ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 方程式の解の個数 / 広

高2です。

x^3+3ax^2+6ax+2a=0
の異なる実数解の個数を求めよ。

という問題なのですが、定数分離をせずに解くにはどうすればよいでしょうか？

f(x)=x^3+3ax^2+6ax+2aとおき、
f'(x)=3x^2+6ax+6a=3(x^2+2ax+2a)
0≦a≦2のときf(x)は非減少で解は1個。
a<0,a>2のときf(x)は極大値と極小値をもつので、極値の積の符号で、解の個数を調べのでしょうか？

極値を計算するために
f(x)=(f'(x)/3)(x+a)+(4a-2a^2)x+2a-2a^2
を計算したのですが、
x^2+2ax+2a=0の２解をα、βとして、上の式に代入して積f(α)f(β)を計算するととても大変になるので、何か間違っているかもしれないと思い、質問をさせていただきました。

よろしくお願いします。

No.71951 - 2021/01/06(Wed) 19:44:19

☆ Re: 方程式の解の個数 / らすかる

間違っていないと思います。
式の整理が多少面倒ですが、
最後は比較的短い式になりますよね。

f'(x)=0の解は
x=-a±√(a^2-2a)
b=√(a^2-2a)とおくと
x=-a±b
f(x)=(f'(x)/3)(x+a)+(4a-2a^2)x+(2a-2a^2)
f(-a-b)=(4a-2a^2)(-a-b)+(2a-2a^2)=2a-6a^2+2a^3-b(4a-2a^2)
f(-a+b)=(4a-2a^2)(-a+b)+(2a-2a^2)=2a-6a^2+2a^3+b(4a-2a^2)
f(-a-b)f(-a+b)=(2a-6a^2+2a^3)^2-b^2(4a-2a^2)^2
=4a^2{(1-3a+a^2)^2-b^2(2-a)^2}
=4a^2{(1-3a+a^2)^2-(a^2-2a)(2-a)^2}
=4a^2(1+2a-a^2)

No.71952 - 2021/01/06(Wed) 19:59:23

☆ Re: 方程式の解の個数 / 広

ご丁寧にありがとうございます！
安心しました！

No.71954 - 2021/01/06(Wed) 20:51:27

★ (No Subject) / カラナクシ

すみません...円と直線の問題です。
X^2+Y^2-2X+10Y+a=0の円があります。
この円と直線Y=X-4が接する時のaの値の答えが、24と26-√2の二つでてきました。正しい答え方を教えて頂きたいです。

No.71949 - 2021/01/06(Wed) 18:32:35

☆ Re: / ヨッシー

たぶん、２通りの方法で答えを出されたのかと思いますが、
後半の方は　26－√2 ではなくて　26－√2^2＝24 なのでは？

No.71950 - 2021/01/06(Wed) 19:20:02

☆ Re: / カラナクシ

ご返信ありがとう御座います。半径を2乗し忘れてしまったのかもしれません。24が答えで安心しました！ありがとう御座います。<(_ _)>

No.71953 - 2021/01/06(Wed) 20:18:01

★ よろしくお願いします。 / アルマゲドン

あめ、チョコ、ようかん、まんじゅう、それぞれ2個ずつ合計4個あります。これらをA,B,C,Dの4人に2個ずつ分ける分け方は全部で何通りありますか。ただし、同じ種類のお菓子は区別しません。

この問題の上手い解法があればお聞きしたいです。地味に調べあげるしかないでしょうか。。。。282通りが正解です。

No.71946 - 2021/01/06(Wed) 14:42:44

☆ Re: よろしくお願いします。 / らすかる

全員が同じ種類2個を貰うのは4!=24通り
同じ種類2個を貰う人が3人ということはあり得ない
同じ種類2個を貰う人が2人になるのは
「全員が同じ種類2個」のパターンで誰か2人が1個ずつ交換すればよいので
24×4C2÷2=72通り（÷2は2重複だから）
同じ種類2個を貰う人が1人になるのは
同じ種類2個を誰が貰うかが4通り、その人が貰う種類が4通り、
次の人がどの2個を貰うかが3C2通り、残りの組み合わせを2人に
割り当てる方法が2通りなので、4×4×3C2×2=96通り
同じ種類を貰う人がいない場合
同じ種類のお菓子を区別した場合の
分け方は全部で8!/(2!2!2!2!)=2520通り
そのうち今まで数えたものを引くと
2520-24-72×2^2-96×2^3=1440通りなので
同じ種類を区別しない場合は1440÷2^4=90通り
よって全部で 24+72+96+90=282通り

