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★ 漸化式 / kei
高校２年です。

2a[n]S[n]=a[n]^2+3n^2 (n≧1)によって定められる正の数列{a[n]}の一般項を求めよ、という問題をお教え下さい。S[n]はa[1]からa[n]までの和を表してます。

答は
a[n]=√{(1/2)n(n+1)(2n+1)} - √{(1/2)(n-1)n(2n-1)}
であることが分かっています。

自分ではa[1]=√3であること、また、与えられた漸化式の両辺をa[n]で割って、添字をn+1に置き換えた漸化式から元の漸化式を引いて整理した

a[n+1]+a[n]=3(n+1)^2/a[n+1] - 3n^2/a[n]

を導いた後、右辺を(n/√a[n])^2の形で見たりしたのですが分かりませんでした。

いつも申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.71733 - 2020/12/26(Sat) 05:18:24
☆ Re: 漸化式 / らすかる
2a[n]S[n]=(a[n])^2+3n^2
Σ[k=1〜n]2a[k]S[k]=Σ[k=1〜n](a[k])^2+Σ[k=1〜n]3k^2
Σ[k=1〜n]2a[k]S[k]-Σ[k=1〜n](a[k])^2=Σ[k=1〜n]3k^2
2Σ[k=1〜n](a[k])^2+2Σ[1≦i＜j≦n]a[i]a[j]-Σ[k=1〜n](a[k])^2=Σ[k=1〜n]3k^2
Σ[k=1〜n](a[k])^2+2Σ[1≦i＜j≦n]a[i]a[j]=Σ[k=1〜n]3k^2
(S[n])^2=n(n+1)(2n+1)/2
∴S[n]=√{n(n+1)(2n+1)/2}　（∵全項が正）
従ってn≧2のとき
a[n]=S[n]-S[n-1]=√{n(n+1)(2n+1)/2}-√{(n-1)n(2n-1)/2}
となり、この式はn=1のときも成り立つのでこれが答え。
No.71734 - 2020/12/26(Sat) 06:10:37
☆ Re: 漸化式 / kei
らすかる様

ありがとうございます！

Σ[k=1〜n]2a[k]S[k]=Σ[k=1〜n](a[k])^2+Σ[k=1〜n]3k^2
として両辺の和をとるなんて思いつきもしませんでした！ずっと考えていたので感動しています！(低レベルですみません)

(a[1]+a[2]+…+a[n])^2=Σ[k=1〜n]a[k]^2+2Σ[1≦i<j≦n]a[i]a[j]もよく確認しておきます(漸化式でも使うことになるとは…)。とても勉強になりました！
No.71736 - 2020/12/26(Sat) 09:58:06
★ 確率 / 奏
先ほどはお世話になりました。
もう一問だけ確率の問題を教えて下さい。

?@から?Cまでの数が書かれた4枚のカードが?@?A?B?Cの順で並べられている。このうちの２枚を無作為に選び、その位置を入れ替えることを繰り返す。入れ替えを2n回行った後、カードの順が?@?A?B?Cとなっている確率を求めよ。

よろしくお願いします。
No.71730 - 2020/12/25(Fri) 17:25:00
☆ Re: 確率 / らすかる
全24通りのうち偶数回の入れ替えで出現するパターンは
(a) 1234
(b) 1342 1423 2314 2431 3124 3241 4132 4213
(c) 2143 3412 4321
の12通り
(a)のとき2回の入れ替えで
(a)に戻る確率は1/6
(b)に移る確率は2/3
(c)に移る確率は1/6
(b)のとき2回の入れ替えで
(a)に移る確率は1/12
(b)に戻る確率は2/3
(c)に移る確率は1/4
(c)のとき2回の入れ替えで
(a)に移る確率は1/18
(b)に移る確率は2/3
(c)に戻る確率は5/18
よってn≧1のとき2n回後の入れ替えで
(a)となっている確率をp[n]
(b)となっている確率をq[n]
(c)となっている確率をr[n]
とすると
p[1]=1/6, q[1]=2/3, r[1]=1/6
p[n+1]=(1/6)p[n]+(1/12)q[n]+(1/18)r[n]
q[n+1]=(2/3)p[n]+(2/3)q[n]+(2/3)r[n]
r[n+1]=(1/6)p[n]+(1/4)q[n]+(5/18)r[n]
これを解いて
p[n]=1/12+3/(4・9^n)
q[n]=2/3
r[n]=1/4-3/(4・9^n)
よって2n回後に1234となっている確率は1/12+3/(4・9^n)
No.71731 - 2020/12/25(Fri) 22:03:31
☆ Re: 確率 / 奏
こんなに丁寧に解説して下さり、ありがとうございました！とても自力では無理でした。
No.71742 - 2020/12/26(Sat) 13:35:26
★ 「 y=(2x)/(1+x)」が「y=2-2/(x+1)」となる式変形の途中式について / ニック
質問失礼いたします。

ある書籍で出題されている、次の関数

y=(2x)/(1+x)

のグラフを描けという問題について、解答の冒頭で

y=2-2/(x+1)だから、[...]

というように式変形がされた前提で解説が始まっているのですが、どのように式変形がされているのか考えてはみたものの結局分かりませんでした。

y=(2x)/(1+x)
が
y=2-2/(x+1)
となる式変形の途中式を教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
No.71726 - 2020/12/25(Fri) 14:40:00
☆ Re: 「 y=(2x)/(1+x)」が「y=2-2/(x+1)」となる式変形の途中式について / ヨッシー
y=(2x)/(1+x)=(2x+2-2)/(1+x)
=(2x+2)/(x+1)-2/(1+x)
=2(x+1)/(1+x)-2/(1+x)
=2-2/(1+x)
です。
No.71727 - 2020/12/25(Fri) 15:25:34
☆ Re: 「 y=(2x)/(1+x)」が「y=2-2/(x+1)」となる式変形の途中式について / ニック
>=(2x+2)/(x+1)-2/(1+x)
>=2(x+1)/(1+x)-2/(1+x)
大変丁寧に回答いただきありがとうございました。理解することができました！
No.71728 - 2020/12/25(Fri) 16:25:51
★ 確率 / 奏
次の問題を教えてください。

