[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 区間の合併 / ぐっち
区間からなる任意の族の交わりは必ず一つの区間である。二つの区間の合併がふたたび区間となるための必要十分条件は、両区間の交わりが空でないか、一方の区間の開端点が他方の閉端点に一致することである。
ということを証明したいのですが、全然わかりません。ご教授お願い致します。
No.85199 - 2023/03/31(Fri) 19:23:32
☆ Re: 区間の合併 / ぐっち
すいません。質問の問題を間違えてコピペしてしまいました。
n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない
ということを証明したいです。
No.85200 - 2023/03/31(Fri) 19:29:51
☆ Re: 区間の合併 / IT
まず「区間」の定義はどうなっていますか？
数学的帰納法で示すことになると思います。
No.85201 - 2023/03/31(Fri) 20:49:12
☆ Re: 区間の合併 / ぐっち
以下のような設定になってます。
No.85202 - 2023/03/31(Fri) 21:21:27
☆ Re: 区間の合併 / IT
実数a,b(a≦b)について、閉区間a≦x≦bを[a,b] と表します。下記でどうでしょうか？
n=2 のとき、「n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない.しかも区間である。」は成立する
2以上のある自然数nについて、
「n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない.しかも区間である。」が成立すると仮定する。

　n+1個の区間[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],...,,[a(n),b(n)],,[a(n+1),b(n+1)]があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でないとき
　　そのうち[a(n+1),b(n+1)]以外のn個の区間を考えると、仮定から、n個の区間全部の交わりは空でない。しかも区間である。　
　　この交わりを[A,B]とする。
　　このとき、
　　　少なくとも１つのi（i=1,...,n)について a(i)≧A となる。（＃少し説明が必要かも）
　　　少なくとも１つのj（j=1,...,n)について b(i)≦B となる。
　　[A,B] と [a(n+1),b(n+1)]の交わりが空ならば、b(n+1)＜A　または　B＜a(n+1)。
　　　b(n+1)＜Aのとき、　b(n+1)＜A≦a(i)となるので [a(n+1),b(n+1)]と [a(i),b(i)]の交わりは空となり、条件に反する。
　　　B＜a(n+1)のとき、　b(j)≦B＜a(n+1)となるので [a(n+1),b(n+1)]と [a(j),b(j)]の交わりは空となり、条件に反する。
　　よって、[A,B] と [a(n+1),b(n+1)]の交わりは空でない。しかも区間である。
　　したがって、　n+1個の区間全部の交わりは空でない。しかも区間である。
No.85206 - 2023/03/31(Fri) 23:00:53
☆ Re: 区間の合併 / ぐっち
解答ありがとうございます！
少なくとも１つのi（i=1,...,n)について a(i)≧A となる。　　　少なくとも１つのj（j=1,...,n)について b(i)≦B となる。
というところが言われるとそうなることになるのですが、自分は「はっ」とされられました。
このようなことに気づくと見事に帰納法に乗るんですね〜。
No.85207 - 2023/03/31(Fri) 23:49:49
☆ Re: 区間の合併 / IT
n個の区間[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],...,,[a(n),b(n)],があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でないとき

A=max(a(i)),B=min(b(i)) とおくと　A≦Bである。（要証明）
任意のi=1,...n について [A,B] ⊆[a(i),b(i)]
[A,B]は空でないので、n個の区間全部の交わりは空でない。

で良いかもしれません。
No.85210 - 2023/04/01(Sat) 11:02:29
★ (No Subject) / あい
下記の問題の解き方がわかりません。
解説や参考になるページがありましたら
教えていただきたいです。お願いします。

答えは?Bです。
No.85193 - 2023/03/30(Thu) 11:17:30
☆ Re: / あい
上で文字化けしましたが、
答えは3です。
No.85194 - 2023/03/30(Thu) 11:18:11
☆ Re: / IT
この場合、4人目の到着時刻から開始時刻まで　どれだけ時間が掛かったか計算すれば良いだけでは？
No.85196 - 2023/03/30(Thu) 22:33:35
☆ Re: / あい
具体的にはどのように計算できますでしょうか？
No.85197 - 2023/03/30(Thu) 23:32:38
☆ Re: / ヨッシー
２人目は 0:48 に到着しますが、１人目が終わるのが 1:00 なので、0:12 待たされます。
３人目は 2:52 に到着しますが、２人目が終わるのが 2:00 なので、待ち時間はありません。
４人目は　（中略）
５人目は 4:58 に到着しますが、４人目が終わるのが 4:52 なので、待ち時間はありません。
６人目は 5:16 に到着しますが、５人目が終わるのが 5:58 なので、0:42 待たされます。

（中略）の部分を埋めましょう。
No.85198 - 2023/03/31(Fri) 10:50:39
★ 中学　整数の問題 / うみ
?@1段目は3桁の数字を選ぶ。（なんでもよい）
?A2段目は各位の数が同じ3桁の数（ゾロ目）を書く。
?B1段目と2段目の各位の数を足して、その答えを書く。ただし各位の数の和は、1の位だけを書くものとする。
?C2段目と3段目、3段目と4段目・・・というふうに、答えを繰り返し書いていく。
上記の作業を続けた結果、17段目の数字が必ずゾロ目になる。これは何故か、説明しなさい。


