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線形代数 / 大学生
次の問題が示せません。ご教授お願い致します。

内積X•Y=tr(X’Y) (X’はXの転置)とする。
X:n次正方行列、B:直交行列のとき、F: X→XBが直交変換であることを示せ。

No.72001 - 2021/01/10(Sun) 18:47:53
中2数学 / かえるくん
解き方がわからないのですが、教えていただきたいです。
3けたの正の整数Nがある。Nを100で割った余りは百の位の数を12倍した数に1を加えた数に等しい。
また、Nの一の位の数を十の位に、Nの十の位の数を百の位に、Nの百の位の数を一の位にそれぞれ置きかえてできる数はもとの整数より63大きい。このとき、正の整数Nを求めなさい。

答え 673

No.72000 - 2021/01/10(Sun) 18:33:22

Re: 中2数学 / かえるくん
> 変数は3つ使っていいですか?
2次方程式までしか習ってないですが、解き方教えてもらっていいですか?

No.72003 - 2021/01/10(Sun) 19:10:33

Re: 中2数学 / X
>>Nを100で割った余り
がNの下二桁となっているのが最初のポイントです。

Nの百の位の値をaとすると、条件からNの下二桁は
12a+1
とならなくてはならないので
13≦12a+1≦99
これより
12≦12a≦98
1≦a≦49/6 (A)
一方、このとき
N=100a+12a+1 (B)
従って後半の条件の桁ずらしをした後の値は
10(12a+1)+a
となるので(B)より
100a+12a+1+63=10(12a+1)+a (C)
(C)をaについての方程式として解くと
a=6
これは(A)を満たします。
よって(B)から
N=673

No.72004 - 2021/01/10(Sun) 19:30:21

Re: 中2数学 / かえるくん
Xさま

丁寧に教えていただきありがとうございます!!
じっくりもう一度やってみます!

No.72005 - 2021/01/10(Sun) 20:12:30
図形の問題です。 / 高1
BC=8,∠A=30°の鋭角三角形ABCがある。点Bから辺ACに引いた垂線の足をD、点Cから辺ABに引いた垂線の足をEとする。このとき、3点A,D,Eを通る円の半径を求めよ、という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.71998 - 2021/01/10(Sun) 14:52:46

Re: 図形の問題です。 / IT
図形問題は、まず作図から始まります。
作図して書き込んでください。BDとCEの交点をFとしてください。

(ポイント)
△ADEについての正弦定理から・(途中省略)・・3点A,D,Eを通る円の半径=DE。
△FEDと△FBCの相似比を使うと DE=(√3/2)BC がいえます。

No.71999 - 2021/01/10(Sun) 18:31:44

Re: 図形の問題です。 / 高1
どうもありがとうございました!
No.72006 - 2021/01/10(Sun) 20:55:05
【再送】中学数学 関数問題に関して / めや
質問です。
(ア)-1/2
(イ)y=-1/2x-1
となるのは分かったのですが、その後の線分EFと線分FDの長さの比がどうしても求め方がわかりません。
どなたか、教えていただけないでしょうか?
ちなみに答えは1:2でした。

No.71994 - 2021/01/09(Sat) 21:32:54

Re: 【再送】中学数学 関数問題に関して / IT
分かっている点の座標や直線の式などを図に書き込む

2点OCを通る直線の方程式を立てる
直線OCと直線DEの交点である点Fのx座標を求める(y座標を求めてもいいです)
そのために直線OCの方程式と直線DEの方程式の連立方程式を解きます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
EFとFCの傾きの比から求めることも出来ます。
FからECに垂線FGを引きます。

No.71996 - 2021/01/09(Sat) 22:01:37
接点 / グリーンの定理について
解説がないのでわかる方お願いします
No.71991 - 2021/01/09(Sat) 17:35:47

