ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ハレ

[{1-(tanx)^2}^2/(2×tanx^2)]－[1/{2×(sinx)^2×(cosx)^2}]の値は

答え̠－2なのですがどうやって出すのでしょうか？

No.71891 - 2021/01/03(Sun) 23:52:22

☆ Re: / ハレ

(訂正)
間違い[{1-(tanx)^2}^2/(2×tanx^2)]
→正しい[{1-(tanx)^2}^2/{2×(tanx)^2}]

No.71892 - 2021/01/03(Sun) 23:56:19

☆ Re: / らすかる

{1-(tanx)^2}^2/{2(tanx)^2}-1/{2(sinx)^2(cosx)^2}
=(cosx)^4{1-(tanx)^2}^2/{2(cosx)^4(tanx)^2}-1/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={(cosx)^2-(sinx)^2}^2/{2(sinx)^2(cosx)^2}-1/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={{(cosx)^2-(sinx)^2}^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={(cosx)^4+(sinx)^4-2(sinx)^2(cosx)^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={{(cosx)^2+(sinx)^2}^2-4(sinx)^2(cosx)^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={1-4(sinx)^2(cosx)^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={-4(sinx)^2(cosx)^2}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
=-2
となります。

No.71894 - 2021/01/04(Mon) 00:20:38

☆ Re: / IT

（別法）　1/2は簡単のためとります。
{1-(tanx)^2}^2/(tanx)^2
={(1/tanx)-tanx}^2
=1/(tanx)^2-2+(tanx)^2
=(cosx)^2/(sinx)^2+(sinx)^2/(cosx)^2-2
ここで(cosx)^2+(sinx)^2=1 を使って
={1-(sinx)^2}/(sinx)^2+{1-(cosx)^2}/(cosx)^2-2
=1/(sinx)^2+1/(cosx)^2-4
={(cosx)^2+(sinx)^2}/{(sinx)^2(cosx)^2}-4
=1/{(sinx)^2(cosx)^2}-4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
どこで(cosx)^2+(sinx)^2=1を使うかですが、最初にすべてを(cosx)^2　で表してもいいですね。

cosx をcと書くと。

(tanx)^2=(1-c^2)/c^2 なので

((1-(tanx)^2)^2/(tanx)^2
={(2c^2-1)/c^2)^2}/{(1-c^2)/c^2}
=(2c^2-1)^2/{(1-c^2)c^2}
=(4c^4-4c^2+1)/{(1-c^2)c^2}
=(4c^4-4c^2)/{(1-c^2)c^2}+1/{(1-c^2)c^2}
=-4+1/{(1-c^2)c^2}

No.71913 - 2021/01/04(Mon) 15:49:14

★ 対角線にかかる正方形 / √

本年も　よろしくお願い致します。

８ｘ５の長方形の中には
１辺が１の正方形が４０コ作れます。

この長方形に１本の対角線を引くと
１２コの正方形が、対角線に、ひっかかって
しまいます。

なので、正方形が
４０－１２＝２８コ分になってしまいます。

対角線にかかる、この【１２コ】という数字は

横＋縦－（横と縦の最大公約数）

で求められるそうですが
理由が分かりません。
教えて下さい。お願い致します。

No.71887 - 2021/01/03(Sun) 22:49:56

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / らすかる

対角線にかかる正方形の個数は、
対角線をゆっくり引きながら個数を数えることを考えれば
(正方形の辺または頂点と交わった数)+1
とわかりますね。
2辺が互いに素の場合は頂点を通ることがありませんので
(横切る縦線の本数)+(横切る横線の本数)+1
=(縦-1)+(横-1)+1
=縦+横-1
となります。
互いに素でなく最大公約数がgの場合、頂点をg-1回通りますので
上の値からg-1を引いた数になります。
よって対角線にかかる正方形の個数は(縦+横-1)-(g-1)=縦+横-g個です。

No.71889 - 2021/01/03(Sun) 23:18:28

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / ヨッシー

図を付けておきます。

解説はらすかるさんの通りです。

No.71890 - 2021/01/03(Sun) 23:29:22

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / √

らすかるさん　ヨッシーさん

ただいま、薄っすらと分かった状態です。
後で、よく考えてみます。
とりあえず
ありがとうございました。

No.71895 - 2021/01/04(Mon) 00:24:32

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / √

やっと分かりました。

らすかるさん・ヨッシーさん
有難うございました。

これ小学生が解く問題なんですね。ふーっ！

No.71911 - 2021/01/04(Mon) 12:49:31

★ (No Subject) / みかん

AB:BC=2;1の長方形ABCDがある。辺AB上のAB；EB=2√3:1を満たすE，辺CD上にCD;CF=2:1を満たす点Fをとり2直線BFとCEの交点を点Gとする