試してみてゾロ目になることは分かったんですけど理由はどうしてもわかりません。答えが配られないまま授業が終わってしまい、もやもやしています。よろしくお願いします。
No.85189 - 2023/03/29(Wed) 15:33:06
☆ Re: 中学　整数の問題 / らすかる
3段目=1段目+2段目
4段目=2段目+3段目=2段目+(1段目+2段目)=1段目+2段目×2
5段目=3段目+4段目=(1段目+2段目)+(1段目+2段目×2)=1段目×2+2段目×3
6段目=4段目+5段目=(1段目+2段目×2)+(1段目×2+2段目×3)=1段目×3+2段目+5
7段目=5段目+6段目=(1段目×2+2段目×3)+(1段目×3+2段目+5)=1段目×5+2段目×8
8段目=6段目+7段目=(1段目×3+2段目+5)+(1段目×5+2段目×8)=1段目×8+2段目×13
9段目=7段目+8段目=(1段目×5+2段目×8)+(1段目×8+2段目×13)=1段目×13+2段目×21
10段目=8段目+9段目=(1段目×8+2段目×13)+(1段目×13+2段目×21)=1段目×21+2段目×34
11段目=9段目+10段目=(1段目×13+2段目×21)+(1段目×21+2段目×34)=1段目×34+2段目×55
12段目=10段目+11段目=(1段目×21+2段目×34)+(1段目×34+2段目×55)=1段目×55+2段目×89
13段目=11段目+12段目=(1段目×34+2段目×55)+(1段目×55+2段目×89)=1段目×89+2段目×144
14段目=12段目+13段目=(1段目×55+2段目×89)+(1段目×89+2段目×144)=1段目×144+2段目×233
15段目=13段目+14段目=(1段目×89+2段目×144)+(1段目×144+2段目×233)=1段目×233+2段目×377
16段目=14段目+15段目=(1段目×144+2段目×233)+(1段目×233+2段目×377)=1段目×377+2段目×610
17段目=15段目+16段目=(1段目×233+2段目×377)+(1段目×377+2段目×610)=1段目×610+2段目×987
となり、「1段目の610倍の1の位」は必ず0なので全桁「2段目の987倍の1の位」でゾロ目になります。
No.85190 - 2023/03/29(Wed) 17:01:12
☆ Re: 中学　整数の問題 / うみ
ありがとうございます。
最後の一文の意味が分からないのですが、1段目の610倍の一の位が0だと、なぜ全ての桁が2段目の987倍になるのでしょうか？
No.85191 - 2023/03/29(Wed) 18:53:55
☆ Re: 中学　整数の問題 / らすかる
それぞれの桁について
「1段目×610+2段目×987」の1の位
つまり
「1段目×0+2段目×7」の1の位
すなわち
「2段目×7」の1の位
となり、2段目はゾロ目ですから
17段目の全桁が同じ値(2段目の7倍の1の位)になります。
No.85192 - 2023/03/29(Wed) 23:55:40
☆ Re: 中学　整数の問題 / IT
２段目の値による部分と、２段目が０だとして計算したものとを別々に考えると　分かり易いかも知れませんね。

１段目=a,２段目=0 の場合
1,2,3,...,17 段目の値は順に
a,0,a,a,2a,3a,5a,8a,13a,21a,34a,55a,89a,144a,233a,377a,610aとなります。
（途中１の位以外は、計算しないという考え方もあります）

２段目の値による部分は全桁同じ値になるので、結論が言えます。

No.85195 - 2023/03/30(Thu) 19:24:28
☆ Re: 中学　整数の問題 / うみ
らすかる様、IT様、ありがとうございます。説明を考えながら実際に自分で作業をしてみると無事理解できました。面白かったです。
No.85212 - 2023/04/01(Sat) 23:48:42
★ (No Subject) / 名前
x^z+y^y=z^x
を満たす2以上の自然数(x,y,z)は存在しますか？
No.85188 - 2023/03/28(Tue) 15:25:47
★ (No Subject) / satoru
この問題の解説をお願いします。答えは?Fです。
No.85185 - 2023/03/27(Mon) 13:08:43
☆ Re: / satoru
文字がおかしくなりました。答えは7です
No.85186 - 2023/03/27(Mon) 13:09:14
☆ Re: / ast
大前提として理解しているべきことは:
　任意の値で止めた x=(一定) における K_2 の断面積を T(x) とすれば求める K_2 の体積は ∫_[0,4] T(x)dx であること
くらいのことでしょう.

本問ではそれを単に x=x(t):=t^2 (したがって T(x)=S(t)) という媒介変数 t との従属関係で置換積分を考えているに過ぎないので, 7番が正答であることは上記から直ちにわかることであるはずです.
No.85187 - 2023/03/27(Mon) 17:34:22
★ (No Subject) / やすし
画像の問題の解説をお願いしたいです
中学生の問題なのですがよくわかりません
一応答えだけあって5/629らしいです
どうか解き方の解説お願いします
No.85183 - 2023/03/24(Fri) 22:05:29
☆ Re: / らすかる
a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2
=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2
=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)
なので
4^4+4×b^4=(16+8b+2b^2)(16-8b+2b^2)
=4(8+4b+b^2)(8-4b+b^2)
=4(8+b(b+4))(8+b(b-4))
分子でb=n, 分母でb=n+4のとき
(分子)=4(8+n(n+4))(8+n(n-4))
(分母)=4(8+(n+4)(n+8))(8+(n+4)n)
のようになりますので、4と(8+n(n+4))の項が消えます。
つまり
(4^4+4×n^4)/(4^4+4×(n+4)^4)
=(8+n(n-4))/(8+(n+4)(n+8))
となりますので
{(4^4+4×3^4)(4^4+4×11^4)(4^4+4×19^4)}/
{(4^4+4×7^4)(4^4+4×15^4)(4^4+4×23^4)}
=
{(4^4+4×3^4)/(4^4+4×7^4)}
{(4^4+4×11^4)/(4^4+4×15^4)}
{(4^4+4×19^4)/(4^4+4×23^4)}
=
{(8+3×(-1))/(8+7×11)}{(8+11×7)/(8+15×19)}{(8+19×15)/(8+23×27)}
ここでまた(8+7×11)と(8+15×19)がそれぞれ相殺されますので
=(8+3×(-1))/(8+23×27)
=5/629
となります。
No.85184 - 2023/03/24(Fri) 22:31:32
★ (No Subject) / 腹痛い
図のように横1列に無限に正方形が並んでいるときに、黒で示した角を無限に足したら何度に収束しますか?それとも発散しますか？解説もお願いします。
No.85178 - 2023/03/23(Thu) 19:16:09
☆ Re: / IT
発散ですが、何年生を想定して解説すればいいですか？

