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★ ベクトル / kei
高校２年です。

以下、全体を通して見にくい文章で申し訳ありません。

ベクトル↑p,↑qは、
|↑p|=1
↑q・(↑q-↑p)=1
を満たしている。
このとき、|↑q|の最大値と|↑q-↑p||↑q+↑p|の最大値を求めよという問題なのですが、

まず、条件の第2式から
|↑q|^2-↑p・↑q=1

|↑q|^2
=1+↑p・↑q
=1+|↑p||↑q|cosθ (θは↑pと↑qのなす角)

ここで、|↑p|=1および-1≦cosθ≦1なので
1-|↑q|≦|↑q|^2≦1+|↑q|

∴|↑q|^2+|↑q|-1≧0,|↑q|^2-|↑q|-1≧0

|↑q|>0に注意して、連立不等式を解いて

(-1+√5)/2≦|↑q|≦(1+√5)/2
よって最大値|↑q|=(1+√5)/2 (θ=0のとき)

ここまでは解けました(一応、|↑q|の範囲ごと求めておきました)。

このあと、後半は与式を2乗して

|↑q-↑p|^2|↑q+↑p|^2
=(|↑q|^2+1-2↑p・↑q)(|↑q|^2+1+2↑p・↑q) ∵|↑p|=1
=|q|^4-2(2cos^θ-1)|q|^2+1
=(|↑q|-cos2θ)^2-cos^2(2θ)+1

をつくってみたのですが、ここでストップしてしまいました。

すみませんが、後半の大きさの積の最大値の求め方をお教え下さい。
答が4/√3になることは分かっています。

１日に何度も質問をして申し訳ありません。
No.71658 - 2020/12/23(Wed) 11:08:05
☆ Re: ベクトル / mathmouth
後半は、全てl↑qlで表してしまいましょう.
l↑ql²を固まりで捉えると二次関数となり、処理できます.
その際に前半で求めたl↑qlの範囲が効いてきます.
No.71661 - 2020/12/23(Wed) 12:56:52
☆ Re: ベクトル / らすかる
ベクトルの矢印は省略します。
|q|^2=1+|q|cosθからcosθ=(|q|^2-1)/|q|なので
|q|^4-2{2(cosθ)^2-1}|q|^2+1
=|q|^4-2{2(|q|^2-1)^2/|q|^2-1}|q|^2+1
=-3(|q|^2-5/3)^2+16/3
|q|^2-5/3=0すなわち|q|=√15/3のとき
cosθ=(5/3-1)/(√15/3)=2/√15なので
|q|=√15/3を満たすθは存在する。
よって|q-p|^2|q+p|^2は|q|^2-5/3=0のとき最大値16/3をとるので
|q-p||q+p|の最大値は4/√3。
No.71662 - 2020/12/23(Wed) 12:57:12
☆ Re: ベクトル / kei
らすかる様

どうもありがとうございます。
cosθを消去すれば良かったのですね！途中の計算過程を含め、ご丁寧な回答に感謝致します。
No.71669 - 2020/12/23(Wed) 20:29:59
★ 空間座標 / kei
高校２年です。

座標空間に正四面体ABCDがあり、A(2,4,0)、B(3,6,0)である。また、直線CDはx軸と交わっている。このとき、線分CDの中点の座標を求めよ、という問題をお教え下さい。

自分では最低限、

・線分ABの中点をMとするとM(5/2,5,0)
・AB=√5
・線分CDの中点をNとすると、MN⊥AB
(以前、ベクトルの問題で正四面体の性質で証明した性質が使えないか考えました)
・MN=(√10)/2
・ベクトルMNはベクトルABを±90度回転して(√3)/2倍したもの
・2点A,Bはxy平面上の点

であることを求めたり考えました(問題文の「直線CDはx軸と交わっている」の使い道は分かりませんでした)。

答えが(27/10,49/10,±(7√5)/10)になることは分かっています。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71655 - 2020/12/23(Wed) 07:54:00
☆ Re: 空間座標 / らすかる
求め方はいろいろあると思います。

解法1
ABの中点M(5/2,5,0)を通りABに垂直な面は2x+4y=25
この面とx軸の交点Pは(25/2,0,0)なのでMP=5√5
AB=√5
CDの中点をNとするとMN=√10/2
NとPが直線CD上にありMN⊥CDであることから
MN⊥NPなのでNP=√(MP^2-MN^2)=7√10/2
NからMP上(=xy平面上)に下した垂線の足をHとすると△MNP∽△NHPなので
HP=(NP/MP)NP=49√5/10、HN=(MN/NP)HP=7√5/10
HはMP上の点でHP/MP=49/50、P(25/2,0,0),M(5/2,5,0)なので
Hの座標は(25/2-(49/50)(25/2-5/2),5(49/50),0)=(27/10,49/10,0)
HN=7√5/10だから、Nの座標は(27/10,49/10,±7√5/10)