# つまり同じ種類を区別する場合としない場合で
# 24+72+96+90=282
# 24+72×2^2+96×2^3+90×2^4=2520
# という関係があるということです。

No.71947 - 2021/01/06(Wed) 16:19:36

☆ Re: よろしくお願いします。 / アルマゲドン

ありがとうございます。やはり場合分けですね。

No.71948 - 2021/01/06(Wed) 18:12:45

★ 看護専門学校の数1Aの問題です / しずく

すいません、一次関数なので中学生の問題かも知れませんが、下の写メの問題が全く解けません。
看護専門学校の過去問で回答解説がなく困ってます。
⑴の方程式はy=-3/2X+11 (-2分の3)で解けました
⑵はAの座標から傾きが3/2 (2分の3)で0<m<3/2は何となく理解出来ます
⑶⑷はどうやって求めたらいいのかさっぱりです。
四角形AEOBを三角形EOAと三角形AOBに分けて、三角形AOBの面積を54で出したら何か出ないかと思ったのですが、、、

どうぞ宜しくお願いします。

No.71938 - 2021/01/06(Wed) 00:21:05

☆ Re: 看護専門学校の数1Aの問題です / らすかる

(1)はx=12のときy=0、x=6のときy=9にならなければなりませんので
y=-(3/2)x+11ではありません。y=-(3/2)x+18です。

(3)
△AOB=12×9÷2=54ですから
四角形AEOB=69となるためには
△AEO=69-54=15でなければなりません。
底辺をEOとすると高さは6ですから
EO×6÷2=15によりEの座標は(0,5)となります。
よって傾きはm=(9-5)/(6-0)=2/3です。

(4)
△ACE=△OEDの両辺に四角形AEOBを足すと
△ACE+四角形AEOB=△OED+四角形AEOB
つまり
△OBC=△ADB
となります。
△OBC=12×18÷2=108で
△ADBはDBを底辺とすると高さは9ですから
DB×9÷2=108
よってDB=24なので
Dの座標は(-12,0)となり、
m=(9-0)/(6-(-12))=1/2とわかります。

No.71939 - 2021/01/06(Wed) 00:24:59

☆ Re: 看護専門学校の数1Aの問題です / しずく

ありがとうございます。
大変良くわかりました。

ただ、⑶の「底辺をEOとすると高さが6」の6がどこから来たのかわかりません。Aの座標(6、9)を使っているのと思っているのですが、なぜこれを使っているのですか？

No.71941 - 2021/01/06(Wed) 08:12:00

☆ Re: 看護専門学校の数1Aの問題です / ヨッシー

図の通りです。

No.71942 - 2021/01/06(Wed) 09:18:33

☆ Re: 看護専門学校の数1Aの問題です / らすかる

「△AEOの底辺をEOとした高さ」とは
直線EOからAまでの距離のことです。
直線EOはy軸すなわちx=0ですから、
(直線EOからAまでの距離)=(Aのx座標)
となります。

No.71943 - 2021/01/06(Wed) 09:19:06

☆ Re: 看護専門学校の数1Aの問題です / しずく

お二人ともありがとうございました。
良くわかりました。
これでスッキリ問題が解けました

No.71944 - 2021/01/06(Wed) 10:12:03

★ 数学1a整数の問題です。 / 高3数学質問者

センター過去問です。
自然数nに対し、nを2進数で表した時に末尾に連続して並ぶ0の個数をN(n)と表す。
たとえば、N(1)=0.N(2)=1である。
(1)160を素因数分解すると
160=2^5×5
であり、160の正の約数の個数は12個である。
また、N(160)=5である。
一般に、自然数nを素因数分解したとき、素因数2の個数をa個とすると
N(n)=a‥←わからない箇所です。
である。
回答も書き込んでいますが、最後のaになるところがわかりません。
回答いただければ励みになります。
よろしくお願いします。

