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★ 関数 / 中学3年生
写真の(3)が分かりません。解答解説がついてないです。

おそらく媒介変数を用いるとおもうのですが、どのようにやれば良いでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.72515 - 2021/01/30(Sat) 18:47:20
☆ Re: 関数 / らすかる
二次方程式を使う場合
直線mの傾きがkのときmの式はy=kxなのでPの座標は(12,12k)
（ただし0＜k＜2/3）
よってQの座標は(6k,12k)となりQP=12-6k、AD=8、DP=8-12kなので
四角形AQPDの面積は(12-6k+8)×(8-12k)÷2=4(10-3k)(2-3k)=36k^2-144k+80
36k^2-144k+80=57を解くとk=1/6,23/6なので
0＜k＜2/3からk=1/6

二次方程式を使わない場合
直線lと直線CDの交点をEとすると
Eの座標は(12,24)で△EADの面積は8×16÷2=64だから
△EQPの面積は64+57=121
△EOCの面積は12×24÷2=144
よって△EQP：△EOC=121：144=11^2：12^2だからEP：EC=11：12
よってCP=(1/12)EC=2だから、直線mの傾きは2/12=1/6
No.72520 - 2021/01/30(Sat) 20:14:57
☆ Re: 関数 / 中学3年生
> 二次方程式を使う場合
> 直線mの傾きがkのときmの式はy=kxなのでPの座標は(12,12k)
> （ただし0＜k＜2/3）
> よってQの座標は(6k,12k)となりQP=12-6k、AD=8、DP=8-12kなので
> 四角形AQPDの面積は(12-6k+8)×(8-12k)÷2=4(10-3k)(2-3k)=36k^2-144k+80
> 36k^2-144k+80=57を解くとk=1/6,23/6なので
> 0＜k＜2/3からk=1/6
>
> 二次方程式を使わない場合
> 直線lと直線CDの交点をEとすると
> Eの座標は(12,24)で△EADの面積は8×16÷2=64だから
> △EQPの面積は64+57=121
> △EOCの面積は12×24÷2=144
> よって△EQP：△EOC=121：144=11^2：12^2だからEP：EC=11：12
> よってCP=(1/12)EC=2だから、直線mの傾きは2/12=1/6

おへんじおそくなりすみません。助かりました！
No.72610 - 2021/02/03(Wed) 11:54:34
★ ヤコビ行列 / まり
f(x,y)=x^2-y^2+x+i(2xy+y)のヤコビ行列を求めよという問題が分かりません。途中の考え方も含めて教えて頂きたいです。iは虚数を意味するものです。
No.72513 - 2021/01/30(Sat) 18:02:00
★ 数学 / ちゃんちゃん
さっぱりわかりません
No.72505 - 2021/01/30(Sat) 15:59:39
☆ Re: 数学 / IT
１問ずつ、もう少し大きな画像を載せて質問された方が回答がつきやすいと思います。（テキストに例題があり、それを真似すればある程度はできるのでは？）
No.72506 - 2021/01/30(Sat) 16:21:52
★ (No Subject) / えっぴい0322
某サイトで見つけてきたのですが、
R(1-Cosθ)＝ｈは果たして成り立つのでしょうか。
成り立たないのだとすれば、半径と角度だけではhの高さは求まらないと言うことです。
No.72503 - 2021/01/30(Sat) 15:10:13
☆ Re: / X
h,Lの長さになっている線分の交点をB,
h,Lの長さになっている線分のBの反対側
の頂点をそれぞれC,A、
扇形の中心をO
とすると、接弦定理により
∠ACB=∠AOC/2=θ/2
又、△AOCにおいて余弦定理を用いることにより
CA=2Rsin(θ/2)
∴h=CAsin∠ACB
=2R{sin(θ/2)}^2
=2R(1-cosθ)/2 (∵)半角の公式
=R(1-cosθ)
L=CAcos∠ACB
=2Rsin(θ/2)cos(θ/2)
=Rsinθ (∵)2倍角の公式
ということで、(1)(2)は成立します。
但し、(3)は成立しません。
(反例)
θ=π/2のとき
図から
R=h
となるのは明らかですが、(3)は
R=h(1/2+2/π^2)≠h
No.72507 - 2021/01/30(Sat) 17:06:07
☆ Re: / IT
（１）（２）はsin,cos の定義からすぐでは？

