整数問題（高3）
a^b・b^a=c^(ab)
を満たす整数(a,b,c)の組は全部でX個あり、そのうちa+B+Cの最大値はYである。
XとYを求めよ
という問題が分かりません。
a,b,cの偶奇を考えるのかなと思っていますが詰まっているのでどなたか教えていただきたいです
|
No.87951 - 2024/04/27(Sat) 23:25:41
| ☆ Re: / らすかる | | | 問題は正しいですか？
その条件を満たす整数の組は無限個ありますので、Xは求まりません。
任意の自然数nに対し
(a,b,c)=(n,-n,(-1)^n)
とすれば成り立ちます。
|
No.87952 - 2024/04/28(Sun) 00:56:42 |
| ☆ Re: / bill | | | 申し訳ございません、
「整数(a,b,c)」は「正の整数(a,b,c)の誤りでした
|
No.87953 - 2024/04/28(Sun) 08:38:47 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 与式を変形して
a^(1/a)・b^(1/b)=c
f(x)=x^(1/x)として増減を調べると
f(x)はx=eのとき最大値e^(1/e)をとり
f(2)=f(4)=√2となるから、xが自然数の場合のf(x)の大小関係は
f(1)＜f(2)＜f(3)＞f(4)＞f(5)＞・・・
となる。
よってa^(1/a),b^(1/b)の最大値はf(3)=3^(1/3)なので
a^(1/a)・b^(1/b)の最大値は3^(2/3)
従ってc≦2
c=1の場合
与式の左辺が1になるためにはa=b=1でなければならない。
(a,b,c)=(1,1,1)のとき与式は成り立つ。
c=2の場合
与式の右辺の素因数が2のみなので、左辺の素因数も2のみ、すなわち
a=2^m, b=2^n（m,nは非負整数）でなければならない。
代入して整理すると
m/2^m+n/2^n=1
g(x)=x/2^xとして増減を調べると
g(x)はx=1/log2のとき最大値1/(elog2)をとり
g(1)=1/2,g(2)=1/2となるから、xが非負整数の場合のf(x)の大小関係は
g(0)＜g(1)＝g(2)＞g(3)＞g(4)＞・・・
となる。
よってm/2^m,n/2^nの最大値はg(1)=g(2)=1/2なので、
m/2^m+n/2^n=1が成り立つためにはmもnも1か2でなければならない。
このときaとbは2か4。
∴(a,b,c)=(2,2,2),(2,4,2),(4,2,2),(4,4,2)
従って条件を満たす解は
(a,b,c)=(1,1,1),(2,2,2),(2,4,2),(4,2,2),(4,4,2)
の5個ですべてなので、X=5, Y=10。
|
No.87954 - 2024/04/28(Sun) 09:27:00 |
| ☆ Re: / bill | | | 回答ありがとうございます。
数3の知識っていろんなとこで使えるんだなと勉強になりました。ありがとうございｍした。
|
No.87959 - 2024/04/28(Sun) 17:14:40 |
|
