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★ 式の変化について / みもん
中学生の問題です
問題と解答は画像にあります。
解答のＸ²−２Ｘ−４＝０
がその次の行の複雑な分数の式になるところがわかりません。
お手数ですがよろしくお願いします
No.72329 - 2021/01/24(Sun) 10:26:20
☆ Re: 式の変化について / ヨッシー
これは習っていませんか？

というか、習っているからこそのこの解答ですが。
No.72330 - 2021/01/24(Sun) 10:36:57
☆ Re: 式の変化について / みもん
基本的な知識が抜けていました。
教えていただき、ありがとうございました。
No.72331 - 2021/01/24(Sun) 11:15:12
★ 図形 / たけかわ
連続での質問で申し訳ありません。

三角形ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとし、外心をOとする。AB=2、AC=3、OC⊥ADであるとき、三角形ABCの面積を求めよという問題を教えて下さい。

よろしくお願いします。
No.72326 - 2021/01/24(Sun) 05:59:12
☆ Re: 図形 / らすかる
直線ADと外接円の交点のうちAでない方をEとすると
∠BAE=∠CAEであることからBE=CE
またOC⊥ADからOCはAEの垂直二等分線なのでAC=CE
よって四角形ABECはAB=2、BE=EC=CA=3の等脚台形
AからCEに垂線AHを下すとCH=(CE-AB)/2=1/2なので
AH=√(AC^2-CH^2)=√35/2となり
等脚台形ABECの面積は(AB+CE)×AH÷2=5√35/4
AD：DE=AB：EC=2：3から△ABC：△ECB=2：3なので
△ABC=(2/5)(5√35/4)=√35/2
No.72327 - 2021/01/24(Sun) 07:56:42
☆ Re: 図形 / たけかわ
らすかるさん

２問続けてお世話になりました。
どうもありがとうございます！
No.72343 - 2021/01/24(Sun) 17:53:26
★ 図形 / たけかわ
長方形ABCDの対角線AC上に点Pをとる。AB=√3、BC=2+√7、∠CPD=30°のとき、APの長さを求めよという問題を教えて下さい。

よろしくお願いします。
No.72322 - 2021/01/24(Sun) 00:10:26
☆ Re: 図形 / らすかる
AC=√{(√3)^2+(2+√7)^2}=√(14+4√7)
DからACに垂線DHを下すと△ABC∽△CHDから
DH=(BC/AC)CD=(2+√7)(√3)/√(14+4√7)=√(294+84√7)/14
CH=(AB/AC)CD=(√3)(√3)/√(14+4√7)=√(294-84√7)/14
PH=(√3)DH=3√(98+28√7)/14
∴AP=AC-CH-PH=√(14+4√7)-√(294-84√7)/14-3√(98+28√7)/14
=√(98+7√7)/7
=√(2+1/√7)

# 直接計算しましたが、a=√3,b=2+√7とおいて文字で計算してから
# 最後に代入した方が楽ですね。
No.72324 - 2021/01/24(Sun) 04:54:20
☆ Re: 図形 / たけかわ
らすかるさん

とても分かりやすい解説、どうもありがとうございました！
No.72325 - 2021/01/24(Sun) 05:56:23
★ ベクトル / kei
高校２年です。

AB=3,AC=4,∠BAC=60°である三角形ABCの外心をQとする。∠BACの二等分線上に点Pをとるとき、線分PQの長さが最小になるような↑APを↑AB,↑ACで表せ。

という問題なのですが、
↑AP=4k↑AB+3k↑ACとおき、
↑AQ=(2/9)↑AB+(5/12)↑ACを求めた後、
|↑PQ|^2をkの二次式で表し、平方完成して最小値を考える方針でよいでしょうか？

