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★ 巡回群の証明 / てんてん
pを素数、Gを群とし、|G|=p^2とする。位数がpより大きい元をGが含むときGが巡回群であることを証明せよ。
この問題の証明の過程が分かりません。
ご教授、お願いいたします。
No.71807 - 2020/12/30(Wed) 10:38:35
☆ Re: 巡回群の証明 / IT
「有限群の位数」と「元の位数」、「部分群の位数」の関係についてどんなことが既知ですか？
No.71808 - 2020/12/30(Wed) 11:31:50
★ 数I / 馬
高校1年です

AB＝3、AD＝4の長方形ABCDの辺AB、BC、DA上（両端を含む）にそれぞれ点P、Q、Rをとり、AP＝2x、CQ＝x、DR＝3xとする。
xがいろいろな値をとって変化するとき、△PQRの面積の最小値とその時のxの値を求めよ。

という問題がわかりません。よろしくお願いします。
No.71805 - 2020/12/30(Wed) 02:06:52
☆ Re: 数I / らすかる
△PBQ=(4-x)(3-2x)/2
△APR=2x(4-3x)/2=x(4-3x)
台形RQCD=3(x+3x)/2=6x
なので
△PQR=3×4-(4-x)(3-2x)/2-x(4-3x)-6x
=(4x^2-9x+12)/2
=2(x-9/8)^2+111/32
x=9/8のとき0＜2x＜3、0＜x＜4、0＜3x＜4なので
条件を満たしており、このとき最小値111/32をとる。
No.71806 - 2020/12/30(Wed) 02:48:06
★ 群論 / 鹿
逆像を求める問題です。
群ℤ/42ℤおよび直積群(ℤ/2ℤ)×(ℤ/3ℤ)×(ℤ/7ℤ)について
写像f:ℤ/42ℤ→(ℤ/2ℤ)×(ℤ/3ℤ)×(ℤ/7ℤ)をf([x]_42)=([x]_2,[x]_3,[x]_7)で定義する。ここでx∈ ℤに対して[x]_nは群ℤ/n ℤにおいてxが属する剰余類を表す。
(問題)元([1]_2,[2]_3,[5]_7)∈ (ℤ/2ℤ)×(ℤ/3ℤ)×(ℤ/7ℤ)のfによる逆像を求めよ。
この問題が分かりません。よろしくお願いいたします。
No.71800 - 2020/12/29(Tue) 21:41:15
☆ Re: 群論 / 鹿
すみません、解決しました！
No.71803 - 2020/12/29(Tue) 22:02:17
★ ガウスの発散定理に関する証明 / だん
大学1年です。

X=(f, g, h)をR^3乗のC1ベクトル場としたとき，divX=0ならば
面積分integralX・n dS　
はAの境界の曲線Γのみに依存して定まることを示せ。
逆にこの積分が境界の曲線Γのみに依存して定まるならば，divX=0となることを示せ。

証明の流れだけでもお願いします。
No.71799 - 2020/12/29(Tue) 18:08:20
☆ Re: ガウスの発散定理に関する証明 / 関数電卓
　divX＝0 …(1)
ならば X は
　X＝rotV …(2)
なるベクトルポテンシャル V をもちます。これは既知でよいですね？
このとき所要の面積分は
　∫Sn･XdS＝∫Sn･rotVdS …(3)
であり，(3)の右辺は
　∫Sn･rotVdS＝∫ΓV･tdΓ …(4)
となり，これは ストークスの定理 そのものです。

ストークスの定理については，検索すればいくらでも出てきますが，直観的には こちら が分かり易い。“逆” については，ご自分で！
　
No.71804 - 2020/12/29(Tue) 22:14:12
★ ガウス記号 / kei
高校２年です。

0≦x≦10のとき
[√(x)+1/2]=[[√([x])]+1/2]

を解けという問題なのですが、
(方程式の右辺は、「[x]のルートをとったもの」のガウス記号と1/2の和のガウス記号を表しています。分かりにくくて申し訳ありません。また、答え0≦x<1/4,1≦x≦9/4,4≦x≦25/4,9≦x≦10であることが分かっています)

自分なり考えてみたのですが、以下のような解答でよろしいでしょうか？

m=[√(x)+1/2]とおくと、1/2≦√(x)+1/2≦1/2+√10よりm=0,1,2,3のいずれかであることが分かる。

m=[√(x)+1/2]を変形すると
m-1/2≦√(x)<m+1/2
m=0のとき0≦x<1/4
m≧1のときm^2-m+1/4≦x<m^2+m+1/4 ☆

また、[[√([x])]+1/2]=mでもあるので
m≦[√([x])]+1/2<m+1
∴[√([x])]=m ∵[√([x])]は整数
よって
m≦√([x])<m+1
m^2≦[x]≦m^2+2m
∴m^2≦x<m^2+2m+1 ☆☆

