ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整式の割り算 / ミー

整式x^2020を整式x^4+x^3+x^2+x+1で割った余りを求めなさい。

詳しく教えてください。よろしくお願いします。

No.71317 - 2020/12/04(Fri) 16:12:11

☆ Re: 整式の割り算 / X

二項定理を学習済みという前提なら
以下の解答が考えられます。

(x-1)(x^4+x^3+x+1)=x^5-1
ですので
x^5=(x-1)(x^4+x^3+x+1)+1
∴x^2020=(x^5)^404
={(x-1)(x^4+x^3+x+1)+1}^404
=Σ[k=0～404](404Ck){(x-1)(x^4+x^3+x+1)}^k
(∵)二項定理
=1+Σ[k=1～404](404Ck){(x-1)(x^4+x^3+x+1)}^k
となるので求める余りは1

No.71321 - 2020/12/04(Fri) 16:49:32

☆ Re: 整式の割り算 / X

別解)
やはり
(x-1)(x^4+x^3+x+1)=x^5-1 (A)
を使います。

x^5=a (B)
と置くと
x^2020=a^404 (C)
これをf(a)と置くと
f(1)=1
∴剰余の定理により
f(a)をa-1で割った余りは1
∴f(a)=(a-1)g(a)+1
(g(a)はaについての整式)
と書くことができます。
これより
a^404=(a-1)g(a)+1
aを元に戻して
x^2020=(x^5-1)g(x^5)+1
∴(A)により求める余りは1です。

No.71322 - 2020/12/04(Fri) 16:59:21

☆ Re: 整式の割り算 / らすかる

別解
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1
x^2020=(x^5-1)(x^2015+x^2010+x^2005+…+x^10+x^5+1)+1
=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2015+x^2010+x^2005+…+x^10+x^5+1)+1
なので、余りは1
また、この式を見てわかるように、商は
(x-1)(x^2015+x^2010+x^2005+…+x^10+x^5+1)
=(x^2016-x^2015)+(x^2011-x^2010)+(x^2006-x^2005)+…+(x^6-x^5)+(x-1)
です。

No.71325 - 2020/12/05(Sat) 01:59:30

☆ Re: 整式の割り算 / 黄桃

なんだか、x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)に気づかないとできないように思われそうなので、泥臭いけど、あきらめずにやれば、気づかなくてもできるはず、といっておきます。

普通に筆算で、多項式の割り算

x^4+x^3+x^2+x+1)x^2020

の計算を始めてみてください。最初に商が x^2016 で、差が -x^2019-x^2018-x^2017-x^2016になります。
さらに続けると次の商は-x^2015 で、差はx^2015です。

ここはぜひご自分で紙に書いてやってみてください。

ここで気づいてもいいですが、もう少し続けると次の商がx^2011、その次の商が-x^2010と続き、この時の差がx^2010となります。
このくらいまでくると、次数が違うだけで同じことの繰り返しだとわかります。
つまり、割り算を続けると、x^2020, x^2015,x^2010 と5つ置きに xのなんとか乗が出てくるから、最後は...,x^10,x^5となるはず。
だから、結局x^5を x^4+x^3+x^2+x+1 で割ったものと同じになるはず、とわかります（ついでにいえば、商も x^2011-x^2010+x^2006-x^2005... と、x^(5n+1)-x^(5n)という形のが続くとわかります）。
もちろん、続けて...x^10,x^5,x^0=1 として、最後に1だけ残るから余りは1としてもいいですが、x^5を割り算した方が安心できるでしょう。

このように規則的になる理由が、皆さんが示している
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
なのです。

＃実は、この問題が（時間をかけずに）解ける、ということがヒントでなんらかの規則性があることを暗示しているのです。

No.71330 - 2020/12/05(Sat) 11:40:22

★ 相関 / 受験生

n人の高校生がおり、t番目の生徒の国語の点数をXt、物理の点数をYt、英語の点数をZtとして国語と物理の点数の相関係数をSxy、物理と英語の点数の相関係数をSyz、国語と英語の点数の相関係数をSxzとする。
国語の点数と物理の点数の相関係数が0.5、物理と英語の点数の相関係数も0.5のとに国語と英語の点数の相関係数Sxzの最大値と最小値を求めよ。
またSxy=Syz=aとしたとき、Sxzが常に0以上となるaの条件を答えよ。
全くわかりません。どなたか解説付きで教えて貰えると助かります。