（図）
No.72509 - 2021/01/30(Sat) 17:15:19
★ 円の傾きを調べる方法について / ムウマ1993
例えばx^2+(y-4000)^2=4000^2の場合、傾きが0度の時は、x=0、y=0か、x=0、y=8000ですよね。傾きが30度の時の座標はいくつになりますか。
No.72498 - 2021/01/30(Sat) 10:58:29
☆ Re: 円の傾きを調べる方法について / IT
図を描いて書き込んで下さい。
三角関数は習っておられますか？
１辺の長さ１の正三角形の高さがいくらか分かりますか？
No.72499 - 2021/01/30(Sat) 13:23:15
★ 幾何の問題です。 / Yuki
線分AC上に点Bをとり、線分BCの中点をOとする。次に、線分AC、線分BCを直径とする半円を、線分ACについて同じ側にとる。さらに、点Aから弧BCへ接線を引き、接点をP、弧ACとの交点をQとする。また、直線CPと弧ACのCでない方の交点をRとする。AP=5、PQ=3のとき、RPの長さを求めよ、という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.72490 - 2021/01/30(Sat) 07:03:36
☆ Re: 幾何の問題です。 / らすかる
△APO∽△AQCからAO：OC=5：3なのでAO：OP=5：3
よって△APOは辺の比が3：4：5である直角三角形なので
AO=(5/4)AP=25/4、OC=(3/5)AO=15/4、AC=AO+OC=10
PからACに垂線PHを引くと△AHPも3：4：5の直角三角形なので
AH=4、PH=3とわかり、CH=AC-AH=6ですからCP=√(CH^2+PH^2)=3√5です。
そして△CAR∽△CPHからCR=(CH/CP)AC=4√5ですから、
RP=CR-CP=√5となります。
No.72491 - 2021/01/30(Sat) 07:31:22
☆ Re: 幾何の問題です。 / Yuki
らすかるさん
解説ありがとうございました！
No.72514 - 2021/01/30(Sat) 18:24:48
★ 不等式 / 茶
xy=1, x≠yとする。
x^2+y^2 ≥ 2(√2)|x − y| を証明せよ。

x^2+y^2-2 ≥ 2(√2)|x − y|-2
x^2+y^2-2xy ≥ 2(√2)|x − y|-2
(x-y)^2 ≥ 2(√2)|x − y|-2
(x-y)^2+2 ≥ 2(√2)|x − y|
[(x-y)^2+2]^2 ≥ [2(√2)|x − y|]^2
(x-y)^4+4(x-y)^2+4 ≥ 8(x-y)^2
(x-y)^4-4(x-y)^2+4 ≥ 0
[(x-y)^2-2]^2 ≥ 0
(x-y)^2-2 ≥ 0

ここまでは出来たのですが、ここからどうやってAM-GM不等式やx^2+y^2 ≥ 0 に変えていくかわかりません。教えてください
No.72489 - 2021/01/30(Sat) 05:16:40
☆ Re: 不等式 / らすかる
最後の1行は間違いです。
例えばx=3/4、y=4/3のとき成り立ちませんね。
で、その前の[(x-y)^2-2]^2≧0は常に成り立つ式ですから、
この式から全部逆順に書けば証明は終わります。
（何の説明もなく証明すべき式を変形していった解答は、
　証明されていない式を使っていることになりますので誤りです。）
No.72492 - 2021/01/30(Sat) 07:37:58
☆ Re: 不等式 / IT
x,yは実数ですか？
[(x-y)^2-2]^2 ≥ 0 からたどればよいのでは？