Re: 接点 / X
(4)
グリーンの定理により
∫[C]ω=∬[D]{dx/dx-(d/dy)(y+2)}dxdy=0

(5)
C[2]と-C[2]は積分路が逆向きになっているだけなので
∫[-C[2]]ω=-∫[C[2]]ω
ということで-1倍

(6)
(5)の結果とCの定義により
∫[C]ω=∫[C[1]]ω-∫[C[2]]ω

(7)
条件のとき、C[2]において
ω=2dx
∴a=2

(8)
(7)の結果と点A,Bの定義から
I=∫[√3→-√3]2dx=-4√3

No.72007 - 2021/01/10(Sun) 21:15:13
空間座標 / kei
高校2年です。

Oを原点とする座標空間の3点を
A(-1,2,-2),B(6,0,-3),C(-2,4,-1)とする。直線BC上に中心Pをもつ球面は、点Aを通りOA⊥APを満たす。この球面と直線BCの交点をE,Fとするとき、三角形OEFの面積を求めよ。

という問題なのですが、
直線BC:(x,y,z)=(6,0,-3)+t(-4,2,1)上の
点P(6-4t,2t,-3+t)に対して、↑AP⊥↑AOからt=3/2を求め、P(0,3,-3/2)であること。また、AP=3/2なので問題の球面の方程式が
x^2+(y-3)^2+(z+3/2)^2=9/4
であることが分かりました。

その後、2点E,Fの座標を求めるため、再び直線BC上の点の座標を(6-4t,2t,-3+t)として、球面の方程式に代入して7t^2-21t+15=0
∴t=(21±4√21)/14
まで求めたのですが、このあと、△OEFの面積を計算するには
△OEF=1/2√{(OE^2×OF^2)-(↑OE・↑OF)^2}などを用いて地道に計算するしかないのでしょうか?
上で求めた2つのtをα、βとして、EのF座標をα、βで表して面積を計算し、最後にα+β=3,αβ=15/7を 代入すれば最終的に面積は求まると思うのですが、方針は以上のような形でよろしいでしょうか?

最初の段階で、違う観点(図形的な視点)から考えるべき問題なのではないかと思い、質問させていただきました(計算量が随分と多くなりそうなので)。

よろしくお願い致します。

No.71988 - 2021/01/09(Sat) 14:10:36

Re: 空間座標 / ヨッシー
EFは球の直径なので、3です。
Oから直線BCまでの距離が高さになります。
たとえば、Oを通って、BCに垂直な平面
 −4x+2y+z=0
の式に、BCの式を代入すれば、OからBCに下ろした
垂線の足の座標が求められます。

No.71989 - 2021/01/09(Sat) 14:47:01

Re: 空間座標 / kei
ヨッシー様

ありがとうございます!
とてもよくわかりました!

No.71990 - 2021/01/09(Sat) 15:19:09
(No Subject) / 原田
全く分かりません。わかる方よろしくお願い申し上げます。
No.71985 - 2021/01/09(Sat) 06:16:43

Re: / IT
(1)は「ヤコビアン」の定義にしたがって、基本的な微分計算をするだけです。「ヤコビアン」が既習でないのに出題されることはないと思いますので、テキストを確認されることをお勧めします。
No.71987 - 2021/01/09(Sat) 09:29:27
(No Subject) / 守屋
dx/dt=X^1+ϵ  ϵ > 0, x(0) = c0 > 0 の解は有限時間しか存在しないことを示せという問題が分かりません。
どなたか教えて頂けると幸いです。

※ちなみに【C0】はネットでの書き方が分からなかったのでこう書きましたがC×0ではなくX1、Y1などのように文字の下に数字が小さく書いてあるものです

No.71982 - 2021/01/08(Fri) 12:18:08

Re: / X
問題の微分方程式から
{1/x^(1+ε)}dx/dt=1
∴-1/(εx^ε)=t+C
(Cは任意定数)
ここで
x(0)=C[0]
ゆえ
C=-1/(εC[0]^ε)
∴-1/(εx^ε)=t-1/(εC[0]^ε)
x^ε=-(C[0]^ε)/(εtC[0]^ε-1)
よって
x>0
という条件付きであるなら
0≦t<1/(εC[0]^ε)
となるので命題は成立します。