No.71313 - 2020/12/03(Thu) 23:07:47

★ 大学課題 / みみ

f(x,y)=e ^ x－y について次の問に答えよ.
(1) fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyy(x, y) を求めよ.
(2) fx(1, 0), fy(1, 0), fxx(1, 0), fxy(1, 0), fyy(1, 0) を求めよ. f(x,y)=e ^ x－y について次の問に答えよ.
(1) fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyy(x, y) を求めよ.
(2) fx(1, 0), fy(1, 0), fxx(1, 0), fxy(1, 0), fyy(1, 0) を求めよ. (3) f (x, y) =e ^ x－y を (x, y) = (1, 0) のまわりで 2 次の項までテイラー展開せよ.
大学の課題でこの問題がわりません。どなたかお願いします

No.71310 - 2020/12/03(Thu) 15:07:20

☆ Re: 大学課題 / 関数電卓

f(x,y)＝e^(x－y）ですね？
記号 f_x(x,y), f_xx(x,y) 等の意味はお分かりですか？

No.71311 - 2020/12/03(Thu) 18:31:49

★ 相似 / 受験生

体積の求め方が数が合わずわかりません。
よろしくお願いいたします。

No.71307 - 2020/12/03(Thu) 12:58:55

☆ Re: 相似 / らすかる

(1)
∠AEP=∠CED、∠EPA=∠EDC=90°、AP=AB=CDなので
△AEP≡△CED
よってAE=CEなのでAR=CR
AC=√(1^2+2^2)=√5からAR=CR=√5/2
△CER∽△CAPからCE=(CR/CP)CA=(√5/2)÷2×√5=5/4

(2)
△ACP∽△PCQから
PQ=(CP/CA)AP=(2/√5)×1=2√5/5

(3)
△CER∽△CAPからER=(1/2)CR=√5/4

(4)
頂点がAで底面がPQを回転したものである円錐は
底面の半径がPQ=2√5/5、高さがAQ=√5/5なので
(2√5/5)^2・π・(√5/5)÷3=(4√5)π/75
頂点がCで底面がPQを回転したものである円錐は
底面の半径がPQ=2√5/5、高さがCQ=4√5/5なので
(2√5/5)^2・π・(4√5/5)÷3=(16√5)π/75
頂点がCで底面がERを回転したものである円錐は
底面の半径がER=√5/4、高さがCR=√5/2なので
(√5/4)^2・π・(√5/2)÷3=(5√5)π/96
よって求める体積は
{(4√5)π/75+(16√5)π/75-(5√5)π/96}×2=(103√5)π/240

No.71309 - 2020/12/03(Thu) 13:40:59

★ 解説がないです。 / 受験生

全く歯が立たず困っています。よろしくお願いします。

No.71306 - 2020/12/03(Thu) 12:58:07

☆ Re: 解説がないです。 / らすかる

掲示板で説明しやすくするためxy平面上の座標を使います。
展開図を考えて
O(0,2),B(0,-2),C(2√3,0),A(-2√3,0)とすると
D(√3,1)なので
AP+PD=AD=√{(-2√3-√3)^2+(0-1)^2}=2√7

せっかく座標で考えたので(2)もそれを使って
直線ADの式はy=(x+2√3)/3√3なので
x=0としてy=2/3
よってOP=2-2/3=4/3

△OAP=(OP/OB)△OAB=(1/3)(4√3)=4√3/3
△OAPを底面とみると高さは正四面体O-ABCの高さの半分なので
4√6/3÷2=2√6/3
よって体積は(4√3/3)(2√6/3)/3=8√2/9

No.71308 - 2020/12/03(Thu) 13:23:49

★ 2変数関数の連続性について / fresh

写真の問題が分かりません。
|f(x,y)-f(0,0)|の極限を調べればよいことは理解できました。試しにy=mxとおいたりや極座標変換したりしたところ、極限値は0になったのですが、あくまでも直線的な近づけ方しか検証していないことになります。すべての近づけ方で調べるにはどうすれば良いのでしょうか？
院試の勉強中なので、院試の答案としても使える解答をお願い致します。

