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★ 近畿大過去問 / Higashino
こんにちは

なにとぞよろしくお願いします

複素数平面

以下問題
No.89198 - 2024/10/26(Sat) 02:42:07
☆ Re: 近畿大過去問 / X
問題の方程式から
z^3=(2√2){cos(3π/4)+isin(3π/4)}
∴z=(√2){cos(π/4+2nπ/3)+isin(π/4+2nπ/3)}
(nは任意の整数)
となるので
z=(√2){cos(π/4)+isin(π/4)},(√2){cos(π/4+2π/3)+isin(π/4+2π/3)}
,(√2){cos(π/4+4π/3)+isin(π/4+4π/3)}
ここで
(√2){cos(π/4)+isin(π/4)}=1+i

(√2){cos(π/4+2π/3)+isin(π/4+2π/3)}=(1+i){cos(2π/3)+isin(2π/3)}
=(1/2)(1+i)(-1+i√3)
=(1/2){-(1+√3)+i(√3-1)}

(√2){cos(π/4+4π/3)+isin(π/4+4π/3)}=(1+i){cos(4π/3)+isin(4π/3)}
=-(1/2)(1+i)(1+i√3)
=-(1/2){(1-√3)+i(1+√3)}

以上から
z=1+i,(1/2){-(1+√3)+i(√3-1)},-(1/2){(1-√3)+i(1+√3)}
No.89199 - 2024/10/26(Sat) 16:56:48
☆ Re: 近畿大過去問 / Higashino
X先生、おはようございます

お久しぶりです

ご回答ありがとうございました

私は図形的なアプローチを試みてみました

考え方が正しいのかご意見いただければ幸いです

以下答案
No.89200 - 2024/10/27(Sun) 08:05:57
★ (No Subject) / T.I
回答いただきありがとうございました。

一つ教えていただきたいのですが、


最小性の仮定よりaとｂは素数の積であらわされるとありますが

この部分もう少し詳しく教えてください。
No.89191 - 2024/10/25(Fri) 13:43:56
☆ Re: / ヨッシー
下の記事もそうですが、関連する質問、追加質問は、［返信］ボタンを押して記入してください。

というわけで下の方で回答します。
No.89192 - 2024/10/25(Fri) 14:07:47
★ (No Subject) / T.I
ご回答いただき、ありがとうございました。
すいません先ほどの件ですが、再度質問させてください。
素数は１個の素数の積ということですが、
例えば　「5」であれば　素因数分解すると5×1で　
５　と　１　が因数となるのかと考えるか
または５だけだと考えるのがよいのか？
但し１が素数ではないとしたら５だけとなるのか？
すいません、このあたりをどのように整理したらよいですか
No.89188 - 2024/10/25(Fri) 10:17:22
☆ Re: / ヨッシー
１は素数ではないので、５だけです。
No.89189 - 2024/10/25(Fri) 10:28:57
★ (No Subject) / T.I
先ほどの件ですが、資料を添付するのを忘れていました
確認ください。
No.89186 - 2024/10/25(Fri) 08:39:38
★ (No Subject) / T.I
素因数分解の可能性について質問です。

素因数分解が可能であることの証明について


「素数（および1）はもちろん素因数分解可能なので n は素数ではない。」
と有りますが、この部分は正直わかりません。

１は素因数分解は不可能ではないかと考えています。

また、素数は素因数分解が不可能ではないかと思います。

詳しく回答いただければと思います
No.89185 - 2024/10/25(Fri) 08:36:55
☆ Re: / ヨッシー
注： 1 の素因数分解についてはいくつか流儀があるようなのですが，ここでは「0 個の素数の積」とみなすことにします。
と注釈があるので、これを認めるならば、
　１は０個の素数の積
　素数は１個の素数の積
なので、ともに素因数分解可能ということになります。
もちろん、１は素因数分解不可能という考え方もあります。
No.89187 - 2024/10/25(Fri) 09:05:25
☆ Re: / ヨッシー
＞最小性の仮定よりaとｂは素数の積であらわされる
とは、
ｎは素因数分解不可能な最小の数である　・・・これが最小性の仮定
　→ｎは素数でない　（素数は素因数分解可能なので）
　→ｎ＝ａｂ　(１＜ａ，ｂ＜ｎ）に書ける
　→ａやｂはｎより小さいので、素因数分解可能
　→ｎも素因数分解可能・・・矛盾
ということです。
No.89193 - 2024/10/25(Fri) 14:15:03
☆ Re: / T.I
「ａやｂはｎより小さいので、素因数分解可能」