☆かつ☆☆より
m^2≦x<m^2+m+1/4 ★
(m=0のときは0≦x<1/4となる)

★にm=0,1,2を代入すると答と一致し、m=3のときはx≦10を考慮して答と一致したのですが、上記のような答案で合っていますでしょうか？

どうぞよろしくお願い致します。
No.71795 - 2020/12/28(Mon) 22:45:14
☆ Re: ガウス記号 / らすかる
問題ないと思います。
No.71796 - 2020/12/28(Mon) 22:57:30
☆ Re: ガウス記号 / kei
らすかる様

以前「xを1以上の実数とするとき[√(x+4)]^2-4√(x-1)=0を解け」という問題を質問させていただき、その時の(らすかる様からの)ご回答をもとに自分なりに色々と考えてみたので、何だかとても嬉しく思っています。

いつもありがとうございます！
No.71798 - 2020/12/28(Mon) 23:43:14
★ 群論 / 鹿
n=pqr (p,q,rはどの二つをとっても互いに素)
f:ℤ/nℤ→(ℤ/pℤ)×(ℤ/qℤ)×(ℤ/rℤ)
このとき、写像fが同型であることを示す問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
(×は直積の記号です。)
No.71794 - 2020/12/28(Mon) 21:37:31
☆ Re: 群論 / IT
写像fが何者かが書いてないですし、既習事項が分かりませんので直接の回答はできませんが、下記など参考にされるとよいのでは？「中国の剰余定理」で検索しても良いと思います。

https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2011/07.pdf
No.71797 - 2020/12/28(Mon) 23:25:41
☆ Re: 群論 / 鹿
ありがとうございます！
No.71802 - 2020/12/29(Tue) 21:45:29
★ 数A / むりんご
整数a、bを5で割った余りをそれぞれr、r’とするとき、abを5で割った余りはrr’を5で割った余りに等しいことを証明せよ。
ab＝(5q＋r)(5q’＋r’)
＝5(5qq’＋qr’＋q’r)＋rr’
ここから結局どうして等しくなるかわかりません。回答よろしくお願いします。
No.71783 - 2020/12/27(Sun) 19:53:26
☆ Re: 数A / 関数電卓
お書きの通り
　ab＝(5q＋r)(5q’＋r’)＝5(5qq’＋qr’＋q’r)＋rr’
です。
5(5qq’＋qr’＋q’r) は 5 の倍数ですから 5 で割ったあまりは 0。よって，abを5で割った余りはrr’を5で割った余りに等しい ですよね。
No.71784 - 2020/12/27(Sun) 20:00:55
☆ Re: 数A / IT
rr’を5で割った商をs余りをt とでもして表すとどうですか？
No.71785 - 2020/12/27(Sun) 20:01:33
☆ Re: 数A / むりんご
b＝(5q＋r)(5q’＋r’)
＝5(5qq’＋qr’＋q’r)＋rr’
ゆえに、abを5で割った余りはrr’を5で割った余りに等しい。

解答はこのように記述されていて自分には説明が省かれているように感じ「ゆえに」の意味がまったく分からないんですが、「abをmで割った余りは、rr’をmで割った余りに等しい」この定理を使っているから解答は「ゆえに〜」となっているんでしょうか？
No.71788 - 2020/12/27(Sun) 20:48:49
☆ Re: 数A / ヨッシー
ITさんの書かれているように
　rr'＝5s＋t　(rr' を 5で割った余りが t)
とおくと、
　ab＝(5q＋r)(5q'＋r')
　　＝5(5qq'＋qr'＋q'r)＋rr'
　　＝5(5qq'＋qr'＋q'r＋s)＋t
これより ab を５で割った余りは t で、rr' を５でわった余りと等しい
No.71789 - 2020/12/27(Sun) 21:25:51
☆ Re: 数A / むりんご
理解出来ました！皆さんありがとうございました
No.71790 - 2020/12/27(Sun) 21:34:50
★ 部分積分の同型出現について / コウコウ
画像の3，4番についてです。置換積分法を使うのがスタンダードな解き方であると思いますが、この2つの問題を部分積分法で解きたいです。