GB=GF=ア；√イ＝(1;√3)
CB:CE=√ウ；エ＝(√3:2)
三角形GFCの面積は三角形GBEの面積のオ倍(3倍)であり
BE:BG=(1＋√カ)：√キ＝{(1＋√3);√6)}
角度BGE＝クケ
Cos(BGC)＝(√コー√サ)/シ

シサ…75度
(√コー√サ)/シ＝(√2-√6)/4
なんですがどうやって求めるのでしょうか
この問題出題範囲数学IAなんですが数II使わないでどうやったらも止まるのでしょうか？

No.71884 - 2021/01/03(Sun) 21:27:58

☆ Re: / らすかる

GB：GF=EB：CF={1/(2√3)}AB：(1/2)CD=1/(2√3)：1/2=1：√3
CB=(1/2)AB, EB={1/(2√3)}ABなので
CE=√(CB^2+EB^2)=√{(1/4)AB^2+(1/12)AB^2}=AB√(1/3)=(√3/3)AB
∴CB：CE=(1/2)AB：(√3/3)AB=1/2：√3/3=√3：2
△GFC：△GBE=(GF)^2：(GB)^2=3：1なので△GFCは△GBEの3倍
BF=√(BC^2+CF^2)=√{(1/4)AB^2+(1/4)CD^2}=AB√(1/2)=(√2/2)AB
GB：GF=1：√3からBG={1/(√3+1)}BF={1/(√3+1)}(√2/2)AB={(√6-√2)/4}ABなので
BE：BG={1/(2√3)}AB：{(√6-√2)/4}AB=1/(2√3)：(√6-√2)/4=1+√3：√6
∠BGE=∠CBF+∠BCE=45°+30°=75°
BからCEに垂線BHを下すと
∠BCH=30°なのでBH=(1/2)BC=(1/4)AB、CH=(√3/2)BC=(√3/4)AB
BG={(√6-√2)/4}ABなので
GH=√(BG^2-BH^2)={(2-√3)/4}AB
よってcos(BGC)=-GH/BG=(√2-√6)/4

No.71888 - 2021/01/03(Sun) 23:12:49

★ (No Subject) / みかん

赤玉1個，青玉4個，黄玉2個の合計7個の玉がある。7個の玉は色の違いを除くと区別できないものとする。

?@これら7個の玉を横一列に並べるとき並べ方は全部で105通りある

?A?@の並べ方のうち中央の玉を中心に180度回転させてできる並び方は元の並び方と同一とする。この場合並び方は(解答76通り)ある
76通りってどうやってだすの？

No.71883 - 2021/01/03(Sun) 21:14:35

☆ Re: / ヨッシー

たとえば、○○● の並べ方は
１　○○●
２　○●○
３　●○○
の３通りです。180°回転させると、１は３と同じと見なされますが、
２は回転するとそれ自身になります。
つまり、同じと見なされて減らさないといけない並べ方と、
減らす必要のない並べ方があります。

?@の105通りのうち
減らす必要のない並べ方が３通りあり、残りの102通りが
半分に減らされて、51通りとなり、これに、減らす必要のない
３通りを足して、
　５１＋３＝５４(通り)
です。
７６は誤りです。

No.71886 - 2021/01/03(Sun) 22:47:47

★ 空間図形、平面図形 / 受験生

大問1は(3)が分かりません。大問2は最初からどのように解けば良いのか分からず、困っています。

解説していただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

No.71874 - 2021/01/03(Sun) 02:23:25

☆ Re: 空間図形、平面図形 / らすかる

すべて単位は省略します。

左(3)
△AFI=(4/7)△AFG
△AFG=(2/3)△ABG
△ABG=△ABC=(1/2)(平行四辺形ABCD)=30
から△AFI=80/7
△AEH=(2/5)△AEG
△AEG=(1/3)△ABG=10
から△AEH=4
∴四角形EFIH=△AFI-△AEH=80/7-4=52/7

右(1)
BとD、PとRがそれぞれ一致する方向の側面図を描くと
OA=OC=4、AC=4√2でBはACの中点、OP：PB=2：1という図ができますが、
この図でPは△OACの重心ですから、QはOCの中点となります。
従ってOQ=(1/2)OC=2です。

右(2)
上で使った図でOB=2√2ですから、QからACに垂線QHを下すと
QH=(1/2)OB=√2、AH=(3/4)AC=3√2ですから、
AQ=√(QH^2+AH^2)=√{(√2)^2+(3√2)^2}=2√5となります。

右(3)
PR=(2/3)BD=8√2/3でありPR⊥AQですから、
面積はPR・AQ/2=8√10/3となります。

右(4)
△OPRはOP=OR=8/3、PR=8√2/3の直角二等辺三角形ですから、
△OPR=(8/3)^2×(1/2)=32/9です。
Aから△OBDに下した垂線の長さはACの半分なので2√2、
Qから△OBDに下した垂線の長さはその半分なので√2です。
よって立体O-APQRの体積は
(1/3)(32/9)(2√2+√2)=32√2/9ですから、
Oから平面APQRに下した垂線の長さは
3(32√2/9)/(8√10/3)=4√5/5となります。