（そのままでは、各不等式間の関係などが書いてないので証明としては不備です。）
No.72493 - 2021/01/30(Sat) 07:40:38
★ 群論について / meow
この問題なのですが，
どのようにして部分群だということを言えば良いのでしょうか？
Hがどのような集合かは理解できていると思います．
kを動かさない集合であると思っています．
例えば3次対称群で，k=2であれば，
{e,(1 3)}
であると思います．

n次で考えた場合どのようになるかご教授いただけないでしょうか？
No.72488 - 2021/01/30(Sat) 03:39:40
☆ Re: 群論について / IT
Ｈの元を網羅的に表す（外延的記法）必要はありません。
当たり前のことですが、群であることを示せばいいです。

何と何を示せばいいかは分かりますか？
（結合法則は、示さなくてもいいと思います）
No.72494 - 2021/01/30(Sat) 07:43:02
☆ Re: 群論について / meow
> 群であることを示す．
群の公理でしょうか？
それならば結合則，単位元，逆元の存在のことを指していると思います．
ここでいう単位元というのは恒等写像のことかと思います．
kを動かさない集合ということなのeはかならず存在しているといえそうですね．
逆元については，
kを含まない互いな素な巡回置換の積としてあらわすことができることから，逆元は存在していると思います．

これらを用いて部分群の証明を行えばよいのでしょうか？
たとえば，
A,B ={σ∈Sn |σ(k)=k}とし
A・BとA^{-1}が閉じているということを言えれば良いのですよね？

A・BとA^{-1}においてkが動かないのは，明らかだと思うのですが．
No.72500 - 2021/01/30(Sat) 14:54:45
☆ Re: 群論について / meow
ITさん
回答ありがとうございます．
No.72501 - 2021/01/30(Sat) 14:55:18
☆ Re: 群論について / meow
連投すみません．
あと(2）についてですが，3>=nだと，対称群は可換でないことから，世紀部分群ではないことを証明すれば良いでしょうか．
No.72502 - 2021/01/30(Sat) 14:56:42
☆ Re: 群論について / IT
3>=nのとき対称群は可換でないことだけからは
その部分群が正規部分群でないと証明できないと思います。
具体的に正規性に反する事例を示せばよいと思います。

正規部分群とはどんな部分群か　書いてみてください。
No.72504 - 2021/01/30(Sat) 15:55:06
☆ Re: 群論について / meow
ITさん回答ありがとうございます．
HをGの部分群としたとき，
Gのどのような元gに対しても
gH=Hg
が成り立つことだと思います．
ご指摘のように集合としてみているので，可換でなくても，正規部分群になることはありえるということですね．

先ほどの3次対称群の例(k=2)だと，
{(1 3),e}は部分群になると思いますが，
(1 2 3){(1 3),e}≠{(1 3),e}(1 2 3)
となるので正規部分群ではないということで良いでしょうか．(反例)

何度も質問申し訳ありません．
No.72508 - 2021/01/30(Sat) 17:14:35
☆ Re: 群論について / IT
(1 2 3){(1 3),e}≠{(1 3),e}(1 2 3)
となることを示さないといけないと思います。
No.72510 - 2021/01/30(Sat) 17:29:26
☆ Re: 群論について / meow
(1 2 3)(1 3)=(2 3)
(1 3)(1 2 3)=(1 2)
eは恒等写像なので
(1 2 3)e=(1 2 3)
e(1 2 3)=(1 2 3)
よって
{(2,3),(1 2 3)}≠{(1,2),(1 2 3)}

このような感じでしょうか．
手取り足取り申し訳ないです．
ご指摘あればいただきたいです．
No.72511 - 2021/01/30(Sat) 17:38:04
☆ Re: 群論について / IT
証明としての書きぶりを整えれば、n＝３の場合はそれでいいと思いますが、

一般のｎ＞２について示すには、Hのすべての元について調べるのは無理なので、

Snのある元a,Hのある元h について、aha^-1がHの元でないことを示せばよいと思います。
No.72512 - 2021/01/30(Sat) 17:49:12
★ 確率 / 奏
高校2年です。
次の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