その時の途中式、解説をお願いします。同型出現なら、同型出現で何をIと置いたかを明記してくれると助かります。
No.71781 - 2020/12/27(Sun) 19:30:41
☆ Re: 部分積分の同型出現について / 関数電卓
> 部分積分法で解きたい
(3)(4)どちらも無理ですね。
(3) e^(x^2) の不定積分が出来ない。
(4) 部分積分が出来るためには微分して消える項がなければなりませんが，(4)は「ぐるぐる回り」するだけで消えません。
No.71782 - 2020/12/27(Sun) 19:46:54
☆ Re: 部分積分の同型出現について / コウコウ
> > 部分積分法で解きたい
> (3)(4)どちらも無理ですね。
> (3) e^(x^2) の不定積分が出来ない。
> (4) 部分積分が出来るためには微分して消える項がなければなりませんが，(4)は「ぐるぐる回り」するだけで消えません。

そうですか・・・では置換積分法で解くしかないのでしょうか？
No.71786 - 2020/12/27(Sun) 20:03:48
☆ Re: 部分積分の同型出現について / らすかる
> 置換積分法で解くしかないのでしょうか？
そんなことはありません。
例えば(4)は
∫(2e^x-1)^2e^xdx
=∫4e^(3x)-4e^(2x)+e^xdx
=(4/3)e^(3x)-2e^(2x)+e^x+C
のように置換積分も使わずに解けますし
(3)も
e^(x^2)を微分すると
2xe^(x^2)だから
∫xe^(x^2)dx
=(1/2)∫2xe^(x^2)dx
=(1/2)e^(x^2)+C
のように解くこともできます。
No.71787 - 2020/12/27(Sun) 20:15:23
★ 絞り込みについての質問 / nao
下記の動画で出題されてる問題について質問です。

https://www.youtube.com/watch?v=hTGMPASzEKU&list=PLd3yb0oVJ_W0T_e62uPntx5TtIIbNJfxn&index=24

問題：
次の方程式の自然数解を全て求めよ
x+2y+3z=2xyz(x<=y<=z)

解答では左辺の文字を全てzにしたものは右辺以上になる(=z+2z+3z>=2xyz)、と解説されていますが、これって仮にx=2,y=3,z=4とした時には成り立たないですよね？
あくまでzのみに着目した場合には式が成り立つ、という認識で合っているのでしょうか？（その場合、なぜそれが方程式として適切なのでしょうか？）
No.71776 - 2020/12/27(Sun) 17:18:06
☆ Re: 絞り込みについての質問 / ヨッシー
>x=2,y=3,z=4とした時には成り立たないですよね？
なので、x=2,y=3,z=4 はこの方程式の解ではないのです。

この方程式を満たすｘ、ｙ、ｚについては、というのが暗黙の条件です。
No.71777 - 2020/12/27(Sun) 17:27:53
☆ Re: 絞り込みについての質問 / nao
理解しました。ありがとうございます。
No.71778 - 2020/12/27(Sun) 17:48:27
★ Σの計算 / kei
高校２年です。

Σ[k=1〜n](2k+1)/(k^4+2k^3++3k^2+2k+2) を計算せよ、という問題なのですが、

着眼点の良し悪しは別として、
分母が(k^2+k+1)^2+1
分子が(k+1)^2-k^2となっていることなどは分かったのですが、その後の良い式変形が分かりませんでした。

先程も似たような問題を質問したばかりで申し訳ありませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71770 - 2020/12/27(Sun) 13:26:55
☆ Re: Σの計算 / らすかる
分母は{(k+1)^2+1}{k^2+1}なので
1/{k^2+1}から1/{(k+1)^2+1}を引いてみると
1/{k^2+1}-1/{(k+1)^2+1}=(2k+1)/(k^4+2k^3+3k^2+2k+2)
となりますね。
No.71772 - 2020/12/27(Sun) 14:05:22
☆ Re: Σの計算 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
なるほど！そうするのですね！無事に解決いたしました。
No.71791 - 2020/12/27(Sun) 23:48:25
★ (No Subject) / あべしんのすけ
この写真みたいな感じだったら等しくならないなぁ〜とおもってそこからわかりません
No.71769 - 2020/12/27(Sun) 13:11:39
★ (No Subject) / あべしんのすけ
これってどうやって掛けているのですか？等しくなるのは対称だからですか？
No.71768 - 2020/12/27(Sun) 13:09:29
☆ Re: / らすかる
a=bかつc=dならば
c=dの両辺にaを掛けて ac=ad
a=bの両辺にdを掛けて ad=bd
なので
ac=ad=bd
つまり
a=bかつc=dならば、辺々掛けた
ac=bd
も成り立つということです。

