ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / モモ

図1のように一辺の長さが1の正三角形25個からなる盤がありまた図2のように一辺の長さが1の正三角形5個からなる図形AからDがある。図形の組み合わせのア~エは図2の図形AからDのうちから同一のものを含めた5つの図形を組み合わせたものであるが図1の盤を隙間なく敷き詰めることのできる図形の組み合わせのみを挙げているのはどれか。ただし図形AからDは裏返してもよいものとする

＜図形の組み合わせ＞
ア(AAACD)
イ(ABBBC)
ウ(ACCDD)
エ(BBCDD)
?@ア，イ
?Aア，ウ
?Bイ，ウ
?Cイ，エ
?Dウ，エ

どうゆう風に考えたらいいんでしょうか。まったくわからない…

No.72258 - 2021/01/21(Thu) 00:34:02

☆ Re: / ヨッシー

Ａを置ける場所は、この正三角形の３つの頂点から
１辺２の正三角形を取り除いた13個の三角形の部分です。
つまり、Ａは３個も置けないので、アは違います。
また、Ａをある位置においたとして、角との隙間を埋めるため、
Ｂがどうしても必要になります。よって、ウもダメです。

あとは、イとエが入るかどうかを、ひたすら調べればいいでしょう。

No.72263 - 2021/01/21(Thu) 12:18:55

☆ Re: / モモ

Ａを置ける場所は、この正三角形の３つの頂点から
１辺２の正三角形を取り除いた13個の三角形の部分です
ってどういう意味？

Aは一辺の長さが3の正三角形(それぞれの3つの頂点をa,b,cとする)から一辺の長さが1の三角形×3を(一辺1cmの正三角形には必ず1つ頂点aまたは頂点bまたは頂点cを含むように切る)を取り除いてできる正六角形からさらに一辺が1?pの正三角形を取り除いた図形だからAが置ける候補を探すには一辺5?pの正三角形に一辺3?pの正三角形が幾つ存在するか探せばよい。すると
この一辺5cmの正三角形の中に一辺3?pの正三角形は6個存在する。
この時Aを一番下の段に2つ，その上に乗っけるようにしてもう一つ置けるけど(Aを3つ何とか使うとするとこれしかない)…残りの隙間をB,C,Dで埋められるかっていったら無理だと思う…だからアは違うんじゃないって思ったんですけど…
でもしAを用いるとしたら正三角形の穴を埋めるためにBとかCとかDとかも可能じゃないのって思うんですけど…。だけどヨッシーさんの意見だとBしかありえないって断言してるけど…なんで？よくわからないんですけど…

No.72265 - 2021/01/21(Thu) 14:41:07

☆ Re: / ヨッシー

>13個の三角形の部分

こういうことです。
破線にかかる部分にはＡは置けません。

Ａをどの向きに置いてもＢでないと隙間が埋められません。

一方、事実として、ＡＢＢＢＣとＢＢＣＤＤは作ることが出来るので、?Cイとエのみが答えです。

No.72266 - 2021/01/21(Thu) 17:02:50

★ 空間の問題 / 水戸

すみませんが次の問題を教えて下さい。

空間内に5点A,B,C,D,Eがある。A,B,Cは平面α上にあり,D,Eは平面αの上側にある。AC=AD=BC=BD=5,AB=CD=6,AE=BE=CE=DEであるとき,Eから平面αに下ろした垂線EHの長さを求めよ、という問題です。

どうぞよろしくお願いします。

No.72255 - 2021/01/20(Wed) 20:08:22

☆ Re: 空間の問題 / IT

Eは、四面体ABCDに外接する球の中心。

ABの中点をFとすると、△FDCは二等辺三角形でFD＝FC=４
対称性からEは平面FDC上にあり、D、Cから等距離なのでFからDCへの垂線FG（垂直2等分線）上にある。

