ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数の不等式の範囲 / L

関数 f(θ)＝a(√3sinθ＋cosθ)＋sinθ(sinθ＋√3cosθ)について、次の問いに答えよ。ただし、0≦θ≦πとする。

(1)t＝√3sinθ＋cosθのグラフをかけ。
(2)sinθ(sinθ＋√3cosθ)をtを用いて表せ。
(3)方程式f(θ)＝0が相異なる3つの解をもつときのaの値の範囲を求めよ。
お願いいたします。

No.70919 - 2020/11/15(Sun) 00:16:40

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲 / X

(1)
三角関数の合成により
t=2sin(θ+π/6) (A)
後はこのグラフを描いてみましょう。

t=2sinθ (B)
(θは実数全体)
のグラフは描けますか？
後は(B)のグラフをθ軸方向に-π/6だけ
平行移動した後のグラフにおいて
0≦θ≦π
の範囲の部分のみ残します。

(2)
t=(√3)sinθ+cosθ
の両辺を二乗して右辺を展開すると
t^2=3(sinθ)^2+2(√3)sinθcosθ+(cosθ)^2
これより
t^2=3(sinθ)^2+2(√3)sinθcosθ+1-(sinθ)^2
t^2=2(sinθ)^2+2(√3)sinθcosθ+1
t^2=2{sinθ+(√3)cosθ}sinθ+1
∴{sinθ+(√3)cosθ}sinθ=(t^2-1)/2

(3)
tの値1つに対し、θの値が何個対応するかに
注意しましょう。

(1)(2)により
f(θ)=at+(t^2-1)/2
=(1/2)t^2+at-1=0
∴f(θ)=0のとき
2t^2+2at-2=0 (C)

ここで(1)の結果のグラフにより
-1≦t≦2 (E)
又
t=2,-1≦t＜1 (E)'
に対して対応するθの値は1つ対応
1≦t＜2 (E)"
なるtに対応するθの値は2つ対応

以上から題意を満たすためには
tの二次方程式(C)が
(E)',(E)"の範囲にそれぞれ1つづつ
解を持つ必要がある
ことが分かります。

ということで
(i)(C)がt=2を解に持つとき
(ii)(C)がt=2を解に持たないとき
に場合分けをし
g(t)=t^2-2at-2
なる二次関数について、
横軸にt、縦軸にg(t)を取ったグラフを
描いてその条件を求めていきます。

No.70929 - 2020/11/15(Sun) 12:14:27

★ 三角関数の不等式の範囲を求める問題です。 / super

0＜x＜π/4を満たす全てのxに対し、不等式sin3x+tsin2x＞0が成り立っているとする.このときのtの値の範囲を求めよ.
教えていただきたいです。

No.70918 - 2020/11/15(Sun) 00:09:09

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲を求める問題です。 / らすかる

sinxは0＜x＜πで正で上に凸だから、sin3xもsin2xも0＜x＜π/4で正で上に凸。
よって
「x=π/4のときsin3x+tsin2x≧0」⇔「0＜x＜π/4でsin3x+tsin2x＞0」
だから、sin3x+tsin2x≧0にx=π/4を代入して得られるt≧-√2/2が求める答え。

No.70921 - 2020/11/15(Sun) 02:00:34

★ 三角形の角度の和を求める問題です。 / K

三角形Aの辺が3,1,√10の直角三角形。
三角形Bの辺が2,1,√3の直角三角形。
Aの3と√10の辺の間の角度と
Bの2と√3の辺の間の角度を足すといくつになるか。

よろしくお願いします。

No.70915 - 2020/11/14(Sat) 22:47:26

☆ Re: 三角形の角度の和を求める問題です。 / X

計算結果は綺麗な値になりません。
問題文にタイプミスはありませんか？

No.70916 - 2020/11/14(Sat) 23:30:21

☆ Re: 三角形の角度の和を求める問題です。 / K

返信ありがとうございます。

綺麗な値でなくとも教えていただけると嬉しいです。
小学生でも解ける方法が三つほどあるそうです。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.70945 - 2020/11/15(Sun) 20:04:47