硬貨を投げて表が出たら「勝ち」とし、表が連続して出たときは「連勝」と呼ぶことにする。
例えば12回投げた結果が「表表表表裏裏表表表表表裏」であった場合、「4連勝」と「5連勝」があるが、4連勝は1度だけ起こったと定義する。つまり、5連勝以上は4連勝とはしない。
このような「1枚の硬貨を12回投げたとき4連勝が一度だけ起こる」確率を求めよ。
No.72487 - 2021/01/30(Sat) 00:49:50
☆ Re: 確率 / らすかる
4連勝が一度だけ起こる場合を4連勝のタイミングで場合分けすると
(1) 表表表表裏×××××××
(2) 裏表表表表裏××××××
(3) ×裏表表表表裏×××××
(4) ××裏表表表表裏××××
(5) ×××裏表表表表裏×××
(6) ××××裏表表表表裏××
(7) ×××××裏表表表表裏×
(8) ××××××裏表表表表裏
(9) ×××××××裏表表表表
の9通りで、このうち
(1)と(6)に 表表表表裏表表表表裏××
(1)と(7)に 表表表表裏裏表表表表裏×
(1)と(8)に 表表表表裏×裏表表表表裏
(1)と(9)に 表表表表裏××裏表表表表
(2)と(7)に 裏表表表表裏表表表表裏×
(2)と(8)に 裏表表表表裏裏表表表表裏
(2)と(9)に 裏表表表表裏×裏表表表表
(3)と(8)に ×裏表表表表裏表表表表裏
(3)と(9)に ×裏表表表表裏裏表表表表
(4)と(9)に ××裏表表表表裏表表表表
というパターンが含まれていますので、
(1)〜(9)のパターン数の合計から
下の10通りの重複パターン数の2倍を引いて
2^12で割れば、条件に合う確率が求まりますね。
No.72495 - 2021/01/30(Sat) 07:47:01
☆ Re: 確率 / 奏
ご丁寧な解答ありがとうございます。
お陰様でとてもよく分かりました！
No.72517 - 2021/01/30(Sat) 19:25:29
★ 重積分による体積の算出 / 太郎
xy平面上で0<=x、y<=1 の領域を底面とする柱体で、z=0とz=xyに挟まれる部分の体積を求めよ

この問題の答えを次のように考えたのですがあってますか？

V=∬［領域］(xy-0)dxdy
=∫[0→1]dx ∫[0→1] xy dy
= ∫[0→1] x/2 dx
=1
No.72485 - 2021/01/30(Sat) 00:26:04
☆ Re: 重積分による体積の算出 / らすかる
考え方は合っていると思いますが、
2行目の書き方は{∫[0→1]dx}×{∫[0→1]xydy}の意味となりまずいので
∫[0→1]{dx∫[0→1]xydy}または
∫[0→1]{∫[0→1]xydy}dxのように書く必要があり、
また最後の積分が間違っています。
No.72496 - 2021/01/30(Sat) 07:53:43
☆ Re: 重積分による体積の算出 / 太郎
ありがとうございます。最後の積分は正しくはどのようになりますか？
No.72524 - 2021/01/30(Sat) 22:03:41
☆ Re: 重積分による体積の算出 / 太郎
すみません、解決しました！
No.72526 - 2021/01/30(Sat) 22:18:06
★ マクローリン展開 / android
このマクローリン展開の問題を教えて下さい。
No.72477 - 2021/01/29(Fri) 20:11:39
★ 指数不等式 / kei
高校2年です。

m>0,m≠1/2とする。不等式
2m(9/4)^(x^2-3x+2)-3(3/2)^(x^2-3x+1)+2-2m <0
が1<x<2において常に成立するようなmの範囲を求めよ。