上の式で具体的に書くならば
(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3 の両辺に(2-√3)^nを掛ければ
(2+√3)^n(2-√3)^n=(a[n]+b[n]√3)(2-√3)^n … (1)
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3 の両辺に(a[n]+b[n]√3)を掛ければ
(a[n]+b[n]√3)(2-√3)^n=(a[n]+b[n]√3)(a[n]-b[n]√3) … (2)
(1)と(2)から
(a[n]+b[n]√3)(a[n]-b[n]√3)=(2+√3)^n(2-√3)^n
となります。
No.71773 - 2020/12/27(Sun) 14:08:25
☆ Re: / あべしんのすけ
すみなせん！自分がアホなこと考えてましたわかりました❗
No.71774 - 2020/12/27(Sun) 14:40:59
★ (No Subject) / うう
等比のかたちにするためにやっているのは分かるのですがなんで勝手にこのようにおくことにしていいのかが納得できません…
No.71763 - 2020/12/27(Sun) 12:01:13
☆ Re: / X
何故置いていいのかではありません。

これは飽くまで
?@のように
「計算をするのに都合のいい形に変形できることを仮定した」
場合、どうなるか
ということを確かめている、ということです。

?@のようなα、βの値が存在するのか
どうかはそれ以降の行の計算で確かめています。

添付写真の解答では、それ以降の今日の計算で
α、βの値が存在する
ことが分かったので、じゃあその結果を使いましょう
ということになっていますが、もし
α、βの値が存在しない
ことが分かれば問題の漸化式が
?@の形に変形できない
ということになります。
(実際変形できるようにこの問題は作られていますが。)

このようにある計算問題を解く場合、
もしこの計算式を計算しやすいような形に
「変形できたと仮定したら」
どのような結果が考えられるか
という考え方は高校数学ではよく使われます。

例でいえば二次方程式の解の公式の
導出過程で使う平方完成も広い意味で
言えば同じです。
No.71765 - 2020/12/27(Sun) 12:20:47
☆ Re: / うう
なるほどそういう感覚なんですね
納得しました！ありがとうございます
No.71766 - 2020/12/27(Sun) 12:46:22
★ Σの計算 / kei
高校２年です。

Σ[k=1〜n](k^4+4k^3+7k^2+4k+1)/(k^6+3k^5+3k^4+k^3)
を計算せよ、という問題なのですが

Σ[k=1〜n]{(k+1)^4+k^2}/{k^3(k+1)^3}
の形になっていことまでは分かったのですが、このあと、和をとってうまく答えにたどり着くためにはどのように式を差の形にすればよいかお教え下さい。

分子の第1,2項をそれぞれ分母とくっつけて
(k+1)/k^3 + 1/{k(k+1)^3}
として更なる変形を試みたのですがうまくいきませんでした。

よろしくお願い致します。
No.71759 - 2020/12/27(Sun) 09:39:59
☆ Re: Σの計算 / IT
(k+1)/k^3 + 1/{k(k+1)^3}
＝(k+1)(k-1)/(k-1)k^3 + 1/{k(k+1)^3}
=(k^2)/(k-1)k^3 -1/(k-1)k^3 + 1/{k(k+1)^3}
・・・

とするとできるのでは？
No.71761 - 2020/12/27(Sun) 10:43:24
☆ Re: Σの計算 / kei
IT様

ご回答ありがとうございます。

続きを計算して
{1/(k-1)-1/k}+{1/(k(k+1)^2)-1/((k-1)k^3)} ☆

与式=17/8+Σ[k=2〜n]☆
=3+1/(n(n+1)^3)-1/n ☆☆
=3-(n^2+3n+3)/(n+1)^3
=3-{(n+1)^2+(n+1)^2+(n+1)}/(n+1)^3
=3-1/(n+1)-1/(n+1)^2-1/(n+1)^3
(n=1のときも成立)

と綺麗な式になり(☆☆までたどり着ければ問題の趣旨的には大丈夫だとは思いますが)、いくつかのnで試したところ大丈夫でした！

いつもありがとうございます！
No.71767 - 2020/12/27(Sun) 12:50:37
★ ベクトル / えり
三角形ABCにおいて
BC＊CA=CA*AB＝AB*BC
の時どのような三角形か。（BC,CA…の式はベクトルです。）

私は単純に
BC＊CA=CA*ABよりBC=AB
BC＊CA=AB*BCよりCA=AB
なので三辺の長さが等しい、正三角形になる。
と考えたのですが、解答はベクトルを利用したものでした。