☆ Re: 三角形の角度の和を求める問題です。 / mathmouth

Xさんのおっしゃるとおりタイプミスまたはもとの問題自体誤植だとおもいます
2と√3の間の角は30°ですよね？
3と√10の間の角は所謂キレイな有名角ではありません。敢えて書くなら逆三角関数を用いた表記がありますが、おそらく√3は√5の間違いです。
このような訂正の下、一例として解法を紹介します。
座標平面上に３点O(0,0),A(3,0),B(3,1),C(1,2),D(0,2)をとると、2つの三角形OAB,OCDはそれぞれ与えられた直角三角形であり、求めたい角度は∠AOB+∠CODであり、ありがたいことに三角形OBCは直角二等辺三角形なので∠BOC=45°
ゆえに、∠AODが直角であることから求める角度は90°-45°=45°
要するにマス目をかいてみれば小学生でも一瞬で求められるというわけです。
他にも、正接の加法定理を用いて求めたい角度の正接を求めたり、複素数平面を利用して複素数3+iと2+iの積の偏角を考えて解くことができます。

No.70946 - 2020/11/15(Sun) 20:50:04

☆ Re: 三角形の角度の和を求める問題です。 / K

返信ありがとうございます。

問題文は、正しくは√3ではなくて、√5でした。
マス目を書いて座標を取ると、答えがとても簡単に出ました。
ありがとうございます。
他にも複数解き方を教えていただき感謝しています。
これからもどうぞよろしくお願いします。

No.70976 - 2020/11/16(Mon) 22:50:37

★ (No Subject) / 名無し

(coshx*coshy)/t +2t*(sinhx*sinhy) = (t^2-1)sinh(t^2)+{(t^2+1)cosh(t^2)}/(2t^2) という式変形が分かりません。但し、x=logt,y=t^2 という媒介変数を含みます。
お願いします。

No.70913 - 2020/11/14(Sat) 20:30:17

☆ Re: / らすかる

sinhx={e^x-e^(-x)}/2, coshx={e^x+e^(-x)}/2 なので
x=logtならば
sinhx=(t-1/t)/2=(t^2-1)/(2t)
coshx=(t+1/t)/2=(t^2+1)/(2t)
なので
coshx・coshy/t+2t・sinhx・sinhy
=(t^2+1)/(2t)・cosh(t^2)/t+2t・(t^2-1)/(2t)・sinh(t^2)
={(t^2+1)cosh(t^2)+2t^2・(t^2-1)sinh(t^2)}/(2t^2)
となります。

No.70914 - 2020/11/14(Sat) 20:40:49

☆ Re: / 名無し

理解出来ました。
詳しく教えていただき、ありがとうございます。

No.70917 - 2020/11/14(Sat) 23:50:30

★ (No Subject) / 学生

三角関数、sinXの導出についての質問です

limの下につくΔx→0
は省略しています

1)y=f(x)=sinx
f`(x)
=lim{sin(x+Δx)-sinx}/h
=lim{2cos(x+(Δx/2))sin(Δx/2)｝/Δx
=lim cos(x+(Δx/2))・{sin(Δx/2)/(Δx/2)}
((t=Δx/2)と置くと、)
f`(x)
=lim cos(x+t)・(sint / t)
t→0
=cosx・1
=cosx

Δx/2をtとおいて、t→０とできる意味がわかりません
Δx→0としているのにいきなりt→0にしてもいいんですか？
それともΔxがかぎりなく0に近いから、Δx/2もかぎりなく0に近いということでt→0になるんでしょうか？

長文になってしまいすみません
教えていただけると嬉しいです

No.70909 - 2020/11/14(Sat) 15:05:11

☆ Re: / X

＞＞Δx→0としているのに～になるんでしょうか？
後者に書かれている通りです。

No.70911 - 2020/11/14(Sat) 18:11:20

★ (No Subject) / 前前前世

Aをn次正方行列とし、Xi（1≦i≦k）を基本行列とします。それらを用いてAを被約階段行列に変形できてXk・・・X1A＝Enであると仮定する。このとき、Aの逆行列をXiたちを用いて表してください。