という問題をお教えて下さい。解答がm>1/2になっているのですが(答えのみ分かっています)、自分で解いてみたところ

t=(3/2)^(x^2-3x+1)とおくと与不等式は
(9m/2)t^2-3t+2-2m<0 ★
1<x<2のとき(2/3)^(5/4)≦t<2/3 ※であるから、題意を満たす条件は※における★の左辺の最大値<0としてmの範囲を求めたところ
m>1/(1+[4]√(2/3))
と2/3の4乗根を含む式になってしまいました。

どうぞよろしくお願い致します。
No.72476 - 2021/01/29(Fri) 19:54:59
☆ Re: 指数不等式 / IT
m>1/2　はまちがいのようです。出典はなんですか？
No.72478 - 2021/01/29(Fri) 21:05:59
☆ Re: 指数不等式 / IT
＞　2m(9/4)^(x^2-3x+2)-3(3/2)^(x^2-3x+1)+2-2m
式は合っていますか？
前は(x^2-3x+2)で後ろは(x^2-3x+1)と異なってますが　
No.72479 - 2021/01/29(Fri) 21:22:31
☆ Re: 指数不等式 / kei
学校の先生のプリントです。
解きたい人は答えだけのせておくので自由に解いてみて、といった類いの問題なのですが、ミスプリの可能性？があることが分かり、少しだけ安心しました。
指数が両方ともx^2-3x+1のときとx^2-3x+2のときでも試しに解いたのですが、答えに4乗根が出てきました。
No.72480 - 2021/01/29(Fri) 21:25:49
☆ Re: 指数不等式 / kei
お騒がせしてすみません。直接、先生に質問してみます。
No.72481 - 2021/01/29(Fri) 21:27:39
☆ Re: 指数不等式 / IT
そうですねミスプリントの可能性が高いですので、聞いてみてください。。
出題者は出題を自分で解いてみるべきだと思います。
前は(x^2-3x+2)で後ろは(x^2-3x+1)でも問題としては成立しますが、そうだとすると、本質的でない部分で間違いを犯す可能性を高めるだけだと思います。（出題者もあなにはまっているのかも）
No.72482 - 2021/01/29(Fri) 21:32:14
☆ Re: 指数不等式 / kei
ご迷惑をおかけしてすみません。
ありがとうございました！
No.72483 - 2021/01/29(Fri) 21:39:28
★ 大学数学の質問 / シノビー
自力でやってみたのですが、全然わからないです。
解き方と答えを教えてほしいです。
No.72473 - 2021/01/29(Fri) 18:38:21
☆ Re: 大学数学の質問 / X
条件から
∂x/∂u=x
∂y/∂u=y
∂x/∂v=-y
∂y/∂v=x

∴∂z/∂u=(∂x/∂u)(∂z/∂x)+(∂y/∂u)(∂z/∂y)
=x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y) (A)
∂z/∂v=(∂x/∂v)(∂z/∂x)+(∂y/∂v)(∂z/∂y)
=-y(∂z/∂x)+x(∂z/∂y) (B)
(A)より
(∂^2)z/∂u^2=(∂/∂u){x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)}
=(∂x/∂u)(∂z/∂x)+x(∂/∂u)(∂z/∂x)
+(∂y/∂u)(∂z/∂y)+y(∂/∂u)(∂z/∂y)
=x(∂z/∂x)+x{(∂x/∂u)((∂^2)z/∂x^2)+(∂y/∂u)((∂^2)z/(∂x∂y))
+y(∂z/∂y)+y{(∂x/∂u)((∂^2)z/(∂x∂y))+(∂y/∂u)((∂^2)z/∂y^2)
=x(∂z/∂x)+x{x((∂^2)z/∂x^2)+y((∂^2)z/(∂x∂y))}
+y(∂z/∂y)+y{x((∂^2)z/(∂x∂y))+y((∂^2)z/∂y^2)}
=x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)
+(x^2)((∂^2)z/∂x^2)+2xy((∂^2)z/(∂x∂y)+(y^2)((∂^2)z/∂y^2)
つまり
(∂^2)z/∂u^2=x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)
+(x^2)((∂^2)z/∂x^2)+2xy((∂^2)z/(∂x∂y)+(y^2)((∂^2)z/∂y^2) (A)'