私の考え方にはどのような不備があるのでしょうか？
No.71755 - 2020/12/26(Sat) 22:06:40
☆ Re: ベクトル / IT
> 三角形ABCにおいて
> BC＊CA=CA*AB＝AB*BC
> の時どのような三角形か。（BC,CA…の式はベクトルです。）

BC＊CA　などは、ベクトルの内積ですよね？
BC＊CA=CA*AB　だからといって　|BC|=|AB| とは限りません。
ベクトルの内積の定義式を使ってBC＊CA=CA*Aを書き直して考えてみてください。
ベクトルの内積の定義は、基本事項ですからしっかり確認することをお勧めします。
No.71756 - 2020/12/26(Sat) 22:15:27
★ (No Subject) / 正月
N=2^5・3^4・5^3・7とする。またx，yは自然数とする
M＝2^3・3^5・5・7^2とする。
N/xが自然数でありかつmの約数となる最小のxの値は？
N/xが自然数になることより
X=2^a・3^b・5^c・7^dと表せる。
よってN/x=2^5−a・3^4−b・5^3-c・7^1-dと表せる
N/xが自然数であることより
5-a≧0，a≧0
4-b≧0，b≧0
3−c≧0，c≧0
1−d≧0，d≧0
⇔５≧a≧0 ,4≧b≧0，3≧c≧0,1≧d≧0…?@
またN./xはmの約数でもあるので
5-a≦3,4-b≦5,3-c≦5,1-d≦2
A≧2,b≧―1，c≧―2，d≧―1…?A
?@ ?Aよりa≧2,b≧0，c≧0，d≧0
よってx=2^2＝４…答え100
合わない

　X^2＝Nｙでありかつyはxの約数とする。この時x=ay( aは自然数)とするとa,N,yの関係式[2]が成り立ち(x,y)の組は全部で[3]組ある

N^2＝(ay)^2=Ny y(a^2y-N)=0
Y≠0よりa^2y=N ([2] の回答a^2y=N)
N=a^2yよりa=√N/y
Y＝2^s・3^t・5^u・7^vと表されるので
a=√(2^5-s・3^4-t・5^3-u・7^1-v)

aが自然数になる条件は
?@s=13,5
?At=0.2.4
?Bu=1, 3
?Cv=1
のすべてを満たす時なので3×3×2×1=18通り([3]の回答　18通り)

やり方あってますか？
No.71751 - 2020/12/26(Sat) 20:44:20
☆ Re: / ヨッシー
前半
考え方は合っていますが、?Aの式の１行上の立式が間違っています。
落ち着いて、４つの式１つ１つ確かめましょう。

後半
最初の N^2 は X^2 でしょうね。

それ以降は合っていますが、√を持ち出すと仰々しいので、
　N/y は平方数　→　指数が全て０以上の偶数
とした方が、読みやすいでしょう。

また、X と x, Y と y が混同されていますが、
意図して x と X を区別するような問題も出てくる
かもしれないので、区別する習慣を付けましょう。
携帯だと面倒でしょうが。
No.71754 - 2020/12/26(Sat) 21:47:37
★ 確率 / 奏
また確率の問題でご質問があります。

最初、箱Aには黒玉がn個、Bには白玉がn個入っている。箱Aから1個玉を取り出してBに入れ、その後箱Bから1個の玉を取り出してAに入れる試行をn回繰り返したとき、Aに黒玉が1個、白玉がn-1個入っている確率を求めよ。

n回中、１回だけAからBに入れた黒玉をBから取り出せばよいことは分かったのですが、それを何回目にAから取り出して、さらに何回目にBから取り出すかで頭が混乱してしまいました。

ご教授、よろしくお願いします。
No.71749 - 2020/12/26(Sat) 19:11:20
☆ Re: 確率 / IT
白黒交換しないのは、
　Aから白を取り出してBに入れ、Bから白を取り出してAに入れる場合。（同じ玉でなくてもいい）
　Aから黒を取り出してBに入れ、Bから黒を取り出してAに入れる場合。です

白黒交換しないのをk回目としてｋ＝１〜ｎについて合計する必要があると思います。
No.71750 - 2020/12/26(Sat) 19:39:32
☆ Re: 確率 / 奏
ありがとうございます！

k回目に白黒の交換が起こらない確率を考えてみました。黒玉を●、白玉を◯とすると、
A(●,◯)=(n-k+1,k-1)、B(●,◯)=(k-1,n-k+1)の状態で白黒の交換が起こらない確率は
●→●、◯→◯をとるときだから