解法2
ABの中点M(5/2,5,0)を通りABに垂直な面は2x+4y=25
この面とx軸の交点Pは(25/2,0,0)なのでMP=5√5
AB=√5
CDの中点をNとするとMN=√10/2
M(5/2,5,0)とMN=√10/2からNは球面(x-5/2)^2+(y-5)^2+z^2=(√10/2)^2上にある
MPの中点をQとするとQ(15/2,5/2,0)、PQ=MP/2=5√5/2であり
NとPが直線CD上にありMN⊥CDであることからMN⊥NPなので
Nは球面(x-15/2)^2+(y-5/2)^2+z^2=(5√5/2)^2上にある
よってNは
2x+4y=25
(x-5/2)^2+(y-5)^2+z^2=(√10/2)^2
(x-15/2)^2+(y-5/2)^2+z^2=(5√5/2)^2
の3式を満たす点
第2式-第3式から4x-2y=1
これと第1式からx=27/10,y=49/10
これを第2式に代入してz=±7√5/10
従ってNの座標は(27/10,49/10,±7√5/10)
No.71656 - 2020/12/23(Wed) 09:23:54
☆ Re: 空間座標 / kei
らすかる様

複数の解法、ありがとうございます！
教えて頂いた解き方をもとに、自分でもきちんと解いてみて無事に正解に辿り着けました(とても丁寧な解説で、感謝の気持ちでいっぱいです)
No.71657 - 2020/12/23(Wed) 10:32:00
★ ガウス記号 / kei
高校２年です。

xを1以上の実数とするとき
[√(x+4)]^2-4√(x-1)=0
を解け、という問題なのですが(答えがx=2,97/16,17であることは分かっています)

方程式を
[√(x+4)]^2=4√(x-1) ☆
と変形した後、

√(x-1)が0以上の整数になるとき、
x-1=m^2 (mは0以上の整数) とおくと

m^2<x+4=m^2+5<(m+1)^2 (m≧3)
このとき☆は
m^2=4m
∴m=4
よってx=17

また、m=0,1,2のとき順にx=1,2,5となり、これらのうち☆を満たすものはx=2、と分かりました。

このあと、答えを見てx=97/16が求められていないことに気づき、√(x-1)が (整数)/(4の約数)となるときを考えていないことに気がつきました。

この場合はどのように答案をつくっていけばよいかお教え下さい。よろしくお願い致します。
No.71649 - 2020/12/23(Wed) 02:01:00
☆ Re: ガウス記号 / らすかる
[√(x+4)]=n（n≧2）とおくと問題の方程式から
n^2=4√(x-1)
∴n^4=16(x-1)
また[√(x+4)]=nから
n≦√(x+4)＜n+1
n^2≦x+4＜n^2+2n+1
n^2-5≦x-1＜n^2+2n-4
16(n^2-5)≦16(x-1)＜16(n^2+2n-4)
16(n^2-5)≦n^4＜16(n^2+2n-4)　（∵16(x-1)=n^4）
16(n^2-5)≦n^4は変形すると(n^2-8)^2+16≧0となるので常に成り立つ。
n^4＜16(n^2+2n-4)は変形すると(n^2-2n-14)(n^2+2n+2)+92＜0となるので
少なくともn^2-2n-14＜0でなければならない。
これを解くと-2≦n≦4なのでn≧2と合わせてn=2,3,4となり
n=2,3,4はいずれもn^4＜16(n^2+2n-4)を満たす。
n^4=16(x-1)からx=n^4/16+1なので
n=2のときx=2
n=3のときx=97/16
n=4のときx=17
よって条件を満たす解はx=2,97/16,17
No.71651 - 2020/12/23(Wed) 04:21:53
☆ Re: ガウス記号 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
いつも「こんなに綺麗に解けるのか！」と感動しています。

自分の文字の設定を反省しつつ、しっかり復習しておきます！
No.71653 - 2020/12/23(Wed) 07:13:12
★ (No Subject) / p
問題16と問題18の解説解答をお願いします。
No.71648 - 2020/12/23(Wed) 01:45:48
☆ Re: / ヨッシー
16
５枚の１円玉を１枚の５円玉に両替すると、硬貨の枚数は４枚減るので、
全部両替した時点で、５円玉は
　260÷4＝65(枚)
になっています。（１円玉は０〜４枚)
これを１０円玉に両替すると
　10円玉32枚、5円玉1枚
になります。さらに100円玉に両替すると
　100円玉3枚、10円玉2枚、5円玉1枚
となり、1円玉は
　８−３−２−１＝２(枚)
とわかります。金額は　327円です。

18
(1)
Ｃさんの速さを毎分Ｘｍとすると、
ＣさんとＡさんの距離は毎分Ｘ−60ｍ
ＣさんとＢさんの距離は毎分Ｘ−130ｍ
ずつ縮まります。追いつくまでの時間の比が
　９：13.5＝２：３
なので、縮まる速さはその逆比で
　Ｘ−60：Ｘ−130＝３：２
となります。

図より　?@ は毎分70ｍにあたり、Ｘは
　70×3＋60＝270　または　70×2＋130＝270
となります。
　答え　毎分270ｍ
(2)
　270−60＝210
毎分210ｍの速さで9分かかるので、池の周りは
　210×9＝1890(m)　または　140×13.5＝1890(m)
となります。
　答え　1890ｍ
No.71652 - 2020/12/23(Wed) 06:13:20
☆ Re: / p
ありがとうございます。
No.71792 - 2020/12/28(Mon) 02:27:12
★ (No Subject) / ｋ
ある教科書の証明の中で、

集合Sを写真のように定義したとき、QxQxQ=⋃_{q∊Q} QxQx{q} ・・・（＊）は可算であるから、Sは可算である.