次の方法で12人の中から委員を選ぶ。選ばれる委員の数が4人になる確率および5人になる確率を求めよ。
選び方:12人の中から2人を記した計66枚のカードを用意し、その中から3枚を取り出す。3枚のカードに記されている人が委員になる(選ばれる委員の数は3人から6人まで考えられる)。

よろしくお願いします。
No.71719 - 2020/12/25(Fri) 10:01:16
☆ Re: 確率 / ヨッシー
カードの選び方は全部で
　66Ｃ3＝45760（通り）
3人になるのは　（A,B)(B,C)(A,C) というパターンの３枚を選んだとき
　こういう場合は　12Ｃ3＝220（通り）　あります。
4人になるのは　（A,B)(B,C)(C,D) というパターンの３枚を選んだとき
　B と C に当たる人の選び方は　12Ｃ2＝66（通り）
　A と D に当たる人の選び方は　10Ｐ2＝90（通り）
　合計　66×90＝5940（通り）
また、4人になるのは　（A,B)(A,C)(A,D) というパターンの３枚を選んだとき
　A に当たる人の選び方は　12通り
　B と C と D に当たる人の選び方は　11Ｃ3＝165（通り）
　合計　12×165＝1980（通り）
5人になるのは　（A,B)(B,C)(D,E) というパターンの３枚を選んだとき
　B に当たる人の選び方は　12通り
　A と C に当たる人の選び方は　11Ｃ2＝55（通り）
　D と E に当たる人の選び方は　9Ｃ2＝36（通り）
　合計　12×55×36＝23760（通り）
6人になるのは　（A,B)(C,D)(E,F) というパターンの３枚を選んだとき
　こういう場合は　12Ｃ2×10Ｃ2×8Ｃ2÷３！＝13860（通り）
以上の合計が
　220＋5940＋1980＋23760＋13860＝45760
となり、漏れがないことが分かります。（通常の解答ではここまで書く必要はありません）

求める確率は
　４人　(5940＋1980)/45760＝9/52
　５人　23760/45760＝27/52
ちなみに
　３人　220/45760＝1/208
　６人　13860/45760＝63/208
です。
No.71722 - 2020/12/25(Fri) 12:47:33
☆ Re: 確率 / 奏
とてもよく分かりました。全ての場合を説明して下さりありがとうございます！
No.71729 - 2020/12/25(Fri) 17:10:39
★ 割り算 / 雪坊主
中学です。

３で割ると１余る
５で割ると１余る
７で割ると１余る
１１で割ると６余る
これを満たす最小の正の整数を求めよ

これはどうすれば解けますか？

3×5×7×n+1だと上の３つの条件を満たすとおもうのですが、11で割って6余るをどうつなげたらよいのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.71716 - 2020/12/25(Fri) 09:13:45
☆ Re: 割り算 / ヨッシー
もちろん、106, 211, 316, 421 ・・・から、11で割ると６あまる数を
探す方法でも、高々10回以内には見つかるのですが、
もう少し、数学っぽく考えると．．．
　105n＋1
が 11で割ると6あまるとします。
　105＝11×9＋6
なので、
　105n＋1＝(11×9＋6)n＋1＝11×9n＋6n＋1
より、6n＋1 が11で割って6あまるような n を見つけます。
さらに　6n＋1＝6(n-1)＋1＋6 より
　6(n-1)＋1
が11で割れれば、条件を満たします。※

そのような n は 10 で 1051 が求める数となります。

※の見つけ方として、実際には 11の倍数で、1を引くと6の倍数に
　なるような数を見つける方が、回数が最大5回ですみます。
その場合は、
　6(n-1)＋1＝11m
とおく事になりますが、きりがないので省略しました。
No.71718 - 2020/12/25(Fri) 09:52:14
☆ Re: 割り算 / 雪坊主
ありがとうございました。
わかりました！！
No.71721 - 2020/12/25(Fri) 10:40:22
★ 整数問題 / kei
高校２年です。

方程式 2x^2+6x-y^3-50=0 の整数解を求めよ、という問題をお教え下さい。

自分では
2(x^2+3x-25)=y^3
と変形してyが偶数と分かるのでy=2zとおいてみたり、x^2+3x-25=4k^3などとおいて試してみたのですが分かりませんでした。また、答は分かっていません。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71712 - 2020/12/25(Fri) 07:20:24
☆ Re: 整数問題 / X
方針に問題はありません。
でそこからですが
x^2+3x-25=4k^3
の左辺はxの偶奇によらず奇数になりますので
問題の整数解は存在しません。
(元の問題文に誤植はありませんか？)
No.71713 - 2020/12/25(Fri) 07:49:10
☆ Re: 整数問題 / kei
X様

ありがとうございます。問題文ですが、原文通りなので「解なし」で大丈夫のようです。
お騒がせしてすみませんでした。
No.71717 - 2020/12/25(Fri) 09:21:01
★ 図形と方程式 / kei
高校２年です。

放物線C:y=ax^2+x-b (a≠0)と直線y=xが2つの異なる交点A,Bをもつ。このとき、放物線CとABを直径とする円Dが交点を4個もつa,bの条件を求めよ。また、4交点を通る放物線のうち、軸がx軸と平行なものを求めよ、という問題をお教え下さい。

答えがab>1,x=ay^2+y-b であることは分かっています。

A,Bのx座標をα、βとおいて円の方程式と放物線の式と連立したりして考えたのですが、式が膨らむばかりで方針が違うのだと思っています。

続けての投稿で申し訳ありませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71709 - 2020/12/25(Fri) 02:01:54
☆ Re: 図形と方程式 / mathmouth
方針はそれでいいと思います.
放物線C:y=ax²+x-b (a≠0)…?@と直線y=xを連立させることにより、この２交点のx座標は2次方程式ax²-b=0の２解ですので、交点のx座標はα>0 なる実数αを用いてα,-αと書け（b<0は明らかに不適）,また円の方程式はx²+y²=2α²…?Aと書けます.

