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★ 多変数関数 / kei
高校２年生です。

これまで一文字固定することで多変数関数の最大・最小を考える問題をご質問させていただいたのですが、下記の問題もそれで解けるのでしょうか？方針だけでもよいのでお教え下さい。

実数x,yが
1≦1/x+1/y≦2, 2≦x+y≦4
を満たすとき、x+y+2/x+2/y のとりえる値の範囲を求めよ、という問題です(答えは4√2≦k≦8になります)。

よろしくお願いします。
No.71463 - 2020/12/13(Sun) 20:17:00
☆ Re: 多変数関数 / kei
分数の式は
1≦1/x+1/y≦2の中辺は、
1/xと1/yの和を、
値域を求めるx+y+2/x+2/yは
xとyと2/xと2/yの和を表しています。分かりにくくてすみません。
No.71465 - 2020/12/13(Sun) 20:21:37
☆ Re: 多変数関数 / IT
そのままで一文字固定でできるかも知れませんが、むつかしいそうです。

ぱっと見、対称性を利用して　s=x+y,t=xy とおいて計算したくなりますね。
1≦1/x+1/y≦2, 2≦x+y≦4　に加えて、
x,yが実数であるための条件をs,tで表す必要があります。
No.71466 - 2020/12/13(Sun) 21:38:17
☆ Re: 多変数関数 / kei
IT様

ご丁寧な指針、ありがとうございます。
教えていただいた説明をもとに解いてみました。

s=x+y,t=xyとおくと、
xとyはXの2次方程式X^2-sx+t=0の実数解であるから判別式を考えて
s^2-4t≧0
∴t≦s^2/4 ・・・☆

また、与えられた条件式は
1≦s/t≦2, 2≦s≦4 ・・・☆☆

z=x+y+2/x+2/yとおくと、z=s(1+2/t)

すると、
z=s+2×s/t≦4+2×2=8 (等号はs=4かつt=2のとき) ∵☆☆

z=s(1+2/t)
≧s{1+2/(s^2/4)}
=s+8/s
≧2√(s×8/s) (相加相乗平均の不等式)
=4√2 (等号はs=2√2のとき成立し、☆☆を満たす)

が成り立つ。
よって、4√2≦z≦8

不備があるかもしれませんが、ここまで到達できてことをとても嬉しく思っています！

上記の解答で良いか、ご確認をお願い致します。
No.71467 - 2020/12/13(Sun) 23:51:05
☆ Re: 多変数関数 / らすかる
一文字固定ではない別解
x+y+2/x+2/y=(x+2/x)+(y+2/y)
x+2/x≧2√2 (等号はx=√2のとき)
y+2/y≧2√2 (等号はy=√2のとき)
x=y=√2は条件を満たしているので2√2+2√2=4√2が最小値
x+y+2/x+2/y=(x+y)+2(1/x+1/y)
条件からx+y≦4、1/x+1/y≦2
x+y=4,1/x+1/y=2を解くとx,y=2±√2となり解は存在するので
最大値は4+2×2=8
与式はx＞0かつy＞0で連続なので、求める範囲は4√2≦(与式)≦8
No.71468 - 2020/12/14(Mon) 04:28:42
☆ Re: 多変数関数 / IT
最小値と最大値を求めるところまでについて、細かいことをいえば、
z=s+2×s/t≦4+2×2=8 (等号はs=4かつt=2のとき) ∵☆☆
では、s=4かつt=2のとき☆を満たすことも言うか、具体的なx,y を示した方が確実です。

z=s(1+2/t)
≧s{1+2/(s^2/4)}∵☆　としておく。


最小値と最大値の間の任意の実数値を取ることは、示す必要があると思います。
らすかるさんは「与式はx＞0かつy＞0で連続なので」とさらっと言っておられます。

下記などが参考になると思います。
https://mathtrain.jp/tyukan

1≦1/x+1/y≦2, 2≦x+y≦4　がｘｙ平面でどんな範囲となるかを図示して　ｚが連続であることから言えば良いと思います。

高校２年だと中間値の定理や関数の連続は未習ですか？
No.71474 - 2020/12/14(Mon) 18:22:41
☆ Re: 多変数関数 / kei
らすかる様

別解ありがとうございます！
下からの評価で、項(xや2/x)が離れていると相加・相乗平均がすぐに思いつかなかったことに反省です。
上から評価したあと、実際に等号が成り立つx,yの存在を言うことで最大値が分かるのですね！
とても勉強になりました。

