単位球Sの曲面積M(s)及びf(x.y.z)=xとした時の単位球S上におけるfの面積分を答えよ
これ手伝ってください。よろしくお願い致します。
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No.72090 - 2021/01/13(Wed) 13:40:01
| ☆ Re: 曲面積の求め方 / X | | | 前半)
単位球面上の点P(x,y,z)における単位ベクトルを↑nとすると
x^2+y^2+z^2=1
に注意して
↑n=(x,y,z)
∴Pにおける微小面素dSのyz平面上における正射影を
dT、x軸の正の向きの単位ベクトルを↑iとすると
0≦xのとき
dT=↑n・↑idS=xdS=√(1-y^2-z^2)dS (A)
x＜0のとき
dT=↑n・(-↑i)dS=-xdS=√(1-y^2-z^2)dS (B)
∴いずれについても
dS=dT/√(1-y^2-z^2)
よって、単位球面のyz平面に関する対称性から
M(S)=∬[S]dS=2∬[T]dT/√(1-y^2-z^2)
(T={(x,y,z)|y^2+z^2≦1,x=0})
ここでyz平面における極座標
y=rcosθ
z=rsinθ
に変換をすることにより
M(S)=2∫[θ:0→2π]∫[r:0→1]{r/√(1-r^2)}drdθ
=4π[-√(1-r^2)][r:0→1]
=4π
後半)
求める面積分をI、
Sの0≦x,x＜0の部分をS{1],S{2]とすると
I=∬[S[1]]xdS+∬[S[2]]xdS
これに(A)(B)を適用すると
I=∬[T]dT-∬[T]dT=0
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No.72100 - 2021/01/13(Wed) 20:18:34 |
| ☆ Re: 曲面積の求め方 / 関数電卓 | | | ＜別解＞
単位球面上の点だから
x＝sinθcosφ (0≦θ≦π, 0≦φ≦2π)
y＝sinθsinφ
z＝cosθ
と置くと，面素 dS＝sinθdθdφ
(前半)
曲面積 M＝∫SdS＝∫[0,π]sinθdθ･∫[0,2π]dφ＝4π
(後半)
面積分＝∫SfdS＝∫SsinθcosφdS
＝∫[0,π](sinθ)^2dθ･∫[0,2π]cosφdφ
＝0 (∵ 積の第２項＝0)
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No.72105 - 2021/01/13(Wed) 22:48:06 |
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