(B)より
(∂^2)z/∂v^2=(∂/∂v){-y(∂z/∂x)+x(∂z/∂y)}
=-(∂y/∂v)(∂z/∂x)-y(∂/∂v)(∂z/∂x)
+(∂x/∂v)(∂z/∂y)+x(∂/∂v)(∂z/∂y)
=-x(∂z/∂x)-y{(∂x/∂v)((∂^2)z/∂x^2)+(∂y/∂v)((∂^2)z/∂x∂y)}
-y(∂z/∂y)+x{(∂x/∂v)((∂^2)z/(∂x∂y))+(∂y/∂v)((∂^2)z/∂y^2)}
=-x(∂z/∂x)-y{-y((∂^2)z/∂x^2)+x((∂^2)z/(∂x∂y)}
-y(∂z/∂y)+x{-y((∂^2)z/(∂x∂y))+x((∂^2)z/∂y^2)}
=-x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)
+(y^2)((∂^2)z/∂x^2)-2xy((∂^2)z/(∂x∂y))+(x^2)((∂^2)z/∂y^2)
つまり
(∂^2)z/∂v^2=-x(∂z/∂x)-y(∂z/∂y)
+(y^2)((∂^2)z/∂x^2)-2xy((∂^2)z/(∂x∂y))+(x^2)((∂^2)z/∂y^2) (B)'

(A)'+(B)'より証明すべき等式を得ます。
No.72475 - 2021/01/29(Fri) 19:26:08
★ 不等式の移行について / ムウマ1993
不等式では(x+a)^2みたいな式を移行するとどなりますか。
-√(a+4000^2+1^2<n(a+4000)-b+k<√(a+4000^2+1^2を移行させて〜<k<〜の形にしたいです。
すなわちn(a+4000)-bを移行させたいです。
No.72471 - 2021/01/29(Fri) 18:29:42
☆ Re: 不等式の移行について / ヨッシー
移行ではなく移項ですね。

等式の場合と同じです。
No.72472 - 2021/01/29(Fri) 18:35:55
☆ Re: 不等式の移行について / ムウマ1993
もう一度やり直しですか。
答えは？？？
No.72474 - 2021/01/29(Fri) 18:50:45
☆ Re: 不等式の移行について / けんけんぱ
移項がわからなければ
各辺に
-n(a+4000)+b
を加えればよいです。
No.72522 - 2021/01/30(Sat) 21:19:09
★ (No Subject) / 大下誠一郎
この変形はどうして成り立つのですか？
No.72467 - 2021/01/29(Fri) 15:09:48
☆ Re: / ヨッシー
問題に、
　f((x+y)/2)≦(1/2){f(x)＋f(y)}
と書いてあります。
これに、ｘ＝(x1+x2)/2、ｙ＝(x3+x4)/2 を代入したものです。
No.72468 - 2021/01/29(Fri) 15:29:04
☆ Re: / 大下誠一郎
なるほど！ありがとうございます！
No.72497 - 2021/01/30(Sat) 09:09:26
★ (No Subject) / 橋
問題とその指針なのですが、(2)では、なぜ硬貨2枚のときをかんがえないのですか？
No.72464 - 2021/01/29(Fri) 11:33:56
☆ Re: / らすかる
例えば「3枚の硬貨を投げて全部表になる確率を求めよ」という問題の場合
1枚の硬貨を投げて表になる確率は1/2
→3枚の硬貨を投げて全部表になる確率は(1/2)^3
のように考えて、「2枚の場合」は考えませんよね。
これと同じです。
No.72466 - 2021/01/29(Fri) 11:43:50
★ (No Subject) / 坂本
この問題なのですが、直線OP,OQを考えてしまうのは、p=0,q=0の場合もあるため、不可能ですか？解答では、直線PQを考えて処理していました。
No.72460 - 2021/01/29(Fri) 09:20:32
☆ Re: / ヨッシー
直線OP,OQを考える
直線PQを考える
というのが、どういう解き方かわかりませんが、
ｐ＝０やｑ＝０の場合が（多分直線がｙ軸に平行になるため？）
同じように計算できないなら、それだけ個別に計算してやれば良いと思います。
No.72461 - 2021/01/29(Fri) 09:29:57
☆ Re: / 坂本
確かにそうですね。ありがとうございます！
No.72463 - 2021/01/29(Fri) 11:31:51
★ 点と直線の距離の公式について / ムウマ1993
点と直線の距離の公式は、
１点 A(p , q) から直線 ax+by+c=0 にひいた垂線の長さは
|ap+bq+c|√a2+b2とおいて、それぞれ代入するのが上席ですが、ここで問題。
円の中心が原点ではない場合は、どうなりますか。
例えば円 x^2+(y-4000)^2=4000^2 の中心は (0 , 4000)，半径は 4000
　点　(0 , 4000) と直線 3x - y+k=0 の距離 d はいくつになるのでしょうｋま。
No.72458 - 2021/01/29(Fri) 07:52:56
☆ Re: 点と直線の距離の公式について / ヨッシー
まず訂正から
|ap+bq+c|√a2+b2 ではなく |ap+bq+c|/√a2+b2
もっと正確には |ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

