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★ Σの計算 / kei
高校２年です。

Σ[k=1〜n](2k+1)/(k^4+2k^3++3k^2+2k+2) を計算せよ、という問題なのですが、

着眼点の良し悪しは別として、
分母が(k^2+k+1)^2+1
分子が(k+1)^2-k^2となっていることなどは分かったのですが、その後の良い式変形が分かりませんでした。

先程も似たような問題を質問したばかりで申し訳ありませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71770 - 2020/12/27(Sun) 13:26:55
☆ Re: Σの計算 / らすかる
分母は{(k+1)^2+1}{k^2+1}なので
1/{k^2+1}から1/{(k+1)^2+1}を引いてみると
1/{k^2+1}-1/{(k+1)^2+1}=(2k+1)/(k^4+2k^3+3k^2+2k+2)
となりますね。
No.71772 - 2020/12/27(Sun) 14:05:22
☆ Re: Σの計算 / kei
らすかる様

ご回答ありがとうございます。
なるほど！そうするのですね！無事に解決いたしました。
No.71791 - 2020/12/27(Sun) 23:48:25
★ (No Subject) / あべしんのすけ
この写真みたいな感じだったら等しくならないなぁ〜とおもってそこからわかりません
No.71769 - 2020/12/27(Sun) 13:11:39
★ (No Subject) / あべしんのすけ
これってどうやって掛けているのですか？等しくなるのは対称だからですか？
No.71768 - 2020/12/27(Sun) 13:09:29
☆ Re: / らすかる
a=bかつc=dならば
c=dの両辺にaを掛けて ac=ad
a=bの両辺にdを掛けて ad=bd
なので
ac=ad=bd
つまり
a=bかつc=dならば、辺々掛けた
ac=bd
も成り立つということです。

上の式で具体的に書くならば
(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3 の両辺に(2-√3)^nを掛ければ
(2+√3)^n(2-√3)^n=(a[n]+b[n]√3)(2-√3)^n … (1)
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3 の両辺に(a[n]+b[n]√3)を掛ければ
(a[n]+b[n]√3)(2-√3)^n=(a[n]+b[n]√3)(a[n]-b[n]√3) … (2)
(1)と(2)から
(a[n]+b[n]√3)(a[n]-b[n]√3)=(2+√3)^n(2-√3)^n
となります。
No.71773 - 2020/12/27(Sun) 14:08:25
☆ Re: / あべしんのすけ
すみなせん！自分がアホなこと考えてましたわかりました❗
No.71774 - 2020/12/27(Sun) 14:40:59
★ (No Subject) / うう
等比のかたちにするためにやっているのは分かるのですがなんで勝手にこのようにおくことにしていいのかが納得できません…
No.71763 - 2020/12/27(Sun) 12:01:13
☆ Re: / X
何故置いていいのかではありません。

これは飽くまで
?@のように
「計算をするのに都合のいい形に変形できることを仮定した」
場合、どうなるか
ということを確かめている、ということです。

?@のようなα、βの値が存在するのか
どうかはそれ以降の行の計算で確かめています。

添付写真の解答では、それ以降の今日の計算で
α、βの値が存在する
ことが分かったので、じゃあその結果を使いましょう
ということになっていますが、もし
α、βの値が存在しない
ことが分かれば問題の漸化式が
?@の形に変形できない
ということになります。
(実際変形できるようにこの問題は作られていますが。)

このようにある計算問題を解く場合、
もしこの計算式を計算しやすいような形に
「変形できたと仮定したら」
どのような結果が考えられるか
という考え方は高校数学ではよく使われます。

例でいえば二次方程式の解の公式の
導出過程で使う平方完成も広い意味で
言えば同じです。
No.71765 - 2020/12/27(Sun) 12:20:47
☆ Re: / うう
なるほどそういう感覚なんですね
納得しました！ありがとうございます
No.71766 - 2020/12/27(Sun) 12:46:22
★ Σの計算 / kei
高校２年です。

Σ[k=1〜n](k^4+4k^3+7k^2+4k+1)/(k^6+3k^5+3k^4+k^3)
を計算せよ、という問題なのですが

Σ[k=1〜n]{(k+1)^4+k^2}/{k^3(k+1)^3}
の形になっていことまでは分かったのですが、このあと、和をとってうまく答えにたどり着くためにはどのように式を差の形にすればよいかお教え下さい。