と書かれていたのですが、なぜ（＊）が可算だとして、Sは可算になるのでしょうか。
No.71640 - 2020/12/22(Tue) 22:51:04
☆ Re: / ast
そもそも論として, 定義が述べられてない記号が複数ある時点で, それだけでは答えられない, と答えるしかないと思いますので, 質問者はもっとちゃんと式の作りを説明する文章を質問文に追加してください.

どうせ χ_J (および J) が Q×Q の数だけあって（＊）は bχ_J の総数を意味していることになるような設定になっているのではないかと邪推しますが, その場合の質問
> なぜ（＊）が可算だとして、Sは可算になるのでしょうか。
に対する答えは, たとえば
　[1] bχ_J が Q×Q×Q の濃度だけあること
がそもそも分からないのと
　[2] [1] はわかるが (n を一つ決めたときの) ?農[k=1,…,n] b_k*χ_{J_k} の数
　　　　(や, それを n∈N の範囲で動かした union をとったときの数)
がわからないというのではだいぶ違うと思います.
No.71660 - 2020/12/23(Wed) 12:12:04
★ (No Subject) / ako
0<ε<1/2,f=X_(a,b) ただし、Xは単関数を表し、a<bです.

さらに||f-g||_Lp<εとなるような連続関数gが存在すると仮定する.

このとき、δ>0に対して、|X_(a,b)(x_0)-g(x_0)|<ε/2
と、　|X_(a,b)(x_1)-g(x_1)|<ε/2
となるようなx_0∊(a,a+δ),x_1∊(a-δ.a)が存在する.

上のような、x_0,x_1が存在する理由を教えていただけないでしょうか。

読みづらくて申し訳ありませんが、ご教授のほどお願いいたします。
No.71638 - 2020/12/22(Tue) 22:34:32
☆ Re: / ast
問題設定として a < b と仮定しているのに結びの
> となるようなx_0∊(a,a+δ),x_1∊(a-δ.a)が存在する.
は b が関係してこない話になっていますし, それをふくめて問題の設定が正確に述べられているのか疑問です. 少なくとも
> Xは単関数を表し
に対して "_(a,b)" を付けることでどのような効果が設定されるのかについてはちゃんとはっきりすべきと思います.
# 実際たとえば, もし定義域を表すのなら "x_1∊(a-δ.a)" が意味を持ちませんし,
# あるいはもしなんらかの台を表すのなら a の前後で不連続になるのかもしれません.
# なので, 他にも解釈の余地はありそうですが, これだけでも問題設定上大きな意味をもちえますので,
# 回答する側としてははっきりしないのは答えられない. (はっきりしたら応えられる, とは限らないけれども)
No.71659 - 2020/12/23(Wed) 11:57:12
★ 未来の予測 / √
かなり昔に、
「微分」は世の中で、どのような事に
役立っているのか？　という質問に対して、

確か、
らすかるさんに、天気予報に使われていると
教えて頂いたような記憶があります。

では、微分を使って
コロナ感染者の増加予測とか、
未来の地球温暖化予測とかも
出来るのですか？
No.71635 - 2020/12/22(Tue) 21:52:13
☆ Re: 未来の予測 / けつねのラメ入り
> では、微分を使って
> コロナ感染者の増加予測とか、

> 未来の地球温暖化予測とかも
> 出来るのですか

変化について予測するときには微分や積分が大いに役立っています。

自動車に乗っているのであれば、そうですね、
加速度は速度の微分です。速度の変化を知りたいので微分した加速度を調べるわけです。
ついでに申しますと速度を積分すると距離になります。
No.71636 - 2020/12/22(Tue) 22:03:16
☆ Re: 未来の予測 / 関数電卓
>コロナ感染者の増加予測とか
感染のメカニズムが 定量的に確立されれば，微積分で将来を予測することが（ある程度は）出来ますが，現時点ではまだまだですよね。

> 未来の地球温暖化予測
これも（ある程度の）予測が発表されていますが，不確定要素が多すぎるので，信頼性はそう高くはない，と私は思います。

何れにしても，微積分は「道具」でしかないので，量と量の間の因果関係が確立されなければ，確かな結果は導きません。
「ラプラスの魔」という有名な言葉があるのですが，解釈は人により様々です。
No.71641 - 2020/12/22(Tue) 23:29:30
☆ Re: 未来の予測 / √
けつねのラメ入りさん
関数電卓さん

「微分」は、何をやっているのか、よく分かって
いないのですが・・・
とりあえず、有難うございました。
No.71647 - 2020/12/23(Wed) 00:51:48
★ ガウス記号 / kei
高校２年です。

x-[x]+1/x-[1/x]=7/6 を満たす正の有理数をxを求めよ、という問題をお教え下さい。

方程式の左辺は
x ひく [x] たす 1/x ひく [1/x]
を表しています。

答えはx=2/3,3/2であることが分かっています。

[x]と[1/x]が整数で、方程式の右辺が1+1/6
なので、xの範囲を絞れそうで色々やってみたのですがうまくいきませんでした。

よろしくお願いします。
No.71631 - 2020/12/22(Tue) 19:35:03
☆ Re: ガウス記号 / IT
0＜x＜1、x＝１、1＜ｘ　にわければよいのでは？
ｘ＝１は解でないので、
xと1/x を入れ替えればよいので0＜x＜1、1＜ｘ　どちらかだけを考えればよい。
1＜ｘのとき
x=n+a (n は１以上の整数､ 0≦a＜１）として、
a の2次方程式をつくり、それが0≦a＜１かつ有理数解を持つときのn、a を求める。
No.71633 - 2020/12/22(Tue) 19:50:38
☆ Re: ガウス記号 / kei
IT様

