lim[n→∞]1/nΣ[k=1〜n]1/(√k/n)
を区分求積法を用いて計算したところ、積分にx=0で定義されない1/√xが現れたので答えは合っているけれど減点になりました。正しくはどのように計算すればよいのでしょうか？色々調べたのですが、広義積分というのがあるらしいのですが、高校生なので高校の範囲でご回答をして下さると嬉しいです。よろしくお願いします。
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No.89111 - 2024/10/13(Sun) 21:40:12
| ☆ Re: 極限の問題 / IT | | | √k/nは√(k/n) ですか？(√k)/nですか？
後者なら問題の級数は収束しないので前者かな
区分求積法でどう計算しましたか？
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No.89112 - 2024/10/13(Sun) 22:07:12 |
| ☆ Re: 極限の問題 / Kana | | | ITさん
√(k/n)です。正確に入力できなくてすみません。
積分すると∫[0,1]1/√xdx (被積分関数は√x分の1です)となり、
原始関数2√xにx=1,x=0をそれぞれ代入した値の差を求めて答えは2となりました。
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No.89114 - 2024/10/13(Sun) 23:02:23 |
| ☆ Re: 極限の問題 / IT | | | 無理やり？ 高校範囲の区分求積法を用いて計算の考えを使って計算するなら
積分区間 1/n 〜1+(1/n)の定積分と前後の過不足を考慮すれば出来るのでは？
出題者（採点者）の意図する解答は教えてもらえないのですか？
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No.89115 - 2024/10/13(Sun) 23:14:18 |
| ☆ Re: 極限の問題 / Kana | | | ご返信ありがとうございます。
先生には休明けの授業までに考えておくようにと言われました。
1/nΣ[k=1〜n]1/√x＝∫[1/n,1+1/n]1/√xdx+(各長方形のy=1/√xの上側にある部分の面積)
として、
下から右辺第1項で評価して、上から右辺第2項を横1/n、高さ1/√(1/n)＝√nの長方形の面積1/√nの面積と右辺第1項の和で評価したあと、はさみうちの原理を使えばよろしいでしょうか？
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No.89119 - 2024/10/13(Sun) 23:52:30 |
| ☆ Re: 極限の問題 / IT | | | 時間がないのでKanaさんの考えが良いかを確認できませんが、
私が思いついたのは
(1/n)Σ[k=1〜n]1/√(k/n)=(1/n){1/√(1/n)}+ (1/n)Σ[k=2〜n+1]1/√(k/n)-(1/n){1/√(n+1/n)}
ここでlim[n→∞](1/n)Σ[k=2〜n+1]1/√(k/n)=∫[1/n..1+(1/n)](1/√x)dx=・・・
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No.89120 - 2024/10/14(Mon) 00:14:09 |
| ☆ Re: 極限の問題 / IT | | | >上から右辺第2項を横1/n、高さ1/√(1/n)＝√nの長方形の面積1/√nの面積と右辺第1項の和で評価し
良いような気がしますが、図を描かれると分かり易いと思います。
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No.89122 - 2024/10/14(Mon) 10:18:17 |
| ☆ Re: 極限の問題 / ast | | | 出題者が想定しているのは求める和を積分で挟み撃つこと, つまり (n は任意の有限値でいったん止めて)
∫_[1/n,1+1/n]dx/√x ≤ (k=1,…,n までの和) ≤ 1/n + ∫_[1/n,1]dx/√x
のように (面積の比較から) 和を評価 (積分はこの段階で計算) したのちに n→∞ とする方法ではないですか? (これなら広義積分は現れないですし.)
# この式が正しいかどうかは確認しないが, 「求める和を幅 1/n の短冊の合併の面積とみるとき:
# 曲線 y=1/√x がすべての短冊の左上, および右上, をそれぞれ通るとき下および上からの評価がでる」
# というかたちで式を提示したつもり.
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No.89123 - 2024/10/14(Mon) 16:18:15 |
| ☆ Re: 極限の問題 / Kana | | | ITさん、astさん
ご回答どうもありがとうございます。
はさみうちが使える状態に式を評価できることがよく分かりました。丁寧な解説ありがとうございました！
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No.89127 - 2024/10/14(Mon) 18:34:41 |
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