IT様
等号成立の部分、気を付けます！
文系で数?Vは未習ですが、教科書の例題レベルは微分まで勉強しました。
今までx>0ときx+1/xの値域は相加・相乗平均の不等式でいきなり2以上の全実数としていましたが、これからは連続性についても言及するように注意します。

皆様いつもとても丁寧に教えて下さり、本当にありがとうございます！頑張ります。
No.71476 - 2020/12/14(Mon) 20:37:56
★ 多変数関数 / kei
１日に何度も質問して申し訳ありません。高校２生です。

0≦z≦y≦x≦3のとき、
xyz-2xy-3yz-6zx+9x+6y-8z
の最大値を求めよ。

という問題なのですが(答えは27になります)、以下のような解き方であっているでしょうか？一応答えは一致しています。

与式をFとおき、x,yを固定してzの高々一次関数とみると
F=(xy-3y-6x-8)z-2xy+9x+6y
ここで、zの係数をGとおきxの関数G(x)とみると
G(x)の最大値は
max{G(0),G(3)}=max{-3y-8,-26}<0 (∵y≧0)
であるから、Fはzについて単調減少だがらz=0で最大となる。このとき
F=-2xy+9x+6y=(6-2x)y+9x
をx固定してyの高々一次関数とみると6-2x≧0(∵x≦3)なので、これはy=3のとき最大となり、
F=18+3x≦27 (等号はx=3のとき成立)

よって、(x,y,z)=(3,3,0)のとき与式は最大値27をとる。

長くなりましたが、よろしくお願いします。
No.71460 - 2020/12/13(Sun) 14:26:56
☆ Re: 多変数関数 / IT
>ここで、zの係数をGとおきxの関数G(x)とみると
>G(x)の最大値はmax{G(0),G(3)}
ここでyは固定するのですよね？
y≦x≦3であり、このyによる制約があるので　G(x)の最大値はmax{G(0),G(3)}　と言い切れない気がします。
G(x)の最大値≦max{G(0),G(3)}とするか、
G(x)の最大値＝max{G(y),G(3)}とする必要がありそうです。
No.71461 - 2020/12/13(Sun) 16:08:06
☆ Re: 多変数関数 / kei
IT様
ありがとうございます！
No.71462 - 2020/12/13(Sun) 19:43:19
★ 最小値 / kei
1≦x≦y≦z≦5のとき、
x^2-2xy+yz-zx+3y-2z+5の最小値を求めよ、という問題を教えて下さい。答えは-15になります。よろしくお願いします。
No.71454 - 2020/12/13(Sun) 05:32:55
☆ Re: 最小値 / IT
「質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。」
とお願いが書いてあります。
No.71455 - 2020/12/13(Sun) 07:46:43
☆ Re: 最小値 / IT
まずy,z を固定してｘの関数として調べる。
つぎにzを固定してｙの関数として調べる。
ｚの関数として調べる。
No.71456 - 2020/12/13(Sun) 08:00:53
☆ Re: 最小値 / らすかる
(与式)={(x-y)^2-zx}+{-y^2+yz+3y-2z+5}
x≦yなので(x-y)^2はxがyに近いほど、すなわち大きいほど小さくなり、
-zxもxが大きいほど小さくなる。従って最小値をとるときx=y
xにyを代入して整理すると
(与式)=-y^2+3y-2z+5
zは大きいほど小さくなるから、最小値をとるときz=5
代入して整理すると
(与式)=-y^2+3y-5=-(y-3/2)^2-11/4
これはyが3/2から遠いほど小さくなり、y=5のとき最小なので
結局x=y=z=5のときが最小となり、最小値は-15。
No.71457 - 2020/12/13(Sun) 08:42:55
☆ Re: 最小値 / kei
IT様
すみません。気を付けます。そして、方針ありがとうございました！