上席→定石

この公式は、原点からの距離ではなく、平面上の任意の点(p,q) からの
距離の公式なので、点(0,4000) からなら
　ｄ＝|3・0−4000＋k|/√(3^2＋1^2)
です。
ちなみに、原点から直線 ax+by+c＝0 までの距離は
　|c|/√(a^2+b^2)
これは、|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) に x=0, y=0 を代入したもので、その意味では、
　|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)
だけ知っていれば十分です。
No.72459 - 2021/01/29(Fri) 08:16:50
★ 剰余 / あ
１番についての質問ですが、直接証明で証明することは出来ましたが、S_i != S_j の時に除数の違いによるkの算出方法で条件分岐が多く証明が長くなりすぎてしまいます。対偶法や背理法も考えてみましたが、否定の処理で仮定がよくわからなくなってしまいます。

条件分岐を少なくする方法（剰余をどうまとめるか）、または対偶法や背理法での正しい仮定を教えてください
No.72455 - 2021/01/29(Fri) 05:43:56
☆ Re: 剰余 / あ
問題文です
No.72456 - 2021/01/29(Fri) 05:44:53
☆ Re: 剰余 / ast
# いくつかtypoが見られるのは, これ自分で打ち込んで何かで出力したものってこと?
## たとえば lt と le の混同 (後者は等号付きの判定を別で用意したとか?)
## ほかにもたとえば io(S) の戻り値は boolean だから 6 行目 "=" のあとは "T iff" が入る?
# もし手打ちしたなら, 掲示板に直接テキスト入力してもらった方がやり取りの際の引用など考えると
# 利便性の面でいろいろありがたいのだけど (画像は画像で意味はあるとは思うけど)

きちんと書いてみてはいないが, S' は 1,0,3,0 の繰り返しなのだから, 4項ごとにブロックに区切って (高校数学式に言うと群数列とかいうやつ), i も j も mod 4 で考えれば k は j+(4-j mod 4)+(i mod 4) くらい (でいいかな?) をとればイケるのでは?
# 想定している方法は, (i の属するのがどのブロックでも) i番目の項の値 x は 1,0,3,0 のどれかなので,
# 意味があるのは i がそのブロックの頭から何個目かだけ.
# 同様に (j が何番目のブロックにあっても) 1,2,3,4 のうち適当な数を足して
# 次のブロックの先頭を検出すれば, そこから i 番目の項と同じ値 x は必ず i mod 4 項先にある.