いつもご回答ありがとうございます。
x=n+a (n は１以上の整数､ 0≦a＜１）
を与えられた方程式に代入すると

a+1/(n+a)=7/6
分母を払って整理すると

6a^2+(6n-7)a+6-7n=0 ☆

左辺をaの関数f(a)とみると
f(0)=6-7n<0 ∵n≧1
なので

f(a)=0が0≦a<1で解を持つとき
f(1)=5-n>0
が必要。n≧1とあわせて

n=1,2,3,4

これらのnに対して☆は順に
6a^2-a-1=0
6a^2-5a-8=0
6a^2-11a-15=0
6a^2+17a-22=0
となるが、0≦a<1を満たす有理数aは最初(n=1のとき)の方程式のa=1/2に限る。

よって、x=1+1/2=3/2と求まり、このとき1/x=3/2も解である。

以上のような解答でよろしいでしょうか？
何度も申し訳ありません。
No.71634 - 2020/12/22(Tue) 21:27:09
☆ Re: ガウス記号 / IT
6a^2-5a-8=0
6a^2-11a-15=0
6a^2+17a-22=0

係数の計算まちがいか記入ミスがあるのでは？
No.71637 - 2020/12/22(Tue) 22:31:28
☆ Re: ガウス記号 / kei
IT様

ご指摘の通りです。
6a^2+(6n-7)a+6-7n=0 にn=2,3,4を代入したときの方程式は正しくは
6a^2+15a-8=0
6a^2+11a-15=0
6a^2+17a_22=0
でした。失礼いたしました。
No.71643 - 2020/12/22(Tue) 23:43:29
★ 利用用途について / 真剣さん
数学で下記の公式を利用しています。
1,COS(θ+Π/2)=-SIN(θ)
2,SIN(θ+Π/2)=COS(θ)
式の意味は、理解できるのですが
実際に1,2の式は、どのような場面に利用しますでしょうか？
No.71626 - 2020/12/22(Tue) 13:02:58
☆ Re: 利用用途について / らすかる
特定の場面には限定されず、三角関数が問題や解答中に出てくる応用問題なら
どんな問題でも幅広く使用されます。
No.71629 - 2020/12/22(Tue) 19:13:39
☆ Re: 利用用途について / 真剣さん
> 特定の場面には限定されず、三角関数が問題や解答中に出てくる応用問題なら
> どんな問題でも幅広く使用されます。
すいません。
具体的にどのような問題で利用されるのでしょうか
No.71639 - 2020/12/22(Tue) 22:44:10
☆ Re: 利用用途について / らすかる
利用される機会は「具体的にこの問題」と覚えていられるほど少なくありませんので、
その公式を使った問題がどんな問題だったかとか、いちいち覚えていません。
例えば「除算は具体的にどのような問題で利用されるのでしょうか？」と
聞かれたら答えに困りませんか？
そのくらい（三角関数の中では）基本的なことです。
ちなみに、私が最後にその公式を使ったのは、積分の問題だったような気がします。

# もし「このパターンの問題が出てきたらこの公式を使う」といえるような回答を
# 期待しているのでしたら、それは無理です。
# 三角関数が出てくる応用問題ならいつでも使う可能性がありますので、
# 常に念頭に置いておかなければならない、基本中の基本の公式です。
No.71646 - 2020/12/23(Wed) 00:46:37
★ ラグランジュの定理？ / meow
群論についてです．
HはGL(n,R)の部分群であるのは容易に示すことができたのですが，
(GL_n(R):H)をどのように求めるのかわかりません．
いままで(Z_12:<4>)などでは考えてきていたのですが，行列になった途端どのようにすれば良いのか全くわかりません．
教えていただきたいです．よろしくお願いいたします．
No.71623 - 2020/12/22(Tue) 03:22:35
☆ Re: ラグランジュの定理？ / IT
行列の積の行列式は、行列式の積であること
　det(AB)＝det(A)det(B) ,
　det(A)≠0のとき　det(A^-1)=1/det(A)
　
と（G：H）の定義に戻れば、容易では？

群Gとその部分群Hについて（G：H）は、何を表しますか？
No.71624 - 2020/12/22(Tue) 04:41:54
☆ Re: ラグランジュの定理？ / meow
ITさんありがとうございます．

(G:H)はHの左剰余類の濃度を示していると思います．
ただ，GL(n,R)もHも非加算無限集合なのでラグランジュの定理は使えないのではないかとも思ってきました．
H'として
H'={A ∈ GL(n,R) | det(A)<0}とすれば，
GL(n,R)=H ∪ H'
となるので，
(GL(n,R) : H) = 2
これは考え方的にどうなのでしょうか．
よろしくお願いいたします．
No.71650 - 2020/12/23(Wed) 02:43:50
☆ Re: ラグランジュの定理？ / IT
>ただ，GL(n,R)もHも非加算無限集合なのでラグランジュの定理は使えないのではないかとも思ってきました．