No.71875 - 2021/01/03(Sun) 04:21:51

☆ Re: 空間図形、平面図形 / 受験生

> 右(1)
> BとD、PとRがそれぞれ一致する方向の側面図を描くと
> OA=OC=4、AC=4√2でBはACの中点、OP：PB=2：1という図ができますが、
> この図でPは△OACの重心ですから、QはOCの中点となります。
> 従ってOQ=(1/2)OC=2です。

右(1)の展開図は写真のように書くので合っていますでしょうか？
重心が△OACの外部に来てしまい、うまくいきません。よろしくお願いいたします。

No.71877 - 2021/01/03(Sun) 09:56:17

☆ Re: 空間図形、平面図形 / らすかる

「展開図」ではダメです。
私が言っているのは「側面図」（横から見た図）です。
OA=OCである直角二等辺三角形OACを描いて
ACの中点をB(=D)、OBを2：1に内分する点をP(=R)、
直線APとOCの交点をQとします。

No.71880 - 2021/01/03(Sun) 10:06:55

☆ Re: 空間図形、平面図形 / 受験生

> 「展開図」ではダメです。
> 私が言っているのは「側面図」（横から見た図）です。
> OA=OCである直角二等辺三角形OACを描いて
> ACの中点をB(=D)、OBを2：1に内分する点をP(=R)、
> 直線APとOCの交点をQとします。
何度もすみません。△OACについて直角になる理由は何かありますでしょうか。側面から見た場合、そうなるということがそもそもわかることなのでしょうか。よろしくお願いいたします。

No.71881 - 2021/01/03(Sun) 12:12:18

☆ Re: 空間図形、平面図形 / らすかる

OA=4、OC=4、AC=4√2ですから直角二等辺三角形になりますね。

No.71882 - 2021/01/03(Sun) 13:47:52

★ 確率 / ゆーすけ

袋の中に白と赤と青の球が最低1個入っている。この袋から1つ取り出す時、白が出る確率は1/10。袋に白を4個追加すると確率は1/4となった。赤と青の個数の合計を求めろ。
また、ここから白を1個取り除き、赤を2つ追加すると同時にふたつの球を取り出す時に両方とも赤である確率は1/30となった。
青の個数を求めろ。
解く方法を教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.71863 - 2021/01/02(Sat) 23:17:09

☆ Re: 確率 / ヨッシー

比率の線分図は上のようになり、追加した白４個は?Aに当たり
追加した後の個数で言うと、
　白６個、赤と青合わせて１８個　合計２４個です。

白１個取り除き、、赤を２個追加すると、
　白５個、赤と青合わせて２０個　合計２５個になります。
２個同時に取り出す取り出し方は
　25Ｃ2＝300
赤をｘ個とすると、赤を２個取り出す取り出し方は、
　xＣ2＝x(x-1)/2
これが10になるので、ｘ＝5,-4。xは正の数なので、ｘ＝５
青は　20－5＝15(個)

No.71868 - 2021/01/02(Sat) 23:31:20

☆ Re: 確率 / ゆーすけ

すみません
その線分図を式に直すとどのようになりますか？
割合で求めるということですか？

No.71871 - 2021/01/02(Sat) 23:53:08

☆ Re: 確率 / ヨッシー

最初の白の個数をｘとすると、全体の個数は　10ｘ。
これに、白４個を加えると、白ｘ＋４、全体10ｘ＋４　となり、
　10ｘ＋４＝４(ｘ＋４)
より　ｘ＝２

　

No.71873 - 2021/01/03(Sun) 00:58:06

☆ Re: 確率 / ゆーすけ

ありがとうございます。

No.71876 - 2021/01/03(Sun) 09:55:55

★ (No Subject) / 定期テスト勉強

1.-3.4のいずれか一つだけ書かれた3種のカードが無数にある
その中からそれぞれ少なくとも1枚以上含まれるよう、10枚のカードを選び書かれた数字を足すと20になった。この時カードの中に1の書かれたカードは？枚になる。同様に15枚のカードを選び、書かれた数字を足すと10になった。選んだカードの中に1が書かれたカードは？枚、もしくは？枚となる。

最初の？に当てはまるのは2だと数えて分かったのですが、2つ目が数えて計算すると時間がかかってしまいます。
スムーズに行える計算方法があったら教えて欲しいです。
ちなみに答えは5枚と12枚になります。