もし、図形的に上の方法より簡単に解くことができたらお教え下さい。よろしくお願いします。
No.72321 - 2021/01/23(Sat) 23:36:12
☆ Re: ベクトル / mathmouth
図形的に考えるならば
直線上の動点Pと、直線外の定点Qを結ぶ線分PQの長さが最小となるのはPがQから直線へ下ろした垂線の足であるときです.つまり、↑AP⊥↑PQなるときにPQの長さは最小となります.
No.72323 - 2021/01/24(Sun) 01:19:05
☆ Re: ベクトル / kei
どうもありがとうございました！
No.72337 - 2021/01/24(Sun) 16:01:27
★ 数学 / まい
解答までのアプローチのしかたと
解答お願いします
できるだけくわしく書いてくださるとありがたいです
No.72318 - 2021/01/23(Sat) 15:50:01
★ (No Subject) / ムウマ1993
下に開いている傾いた放物線があります。
ただし、原点は通りません。
続いてx^2+(y-b)^2=4000^2の円があり、
交点の距離間が99.6mであります。
2つの交点のうち、x<0のほうが、y=33x/10000と重なっており、x>0の交点はy=299/10000と重なっています。
この時、交点はいくつになるでしょうか。
No.72312 - 2021/01/23(Sat) 14:34:40
☆ Re: / ムウマ1993
交点の長さというのは放物線の方の距離のことで、交点から線を引いた直線の長さのことではありません。
No.72313 - 2021/01/23(Sat) 14:49:37
☆ Re: / らすかる
・「交点の距離間」とはどことどこの距離のことですか？
・いきなり「99.6m」とここだけ単位が付いていますが、
　他の数の単位は何ですか？単位を除いて考えても大丈夫ですか？
・追加された説明文は意味不明です。

しかし図形を描くための条件は不足していますが、
「2つの交点」と言っていますので
「交点はいくつ」の解答は「2つ」だと思います。
No.72317 - 2021/01/23(Sat) 15:33:13
★ 放物線と円の関係について / 寝屋川のムウマ
y=x^2/nとx^2+(y-b)^2=r^2のグラフについて
rの値が4000もしくは3000の場合の時、
放物線が原点を通り、共有点を2個持ち、かつ、円がy=0より下にならないようになるグラフを教えてください。
No.72304 - 2021/01/23(Sat) 10:28:18
☆ Re: 放物線と円の関係について / らすかる
72294で書いた回答のn^2をnに置き換えるだけです。

r=4000のとき円の中心は(0,(64000000+n^2)/(4n))で
2接点は(±√(64000000-n^2)/2,(64000000-n^2)/(4n))
（ただしn＜8000）

r=3000のとき円の中心は(0,(36000000+n^2)/(4n))で
2接点は(±√(36000000-n^2)/2,(36000000-n^2)/(4n))
（ただしn＜6000）

一般のrのとき円の中心は(0,(4r^2+n^2)/(4n))で
2接点は(±√(4r^2-n^2)/2,(4r^2-n^2)/(4n))
（ただしn＜2r）

となります。
No.72307 - 2021/01/23(Sat) 11:29:24
☆ Re: 放物線と円の関係について / 寝屋川のムウマ
さらに、追加。単純な一次関数y=x/10000+cとの交点をお求めください。
No.72308 - 2021/01/23(Sat) 12:11:24
☆ Re: 放物線と円の関係について / 寝屋川のムウマ
すみません、間違えました。
y=6x^2/10000のとき、x^2+(y-b)^2=4000^2でさらに一次式y=3x/10000+bの時のx、y、b、cの値と計算方法をお求めください。
ただし、放物線はy=2nx^2/10000、一次式はy=nx/10000となるものとする。
No.72310 - 2021/01/23(Sat) 12:35:07
☆ Re: 放物線と円の関係について / らすかる
放物線 y=6x^2/10000 に
円 x^2+(y-b)^2=4000^2 が2点で接し、さらに
直線 y=3x/10000+b がその接点を通るようなx,y,bは存在しません。
また、「c」と「ただし」以下は意味不明です。
もし円が放物線に接する場合でないのであれば、このスレの問題とは
違いますので、新しく質問して下さい。
No.72316 - 2021/01/23(Sat) 15:26:48
★ 濃度について / meow
(2)の
(R* : R+)について質問です．
感覚的に答えは2だと思うのですが，
R*/R+ = { R+ , -(R+) }
-(R+)はR+の(-1)倍という意味です．
このような解釈で良いでしょうか？