No.70904 - 2020/11/14(Sat) 14:02:30

☆ Re: / GandB

　ハンドルをコロコロ変えて同じ質問を繰り返すより

　　　基本行列と行列の基本変形

で検索し、最初にヒットしたPDFファイルを参照したほうが手っ取り早い。

No.70910 - 2020/11/14(Sat) 16:33:51

☆ Re: / IT

逆行列の定義が分かっていれば直ぐに分かるのでは？
Xk・・・X1
（逆行列の定義は、お使いのテキストに載っていると思うので確認してください。）

No.70930 - 2020/11/15(Sun) 13:04:19

★ (No Subject) / いいいい

底面が正方形ABCDで、8辺の長さがすべて1である四角錐PABCDにおいて、→AB＝→ｋ、→AD＝→ｌ、→AP＝→ｍとおく。
辺PBの中点をR、辺PDの中点をS、平面ARSと辺PCとの交点をTとするとき、→ATを→ｋ、→ｌ、→ｍを用いて表せ。

お願いします。
答えは→AT=(1/3)(→k+→l+2→m)です。

No.70903 - 2020/11/14(Sat) 12:22:06

☆ Re: / ヨッシー

ＳＲの中点をＭとすると
　ＡＭ＝(ＡＲ＋ＡＳ)／２
　　＝{(ｋ＋ｍ)/2＋(ｌ＋ｍ)/2}／２
　　＝(ｋ＋２ｍｌ)／４

△ＡＣＰを切り出すと、ＡＴはＡＲの延長上にあり
メネラウスの定理より
　ＰＴ：ＴＣ＝１：２
　ＡＭ：ＭＴ＝３：１
よって
　ＡＴ＝(4/3)ＡＭ＝(ｋ＋２ｍｌ)／３

No.70907 - 2020/11/14(Sat) 14:24:16

★ (No Subject) / 目玉

絶対値を外した時の符号について質問です。
(2)のY-2log|2+Y|=x+bから
(2+Y)^2=±e^(Y-x-b)になる過程で何故、右辺にマイナスが付くんでしょうか？
左辺は常に正であるから右辺がマイナスになることはないと思うのですが..

No.70897 - 2020/11/14(Sat) 04:54:43

☆ Re: / X

目玉さんの仰る通りです。
これは添付写真の書類の誤植ですね。

No.70898 - 2020/11/14(Sat) 05:24:02

☆ Re: / 目玉

> 目玉さんの仰る通りです。
> これは添付写真の書類の誤植ですね。

返信ありがとうございます。スッキリしました。

No.70899 - 2020/11/14(Sat) 06:53:50

★ 分母の有理化 / 赤

写真の分数の分母の有理化をすることはできますか？
できればやり方を教えてください。

No.70887 - 2020/11/13(Fri) 22:38:12

☆ Re: 分母の有理化 / らすかる

(4+√2+√6)/{2√(8+2√2+2√6)}
=(4+√2+√6)/{(2√2)√(4+√2+√6)}
={√(4+√2+√6)}^2/{(2√2)√(4+√2+√6)}
=√(4+√2+√6)/(2√2)
=√(8+2√2+2√6)/4
となります。