No.71931 - 2021/01/05(Tue) 19:37:27

☆ Re: 数学1a整数の問題です。 / らすかる

nを2進数で表した時に末尾に連続して並ぶ0の個数
=nが2で割り切れる回数
=素因数2の個数
です。

No.71933 - 2021/01/05(Tue) 21:57:17

☆ Re: 数学1a整数の問題です。 / 高3数学質問者

ありがとうございました。
わかったような気がします。
頑張ります。。

No.71936 - 2021/01/05(Tue) 23:09:45

★ 方程式の解の個数 / 広

高2です。
(x^2-4x+a)^2-5x^2+20x-4a=0
の異なる実数解の個数を求めよ。
という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

No.71930 - 2021/01/05(Tue) 19:37:07

☆ Re: 方程式の解の個数 / IT

(x^2-4x+a)^2-5x^2+20x-4a
＝(x^2-4x+a)^2-5(x^2-4x+a)+a=0
とスルト見えてくるのでは？　と思いましたが　めんどうそうですね。

No.71932 - 2021/01/05(Tue) 20:43:16

☆ Re: 方程式の解の個数 / IT

方程式t^2-5t+a=0を解いて実数解α,βを持つとき、
x^2-4x+a=α,βの　解の個数を調べればできそうですね。

No.71934 - 2021/01/05(Tue) 22:00:10

☆ Re: 方程式の解の個数 / らすかる

x^2-4x+a=tとおくとt^2-5t+a=0
x^2-4x+a=tからa=t-x^2+4xなので
t^2-5t+a=0に代入して
t^2-5t+(t-x^2+4x)=0
t^2-4t-x^2+4x=0
(x-t)(x+t-4)=0
{x-(x^2-4x+a)}{x+(x^2-4x+a)-4}=0
(x^2-5x+a)(x^2-3x+a-4)=0
のように元の式が因数分解できますので、
解を持つ条件を調べ、
解を持つときは2つの二次方程式の解
{5±√(25-4a)}/2,{3±√(25-4a)}/2
の重解や重複について検討すればいいですね。

No.71935 - 2021/01/05(Tue) 22:47:57

☆ Re: 方程式の解の個数 / 広

ITさん、らすかるさん
どうもありがとうございますした！
無事に解くことができました！

No.71945 - 2021/01/06(Wed) 13:27:08

★ 合同式 / 高校一年

次の問題を教えて下さい。

a,b,c,pを自然数とするとき
ap^2+bp+c≡1 (mod3)
ap^4+bp^2+c≡2 (mod3)
が成り立つならばb≡2 (mod3)
を証明せよ。

よろしくお願いします。

No.71925 - 2021/01/05(Tue) 14:19:44

☆ Re: 合同式 / ヨッシー

p≡0 (mod 3) だとすると、
　c≡1 (mod 3)
　c≡2 (mod 3)
となり不適。
p≡1 (mod 3) だとすると、p^2≡p^4≡1 (mod 3) であり、
　a+b+c≡1 (mod 3)
　a+b+c≡2 (mod 3)
となり不適。
p≡2 (mod 3) だとすると、p^2≡p^4≡1 (mod 3) であり、
　a+2b+c≡1 (mod 3)
　a+b+c≡2 (mod 3)
上から下を引いて
　b≡-1≡2 (mod 3)

No.71926 - 2021/01/05(Tue) 14:35:01

☆ Re: 合同式 / 高校一年

ありがとうございます！
bについてばかり考えていました。まず、p≡2 (mod 3)の場合でないと2式が成り立たないことに着目するのですね。
とてもよくわかりました！