放物線の方程式はyがxの関数となる形で表され、ゆえにxに対してyがただ１つに決まるので、
求める必要十分条件は
　?@かつ?Aを満たす実数（x,y）の組がちょうど4つ存在するような正の実数αが存在する（別にα,-αの2つを考えたので「正の」はなくても構いません.）
⇔
?@と?Aからyを消去したxの4次方程式
(x²-α²)(a²x²+2ax+2-a²α²)=0
がちょうど4つの異なる実数解を持ち
かつ
b=aα²なるような正の実数αが存在する
⇔
xの2次方程式a²x²+2ax+2-a²α²=0…?B
が±α以外の異なる2つの実数解を持ち(但し?Bが±αを解にもたないのは図から明らかである.)
かつ
b=aα²なるような正の実数αが存在する　
⇔
(?Bの判別式)>0 かつb=aα²なる正の実数αが存在する
⇔
a²α²>1かつb=aα²なる正の実数αが存在する
⇔
ab>1かつα²=b/aなる正の実数αが存在する
⇔
ab>1
となります.
後半の4点を通る放物線の方程式は自力で求められると思います.
※上の解答では所与のa≠0の下で同値変形しています.
※同値関係を明示して書きましたが、高校数学(受験数学)ではもう少しラフに日本語を交えながら書いてもいいと思います.
※もっと楽なやり方があるかもしれません.
No.71710 - 2020/12/25(Fri) 04:07:58
☆ Re: 図形と方程式 / kei
mathmouth様

とても丁寧なご回答ありがとうございます。
一つ一つ順を追って考えることができ、とても良く分かりました！

計算過程で伺いたいことがあるのですが、自分は?@と?Aからyを消去して(?@のy=a(x^2+x/a-α^2)を?Aのx^2+y^2=2α^2に代入)

x^2+a^2(x^2+x/a-α^2)^2=2α^2

を導いた後、この式を整理して

a^2x^4+2ax^3+2(1-a^2α^2)x^2
-2aα^2x+a^2α^4-2α^2=0

この式の左辺を、x^2-α^2で割ることでご回答にあります

(x²-α²)(a²x²+2ax+2-a²α²)=0

を導いたのですが、それで合っていますでしょうか？なかなか大変な計算で少し不安になりました。もし、遠回りな計算をしている場合はお教えいただけますか？よろしくお願い致します。
No.71711 - 2020/12/25(Fri) 05:55:29
☆ Re: 図形と方程式 / mathmouth

>自分は?@と?Aからyを消去して(?@のy=a(x^2+x/a-α^2)を?Aのx^2+y^2=2α^2に代入)
> x^2+a^2(x^2+x/a-α^2)^2=2α^2
ここまでは同じです(a²で括らなくていいです)
ここで、この4次方程式が±αを解に持つことは知れているので(x²-α²)を因数に持つのは明らかです.
そこで、この固まりに着目すると
x²+{a(x²-α²)+x}²=2α²
(x²-α²)の形を崩さずに一部展開すると　
x²+a²(x²-α²)²+2ax(x²-α²)+x²=2α²
左辺に寄せて
2(x²-α²)+a²(x²-α²)²+2ax(x²-α²)=0
あとは(x²-α²)で括って
(x²-α²)(a²x²+2ax+2-a²α²)=0
を得ます.
上のようにすると比較的簡単に変形できると思います.
No.71720 - 2020/12/25(Fri) 10:35:34
☆ Re: 図形と方程式 / kei
mathmouth様

ありがとうございます！
x^-α^2の固まりを意識して展開していけば良いのですね！とても勉強になりました！
No.71725 - 2020/12/25(Fri) 13:46:24
★ 外心の軌跡 / kei
高校２年です。

放物線C:y=(1/4)x^2上に原点O以外の点Pをとる。PにおけるCの法線とCの交点をQとする(ただし、PとQは異なる)。点Pを自由に動かすとき、△OPQの外心の軌跡を求めよ、という問題なのですが

P(p,p^2/4) (p≠0)における法線
y=(-2/p)x+2+p^2/4とy=x^2/4とのP以外の交点のx座標-p-8/pを求めて、これをqとおきました。

次に、外心の座標を(x,y)とおき、この点3点P,Q,Rまでの距離が等しいので
x^2+y^2=(x-p)^2+(y-p^2/4)^2
=(x-q)^2+(y-q^2/4)^2

x=(-1/4)(p+(8/p))
y=2+(1/8)(p+(8/p))^2
と求まりました。

そして、２式からp+(8/p)を消去して
y=2x^2+2
また、|x|=(1/4)(|p|+(8/|p|))≧√2
(等号成立はp=±2√2)
で、p→±∞のとき|x|→∞

よって、求める軌跡は
放物線y=2x^2+2 (x≦-√2,x≧√2)

以上のような解答でよろしいでしょうか？
答がないので計算が合っているかは分からないのですが、考える過程でどこか変なところがありましたら、お教え下さい。どうぞよろしくお願い致します。
No.71708 - 2020/12/25(Fri) 01:42:26
★ (No Subject) / あんん
とある入試問題で、999975を素因数分解しなさい。という問題が出たのですが、大きい素数を素早く見つけられる方法はありますか？
この問題でその解説を是非よろしくお願いします。
No.71698 - 2020/12/24(Thu) 19:49:19
☆ Re: / IT
途中までは、999975=1000000-25=1000^2-5^2 を使って因数分解していますね。

その後の素数判別法ということでしょうか？
No.71701 - 2020/12/24(Thu) 20:24:13
☆ Re: / あんん
はい。
No.71702 - 2020/12/24(Thu) 21:00:39
☆ Re: / IT
地道に小さい素因数で割っていくしかないのでは？
999975＝1005*995
1005＝5*201＝5*3*67
995＝5*199
なので
67と199が素数であることを判別する問題になりますが、
9^2＝81、15＾2＝225　なので
素数でないとすると６７は９未満の素因数を持つ
素数でないとすると199は15未満の素因数を持ちます。