そうですね。ラグランジュの定理を使っても求められませんね。

>GL(n,R)=H ∪ H'
>となるので，
>(GL(n,R) : H) = 2
>これは考え方的にどうなのでしょうか．

単にGL(n,R)=H ∪ H'は、当然ですね。これだけでは(GL(n,R) : H) = 2はいえないと思います。
Hの左剰余類としてどうなるかを示す必要があります。
（H'がHとは異なる一つの左剰余類になるかどうか）
No.71654 - 2020/12/23(Wed) 07:27:49
☆ Re: ラグランジュの定理？ / meow
ITさん返信ありがとうございます．
なるほどです．
H'=AHを示せば良いと言うことですね．
ありがとうございます．
No.71671 - 2020/12/23(Wed) 21:54:36
★ 整数問題 / kei
高校２年です。

どの2数の積も残りの数で割ると1余るような相異なる3つの自然数を求めよ、という問題をお教え下さい。

上の問題で「積」が「和」の場合は解けたのですが、「積」の場合が分かりませんでした。

答えは2,3,5になることが分かっています。

どうぞよろしくお願いします。
No.71620 - 2020/12/21(Mon) 23:04:19
☆ Re: 整数問題 / らすかる
3数をa,b,c（a＜b＜c）とすると
ab-1はcで割り切れる
bc-1はaで割り切れる
ca-1はbで割り切れる
よって
(ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割り切れる
(ab-1)(bc-1)(ca-1)=(abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)-1なので
(ab+bc+ca)-1はabcで割り切れる
(ab+bc+ca-1)/abcは自然数
(ab+bc+ca-1)/abc=kとおくと
ab+bc+ca-1=abck
k≧2のとき
abck≧2abc=(1/3)abc+(7/6)abc+(1/2)abc
＞ab+bc+ca（∵a≧1,b≧2,c≧3)
＞ab+bc+ca-1
となりab+bc+ca-1=abckが成り立たないのでk=1
∴ab+bc+ca-1=abc
a≧3のときabc≧3bc=bc+bc+bc＞ab+bc+ca＞ab+bc+ca-1となり
ab+bc+ca-1=abcが成り立たないのでa≦2
a=1のとき
b+bc+c-1=bc
b+c-1=0
b+c=1となり不適
a=2のとき
2b+bc+2c-1=2bc
bc-2b-2c+1=0
(b-2)(c-2)=3
3≦b＜cなので
b=3,c=5
従って条件を満たす3つの自然数は2と3と5

# もし3数のうち2つが同じ数だとすると「1余る」という条件を満たしませんので、
# 「相異なる」という条件は特にいらないですね。
No.71622 - 2020/12/22(Tue) 01:52:24
☆ Re: 整数問題 / kei
らすかる様

いつもありがとうございます。
とても丁寧に過程を記述していただき、感謝しています。
1余るということは、ab-1がcで割り切れるということに着眼できなかったことを反省しています。
補足事項もありがとうございました！
No.71627 - 2020/12/22(Tue) 15:14:16
★ (No Subject) / タスかる
こちらの解法をお教え下さい
No.71619 - 2020/12/21(Mon) 22:29:06
☆ Re: / IT
（１）あまりにもあたりまえ感があるので、かえってむつかしいですね。
こんなのでどうでしょうか？

αとβが実数のとき
　実数と実数の和は実数なので　α+βは実数である。
　実数と実数の差は実数なので　α-βは実数である。

α+βとα-βが実数のとき
　実数と実数の和は実数なので　(α+β)+(α-β)=2αは実数である。
　実数と実数の積は実数なので　2α*(1/2)=αは実数である。
　実数と実数の差は実数なので　(α+β)-(α-β)=2βは実数である。
　実数と実数の積は実数なので　2β*(1/2)=βは実数である。

(2)α+βが実数で（α-β)^2 ≧0のとき
α-β＝a+bi (a,bは実数、iは虚数単位）とすると
（α-β)^2 ＝a^2-b^2+2abi これが実数なので　ab=0
a=0のとき（α-β)^2＝-b^2　これが≧0　なので　b=0　
　よってα-β＝0：実数
b=0のとき　α-β＝a：実数

逆にα+βとα-βが実数のとき　(α-β)^2≧0(∵実数の二乗は0以上）
No.71621 - 2020/12/22(Tue) 01:42:15
★ (No Subject) / タスかる
２題ともです。すみません
No.71611 - 2020/12/21(Mon) 20:13:39
★ (No Subject) / タスかる
写真の問題の解法がわからず困っています。
よろしければ教えてください
No.71607 - 2020/12/21(Mon) 16:42:14
☆ Re: / X
大問が2問ありますがどちらの問題ですか？
No.71608 - 2020/12/21(Mon) 19:06:00
☆ Re: / タスかる
> 大問が2問ありますがどちらの問題ですか？