No.71927 - 2021/01/05(Tue) 14:48:48

★ 一次関数 / 中学2年生

写真の問題が解けません。解説解答がついていないので、どのように解けば良いのか分からず困っています。

(1)(2)は解けました。(3)が分かりません、媒介変数か等積変形をするような気がするのですが、、、

教えてもらえれば嬉しいです。よろしくお願いします。

No.71921 - 2021/01/05(Tue) 11:49:27

☆ Re: 一次関数 / ヨッシー

もし、ＯがＡＣの中点なら、ＯＢで二等分出来ますね。
この場合は、ＯＣはＡＣの 2/3 なので、
ＯＢで分けると、△ＯＢＣは△ＡＢＣの 2/3倍になります。
これを、1/2 倍にするには高さを 3/4 倍にすると
　2/3×3/4＝1/2（倍)　になります。
つまり、ＢＣの４等分点のＢに一番近い点とＯを結びます。

No.71923 - 2021/01/05(Tue) 12:24:19

★ 大学数学テイラー展開に関する問題 / some

. 定数 0 < δ < 1, 0 < r < 1 が存在し, |z| ≤ δ, |w| ≤ δ なら
|g(z)| ≤ |z|／２
, |g(z) － g(w)| ≤ r|z － w|を示せという問題がわかりません。
どなたか教えて頂けると幸いです

No.71920 - 2021/01/05(Tue) 08:49:40

☆ Re: 大学数学テイラー展開に関する問題 / IT

問題になってないと思います。
問題文をすべて正しく書き込まれないと回答はできないと思います。

No.71929 - 2021/01/05(Tue) 18:57:21

★ 数列の一般項 / ｌ

C₁＝２,C(n+1)=-C(n)+n²+3の一般項を求めよ。
～～～～～～～～～
自分が行った解法として、C(nt2)とC(n+1)を連立して
C(nt2)-C(n+1)=-(C(n+1)-C(n))+2n+1を作り、d(n+1)=-d(n)+2n+1に変形して先程と同じようにnを一つ繰り上げて連立すると、d(n+2)-d(n+1)=-(d(n+1)-d(n))+2,e(n+1)=-e(n)+2にして{e(n)-1}の初項，公比を求めてe(n)の一般項を求める。その後、e(n)=d(n+1)-d(n)より、d(n+1)=d(n)+3(-1)のn-1乗とし、先程出たd(n+1)=-d(n)+2n+1と連立して、d(n)=-3/2(-1)のn-1乗＋nを求めた、同様にすると、自分はC(n)=(nの二乗)/2-n/2+3/4(-1)のn-1乗＋3/2となりました。
正答とは違っていましたが、なぜか形が似ていました。
実際n=1を代入しても２になりませんでした。
どこが問題点なのかご教授願います。

No.71918 - 2021/01/05(Tue) 07:18:53

☆ Re: 数列の一般項 / らすかる

e(n)が正しくありません。再度確認して下さい。
どこが違うかわからない場合は、計算過程をここに書いてみて下さい。

# 「{e(n)-1}の初項」に「e(n)の初項」の値を入れていませんか？

No.71919 - 2021/01/05(Tue) 08:03:20

☆ Re: 数列の一般項 / ｌ

あ、、計算ミスしていました。
｛e(n)-1}の初項はC₃-2C₂+C₁+(-1)の(-1)が抜けてました。
再計算したところ、正答と一致しました。ありがとうございます

No.71928 - 2021/01/05(Tue) 16:55:39

★ (No Subject) / 絶対ごうかくん

物理なのですが誰か解決していただけないでしょうか…
丸がついているのが答えなのですがこの問題で誘電体をはさんでいるのに電場がV/dとなり、挟んでないときと同じなのはなぜですか？誘電体を挟んだら電場は弱くならないのですか？

No.71914 - 2021/01/04(Mon) 16:50:39

☆ Re: / X

それはコンデンサーに充電されている「電荷が一定」の場合です。
ここで一定なのはコンデンサーの間の電位差です。

No.71915 - 2021/01/04(Mon) 17:47:44

☆ Re: / 絶対ごうかくん

この問題では電源がつながれたままだからコンデンサーに充電される電気量が一定じゃないので電場は弱まらないということですか？？

No.71916 - 2021/01/04(Mon) 18:04:07

☆ Re: / X

その通りです。

No.71917 - 2021/01/05(Tue) 02:05:38

★ 体積 / 受験生

分からないところが多くすみません。頑張ってはいるのですが、なかなか回答に辿り着けず。この体積の問題も方針はわかるのですが、どのように解いて良いのか分からず立ち止まっています。