この部分は何とも理解し難いですが、これはnを素因数分解

不可能な最小の数であると仮定したからでしょうか？
No.89194 - 2024/10/25(Fri) 14:40:09
☆ Re: / T.I
「ａやｂはｎより小さいので、素因数分解可能」

　この部分は本当に言い切れるのでしょうか？

　
No.89195 - 2024/10/25(Fri) 14:43:24
☆ Re: / T.I
現在は素因数分解可能であることの証明を行っているのに
ａやｂが素因数分解可能だと言い切れるのか？
この部分は理解できません
No.89196 - 2024/10/25(Fri) 14:59:03
☆ Re: / ヨッシー
ｎが素因数分解不可能な数の最小と仮定したので、
それより小さいａやｂは素因数分解可能に決まっているのです。
もし素因数分解不可能なら、そちらの方が最小になってしまうので。
No.89197 - 2024/10/25(Fri) 15:57:10
★ 条件付き確率 / 西田
黒玉3個,赤玉4個,白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて 並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率を求めよ。
No.89181 - 2024/10/24(Thu) 20:27:14
☆ Re: 条件付き確率 / ヨッシー
こちらをどうぞ。
No.89190 - 2024/10/25(Fri) 11:00:13
★ 複素数平面 / Higashino
今さら聞けない複素数平面の疑問

(1) 複素平面と複素数平面の違い

(2) e^iθ と e^i(θ) の違い

(3) e^iθ の e 読み方は イーいいでいいの (4) 対数関数の微分で出てくる e と オイラーの公式の e 関係性

一つでもいいです教えていただければ幸いです
No.89179 - 2024/10/24(Thu) 13:05:20
★ 問題は何とか理解できたのですが… / YUKI
私の使ってる数学の問題集で整数nに対してn^2を3で割って2余るようなnは存在しない。

これはすごく重要な概念だとか書かれていました、問題自体は理解できたのですが

なぜ上記が重要なのかが理解できていません、数学に明るい方おられましたら
ご教授いただければ幸いです。
No.89176 - 2024/10/24(Thu) 01:44:03
☆ Re: 問題は何とか理解できたのですが… / IT
整数論の重要な概念に「平方剰余」があり、それの１例です。
ここで説明するのは難しいかなと思います。

「平方剰余」で検索するといろいろ出て来ます。

たとえば下記などをご覧ください。
https://manabitimes.jp/math/685
No.89177 - 2024/10/24(Thu) 07:07:33
☆ Re: 問題は何とか理解できたのですが… / YUKI
IT　様

ありがとうございました。大変勉強になりました
No.89183 - 2024/10/24(Thu) 22:48:35
★ (No Subject) / cavy
⑶の問題ですが解くことはできたのですが中1の子供に上手く教える事ができません。出来るだけ簡単かつ詳しい説明をして頂きたく思います
No.89175 - 2024/10/23(Wed) 21:41:29
☆ Re: / ヨッシー
ｎ行目のＣ列が１であるとき、その１を並べるまでに、
１と０を全部で何個並べたかを考えます。
ｎ−１行目のＥ列までで
　５（ｎ−１）個
で、５（ｎ−１）＋３　がｎ列目Ｃ列までの個数です。
その１つ前、５（ｎ−１）＋２　までで、ちょうど
　・・・１０００ １０００
の区切りになり、１は４回に１回現れるので、
　{５（ｎ−１）＋２}÷４　個
の１が、ｎ行目Ｂ列までに並べられ、ｎ行目Ｃ列の１と合わせて
　{５（ｎ−１）＋２}÷４＋１　個となります。
式を変形して
　（５ｎ−３）／４＋１＝（５ｎ＋１）／４　（個）　・・・答え
No.89178 - 2024/10/24(Thu) 09:35:29
★ 芝浦工業大学柏高等学校　過去問 / ごとー
2020年度の芝浦工業大学柏高等学校の数学の前期第2回の解説をお願いします。
No.89174 - 2024/10/23(Wed) 19:28:42
☆ Re: 芝浦工業大学柏高等学校　過去問 / 独ソ不可侵条約
(1) Pの座標をy=ax^2に代入して
-8=6^2*a
36a=-8
a=-2/9 答え ア(2) イ(9)