2題ともです。すみません
No.71612 - 2020/12/21(Mon) 20:14:25
☆ Re: / X
大問5
一見積分の計算が必要に見えますが
積分を使う必要はありません。
(1)
△OAH,△OBIの面積をそれぞれT,Uとすると
条件から
S[1]+U=S[2]+T
∴S[1]=S[2]+T-U (A)
ここで
T=(1/2)OH・AH=(1/2)・2・(1/2)=1/2 (B)
U=(1/2)OI・BI=(1/2)・3・(1/3)=1/2 (C)
(A)(B)(C)より
S[1]=S[2]

(2)
条件から
cos∠AOB=(↑OA・↑OB)/(OA・OB)
∴△OABの面積をS[3]とすると
S[3]=(1/2)OA・OBsin∠AOB
=(1/2)OA・OB√{1-(cos∠AOB)^2}
=(1/2)√{(OA・OB)^2-(↑OA・↑OB)^2}
=(1/2)√{(4+1/4)(9+1/9)-(6+1/6)^2}
=(1/12)√(17・82-37^2)
=(1/12)√(1394-1369)
=5/12
∴(1)の結果から
log[e](3/2)=S[2]=S[1]＜S[3]=5/12＜0.417
No.71613 - 2020/12/21(Mon) 20:36:47
☆ Re: / X
大問6
(1)
A=(3-1)^a+1
=Σ[k=0〜a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)+1
=Σ[k=1〜a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)+(aC0)(-1)^a+1
=Σ[k=1〜a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)+(-1)^a+1
ここで条件からaは奇数なので
A=Σ[k=1〜a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)-1+1
=Σ[k=1〜a](aCk)(3^k)(-1)^(a-k)
∴Aは3の倍数

(2)
条件から
2^a+1=N・3^b
(Nは正の整数)
と置くことができる。
これより
2^a=N・3^b-1
∴A'=(N・3^b-1)^3+1
=…
(第1項を展開して整理し、
3^(b+1)を括り出してみましょう)

(3)
数学的帰納法で証明します。
(i)b=1のとき
…(これはご自分でどうぞ)
(ii)b=kのとき、問題の命題の成立、つまり
A=2^{c・3^(k-1)}-1は3^kで割り切れる
ことを仮定します。
このとき(2)の結果より
2^{3{c・3^(k-1)}}-1は3^(k+1)で割り切れる
ことが分かります。
ここで
2^{3{c・3^(k-1)}}-1＝2^{c・3^{(k+1)-1}}-1
∴問題の命題はb=k+1のときも成立。
No.71614 - 2020/12/21(Mon) 20:56:17
☆ Re: / タスかる
ありがとうございます。
もしよろしければ
下の画像の大問3もお教え下さい
No.71615 - 2020/12/21(Mon) 21:23:20
☆ Re: / IT
問題ごとに別々に質問された方が、質疑応答がしやすいですよ。
No.71618 - 2020/12/21(Mon) 22:08:31
★ 3次関数 / kei
高校２年です。

f(x)=x^3-ax+b (-1≦x≦1)における|f(x)|の最大値が1/4であるようなa,bの値を求めよ。ただし、0<a<3とする。

という問題なのですが、

f'(x)=3x^2-a=3{x+√(a/3)}{x-√(a/3)}

を計算した後、|f(x)|の最大値の候補が端点および極値のときだから

max{|f(-1)|,|f(-√(a/3))|,|f(√(a/3)|,|f(1)|}
=1/4

を考えることは分かるのですが、その後の場合分けはどのように進めていけばよいかお教え下さい。

よろしくお願いします。
No.71603 - 2020/12/21(Mon) 01:56:48
☆ Re: 3次関数 / らすかる
極大値・極小値とも-1≦x≦1の範囲内にあるため、f(x)のグラフの形から
f(-1)≧-1/4かつ(極大値)≦1/4かつ(極小値)≧-1/4かつf(1)≦1/4
を満たしていなければならないことがわかります。
f(-1)≧-1/4からa+b≧3/4
f(1)≦1/4からa-b≧3/4
2式を足して2a≧3/2すなわちa≧3/4
f(-√(a/3))≦1/4から(2a/3)√(a/3)+b≦1/4
f(√(a/3))≧-1/4から(2a/3)√(a/3)-b≦1/4
2式を足して(4a/3)√(a/3)≦1/2すなわちa≦3/4
従って条件を満たすためにはa=3/4
このときa+b≧3/4かつa-b≧3/4からb=0
∴(a,b)=(3/4,0)
(このとき|f(-1)|=|f(-1/2)|=|f(1/2)|=|f(1)|=1/4)
No.71604 - 2020/12/21(Mon) 07:57:39
☆ Re: 3次関数 / kei
らすかる様

ご丁寧な解説ありがとうございました！
とても良く分かりました。
No.71605 - 2020/12/21(Mon) 08:47:17
★ X,Y,Zの座標位置 / Mako
ワーク中心x軸 84.6
ワーク中心y軸 54.5
修正半径 44.75
タッチ点 30