{(n-k+1)/n}×{k/(n+1)}+{(k-1)/n}×{(n-k+2)/(n+1)}
={-2k^2+(2n+4)k-n+4}/{n(n+1)}

これに1〜(k-1)回目までの、ひたすらAから黒玉を放出していく確率
{(n/n)(n/(n+1))}×{((n-1/n)((n-1)/(n+1))}×…×{((n-k)/n)((n-k)/(n+1))
}
をかけて、さらに、k+1〜n回目にひたすらAから黒玉を放出していく確率をかけて、結局

n!/n^n × n!/(n+1)^n × {-2k^2+(2n+4)k-n+4}/{n(n+1)}

となったのですが、これがk回目に白玉と黒玉の交換が起こらない確率で(絶対に違う気がしています…)、あとはk=1〜nで和をとればよいのでしょうか？
とても支離滅裂な文章ですみません。よろしくお願いします。
No.71760 - 2020/12/27(Sun) 10:42:08
☆ Re: 確率 / IT
文章は、よくわかります。考え方はそれでいいと思います。

＞これに1〜(k-1)回目までの、ひたすらAから黒玉を放出していく確率　
以降の式と計算は確認していませんが、合っていれば

＞あとはk=1〜nで和をとればよいのでしょうか？
でいいと思います。

k^2,k の和なので計算はできますね。感覚的にｎが大きくなるとかなり小さくなるはずです。

めんどうな問題ですね？出典は何ですか？　もっといいやり方があるかもしれません。
No.71762 - 2020/12/27(Sun) 11:03:14
☆ Re: 確率 / らすかる
m回の試行後に
Aの黒玉がn-m個である確率をp[m]
Aの黒玉がn-m+1個である確率をq[m]
とすると
p[0]=1,q[0]=0,
p[m+1]=p[m]・{(n-m)/n}{(n-m)/(n+1)}={p[m]・(n-m)^2}/{n(n+1)} … (1)
q[m+1]=p[m]・{{(n-m)/n}{(m+1)/(n+1)}+{m/n}{(n-m+1)/(n+1)}}
　　　　+q[m]・{{(n-m+1)/n}{(n-m+1)/(n+1)}}
　　　={p[m]・(2mn-2m^2+n)+q[m]・(n-m+1)^2}/{n(n+1)} … (2)
(1)から
p[m]={n!/(n-m)!}^2/{n(n+1)}^m
(2)に代入して
q[m+1]=q[m]・(n-m+1)^2/{n(n+1)}
　　　　+(2mn-2m^2+n){n!/(n-m)!}^2/{n(n+1)}^(m+1)
f(m)=(n-m+1)^2/{n(n+1)},
g(m)=(2mn-2m^2+n){n!/(n-m)!}^2/{n(n+1)}^(m+1)
とおくと
q[m+1]=q[m]f(m)+g(m)なので
q[1]=g(0)
q[2]=q[1]f(1)+g(1)=g(0)f(1)+g(1)
q[3]=q[2]f(2)+g(2)=g(0)f(1)f(2)+g(1)f(2)+g(2)
q[4]=q[3]f(3)+g(3)=g(0)f(1)f(2)f(3)+g(1)f(2)f(3)+g(2)f(3)+f(3)
・・・
q[m]=q[m-1]f(m-1)+g(m-1)
　　=g(0)f(1)f(2)…f(m-1)+g(1)f(2)f(3)…f(m-1)+g(2)f(3)f(4)…f(m-1)
　　　+…+g(m-2)f(m-1)+g(m-1)
分母は全項共通で{n(n+1)}^m
g(0)f(1)f(2)…f(m-1)の分子は
(n-0){n!/n!}^2・n^2・(n-1)^2・(n-2)^2・…・(n-m+2)^2
=n{n!/(n-m+1)!}
g(1)f(2)f(3)…f(m-1)の分子は
(3n-2){n!/(n-1)!}^2・(n-1)^2・(n-2)^2・…・(n-m+2)^2
=(3n-2){n!/(n-m+1)!}^2
g(2)f(3)f(4)…f(m-1)の分子は
(5n-8){n!/(n-2)!}^2・(n-2)^2・(n-3)^2・…・(n-m+2)^2
=(5n-8){n!/(n-m+1)!}^2
・・・
g(k)f(k+1)f(k+2)…f(m-1)の分子は
{(2k+1)n-2k^2}{n!/(n-m+1)!}^2
のようになるので
q[m]=Σ[k=0〜m-1]{(2k+1)n-2k^2}{n!/(n-m+1)!}^2/{n(n+1)}^m
={n!/(n-m+1)!}^2/{n(n+1)}^m・Σ[k=0〜m-1]{(2k+1)n-2k^2}
={n!/(n-m+1)!}^2/{n(n+1)}^m・{(n+2)m^2-m(m+1)(2m+1)/3}
従って求める確率は
q[n]=(n!)^2/{n(n+1)}^n・{(n+2)n^2-n(n+1)(2n+1)/3}
=n(n^2+3n-1)(n!)^2/{3・{n(n+1)}^n}
No.71771 - 2020/12/27(Sun) 13:50:17
☆ Re: 確率 / 奏
IT様へ
つたない文章と解答、読んでいただきありがとうございます！
出典は先生が出してくれた問題です。はじめ、自分で問題を検索して調べてみたのですが、九州大学の2012の確率の問題が類題(？)で出てきたので、改作？だと思います。
題意を掴むので精一杯な私には面倒とかの判定すら出来ないので、少しホッとしています。