(2)＜下の写真もみてください＞
Aの座標はy=x^2にx座標-3を代入して(-3,9)
Bの座標はy=x^2にx座標2を代入して(2,4)
BPがy軸に平行だから点Pもx=2の上にあり、
x=2をy=-1/4x^2に代入して座標は(2,-1)
下図より、BPを底辺とすると長さは5,
高さはBPとAのx座標の差で5。
面積=5×5÷2=25/2 答え ウ(2) エ(5) オ(2)
(3)からは次で書きます。
No.89180 - 2024/10/24(Thu) 19:04:48
★ 群馬大過去問 / Higashino
範囲

複素数平面

群馬大過去問


なにとぞよろしくお願いします


以下問題
No.89171 - 2024/10/21(Mon) 16:17:01
☆ Re: 群馬大過去問 / Higashino
私の答案が出来上がりましたので、アップさせていただきます

ご指導気になる点がありましたら、ぜひともご指摘ください

以下答案
No.89173 - 2024/10/22(Tue) 15:28:44
★ 漸化式 / kanaly
f(x)=Sum_{k=0}^{x-1} f(k)g(x-k)
g(x)は適当な数列とします
このように定義されるf(x)の漸化式について、求解はできなくとも、有効な式変形はありませんか?
また、このような漸化式に名称はありますか？
No.89169 - 2024/10/20(Sun) 17:18:14
☆ Re: 漸化式 / ast
# 数列の添字が x というは個人的に気持ち悪い (あとで x を使いたいこともある) ので,
# 以下では添字を n とするが

漸化式の右辺はコーシー積に (番号のずれなどを気にしなければ) 見えるので, f(n),g(n) (n=0,1,2,…) の母函数 F(x),G(x) (i.e. F(x):=Σ_[n=0,1,2,…]f(n)x^n, G(x):=Σ_[n=0,1,2,…]g(n)x^n) について, 与えられた漸化式は
　F(x)(G(x)-G(0))/x=(F(x)-F(0))/x　　(F(0)=f(0), G(0)=g(0))
のような感じの式にまとめられて, 仮にそれが正しければ F(x) = f(0)/(1-G(x)+g(0)) のようにしてから f(n)=F^{(n)}(0)/n! (F(x) の x=0 の周りでのテイラー係数) を求めればいい.

というのはどうですか?

# まあ, 上記はボンヤリ考えただけなのでおそらく正しくないだろうし,
# 仮に正しくとも実際には何も役に立たないとは思われるが……
## 例えば G(x) が既知の函数かどうかわからないし, そもそも g(0) は漸化式に現れないので好きにできそう. etc.
No.89172 - 2024/10/22(Tue) 02:32:51
☆ Re: 漸化式 / kanaly
回答ありがとうございます
自分の本来求めたかった具体的なf,gで試したところ、合っていそうでした。
助かりました。本当にありがたいです
No.89182 - 2024/10/24(Thu) 20:37:07
★ (No Subject) / ぴよ
連続ですみません。
宜しくお願いします。
No.89166 - 2024/10/20(Sun) 13:09:27
☆ Re: / IT
頂点Aから直接つながる４頂点グループをB,Aから直接つながらない頂点をA'とします。
１回の試行でBに移動します　その後Aに移動する確率とA’に移動する確率は等しい。
AとA’を併せてCと書きます
。

遷移図を描いて、
　Bから出発し4回目にCにある確率を求め、
　２で割ります。

B→C (1/2), B→B(1/2), C→B(1),C→C(0) です
（）内は確率
No.89168 - 2024/10/20(Sun) 14:49:44
★ (No Subject) / ぴよ
解説がらなくて困っています。
宜しくお願いします。
No.89165 - 2024/10/20(Sun) 13:08:42
☆ Re: / IT
まず人数の遷移を考える。

４回行われて終了する場合
１回目終了後から４回目終了後までの人数は
3331
3321
3221
2221

だと思います（もれがないか確認してください）
3→3,3→2,3→1,2→2,2→1などの確率を計算し
上記の確率を計算し　合計します。
No.89167 - 2024/10/20(Sun) 13:59:40
★ 北海道大学過去問 / Higashino
範囲

複素数平面

何卒よろしくお願いいたします

以下問題
No.89162 - 2024/10/19(Sat) 23:22:43
☆ Re: 北海道大学過去問 / X
(1)
zの広義の偏角をΘとすると、条件から
12Θ=nπ
(nは整数)
∴Θ=nπ/12 (A)
ここでzの実部虚数部の符号から
π/2+2mπ＜Θ＜π+2mπ (B)
(mは整数)
(A)に(B)を代入して
1/2+2m＜n/12＜1+2m
6+24m＜n＜12+24m
∴n=k+24m
(k=7,8,…,11)
これを(A)に代入して
Θ=kπ/12+2mπ (A)'
ここで条件から(A)'の第一項において
kと12は互いに素でなければならない
ので
k=7,11
∴Θ=7π/12+2mπ,11π/12+2mπ
となるので
θ=7π/12,11π/12