BE^2=FE^2+FB^2=FE^2+3^2=CE^2=EG^2+GC^2=(FG-FE)^2+3^2
∴FE=FG/2
FE からEHは求まると思います。

図を描いて確認して計算してみてください。

No.72256 - 2021/01/20(Wed) 21:30:39

☆ Re: 空間の問題 / 水戸

どうもありがとうございました！

No.72269 - 2021/01/21(Thu) 19:21:36

★ (No Subject) / 坂本

この写真の鉛筆書きのような解き方でも大丈夫でしょうか？

No.72239 - 2021/01/20(Wed) 12:43:49

☆ Re: / ast

そう置き換えたとして, それが0以上だったら何が言えると主張しておられますか?
また, それは?@の二つの因数は常に同じ大小関係にある（だから2003を二つの約数の積として表したとき,「小さいほうの約数が p+q に該当し, かつ, 大きいほうの約数はもう一つのほうの因数に該当する」という前提を満たす場合のみ調べればよい）という証明のその部分の論の進め方にちゃんとつながりますか?

繋がるなら置き換えてもよいです, 繋がらないならダメです. どっちでしょうか?

No.72243 - 2021/01/20(Wed) 14:29:21

★ (No Subject) / さとう

この問題を教えてください。よろしくお願いします

No.72235 - 2021/01/20(Wed) 10:08:07

☆ Re: / さとう

問題文です

No.72236 - 2021/01/20(Wed) 10:09:32

☆ Re: / ast

二行目が明らかにおかしいです. (与えらえた Q_i が内積ならば a_1Q_1+…+a_nQ_n は必ず内積になるので, 「とする」という追加の仮定をする必要はない)
# 「である」ならば問題ないが「とする」と書いてあるということは, 内積となる場合もならない場合も両方存在し
# かつ, ならない場合については検討から除外するという意味になってしまい, 不適当な主張だと感じます.
## これはちゃんともとの問題なのでしょうか
## (それとももらった課題の資料などから目視で書き写して TeX か何かで出力してる?)

問題自体は, 各内積 (対象双線型形式) Q_i (あるいはそれに対応する二次形式 Q_i)の係数行列をとれば, それらの固有ベクトルにおける値 (もちろん固有値で書ける) で ?農i a_iQ_i が決まるので, それ以外の値をとる Q' を与えればよいのでは.

No.72247 - 2021/01/20(Wed) 14:52:25

★ (No Subject) / かずき

[Q(√(1+√2) ):Q(√2)]の拡大次数を求める問題で、解答を出すには√(1＋√2)を根に持つQ(√2)上の既約多項式を求めれば良いと思うんですがその規約多項式が分かりません。

やはり[Q(√(1+√2))：Q]＝4　※最小多項式がX^4-2X^2-1＝だから　
[Q(√2):Q]＝2　　※最小多項式がX^2－2だから

この２つから
[Q(√(1+√2) ):Q(√2)]・[Q(√2):Q]＝[Q(√(1+√2))：Q]
より[Q(√(1+√2) ):Q(√2)]・２＝４より
[Q(√(1+√2) ):Q(√2)]＝２とするしかないのでしょうか？

しかしこれだとQが1番大きいと証明しなくてはならないため不便です。　
どなたか教えて頂けると幸いです

No.72234 - 2021/01/20(Wed) 03:54:20

☆ Re: / ast

> [Q(√2):Q]＝2　　※最小多項式がX^2－2だから
はわかるであれば同じことなので分からないという意味がちょっとわからないです.

# X=√(1+√2) と置けば明らかに X^2-(1+√2) = 0 であり, X^2-(1+√2) が分解するならば
# 各因子は 1 次でないといけないが二つの根 ±√(1+√2) は Q(√2) に入っていないので,
# Q(√2)-係数多項式 X^2-(1+√2) は Q(√2) で分解しない(=既約).