No.71300 - 2020/12/03(Thu) 08:15:38

☆ Re: 2変数関数の連続性について / らすかる

x=t, y=t/(t^2-1) とおくと
t→0のときx,y→0だが
f(x,y)=(t^4-2t^2+2)^2/(t^3-t)^2→∞なので不連続。

No.71301 - 2020/12/03(Thu) 09:01:29

☆ Re: 2変数関数の連続性について / fresh

回答有り難うございます。
x,yをパラメータtでおいていますが、そのおき方はどのような発想から来たものでしょうか？
自分にそのおき方は思いつかなかったので...。
度々すみません。

No.71302 - 2020/12/03(Thu) 10:19:48

☆ Re: 2変数関数の連続性について / らすかる

(x+y)^2(x-y)^2=(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2)^2-(2xy)^2なので
(x^2+y^2)^2/(x+y)^2={(x^2+y^2)^2-(2xy)^2+(2xy)^2}/(x+y)^2
={(x+y)^2(x-y)^2+(2xy)^2}/(x+y)^2
=(x-y)^2+(2xy)^2/(x+y)^2
=(x-y)^2+{2xy/(x+y)}^2
=(x-y)^2+{2/(1/x+1/y)}^2
x,y→0のとき(x-y)^2→0だから
x,y→0で1/x+1/y→0となるようなx,yの関係を考えれば
2/(1/x+1/y)が発散し、(x^2+y^2)^2/(x+y)^2が発散することになります。
例えば1/x+1/y=xとしてyについて整理すると
1/y=x-1/x=(x^2-1)/x
∴y=x/(x^2-1)
となりますので、
x=t,y=t/(t^2-1)としてt→0とすれば発散します。

また、0に収束しない例を作ればよいだけなので
発散でなく0でない値に収束するようにしてもいいですね。
例えば1/x+1/y=2とすると1に収束するようになります。
これをyについて解くとy=x/(2x-1)なので
x=t,y=t/(2t-1)とおいてt→0とすれば1に収束するようになります。
実際、x=t,y=t/(2t-1)のとき
(x^2+y^2)^2/(x+y)^2={(2t^2-2t+1)/(2t-1)}^2なのでt→0で1に収束します。

No.71303 - 2020/12/03(Thu) 11:34:47

☆ Re: 2変数関数の連続性について / fresh

なるほど、対称式であることを利用して変形を進め、発散する形を作り出すということですね。難しいですが分かりやすかったです。
ただ本当に連続な関数も疑ってしまいそうです...。
有り難うございました。

No.71304 - 2020/12/03(Thu) 12:55:30

☆ Re: 2変数関数の連続性について / IT

ご自分で考えた方法（を直して）でやって見られるのも有効かと思います。

No.71331 - 2020/12/05(Sat) 11:52:42

★ 微分 / 鹿

画像の問題で右辺を微分して証明したいのですが、赤線部分の微分が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.71287 - 2020/12/02(Wed) 17:38:47

☆ Re: 微分 / mathmouth

普通に合成関数の微分法を使いましょう.

No.71289 - 2020/12/02(Wed) 19:01:31

☆ Re: 微分 / 関数電卓

赤線部分の微分ならば，mathmouth さんの計算の通りですが，こちらによると，そもそも貼り付けに誤植があるようです。tan^(-1) ではなく tanh^(-1) のようですね。

貼り付けの第２項の微分が第１項と相殺しないので，力技を試しました。

No.71291 - 2020/12/02(Wed) 19:17:04

☆ Re: 微分 / 鹿

返信をくださり、ありがとうございます！
参考にさせていただきますm(_ _)m

No.71294 - 2020/12/02(Wed) 22:33:08

☆ Re: 微分 / mathmouth

関数電卓さんへ

私の計算では(計算ミスがなければ)矛盾は生じませんでした。
恐らくWolframAlphaではeを自然対数と認識しているからtanhの逆関数が登場しているのではないでしょうか？(よく見ると根号の中身がe²-1になっています)
問題のeは、二次曲線の離心率か何かで多分0<e<1
として設定されている気がします。(被積分関数の1/2乗が二次曲線の極方程式の形を含んでいます。)

