしくお願い申し上げます。
No.71483 - 2020/12/14(Mon) 23:08:44
☆ Re: 電場について / 物理
（b）の補足資料です。
どうかよろしくお願い申し上げます。
No.71484 - 2020/12/14(Mon) 23:12:40
☆ Re: 電場について / 関数電卓
２(a)
平板 A の電荷が上側に作る下向きの電場の強さ EA＝2σ/(2ε0)＝σ/ε0
Bの電荷が下側に作る下向きの電場の強さ EB＝σ/(2ε0)
よって，E＝EA＋EB＝3σ/(2ε0)

(b) V＝E/l＝3σ/(2ε0l)

３． こちら の?Aページの 図 の通りになります。
No.71489 - 2020/12/15(Tue) 20:21:07
☆ Re: 電場について / 物理
ご連絡が遅れてしまい申し訳ございません。
ご丁寧にお教え頂きましてありがとうございます。
解決致しました。
図までご用意して下さり、大変分かりやすかったです。
関数電卓さん、いつもありがとうございます。
これからもよろしくお願い申し上げます。
No.71525 - 2020/12/17(Thu) 17:49:24
★ 電場について / 物理
物理の電場について2問ほどご質問させて下さい。

閉曲面の設問等は問題なく解くことができましたが、こちらの問題についての式の立て方が分からなくなってしまいました。

どうかよろしくお願い申し上げます。
No.71478 - 2020/12/14(Mon) 21:20:35
☆ Re: 電場について / 関数電卓
２．は × ですよ。Q＝σS＝4πr^2σ です。
３．は，Q＝ρV＝(4/3)πr^3ρ
No.71479 - 2020/12/14(Mon) 21:34:56
☆ Re: 電場について / 物理
関数電卓さん、いつもご回答頂きましてありがとうございます。

すみません、一つ気になってしまったのですが、2番の「σ」は理解できましたが、3番は「ρ」と書かなくてはいけないのでしょうか？

申し訳ございませんが、よろしくお願い申し上げます。
No.71481 - 2020/12/14(Mon) 22:03:55
☆ Re: 電場について / 物理
申し訳ございません、「ρ」についてもたった今、納得することができました。

ご回答頂きましてありがとうございました！

これからもどうかよろしくお願い申し上げます。
No.71482 - 2020/12/14(Mon) 22:07:04
★ 倍数の判定法 / Ayano
高一です。青チャート数Aの例題104です。⑵が分かりません。
出来るだけ詳しくお願いします！
No.71477 - 2020/12/14(Mon) 20:42:04
★ 距離空間 / あき
距離空間についての質問です。

(X,d):距離空間、集合EをXの部分集合つまりE⊂Xとし、
元xと集合Eとの距離を d(x,E)=inf{d(x,e):e∊E}とする。

このとき、(1)d(x,E)=0 ⇔x∊E^c
(2)d(・,E):X→R+ はX上で連続
※E^cは集合Eの補集合です.

このことを示していただきたいです。どなたか解いていただけないでしょうか。m(_ _"m)

宜しくお願い致します。
No.71473 - 2020/12/14(Mon) 17:58:59
☆ Re: 距離空間 / あき
申し訳ありません、一つ訂正で、(1)のE^cはEの補集合ではなく、閉包の間違いでした。
No.71475 - 2020/12/14(Mon) 19:18:04
★ 積分 / 狭山
関数f(x)が、f(x)=x＾2-x 関数f(x)がf(x)=x＾2-x∫[0→2]|f(t)|dtを満たしているとする。
このとき、f(x)を求めよ。

答えは
f(x)=x^2-x ,x^2-8x/3です。　

∫[0→2]|f(t)|dt=kとおいて解いたのですが、k=0の時を考えら必要はありますか？
No.71470 - 2020/12/14(Mon) 11:07:11
☆ Re: 積分 / らすかる
0になるのはf(t)が0≦t≦2の範囲で恒等的に0である場合だけ
ですから、そうでなければ0になることはありません。
二次の係数が1である放物線の絶対値なので、最小でも1/2です。
No.71472 - 2020/12/14(Mon) 14:17:59
★ 自然数の組 / れいんぼー
p,qを自然数とするとき、
4p^2+12pq+9q^2-4p-9q=384
を満たす(p,q)の組をすべて求めよ。
(p,q)=(3,5)ぐらいしか見つかりませんでした。
解き方を教えてください。
No.71469 - 2020/12/14(Mon) 10:35:55
☆ Re: 自然数の組 / らすかる
与式を変形すると
4p(p-1)+9q(p-1)+3pq=384-9q^2
となり、(左辺)＞0から384-9q^2＞0なのでq≦6
また与式を変形すると
4(p^2+3pq-p-96)=-9q(q-1)
となり左辺は4の倍数でqとq-1は互いに素なので
qまたはq-1のどちらかが4の倍数
従ってq=1またはq=4またはq=5
q=1を与式に代入して整理すると p^2+2p-96=0
これを解くとp=-1±√97となりpが自然数にならないので不適
q=4を与式に代入して整理すると p^2+11p-69=0
これを解くとp=(-11±√397)/2となりpが自然数にならないので不適
q=5を与式に代入して整理すると p^2+14p-51=0
これを解くとp=3,-17なのでp=3が適
従って条件を満たす(p,q)の組は(p,q)=(3,5)。
No.71471 - 2020/12/14(Mon) 13:34:28
☆ Re: 自然数の組 / れいんぼー
ありがとうございました。

整数問題は範囲を絞って解くことを頭に入れているのですが、
その範囲の絞り方によっては上手く絞れなくて解答が長くなって
しまう場合があります。

私は
3(4pq+3q^2-3q)+4p(p-1)=384=3×2^7
で左辺が3の倍数になるためには4p(p-1)が3の倍数にならないと
いけないので、p=3k,3k+1のどちらかの形で表され、
それを代入して解を見つけようとしましたが、長くなったので
止めてしまいました。
No.71480 - 2020/12/14(Mon) 22:00:41
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