次の問題を教えて下さい。よろしくお願い致します。
xyz空間内の点A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,1,1),E(0,0,0),F(1,0,0),G(1,1,0),H(0,1,0),を頂点とする1辺の長さが1の立方体を考える。辺BF上に1点Pをとり、線分BPの長さをaとする。3点A,G,Pを通る平面によるこの立方体の切断面の面積をaを用いて表せ。
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No.72571 - 2021/02/01(Mon) 22:41:27
| ☆ Re: 断面積 / らすかる | | | AP=√(1+a^2), PG=√(1+(1-a)^2), AG=√3
なのでヘロンの公式の変形
辺の長さの2乗がp,q,rのとき
S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
に代入することで
(切断面の面積)=2S
=(1/2)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
=(1/2)√{2{(1+a^2)(1+(1-a)^2)+3(1+(1-a)^2)+3(1+a^2)}
-{(1+a^2)^2+(1+(1-a)^2)^2+3^2}}
=(1/2)√{8(a^2-a+1)}
=√{2(a^2-a+1)}
# ヘロンの公式が使えない（覚えていない）場合は上記の解答はまずいですが、
# 要はA,G,Pの座標がわかっていて△AGPの面積の2倍を求めれば
# よいということですから、他に方法はたくさんありますね。
# ・点と直線の距離の公式でPとAGの距離mを求めれば(√3)mが答え
# ・3辺の長さから三平方の定理でPとAGの距離を求めて計算
# ・座標からcos∠APGを求め、AP・GP・sin∠APGで計算
# ・座標からPQ（Qは(0,1,a)）とAGのなす角のsinを求めてAP・GP・(その値)で計算
# など、好きな方法で求めてみて下さい。
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No.72573 - 2021/02/01(Mon) 23:17:27 |
| ☆ Re: 断面積 / 浜松 | | | たくさんの解法ありがとうございます！
とても勉強になりました！
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No.72579 - 2021/02/02(Tue) 03:28:16 |
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