(3)についてなのですが，
R- : 負の実数全体の集合とすると，
R*={R＋,R-}となり，
R-は単位元e(ここでは1)がe∉R-となるので部分群とならない．
のような感じで良いでしょうか？
No.72300 - 2021/01/23(Sat) 03:38:31
☆ Re: 濃度について / IT
(3)Hの候補がR+,R-　しかないこと が言えてないのでは？

(R*:H)=2 より　剰余群　R*/H の位数は２なので
　x∈R+ならば、(√x)^2 ∈H すなわち　x∈H
　したがって　R+ ⊆ H ⊆R*
(R*:R+)=2　なので　R+ = H という感じでは？
No.72303 - 2021/01/23(Sat) 10:27:48
☆ Re: 濃度について / IT
(2)表記法は、講義やお使いのテキストなどに従えばいいと思いますが、 私は　-(R+)　よりも　(-1)R+　の方が良いような気がします。
No.72306 - 2021/01/23(Sat) 10:48:59
☆ Re: 濃度について / meow
ITさん回答ありがとうございます．
(2)の表記に関しては，自分で勝手に表記してしまいました．
(-1)の表記の方がパッと見で理解しやすいですね．

(3)についてですが，
確かに
(R* : H)=2ならば{R+,R-}
とは言い切れないですよね．．．
部分群はR+しかない，とすると(2)の回答も生きてくるのでなるほどなと言う感じです．
No.72314 - 2021/01/23(Sat) 14:58:40
★ (No Subject) / わんわん
aを実定数とする。
∫[π/4, π/2] (tanx)^a dx
が広義積分可能となるためのaの条件を求めよ

という問題がわかりません。a=1で収束しないことと、積分範囲で1≦tanx<(tanx)^aであることから、a<1ということはわかりましたが、そこから手詰まりになってしまいました。ご教授ください。
No.72299 - 2021/01/23(Sat) 02:06:53
☆ Re: / IT
>積分範囲で ････ tanx<(tanx)^a　
なぜですか？ a＞1のとき ということでしょうか？

a＜1のときは、
1≦tanx<1/(π/2-x) を使って評価すれば良いのでは？
No.72320 - 2021/01/23(Sat) 17:34:25
★ 放物線と円の関係について / 寝屋川のムウマ
y=(n/x)^2とn^2+(y-b)^2=r^2のグラフの関係について
rの値が4000もしくは3000の場合の時、
放物線が原点を通り、共有点を2個持ち、かつ、円がy=0より下にならないようになるグラフを教えてください。
No.72292 - 2021/01/22(Fri) 19:30:19
☆ Re: 放物線と円の関係について / らすかる
↓こちらで回答しましたが、
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=72190
これと何か違うのですか？

もしかして、
以前の問題は y=nx^2, x^2+(y-b)^2=r^2
今回の問題は y=(x/n)^2, x^2+(y-b)^2=r^2
のように放物線の係数だけ違うのですか？
# y=(n/x)^2（分母がx）はy=(x/n)^2（分母がn）の間違い、
# n^2+(y-b)^2=r^2はx^2+(y-b)^2=r^2の間違いと判断しました。

もし係数のnが1/n^2になっただけなら、以前の解答のnの部分を
1/n^2に置き換えるだけですから、
r=4000のとき円の中心は(0,(64000000+n^4)/(4n^2))で
2接点は(±√(64000000-n^4)/2,(64000000-n^4)/(4n^2))
（ただしn＜40√5）
r=3000のとき円の中心は(0,(36000000+n^4)/(4n^2))で
2接点は(±√(36000000-n^4)/2,(36000000-n^4)/(4n^2))
（ただしn＜20√15）
一般のrのとき円の中心は(0,(4r^2+n^4)/(4n^2))で
2接点は(±√(4r^2-n^4)/2,(4r^2-n^4)/(4n^2))
（ただしn＜√(2r)）
となります。
No.72294 - 2021/01/22(Fri) 20:41:14
★ (No Subject) / かえるくん
中学2年生の図形の問題です。どう問いたらいいですか？