らすかる様
先程に続き、丁寧な解説ありがとうございます！
No.71458 - 2020/12/13(Sun) 12:13:05
★ (No Subject) / やま
問5.29が全く分かりません。どなたか教えて頂けると幸いです🙇
No.71451 - 2020/12/12(Sat) 23:43:53
★ (No Subject) / やま
問5.31が分かりません。どなたか教えて頂けると幸いです🙇
No.71450 - 2020/12/12(Sat) 23:42:42
★ 不等式 / kei
不等式x^2+y^2≦1を満たすx,yが常に不等式
(tx-y-2t)(x-y-t+1)≧0
を満たすようなtの値の範囲を求めよ、という問題を教えて下さい。
答えはt≦-√3/3,t≧1+√2になることが分かっています。よろしくお願いします。
No.71449 - 2020/12/12(Sat) 23:11:18
☆ Re: 不等式 / らすかる
左辺は2直線で区切られた領域で直線をまたぐと符号が変わりますので、
（もしこれを知らない場合はtに適当な値を入れて図示してみて下さい）
「いずれの直線もx^2+y^2≦1の内部を通らない」
「原点が不等式を満たす」
の2条件を満たせばいいですね。
「直線tx-y-2t=0がx^2+y^2≦1の内部を通らない」
＝「直線tx-y-2t=0と原点との距離が1以上」なので、
点と直線の距離の公式により |-2t|/√(t^2+1)≧1
これを解いて t≦-√3/3 または t≧√3/3 … (1)
同様にx-y-t+1=0も点と直線の公式により|-t+1|/√2≧1
これを解いて t≦1-√2 または t≧1+√2 … (2)
「原点が不等式を満たす」は(x,y)=(0,0)を代入して (-2t)(-t+1)≧0
これを解いて t≦0 または t≧1 … (3)
-√3/3＜1-√2＜0＜√3/3＜1＜1+√2 なので
(1)と(2)と(3)の共通領域は
t≦-√3/3 または t≧1+√2
となります。
No.71452 - 2020/12/13(Sun) 03:19:19
☆ Re: 不等式 / kei
らすかる様
とても分かりやすくて丁寧な解説、ありがとうございました。しっかりと復習してみます！
No.71453 - 2020/12/13(Sun) 04:02:12
★ 相似の発展問題 / たな
これら3問の解説をお願いします。
答えは?@2:3?A8/5?B6cm
No.71448 - 2020/12/12(Sat) 21:12:16
★ (No Subject) / のののおか
赤で囲ったのが問いです。
この問題でcの範囲で0を含んでいいのは少数第3いまででおわる数と言われているからですか？もし少数第3いでおわる数と言われていたらcは0を含みませんよね？？
No.71446 - 2020/12/12(Sat) 19:50:54
☆ Re: / X
仰る通りです。
No.71464 - 2020/12/13(Sun) 20:18:13
★ 電場について / 物理
物理の電場についてご質問させて下さい。

３-(d)のみが分かりませんでした。
3-(e)はそのまま(d)に代入するだけだと思いますので問題ありません。

問4は計算間違いはないと思いますが、式の立て方は間違っておりませんでしょうか？

どうかよろしくお願い申し上げます。
No.71443 - 2020/12/12(Sat) 18:12:35
☆ Re: 電場について / X
＞＞３-(d)のみが分かりませんでした。
問題文の通り、(c)の結果にq=1[C]を代入するだけです。

＞＞式の立て方は間違っておりませんでしょうか？
間違っていません。
No.71444 - 2020/12/12(Sat) 18:19:57
☆ Re: 電場について / 物理
ご解答ありがとうございます。
「（平板間の電位差）」という文字に惑わされてしまっておりました。
解決致しました！
いつもありがとうございます。

これからもどうかよろしくお願い致します。
No.71445 - 2020/12/12(Sat) 18:38:47
★ 不等式 / ブルー
問題
n個の非負の実数x_iに対して次の不等式を証明せよ。
Σはi=1~nでとるものとする。
Σx_i/(1+Σx_i)>=1/n Σx_i/(1+x_i)

私の解答
帰納法で証明しようと思いました。
n=1のときは明らか
nのとき成立すると仮定してn+1のとき
1/(n+1)Σ_{i=1~n+1}x_i/(1+x_i)
=1/n×n/(n+1) Σx_i/(1+x_i)+1/(n+1)×x_{n+1}/(1+x_{n+1})
<= n/(n+1) ×Σ(x_i/(1+x_i))+1/(n+1)×x_{n+1}/(1+x_{n+1})

通分してもいい感じの形が出てこないので詰まっています。
アドバイスお願いします。
No.71440 - 2020/12/12(Sat) 17:37:51
☆ Re: 不等式 / IT
証明すべき不等式の右辺は（1/n) Σ(x_i/(1+x_i)) ですよね？
x≧0でx/(1+x) は単調増加なので、(Σx_i)/(1+Σx_i)>=x_i/(1+x_i)　です。
No.71447 - 2020/12/12(Sat) 20:14:17
☆ Re: 不等式 / IT
帰納法によらなくてもいいと思いますが、あえて帰納法による場合も
Σx_i/(1+Σx_i)>=1/n Σx_i/(1+x_i)　よりも
n(Σx_i)/(1+Σx_i)>=Σ(x_i/(1+x_i)) の形の方が整理しやすいと思います。
No.71459 - 2020/12/13(Sun) 13:50:15
★ 大小判定 / ブルー
問題
(0.99)^{99}と(1.01)^{-101}の大小判定せよ。