らすかる様へ
見た瞬間、思わずびっくりしてしまいました！
すごい！の一言です。IT様の返信で、私がすぐに解ける類いの問題でないことが分かり、安心していたのですが、ご回答を拝読して、より頑張ろうと思いました！本腰を入れて理解していきます。とても丁寧に説明して頂き本当にありがとうございました(前回の確率の問題でもお世話になりましたが、世の中にはこんなに凄い方がいらっしゃるのだなぁと思っています！)

皆様、本当にありがとうございました。
No.71775 - 2020/12/27(Sun) 16:33:33
☆ Re: 確率 / IT
> {(n-k+1)/n}×{k/(n+1)}+{(k-1)/n}×{(n-k+2)/(n+1)}
> ={-2k^2+(2n+4)k-n+4}/{n(n+1)}

は、
＝{-2k^2+(2n+4)k-n-2}/{n(n+1)} ですね。
これだと、らすかるさんの結果と一致しそうです。
No.71779 - 2020/12/27(Sun) 18:24:12
☆ Re: 確率 / IT
＞n!/n^n × n!/(n+1)^n × {-2k^2+(2n+4)k-n+2}/{n(n+1)}

/n(n+1) が１つ余分のようですね。
No.71780 - 2020/12/27(Sun) 18:32:22
☆ Re: 確率 / 奏
IT様へ
丁寧に見ていただきありがとうございます！
No.71793 - 2020/12/28(Mon) 10:26:57
★ (No Subject) / 正月
赤玉2個，青玉3個，白玉4個の合計9個の玉を横一列に並べる

(1)中央の玉が白玉であるような並べ方は全部で[1]通りある
(2)3個の青玉がいずれも隣合わないような並べ方は全部で[2]通りある
(3)左に白玉が3個中央より右に白玉が1個あるような並べ方は全部で[3]通りある
(4)中央より左にある白玉の数が中央より右にある白玉の数より多いような並び方は全部で[4]通りある

(1)中央に置く白玉を除いた3個を置く場所の選び方が8C3通り
それに対して赤玉を置く場所の選び方は5C2通りそれぞれ存在するので
8C3×5C2=560通り(解答560通り)
(2)青玉2つの組み合わせ=黄色玉とすると
赤玉2個，青玉1個，白玉4個，黄色玉1個の並べ方は
8C2×6C4×2=(8個の置く場所から赤玉を置く場所の選び方)×(残り6か所から白玉を置く場所の選び方)×(青玉と黄色玉の置き方は2通り）=1120
→青玉が2個隣合う場合と青玉が3個隣合う場合の両方が数えられる
また9個の玉を横一列に並べる並べ方は1260通りから
1260−1120=140通り(解答525通り)
合わない…


(3)中央より左側に白玉を3個置く時白玉の置き方は4C3=4通り
中央より右側に白玉を1個置く時白玉の置き方は4C1=4通り
残り5か所の場所から赤玉の置く場所の選び方は5C2=10通り
よって4C3×4C1×5C2=160通り(解答50通り)
全然合わない…
(4)中央より左側にある白玉が4個であるとき残りの玉の置き方は5C2=10通り(残りの5か所の場所のどこに赤玉を置くか)…＊
(3)の答えと＊より160＋10=170通り
(解答450通り)
全然合わない…
解説よろしくお願いします
No.71748 - 2020/12/26(Sat) 18:47:24
☆ Re: / IT
＞2)青玉2つの組み合わせ=黄色玉とすると
赤玉2個，青玉1個，白玉4個，黄色玉1個の並べ方は
8C2×6C4×2=(8個の置く場所から赤玉を置く場所の選び方)×(残り6か所から白玉を置く場所の選び方)×(青玉と黄色玉の置き方は2通り）=1120