No.71862 - 2021/01/02(Sat) 22:43:32

☆ Re: / ヨッシー

15枚で10を作るには、奇数カードが偶数枚、偶数カードは奇数枚である。
この場合、４の枚数は1,3,5,7,9,11,13,15 のいずれかです。
４が１枚のとき、残り１４枚で作れる数は
　-42以上14以下の数で、４で割って２余る数
　この中に、６がある（-3 が2枚、１が12枚）　・・・答え１
４が３枚のとき、残り１２枚で作れる数は
　-36以上12以下の数で、４で割りきれる数
　この中に、-2 はない。
４が５枚のとき、残り１０枚で作れる数は
　-30以上10以下の数で、４で割って２余る数
　この中に、-10 がある（-3 が5枚、１が5枚）　・・・答え２
４が７枚のとき、残り８枚で作れる数は
　-24以上8以下の数で、４で割りきれる数
　この中に、-18 はない。
４が９枚のとき、残り６枚すべてが -3 でも
　-18 しか出来ないので、-26 は作れない。
４がこれより多くても、合計１０には出来ない。
以上より、上記２通りの答えがあります。

No.71864 - 2021/01/02(Sat) 23:18:16

☆ Re: / IT

＞2つ目が数えて計算すると時間がかかってしまいます。
どうやりましたか？　それが分からないとそれよりスムースな計算方法かどうかわかりません。

No.71865 - 2021/01/02(Sat) 23:19:00

☆ Re: / らすかる

「1,-3,4の15枚の合計が10」で全部のカードに3ずつ足すと
合計は3×15=45増えますので
「4,0,7の15枚の合計が55」となります。
つまり
「4,7の14枚以下の合計が55」となる場合を調べれば、答えがわかりますね。
55≡3(mod4)ですから、7×(枚数)≡3(mod4)でなければなりません。
(55-4)÷7＜8なので7の枚数は1枚以上7枚以下であり、
このうち7×(枚数)≡3(mod4)となるのは7が1枚または5枚の場合だけです。
このとき4は7が1枚のとき(55-7×1)÷4=12枚、7が5枚のとき(55-7×5)÷4=5枚ですから
4（元のカードで1）は5枚または12枚とわかります。
ここでカードの数字を戻して残りを-3に割り当てると
(1の枚数,-3の枚数,4の枚数)=(5,5,5),(12,2,1)となり、
1×5+(-3)×5+4×5=10
1×12+(-3)×2+4×1=10
ですから確かに10になっていますね。

No.71866 - 2021/01/02(Sat) 23:19:46

☆ Re: / IT

1の枚数を1+x,-3の枚数を1+y,4の枚数を1+z とする。x,y,zは0以上の整数

x+y+z=12 …(1) y+zは0～12
x-3y+4z=8…(2)　
(1)-(2) 4y-3z=4、y+zは0～12
4(y-1)=3z なので　zは4の倍数
z=0のとき,y=1,x=11,x+1=12
z=4のとき,y=4,x=4,x+1=5
z=8のとき,y=7 不適

No.71867 - 2021/01/02(Sat) 23:30:21

☆ Re: / 定期テスト勉強

お答えして頂きありがとうございました。
2つのやり方でもう一度解きなおしてみます。

No.71869 - 2021/01/02(Sat) 23:35:44

☆ Re: / 定期テスト勉強

ITさんありがとうございます。
方程式を使ったやり方も解きなおしてみます。

No.71870 - 2021/01/02(Sat) 23:41:23

☆ Re: / IT

1の枚数をx,-3の枚数をy,4の枚数をz とする。x,y,zは1以上の整数
x+y+z=15 …(1) x-3y+4z=10…(2)　
変数を減らす(1)-(2) 4y-3z=５…(3) （y+z≦14）
y=2 のとき　z=1,x=12
(3)を満たすには,y=2+3t,z=1+4t（tは0以上の整数)
y=5 のとき　z=5,x=5 ここまでがOK。

----------------------------------------------
できるだけ機械的に求めるには
(3) から　y=z+1+(1-z)/4 とするといいかも知れません。