私はtanhについて学習していませんので詳しくは計算していませんが、Wolframの結果(これには虚数が入っていますので微分については詳しくわかりませんが)を変形すればもとの問題の右辺に一致すると思います。

No.71295 - 2020/12/02(Wed) 22:42:17

☆ Re: 微分 / 関数電卓

大変失礼致しました。
mathmouth さんのご指摘の通りで，wolfram の悪戯でした。間違いは私の筆算でした。懲りずに Walframで確認しました。
ということで，鹿さん，冒頭の貼り付けに 誤植はありません。

No.71296 - 2020/12/02(Wed) 23:20:03

☆ Re: 微分 / 鹿

かしこまりました。
たくさん返信をくださり、ありがとうございました！

No.71297 - 2020/12/02(Wed) 23:31:50

★ 測度について / うい

写真にあるように集合A_k,n,mを定めたときに測度が0になるとあるのですが、これはなぜでしょうか。

教えていただけると幸いです。

No.71285 - 2020/12/02(Wed) 16:02:57

☆ Re: 測度について / ast

結局のところ,「その閾値を一番おおきいものが越えられないのだから, 閾値を超えるものは誰も現れない」という話をしてるだけにしか見えない.
# 必要なところに (今考えている測度に関して) "ほとんど" や "a.e." のような注釈を入れる前提で,
# というのは当然考慮した上での話ではあるけど.

No.71298 - 2020/12/02(Wed) 23:36:55

☆ Re: 測度について / うい

なるほどです、ありがとうございます

No.71312 - 2020/12/03(Thu) 20:27:20

★ 動く点 / 中学受験数学

質問の部分がわかりません。
質問の式がなぜ成り立つのか。説明をしていただけたら幸いです。

No.71284 - 2020/12/02(Wed) 16:00:18

☆ Re: 動く点 / ヨッシー

(180－12x)＋(15x－180)＝36 が模範解答で、
(180－12x)＋(180－15x)＝36 ではないか？というのがあなたの意見ということでしょうか？
だとすると、模範解答が間違っています。
この問題の結果は x=12 で、15x－180＝180－15x＝０なので、
たまたま、どちらでも答えが合いますが、例えば、円周角 45°だと2点間の距離90cmで、
　(180－12x)＋(180－15x)＝90
からは　x＝10 が得られますが、
　(180－12x)＋(15x－180)＝90
は、x＝30 となります。

No.71290 - 2020/12/02(Wed) 19:04:47

☆ Re: 動く点 / 中学受験数学

> (180－12x)＋(15x－180)＝36 が模範解答で、
> (180－12x)＋(180－15x)＝36 ではないか？というのがあなたの意見ということでしょうか？
> だとすると、模範解答が間違っています。
> この問題の結果は x=12 で、15x－180＝180－15x＝０なので、
> たまたま、どちらでも答えが合いますが、例えば、円周角 45°だと2点間の距離90cmで、
> 　(180－12x)＋(180－15x)＝90
> からは　x＝10 が得られますが、
> 　(180－12x)＋(15x－180)＝90
> は、x＝30 となります。
ありがとうございます。助かりました。

No.71305 - 2020/12/03(Thu) 12:57:09

★ 関数の極限 / ぴーたろー

lim(x→-∞)　5^x/(3^x+4^x)

において、模範解答は3^xで分母分子を割っているのですが、「分母の一番大きいもので割る」と聞いたので4^xで割るのではないかと思ったのですが、なぜ3^xで割るのでしょうか。

お願いします。

No.71281 - 2020/12/02(Wed) 08:29:33

☆ Re: 関数の極限 / らすかる

x→-∞だからですね。
lim[x→-∞]5^x/(3^x+4^x)
=lim[x→∞](1/5)^x/{(1/3)^x+(1/4)^x}
なので、「x→∞のとき分母の一番大きいもので割る」を適用すると
(1/3)^xで割ることになります。
x→-∞をx→∞に変えずにやると、
「x→-∞のとき分母の一番小さいもので割る」ことになりますね。