No.70889 - 2020/11/13(Fri) 22:51:48

☆ Re: 分母の有理化 / 赤

早い返信と分かりやすい解説をありがとうございます。

No.70890 - 2020/11/13(Fri) 23:01:50

☆ Re: 分母の有理化 / ヨッシー

画像が消えていたので、載せておきます。

これがないと、回答の意味がないので。

No.70908 - 2020/11/14(Sat) 14:44:21

★ 期待値 / 劣等生

一辺が1の長さの正四面体の辺上の点を無作為に3点選んで得られる三角形の長さの平方和の期待値を求めよ。

各辺をn等分した点を結んで得られる場合を考えて、そのわを取ってn→∞にすると13/10だと思うのですが、自信がないです。

No.70884 - 2020/11/13(Fri) 20:22:44

☆ Re: 期待値 / らすかる

同じ辺上で3点選ぶのもありですか？
また、3点中2点を同じ辺上の点とするのはありですか？
「三角形の長さ」は「三角形の面積」の間違いですか？

No.70886 - 2020/11/13(Fri) 20:27:27

☆ Re: 期待値 / 劣等生

すべて異なる辺上で3点を選びます。
三角形の長さの平方和は、三角形の各辺の長さの平方和間違いでした。

選んだ三点をA,B,Cとすると、AB^2＋BC^2＋CA^2になります。

No.70891 - 2020/11/14(Sat) 00:41:01

☆ Re: 期待値 / らすかる

私の計算では5/4になりました。

No.70893 - 2020/11/14(Sat) 02:50:22

☆ Re: 期待値 / 劣等生

各辺をn等分してそれらの中から3点を取って結んだときのAB^2+BC^2+CA^2をすべて計算してn→∞にする方針を取ったのですが、どうやったら4/5になるのでしょうか？

No.70894 - 2020/11/14(Sat) 03:04:42

☆ Re: 期待値 / らすかる

その計算式を書いて頂けませんか？

No.70895 - 2020/11/14(Sat) 03:25:26

☆ Re: 期待値 / 劣等生

AB^2+BC^2+CA^2は

[1]3点が同じ面にあるとき
ΣΣΣ(2(k^2+l^2+m^2)-(kl+lm+mk)-n(2k+l+m)+2n^2)/n^2・・・(a)

[2]平面ABCで正四面体を切ると断面が三角形になるとき
ΣΣΣ(2(k^2+l^2+m^2)-(kl+lm+mk))/n^2・・・(b)

[3]平面ABCで正四面体を切ると断面が四角形になるとき
ΣΣΣ(2(k^2+l^2+m^2)-(kl-lm)-n(k+2l+2m)+2n^2)/n^2・・・(c)

Σはk=1～n-1、l=1～n-1、m=1～n-1です。

[1]と[2]の選び方は4C1/(6C3)・・・?@
[3]の選び方は12/(6C3)・・・?A

((a)×?@＋(b)×?@＋(c)×?A)÷(n-1)^3　n→∞ 13/10

No.70900 - 2020/11/14(Sat) 08:38:49

☆ Re: 期待値 / らすかる

私が書いた5/4は間違いでした。しかし、正しくは7/5ではないでしょうか。
(n-1)^3で割ってn→∞とすると(a)が5/4、(b)が5/4、(c)が3/2となりますので
(5/4)(4C1/6C3)+(5/4)(4C1/6C3)+(3/2)(12/6C3)=7/5
のようになると思います。

No.70902 - 2020/11/14(Sat) 12:16:45

☆ Re: 期待値 / 劣等生

(C)を計算間違いしていました。7/5になりました。
ありがとうございました。

No.70912 - 2020/11/14(Sat) 18:53:06

★ (No Subject) / 狭山

1から5の数がかかれたカードがそれぞれ4枚ずつ,計20枚ある。この20枚のカードを1列に並べる。このとき、3のカードが2枚ずつ隣り合い,かつ4枚連続して並ばない確率をもとめよ。4枚の3を2枚ずつ2組と考えて、4枚連続する場合をひくか、3以外のカードの計16枚の右端左端隙間に2枚ずつの3を2組入れるという考え方以外に思いつく方法があったら教えて下さい。

No.70881 - 2020/11/13(Fri) 19:51:56

☆ Re: / らすかる

あまり変わりませんが
4枚の3を2枚ずつ2組と考えて残り16枚のうちの15枚とその2組を並べ、
残りの1枚を左から2枚目の3の右に入れる。

No.70885 - 2020/11/13(Fri) 20:23:25

★ 図形方程式 / 狭山

座標平面上に円（x-2）^2+（y-3)^2＝5^2と点A（-6,-6）がある。円上を動く点Pに対し,線分APを1:2に内分する点Qの軌跡をもとめよ。
解法を教えてほしいです。