有限の問題なので、手間さえかければ必ず解けるのですが
汎用性があり、自然に思い付けて手間が少なくて間違い難い解法がいいですね。

No.71872 - 2021/01/02(Sat) 23:53:24

★ 魔法陣、確率 / 受験生

解説がなく困っています。途中まではできたのですが、答えが異なり、解釈が異なっているのか、やり方が違うのか分かりません。よろしくお願いいたします。

No.71851 - 2021/01/02(Sat) 17:51:16

☆ Re: 魔法陣、確率 / IT

（４）は、６×６の表を書いた方が確実で早いのでは？

１だと１から６すべてOKですね。
２だと４と６もOKですね。

分母は６×６＝３６では？

No.71852 - 2021/01/02(Sat) 18:04:29

☆ Re: 魔法陣、確率 / ヨッシー

(4)
全ての目の出方36通りのうち、条件を満たすのは、
下図の22通り。確率は、
　22/36＝11/18

(6)
ア＝26 はすぐわかるとして、その他わかる部分を書くと
下図のようになります。

結果、イ＝３４　とわかります。

No.71853 - 2021/01/02(Sat) 18:07:51

☆ Re: 魔法陣、確率 / 受験生

返信ありがとうございます。
表にしたら、確かに分かりやすくすぐに理解できました。

魔法陣のやつもかなりすっきり理解できました。

ありがとうございました。

ヨッシーさん、別件で少し遅いですが誕生日おめでとうございます！

No.71856 - 2021/01/02(Sat) 18:37:37

☆ Re: 魔法陣、確率 / ヨッシー

>誕生日おめでとうございます！
ありがとうございます。

No.71858 - 2021/01/02(Sat) 18:49:49

☆ Re: 魔法陣、確率 / ヨッシー

ちなみに、魔法陣　ではなく　魔方陣　です。

No.71859 - 2021/01/02(Sat) 18:51:38

☆ Re: 魔法陣、確率 / 受験生

> ちなみに、魔法陣　ではなく　魔方陣　です。

細かいところまでありがとうございます。

No.71878 - 2021/01/03(Sun) 09:57:19

★ 球の切断面 / 受験生

解説がない、過去問をといているのですが、(3)がどのように円の半径を取れば良いのかわかりません、わかる方解説よろしくお願いいたします。

No.71848 - 2021/01/02(Sat) 16:14:12

☆ Re: 球の切断面 / ヨッシー

図の方向から見ると、断面は直線ＣＮとして現れ、
球の中心ＯからＣＮに垂線ＯＩを引いたとき、
ＩＮが断面の半径となります。
△ＯＩＮにおいて、ＯＩ：ＩＮ＝１：２　ＯＮ＝2cm　より、
　ＩＮ＝4/√5
断面積は
　π×(4/√5)^2＝(16/5)π
となります。

No.71849 - 2021/01/02(Sat) 16:45:32

☆ Re: 球の切断面 / 受験生

>
> 図の方向から見ると、断面は直線ＣＮとして現れ、
> 球の中心ＯからＣＮに垂線ＯＩを引いたとき、
> ＩＮが断面の半径となります。
> △ＯＩＮにおいて、ＯＩ：ＩＮ＝１：２　ＯＮ＝2cm　より、
> 　ＩＮ＝4/√5
> 断面積は
> 　π×(4/√5)^2＝(16/5)π
> となります。

分かりやすい解説ありがとうございます。助かりました。

No.71850 - 2021/01/02(Sat) 17:48:31

☆ Re: 球の切断面 / 受験生

追記で失礼いたします。

> △ＯＩＮにおいて、ＯＩ：ＩＮ＝１：２　

なぜとなるのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.71854 - 2021/01/02(Sat) 18:14:54

☆ Re: 球の切断面 / ヨッシー

　△ＯＩＮ∽△ＣＪＮ
から言えます。

No.71861 - 2021/01/02(Sat) 19:59:18

☆ Re: 球の切断面 / 受験生

>
> 　△ＯＩＮ∽△ＣＪＮ
> から言えます。

理解できました！ありがとうございます。

No.71879 - 2021/01/03(Sun) 09:58:12

★ 受験生 / ゆう

質問お願いいたします。
この問題z軸で切った場合の解き方は
分かるのですが、x軸.y軸で切った場合の　
解き方が分かりません。
よろしくお願いします。

No.71832 - 2021/01/01(Fri) 16:03:00

☆ Re: 受験生 / IT

ｘ軸に垂直な平面で切る。ということでしょうか？

できないことはないと思いますが、計算が面倒だと思うので
回転軸（ｚ軸）に垂直な平面で切って考えれば良いのでは？

No.71833 - 2021/01/01(Fri) 16:57:48

☆ Re: 受験生 / 関数電卓

私の計算では 179π/3 になるのですが… ??

No.71834 - 2021/01/01(Fri) 20:18:01

☆ Re: 受験生 / X

＞＞関数電卓さんへ
私の計算では添付写真通り
176π/3
となりました。

求める体積をVとすると
V=5・(5^2)π-1・(3^2)π-π∫[1→5]{(-z+1)^2+3^2}dz
=116π-π[(1/3)(z-1)^3+9z][1→5]
=116π-π(64/3+36)
=80π-64π/3
=176π/3

No.71835 - 2021/01/01(Fri) 21:53:38

☆ Re: 受験生 / 関数電卓

私は，以下のように計算しました。
所要の回転体の体積は，下右図の

　正方形 OBCG を回転させた円柱（体積 125π）
から
　台形 FECG を回転させた円錐台（体積 (1/3)25π･10{1－(3/5)^3}＝196π/3）
を除いたもの
よって，
　(125－196/3)π＝179π/3