Σ(n=1..∞)(1/n) が発散することは既知ですか？
「弧度法」は既習ですか？
（斜辺を半径とみて弧度法で下から評価するのが簡単だと思います。）
No.85179 - 2023/03/23(Thu) 19:48:03
☆ Re: / 腹痛い
発散なら解説は要らないです
ありがとうございました。
No.85180 - 2023/03/23(Thu) 20:31:51
☆ Re: / らすかる
解説はいらないとのことですが、発散することの図形的な証明です。
左下の角を(0,0)左上を(0,1)最も左の黒い角度の場所を(1,0)のようにして
(t,0)にある角度（つまり左からt番目の角度）をa[t]とすると
任意のtに対してa[t]＜2a[2t]であることと
（(t,0)(2t,0)(0,1)で作られる三角形を考えると簡単に示せます）
a[t]＞a[t+1]であることから
a[2]＜a[3]+a[4]＜a[5]+a[6]+a[7]+a[8]＜a[9]+a[10]+…+a[16]＜・・・
となることがわかり、発散することが言えます。
No.85181 - 2023/03/24(Fri) 03:07:52
★ (No Subject) / 源田の1ミリ
(z-i)/(z+2)が実数となるような複素数zの存在範囲を求めよ

共役以外で方法はあるのでしょうか。解説よろしくお願いします。
No.85175 - 2023/03/22(Wed) 21:18:20
☆ Re: / らすかる
z=x+iy（x,yは実数）とおくと
(z-i)/(z+2)=(x+iy-i)/(x+iy+2)
=(x+iy-i)(x-iy+2)/{(x+iy+2)(x-iy+2)}
=(x+iy-i)(x-iy+2)/{(x+2)^2+y^2}
={x(x+2)+y(y-1)-(x-2y+2)i}/{(x+2)^2+y^2}
これが実数になるためにはx-2y+2=0すなわちy=x/2+1なので
複素数平面上で-2とiを通る直線
ただしz=-2は不適なのでその直線から-2の点を除く
No.85176 - 2023/03/22(Wed) 23:04:03
★ (No Subject) / 源田の1ミリ
複素数平面上で点zが原点中心半径1の円上を動く(点iを除く)。このとき(z-1)/(z-i)によって定まる点が存在する範囲を求めよ

写真のように解いてみたのですが検算すると間違っているような気がします。どう考えれば良いのでしょうか。解説よろしくお願いします。
No.85174 - 2023/03/22(Wed) 21:14:07
☆ Re: / X
＞＞検算すると間違っているような気がします。
どのような検算をして、間違っていると判断しましたか？
No.85177 - 2023/03/23(Thu) 17:53:15
☆ Re: / X
では、 源田の1ミリさんの計算結果が正しい
ことを別の角度から。

問題の軌跡を求める点をα+iβと置く代わりに
wと置くことにします。つまり
w=(z-1)/(z-i)
これより
(z-i)w=z-1
∴(w-1)z=iw-1 (A)
ここから
z=…
と変形して、|z|=1に代入する、
という方針でもよいのですが、
それだとw-1=0,≠0の場合分けが
煩雑ですので、
(A)の両辺の絶対値を取ってから
|z|=1を代入する方針で進めます。

(A)の両辺の絶対値を取ると
|w-1||z|=|iw-1|
これに|z|=1を代入して
|w-1|=|iw-1|
これより
|w-1|=|i(w+i)|
|w-1|=|i||w-(-i)|
∴|w-1|=|w-(-i)|
となりますので、wの軌跡は
点1と点-iを結ぶ線分の垂直二等分線
となります。


ここで上記の線分の
方向ベクトルに相当する複素数は
1-(-i)=1+i
∴上記の垂直二等分線の方向ベクトル
に相当する複素数は
(1+i)i=-1+i
更に、上記の線分の中点に相当する複素数は
{1+(-i)}/2=(1-i)/2
∴w=(-1+i)t+(1-i)/2 (B)
(tは実数)
と表すことができます。

(B)をもう少し整理すると
w=(-t+1/2)(1-i)

∴wの軌跡は
点1-iと原点を通る直線
つまり
原点を通る傾き-1の直線
となり、源田の1ミリさんの計算結果である
α+β=0
が示す内容とも一致しています。
No.85182 - 2023/03/24(Fri) 17:41:33
★ 確率の問題です。 / よな
袋に白い玉と黒い玉、それぞれ16個と2個が入っているとする。もし18人の学生が袋から順番に玉を一つずつ取り出す時黒い玉を取り出すためには何番目に取り出す学生が有利か？（ただし、一回取り出した玉はもう一度袋にいれない。）

答えは取り出す順番とは関係なしに確率は2/18=1/9になる。と書いてあるのですが、ここまでの過程が分かりません;;

教えていただけると嬉しいです。
No.85166 - 2023/03/20(Mon) 16:01:46
☆ Re: 確率の問題です。 / ast
なんというかエレガントな回答であれば「学生には見えないように伏せて白玉16と黒玉2を一列に並べておいて, 任意の一人の学生に1から18の好きな自然数を選ばせるとき」選んだ自然数番目に黒がある確率でしかない, というようなキツネにつままれたような話をしたほうがいいのかもしれませんが, それよりはとことん泥臭く

　例えば2番目に取り出す人の場合:
　　"一人目が白で二人目が黒" または "一人目が黒で二人目が黒" の確率だから 16/18 × 2/17 + 2/18 × 1/17 = 2/18.
　以下同様に……

というように全員調べれば重箱の隅をつつくレベルで疑ってしまうような人でも納得いくのではないでしょうか.
No.85167 - 2023/03/20(Mon) 18:09:55
☆ Re: 確率の問題です。 / けんけんぱ
>ここまでの過程が分かりません;;
一般的には、くじは引く順番に寄らず確率は等しい、という認識のもとこの問題を解くのでしょう。
少し問題集をやった人ならば、18人ではなく3人くらいの問題ですべてのパターンを洗い出して、何番目でも当たる確率は同じだったという経験をしているものと思います。
No.85169 - 2023/03/20(Mon) 22:35:43
☆ Re: 確率の問題です。 / IT
たしかに「・・・何番目に取り出す学生が有利か？」
という問いに対して、理由を書かずに「取り出す順番とは関係なしに確率は2/18=1/9になる」だけでは解答にはなってないですね。
ast さんの回答にあるようなエレガントな解答かプリミティブな解答が必要だと思います。
No.85170 - 2023/03/20(Mon) 23:09:45
☆ Re: 確率の問題です。 / 黄桃
ちょっと問題文が曖昧な気がします。