角度
75

深さ
3.718
の時のX,Y,Z軸の求め方を教えてください。
No.71599 - 2020/12/21(Mon) 00:02:54
☆ Re: X,Y,Zの座標位置 / らすかる
「ワーク中心x軸」「ワーク中心y軸」「修正半径」「タッチ点」は
いずれも「一般的な数学用語」ではないと思いますので、意味がわかりません。
ここは「算数・数学　質問掲示板」ですから、数学で通じる言葉に
置き換えるか、あるいは図を添付するなどして意味を説明した方が
回答が付きやすいと思います。
No.71601 - 2020/12/21(Mon) 00:11:10
★ 三角関数 / kei
高校2年です。

f(x)=(3+2cosx)/√(2+cos2x) (0≦x≦π)
の取り得る値の範囲を求めよ、という問題なのですが、文系の範囲で微分を用いずに解くにはどうすればよろしいのかお教え下さい。

答えは√3/3≦f(x)≦√11となっています。

よろしくお願い致します。
No.71592 - 2020/12/20(Sun) 22:42:57
☆ Re: 三角関数 / らすかる
2+cos2x=2+2(cosx)^2-1=2(cosx)^2+1
0≦x≦πで-1≦cosx≦1なので、cosx=tとおけば
-1≦t≦1でg(t)=(3+2t)/√(2t^2+1)が取り得る値の範囲を求めることになります。
(g(t))^2=(3+2t)^2/(2t^2+1)=2+(12t+7)/(2t^2+1)
h(t)=(2t^2+1)/(12t+7)　（t≠-7/12）とすると
h(t)=(1/6)t-7/72+121/{72(12t+7)}
=(1/72){(12t+7)-14+121/(12t+7)}
h(t)＞0のときの最小値とh(t)＜0のときの最大値を求めます。

h(t)＞0のとき、つまり12t+7＞0すなわち-7/12＜t≦1のとき
(12t+7)+121/(12t+7)≧2√121=22
（等号は12t+7=121/(12t+7)すなわちt=1/3のとき）
なので、h(t)はt=1/3のときに最小値h(1/3)=1/9をとります。

h(t)＜0のとき、つまり12t+7＜0すなわち-1≦t＜-7/12のときは
(12t+7)+121/(12t+7)
=-{-(12t+7)-121/(12t+7)}≦-2√121=-22
（等号は-(12t+7)=-121/(12t+7)すなわちt=-3/2のとき）
となりますが、t=-3/2は-1≦t＜-7/12の範囲外なので
-3/2に近いt=-1のときに最大値をとると考えられます。
実際、-1＜t＜-7/12のとき
h(-1)-h(t)=2(t+1)(5t+13)/{-5(12t+7)}＞0
となりますので、確かにt=-1のときに最大値h(-1)=-3/5をとります。

よってh(t)は正の最小値が1/9、負の最大値が-3/5ですから、
1/h(t)=(12t+7)/(2t^2+1)は正の最大値が9、負の最小値が-5/3となります。
従って(g(t))^2=2+(12t+7)/(2t^2+1)は
最大値が2+9=11、最小値が2-5/3=1/3となりますので、
g(t)は最大値が√11、最小値が√(1/3)=√3/3となり（∵g(t)＞0）、
f(x)は連続関数ですから
f(x)のとる値の範囲は√3/3≦f(x)≦√11となります。
No.71595 - 2020/12/20(Sun) 23:51:32
☆ Re: 三角関数 / mathmouth
別解です.
らすかるさんと着目した部分は同じで、私は逆像法で考えて処理しています.
No.71597 - 2020/12/20(Sun) 23:56:24
☆ Re: 三角関数 / kei
らすかる様
mathmouth様

とても丁寧な解説、どうもありがとうございます！
しっかり復習して、きちんと解けるように頑張ります！
No.71602 - 2020/12/21(Mon) 00:39:42
★ 2次関数 / なつ
数学の二次関数の問題です。
a＞0とする。二次関数
y=x^2-2(a-1)x-2a+9は常に点(-1,8)を通る。このとき、
全ての整数xに対してy＞0となるaの範囲を求めよという問題で、解答は写真なのですが、これは必要条件を求めてから十分性を確認しているように思われるのですが、a＜17/6が必要条件となる根拠はどこにあるのでしょうか。調べるのはx=2までで良い理由は何でしょうか。
No.71588 - 2020/12/20(Sun) 20:51:11
☆ Re: 2次関数 / IT
a＜17/6 （＜3）となった時点で　軸a-1 ＜2　なので

x=3 について調べる必要がないということだと思います。
No.71591 - 2020/12/20(Sun) 22:03:40
★ 円に内接する四角形の問題 / 曲線のショコラ
この問題をしばらく考えているのですが、最初のBDしか求められていません。わかる方いれば、解き方を教えて頂けませんか？多分そんなに難しい問題ではないはずなのですが、つまってしまっています。よろしくお願いします。
No.71587 - 2020/12/20(Sun) 20:29:37
☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓
AB:
円の中心を O とすると，∠BCD＝60°から，∠BOD＝120°，
(1/2)∠AOB＝α，(1/2)∠AOD＝β とすると，α＋β＝60°…<1>
AB：AD＝1：2 より，sinα：sinβ＝1：2 …<2>
<1><2>より sinα＝(√21)/14，∴ AB＝2sinα＝(√21)/7