No.71836 - 2021/01/01(Fri) 23:17:52

☆ Re: 受験生 / 関数電卓

すみません。私には X さんの V を求める式の第２項と第３項の根拠が分かりません。

No.71837 - 2021/01/01(Fri) 23:37:57

☆ Re: 受験生 / X

＞＞関数電卓さんへ
私はNo.71836の添付写真右側の図でいうと
台形BCEDを断面とした回転体の体積として
計算しました。

問題の立体の
0≦z≦1
の範囲の部分は
底面が半径5の円柱
から
底面が半径3の円柱
を取り除いた立体
になるのでは？

No.71839 - 2021/01/01(Fri) 23:59:43

☆ Re: 受験生 / 関数電卓

あれ？！？その通りですね。大変失礼致しました。
でも，そうすると体積は
　179π/3－9π＝152π/3
となりますね。

No.71840 - 2021/01/02(Sat) 00:10:42

☆ Re: 受験生 / らすかる

＞関数電卓さん

71836の図で左側の直線ECが右の図でも直線になっていますが、そこが正しくありません。
右図のEの(3,1)とCの(5,5)はよいとして、
例えばCEの中点をM(-2,3,4)とすると
OM=√(3^2+2^2)=√13ですから
右図ではM(√13,4)となり、右図のCEの中点(4,4)より少し左になります。
よって右図のCEは少し左に膨らんだ曲線(z=√(r^2-9)+1)になりますので、
「円錐台」では求められません。

No.71842 - 2021/01/02(Sat) 01:31:44

☆ Re: 受験生 / ゆう

やはり難しいのですね、自分で考えても
全くわからなく苦戦しておりました。
返答ありがとうございます。！

No.71844 - 2021/01/02(Sat) 02:18:20

☆ Re: 受験生 / らすかる

x軸で切った場合の計算

外側は x^2+y^2=25
内側は
0≦z≦1: x^2+y^2=9
1≦z≦5: x^2+y^2=(z-1)^2+9
となりますので、x≧0かつy≧0の部分だけ考えるとして、
x=tのときの断面は
外側は y=√(25-t^2)
内側は
0≦z≦1の場合
0≦t≦3では y=√(9-t^2)
3＜t≦5ではなし
1≦z≦5の場合
z=√(y^2+t^2-9)+1　（ただしt＜3ではy≧√(9-t^2)）
となります。
よってy≧0の部分の断面積は
0≦t≦3のとき
√(25-t^2)-√(9-t^2)+∫[√(9-t^2)～√(25-t^2)]√(y^2+t^2-9)+1dy
=3√(25-t^2)-√(9-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(9-t^2)}
3≦t≦5のとき
√(25-t^2)+∫[0～√(25-t^2)]√(y^2+t^2-9)+1dy
=3√(25-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(t^2-9)}
となりますので、回転体の体積は
∫[0～3]3√(25-t^2)-√(9-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(9-t^2)}dt
+∫[3～5]3√(25-t^2)+{(t^2-9)/4}{2log(4+√(25-t^2))-log(t^2-9)}dt
={(75/2)arctan(3/4)+18}-{(9/4)π}+{9log(3/5)-(11/3)arctan(3/4)-4}
+{(75/4)π-(75/2)arctan(3/4)-18}+{9log(5/3)-(11/6)π+(11/3)arctan(3/4)+4}
=(44/3)π
の4倍の(176/3)πとなります。

# 積分にはWolframAlphaを使いましたが、少し複雑になると定積分の値は
# 求めてくれませんので、例えば
# ∫(t^2-9)log(4+√(25-t^2))dt=
# -t^3/18-(1/3)t√(25-t^2)-(9/2)tlog(√(25-t^2)+4)
# +(9/2)log(4√(25-t^2)-3t+25)-(9/2)log(4√(25-t^2)+3t+25)
# +(t^3/6)log(√(25-t^2)+4)+3t-(11/3)arcsin(t/5)+C
# のような不定積分だけ求めて手作業でtに値を代入して整理したりしました。
# （これはごく一部の計算です）
# WolframAlphaを使ってもかなり面倒でしたので、これを全部
# 手作業でやるのは気が遠くなります。
# このように、回転体を回転軸に垂直でない平面で切ると
# とんでもなく面倒になって時間を浪費しますので、
# そういうことはあまり考えない方が良いと思います。
# （この問題はたまたま求められましたが、一般には
# 　積分不可能で求められない可能性もあります）

No.71845 - 2021/01/02(Sat) 05:50:49

☆ Re: 受験生 / 関数電卓

何ともお粗末なレスを書いてしまい，お恥ずかしい限りです。
3D の図を描いていたときには「一葉双曲面になりそうだ」という思いが一時はあったのですが，その後飛んでしまっていました。
図を修正しました。