解説していただければ大変助かります。よろしくお願いいたします。

No.71909 - 2021/01/04(Mon) 11:17:37

☆ Re: 体積 / ヨッシー

(3)
ＡＢの中点をＤ、△ＡＢＣの重心をＨとします。
((1) で設定されているとおりです)

体積を求める立体を
?@ 四角錐Ｐ－ＡＲＨＤ　と　四角錐Ｑ－ＢＳＨＤ
　を合わせたもの
?A三角錐Ｈ－ＰＱＤに分けます。

(2) のＯＰＱＣに対して
?@は底面が５倍、高さが 2/3 倍なので、
　2√2×10/3＝20√2/3
△ＯＡＢの重心をＩとすると
上図の右において、ＨからＯＤに下ろした垂線は
ＣＩの 1/3 なので、ＯＰＱＣに対して
?Aは底面（ＰＱＤ）が２倍、高さが 1/3 倍なので、
　2√2×2×1/3＝4√2/3
合わせて、
　(20/3＋4/3)√2＝8√2

No.71912 - 2021/01/04(Mon) 15:32:11

☆ Re: 体積 / 中学2年生

> (2) のＯＰＱＣに対して
> ?@は底面が５倍、高さが 2/3 倍なので、

> ?Aは底面（ＰＱＤ）が２倍、高さが 1/3 倍なので、

これはどのようにしてわかるのでしょうか？

No.71922 - 2021/01/05(Tue) 12:04:42

☆ Re: 体積 / ヨッシー

>底面が５倍
　厳密には四角錐の底面ＡＲＨＤは、△ＯＰＱの2.5倍。
　同じくＢＳＨＤが、△ＯＰＱの2.5倍、とすべきですが、
　それぞれ同じ高さの四角錐なので、２つまとめて、
　底面（四角形ＡＢＳＲ）は△ＯＰＱの５倍としました。

>高さが 2/3 倍
　三角錐Ｃ－ＯＰＱの高さは、もとの正四面体ＯＡＢＣの高さと
　同じなので、ＯＨとも等しいです。△ＡＢＣを底面としたとき、
ＰやＱの高さはＯの2/3倍の位置にあるので、三角錐Ｃ－ＯＰＱ
　と比べても、2/3倍です。

> 底面（ＰＱＤ）が２倍
　底辺が同じで高さが２倍なので面積も２倍です。

>高さが 1/3 倍
　これは上の記事の「上図の右において、」以降に書いてある通りです。

No.71924 - 2021/01/05(Tue) 12:35:00

★ 関数 / 受験生

関数に関して方針は何となくわかるのですが、写真より先がどのように解いたら良いのか分からないです。

していただければ幸いです。。。よろしくお願いいたします。

No.71903 - 2021/01/04(Mon) 07:58:16

☆ Re: 関数 / ヨッシー

(2)
ＤＥがＡＯを通る位置にあるとき、△ＤＥＢの面積は
　7/2－1/2＝３
です。

これが 7/4 になるためには、
面積を 7/12 倍にしないといけないので、
ＥＢの長さがＯＢの　√(7/12) 倍になるようにします。
Ｅのｘ座標をｔとすると、
　2－t＝2√(7/12)＝√(7/3)
　ｔ＝2－√(7/3)　・・・答え

(3)

図のように、△ＣＢＯの頂点ＯをＣＢに平行に移動させても
△ＣＢＯの面積は変わらないので、そのまま、ｙ＝ｘ^2 と
交わる位置まで変形したところが、求める点Ｆです。

No.71907 - 2021/01/04(Mon) 11:14:10

☆ Re: 関数 / 受験生

(3)盲点でした、やってみたらできました。
(2)の解法は初めて知りました、勉強になります。
ありがとうございました。

No.71910 - 2021/01/04(Mon) 11:45:25

★ 高校3年ドモアブルの定理の問題に関して / 修業中

高校3年ドモアブルの定理の問題に関して教えてください。

複素数zがz+z/1＝√2を満たすときz^15+1/z^15の値を求めよ。

解答の画像の中の下線部なのですが、
マイナスプラス記号を±記号にする方法？過程？が分かりません。isinもマイナスになっているのも？です･･･ご回答頂けると幸いです。