△ABD＝(1/2)AB･ADsin120°＝AB^2･(√3)/2＝(3√3)/14

取りあえずここまで。この先も結構面倒です。
No.71594 - 2020/12/20(Sun) 23:20:25
☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓
BE：DE＝3：4 より
　△ABE：△ADE＝△CBE：△CDE＝3：4　∴ △ABC：△ACD＝3：4 …<3>
∠ABC＝θ とすると ∠ADC＝180°−θ
　△ABC＝(1/2)AB･BCsinθ …<4>
　△ACD＝(1/2)AD･CDsin(180°−θ)＝(1/2)2AB･CDsinθ …<5>
<3><4><5>より
　BC：CD＝3：2 …<6>
　
No.71596 - 2020/12/20(Sun) 23:55:41
☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 曲線のショコラ
関数電卓さん、早速ありがとうございます。出だしだけでもわかるだけで、だいぶ違いますね。残りも、もう少し考えてみます。思ったよりも、面倒な問題だったようですね。
No.71598 - 2020/12/20(Sun) 23:57:01
☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓
ではこの先はヒントを。

C から BD に下ろした垂線の足を F とし，∠BCF＝γ，∠DCF＝δ とすると，
　γ＋δ＝60°…<7>
<6>より BC＝3k，CD＝2k とすると，
　BCcosγ＝CDcosδ …<8>
　BCsinγ＋CDsinδ＝BD＝√3 …<9>
<7><8><9>から k，sinγ，cosγ が求まり，以下は容易です。
No.71600 - 2020/12/21(Mon) 00:10:27
☆ Re: 円に内接する四角形の問題 / 関数電卓
　AB＝(√21)/7, AC＝(2√21)/7, AB：AC＝1：2
　BC＝(3√21)/7, CD＝(2√21)/7, BC：CD＝3：2
です。
こんな数の組み合わせ，よく見つけたものですね！（驚？）
No.71617 - 2020/12/21(Mon) 21:56:05
★ 添削 / Ran
京大2011の過去問なのですが、添削していただきたいです。答えはあってます。
No.71585 - 2020/12/20(Sun) 19:42:02
☆ Re: 添削 / Ran
私の答えです。
語のはしょりとかはすいません。

ただ書かなければいけないところをはしょっていたり、逆にかきすぎとかは指摘して頂きたいです。よろしくお願いします。

ボールペンが好きで、字が汚くてすいません。
No.71586 - 2020/12/20(Sun) 19:43:42
☆ Re: 添削 / IT
0＜θ＜π/2 の根拠を示すべきでは？　特にθ＜π/2

P(x,x)も明記したほうが良いのでは。直線ｙ＝ｘを引いても良いかも。

AP、BPは結んで、θは図示したほうが良いのでは。（できればα、βも　補助線を使って表示）
No.71590 - 2020/12/20(Sun) 21:36:17
☆ Re: 添削 / mathmouth
ITさんのいう通りはじめから断りなく(0<)θ<π/2というのは良くないと思います.(θ>0はθの定義から大丈夫です.θ<π/2は「図より」と書いても微妙かもしれませんが何も根拠を書かないよりはマシです)
きちんと示すのであればA,Bを直径の両端とする円を描いてあげて直線y=xが常にその円の外部にある(点Pが円の外部にある)ことをいえば円周角の定理より割と直観と符合してθ<π/2が示せます.(この発想があるくらいなら、わざわざ数式で処理せずに図形的にアプローチして「三角形ABPの外接円が直線y=xに接するときθが最大値π/4をとる(∵円周角の定理)」とするほうが圧倒的に楽ですね.ものの数分で終わります.)
他の方法(例えばベクトルAPとベクトルBPの内積が正など)でもっと簡潔にθ<π/2が示せるかもしれませんが、そこまでしてはじめからθ<π/2を示すメリットはないと思います.(どうしても必要なら「図より」程度で良さそうです.ここは採点者の裁量の問題です.)

0<θ<π/2と述べているのにtanθに絶対値記号ltanθlをつけている意図もわかりません.つけなくてOKでしょう.
(別に0<θ<πであってもtanθに絶対値記号をつける意味はありません.)

Ranさんの定義の仕方だとBPの傾きが負のときθ=α-β+2πになることについても触れておいたほうがいいと思います.

θの範囲についてですが、
はじめは0<θ<πくらいにしておいて、とりあえずtanαとtanβが定義できて
tanθを加法定理によりxを用いて表したときxに依らずtanθが正となることがいえれば、(tanθという値がどんなx>0に対しても定義できて)どんなxに対してもtanθ>0なのでここで0<θ<π/2がいえます.
このようにπ/2をとるかもしれないθに対してもtanθの値を考えるとき、先に思い切ってtanθの値を導いて、それが絶対に有限値であることがわかればθはπ/2ではないし、分母が0となるようなことがあれば後に「ただし(分母)≠0」と断ればよくそれでπ/2以外のθに対するtanθの値を考慮できます.
No.71593 - 2020/12/20(Sun) 22:43:37
☆ Re: 添削 / Ran
>>>>このようにπ/2をとるかもしれないθに対してもtanθの値を考えるとき、先に思い切ってtanθの値を導いて、それが絶対に有限値であることがわかればθはπ/2ではないし、分母が0となるようなことがあれば後に「ただし(分母)≠0」と断ればよくそれでπ/2以外のθに対するtanθの値を考慮できます.

たしかにそうですね！
ありがとうございます！
わかりやすいしホントありがとうございました！
No.71625 - 2020/12/22(Tue) 08:40:12
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