No.71282 - 2020/12/02(Wed) 09:04:02

★ テイラー展開 / KAN

√(x^2+y^2)の(3,4)まわりのテイラー展開を簡便方を用いて表せ。

解ける方いらっしゃいますか？

No.71277 - 2020/12/02(Wed) 02:18:59

☆ Re: テイラー展開 / GandB

> 簡便方を用いて表せ。
　おもしろい表現だな（笑）。初めて聞いた。
　おそらく二次か三次で打ち切れということだろうから
　　http://aitech.ac.jp/~k-ito/biseki2/14en6.pdf
などを参考にすればよい。

No.71279 - 2020/12/02(Wed) 06:06:16

☆ Re: テイラー展開 / KAN

　お答えいただきありがとうございます。表記が間違っており、正しくは簡便法でした。また、2次の項で打ち切れということでした。すみません。
　x^2yを(1,2)まわりで2次の項までテイラー展開を行う際には、
x^2y＝[1+(x-1)]^2・[2+(y-2)]=[1+2(x-1)+(x-1)^2]・[2+(y-2)] と表され、(x-1)，(y-2)の項を用いて、微分をすることなくテイラー展開が可能です。このような微分を用いることのない方法について、知りたいと考えております。

No.71280 - 2020/12/02(Wed) 08:29:12

★ 行列 / 大学生

2以降がわかりません

No.71275 - 2020/12/01(Tue) 21:49:20

☆ Re: 行列 / IT

(2) (1)でp^-1 が求まったのなら
１つめの式の右辺と２つめの式の右辺を計算して、それぞれのx同志,y同志を比べて等しいことを確認すれば良いのでは？

No.71276 - 2020/12/01(Tue) 22:22:57

☆ Re: 行列 / X

(3)
(x,y)=↑u
(s,t)=↑v
とし、ベクトルの転置をベクトルの頭に
τ_をつけたもので表すとすると
3x^2+4xy+3y^2=↑uAτ_↑u
={↑vP^(-1)}A{Pτ_↑v} ((∵)(2)の結果より)
=↑v{{P^(-1)}AP}τ_↑v (A)
(A)に(1)の結果を代入します。

(4)
(2)の条件である
τ_↑u=Pτ_↑v
からxy平面において、
τ_↑uに対応する点は、τ_↑vに対応する点を
原点中心で-π/4だけ回転移動させたもの
であることが分かります。
(注:
Pは原点中心、角θの回転移動の行列
M{(cosθ,-sinθ),{sinθ,cosθ)}
のθ=-π/4の場合です。)

後はこのことと、(3)の結果を使います。

No.71278 - 2020/12/02(Wed) 05:28:37

★ 関数行列 / 梨沙

この問題の解法が分からないので教えてください。

No.71270 - 2020/12/01(Tue) 16:37:47

☆ Re: 関数行列 / 関数電卓

言われたとおりにそのまま計算すると
　φ(s,t)＝(s＋t)/4, ψ(s,t)＝(s－t)/2
ですので，(ウ)4, (エ)2 です。
また，
　f(s,t)＝^t((s＋t)/4,(s－t)/2)
　g(x,y)＝3(4x^2－y^2)
ですから
　grad(g(x,y)＝(∂g/∂x,∂g/∂y)＝6(4x,－y)
となり，(ア)6, (イ)4 です。

grad(h(s,t)) は
　h(s,t)＝g(f(s,t))＝3(4((s＋t)/4)^2－((s－t)/2)^2)＝3st
から
　grad(h(s,t))＝(∂h/∂s,∂h/∂t)＝(3t,3s)
で求められ，(ケ)3, (コ)3

f のヤコビ行列のところは，記号 ([a,b],[c,d]) で行列を表すことにして，
　Jacobi(f(s,t))＝([∂((s＋t)/4)/∂s,∂((s＋t)/4)/∂t],[∂((s－t)/2)/∂s,∂((s－t)/2)/∂t])
　　　　　　　＝(1/4)([1,1],[2,－2])
だから，(オ)4,(カ)1, (キ)2, (ク)2 となります。

No.71292 - 2020/12/02(Wed) 21:47:29