No.71847 - 2021/01/02(Sat) 12:05:49

★ 数学 / 受験生

画像の通りです。解説がついていなくて困っています。よろしくお願いいたします。

No.71822 - 2020/12/31(Thu) 20:15:23

☆ Re: 数学 / IT

（1）だけ､ 40-4 の約数で　4 より大きい自然数の個数です。

No.71823 - 2020/12/31(Thu) 20:39:10

☆ Re: 数学 / らすかる

(1)40をある自然数で割ると4余るということは、
36をその自然数で割ると割り切れるということです。
よって割る数は36の約数です。
また「4余る」ということから割る数は5以上です。
従って条件を満たす自然数は6,9,12,18,36の5個です。

(3)
最初のページが奇数で各紙2ページずつですから、
最後のページは偶数です。
2,4,1を並べ替えてできる偶数は124,142,214,412の4つですが、
このうち241より大きいものは412だけです。
従って最後のページは412ですから、
紙は全部で(412-241+1)÷2=86枚となります。

(5)
2a+2-a/2-1/2の計算が間違っています。見直しましょう。

(6)
「×3」が誤りです。2重に重なった部分を除くのですから「×2」です。

No.71824 - 2020/12/31(Thu) 20:44:05

☆ Re: 数学 / ヨッシー

(1)
40を割ると4余るということは、36を割ると割りきれるということです。
では、36の約数 1,2,3,4,6,9,12,18,36 の９個かというとそうではないのです。

(3)
ページ数は偶数なので、最初のページが241(奇数)であれば、最後の数は偶数です。
考えられるのは
　124, 142, 214, 412
ですが、条件を満たすのは１つだけです。

(5)
２つある 3/4 を正しい数値に替えると多分うまくいきます。

(6)

図のように変形すると半径４の扇形から正方形を引いた分の面積となります。
たぶん、記事の回答の　×３　が引きすぎだと思われます。

No.71825 - 2020/12/31(Thu) 20:58:04

☆ Re: 数学 / 受験生

大変わかりやすく参考になりました。良い年末を迎えることができそうです^^

ありがとうございました！

No.71826 - 2020/12/31(Thu) 21:19:15

★ 4次関数の接線と接点 / kei

高校２年です。

曲線y=x^4-8x^2+2x+20をCとする。直線lは曲線C上の異なる2点でCに接している。直線l上の点PからCに接線を引く。lと異なる接線が1本だけ引けるような点Pの座標を求めよ、という問題をお教え下さい。答は(-2,0),(2,8),(±√3,4±2√3)であることが分かっています。

自分では、直線lの式がy=2x+4、lとCの接点のx座標が-2と2であるところまでは求まりました。

このあと、C上の点(t,t^4-8t^2+2t+20)における接線y=(4t^3-16t+2)(x-t)+t^4-8t^2+2t+20
が直線l上の点P(p,2p+4)を通るとして、

3t^4-4pt^3-8t^2+16pt-16=0 ☆

を得たのですが(方程式の左辺をf(t)とおくとf'(t)=12(t-p)(t+2/√3)(t-2/√3) )

☆がちょうど2個の実数解をもつ条件をどのように考えればよいか分かりませんでした。

よろしくお願い致します。

No.71820 - 2020/12/31(Thu) 08:28:01

☆ Re: 4次関数の接線と接点 / IT

pと-2/√3、2/√3　の大小関係で分類して、fの増減・極値などを調べると良いのでは？、f(0)＜0なども使うかも。

No.71821 - 2020/12/31(Thu) 09:40:47

☆ Re: 4次関数の接線と接点 / kei

IT様へ

ご回答ありがとうございます。無事に解決致しました！

まず、「☆がちょうど2個の実数解をもつ条件」というところから間違っていました(今回は複接線なので、接線が２本引けても接点は2個とは限らず出だしから間違っていました)。

グラフからどこまで明らかにしてよいかは微妙だと思うのですが、題意の既に1本の直線が2接点をもち、さらにその直線上から接線を1本引こうとするときっと接点は新規に1個しか出てこないと決めつけると、☆が相異3実数解をもつ問題になるので比較的解きやすくなるのかな？などと考えたりしました。

お世話になりました！

No.71827 - 2021/01/01(Fri) 03:56:44

★ 軌跡 / kei

高校２年です。

曲線C:y=x^3と放物線D:y=ax^2+bx+cは点Pで接し、点Qで交わる(ただし、(Pのx成分)<(Qのx成分)。CとDで囲まれた部分の面積が1/12で、1≦a≦4をみたす条件下においてa,b,cを自由に動かすとき、放物線Dの通過領域を求めよ、という問題なのですが、

PとQのx座標をそれぞれp,q(p<q)とおき
CとDを連立して
x^3=ax^2+bx+c
x^3-ax^2-bx-c=0

解と係数の関係より
2p+q=a
p^2+2pq=-b
p^2q=c

また、面積を計算すると(q-p)^4/12であり、これが1/12に一致するので、

q-p=1 ∵p<q
∴q=p+1

以上からa,b,cをpのみの式で表すと
a=3p+1
b=-3p^2-2p
c=p^3+p^2
(また、1≦a≦4より0≦p≦1となる)