No.71983 - 2021/01/08(Fri) 18:47:55

Re: / 守屋
Xさん分かりやすい解説ありがとうございました!
No.72017 - 2021/01/11(Mon) 18:46:04
大学数学 微分分野 / 守屋
大学3回生です。

定理 U は平面上の点 (x0, y0) を含む開集合とし, f(x, y) ∈ C^2(U ; R)
かつ
f(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0でないとする. このとき (x0, y0) の近傍で f(x, y) = 0 をみたすx、yはC1-関数φ(x)によってy=φ(x)と書ける 

この定理の証明方法をどなたか教えて頂けると幸いです。

No.71981 - 2021/01/08(Fri) 12:08:38

Re: 大学数学 微分分野 / IT
「陰関数定理」で検索すると、いくつも見つかると思います。

何らかの形の「陰関数定理」は、既習ではないのですか?

No.71984 - 2021/01/08(Fri) 22:18:42

Re: 大学数学 微分分野 / 守屋
ITさんありがとうございます
なんとか頑張ってみます!

No.72016 - 2021/01/11(Mon) 18:45:21
(No Subject) / kinako
2sin(Θーπ・/6)
=2cos(Θーπ/6-π/2)
となるのはなんの公式によるのですか。

No.71975 - 2021/01/07(Thu) 19:01:06

Re: / らすかる
sin(θ)=cos(θ-π/2)という公式です。
No.71977 - 2021/01/07(Thu) 19:34:00
(No Subject) / 小林
答えです。
No.71966 - 2021/01/07(Thu) 16:57:16
(No Subject) / 小林
下の問題です
No.71965 - 2021/01/07(Thu) 16:57:00
(No Subject) / 小林
物理でもうしわけないにですが
問5番についてです。バネののびが最大のときBの力学的エネルギーは運動エネルギーとバネの位置エネルギーの和のなるとおもうのですが、運動エネルギーと仕事の関係の式を使うときにはたとえバネのエネルギーもあろうとそれを無視して式を立てて良いのですか?写真は上です。お願いします

No.71964 - 2021/01/07(Thu) 16:56:26

Re: / mathmouth
あくまで受けた仕事は“運動エネルギー”の変化量であって、力学的エネルギーの変化量ではありません.
運動エネルギーと仕事の関係が理解できていないようなので、共通テストも近いですがまずは基本事項を教科書や模擬問題の解説等などを見て押さえておくべきではないでしょうか?

No.71969 - 2021/01/07(Thu) 17:20:05

Re: / 小林
わかりました!ありがとうございます!
No.71972 - 2021/01/07(Thu) 17:41:08
信頼区間 / 数学
信頼度95%の有意差が1.96なのは調べてわかったのですが
信頼度90%が分かりません。教えて欲しいです。

No.71963 - 2021/01/07(Thu) 16:32:46
図形 / kinako
凸三角形abcdにおいて
ab・cd+ad・bc≧ac・bd
が成り立つ。(四つの内角はすべて180度より小さい)
角bad内に角abe=角acd 角abe=角acdとなるeをとる。
等号成立の必要十分条件と十分条件をこたえよ。

be+ed=bd
になればよいそうなのですが、どうしてなんでしょうか…

No.71962 - 2021/01/07(Thu) 15:51:37

Re: 図形 / mathmouth
トレミーの定理ですね.
図を描くのが面倒なので説明は添付写真をご覧ください.

必要十分条件について

三角形の相似性を用いると四角形において
AB・CD+AD・BC=AC(BE+ED)が成立し、BE+ED≧BD(∵折れ線より線分の方が短い
一般には三角不等式と呼ばれています)
からトレミーの定理が導かれます.
したがって、等号成立するための必要十分条件は
BE+ED=BEとなります.

なお、
BE+ED=BD
⇔3点B,E,Dがこの順に一直線上にあり
⇔∠ABD=∠ABE
⇔∠ABD=∠ACD
⇔4点A,B,C,Dが同一円周上にある(∵円周角の定理及びその逆)
⇔四角形ABCD が円に内接する
と換言できます.