私の解答
x=100とすると
(0.99)^{99}=(1-1/x)^{x-1}
(1.01)^{-101}=(1-1/(x+1))^{x+1}
なので関数f(x)= (1-1/x)^xの増減を調べる。
(1+1/x)^xは単調増加なのでf(-x)={(1+1/x)^x}^{-1}は単調減少。よってf(x)は単調増加となる。
したがってf(100)<f(101)であり
f(100)=(0.99)^{100}
f(101)=(1.01)^{-101}


これでは(0.99)^{99}にならず評価が甘いです。
(0.99)^{99}>(0.99)^{100}なので
f(101)との大小判定もできません。

アドバイスお願いします。
No.71438 - 2020/12/12(Sat) 17:25:47
☆ Re: 大小判定 / IT
どんなレベルの何分野の問題ですか？
任意の自然数n,実数x≧-2について(1+x)^n ≧1+nx を使えば評価できるのでは?

a=((0.99)^99)/(1.01)^{-101} と1の大小判定をする。
a=((0.99)^99)(1.01)^101
=(((0.99)(1.01))^99)(1.01)^2
=((0.9999)^99)1.0201
=((1-0.0001)^99)1.0201
≧(1-0.0099)1.0201
＝0.9901*1.0201
＞0.99*1.02＞1
No.71442 - 2020/12/12(Sat) 18:10:11
★ 確率 / いいいい
よろしくお願いします。
No.71436 - 2020/12/12(Sat) 15:49:04
☆ Re: 確率 / IT
出来たところまで書き込んでみてください。
答え（の数値）も　略解もなしですか？
（受験勉強なら、解答解説付きの問題集・参考書で演習されることをお勧めします。さっぱりわからないのなら、教科書で復習されることをお勧めします。）
No.71437 - 2020/12/12(Sat) 16:32:36
☆ Re: 確率 / IT
（略解）
白玉２個の確率をa,黒玉２個の確率をb,黒白１個の確率をc とする

求める確率は,(ax^2+bx+c)^4 を展開して　x^3=1として次数を落として整理したときのx^2の係数に等しい。

(ax^2+bx+c)^2=(a^2)x^4+(b^2)x^2+c^2+2abx^3+2acx^2+2bcx
=(a^2)x+(b^2)x^2+c^2+2ab+2acx^2+2bcx
=(b^2+2ac)x^2+(a^2+2bc)x+c^2+2abなので、
求める確率は　2(b^2+2ac)(c^2+2ab)+(a^2+2bc)^2　
No.71439 - 2020/12/12(Sat) 17:27:18
★ 確率 余事象 / 醤油雨
赤、青、白のカードがそれぞれ二枚あり、合計六枚のカードがある。これを3人に二枚ずつ配るとき、各自受け取ったカードの二枚の色が異なっている確率を求めよ。

答えは8/15なのですが余事象でとくと14/15になってしまいます。
私の計算だと余自称が6×8/6!=1/15になるのですがこれではなぜだめなのでしょうか。
おしえてくださるとありがたいです。
No.71430 - 2020/12/12(Sat) 11:43:16
☆ Re: 確率 余事象 / IT
> 私の計算だと余事象が6×8/6!=1/15になるのですがこれではなぜだめなのでしょうか。

どんな考え方で計算しましたか？

３人全員がそれぞれ同じ色の場合あるいは
１人だけが同じ色２枚、残りの２人は違う色２枚の場合
どちらかだけを求めているのでは？
No.71431 - 2020/12/12(Sat) 12:00:58
☆ Re: 確率 余事象 / 醤油雨
三人のもらうカードの一枚目二回目を区別して赤、青、白のカードの二枚もくべつしています。
この上で同じ色を並べる方法を書き出すと48通りになります。
具体的には、3人に配るカードを一旦区別しないで考えると赤、青、白の並べ方が6通り。その上で3色のカードの一枚目二回目を区別すると8通り（書き出して求めました）なので並べ方は48通りで、48/6!=1/15
よって答えは14/15としました。
No.71432 - 2020/12/12(Sat) 12:21:11
☆ Re: 確率 余事象 / IT
３人全員がそれぞれ同じ色の場合だけを求めているのでは？