分子の第1,2項をそれぞれ分母とくっつけて
(k+1)/k^3 + 1/{k(k+1)^3}
として更なる変形を試みたのですがうまくいきませんでした。

よろしくお願い致します。
No.71759 - 2020/12/27(Sun) 09:39:59
☆ Re: Σの計算 / IT
(k+1)/k^3 + 1/{k(k+1)^3}
＝(k+1)(k-1)/(k-1)k^3 + 1/{k(k+1)^3}
=(k^2)/(k-1)k^3 -1/(k-1)k^3 + 1/{k(k+1)^3}
・・・

とするとできるのでは？
No.71761 - 2020/12/27(Sun) 10:43:24
☆ Re: Σの計算 / kei
IT様

ご回答ありがとうございます。

続きを計算して
{1/(k-1)-1/k}+{1/(k(k+1)^2)-1/((k-1)k^3)} ☆

与式=17/8+Σ[k=2〜n]☆
=3+1/(n(n+1)^3)-1/n ☆☆
=3-(n^2+3n+3)/(n+1)^3
=3-{(n+1)^2+(n+1)^2+(n+1)}/(n+1)^3
=3-1/(n+1)-1/(n+1)^2-1/(n+1)^3
(n=1のときも成立)

と綺麗な式になり(☆☆までたどり着ければ問題の趣旨的には大丈夫だとは思いますが)、いくつかのnで試したところ大丈夫でした！

いつもありがとうございます！
No.71767 - 2020/12/27(Sun) 12:50:37
★ ベクトル / えり
三角形ABCにおいて
BC＊CA=CA*AB＝AB*BC
の時どのような三角形か。（BC,CA…の式はベクトルです。）

私は単純に
BC＊CA=CA*ABよりBC=AB
BC＊CA=AB*BCよりCA=AB
なので三辺の長さが等しい、正三角形になる。
と考えたのですが、解答はベクトルを利用したものでした。

私の考え方にはどのような不備があるのでしょうか？
No.71755 - 2020/12/26(Sat) 22:06:40
☆ Re: ベクトル / IT
> 三角形ABCにおいて
> BC＊CA=CA*AB＝AB*BC
> の時どのような三角形か。（BC,CA…の式はベクトルです。）

BC＊CA　などは、ベクトルの内積ですよね？
BC＊CA=CA*AB　だからといって　|BC|=|AB| とは限りません。
ベクトルの内積の定義式を使ってBC＊CA=CA*Aを書き直して考えてみてください。
ベクトルの内積の定義は、基本事項ですからしっかり確認することをお勧めします。
No.71756 - 2020/12/26(Sat) 22:15:27
★ (No Subject) / 正月
N=2^5・3^4・5^3・7とする。またx，yは自然数とする
M＝2^3・3^5・5・7^2とする。
N/xが自然数でありかつmの約数となる最小のxの値は？
N/xが自然数になることより
X=2^a・3^b・5^c・7^dと表せる。
よってN/x=2^5−a・3^4−b・5^3-c・7^1-dと表せる
N/xが自然数であることより
5-a≧0，a≧0
4-b≧0，b≧0
3−c≧0，c≧0
1−d≧0，d≧0
⇔５≧a≧0 ,4≧b≧0，3≧c≧0,1≧d≧0…?@
またN./xはmの約数でもあるので
5-a≦3,4-b≦5,3-c≦5,1-d≦2
A≧2,b≧―1，c≧―2，d≧―1…?A
?@ ?Aよりa≧2,b≧0，c≧0，d≧0
よってx=2^2＝４…答え100
合わない

　X^2＝Nｙでありかつyはxの約数とする。この時x=ay( aは自然数)とするとa,N,yの関係式[2]が成り立ち(x,y)の組は全部で[3]組ある

N^2＝(ay)^2=Ny y(a^2y-N)=0
Y≠0よりa^2y=N ([2] の回答a^2y=N)
N=a^2yよりa=√N/y
Y＝2^s・3^t・5^u・7^vと表されるので
a=√(2^5-s・3^4-t・5^3-u・7^1-v)

aが自然数になる条件は
?@s=13,5
?At=0.2.4
?Bu=1, 3
?Cv=1
のすべてを満たす時なので3×3×2×1=18通り([3]の回答　18通り)