１４までの素数を列挙するのは容易なので、それらで割れるかためすのが早いのでは？
No.71703 - 2020/12/24(Thu) 21:43:41
☆ Re: / あんん
なるほど！ありがとうございます！
No.71723 - 2020/12/25(Fri) 12:58:19
★ 一次関数 / 受験生
一次関数の対象な点の求め方がわかりません。分かるかたよろしくお願いいたします。
No.71696 - 2020/12/24(Thu) 19:04:22
☆ Re: 一次関数 / IT
わからないと言われている「解説」を見ないと、それより分かり安く解説できるかどうか分からないと思います。
No.71697 - 2020/12/24(Thu) 19:44:59
☆ Re: 一次関数 / 関数電卓
トレーシングペーパーの方眼紙に直線 y=2x＋1 と点 (6,8) を書き，直線を折り目にして折り返してご覧なさい。点 (6,8) はどこに重なりますか？
No.71704 - 2020/12/24(Thu) 21:49:39
☆ Re: 一次関数 / 受験生
> わからないと言われている「解説」を見ないと、それより分かり安く解説できるかどうか分からないと思います。
すみません。追加しました。よろしくおねがいいたします。
No.71715 - 2020/12/25(Fri) 07:54:07
☆ Re: 一次関数 / らすかる
直線y=2x+1の傾きは2なので
この直線と直交する直線の傾きは-1/2
点(6,8)を通り傾きが-1/2の直線をy=-(1/2)x+aとおいて
(x,y)に(6,8)を代入してaを求めるとa=11
よって点(6,8)を通り傾きが-1/2の直線はy=-(1/2)x+11
この直線と元の直線の交点は
連立方程式y=2x+1,y=-(1/2)x+11を解いて(x,y)=(4,9)
従って点(6,8)から直線y=2x+1に垂線を下した点が(4,9)
(6,8)と対称な点を(p,q)とすると
(6,8)と(p,q)の中点が(4,9)だから
(6+p)/2=4, (8+q)/2=9
これを解いて p=2,q=10
従って求める点は(2,10)
No.71724 - 2020/12/25(Fri) 13:39:26
☆ Re: 一次関数 / IT
点A(6,8)、求める点をB(s,t) とおく。
直線y=2x+1の傾きは2なので、この直線と直交する直線の傾きは-1/2で
点Bは点Aを通る傾き-1/2の直線上にあるのでt=(-1/2)(s-6)+8=(-1/2)s+11

直線y=2x+1上の点P(5,11)をとる。（Pは直線上の適当な位置でいいです。）
PA^2＝PB^2 なので
PA^2＝(6-5)^2+(8-11)^2=PB^2=(s-5)^2+((-1/2)s)^2
∴s^2-8s+12=0 …(1)∴s=2,6 s≠6なので s=2
求める点B(2,10)

二次方程式(1)を解かなくても、一方の解＝６からs=８-６＝2と求まりますね。
No.71732 - 2020/12/25(Fri) 23:16:21
☆ Re: 一次関数 / IT
直線y=2x+1上の２点から等距離にあることを使っても求められますが、垂直な直線を使った方が計算が早そうですね。
No.71735 - 2020/12/26(Sat) 08:28:33
★ 小５算数教科書問題について / かずえい
写真の問題について、解答は、?@変わらない?A変わらない?Bいえる7.5平方センチ?Cいえる ですが、?Cの問題に関して納得がいきません。頂点Dを点Gまで移動させるとありますが、これが、三角形ＥDＦのDなのか、四角形ABCDのDなのかが、書いていないため、四角形のDとして、読み取った場合は、２分の１といえないという答えになると思うからです。設問として、不完全だと、私と担任はは考えておりますが、教科書会社では、三回も検定を通っているので、わかりにくいが、間違いではないとのことでした。いろんなところで、聞いてみようと思います。どのように思われますでしょうか？お手数お掛け致しますが、教えて頂ければと思います。
No.71690 - 2020/12/24(Thu) 16:33:07
☆ Re: 小５算数教科書問題について / ヨッシー
頂点Ａを点Ｅまで動かします。
頂点Ｃを点Ｆまで動かします。
さらに・・・
点の移動に関してはこのような流れになっていますし、
図もそれに沿って描かれているので、疑いの余地はないと思います。
△ＥＤＦのＤです。
No.71693 - 2020/12/24(Thu) 17:02:59
☆ Re: 小５算数教科書問題について / かずえい
ありがとうございます。

頂点A(点線の四角形ABCD)を点Ｅまで動かします
頂点C(点線の四角形ABCD)を点Ｆまで動かします
さらに・・・
という流れで、ここで突然、
頂点D(最後の図に記入していない三角形ＥDＦ)を点Gまで動かす
ということであれば、
今まで、点線の四角形からの移動は、図にも書いてあったのに、突然、図にかいていない三角形から移動するという流れは、変わってるように思います。
(底辺共有で高さの長さが同じ分には面積変わらずという流れは、変わってないと思いますが。)

最後の図で、三角形ＥGＦがかかれていることから、これを無駄にしないために、三角形ＥDＦからの移動であることを察する必要は、あるのかなと思いました。
が、かいてある要素が無駄になる問題もごくたまにあり、それが、決定権を持つかと言われれば、疑問もあります。
小学生の問題なので、あまりないかもしれませんが。

最後の図においては、
四角形ABCDのDから→がでているという要素
と
三角形ＥＦGができあがっているという要素
で、どちらをとるかにより、問題がどちらをきいているのかを推察しなければならないように思います。

そのことから、最後の図に三角形ＥGＦがかかれている、もしくは、問題文に三角形か四角形かの記入が必要があるように思いましたがいかがでしょうか？
No.71699 - 2020/12/24(Thu) 20:12:42
☆ Re: 小５算数教科書問題について / かずえい
ごめんなさい、最後の図にかかれているべきと思うのは、三角形ＥDＦです。間違いました。
No.71700 - 2020/12/24(Thu) 20:20:29
☆ Re: 小５算数教科書問題について / mathmouth
四角形上の点か三角形上の点かに着目しているからそのように「突然」と感じられるのかもしれませんが、そもそも四角形上の点か三角形上の点かをいちいち区別させるような記述は写真中には少なくともありません.
四角形上の点や三角形上の点など関係なしに手順通りに点を動かしていって、「さらに」という言葉からも?A→?Cでは?Aで動かした後の状態から?Cの操作を重ねているので何も不自然なことではありません.あと△EDFは2つ目の図に太線で描れてあるので、操作の記述も併せて考えれば△EDFの状態から頂点Dを動かしていくことがわかります.（最後の3つ目の図にも△EDF を描けば?Aの操作後と変わらない状態で図として変化がなく普通にわかりにくく不自然です.）

それでも「さらに」の意味が汲み取れず「記述だけでははじめの四角形の状態からなのかそれ以前の操作による移動後の三角形の状態からなのか」がわからないならば、それこそ右に添えられている図を見て判断すべきです.