１人だけが同じ色２枚、残りの２人は違う色２枚の場合もあります。
No.71433 - 2020/12/12(Sat) 12:26:40
☆ Re: 確率 余事象 / 醤油雨
本当ですね!!!!!!!!
こんなことに気づかなかったとは…
本当にありがとうございますこれで。今後ミスが無いように気をつけてけそうです!
No.71434 - 2020/12/12(Sat) 12:40:31
★ 教えてください / 匿名特茶
後輪に図のような半径rのバンドブレーキを備えた自転車が速度v0で走行しており、これにブレーキをかけて止めることを考える。ただし、自転車本体の質量をm、タイヤ•ホイールの慣性モーメントをI (1つあたり)、外半径をR、ブレーキに作用させる力をF、ブレーキ片と回転体の間の動摩擦係数をμk、接触している角度をθとする。
1)摩擦力の大きさを求めなさい
2)制動距離を求めなさい

この問題教えてください
No.71417 - 2020/12/10(Thu) 16:25:41
☆ Re: 教えてください / X
(1)
添付写真の図におけるブレーキバンドに働く張力をTとすると
Fa=Tb (A)
一方、バンドへの回転体からの抗力をNとすると
N=2Tsin(θ/2) (B)
さらに求める摩擦力をfとすると
f=μ[k]N (C)
(A)(B)(C)より
f=(2μ[k]Fa/b)sin(θ/2)

(2)
制動距離をxとすると、(1)の結果と
(ブレーキをかける前の自転車の走行エネルギー)=(ブレーキの摩擦力のモーメントによる仕事)
により
(1/2)mv[0]^2+2・(1/2)I(v[0]/R)^2={x/(2πR)}・r(2μ[k]Fa/b)sin(θ/2)
これより
{(1/2)m+I/R^2}v[0]^2={rx/(πR)}(μ[k]Fa/b)sin(θ/2)
∴x={πb/{2μ[k]Farsin(θ/2)}}(mR+2I/R)v[0]^2
No.71428 - 2020/12/11(Fri) 16:03:11
★ (No Subject) / pop
A：n×n行列
ある自然数m(<=n)に対しrank(A^m-1)≠rank(A^m)=n-m
この時、rankA=n-1を示せ。

この問題が分かりません。
どこから考えたらよいのでしょうか？
ヒントを頂きたいです。
No.71414 - 2020/12/10(Thu) 12:54:36
☆ Re: / pop
訂正：rank(A^m-1)→rank(A^(m-1))です。
No.71415 - 2020/12/10(Thu) 12:55:43
☆ Re: / IT
A^0,A^1,A^2,...,A^(m-2),A^(m-1),A^m の隣同士のランクを順に比較してみるとよいのでは？

隣同士のランクがどこかで等しくなると、どうなるでしょうか？

A に対応する線形写像をfとして、f,f^i,f^(i+1)などの像(の次元）がどうなるかで考えるとよいと思います。
No.71421 - 2020/12/10(Thu) 18:58:17
☆ Re: / pop
回答有り難うございます。
重ねて質問申し訳ないのですが、f^iという表現を見たことがありません。
写像fの累乗とは何を意味するのでしょうか。
No.71424 - 2020/12/10(Thu) 21:45:30
☆ Re: / IT
例えばf^2(x)は、f(f(x))を表しています。
No.71426 - 2020/12/10(Thu) 22:07:30
☆ Re: / pop
なるほど、合成写像のことをそう表記するのですね。
有り難うございます。
No.71427 - 2020/12/10(Thu) 22:12:22
★ f4(a,b,x)=[(18ab+a-b)/x](双子素数関連) / CEGIPO
（自作問題）
（質問者：社会人）

/*------------------------------------*/
(表記他注意事項)

※以下で断りのない変数は全て自然数とする。
※aとbの積をabまたはa*bまたはa・bで表す。
※aのb乗をa^bで表す。
※a≡q(mod.s),b≡r(mod.s)
を便宜上(a,b)≡(q,r)(mod.s)
で表す。３項以上でも同様。

※aが実数の時
b≦a＜b+1
を満たす整数bを[a]で表す。
/*------------------------------------*/

(ここから本題)

f1(a,b)=6ab-a-b
f2(a,b)=6ab+a-b
f3(a,b)=6ab+a+b

f4(a,b,x)
=[{(f1(a,b)+f2(a,b)+f3(a,b)}/x]
=[(18ab+a-b)/x]