No.72248 - 2021/01/20(Wed) 14:58:20

★ トーナメントの問題 / やまちゃん

数学で組み合わせの問題なのですがさっぱりわかりません。
教えてください。

No.72229 - 2021/01/19(Tue) 23:25:51

☆ Re: トーナメントの問題 / ヨッシー

問１
Ｎ個のチームを１列に並べれば、それだけでトーナメント表が出来る。
少しでも違えば、別のトーナメント表となる。
よって、Ｎ個の物を並べる順列で、Ｎ！通り。

問２
仮に、トーナメント表のより左にある方が先攻、右が後攻とします。
トーナメント表の分岐点（試合）で、左右を入れ替えても同じトーナメント表と
見なすので、問１の結果を、２^(試合数)＝２^(N-1) で割って、
　Ｎ！/２^(N-1)　通り

問３
トーナメント表の頂上から優勝チームを下ろしてきます。
最初の分岐点(試合)で、その試合で負けたチーム（決勝戦敗退）を
加え、左か右に振り分けます。ここで２通り。
左に降りたチームとその試合で負けたチーム（準決勝敗退）を加え
左右に振り分けます。右に降りたチームも同様です。ここまでで、２×２×２通り
その下の４つの試合（準々決勝）で負けたチームを加え左右に振り分けると
　２×２×２×２×２×２×２　通り。
つまり、試合ごとに組み合わせが２倍になるので、２^(N-1)　通り。

No.72257 - 2021/01/20(Wed) 23:55:27

★ 外接円の三角形の面積 / カニ

高校数学の問題なのですがこの問題の最後の問題(三角形の最大値)がわかりません。解答は分かっているのですがなぜそうなるのかわかりません。よろしくお願いします。

No.72228 - 2021/01/19(Tue) 23:02:29

☆ Re: 外接円の三角形の面積 / IT

三角形ABCの面積が最大になるのはCA=CBのときすなわちa=b のときなので（ここは分かりますよね？）　
a^2+a^2-(8/5)a^2=3、これからa^2 が求まります。

△ABC=(1/2)a^2sin∠ACB =(1/2)a^2(3/5) にa^2の値を代入します｡

No.72230 - 2021/01/19(Tue) 23:40:51

★ 図形の問題です。 / R

高校２年です。次の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

1辺の長さが1の正四面体OABCがある。辺OAを1:2に内分する点をP、辺OBの中点をQとする。辺OC上に点Rをとり、頂点Oから平面PQRに垂線を引き、その足をHとする。
点Hが三角形PQRの内部にある(周上を含まない)とき、線分ORの長さの取り得る値の範囲を求めよ。

No.72227 - 2021/01/19(Tue) 22:48:52

☆ Re: 図形の問題です。 / らすかる

正四面体OABCの一辺の長さを6√2としてO(0,0,0),A(6,6,0),B(0,6,6),C(6,0,6)とおくと
P(2,2,0),Q(0,3,3),R(t,0,t)(0≦t≦6、OR=(√2)t)となる。
このとき平面PQRの方程式は(t+6)x+(5t-6)y+(-t+6)z=12tとなるので
半直線OHはs(t+6,5t-6,-t+6)(s≧0)と書ける。
平面OABはx-y+z=0,平面OBCはx+y-z=0,平面OCAは-x+y+z=0であり
△ABCの重心は(4,4,4)なので、
正四面体OABCの内部である条件はx-y+z＞0,x+y-z＞0,-x+y+z＞0
よって
(t+6)-(5t-6)+(-t+6)＞0 → t＜18/5
(t+6)+(5t-6)-(-t+6)＞0 → t＞6/7
-(t+6)+(5t-6)+(-t+6)＞0 → t＞2
となり条件を満たすtの範囲は2＜t＜18/5すなわち
2√2＜OR＜(18/5)√2となるので、
一辺の長さが1の場合はこれを6√2で割って
1/3＜OR＜3/5

No.72232 - 2021/01/20(Wed) 02:34:52

☆ Re: 図形の問題です。 / R

丁寧な解説ありがとうございました！

No.72254 - 2021/01/20(Wed) 18:46:02

★ 等式の証明 / 八

高校２年です。
a+b+c=0,abc≠0のとき
{(b-c)/a+(c-a)/b+(a-b)/c}×
{a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)}=9
が成り立つことを証明せよ、という問題を教えて下さい。よろしくお願い致します。