「図だけでは決定するに至らない場合もある」とおっしゃっていますが、では今回の問題では何のために図があるのでしょう？そもそも操作自体図を頼りにして説明しているのに、「図なしでは判別がつかない」などと文句をつけても、「じゃあ図を見ればいいじゃん」となります.図に基づいて説明しているのに図を見て（推察というより）判断しないほうが不自然だと思います.

【補足】
「解答に必要ない無駄な要素を含む図もある」と述べられていますが、その場合は「その図なしで一意的に正解にたどりつけ、かつその図が正解に影響しない」ということであって、「図があってはじめて正解にたどりつけるような問題についても、その図を確実な根拠にしてはならない」ということではありません.（その「解答に必要ない無駄な図」も、何かしら問題と関連のある、児童の理解を補助する形の図となっているはずです.）

無駄な情報を含む図があるからといって、別にその図が誤りであるわけではないし、本来解答に必要な図も宛にならないというわけではありません.
図が添えてあればそれは解答を導くための道具として利用すべきであるし、本当に解答を導く上で無駄な図は利用しなければいいわけです.（別に図だけでなく、問題文の情報についても同じです.）

例えば
「ある問題文の中で無駄な情報が含まれている場合があるから、あらゆる問題文中の情報は解答に明確な決定権をもたない」という主張は明らかに誤りですよね？今回は上の主張で問題文→図としたものですが、これも同じく誤りではないですか？
No.71705 - 2020/12/24(Thu) 22:16:41
★ 中学数学が分からないです / アキラ
こういう問題が苦手で解き方が分からないので、教えていただけると助かります。
No.71688 - 2020/12/24(Thu) 16:22:02
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
こちらになります。
No.71689 - 2020/12/24(Thu) 16:22:31
☆ Re: 中学数学が分からないです / ヨッシー
(1)
<60> はいくつですか？
<27> はいくつですか？
それぞれ、60の約数の個数、27の約数の個数を訪ねています。
出来たら、引き算をします。
(2)
＝2 ということは、約数が２個ということです。
１の約数は１だけなので <1>＝１ です。
２の約数は 1, 2 の２個なので <2>＝２ です。
３の約数は 1, 3 の２個なので <3>＝２ です。
４の約数は 1, 2, 4 の３個なので <4>＝４ です。
では、約数が２個のものをいくつか並べてみましょう。
小さい方から　2, 3, 5, 7, 11 です。
そのような数で、２桁で最大のものを見つけます。
<99>＝6　約数は 1,3,9,11,33,99
<98>＝6　約数は 1,2,7,14.49.98
なのでこれらではありません。

(3)
<81> は実際に求めて、
　<x>2−12×<x>−9×<81>＝０
に代入します。
<x> を１つの文字として、この２次方程式を解きます。
そのうち正のものが <x> となります。
i)　ａm の約数の数は m+1 です。
ii)　ａmｂn の約数の数は (m+1)(n+1) です。
これを使って、i) の場合のｍ、ii) の場合のｍ，ｎを求めましょう。

とりあえずここまで。
No.71691 - 2020/12/24(Thu) 16:52:20
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
ありがとうございます。とりあえず(2)までは解けそうなので、やってみます。
No.71694 - 2020/12/24(Thu) 17:27:37
☆ Re: 中学数学が分からないです / ast
検算用に (本問で言う <x> は「約数の個数函数」のような名前で呼ばれる函数で, 一般には σ_0(x) のように書くほうが標準に近いようです):
(1): σ_0(60)-σ_0(27)
(2): σ_0(a)=2, 10≤a≤99 の整数解
(3): σ_0(x)^2-12σ_0(x)-9σ_0(81)=0, 100≤x≤999 の整数解
No.71695 - 2020/12/24(Thu) 17:38:51
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
(1)は9、(2)はa=97が正解だと思うのですが、(3)は<81>=5で、この与えられた二次方程式を解いて、<x>=15(＊ -3は不適)だと思うのですが、そのあとはどうすれば導けますか？
No.71757 - 2020/12/27(Sun) 05:32:14
☆ Re: 中学数学が分からないです / アキラ
求める自然数は、x=144で合ってますか？
No.71758 - 2020/12/27(Sun) 08:43:29
★ 図形問題 / kei
高校２年です。

3点A(-2,0),B(2,0),C(1,4)に対し、点P,Q,Rをそれぞれ辺AB,BC,CA上にとる。△PQRがRを直角の頂点とする直角二等辺三角形となるように3点を動かすとき、△PQRの面積が最小となるような点Pの座標を求めよ、という問題をお教え下さい。よろしくお願いします。

自分では
直線AC:y=(4/3)x+8/3
直線BC:y=-4x+8
なので、R(t,(4/3)t+8),P(x,0)とおいて
ベクトルRP=(x-t,-(4/3)t-8/3)を90°回転して
ベクトルRQ=((4/3)t+8/3,x-t)
ベクトルOQ=OR+RQ=((7t+8)/3,x+(t+8)/3)
点Qの座標を直線BCに代入して
x=(-29t-16)/3 ☆
-2≦☆≦2より-22/29≦t≦-10/29
この範囲で、☆をベクトルRPに代入して大きさを求め、直線二等辺三角形の面積を最小にするtの値からxを求めるとx=2となったのですが、答えが合いませんでした(計算ミスなのか根本的に解き方が違うのかは自分では分かりませんでした)。

正しい答えがP(-18/65,0)になることは分かっています。いつも質問してばかりで申し訳ございませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71684 - 2020/12/24(Thu) 12:49:35
☆ Re: 図形問題 / らすかる
多分計算ミスでしょう。
RP=(-16(2t+1)/3,-4(t+2)/3)
|RP|^2=256(2t+1)^2/9+16(t+2)^2/9
=(1040t^2+1088t+320)/9
=16(65t^2+68t+20)/9
=16{65(t+34/65)^2+144/65}/9
なので最小になるのはt=-34/65のとき
∴x=(-29t-16)/3=-18/65
No.71685 - 2020/12/24(Thu) 13:34:45
☆ Re: 図形問題 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
もう一度自分で計算してきちんと確かめてみます！
No.71686 - 2020/12/24(Thu) 13:46:15
☆ Re: 図形問題 / らすかる
Pの座標からRの座標が求められる方法の別解を作ってみました。
特に計算は簡単になりませんでしたが、こういう方法もあるということで
参考のために記載します。