とおく時、

/******************************************/
(予想命題１)

nに対して(6n-1,6n+1)が双子素数の組ならば

nはどんなa,bに対しても
f1(a,b)でもf2(a,b)でもf3(a,b)でも表せず(...[M1])

nはNをn≦Nなるように任意にとって、
n≦N;a,b≦Nを満たす範囲内で
(nは)必ずf4(a,b,12)で表せる(そういうa,bがとれる)(..[M2])。

※注：一般の自然数nがf4(a,b,12)で表せても
(6n-1,6n+1)が必ず双子素数になるわけではない。
(...[M3])

/******************************************/

この命題が成り立つとプログラムの検証結果から
予想しているのですが証明できません。
どなたかできる方いましたらよろしくお願いします。

（というかそもそもこの命題は真でしょうか？）

※補足(2020/12/10)
[M1]部分については自力で証明できました。
（詳細は省略しますが以前別の数学掲示板に
証明を掲載済です（必要であれば再掲します））。
[M3]部分はプログラムで検証すると
そういう事例がいくらでも出てくるので明らかです。

したがって、わからないのは[M2]部分の証明です。
No.71408 - 2020/12/09(Wed) 18:47:50
☆ Re: f4(a,b,x)=[(18ab+a-b)/x](双子素数関連) / CEGIPO
[M1]部分の自力分証明を一応付しておきます。
(※[M2]部分の証明はわかりません）

※以下で断りのない変数は全て自然数とする。
/*////////////////////////////////////*/

/*##############################################*/

nは(6n-1,6n+1)が双子素数の時は
どんなa,bに対しても
f1(a,b)でもf2(a,b)でもf3(a,b)でも表せず(...[M1])

[証明]

上記命題M1は対偶M1'
「nがあるa,bをとって
f1(a,b)かf2(a,b)かf3(a,b)で表せるならば
(6n-1,6n+1)は双子素数とはなりえない」
と同値であるのでこの対偶M1'を証明すればよい。

[M1'の証明]

n=f1(a,b)=6ab-a-bと表せた時
(6n-1,6n+1)
=(6(6ab-a-b)-1,6(6ab-a-b)+1)
=(6(6ab-a-b)-1,(6a-1)(6b-1))

よって(6n-1,6n+1)は双子素数の組ではない。


n=f2(a,b)=6ab+a-bと表せた時
(6n-1,6n+1)
=(6(6ab+a-b)-1,6(6ab+a-b)+1)
=((6a-1)(6b+1),6(6ab+a-b)+1)

よって(6n-1,6n+1)は双子素数の組ではない。


n=f3(a,b)=6ab+a+bと表せた時
(6n-1,6n+1)
=(6(6ab+a+b)-1,6(6ab+a+b)+1)
=(6(6ab+a+b)-1,(6a+1)(6b+1))

よって(6n-1,6n+1)は双子素数の組ではない。

([M1']の証明終わり)
(したがって対偶の対偶[M1]も真)

/*####################################*/

なお、[M1']の逆も真である。
すなわち、
対偶M1'の逆M1''
「(6n-1,6n+1)が双子素数の組でなければ」
「nはあるa,bをとって
f1(a,b)かf2(a,b)かf3(a,b)で表せる」

[M1''の証明]

(6n-1,6n+1)が双子素数の組でないということは
少なくとも一方が合成数である
ということであるから

/**************************************/
《6n-1=q1r1(q1,r1:自然数;q1,r1≧2)の時》

mod.6に関する剰余の考察により
q1=6q2-1,r1=6r2+1(q2,r2:自然数)
と書ける(そう書いても題意を失わない)

すなわち、

6n-1=q1r1=(6q2-1)(6r2+1)
=36q2r2+6q2-6r2-1

n=6q2r2+q2-r2=f2(q2,r2)

/**************************************/

/**************************************/
《6n+1=q3r3(q3,r3:自然数;q3,r3≧2)の時》

mod.6に関する剰余の考察により
q3=6q4-1,r3=6r4-1(q4,r4:自然数)
か
q3=6q5+1,r3=6r5+1(q5,r5:自然数)
と書ける