＃1列に並んでいる学生18人が順に一人ずつ玉を１つ取る。
＃誰も取ってない状態では、何番目の人が黒玉を取る確率が最も高いか、
＃などのきちんとした設定にしてほしいです。
＃そうでないと、「これこれの状況なら何番目が有利、この状況では最初が有利」
＃とか場合を列挙していく答もありえます。

ついでにいえば、引く順番を状況に応じて変更してよいとすると、
1.誰か一人が黒玉を引くまで待って、その次に引く
とか
2.最初の3人のうちに誰かが黒玉を引いたらその次に、誰も引かなければ4番目に引く、
とか、いろいろな戦術があります。
どの戦術も同じ確率だ、というのはそんなに自明ではないと思います。

＃黒玉を引く確率が低ければ低いほど、最初のうちは外れが多そうだから、
＃少し後から引く方がよさそう、と思ってしまいそうです。

どんな戦術でも同じ確率になることをいうには、1対1対応の考え方を使うのがすっきりしていると思います。
どんな戦術であっても、
白玉16個と黒玉2個を1列に並べるすべての場合について、
(a)自分の戦術に沿って選んだ玉が黒である場合の数
と
(b)1番目が黒玉である場合の数
が同じであることをいえばOKです。

(a)のそれぞれの場合に自分が引く玉と1番目の玉を交換する、という操作をしますと、(b)の場合になり、
(b)の場合それぞれについて、自分が引く玉と1番目の玉を交換するという同じ操作をすると (a)の場合になります。
したがって、(a)の場合の数と(b)の場合の数は1対1に対応しますから、同じ数だけあります。
No.85172 - 2023/03/21(Tue) 14:52:01
★ 確率 / 親不孝者
親より早く死んだ子が賽の河原で泣いていると、
鬼が近寄ってきてこう告げました。

「ネス湖でもないのにネッシーが住み着いて困っている。
お前は10歳だから、1/10の確率でネッシーに命中する石を10個やる。
ひとつずつネッシーに向かって投げ続けろ。
ネッシーに当たるたびにさらに石を10個やる。
石がなくなれば地獄行きだ。」

この親不孝な子が地獄に落ちる確率はいくらか教えて下さい。
No.85162 - 2023/03/19(Sun) 18:47:51
☆ Re: 確率 / m
確率 1 で地獄に落ちる．

http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/or-hasan-kakuritu/index.html
を参考に線形代数を使ってごり押しします．
以下，間違いがあるかもしれません．


あえて，初めに k 個の石を持っているとする．
N, k を 0 以上の整数とし，Q[N, k] を 「初めに k 個の石を持っていて，N 回目までに石がなくなる確率」とする．
Q[N, k] は N について単調増加であり，0≦Q[N, k]≦1 であるから次の極限
Q[k] = lim[N → ∞] Q[N, k]
が存在し， 0≦Q[k]≦1 となる．
また，定義から Q[0] = 1 である．Q[10] が元の問題の求める確率である．

k > 0 とする．N+1 回の投石を最初の投石によって場合分けすると
Q[N+1, k] = (1/10) Q[N, k+9] + (9/10)Q[N, k-1]
が成り立つ．（1 投目で 1/10 の確率でネッシーに当たり，そのとき石の数は k+9 個になる．外れれば k-1 個になる．）
N → ∞ として Q[k] の漸化式を得る．
Q[k] = (1/10) Q[k+9] + (9/10)Q[k-1] (k>0)

この特性方程式を調べる．
x = (1/10) x^10 + (9/10)
0 = x^10 - 10 x + 9 ... (*)
(*) は x = 1 を解に持ち，それ以外の複素数解は |x|>1 を満たす．さらに x = 1 のみが重解である．
（∵ (*) を変形すれば
0 = (x-1)(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x-9)
より |x|≦1 を満たす複素数 x が解であるならば，
9 = |x^9+x^8+...+x| ≦ |x|^9+|x|^8+...+|x| ≦ 9
の等号が成立するので x=1 である．
さらに (*) を微分するなりして，x=1 が重複度 2 の重解であること，その他は重解とはならないことがわかる．）

(*) の複素数解を 1, a[3], a[4], ..., a[10] とする．
線形代数（ジョルダン標準形?）の理論より Q[k] の一般項は
Q[k] = (C[1] + C[2] k) + C[3] a[3]^k + C[4] a[4]^k + ... + C[10] a[10]^k
と表される．ただし C[1], ..., C[10] は定数．
ここで，k をどれだけ大きくしても 0≦Q[k]≦1 であるから C[2] = C[3] = C[4] = ... = C[10] = 0 である．
よって Q[k] = C[1] = Q[0] = 1. とくに Q[10] = 1 である．
No.85165 - 2023/03/20(Mon) 09:06:53
☆ Re: 確率 / m
[追記]
ギャンブラーの破産問題，ランダムウォークで検索すると似た問題が出てきます．なかなかおもしろいです．

線形代数と書いたところはあまり有名でなかったかもしれません．次が参考になります．
https://s2s.undefin.net/wiki/?plugin=attach&refer=kuttinpa&openfile=%E6%96%B0%E6%AD%93%E8%AC%9B%E7%BE%A9%E7%94%A8%E3%83%AC%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A1.pdf