Rを中心としてCを時計回りに90°回転した点をC'とすると
RC=RC'なので△RC'Cは直角二等辺三角形
よって直線CC'はAを中心としてCを時計回りに90°回転した点(2,-3)を
通るので直線CC'の方程式はy=-7x+11
↑PC'は↑QCを時計回りに90°回転したものだから直線PC'の傾きは1/4
よってPの座標を(t,0)とすると直線PC'の方程式はy=(1/4)(x-t)なので
C'の座標は((t+44)/29,(-7t+11)/29)
↑RC'は↑RCを時計回りに90°回転したものだから直線RC'の傾きは-(3/4)
よって直線RC'の方程式はy=-(3/4)(x-(t+44)/29)+(-7t+11)/29なので
直線AC(y=(4/3)(x+2))との交点であるRの座標は(-(3t+16)/29,-4(t-14)/29)
従ってPR^2={-16(2t+1)/29}^2+{-4(t-14)/29}^2=16{65(t+18/65)^2+13456/65}/841
によりPRが最小となるtは-18/65なのでP(-18/65,0)
No.71687 - 2020/12/24(Thu) 14:37:29
☆ Re: 図形問題 / kei
らすかる様

ご丁寧にありがとうございます。
お陰さまで無事に正解に辿り着けました！
No.71707 - 2020/12/25(Fri) 00:06:32
★ 数の性質 / 受験生
解説できればお願いします。
No.71679 - 2020/12/24(Thu) 08:31:36
☆ Re: 数の性質 / ヨッシー
例えば、３で割っても５で割っても１あまる最小の自然数は１です。
次に小さいのは　１＋１５＝１６　です。その次は３１です。
このように、最小のものを見つけたら、１５を足していけば、同じ性質の数を次々と見つけられます。
（たとえ、最小が見つからなくても、１５を引けば最小に近づく）
３で割ると１あまり、５で割ると３あまる　ということなので、
　3, 8, 13, 18 ・・・
の中で３で割ると１あまる数を見つけると、13 が見つかり、これが最小です。
２番めは　１３＋１５＝２８　です。
さて、３番めは？
No.71680 - 2020/12/24(Thu) 08:45:18
☆ Re: 数の性質 / らすかる
「3で割ると1余り5で割ると3余る自然数」に2を足すと
「3でも5でも割り切れる自然数」になります。
よって「3で割ると1余り5で割ると3余る自然数」は
15の倍数から2を引いた数ですから
15×1-2=13, 15×2-2=28, 15×3-2=43,・・・
のようになります。
No.71681 - 2020/12/24(Thu) 10:23:04
☆ Re: 数の性質 / 受験生
> 例えば、３で割っても５で割っても１あまる最小の自然数は１です。
> 次に小さいのは　１＋１５＝１６　です。その次は３１です。
> このように、最小のものを見つけたら、１５を足していけば、同じ性質の数を次々と見つけられます。
> （たとえ、最小が見つからなくても、１５を引けば最小に近づく）
> ３で割ると１あまり、５で割ると３あまる　ということなので、
> 　3, 8, 13, 18 ・・・
> の中で３で割ると１あまる数を見つけると、13 が見つかり、これが最小です。
> ２番めは　１３＋１５＝２８　です。
> さて、３番めは？

ありがとうございます。大変参考になりました！
No.71714 - 2020/12/25(Fri) 07:52:56
★ 空間ベクトル / kei
高校２年です。

四面体OABCにおいて、OA=OB=2,OC=1,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とする。
辺OA上に点Pをとり、△OBCの内部に点Qを
↑PQ・↑OB=↑PQ・↑OC=0
となるようにとる。点Pが辺OA上を自由に動くとき、四面体BCPQの体積の最大値を求めよ、という問題をお教え下さい。

自分では最低限、
△OABが正三角形、△OBCと△OCAが60°定規の形になり、AB=2,BC=CA=√3であることと、内積の条件からPQ⊥平面OBCであることは把握しました。

答えが(√2)/12であることは分かっています。
すみませんが、よろしくお願い致します。
No.71676 - 2020/12/24(Thu) 01:26:12
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー
１辺が２の正四面体ＯＡＢＤのＯＤの中点をＣとすると、
与えられた四面体ＯＡＢＣが出来ます。

図のように、ＰとＱが重なる方向からこの立体を見ます。
図の部分をｘとすると、Ｐの△ＯＢＣからの距離(高さ)ｈは、
　ｘ＝０　で　2√6/3　ｘ＝１　で　０
なので、
　ｈ＝2√6/3−(2√6/3)ｘ＝(2√6/3)(1−x)
また　ＢＣ＝√3　なので、四面体ＢＣＰＱの体積は
　(1/6)×√3×ｘ×(2√6/3)(1−x)＝(√2/3)(ｘ−ｘ^2)
となり、(中略)
ｘ＝1/2 のとき、最大値　√2/12 を取ります。
No.71678 - 2020/12/24(Thu) 07:13:38
☆ Re: 空間ベクトル / kei
ヨッシー様

とても良く分かりました！前回に続き、図も作って下さりありがとうございます。しっかり復習しておきます！
No.71683 - 2020/12/24(Thu) 12:29:35
★ 面積 / kei
高校２年(文系)です。

放物線y=(3/4)x^2-7/4をCとし、Cを原点を中心に時計回りに90度回転して得られる曲線をC'とする。CとC'は4個の交点を持ち、それらをx座標の小さい順にP,Q,R,Sとする。Cの弧QRとC'の弧QRによって囲まれる部分の面積を求めよ、という問題なのですが、

C':x=(3/4)y^2-7/4とCの交点のx座標を求めて
x=-5/3,-1,1/3,7/3
(求める過程でy=xと、y=-x-4/3とC,C'の交点を考えました)

このあと、文系範囲の問題なので本来は数?Vを用いずに解けるはずなのですが、自分は解法が思いつかず、強引に

∫[-1→1/3]{(-2/√3)√(x+3/4) -(3x^2/4-7/4)}dx=…=7/27

と求めたのですが(答えは正解にでした)、本当はどのように解くべき問題だったのでしょうか？

すみませんが、ご教授下さい。よろしくお願い致します。
No.71674 - 2020/12/24(Thu) 00:50:24
☆ Re: 面積 / IT
PQ 、QRをそれぞれ直線で結んでみればよいのでは？
No.71675 - 2020/12/24(Thu) 01:21:47
☆ Re: 面積 / kei
IT様