すなわち、

/*====================================*/
q3=6q4-1,r3=6r4-1ならば

6n+1=q3r3=(6q4-1)(6r4-1)
=36q4r4-6q4-6r4+1

n=6q4r4-q4-r4=f1(q4,r4)
/*====================================*/

/*====================================*/
q3=6q5+1,r3=6r5+1ならば

6n+1=q3r3=(6q5+1)(6r5+1)
=36q5r5+6q5+6r5+1

n=6q5r5+q5+r5=f3(q5,r5)
/*====================================*/

/**************************************/

/*####################################*/

したがって、[M1'']も成り立つ。

そしてこれはM1の逆が成り立つことと同値であるから
結局

/*########################################################*/

/*********************************************************/
(6n-1,6n+1)が双子素数である
⇔
どんなa,bに対しても
nはf1(a,b)でもf2(a,b)でもf3(a,b)でも表せない(...[M0])
/*********************************************************/

が言える。
No.71420 - 2020/12/10(Thu) 18:28:34
★ 関数の可測性について / うい
写真の関数がX=[0,1]でボレル-可測であることを示していただきたいです。
No.71405 - 2020/12/09(Wed) 17:37:49
☆ Re: 関数の可測性について / ast
要は, 各実数 a に対して 1/(x*(log(1/x))^2) > a を満たす x 全体のなす集合が X=[0,1] 内の開集合 (いくつかの開区間の合併) なことが言えれば十分なのだから, 適当にグラフかいて調べればいい (1/(x*(log(1/x))^2) = a となる x の値は具体的に分かるわけではないが, 実用上知る必要はない) という話ですし, 判断材料としては y=1/(x*(log(1/x))^2) が (0,1) 上連続(かつ y>0), lim[x→0]y =lim[x→1]y =+∞ だから可測性は自明, でいいんでは?
# あるいは "y が可測⇔ 1/y が可測" なので, x*(log(1/x))^2 が可測というのでもいい (中身は大して変わらず).

## (この方に限った話ではないです) 最近目立って増えてきて気になっているのですが,
## > 示していただきたいです。
## という「問題文そのままで語尾だけをですます調にした」ような文面が割とみられます.
## もしかすると, 「問題文の命令口調がきつく見えるから」という配慮のつもりかもしれませんが,
## 問題文というのは「学習者へ課題を与えるための文面」なので, 語尾だけ変えたこういう「質問」は
## 受け取り側にとっては要求とかむしろ命令に近い内容をあらわす文面のままです.
### 要は,「示せ」というあなたへの課題を実行することはあなたが請け負うべき仕事であって,
### 回答者がすることではないので「してください」はない. (「示し方を教えてくれ」のほうがまだマシ)
##
## こういった文面を大学生と思しき人でも平気で書いてきますが, こういう書き方は印象良くないですよ,
## というのは中等教育中できれば義務教育中に知って欲しいと思います.
##
### もし本気で「おまえが肩代わりして問題を解け」というような趣旨で掲示板に来ている人の場合は,
### きちんとお金を払って代行業者に依頼することを考えるべきと言っておきます.
### (個人的にやり取りして報酬を払うのなら法的な範囲内でなんでもありでしょうし)
### それがたとえ掲示板でも, (金銭でなくとも) きちんとした代価が支払われる仕組みのある場所でなら
### (対価に見合うと判断されれば) 要求は通るでしょうしね.
##
## まあなんにしても, せっかく文面に気を遣ってくれるというのであれば,
## [a] 問題文は一言一句変えないで (語尾は命令口調のままでいい) 提示すべきですし,
## [b] 質問文はそれとは別に用意すべき (ここは命令口調だとおかしい) です
## この [a],[b] は互いに矛盾しない要請のはずです (たとえば「こういう問題内容です. 質問はこうです.」と書ける)
No.71416 - 2020/12/10(Thu) 13:54:16
★ (No Subject) / 英俊
y=x^2-4,y=3xで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vをもとめよ。という問題を計算を工夫して求める方法を教えていただきたいです。
答えは132πです。
No.71397 - 2020/12/09(Wed) 14:34:28
☆ Re: / らすかる
工夫できるところは計算部分ぐらいの気がしますが
x^2-4=3xを解くとx=-1,4なので積分範囲は-1〜4
y=3xとx軸の交点の座標はx=0
-1≦x≦4の範囲でy=x^2-4とx軸の交点の座標はx=2
-1≦x≦4の範囲でx^2-4=-3xを解くとx=1
よって求める面積は
π{∫[-1〜0](x^2-4)^2-(3x)^2 dx + ∫[0〜1](x^2-4)^2 dx
　　+ ∫[1〜2](3x)^2 dx + ∫[2〜4](3x)^2-(x^2-4)^2 dx}
=π{-∫[-1〜0](3x)^2 dx + ∫[-1〜1](x^2-4)^2 dx
　　+ ∫[1〜4](3x)^2 dx - ∫[2〜4](x^2-4)^2 dx}
=π{-[3x^3][-1〜0] + [x^5/5-8x^3/3+16x][-1〜1]
　　+[3x^3][1〜4] - [x^5/5-8x^3/3+16x][2〜4]}
=π(-3 + 2(1/5-8/3+16) + (192-3) - (1024/5-512/3+64) + (32/5-64/3+32))
=132π