No.70880 - 2020/11/13(Fri) 19:47:38

☆ Re: 図形方程式 / らすかる

P(a,b),Q(c,d)とおくと
c=(a-12)/3,d=(b-12)/3
a=3c+12,b=3d+12を円の式のx,yに代入して整理すると
(c+10/3)^2+(d+3)^2=(5/3)^2
従って求める軌跡の式は
(x+10/3)^2+(y+3)^2=(5/3)^2

No.70896 - 2020/11/14(Sat) 03:26:07

☆ Re: 図形方程式 / 狭山

ありがとうございます。メリットがあるかは微妙ですが、P（5cosΘ+2,5sinΘ+3）とおいて、cos^2Θ+sin^2Θ＝1という感じでも解けました。

No.70901 - 2020/11/14(Sat) 10:38:01

★ 物理ですが... / いも

すみません、物理ですが大問1が解けません。分かる方いらっしゃいましたら是非お願いします。

No.70873 - 2020/11/13(Fri) 16:48:39

☆ Re: 物理ですが... / いも

問題はこちらです。

No.70874 - 2020/11/13(Fri) 16:50:09

☆ Re: 物理ですが... / X

(1)
条件から
dR=dx/(σπr^2)
∴R=∫[x:0→l]dx/(σπr^2)

(2)
(1)の結果を使うと
R=∫[x:0→l]dx/{σ[0]π(a+(b-a)x/l)^2}
=[-{l/(b-a)}/{σ[0]π(a+(b-a)x/l)}][x:0→l]
={l/(b-a)}/(σ[0]πa)-{l/(b-a)}/(σ[0]πb)
=l/(σ[0]πab)

(3)
(2)と方針は同じです。
R=∫[x:0→l]dx/{σ[0]π{a+(b-a)(x/l)^2}}
=∫[x:0→l]dx/{σ[0]πa{1+(b/a-1)(x/l)^2}}
ここで
(x/l)√(b/a-1)=t
と置くと
R=∫[t:0→√(b/a-1)]dx/{σ[0]πa(1+t^2)}
=[{1/(σ[0]πa)}arctant][t:0→√(b/a-1)]
={1/(σ[0]πa)}arctan√(b/a-1)

No.70875 - 2020/11/13(Fri) 17:54:32

☆ Re: 物理ですが... / いも

こんな素早い返信ありがとうございます！

No.70877 - 2020/11/13(Fri) 19:10:46

★ (No Subject) / やま

この2問が全く分かりません。１問でも良いのでどなたか解き方と解答を教えて頂けると助かります🙇

No.70872 - 2020/11/13(Fri) 16:25:06

☆ Re: / IT

5.2　ｕはどんな関数で、Iどんな集合(区間だとは思いますが)ですか？、ノルムの定義はどう習いましたか？

5.3　x=0で等しいことを確認し、差を微分すれば良いのでは？

No.70878 - 2020/11/13(Fri) 19:21:13

☆ Re: / ast

問題 5.3 は, a(t) が連続という仮定から微積分学の基本定理が成り立つので, 単に置換積分の話でしかないということになりますね.
なので,「a(t) が連続」という仮定は「a(t) が微積分学の基本定理の成立する適当なクラスに属する」という形まで緩めることができます.

No.71029 - 2020/11/20(Fri) 19:28:53

★ 複素解析 / 鹿

一次分数関数w=f(z)はz=3をw=-5に移し、単位円を単位円に移すとする。このとき、z=1/3の像を求めよ。
この問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.70871 - 2020/11/13(Fri) 16:17:02

☆ Re: 複素解析 / GM

f(z)=(az+b)/(cz+d)とおいて解こうとすると未知数が多くて解きにくいので
f(z)=(az+b)/(z+c)の場合とf(z)=az+bの場合に分けます。

f(z)=(az+b)/(z+c)とすると
(3a+b)/(3+c)=-5・・・?@
|z|=1のとき|az+b|/|z+c|=1より
zの共役な複素数をyとして
(az+b)(ay+b)=(z+c)(y+c)
(ab-c)(z+y)+a^2+b^2-c^2-1=0
z+yは-2から2までの任意の実数をとり得るので
ab=c・・・?A
a^2+b^2-c^2-1=0に?Aを代入して
a^2+b^2-a^2b^2-1=0
(a^2-1)(b^2-1)=0・・・?B