ありがとうございます！

直線QRと放物線Cで囲まれた面積(8/27)を求めた後、直線PQと放物線Cで囲まれた面積(1/27)を求めて、8/27から1/27を引いて無事に題意の面積が求まりました。
No.71677 - 2020/12/24(Thu) 01:39:20
★ 空間座標 / kei
高校２年です。

座標空間内に、xy平面と頂点Aのみを共有する立方体ABCD-EFGHがある。頂点B,D,Eのz成分がそれぞれ1,2,4であるとき、この立方体の一辺の長さを求めよ、という問題をお教え下さい。

答えが√21になることは分かっています。

Aを原点にもってきて、座標を色々置いてみたのですが、置き方が悪く文字だらけになり駄目でした(AB,AD,AEが互いに垂直になっていることもうまく利用できませんでした。外積なども一応知っています)。

すみませんが、よろしくお願い致します。
No.71670 - 2020/12/23(Wed) 21:52:09
☆ Re: 空間座標 / ヨッシー
立方体の１辺をａとし、座標空間上に
　Ａ(0,0,0)、Ｂ(a,0,0)、Ｄ(0,a,0)、Ｅ(0,0,a)
と置きます。この立方体を、ｘ軸周りにθ回転させます。
この時の変換式は
　Ｘ＝ｘ、Ｙ＝ｙcosθ−ｚsinθ、Ｚ＝ysinθ＋zcosθ
さらに、ｙ軸周りに−φ回転させます。
この時の変換式は、
　Ｘ＝−zsinφ＋ｘcosφ、Ｙ＝ｙ、Ｚ＝zcosφ＋xsinφ
です。これによって、
　Ｂ(a,0,0)→(a,0,0)→（ａcosφ,0,ａsinφ）
　Ｄ(0,a,0)→(0,ａcosθ,ａsinθ)→(−ａsinθsinφ,ａcosθ, ａsinθcosφ)
　Ｅ(0,0,a)→(0,−ａsinθ,ａcosθ)→(−ａcosθsinφ,−ａsinθ,ａcosθcosφ)
のように移ります。条件より
　ａsinφ＝１　　　・・・(i)
　ａsinθcosφ＝２　・・・(ii)
　ａcosθcosφ＝４　・・・(iii)
(ii)(iii)より
　sinθ：cosθ＝1：2 より sinθ＝1/√5, cosθ＝2/√5
(ii)に代入して、
　ａcosφ＝2√5
(i) とともに
　sinφ：cosφ＝１：2√5　より　sinφ＝1/√21, cosφ＝2√5/√21
(i) より
　ａ＝√21　・・・答え


No.71672 - 2020/12/23(Wed) 23:36:36
☆ Re: 空間座標 / kei
ヨッシー様

丁寧なご回答ありがとうございます！

教科書の三角関数の単元で、回転の話が発展事項として載っており、どんなときに使うかあまりイメージがわかなかったのですが、とても良く分かりました！(文系なので複素数平面もあまり深く学習していないので回転には疎かったです)

ご回答のように座標を定めた後、頂点Aだけがxy平面と共有するように、x軸回りにθ回転、y軸回りにΦ回転するのですね！(z成分が正なので、回転後の成分からθもΦも鋭角)

必要最小限の文字ですっきり解答できて、感動しました！(自分ではなるべく0が多く登場するように座標をおいてみましたが駄目だったので)

アニメーションも含めて、どうもありがとうございました！
No.71673 - 2020/12/24(Thu) 00:18:46
☆ Re: 空間座標 / ヨッシー
φをプラス側に取ると、ｚがマイナスの方に振れるので、
−φ としています。
そこだけご注意を。
No.71682 - 2020/12/24(Thu) 11:19:27
☆ Re: 空間座標 / kei
ヨッシー様

ありがとうございます！
気をつけます！(納得いたしました)
No.71706 - 2020/12/25(Fri) 00:03:29
★ 数A 余りによる整数の分類 / むりんご
n(n＋1)(5n＋1)は3の倍数であることを証明するとき、整数nをn＝3k、n＝3k＋1、n＝3k＋2に分けるのはどうしてですか？
No.71664 - 2020/12/23(Wed) 17:56:17
☆ Re: 数A 余りによる整数の分類 / ヨッシー
理由１：代入すると、３を含む項がいくつか出てきて、
３の倍数かどうかを調べるのに便利だから。
理由２：すべての整数ｎは、n＝3k、n＝3k＋1、n＝3k＋2 の
いずれかで表せるから。
No.71666 - 2020/12/23(Wed) 18:39:56
☆ Re: 数A 余りによる整数の分類 / むりんご
ありがとうございます！
No.71692 - 2020/12/24(Thu) 16:59:19
★ (No Subject) / 質問者
以下の問題について質問があります
A,B,Cが次の手順で優勝者を決定する。引き分けはないものとする。
1,くじによって３人の中から無作為に一人を選ぶ

2,くじで選ばれなかった二人で「ファーストステージ」を行う。そこでは互いに0ポイントの状態から何度か対戦し買ったものは１ポイントを得、先に２ポイント得たものを勝者とする。

3,「ファーストステージ」の勝者とくじで選ばれたもので勝負を行い先に２ポイント得たものを勝者とする。くじで選ばれたものは１ポイント得た状態からはじまる。

問１
まず、くじで選ばれたものがAである場合を考える。
AとB、AとC、BとCで対戦した時それぞれAが勝つ確率、Bが勝つ確率は1/2である。

くじで選ばれたものがAで、かつ「ファーストステージ」の勝者がBである確率?@

「ファーストステージの勝者がBという条件のもとでAが優勝する確率?A

くじで選ばれたものがAであるとき、Aが優勝者となる確率?B
とAが優勝者になったという条件の下で「ファーストステージ」の勝者がBであるという条件付確率?C

?@は1/3[(1/2)^2+2C1(1/2)^2(1/2)]＝1/6とわかります

?Aも条件付確率の考え方で1/6[1/2+1/4]÷ 1/6=3/4とわかります

?B?Cなんですが?Bについては解答に
1/2　×　3/4 + 1/2 ×3/4＝3/4とあるのですがここではなぜくじで選ばれたものがAであることを考えて×1/3をしないのでしょうか？
４でも同様に1/2 × 3/4 ÷　3/4 =1/2 となっています。