(*) の解については，
https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+0+%3D+x%5E10+-+10+x+%2B+9
で確かめれば十分でした．大事なのは x=1 が解であることと，その他の解が |x|>1 を満たすことです．
|a[3]|>1 のとき a[3]^k の項が発散するため，その係数が 0 と決定できます．
No.85168 - 2023/03/20(Mon) 20:14:43
☆ Re: 確率 / 親不孝者
後半がまだ正確に理解は出来ていませんが、
詳しく解説していただきありがとうございました。
No.85173 - 2023/03/21(Tue) 23:32:14
★ 数列の証明問題です。 / YUKI
画像の証明問題が分かりません。

数学的帰納法で証明するのですが

n=1のとき、a[1]=0は成り立つ。n=kのとき、0≦a[k]<1を仮定すると、

0≦a[k]²<1 3≦a[k]²＋３<4 各辺を4で割って

3/4≦a[k+1]<1 となり、どうしても証明が出来ません。詳しい方おられましたら

是非ご教授お願いしたいです、よろしくお願いいたします。
No.85151 - 2023/03/18(Sat) 09:55:35
☆ Re: 数列の証明問題です。 / らすかる
3/4≦a[k+1]＜1が成り立てば当然0≦a[k+1]＜1も成り立ちますので問題ないと思います。
No.85152 - 2023/03/18(Sat) 10:03:30
☆ Re: 数列の証明問題です。 / YUKI
回答ありがとうございます。

要求されている証明は0≦a[n]<1ですよね。

なぜ、3/4≦a[k+1]<1 を　0≦a[k+1]<1　として良いのかが分からないです。
No.85154 - 2023/03/18(Sat) 10:09:28
☆ Re: 数列の証明問題です。 / らすかる
3/4以上1未満である数は0以上1未満でもあるからです。
例えば1≦t＜2が成り立てば当然-100≦t＜100も成り立ちますよね。
それと同じ意味で、不等号の範囲を広げるのは問題ありません。
たとえ話ですが、もしも「a[k+1]=1/2」が証明できたとしても、やはり「0≦a[k+1]＜1が成り立つ」と言えますね。
No.85155 - 2023/03/18(Sat) 10:23:20
☆ Re: 数列の証明問題です。 / YUKI
ありがとうございます！助かりました。
No.85156 - 2023/03/18(Sat) 10:35:57
★ 連立方程式 / うさぎはどこへ逃げた？
{(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^2=(x^2+y^2+z^2+1+e^(4πi/5))/5
{(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^3=(x^3+y^3+z^3+1+e^(6πi/5))/5
{(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^4=(x^4+y^4+z^4+1+e^(8πi/5))/5
1<|x|≦|y|≦|z|

この連立方程式の解き方、答えを教えて下さい。
No.85148 - 2023/03/17(Fri) 18:46:15
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
t=exp(2πi/5), u=x+y+z, v=xy+yz+zx, w=xyz
とおくと
x^2+y^2+z^2=u^2-2v
x^3+y^3+z^3=u^3-3uv+3w
x^4+y^4+z^4=u^4-4u^2v+4uw+2v^2
第1式から
{(u+1+t)/5}^2=(u^2-2v+1+t^2)/5
vについて整理して
v={2u^2-(t+1)u+2t^2-t+2}/5 … (1)
第2式から
{(u+1+t)/5}^3=(u^3-3uv+3w+1+t^3)/5
(1)を代入してvを消去し、wについて整理すると
w={2u^3-4(t+1)u^2+(11t^2-3t+11)u-(t+1)(8t^2-9t+8)}/25 … (2)
第3式から
{(u+1+t)/5}^4=(u^4-4u^2v+4uw+2v^2+1+t^4)/5
(1)(2)を代入してv,wを消去して整理すると
(u+t+1)(u-4t-4)(u^2-3(t+1)u+(21t^2-8t+21))+125(t^4+t^3+t^2+t+1)=0
t^4+t^3+t^2+t+1=0なので
(u+t+1)(u-4t-4)(u^2-3(t+1)u+(21t^2-8t+21))=0
∴u=-t-1,4t+4,{3(t+1)±5√(-3t^2+2t-3)}/2
=-{√5+3+i√(10+2√5)}/4,√5+3+i√(10+2√5),
{2√5+1+i√(65-22√5)}/2,{-√5+7+i√(410-178√5)}/4

u=-(√5+3+i√(10+2√5))/4 のとき
v=(1+i√(5+2√5))/2
w=(√5-1-i√(10+2√5))/4
このとき
(x,y,z)=(e^(4πi/5),e^(6πi/5),e^(8πi/5))
=((√5-1-i√(10+2√5))/4,(-√5-1+i√(10-2√5))/4,(-√5-1-i√(10-2√5))/4)
しかし|x|=|y|=|z|=1なので不適

u=√5+3+i√(10+2√5) のとき
v=(5√5+7+i√(1570+698√5))/4
w=(-2√5-3+i√(265+118√5))/2
このとき
(x,y,z)=((2+i√(10+2√5))/2,(√5+2+i√(5-2√5))/2,(√5+2+i√(5+2√5))/2)
これは1＜|x|=|y|＜|z|なので適解

u=(2√5+1+i√(65-22√5))/2 のとき
v=(5√5-9+i√(130-38√5))/2
w=(-9√5+19+i√(410-178√5))/4
このとき
(x,y,z)=((√5-1+i√(50-22√5))/4,(2+i√(10-2√5))/2,(3√5-1+i√(10-2√5))/4)
しかし|x|＜1＜|y|=|z|なので不適

u=(-√5+7+i√(410-178√5))/4 のとき
v=(15√5-33+3i√(130-58√5))/4
w=4√5-9+i√(85-38√5)
このとき
(x,y,z)=((-√5+2+i√(5-2√5))/2,(√5-1-i√(50-22√5))/4,1+i√(5-2√5))
しかし|x|=|y|＜1＜|z|なので不適