この方法も十分直截的な証明だと思うし, 質問者さんの言ってる「直接証明」ってのがどういうものかよくわからないからアレだが……
# まあ, 4 で割って 2 あまるのと 4 で割り切れるのとどっちかはサボれる気がするし,
# また j<i のときはややこしいこと考えなくても k=i で十分だから, 結局は i=1,2,3,4 だけ調べても
# この場合は一般性を失わないということでいいと思うけど.
No.72462 - 2021/01/29(Fri) 09:42:46
★ 空間ベクトル / たけかわ
次の問題を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

四面体OABCの辺OA、OB上にそれぞれ点D、Eをとる。ただし、点Dは点O、Aとは異なり、AEとBDの交点Fは線分AE、BDをそれぞれ2:1、3:1に内分している。また、辺BCをt:1 (t>0)に内分する点Pをとり、CEとOPの交点をQとする。直線FQと平面ABCが平行となるようなtの値を求めよ。

ちなみに答えがt=4/3になることが分かっています。すみませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.72454 - 2021/01/29(Fri) 02:29:52
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー
ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ と置きます。

最終目標は、ＦＱ を
　ｕａ＋ｖｂ＋ｗｃ
と表したとき、ｕ＋ｖ＋ｗ＝０ となるｔを求めることです。
（ＦＱ＝ｍＢＡ＋ｎＢＣ と表せる必要十分条件）

ＯＤ＝ｄａ、ＯＥ＝ｅｂ とします。
ＢＤ上の点Ｆについて
　ＯＦ＝(3d/4)ａ＋(1/4)ｂ
ＡＥ上の点Ｆについて
　ＯＦ＝(1/3)ａ＋(2e/3)ｂ
係数比較して
　ｄ＝4/9、ｅ＝3/8
となり
　ＯＦ＝(1/3)ａ＋(1/4)ｂ　　・・・(i)

ＥＱ：ＱＣ＝ｓ：１ とします。
　ＯＱ＝{1/(s+1)}ＯＥ＋{s/(s+1)}ＯＣ
　　　＝{3/8(s+1)}ｂ＋{s/(s+1)}ｃ
　ＯＰ＝{1/(t+1)}ｂ＋{t/(t+1)}ｃ
ＯＰ//ＯＱ より
　{3/8(s+1)}：{s/(s+1)}＝{1/(t+1)}：{t/(t+1)}
　{3/8(s+1)}{t/(t+1)}＝{s/(s+1)}{1/(t+1)}
両辺 (s+1)(t+1) を掛けて
　3t/8＝s
よって、
　ＯＱ＝{3/8(3t/8+1)}ｂ＋{3t/8(3t/8+1)}ｃ　・・・(ii)
と書けます。

(i)、(ii) より
　ＦＱ＝ＯＱ−ＯＦ
　　＝{3/8(3t/8+1)}ｂ＋{3t/8(3t/8+1)}ｃ−(1/3)ａ−(1/4)ｂ
係数を全部足して、
　{3/8(3t/8+1)}＋{3t/8(3t/8+1)}−1/3−1/4＝０
これを解いて
　ｔ＝4/3
となります。
No.72457 - 2021/01/29(Fri) 07:36:22
☆ Re: 空間ベクトル / らすかる
別解
条件を満たすためにはAとCが重なる方向から見た図でFとQが一致すればよく、
そのときOFとABの交点をGとすればGとPが一致するためt=GB/AG
「△OABの内部に点FがあってOFとABの交点をG、AFとBOの交点をE、BFとOAの交点をDとして
点GがABをp：qに内分し、点EがBOをr：pに内分し、点DがOAをq：rに内分しているとき
点FはOGをp+q：rに内分し、AEをr+p：qに内分し、BDをq+r：pに内分する」
を使うとp,q,rが互いに素な自然数として
AF：FE=r+p：q=2：1、BF：FD=q+r：p=3：1からp=3,q=4,r=5なので
AG：GB=p：q=3：4
∴t=4/3
No.72465 - 2021/01/29(Fri) 11:37:19
☆ Re: 空間ベクトル / たけかわ
ヨッシー様
らすかる様

丁寧な解説ありがとうございます！
とてもよく分かりました！
No.72469 - 2021/01/29(Fri) 15:57:48
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