No.71898 - 2021/01/04(Mon) 06:17:29

☆ Re: 高校3年ドモアブルの定理の問題に関して / IT

+(π/4) に,-15を掛けると-(15/4)π
-(π/4) に,-15を掛けると+(15/4)π　になります。
ドモアブルの定理の確認が必要と思います。

No.71902 - 2021/01/04(Mon) 07:40:57

★ 関数、空間図形 / 受験生

解答はついているのですが解説がなく困っています。やり方は合っていると思うのですが、回答が合わず何が間違っているのか分からず困っています。

どなたかご教授いただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.71897 - 2021/01/04(Mon) 05:02:06

☆ Re: 関数、空間図形 / ヨッシー

左の(3)

回転体を３つの部分に分けます。
?@底面の半径（以下半径）３，高さ９の円錐から、
　半径３，高さ３の円錐と
　半径3/2、高さ9/2 の円錐を除いたもの
?A半径２、高さ２の円錐から、
　半径3/2、高さ3/2 の円錐を除いたもの
?B半径２，高さ４の円錐

体積はそれぞれ、
?@117/8、?A37/24、?B16/3
となります。あとは足すだけです。

No.71905 - 2021/01/04(Mon) 10:27:58

☆ Re: 関数、空間図形 / ヨッシー

右
(2) ＰとＱはＰＦ＝ＱＨとは限りませんので、
　ＰＱ＝５とは限りません。

ｘ＝ＰＦとおくと、
△ＥＦＰにおいて
　ＥＰ^2＝16＋ｘ^2
△ＢＣＰにおいて
　ＣＰ^2＝9＋(7－ｘ)^2
両者が等しいので
　16＋ｘ^2＝9＋(7－ｘ)^2
これを解いて、
　ｘ＝３

(3)
ＰＱは　縦、横、高さが　３，４，１の直方体の
対角線に当たるので、
　ＰＱ＝√26
ＣＥ＝√74 より、求める面積は
　√26×√74÷2＝√481

No.71906 - 2021/01/04(Mon) 10:42:49

☆ Re: 関数、空間図形 / 受験生

一つ一つ追っていき理解することができました。ありがとうございます。

No.71908 - 2021/01/04(Mon) 11:15:30

★ 面積、確率 / 受験生

No.71896 - 2021/01/04(Mon) 05:00:47

☆ Re: 面積、確率 / IT

（３）下２桁が４の倍数になるための条件が間違ってます。
２桁の整数で４の倍数になるのは、小さい順に
１２、１６，．．．６４です。

No.71899 - 2021/01/04(Mon) 06:23:02

☆ Re: 面積、確率 / IT

正三角形の面積や扇型の面積からa+c の面積を求める。
４分の１円２つ-重なる部分(2a+b)=4(正方形）
4a+4c+b=4
以上からa が求まる。

No.71900 - 2021/01/04(Mon) 07:02:21

☆ Re: 面積、確率 / IT

正三角形の面積や扇型の面積からa+c の面積を求める。
には、もう１本補助線を入れた方が分かり安いかも知れません。

No.71901 - 2021/01/04(Mon) 07:15:10

☆ Re: 面積、確率 / 受験生

> 正三角形の面積や扇型の面積からa+c の面積を求める。
> には、もう１本補助線を入れた方が分かり安いかも知れません。

試行錯誤の上やっとできました！ありがとうございます(o^^o)

No.71904 - 2021/01/04(Mon) 08:16:37

★ (No Subject) / ハレ

[{1-(tanx)^2}^2/(2×tanx^2)]－[1/{2×(sinx)^2×(cosx)^2}]の値は

答え̠－2なのですがどうやって出すのでしょうか？

No.71891 - 2021/01/03(Sun) 23:52:22

☆ Re: / ハレ

(訂正)
間違い[{1-(tanx)^2}^2/(2×tanx^2)]
→正しい[{1-(tanx)^2}^2/{2×(tanx)^2}]