従って条件を満たす解は
(x,y,z)=((2+i√(10+2√5))/2,(√5+2+i√(5-2√5))/2,(√5+2+i√(5+2√5))/2),
((√5+2+i√(5-2√5))/2,(2+i√(10+2√5))/2,(√5+2+i√(5+2√5))/2)
（∵|x|=|y|＜|z|）
No.85159 - 2023/03/19(Sun) 01:24:55
☆ Re: 連立方程式 / うさぎはどこへ逃げた？
x^3 -(√5+3+i√(10+
2√5)) x^2 +(5√5+7+i√(1570+698√5))/4 x - (-2√5-3+i√(265+118√5))/2=0
という3次方程式はどうやって解くのですか？
No.85160 - 2023/03/19(Sun) 15:36:58
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
WolframAlphaを使って解きました。
手作業では難しそうですね。
No.85161 - 2023/03/19(Sun) 18:09:55
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
手計算でも何とかなりそうです。

元の方程式
x^3 - (√5+3+i√(10+2√5)) x^2 + (5√5+7+i√(1570+698√5))/4 x - (-2√5-3+i√(265+118√5))/2=0
虚数を右辺に移項
x^3 - (√5+3) x^2 + (5√5+7)/4 x - (-2√5-3)/2
=i{√(10+2√5) x^2 - √(1570+698√5)/4 x + √(265+118√5)/2}
両辺を4倍して分母を払う
4x^3 -4(√5+3) x^2 +(5√5+7) x + 2(2√5+3)
=i{4√(10+2√5) x^2 - √(1570+698√5) x + 2√(265+118√5)}
両辺を2乗
16x^6 + 16(14+6√5)x^4 + (174+70√5)x^2 + 4(29+12√5)
- 32(√5+3)x^5 + 8(5√5+7)x^4 + 16(2√5+3)x^3
- 8(√5+3)(5√5+7)x^3 - 16(√5+3)(2√5+3)x^2 + 4(5√5+7)(2√5+3)x
=
-16(10+2√5)x^4 - (1570+698√5)x^2 - 4(265+118√5)
+ 8√{(10+2√5)(1570+698√5)}x^3 - 16√{(10+2√5)(265+118√5)}x^2
+ 4√{(1570+698√5)(265+118√5)}x
各項整理（すべて二重根号が外れる）
16x^6 + 16(14+6√5)x^4 + (174+70√5)x^2 + 4(29+12√5)
- 32(√5+3)x^5 + 8(5√5+7)x^4 + 16(2√5+3)x^3
- 8(46+22√5)x^3 - 16(19+9√5)x^2 + 4(71+29√5)x
=
-16(10+2√5)x^4 - (1570+698√5)x^2 - 4(265+118√5)
+ 16(55+23√5)x^3 - 16(45+19√5)x^2 + 4(645+287√5)x
移項して整理
2x^6 - 4(3+√5)x^5 + (55+21√5)x^4 - 2(75+32√5)x^3
+ 2(135+58√5)x^2 - (287+129√5)x + (147+65√5) = 0
無理数を右辺に移項
2x^6-12x^5+55x^4-150x^3+270x^2-287x+147
=(√5)(4x^5-21x^4+64x^3-116x^2+129x-65)
両辺を2乗して整理
x^12-12x^11+71x^10-270x^9+735x^8-1512x^7+2419x^6
-3042x^5+2920x^4-1960x^3+786x^2-132x+121=0
x-1=sとおくと
s^12+5s^10+15s^8+25s^6-50s^4+125=0
s^2=tとおくと
t^6+5t^5+15t^4+25t^3-50t^2+125=0
因数分解
(t^4+10t^2-25t+25)(t^2+5t+5)=0
t^2+5t+5=0の解は
t=-(5±√5)/2
なので
s=±i√(10±2√5)/2　（複号任意）
∴x=1±i√(10±2√5)/2　（複号任意）
この4つを元の方程式に代入して計算すると
x=1+i√(10+2√5)/2
が解であることがわかる。
x+y+z=√5+3+i√(10+2√5) から
y+z=(√5+3+i√(10+2√5))-(1+i√(10+2√5)/2)=√5+2+i√(10+2√5)/2
xyz=(-2√5-3+i√(265+118√5))/2 から
yz={(-2√5-3+i√(265+118√5))/2}/{1+i√(10+2√5)/2}={9+3√5+i√(130+58√5)}/4
よって残りの2解は
t^2 - (√5+2+i√(10+2√5)/2)t + (9+3√5+i√(130+58√5))/4=0
の解なので、二次方程式の解の公式により
t={√5+2+i√(5±2√5)}/2
従って元の方程式の解は
1+i√(10+2√5)/2 と {√5+2+i√(5±2√5)}/2
であることがわかる。
No.85163 - 2023/03/20(Mon) 06:02:37
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
あと、適解が出ない3つのwに関しては
|w|がいずれも1以下であることから、
三次方程式を解くことなく不適とわかりますね。
No.85164 - 2023/03/20(Mon) 06:18:14
☆ Re: 連立方程式 / うさぎはどこへ逃げた？
ありがとうございました。
非常に参考になりました。
No.85171 - 2023/03/21(Tue) 13:59:20
★ 微分の表示方法について質問 / 高1　　いいだ
x＝f(t)で表される関数のtでの一階微分がdx/dtで表され、二階微分が((d^2)x)/dt^2
と表される理由を説明していただきたいです。
調べてみると、dが微分を表す演算子だという話があり、ここで言っている演算子という言葉の意味も説明してくださると嬉しいです。
No.85145 - 2023/03/16(Thu) 21:41:36
☆ Re: 微分の表示方法について質問 / ポテトフライ
> x＝f(t)で表される関数のtでの一階微分がdx/dtで表され、二階微分が((d^2)x)/dt^2
> と表される理由を説明していただきたいです。

理由と言われても「こう書くようにしましょう」と決められているので何とも言い難いです。
なので微分の記号d/dtを使わなくても（一応）問題ありません。ですが、数学の慣習として根付いていることなので従っておくのが無難でしょう。

あとはd^2/dt^2が二階微分になるのは一階導関数dx(t)/dtにもう1回微分する操作d/dtを考えて
(d/dt)(dx(t)/dt)= (d/dt) (d/dt)x(t)= (d/dt)^2x(t)=d^2x(t)/dt^2
という風になります。（と言っても形式的な話でしかないのでこれ以上説明のしようがないです）