?@?A?Bよりa,b,cを場合分けして求め題意を満たすa,b,cを決定します。
単位円が単位円に移されるのを確認する必要もあると思います。

f(z)=az+bの場合は上と同様な計算をすると題意を満たす解がないことが分かります。

No.71011 - 2020/11/19(Thu) 17:29:47

★ 円 / よしお

図のように，AB=AC=5，BC=6の二等辺三角形ABC内に，半径が等しい2つの円O1，O2が次の2つの条件を満たすように置かれているとする．
・円O1と円O2は外接する．
・円O1は辺ABと辺BCに接し，円O2は辺ACと辺BCに接する．
円O3が円O1と円O2に外接し，辺ABと辺ACに接しているとき，円O3の半径を求めよ．

No.70865 - 2020/11/13(Fri) 13:50:40

☆ Re: 円 / らすかる

BCの中点をMとすると、条件から円O1は△ABMの内接円
よってO1の半径(=O2の半径)は3×4÷(3+4+5)=1
O3の半径をrとするとAO3=(5/3)r（三角形の相似による）
O3MとO1O2の交点をPとすると
O3P=3-(5/3)r, O1P=1, O1O3=1+rなので
{3-(5/3)r}^2+1^2=(1+r)^2
r＜4に注意してこれを解いて
r=(9/8)(3-√5)

No.70868 - 2020/11/13(Fri) 15:12:02

☆ Re: 円 / よしお

分かりやすい解説ありがとうございます。

No.70870 - 2020/11/13(Fri) 16:07:54

★ (No Subject) / かまど

a,b,cをa+b+c＝1を満たす正の数とする。このとき,（(1/a)-1）×（(1/b)-1）×（(1/c)-1）≧8をしめせ.
解説宜しくお願いします。

No.70864 - 2020/11/13(Fri) 13:13:13

☆ Re: / らすかる

補題1
三変数の相加相乗平均からab+bc+ca≧3(abc)^(2/3)

補題2
三変数の相加相乗平均から1=a+b+c≧3(abc)^(1/3)なので
1/abc^(1/3)≧3

本題
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)={(1-a)/a}{(1-b)/b}{(1-c)/c}
=(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)={1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc}/(abc)
=(ab+bc+ca)/(abc)-1
≧3(abc)^(2/3)/abc-1　（∵補題1）
=3/abc^(1/3)-1
≧9-1　（∵補題2）
=8

No.70867 - 2020/11/13(Fri) 15:00:45

☆ Re: / かまど

ありがとうございます。相加相乗って三次式でも使えるのですね。知りませんでした。

No.70923 - 2020/11/15(Sun) 07:18:16

★ 整式 / かまど

x^6をx^2-x-3で割った余りを求めよ.という問題を暗算で解けるくらいの解き方はありますか？

No.70863 - 2020/11/13(Fri) 13:01:14

☆ Re: 整式 / らすかる

x^2-x-3=0のとき
x^2=x+3
x^4=(x+3)^2=x^2+6x+9=x+3+6x+9=7x+12
x^6=(7x+12)(x+3)=7x^2+33x+36=7(x+3)+33x+36=40x+57
∴x^6をx^2-x-3で割った余りは40x+57

# 実際に暗算で解いて合っていることを確認してから清書しました。

No.70869 - 2020/11/13(Fri) 15:18:11

☆ Re: 整式 / かまど

ありがとうございます。x^6=Q(x)(x^2-x-3)+ax+bでx^2-x-3が0となる場合を考えてその後恒等式をするという計算をされているのですよね？

No.70879 - 2020/11/13(Fri) 19:28:33

☆ Re: 整式 / らすかる

はい、そういうことです。

No.70882 - 2020/11/13(Fri) 20:05:13