＝８４０では？

このうち　青玉と黄玉が隣り合う場合,青黄、黄青の２通りがあるが
実は青玉３つが連続する１通りなので　差し引かないといけない。それが105通りあると思います。
No.71752 - 2020/12/26(Sat) 21:37:33
☆ Re: / ヨッシー
(2)
まず、＝1120 が誤りです。

次に、たとえば、
　赤赤青青青白白白白
という並びは
　赤赤黄青白白白白
　赤赤青黄白白白白
の２回数えられているので、青が３個並ぶ場合をＡ通りとすると
青が隣り合う並べ方は
　(上の1120を直した数)−Ａ
となります。

(3)
その問題の通りなら、160通りで良いと思います。
50は別の問題の答えでは？

(4)
左右に白が２個ずつ来るのは
　4Ｃ2×4Ｃ2×5Ｃ2＝360
それ以外の
　1260−360＝900(通り)
は、ある並べ方が左が多ければ、それを反対にした並べ方は右が多いので、
左が多いのと、右が多いのは同数だけある。よって、
　900÷2＝450

また、上のように足し算でやるなら、
　白が左に４個　1×5Ｃ2＝10
　白が左に３個、右に１個　4Ｃ3×4Ｃ1×5Ｃ2＝160
　白が左に３個、右に０個　4Ｃ3×5Ｃ2＝40
　白が左に２個、右に１個　4Ｃ2×4Ｃ1×5Ｃ2＝240
合計　10＋160＋40＋240＝450　です。
No.71753 - 2020/12/26(Sat) 21:41:38
★ (No Subject) / 正月
CA=8,∠ACB=45度の三角形ABCがある。三角形ABCの面積は24である。

(1)BC=[11]でありAB＝[12]。またcos∠BAC＝[13]である。
[11]=6√2, [12]=2√10,[13]=√10/10
(2)辺BCのCの方への延長線上にAD=4√5となる点Dをとる。この時▲ACD
の外接円の半径は[14]であり▲ABDの外接円の半径は[15]である。

[14]2√10，[15]5
[15]の答えが5にならない…
∠BCA=45度より∠DCA=135度
よって正弦定理より
4√5/sin135=2R
R=2√10

また三角形ABCにおいて余弦定理から
64＝72 ＋40−2・6√2・2√10cosB
cosB=-√5/15
よってsinABD=2√55/15
▲ABDに正弦定理を適用させると
4√5/sinABD=2r r=3√55/11
答え5になりません。
No.71746 - 2020/12/26(Sat) 18:23:55
☆ Re: / ヨッシー
>cosB=-√5/15
が違います。
その上の式は合っているので、
計算ミスでしょう。
No.71747 - 2020/12/26(Sat) 18:31:17
★ 確率 / 奏
次の問題を教えて下さい。

６個の玉と２つの箱A、Bがある。最初A、Bにはそれぞれ３個ずつ玉が入っている。次の操作(R)に従って玉をA、Bの間で移すことを繰り返す。
(R):サイコロを振り、出た目が３で割って１余る数ならば１個、２余る数ならば２個、割り切れる数ならば３個、入っている玉の数が多い箱から少ない箱へと玉を移す。ただし、箱の中に入っている玉の数が同じときは等確率で玉を取り出す箱を選ぶものとする。
操作(R)をn回行った後、Aの箱に６個の玉が入っている確率を求めよ。

n−１回目にAとBに玉が３個ずつ入っている確率に１／６をかければよいことは分かるのですが・・・

よろしくお願いします。
No.71743 - 2020/12/26(Sat) 14:51:06
☆ Re: 確率 / IT
n回目にAにｋ個入っている確率をP(n,k)とすると

P(n+1,3)=(1/3)(P(n,0)+P(n,1)+P(n,2)+P(n,4)+P(n,5)+P(n,6))=(1/3)(1-P(n,3)) となりませんか？
No.71744 - 2020/12/26(Sat) 15:39:40
☆ Re: 確率 / 奏
ありがとうございます。
P(n,3)=1/4{1-(-1/3)^n}と求まり、求める確率=1/24{1-(-1/3)^(n-1)}と求められました。
No.71745 - 2020/12/26(Sat) 16:58:37
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