No.71892 - 2021/01/03(Sun) 23:56:19

☆ Re: / らすかる

{1-(tanx)^2}^2/{2(tanx)^2}-1/{2(sinx)^2(cosx)^2}
=(cosx)^4{1-(tanx)^2}^2/{2(cosx)^4(tanx)^2}-1/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={(cosx)^2-(sinx)^2}^2/{2(sinx)^2(cosx)^2}-1/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={{(cosx)^2-(sinx)^2}^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={(cosx)^4+(sinx)^4-2(sinx)^2(cosx)^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={{(cosx)^2+(sinx)^2}^2-4(sinx)^2(cosx)^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={1-4(sinx)^2(cosx)^2-1}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
={-4(sinx)^2(cosx)^2}/{2(sinx)^2(cosx)^2}
=-2
となります。

No.71894 - 2021/01/04(Mon) 00:20:38

☆ Re: / IT

（別法）　1/2は簡単のためとります。
{1-(tanx)^2}^2/(tanx)^2
={(1/tanx)-tanx}^2
=1/(tanx)^2-2+(tanx)^2
=(cosx)^2/(sinx)^2+(sinx)^2/(cosx)^2-2
ここで(cosx)^2+(sinx)^2=1 を使って
={1-(sinx)^2}/(sinx)^2+{1-(cosx)^2}/(cosx)^2-2
=1/(sinx)^2+1/(cosx)^2-4
={(cosx)^2+(sinx)^2}/{(sinx)^2(cosx)^2}-4
=1/{(sinx)^2(cosx)^2}-4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
どこで(cosx)^2+(sinx)^2=1を使うかですが、最初にすべてを(cosx)^2　で表してもいいですね。

cosx をcと書くと。

(tanx)^2=(1-c^2)/c^2 なので

((1-(tanx)^2)^2/(tanx)^2
={(2c^2-1)/c^2)^2}/{(1-c^2)/c^2}
=(2c^2-1)^2/{(1-c^2)c^2}
=(4c^4-4c^2+1)/{(1-c^2)c^2}
=(4c^4-4c^2)/{(1-c^2)c^2}+1/{(1-c^2)c^2}
=-4+1/{(1-c^2)c^2}

No.71913 - 2021/01/04(Mon) 15:49:14

★ 対角線にかかる正方形 / √

本年も　よろしくお願い致します。

８ｘ５の長方形の中には
１辺が１の正方形が４０コ作れます。

この長方形に１本の対角線を引くと
１２コの正方形が、対角線に、ひっかかって
しまいます。

なので、正方形が
４０－１２＝２８コ分になってしまいます。

対角線にかかる、この【１２コ】という数字は

横＋縦－（横と縦の最大公約数）

で求められるそうですが
理由が分かりません。
教えて下さい。お願い致します。

No.71887 - 2021/01/03(Sun) 22:49:56

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / らすかる

対角線にかかる正方形の個数は、
対角線をゆっくり引きながら個数を数えることを考えれば
(正方形の辺または頂点と交わった数)+1
とわかりますね。
2辺が互いに素の場合は頂点を通ることがありませんので
(横切る縦線の本数)+(横切る横線の本数)+1
=(縦-1)+(横-1)+1
=縦+横-1
となります。
互いに素でなく最大公約数がgの場合、頂点をg-1回通りますので
上の値からg-1を引いた数になります。
よって対角線にかかる正方形の個数は(縦+横-1)-(g-1)=縦+横-g個です。

No.71889 - 2021/01/03(Sun) 23:18:28

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / ヨッシー

図を付けておきます。

解説はらすかるさんの通りです。

No.71890 - 2021/01/03(Sun) 23:29:22

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / √

らすかるさん　ヨッシーさん

ただいま、薄っすらと分かった状態です。
後で、よく考えてみます。
とりあえず
ありがとうございました。

No.71895 - 2021/01/04(Mon) 00:24:32

☆ Re: 対角線にかかる正方形 / √

やっと分かりました。

らすかるさん・ヨッシーさん
有難うございました。

これ小学生が解く問題なんですね。ふーっ！

No.71911 - 2021/01/04(Mon) 12:49:31