答えは(19.0)など　となっています。
No.72289 - 2021/01/22(Fri) 18:25:40
☆ Re: / ヨッシー
面積が等しく、Ａを通るという条件だけなら、
何だって出来るんでしょうが、たぶんこういう
等積変形を求めてるんでしょう。

No.72290 - 2021/01/22(Fri) 19:00:23
☆ Re: / ヨッシー
あ、ＯＡＤだから、真ん中のはダメですね。
No.72291 - 2021/01/22(Fri) 19:02:38
☆ Re: / かえるくん
ヨッシー様
ありがとうございます！等積変更わかりました！
すみません、座標はどうやって求めているのでしょうか。
面積を求めるのでしょうか。詳しく教えていただけたら助かります。
No.72293 - 2021/01/22(Fri) 20:01:34
☆ Re: / ヨッシー

たとえばこの図では、ＢをＤまで動かしますが、
このＢからＤまでの経路はどんな方向に動かせば、
面積が変わらないですか？
これぞ、等積変形の鉄則です。
（変更ではなく変形です）
No.72295 - 2021/01/23(Sat) 00:00:40
☆ Re: / かえるくん
何度も申し訳ありません。
この変形の場合の、座標(19.0)
はどうやって数字を求めているのでしょうか。
No.72296 - 2021/01/23(Sat) 01:14:45
☆ Re: / ヨッシー
いや、ですからＢ→Ｄはどういう方向ですか？
要するに傾きですが、それがわかれば、
Ｂを通って、傾き××の直線と、ｘ軸の交点がＤになるわけです。
No.72297 - 2021/01/23(Sat) 01:22:34
☆ Re: / かえるくん
ヨッシー様
やっと解けました。
ACの傾きを求めてから、BDの直線の式を求めて、D
点を代入するとできました！

ありがとうございました。
No.72305 - 2021/01/23(Sat) 10:37:00
★ 複素関数 / 大学生
問題)
対数の主値をLogz = log|z|+iargz (−π < argz < π) で定義するとき
Log{(1+z)/(1-z)} はDで正則であることを示せ。

これはLog(1+z)-Log(1-z)の形にしてLog(1+z)とLog(1-z)について別々に考えて両方が複素微分可能ということを示せば良いのでしょうか？もしそうだとしてもLog(1+z)はDで正則なことはできたのですが、Log(1-z)な方が d/dzf(z)= -1/1-z = -1-z-z^2-z^3-…というところまでで止まってしまいます。わかる方いましたらお願いします。
またLog{(1+z)/(1-z)}の0におけるTaylor展開はf(z)=2{z+z^3/3+z^5/5+…} で合っていますでしょうか?
なぜこれはDで成立するのでしょうか？
合わせて理解のある方お願いします。
No.72286 - 2021/01/22(Fri) 15:07:11
☆ Re: 複素関数 / IT
Dとはどんな領域（？）ですか？
No.72298 - 2021/01/23(Sat) 02:02:48
☆ Re: 複素関数 / 大学生
すみません！D = { z∈C | |z|<1 } を複素平面の単位開円板する
です！
No.72319 - 2021/01/23(Sat) 16:20:04
☆ Re: 複素関数 / IT
使って良い（既出の）定理などによって示し方が違ってくると思います。

手持ちのテキストには
・正則関数の和差積および正則関数の正則関数（合成関数）は、すべて正則関数である。
・1/zはz=0 を除いて正則。

とあります。
これらを使えばlogz の正則性だけ示せばよいことになりますが、どこまで微分の定義や基本定理（コーシーリーマンの方程式）にまでさかのぼって示すかは、テキストや授業の流れによると思います。

お使いのテキストの例題では、どんな手順で正則であることを示していますか？
No.72328 - 2021/01/24(Sun) 10:01:35
☆ Re: 複素関数 / 大学生
ITさんと同じ感じで書いてあるので、logzの正則性を示せばよいのかなと思います…！
No.72376 - 2021/01/25(Mon) 22:41:44
☆ Re: 複素関数 / IT
logzの正則性で検索するといろいろ出て来ます。
お使いのテキストの流れや表現にマッチしたものを参考にされると良いと思います。