No.72221 - 2021/01/19(Tue) 19:22:31

☆ Re: 等式の証明 / IT

きれいな方法があるかも知れませんが、

まずは、分母≠0を示す。（例えばa≠b）
文字を１つ減らす。
そして　b=ka とおくと(k≠0,1)、kだけの式になります。

No.72222 - 2021/01/19(Tue) 19:30:47

☆ Re: 等式の証明 / 八

どうもありがとうございます！
おかげさまで
左辺＝{(k-1)(2k+1)(k+2)}/{k(k+1)}
×{9k(k+1)}/{(2k+1)(k+2)(k-1)}
＝9＝右辺
となり、証明することができました！

No.72224 - 2021/01/19(Tue) 20:40:37

☆ Re: 等式の証明 / IT

a+b≠0などはいえても、a≠bなど　は、言えませんね（勘違いかも）
例えばa=b=1,c=-2 など､

なので分母≠0という前提があるとするか、自分で断るかですね。

No.72225 - 2021/01/19(Tue) 21:25:27

☆ Re: 等式の証明 / らすかる

分母に(2k+1)(k+2)(k-1)がありますので、
k≠-1/2,k≠-2にも言及しておく必要がありますね。

# abc≠0という条件だけ付けて(a-b)(b-c)(c-a)≠0という条件を付けていないのは
# どういうつもりだったのでしょうね。私は問題に違和感を感じました。
# 解答に「(分母)≠0から(a-b)(b-c)(c-a)≠0」と注釈を書くならば
# abcも同じことで、そもそも問題にabc≠0という条件はいらないはず。

No.72231 - 2021/01/20(Wed) 01:03:15

★ (No Subject) / あすか

[a＋ｂ3√２　:a,b∈Q(有理数)]について通常の加法、乗法に関して体ではないという事を証明しろという問題に関して

a＋ｂ3√２は定義に従うと加法に関して0元も存在するし(a=0,b=0の場合)マイナス元も存在します。また積に関しても交換則や単位元(a=1 b＝0)なども存在するためどう考えても体だと思うのですがどのようにして体でないと証明すれば良いのでしょうか？どなたか教えて下さい。

※ｂ3√２は分かりにくいですがｂ×3乗根の√２です

No.72217 - 2021/01/19(Tue) 18:09:44

☆ Re: / IT

積について、０以外のすべて元に対して逆元が存在しますか？

No.72218 - 2021/01/19(Tue) 18:59:12

☆ Re: / ast

そもそも積で閉じてないから環ですらない

No.72219 - 2021/01/19(Tue) 19:05:48

☆ Re: / IT

↑たしかにそうですね。
　まずは、（可換？）環、体の定義を再確認されることをお勧めします。

No.72220 - 2021/01/19(Tue) 19:18:07

★ 線形代数です / ゆうたろう

すみません、この問題が解けません。分かる方お願いします。

No.72211 - 2021/01/19(Tue) 14:50:27

☆ Re: 線形代数です / ast

(ア) φ の像 Im(φ) とは, 定義通り行列の積を計算すればわかる通り,

　　Im(φ) = {x^1(0;1;1)+x^2(0;-1,1)+x^3(1;1;0)+x^4(1;0;1)+x^5(2;1;1) | x^i は任意の実数}

という A の列ベクトルたちの一次結合全体の成す集合 (とうぜん, φ の終域R^3 の部分空間になります) なのだから, やるべきことはわかるはずです.

(イ) 中学以来お馴染みの書き方をすれば, 連立一次方程式

　0x^1+0x^2+ x^3+ x^4+2x^5=0
　 x^1- x^2+ x^3+0x^4+ x^5=0
　 x^1+ x^2+0x^3+ x^4+ x^5=0

を解け, という問題ですから難しくはないはずです.

(ウ) 特に解説は必要ないと思います. グラム-シュミットなどなんらかの直交化アルゴリズムを習ったのでしょうから, それらの手続きに掛ければよいでしょう.