> 調べてみると、dが微分を表す演算子だという話があり、ここで言っている演算子という言葉の意味も説明してくださると嬉しいです。


演算子というのは大学以上の数学で用いられる言葉で、高校ではあまり気にしなくてよいのではないかと思います。
一応説明をしておくと、d/dtという微分演算子は1回以上微分可能な関数x(t)に対して、その一階導関数dx(t)/dtという関数を対応させる規則のことです。（より一般には「写像」という概念になります。もしくは作用素という言葉で説明されることもあります。）

演算子は微分に限らず、足し算＋にも考えることができて
3＋4＝7
というのは3、4という二つの数字に対して7という和を与える演算子ととらえることもできます。
No.85147 - 2023/03/17(Fri) 17:41:34
☆ Re: 微分の表示方法について質問 / 高一　いいだ
返信ありがとうございます。
ここでのdx/dtや((d^2)x)/dt^2は分数式というより関数f(t)の導関数を表す形式的な記法だということですか。
No.85157 - 2023/03/18(Sat) 15:15:37
☆ Re: 微分の表示方法について質問 / ポテトフライ
> ここでのdx/dtや((d^2)x)/dt^2は分数式というより関数f(t)の導関数を表す形式的な記法だということですか。

そうです。ただ、分数式の記号を用いているのは形式的議論をするときに、分数のような振る舞いをするというのも理由にあると思います。
No.85158 - 2023/03/18(Sat) 20:46:49
★ 最大値 / me
このグラフの最大値と、x→∞の極値を教えてください。
出来れば解説付きでお願いします。
No.85144 - 2023/03/16(Thu) 21:14:33
☆ Re: 最大値 / らすかる
大きな勘違いをしていましたので全体を書き直します。

「x→∞の極値」がただの「極値」の意味ならば
f(x)=[√x]√x → x＞0,f(x)＞0
f(x)=x^(1/√x)
logf(x)=logx/√x
f'(x)/f(x)=(2-logx)√x/(2x^2)
f'(x)=x^(1/√x)・(2-logx)√x/2x^2
f'(x)は
2-logx＜0すなわちx＞e^2のとき減少
2-logx＞0すなわちx＜e^2のとき増加
よってf(x)はx=e^2で極大値f(e^2)=e^(2/e)をとる。
（最大値もこの極大値と同じ）

「x→∞の極値」が「x→∞の極限値」の意味ならば
f(x)=x^(1/√x)
logf(x)=logx/√x
g(x)=x^(1/3)-logxとおくと
g'(x)={x^(1/3)-3}/(3x)
g(x)はx^(1/3)-3＞0すなわちx＞27で増加
また
g(e^6)=e^2-log(e^6)＞2.7^2-6=1.29＞0
なのでx＞e^6のときg(x)＞0
従ってx＞e^6のときx^(1/3)＞logxなので0＜logx/x^(1/3)＜1
logf(x)=logx/√x={logx/x^(1/3)}・1/(x^(1/6))→0（x→∞）
となるので
lim[x→∞]f(x)=1
No.85146 - 2023/03/17(Fri) 00:28:00
☆ Re: 最大値 / IT
f(x)=x^(1/√x)　では？
No.85149 - 2023/03/18(Sat) 09:20:57
☆ Re: 最大値 / らすかる
あ、ほんとだ。大きな勘違いをしていましたね。
指摘されるまで気づきませんでした。ご指摘ありがとうございます。
新たに正しい回答を投稿しようかとも思いましたが、前の投稿量が大きく
そのまま残しておくのも問題があるかも知れませんので、前の投稿を修正しました。
No.85153 - 2023/03/18(Sat) 10:04:49
★ 数1（高校1年） / うい
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abcの因数分解をお願いします。
途中式も書いてくださると嬉しいです。
No.85141 - 2023/03/16(Thu) 17:00:22
☆ Re: 数1（高校1年） / ヨッシー
展開して、ある文字（ここでは a）について整理します。
　(与式)＝a^2b＋ab^2＋b^2c＋bc^2＋c^2a＋ca^2＋3abc
　＝(b+c)a^2＋(b^2＋c^2＋3bc)a＋bc(b+c)
たすき掛けで、(Aa+B)(Ca+D) のA,B,C,D を見つけると
　A=b+c, B=bc, C=1,　D=b+c
よって
　(与式)＝{(b+c)a＋bc}(a+b+c)＝(ab+bc+ca)(a+b+c)
No.85142 - 2023/03/16(Thu) 17:18:24
★ 算数 / ぽこた
⬜︎2の（2）についです。36/□=(36-□)/5
□×(36-□)=180
□=6 or 30
30/5は約分できる
A. 5

質問です。なぜ□×(36-□)=180になるのかわかりません。算数です。出来れば解説して頂けると助かります。
No.85139 - 2023/03/15(Wed) 22:16:04
☆ Re: 算数 / 吉田　
5×□を両辺にかけています。
36/□=(36-□)/5
36/□ ×5×□ =(36-□)/5 ×5×□
36×5 =(36-□)×□
180 = (36-□)×□
になります。
No.85140 - 2023/03/16(Thu) 06:54:15
☆ Re: 算数 / ぽこた
返信ありがとうございます。

わかりました。
No.85143 - 2023/03/16(Thu) 19:08:03
★ 体積の求め方（２）の問題 / 学力不足　中３
教科書の例題など見直してみたのですが、解き方が、わかりません。詳しい解説を、よろしくお願いします。答え（２）４５cm3
No.85135 - 2023/03/13(Mon) 20:13:10
☆ Re: 体積の求め方（２）の問題 / らすかる
求める体積は
(直方体ABCD-EFGH)-(四角錐A-CDHP)-(四角錐A-BCPF)-(三角錐P-FGH)-(三角錐A-EFH)
=5×6×7-(5+7)×6÷2×5×(1/3)-(5+7)×5÷2×6×(1/3)
　-5×6÷2×2×(1/3)-5×6÷2×7×(1/3)
=45
となりますね。
No.85136 - 2023/03/13(Mon) 20:31:53
☆ Re: 体積の求め方（２）の問題 / 学力不足　中３
解説ありがとうございました。わかりました。
No.85137 - 2023/03/14(Tue) 19:15:15
★ 中学2年　平行四辺形になるための条件について / うさぎ
塾でテストがあり、その時に友人が、「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」も平行四辺形になるんじゃないかと言っていたのですが、なりますか？
私はならない気がするのですがうまく友人に説明できなかったので教えてください。