またこのいくつか後に来る問題で
AとBが戦いAが勝つ確率がx　AとCが戦いAが勝つ確率がｙ
[0<x<1,0<y<1]、ＢとＣが戦いＢが勝つ確率が2/3であるとする。くじで選ばれたものがＡであるとき以下の正誤を答えろ

1,x>1/2かつy>1/2のときＡが勝つ確率は1/2より大きい
2,x=y=1/2のときＡが優勝する確率は1/2より大きい

解説ではファーストステージの勝者がＢであったという条件の下でＡが優勝する確率をＸ、ファーストステージの勝者がＣという条件の下でＡが優勝する確率をＹとおく
Pをファーストステージの勝者がBである確率とするとき
Ａが優勝する確率は
XP+Y[1-P」　でx>=1/2かつｙ＞＝1/2のとき
Ｘ＞１/2かつＹ＞1/2より
ＸＰ+Ｙ「1-P]>1/2P+1/2[1-p]=1/2とあるのですが
ここがいまいち理解できません。　

Ｘ＝2/3×[x+[1-x]×x]÷2/3ですよね？
そうなるとXP+Y[1-P]=P[2x-x^2]+ [1-p][2y-y^2]となって上のような式にならないような気がするのですが。どの部分の考え方が間違っているのでしょうか？

解説よろしくお願いします。
No.71663 - 2020/12/23(Wed) 13:13:46
☆ Re: / ヨッシー
>なぜくじで選ばれたものがAであることを考えて×1/3をしないのでしょうか？
Ａが選ばれたことは確定なので、100% です。
同じ意味で、?Aも、Ｂが勝ったことは確定なので、そこから
　Ａが勝つ　1/2
　Ｂが勝ってＡが勝つ　1/4　合わせて　3/4
で十分です。

後に来る問題
1. 「Ａが勝つ」とは「Ａが優勝する」でしょうか？　以下、そうだとして...
ファーストステージでＢが勝つ確率
　(2/3)(2/3)＋(2/3)(1/3)(2/3)＋(1/3)(2/3)(2/3)＝20/27
この後、Ａが優勝する確率
　x＋(1-x)x＝2x−x^2
ファーストステージでＣが勝つ確率
　1−20/27＝7/27
この後、Ａが優勝する確率
　y＋(1-y)y＝2y−y^2
ご質問の表現だと、
　Ｘ＝2x−x^2、Ｙ＝2y−y^2、Ｐ＝20/27
となります。
　Ｘ＝2x−x^2 は、0＜x＜1 の範囲で単調増加で、x=1/2 のとき Ｘ＝3/4
　よって、x＞1/2 のときは、X＞3/4＞1/2
同様に、Ｙ＞1/2
ここまでで、とくに論理的誤りはありません。3/4 ではなく 1/2 で切るのは、
ＸＰ＋Ｙ(１−Ｐ) が 1/2 になる境目を示したものと思われます。
No.71665 - 2020/12/23(Wed) 18:37:08
☆ Re: / 質問者
ありがとうございます。疑問点が解決しました。
正しい表現はＡが優勝するですね。混乱させてしまい申し訳ありませんでした。
No.71668 - 2020/12/23(Wed) 19:47:17
★ ベクトル / kei
高校２年です。

以下、全体を通して見にくい文章で申し訳ありません。

ベクトル↑p,↑qは、
|↑p|=1
↑q・(↑q-↑p)=1
を満たしている。
このとき、|↑q|の最大値と|↑q-↑p||↑q+↑p|の最大値を求めよという問題なのですが、

まず、条件の第2式から
|↑q|^2-↑p・↑q=1

|↑q|^2
=1+↑p・↑q
=1+|↑p||↑q|cosθ (θは↑pと↑qのなす角)

ここで、|↑p|=1および-1≦cosθ≦1なので
1-|↑q|≦|↑q|^2≦1+|↑q|

∴|↑q|^2+|↑q|-1≧0,|↑q|^2-|↑q|-1≧0

|↑q|>0に注意して、連立不等式を解いて

(-1+√5)/2≦|↑q|≦(1+√5)/2
よって最大値|↑q|=(1+√5)/2 (θ=0のとき)

ここまでは解けました(一応、|↑q|の範囲ごと求めておきました)。

このあと、後半は与式を2乗して

|↑q-↑p|^2|↑q+↑p|^2
=(|↑q|^2+1-2↑p・↑q)(|↑q|^2+1+2↑p・↑q) ∵|↑p|=1
=|q|^4-2(2cos^θ-1)|q|^2+1
=(|↑q|-cos2θ)^2-cos^2(2θ)+1

をつくってみたのですが、ここでストップしてしまいました。

すみませんが、後半の大きさの積の最大値の求め方をお教え下さい。
答が4/√3になることは分かっています。

１日に何度も質問をして申し訳ありません。
No.71658 - 2020/12/23(Wed) 11:08:05
☆ Re: ベクトル / mathmouth
後半は、全てl↑qlで表してしまいましょう.
l↑ql²を固まりで捉えると二次関数となり、処理できます.
その際に前半で求めたl↑qlの範囲が効いてきます.
No.71661 - 2020/12/23(Wed) 12:56:52
☆ Re: ベクトル / らすかる
ベクトルの矢印は省略します。
|q|^2=1+|q|cosθからcosθ=(|q|^2-1)/|q|なので
|q|^4-2{2(cosθ)^2-1}|q|^2+1
=|q|^4-2{2(|q|^2-1)^2/|q|^2-1}|q|^2+1
=-3(|q|^2-5/3)^2+16/3
|q|^2-5/3=0すなわち|q|=√15/3のとき
cosθ=(5/3-1)/(√15/3)=2/√15なので
|q|=√15/3を満たすθは存在する。
よって|q-p|^2|q+p|^2は|q|^2-5/3=0のとき最大値16/3をとるので
|q-p||q+p|の最大値は4/√3。
No.71662 - 2020/12/23(Wed) 12:57:12
☆ Re: ベクトル / kei
らすかる様

どうもありがとうございます。
cosθを消去すれば良かったのですね！途中の計算過程を含め、ご丁寧な回答に感謝致します。
No.71669 - 2020/12/23(Wed) 20:29:59
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