No.72249 - 2021/01/20(Wed) 15:09:47

★ 極限値 / ３すけ

a,b,c,dは正の定数、数列f[n]がf[1]=a/(a+b)
f[n+1]=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*f[n]+d/(a+b+n*c+n*d)
で定義するとき、limf[n](n→∞)を求めたいのですが、
はさみうちの定理をうまく使えません。
極限値が存在するとしたら、
limf[n]=limf[n+1]=α(n→∞)なので、
α=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*α+d/(a+b+n*c+n*d)
を解いて、
α=1/2
なので、
f[n+1]-1/2=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*(f[n]-1/2)
なので、
a[n]=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)とおくと、
a[n]=1-2d/(a+b+n*c+n*d)より
0<a[n]<1
からlimf[n]=1/2(n→∞)
だと思ったのですが、nが大きくなると
a[n]がだんだんと1に近づいて来るので、
a[1]×a[2]×・・・×a[n]の極限が0にならないような気がします。
また、a[1]は1よりも大きい可能性があるので
f[n]-1/2=a[2]×a[3]×・・・a[n]*(f[2]-1/2)
としないといけないのでしょうか？
極限値を教えてください。

No.72202 - 2021/01/19(Tue) 01:16:42

☆ Re: 極限値 / らすかる

極限値は1/2です。
与式を変形すると
f[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)
f[n]=1/2のときf[n+1]=f[n]
1/2＜f[n]＜1のとき
-1＜1-2f[n]＜0,0＜d/(a+b+nc+nd)＜1なので
f[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＞f[n]+(1-2f[n])=1-f[n]
またf[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＜f[n]なので
1-f[n]＜f[n+1]＜f[n]
1/2-f[n]＜f[n+1]-1/2＜f[n]-1/2
∴|f[n+1]-1/2|＜f[n]-1/2 … (1)
0＜f[n]＜1/2のとき
0＜1-2f[n]＜1,0＜d/(a+b+nc+nd)＜1なので
f[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＜f[n]+(1-2f[n])=1-f[n]
またf[n+1]=f[n]+d(1-2f[n])/(a+b+nc+nd)＞f[n]なので
f[n]＜f[n+1]＜1-f[n]
f[n]-1/2＜f[n+1]-1/2＜1/2-f[n]
∴|f[n+1]-1/2|＜1/2-f[n] … (2)
(1)(2)から0＜|f[n+1]-1/2|＜|f[n]-1/2|なので|f[n]-1/2|は収束し、
従ってf[n]も収束する。
収束値はf[n]=f[n+1]=αとおくことでα=1/2とわかる。

> nが大きくなると
> a[n]がだんだんと1に近づいて来るので、
> a[1]×a[2]×・・・×a[n]の極限が0にならないような気がします。

a[n]=1-2d/(a+b+n*c+n*d) は
p=(a+b)/(2d), q=(c+d)/(2d) とおくと
a[n]=1-1/(p+qn)
=1-1/{(p/n+q)n}
＜1-1/{(p+q)n}
よってp+q=tとおけば
a[1]×a[2]×…×a[n]＜{1-1/t}{1-1/(2t)}…{1-1/(nt)}
右辺の逆数は
{1+1/(t-1)}{1+1/(2t-1)}…{1+1/(nt-1)}
＞1/(t-1)+1/(2t-1)+…+1/(nt-1)
＞1/t+1/(2t)+…+1/(nt)
=(1/t)(1/1+1/2+…+1/n)
→∞(n→∞)
となりますので右辺は0に収束、従って
a[1]×a[2]×…×a[n]も0に収束します。

No.72206 - 2021/01/19(Tue) 11:03:40

☆ Re: 極限値 / ３すけ

らすかるさんありがとうございました。
非常によく理解できました。
f[n+1]-1/2=(a+b+n*c+d*(n-2))/(a+b+n*c+n*d)*(f[n]-1/2)
の部分で絶対値を取れば
0<f[n]<1/2と1/2<f[n]<1で場合分けしなくても良いでしょうか？

No.72208 - 2021/01/19(Tue) 13:19:58

☆ Re: 極限値 / らすかる

そうですね、良いと思います。

No.72209 - 2021/01/19(Tue) 14:38:55

☆ Re: 極限値 / ３すけ

らすかるさんありがとうございました。

No.72214 - 2021/01/19(Tue) 15:28:42