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/yoshino/math/funct04.pdf
No.72408 - 2021/01/26(Tue) 23:55:31
★ (No Subject) / 雪だるま
今年の共通テストの数学IAの問5の問題で(東進，共通テスト速報で検索すると今年の問題見れます)
AP=√クr，PG=ケ―rという問題があるのですがここの部分に対する解説の説明を見ると「また円Pと円Oの接点Fと点Pを結ぶ直線FPは2円P,Oの中心線であるからFGは円Oの直径(＝AC=5)である」と書いてあるのですがなぜこういえるのでしょうか？
No.72285 - 2021/01/22(Fri) 14:54:13
☆ Re: / ヨッシー
直線ＦＰがＯを通れば、ＦＧが直径になることは自明なので、
なぜＯを通るかということがわからないと解釈します。

点Ｆを交点に持つ２円において、小円（中心Ｐ）の中心線ＦＰが
大円の中心Ｏを通らないとすると、点Ｆにおける大円の接線は
ＦＰと垂直にならず、この線は小円の内部を通ります。

大円もそれにつれて小円の内部を通るため、両円は接するとは言えません。
よって、ＦＰは点Ｏを通ります。
No.72287 - 2021/01/22(Fri) 15:54:36
★ 線形代数 / ゆり
この問題を教えてください
No.72284 - 2021/01/22(Fri) 14:38:06
★ 線形代数/固有値・固有空間 / りゅうちぇる
次の問題の(3)がわかりません。
(1)は普通に計算しました。(2)は与えられたAからA^(-1)を求め、実際にXの成分をすべて文字でおいた上で f_A(X)を実際に計算して、a≠0, |a|≠1に注意して、「固有値1で次元3、固有値a, 1/aで次元2, 固有値a^2, 1/a^2 で次元1」となりました。

(3)では固有値a, a^2, a^3の3次正則行列すべてを考えるのですが、そのうちの1つが(2)のAなので、答えはどうせ(2)を利用して(2)と一致することを示させるのだろうと予想していますが、示しきれません。(1)の有効な利用法もわかりませんでした。お願いします。
No.72283 - 2021/01/22(Fri) 10:49:14
☆ Re: 線形代数/固有値・固有空間 / 黄桃
det(A)≠0 の時、f_A:V→V は同型写像である、ことをいえばいいのでは？
No.72301 - 2021/01/23(Sat) 07:47:57
☆ Re: 線形代数/固有値・固有空間 / りゅうちぇる
黃桃さん
同型写像であれば固有値も同じになるのでしょうか？一般にはそうならないと思うのですが...
No.72309 - 2021/01/23(Sat) 12:23:07
☆ Re: 線形代数/固有値・固有空間 / IT
勘違いかもしれませんが、
(2)の３次正則行列をA
(3)の３次正則行列をBと書くと

正則行列Pがあって　B=(P^-1)AP

f_Aの固有値の１つをk,その固有ベクトルをXとすると
AX(A^-1)=kX
Y=(P^-1)XP とするとX=PY(P^-1)

A{PY(P^-1)}(A^-1)=kPY(P^-1)
∴(P^-1)A{PY(P^-1)}(A^-1)P=kY
∴BY(B^-1)=kY

よってkはf_Bの固有値の１つ。

でどうでしょうか？
No.72311 - 2021/01/23(Sat) 13:57:02
☆ Re: 線形代数/固有値・固有空間 / りゅうちぇる
なるほど...Bの固有ベクトルになっているようなYをうまく持ってくることで、固有値が共通であることを示すのですね。盲点で恥ずかしいです...
本当にありがとうございました！
No.72315 - 2021/01/23(Sat) 15:11:31
★ (No Subject) / 久保
赤線を引いたところの変形なのですが、()でならこうなるのはわかるのですが、絶対値の場合でも気にせずこう変形してよいということですか？
No.72282 - 2021/01/22(Fri) 08:53:11
☆ Re: / X
一般に複素数zに対して
|z|^2=|z^2| (A)
です。
∵)
例えば、zの共役複素数を\zと表すことにすると
((A)の右辺)=√{|z^2|^2}
=√{(z^2)・\(z^2)}
=√{(z\z)^2}
=√{(|z|^2)^2}
=((A)の左辺)
No.72288 - 2021/01/22(Fri) 17:09:20
☆ Re: / 久保
ありがとうございます！
No.72302 - 2021/01/23(Sat) 08:02:09
★ 集合と位相 / マイメ
この問題が分からないです。(2)からは自分でやりたいので、(1)を教えてくれませんか？　よろしくお願いします。
No.72279 - 2021/01/22(Fri) 00:01:51
★ (No Subject) / かえるくん
中学2年生の平行四辺形の問題てすが、解き方を、教えていただきたいです。
No.72278 - 2021/01/22(Fri) 00:01:47
☆ Re: / ヨッシー