2つ目の「十分条件を答えよ」は愚問なのでおそらく「十分条件でありかつ必要条件でないものを与えられた選択肢から選べ」という問でしょう.

上で求めた必要十分条件を満たすがそれと同値ではない特殊な状況を選択すればOKです.

No.71986 - 2021/01/09(Sat) 09:01:04
(No Subject) / カラナクシ
すみません...高校2年の範囲の、円と直線の問題です。
X^2+Y^2-2X+10Y+a=0の円があります。
直線Y=X-4から円が切り取る線分の長さが4になる際のaの値を求められません。答えが20になってしまいます...ご教授願いたいです。

No.71961 - 2021/01/07(Thu) 15:40:02

Re: / ヨッシー
a=20 でいいのでは?
No.71968 - 2021/01/07(Thu) 17:10:34

Re: / カラナクシ
すみません💦ありがとう御座います!
No.71980 - 2021/01/08(Fri) 07:27:34
積分 / ナターシャ
画像の積分方法を教えていただきたいです
No.71960 - 2021/01/07(Thu) 15:00:50

Re: 積分 / 関数電卓
tan(x/2)=u と置換すると,
 x∈[0,π] ⇔ u∈[0,∞),cos(x)=(1−u^2)/(1+u^2),dx=2/(1+u^2)・du
この後は,容易ですよ。

No.71967 - 2021/01/07(Thu) 17:08:50

Re: 積分 / ナターシャ
ご指摘の通り、置換積分してみましたが、画像の積分方法がわかりません。
No.71971 - 2021/01/07(Thu) 17:28:10

Re: 積分 / 関数電卓
置換後の被積分関数は 2/((b+1)u^2+b−1) となりますが,1/(u^2+A) の積分は出来ますか?
No.71973 - 2021/01/07(Thu) 17:55:27

Re: 積分 / ナターシャ
ありがとうございます。解決しました
No.71978 - 2021/01/07(Thu) 20:31:20
(No Subject) / hello110
正の実数 b,c に対し、
lim[x→+0](1+bx+cx^2)^(1/x) を求めよ。

お願いします。

No.71959 - 2021/01/07(Thu) 13:14:45

Re: / X
自然対数の底の定義式を使います。

(与式)=lim[x→+0]{{1+(bx+cx^2)}^{1/(bx+cx^2)}}^{(bx+cx^2)/x}
= lim[x→+0]{{1+(bx+cx^2)}^{1/(bx+cx^2)}}^(b+cx)
=e^b

No.71974 - 2021/01/07(Thu) 18:18:15

Re: / hello110
対数を取らなくても解けたのですね。見落としてました。勉強になりました。m(__)m
No.71976 - 2021/01/07(Thu) 19:04:16
(No Subject) / モモ
電波発信元から離れた地点で受信できる電波の強さは電波発信元からの距離の2乗に反比例することが知られている。

2点A(-9.0),B(16,0)に電波発信元がある。そして原点Oにおいて受信出来る電波の強さを測定すると点Aにおける電波発信元からは強さ25/9の電波を,点Bにある電波発信元からは強さ25/16の電波を受信していることが分かった。


(1)?@点Aにおける電波発信元から受信する電波の強さが1であるようなx軸の点は点の座標は?(答え(−24,0)と点(6,0))
?A点Aにおける電波発信元から受信する電波の強さが1より大きくなるのは点Aを中心とする半径?の円の内部にあるか(答え 15)
?B点Aにおける電波発信元から受信する電波の強さと点Bにある電波発信元から受信する電波の強さがどちらも1である点の座標は(解答 (0,±12))

(2)(0,-12)で表される点をPとし点Aにおける電波発信元と同じ強さの電波を発信する電波発信元を点A,B,Pと異なる点Cに設置することで半直線APおよび半直線BPによって表される線路上において受信する電波の強さが1以上にある範囲になる範囲をどのように調整できるかを考えることにした。
?@半直線APにおいて少なくとも1つの電波発信元から受信する電波の強さが1以上になる直線をLとする。Lが途中で途切れることのない1つの線分で表されるときこの線分の長さが最も長くなる時の点Cの座標は?(解答;(9,-24))