# ほとんど工夫になっていないですね。
No.71399 - 2020/12/09(Wed) 15:24:04
☆ Re: / 英俊
バウムクーヘン型の∫[a〜b]2πxf(x) dxというのは使えるでしょうか？
No.71407 - 2020/12/09(Wed) 18:07:23
☆ Re: / らすかる
> バウムクーヘン型の∫[a〜b]2πxf(x) dxというのは使えるでしょうか？

バウムクーヘン型にすると「高さ」で√が出てきてかえって計算が面倒になる気がしますが、
∫[0〜3]2πy{√(y+4)+y/3}dy + ∫[3〜4]2πy{2√(4-y)+(√(y+4)-y/3)}dy
　　+ ∫[4〜12]2πy{√(y+4)-y/3}dy
= 2π{∫[0〜12]y√(y+4)dy + 2∫[3〜4]y{√(4-y)}dy
　　+ ∫[0〜3]y^2/3 dy - ∫[3〜12]y^2/3 dy}
= 2π{[2(y+4)(3y-8)√(y+4)/15][0〜12] + 2[-2(4-y)(3y+8)√(4-y)/15][3〜4]
　　+ [y^3/9][0〜3] - [y^3/9][3〜12]
= 2π(3712/15 + 68/15 + 3 - 189)
= 132π
のように計算できます。
No.71411 - 2020/12/10(Thu) 01:23:26
★ 複雑な計算 / 英俊
(4×0.224^2／1−0.224^2)×10^5を素早くとくにはどうしたら良いでしょう？
No.71396 - 2020/12/09(Wed) 13:39:39
☆ Re: 複雑な計算 / らすかる
(4×0.224^2／1−0.224^2)×10^5 というのは
{(4×0.224^2／1)−(0.224^2)}×10^5 という意味になりますが、
分母が1は無意味なので多分違いますよね。
{(4×0.224^2)／(1−0.224^2)}×10^5 という意味ですか？
No.71398 - 2020/12/09(Wed) 15:06:56
☆ Re: 複雑な計算 / 英俊
すいません。書き間違えでございます。
No.71401 - 2020/12/09(Wed) 16:17:30
☆ Re: 複雑な計算 / らすかる
{(4×0.224^2)／(1−0.224^2)}×10^5 という意味ですか？
No.71402 - 2020/12/09(Wed) 16:33:04
☆ Re: 複雑な計算 / 英俊
そうです。
No.71406 - 2020/12/09(Wed) 18:02:08
☆ Re: 複雑な計算 / らすかる
{(4×0.224^2)/(1-0.224^2)}×10^5
={(4×0.224^2)/(1^2-0.224^2)}×10^5　（1を1^2にした）
={(4×224^2)/(1000^2-224^2)}×10^5　（分子分母を1000^2倍した）
={(4×28^2)/(125^2-28^2)}×10^5　（分子分母を8^2で割った）
={(4×28^2)/{(125+28)(125-28)}}×10^5
={(4×28^2)/(153×97)}×10^5
=(4×28^2×10^5)/(153×97)　（分母は3^2×17×97なので約分できない）
=313600000/14841

# 余談ですが、「式を計算する」ことは「とく」とは言いません。
No.71412 - 2020/12/10(Thu) 01:39:11
★ 行列 極値 / 彩英
この問題の解法がわからないので教えて欲しいです。
No.71392 - 2020/12/08(Tue) 23:13:25
☆ Re: 行列 極値 / 関数電卓
　∇f＝(∂f/∂x,∂f/∂y)
　D2f＝([∂2f/∂x2,∂2f/∂x∂y],[∂2f/∂y∂x,∂2f/∂y2])
です。与えられた式を次々に偏微分していくだけですよ。
No.71425 - 2020/12/10(Thu) 21:58:14
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