(2)
(1)の結果から
-t=tan(7π/12),tan(11π/12)
∴t=tan(π-7π/12),tan(π-11π/12)
∴t=tan(5π/12),tan(π/12)
ここで半角の公式から
{tan(π/12)}^2={1-(√3)/2}/{1+(√3)/2}
=(2-√3)^2
∴tan(π/12)=2-√3
同様にして
tan(5π/12)=2+√3
∴t=2±√3 (C)
よって、解と係数の関係からtは
t^2-4t+1=0
の解なので
t^2=4t-1 (D)
(C)(D)から
t(1-t^2)/(1+t^2)^2=(2-4t)/(16t)
=1/(8t)-1/4
=±(1/8)√3
No.89163 - 2024/10/20(Sun) 09:39:44
☆ Re: 北海道大学過去問 / Higashino
x先生、おはようございます

お久しぶりでございます

素敵な回答ありがとうございます

私も似たり寄ったりですが

　　図形的アプローチもしてみました

ご指導などいただければ幸いです


以下答案
No.89170 - 2024/10/21(Mon) 07:32:26
★ (No Subject) / やり直しメン
□１番です

よろしくお願いします
No.89159 - 2024/10/19(Sat) 14:58:48
☆ Re: / やり直しメン
問題です
No.89160 - 2024/10/19(Sat) 15:12:09
☆ Re: / X
条件から、
98+106+118+134=(元の4つの数字の和)×2
よって求める平均は
(98+106+118+134)÷2÷4=(98+106+118+134)÷8
=…
No.89161 - 2024/10/19(Sat) 17:08:27
★ (No Subject) / ぴよ
群数列の問題です。
答えは3008です。解説をお願いいたします。
No.89151 - 2024/10/17(Thu) 21:37:10
☆ Re: / ぴよ
問題の画像です。
No.89152 - 2024/10/17(Thu) 21:37:57
☆ Re: / ヨッシー
第５群の最後の項までの数字の個数は
　１＋２＋４＋８＋１６＝３１
31番目の奇数は 31×2−1＝61
第６群は 63から始まり、個数2^5＝32(個)の奇数列
第６群の最後の数は 63×2−1＝125
求める総和は
　(63＋125)×32÷2＝3008　・・・答え
No.89154 - 2024/10/17(Thu) 22:39:43
☆ Re: / ぴよ
ありがとうございます。
No.89164 - 2024/10/20(Sun) 13:07:51
★ 九州大学過去問 / Higashino
複素数平面

九州大学過去問
何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89146 - 2024/10/17(Thu) 09:19:40
☆ Re: 九州大学過去問 / ヨッシー
(1)
ｚ2 と ｚ3 の絶対値は同じです。
ｚ2 と ｚ3 は、ｙ＝ｘ に対して対称な位置にあります。
ｚ3 の偏角は、ｚ2 の２倍です。

ｚ2 は第１象限か第４象限にありますが、ｚ2 が第４象限だと、
ｚ3 は第３か第４象限になり、第２象限には来ないので、ｙ＝ｘ に対して対称とはなりません。
よって、ｚ2 の偏角θ と ｚ3 の偏角２θの平均 1.5θ が π/4 になるので、
　θ＝π/6
ｚ2 と ｚ3＝(ｚ2)^2 の絶対値が同じなので、ｚ2 の絶対値は１。
　ａ＝√3/2, ｂ＝1/2
であり、
　ｚ2＝√3/2＋ｉ/2＝cos(π/6)＋ｉsin(π/6)

(2)
単位円上に、偏角が
　0, π/6, π/3, π/2, 2π/3 ・・・
の複素数が配置され、ｚ12 まで並んだときに、
　ｚ7＝−ｚ1, ｚ8＝−ｚ2, ｚ9＝−ｚ3, ・・・ｚ12＝−ｚ7
と、６組の和が０になるペアが出来て、合計０になります。　n＝12 ・・・答え１
積は
　cos(0＋π/6＋π/3＋・・・＋11π/6)＋ｉsin(0＋π/6＋π/3＋・・・＋11π/6)
　＝cos{π/6・(0＋1＋・・・11)}＋ｉsin{π/6・(0＋1＋・・・11)}
　＝cos(11π)＋ｉsin(11π)＝cos(π)＋ｉsin(π)＝−１　　・・・答え２
No.89148 - 2024/10/17(Thu) 11:11:05
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
　ヨッシー先生、おはようございます