?A直線AP上において少なくとも1つの電波発信元から受信する電波の強さが1以上になる範囲をL1とし半直線BP上において少なくとも1つの電波発信元から受信する電波の強さが1以上になる範囲をL2とする。この時L1の長さをℓ1,L2の長さをℓ2
とするとℓ1+ℓ2が最大になる条件は

[0]ℓ1=ℓ2 [1](ℓ1)-5=ℓ2 [2](ℓ1)+5=ℓ2
(答え [2])

解説:半直線APとC3との交点のうちAから遠い方をQとし半直線BPとC3の交点のちBから遠い方をRとするとℓ1+ℓ2が最大になるのはC3上に点PがありPQ=PRを満たす時である。この時PQ=PRより(ℓ1)+5=ℓ2


なんでℓ1+ℓ2が最大になるのはC3上に点PがありPQ=PRを満たす時である
ってわかるんでしょうか。他のケース(Pが円C3の内側にあるケースor,Pが円C3の外側にある場合)の可能性だってあると思うんですけど‥。そしてなぜ点PがC3上にありPQ=PRになるときが最もℓ1+ℓ2が最大になるのでしょうか?

No.71958 - 2021/01/07(Thu) 11:01:53
(No Subject) / モモ
電波発信元から離れた地点で受信できる電波の強さは電波発信元からの距離の2乗に反比例することが知られている。

2点A(-9.0),B(16,0)に電波発信元がある。そして原点Oにおいて受信出来る電波の強さを測定すると点Aにおける電波発信元からは強さ25/9の電波を,点Bにある電波発信元からは強さ25/16の電波を受信していることが分かった。


(1)?@点Aにおける電波発信元から受信する電波の強さが1であるようなx軸の点は点の座標は?(答え(−24,0)と点(6,0))
?A点Aにおける電波発信元から受信する電波の強さが1より大きくなるのは点Aを中心とする半径?の円の内部にあるか(答え 15)
?B点Aにおける電波発信元から受信する電波の強さと点Bにある電波発信元から受信する電波の強さがどちらも1である点の座標は(解答 (0,±12))

(2)(0,-12)で表される点をPとし点Aにおける電波発信元と同じ強さの電波を発信する電波発信元を点A,B,Pと異なる点Cに設置することで半直線APおよび半直線BPによって表される線路上において受信する電波の強さが1以上にある範囲になる範囲をどのように調整できるかを考えることにした。
?@半直線APにおいて少なくとも1つの電波発信元から受信する電波の強さが1以上になる直線をLとする。Lが途中で途切れることのない1つの線分で表されるときこの線分の長さが最も長くなる時の点Cの座標は?(解答;(9,-24))

?A直線AP上において少なくとも1つの電波発信元から受信する電波の強さが1以上になる範囲をL1とし半直線BP上において少なくとも1つの電波発信元から受信する電波の強さが1以上になる範囲をL2とする。この時L1の長さをℓ1,L2の長さをℓ2
とするとℓ1+ℓ2が最大になる条件は

[0]ℓ1=ℓ2 [1](ℓ1)-5=ℓ2 [2](ℓ1)+5=ℓ2
(答え [2])

解説:半直線APとC3との交点のうちAから遠い方をQとし半直線BPとC3の交点のちBから遠い方をRとするとℓ1+ℓ2が最大になるのはC3上に点PがありPQ=PRを満たす時である。この時PQ=PRより(ℓ1)+5=ℓ2


なんでℓ1+ℓ2が最大になるのはC3上に点PがありPQ=PRを満たす時である
ってわかるんでしょうか。他のケース(Pが円C3の内側にあるケースor,Pが円C3の外側にある場合)の可能性だってあると思うんですけど‥。そしてなぜ点PがC3上にありPQ=PRになるときが最もℓ1+ℓ2が最大になるのでしょうか?

No.71958 - 2021/01/07(Thu) 11:01:53
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