また、教科書に載っている５つ（2組の辺が平行、等長、2組の角が等しい、1組の辺が平行で等長、対角線が互いの中点で交わる）
以外に平行四辺形になる条件は存在するんですか？
もしあったら理由もあわせて教えて欲しいです！気になります。
No.85129 - 2023/03/12(Sun) 21:06:08
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / IT
> 「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」も平行四辺形になるんじゃないかと言っていたのですが、なりますか？
なるとは限りませんね。
凸四角形でない反例は、容易に示せます。後で図を挙げます。
No.85130 - 2023/03/12(Sun) 22:14:18
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる
例えば凸四角形ABCDの4頂点を
A(0,0)
B(2√6-2√3+2√2-2,0)
C(2√6-2√3+3√2-2,√6)
D(2,2)
とすると、辺の長さは
AB=2√6-2√3+2√2-2≒2.26
BC=2√2
CD=-2√6+2√3-2√2+6≒1.74
DA=2√2
角度は
∠DAB=45°
∠ABC=120°
∠BCD=45°
∠CDA=150°
となりBC=DA、∠DAB=∠BCDなので
「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」を満たしていますが、
AB≠CDなので平行四辺形ではありません。

「平行四辺形になる条件」は考えればいろいろ作れると思いますが、
簡単なものでは例えば
「1組の対辺が平行で1組の対角が等しい」
とか
「隣接角の和がすべて180°」
とか。
No.85131 - 2023/03/12(Sun) 22:59:03
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / IT
らすかるさんが　凸四角形の反例を挙げておられますので
必要ないかもしれませんが、下図の平行四辺形ABCDについて
Aを中心に△AEDを回転してEをCに動かすと反例になります。
No.85132 - 2023/03/12(Sun) 23:34:36
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / ポテトフライ
> また、教科書に載っている５つ（2組の辺が平行、等長、2組の角が等しい、1組の辺が平行で等長、対角線が互いの中点で交わる）
> 以外に平行四辺形になる条件は存在するんですか？

あります。が、実用性を考慮すると微妙かもしれません。むしろ「どんな条件を満たせば平行四辺形になるか？」ということを考えることの方が重要な気がします。


以下、私の考えとスレ主さんの考察の助けになる(かもしれない)話を書きます。

中2の教科書にある平行四辺形の成立条件5つのうち
【1組の対辺が平行で長さが等しい】
というのは極めて異質である。なぜなら、他の4条件は全て「2組の〇〇が等しい」という条件なのに対し、これだけは「1組の」となっている。なんとなく仲間はずれのような印象を受ける。
そうすると平行四辺形に出る様々な情報の組み合わせを入れ替えるとどうなるだろうか？要は「1組の対辺が平行」「1組の対辺が等しい」「1組の対角が等しい」「対角線が中点で交わる」という情報を組み合わせてみてどうなるか？ということで、例えば「1組の対辺の長さが等しい、かつ1組の対角の大きさが等しい四角形は平行四辺形となるか？」「四角形の対角線の交点が1つは中点であり(もう1つは中点かどうかわからない)、かつ1組の対辺が平行のとき平行四辺形となるか？」など。条件の選び方で結構な数が出てきそうですね(これは場合の数の話でもありますね)
No.85133 - 2023/03/13(Mon) 02:19:07
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる
私が作った図形は、ITさんの図で
AからBCの延長上に下した垂線の足をFとする
FG=CFとなるようにBFの延長上に点Gをとる
（これで△ACGはAC=AGの二等辺三角形）
そしてAを中心に△ACDを回転してCをGに動かす
のようにして作られるものです。
ITさんの例は二等辺三角形の削除、私の例は二等辺三角形の追加ということですね。
No.85134 - 2023/03/13(Mon) 16:27:08
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる
頂点の座標と辺の長さが整数であるものも検討してみました。
四角形ABCDの頂点の座標を
A(0,0), B(15625,0), C(17047,18696), D(11250,15000)
とすると
AB=15625, BC=18750, CD=6875, DA=18750
なのでBC=DA、また
∠A=∠C≒53.13°, ∠B≒94.35°, ∠D≒159.39°
(cos∠A=cos∠C=3/5, cos∠B=-237/3125, cos∠D=-117/125)
なので∠A=∠Cとなります。
No.85138 - 2023/03/15(Wed) 01:09:14
★ 三角関数 / procrastination
θの求め方がわかりません。
どなたかご教授お願い致します。
No.85121 - 2023/03/10(Fri) 23:28:21
☆ Re: 三角関数 / らすかる
左の頂点をA、下の頂点をB、右の頂点をC、上の頂点をDとします。
∠ADB=180°-20°-60°-50°=50°=∠ABDなので
△ABDはAB=ADである二等辺三角形です。
∠BAE=20°となるように辺BC上に点Eをとります。
∠AEB=180°-20°-50°-30°=80°=∠ABEなので
△ABEはAB=AEである二等辺三角形です。
よってAD=AB=AEであり∠DAE=20°+60°-20°=60°なので
△AEDは正三角形でAD=AE=DEです。
∠AEB=80°で∠CAE=40°なので∠ACE=∠AEB-∠CAE=40°=∠CAEなので
△ECAはAE=CEである二等辺三角形です。
よってCE=AE=DEなので△ECDはDE=CEである二等辺三角形であり、
∠DEC=180°-80°-60°=40°なので∠ECD=(180°-40°)÷2=70°です。
従って∠ACD=70°-40°=30°なので、θ=90°-30°=60°となります。
No.85122 - 2023/03/11(Sat) 00:27:45
全22116件 [ ページ : << 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 ... 1106 >> ]