空間内に2つの直線
l1:(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
l2:(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある.ただしs,tは媒介変数とする.このとき、次の問いに答えよ.
(1)l2上の点A(-1,1,-2)からl1へおろした垂線の足Hの座標を求めよ.
(2)l1,l2上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分PQの長さの最小値を求めよ.
この問題の（2）をできるだけ計算量が少なく単純に解ける方法を教えてほしいです。
答えは√6です。
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No.70715 - 2020/11/07(Sat) 17:00:58
| ☆ Re: / らすかる | | | 解法1
P(s+1,s+1,-s), Q(-1,-2t+1,t-2)から
PQ^2={(s+1)-(-1)}^2+{(s+1)-(-2t+1)}^2+{(-s)-(t-2)}^2
=3(s+t)^2+2(t-1)^2+6
だから、s+t=0,t-1=0すなわちs=-1,t=1のときに最小値√6をとる。
解法2
(1,a,b)・(1,1,-1)=1+a-b=0 かつ (1,a,b)・(0,-2,1)=-2a+b=0 を解くと
a=1,b=2だから、ベクトル(1,1,2)は2直線と垂直。
よってl1を含みl2と平行な平面はx+y+2z-2=0と表せるので、
(-1,1,-2)とその平面との距離を点と平面の距離の公式で求めて
|-1+1-4-2|/√(1^2+1^2+2^2)=√6。
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No.70728 - 2020/11/07(Sat) 21:44:41 |
| ☆ Re: / いいいい | | | (1,a,b)・(1,1,-1)=1+a-b=0 かつ (1,a,b)・(0,-2,1)=-2a+b=0 を解くと
の部分ですがなぜ（1,a,b）と初めからx座標が1とわかるんですか？
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No.70751 - 2020/11/08(Sun) 17:52:26 |
| ☆ Re: / らすかる | | | ベクトルで向きだけが必要で大きさは関係ありませんので、
そこの数字はいくつにしても問題ありません。
もし2にしたらa=2,b=4と求まって(2,2,4)になるだけです。
(a,b,c)としても問題はありませんが、そうすると
a=t,b=t,c=2t（tは任意の実数）のような答えになってかえって手間です。
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No.70760 - 2020/11/08(Sun) 21:10:25 |
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