これらをy=ax^2+bx+cに代入して整理したpの3次方程式
p^3+(1-3x)p^2+(3x^2-2x)p+x^2-y=0
が0≦p≦1で実数解をもつ条件を求めれば(x,y)の存在範囲が求まる、

と考えたのですが、ここから先が分かりませんでした。

申し訳ございませんが、上記のような方針でよろしかったかお教え下さい。また、0≦p≦1で解をもつ条件の求め方をご教授下さい。

よろしくお願い致します。

No.71814 - 2020/12/30(Wed) 20:22:35

☆ Re: 軌跡 / IT

＞　これらをy=ax^2+bx+cに代入して整理したpの3次方程式
p^3+(1-3p)x^2+(-3x^2-2x)p+x^2-y=0

途中確認していませんが、整理した結果が上記のようになるとは思えませんが？

No.71816 - 2020/12/30(Wed) 22:59:08

☆ Re: 軌跡 / kei

IT様
ご指摘ありがとうございます。訂正致しました。

No.71817 - 2020/12/31(Thu) 00:39:20

☆ Re: 軌跡 / らすかる

y=(3p+1)x^2-p(3p+2)x+(p+1)p^2
=p^3+(1-3x)p^2+(3x^2-2x)p+x^2

f(p)=p^3+(1-3x)p^2+(3x^2-2x)p+x^2とおくと
f'(p)=3p^2+2(1-3x)p+(3x^2-2x)=3{p-(x-2/3)}(p-x)なので
f(p)はp=x-2/3で極大値、p=xで極小値をとる。

x≦0のとき0≦p≦1で増加なので
f(p)の最小値はf(0)=x^2、最大値はf(1)=4x^2-5x+2

0＜x≦2/3のときp=xで極小値をとるので
f(p)の最小値はf(x)=x^3
最大値はf(0)とf(1)の小さくない方だが
0＜x≦2/3のときf(1)-f(0)=(3x-2)(x-1)≧0なので
最大値はf(1)=4x^2-5x+2

2/3＜x＜1のときp=x-2/3で極大値、p=xで極小値をとる
f(p)の最小値はf(0)とf(x)の大きくない方だが
2/3＜x＜1のときf(x)-f(0)=(x-1)x^2＜0なので
最小値はf(x)=x^3
最大値はf(x-2/3)とf(1)の小さくない方だが
f(x-2/3)-f(1)=(3x-2)(3x-5)^2/27＞0なので
最大値はf(x-2/3)=x^3+4/27

1≦x＜5/3のときp=x-2/3で極大値をとるので
f(p)の最大値はf(x-2/3)=x^3+4/27
最小値はf(0)とf(1)の大きくない方だが
1≦x＜5/3のときf(1)-f(0)=(3x-2)(x-1)≧0なので
最小値はf(0)=x^2

5/3≦xのとき0≦p≦1で増加なので
f(p)の最小値はf(0)=x^2、最大値はf(1)=4x^2-5x+2

従って整理すると
f(p)の最小値は
x≦0のときx^2
0＜x＜1のときx^3
1≦xのときx^2
f(p)の最大値は
x≦2/3のとき4x^2-5x+2
2/3＜x＜5/3のときx^3+4/27
5/3≦xのとき4x^2-5x+2
となるので、放物線の通過領域は
g(x)=
x^3 (0＜x＜1)
x^2 (上記以外)
と
h(x)=
x^3+4/27 (2/3＜x＜5/3)
4x^2-5x+2 (上記以外)
で挟まれた領域。

参考
高校の問題の解答としては適切ではありませんが、上の境界線の式は
g(x)=(x^3+x^2-x|x^2-x|)/2
h(x)={27x^3+108x^2-135x+58-(3x-5)|(3x-2)(3x-5)|}/54
のようにまとめることが出来ますので、放物線の通過領域は
(x^3+x^2-x|x^2-x|)/2≦y≦{27x^3+108x^2-135x+58-(3x-5)|(3x-2)(3x-5)|}/54
とも表せます。
（一つの式で表されていると、グラフソフトでグラフが描きやすくなります）

No.71818 - 2020/12/31(Thu) 04:35:10

☆ Re: 軌跡 / kei

らすかる様

ご回答ありがとうございます。
とても丁寧な解説で、よく分かりました！

場合分けが避けられない以上(今回は3次なので特に解をもつ条件にこだわりすぎず)xを固定して地道にyの値域を調べていけば良かったのですね。基本的な手法が身についていませんでした。

参考もとても勉強になりました！式を一本化できる絶対値は便利ですね！(一本化できる力を身につける方が先ですが)

しっかり復習しておきます。
どうもありがとうございました！

No.71819 - 2020/12/31(Thu) 07:56:33