ご回答ありがとうございました

今回も私の答案を投稿しますので、ご指導等いただければ幸いです

以下答案
No.89158 - 2024/10/19(Sat) 06:01:51
★ 　埼玉大学過去問 / Higashino
複素数平面

埼玉大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89145 - 2024/10/17(Thu) 09:17:33
☆ Re: 　埼玉大学過去問 / ヨッシー
まず、絶対値にのみ着目すると、
　|１＋ｉ|＝√2
　|ａ−ｉ|＝√(ａ^2＋１)
　|ａ−3ｉ|＝√(ａ^2＋９)
に対して、
　|ｚ|＝√8(ａ^2＋１)/√2(ａ^2＋９)
　　　＝２(ａ^2＋１)/(ａ^2＋９)＝２／３
　３(ａ^2＋１)＝(ａ^2＋９)
これを解いて、
　ａ＝√3

次に、偏角（arg(z) で、z の偏角を表すことにします）に着目すると
　arg(１＋ｉ)＝π/4
　arg(ａ−ｉ)＝−π/6
　arg(ａ−3ｉ)＝−π/3
に対して
　arg(z)＝π/4×３−π/6×２＋π/3×２＝13π/12
よって、
　ｚ^n ＝(2/3)^n{cos(13ｎπ/12)＋ｉsin(13ｎπ/12)}
であり、これが実数になる最小の自然数ｎは ｎ＝１２
このとき
　ｚ^n＝−２^12/３^12
No.89149 - 2024/10/17(Thu) 15:39:57
☆ Re: 　埼玉大学過去問 / X
横から失礼します。
＞＞ヨッシーさんへ
aが負の実数の場合が抜けていませんか？
No.89150 - 2024/10/17(Thu) 17:23:41
☆ Re: 　埼玉大学過去問 / ヨッシー
>>Xさん
そうでした。
正なのはｎだけでしたね。

以下、ａ＝−√3 の時の解答です。

ａ＝−√3 のとき、
偏角に着目すると
　arg(１＋ｉ)＝π/4
　arg(ａ−ｉ)＝7π/6
　arg(ａ−3ｉ)＝4π/3
に対して
　arg(z)＝π/4×３＋7π/6×２−4π/3×２＝5π/12
よって、
　ｚ^n ＝(2/3)^n{cos(5ｎπ/12)＋ｉsin(5ｎπ/12)}
であり、これが実数になる最小の自然数ｎは ｎ＝１２
このとき
　ｚ^n＝−２^12/３^12
No.89153 - 2024/10/17(Thu) 22:33:54
☆ Re: 　埼玉大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、こんにちは


ご回答ありがとうございます

オイラーの法則　複数数指数関数で考えてみました
ご指導いただければ幸い
以下答案
No.89157 - 2024/10/18(Fri) 15:00:11
★ 高校入試 / ゆうま
よろしくお願いします。
No.89134 - 2024/10/15(Tue) 15:24:27
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
ＡＥとＣＤの交点をＧ、ＥＦとＣＤの交点をＨとします。
Ｇは△ＡＢＣの重心なので、ＡＧ：ＧＥ＝２：１
メネラウスの定理
　(ＣＨ/ＨＧ)(ＧＥ/ＥＡ)(ＡＦ/ＦＣ)＝１
より
　(ＣＨ/ＨＧ)(１/３)(３/１)＝１
　ＣＨ：ＨＧ＝１：１
△ＣＥＧ は △ＡＢＣ の 1/6 倍であり、
△ＥＧＨ はその半分で 1/12 倍。
No.89135 - 2024/10/15(Tue) 15:56:07
☆ Re: 高校入試 / ゆうま
ありがとうございます。

メネラウスの定理を使わなくて解けるでしょうか？
よろしくお願いします。
No.89141 - 2024/10/16(Wed) 08:03:31
☆ Re: 高校入試 / らすかる
メネラウスの部分は
Gを通りEFと平行な直線とACの交点をPとすると
AP：PF=AG：GE=2:1、AF：FC=3：1なので
AP：PF：FC=2：1：1
∴CH：HG=CF：FP=1：1
のようすればいいですね。
No.89142 - 2024/10/16(Wed) 08:15:31
☆ Re: 高校入試 / ゆうま
そういう補助線を引くのですね。
ありがとうございました！
No.89147 - 2024/10/17(Thu) 10:04:34
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