(1)
図において、
　●＋●＋○＋○＝180°
なので、
　●＋○＝90°
△ＡＧＤにおいて、
　∠ＡＧＤ＝180°−●−○＝90°
よって、
　∠ＡＧＦ＝180°−∠ＡＧＤ＝90°　・・・答え

(2)
　∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡ　
より、△ＡＢＥは、ＢＡ＝ＢＥの二等辺三角形。
同様に、△ＣＤＦは、ＣＤ＝ＣＦの二等辺三角形
以上より
　ＢＥ＝ＣＦ＝５cm
であるので、
　ＥＦ＝５＋５−7.6＝2.4(cm)　・・・答え
No.72280 - 2021/01/22(Fri) 05:55:16
☆ Re: / かえるくん
ヨッシー様
わかりやすく、教えていただきありごとうございました！
No.72281 - 2021/01/22(Fri) 06:29:10
★ 電気通信大学2011年　数学 / jr2twt
(ii)の問題なのですが、計算するとx0がt-tlogt になります。ここまでは自力で計算して出せるのですが、これが0より大きいか、小さいかの証明ができません。この後面積の計算なども出てくるので確かめる方法が知りたいです。よろしくお願いします。
No.72273 - 2021/01/21(Thu) 22:32:26
☆ Re: 電気通信大学2011年　数学 / jr2twt
すみません。画像がうまく添付できていなかったようです。
No.72274 - 2021/01/21(Thu) 22:33:58
☆ Re: 電気通信大学2011年　数学 / IT
t-tlogt ＝t(1-logt) ですからtの値によって判定できるのでは？
（t＞0なので1-logtの正負を調べればよい）

ところで、どこでx0の正負が必要になりますか？
No.72275 - 2021/01/21(Thu) 22:52:53
☆ Re: 電気通信大学2011年　数学 / jr2twt
> t-tlogt ＝t(1-logt) ですからtの値によって判定できるのでは？
> （t＞0なので1-logtの正負を調べればよい）
>
> ところで、どこでx0の正負が必要になりますか？

先日、塾の添削に出した際に、グラフを書いたのですが、その時はy軸を書いていませんでした。ですが返却時に「y座標が記入しているので原点とy軸の記入が必要です。」とコメントされました。X0の正負がわかっていないと書けないのでどうするべきか悩み質問させていただきました。
No.72276 - 2021/01/21(Thu) 23:10:16
☆ Re: 電気通信大学2011年　数学 / IT
この問題の場合は面積計算に直接関係ないので、場合分けまでして　描き分ける必要はないと思います。
No.72277 - 2021/01/21(Thu) 23:47:43
★ 数列 / ふゆか
(2)で、解答は必要条件から求め、十分性を確認しているものでしたが、ひたすらに文字のまま解いていくと、
an=r{(a1/r)-(b/r(3r-2))}(2/3)^n-1+{b/r(3r-2)}r^n-1となり、b≠0より、初めの中括弧内が0になればよく、b=a1(3r-2)である。
としたのですが、不十分なところはあるでしょうか。答えはあっていました。
後ろが等比数列の形をしているので前の項がなければいいと思ったのですが。
No.72267 - 2021/01/21(Thu) 17:42:23
☆ Re: 数列 / X
計算過程(計算結果ではありません)において
r=2/3の場合が不適であることが
明記されているのであれば問題ありません。
No.72268 - 2021/01/21(Thu) 18:07:50
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