やり方あってますか？
No.71751 - 2020/12/26(Sat) 20:44:20
☆ Re: / ヨッシー
前半
考え方は合っていますが、?Aの式の１行上の立式が間違っています。
落ち着いて、４つの式１つ１つ確かめましょう。

後半
最初の N^2 は X^2 でしょうね。

それ以降は合っていますが、√を持ち出すと仰々しいので、
　N/y は平方数　→　指数が全て０以上の偶数
とした方が、読みやすいでしょう。

また、X と x, Y と y が混同されていますが、
意図して x と X を区別するような問題も出てくる
かもしれないので、区別する習慣を付けましょう。
携帯だと面倒でしょうが。
No.71754 - 2020/12/26(Sat) 21:47:37
★ 確率 / 奏
また確率の問題でご質問があります。

最初、箱Aには黒玉がn個、Bには白玉がn個入っている。箱Aから1個玉を取り出してBに入れ、その後箱Bから1個の玉を取り出してAに入れる試行をn回繰り返したとき、Aに黒玉が1個、白玉がn-1個入っている確率を求めよ。

n回中、１回だけAからBに入れた黒玉をBから取り出せばよいことは分かったのですが、それを何回目にAから取り出して、さらに何回目にBから取り出すかで頭が混乱してしまいました。

ご教授、よろしくお願いします。
No.71749 - 2020/12/26(Sat) 19:11:20
☆ Re: 確率 / IT
白黒交換しないのは、
　Aから白を取り出してBに入れ、Bから白を取り出してAに入れる場合。（同じ玉でなくてもいい）
　Aから黒を取り出してBに入れ、Bから黒を取り出してAに入れる場合。です

白黒交換しないのをk回目としてｋ＝１〜ｎについて合計する必要があると思います。
No.71750 - 2020/12/26(Sat) 19:39:32
☆ Re: 確率 / 奏
ありがとうございます！

k回目に白黒の交換が起こらない確率を考えてみました。黒玉を●、白玉を◯とすると、
A(●,◯)=(n-k+1,k-1)、B(●,◯)=(k-1,n-k+1)の状態で白黒の交換が起こらない確率は
●→●、◯→◯をとるときだから

{(n-k+1)/n}×{k/(n+1)}+{(k-1)/n}×{(n-k+2)/(n+1)}
={-2k^2+(2n+4)k-n+4}/{n(n+1)}

これに1〜(k-1)回目までの、ひたすらAから黒玉を放出していく確率
{(n/n)(n/(n+1))}×{((n-1/n)((n-1)/(n+1))}×…×{((n-k)/n)((n-k)/(n+1))
}
をかけて、さらに、k+1〜n回目にひたすらAから黒玉を放出していく確率をかけて、結局

n!/n^n × n!/(n+1)^n × {-2k^2+(2n+4)k-n+4}/{n(n+1)}

となったのですが、これがk回目に白玉と黒玉の交換が起こらない確率で(絶対に違う気がしています…)、あとはk=1〜nで和をとればよいのでしょうか？
とても支離滅裂な文章ですみません。よろしくお願いします。
No.71760 - 2020/12/27(Sun) 10:42:08
☆ Re: 確率 / IT
文章は、よくわかります。考え方はそれでいいと思います。

＞これに1〜(k-1)回目までの、ひたすらAから黒玉を放出していく確率　
以降の式と計算は確認していませんが、合っていれば

＞あとはk=1〜nで和をとればよいのでしょうか？
でいいと思います。

k^2,k の和なので計算はできますね。感覚的にｎが大きくなるとかなり小さくなるはずです。

めんどうな問題ですね？出典は何ですか？　もっといいやり方があるかもしれません。
No.71762 - 2020/12/27(Sun) 11:03:14
☆ Re: 確率 / らすかる
m回の試行後に
Aの黒玉がn-m個である確率をp[m]
Aの黒玉がn-m+1個である確率をq[m]
とすると
p[0]=1,q[0]=0,
p[m+1]=p[m]・{(n-m)/n}{(n-m)/(n+1)}={p[m]・(n-m)^2}/{n(n+1)} … (1)
q[m+1]=p[m]・{{(n-m)/n}{(m+1)/(n+1)}+{m/n}{(n-m+1)/(n+1)}}
　　　　+q[m]・{{(n-m+1)/n}{(n-m+1)/(n+1)}}
　　　={p[m]・(2mn-2m^2+n)+q[m]・(n-m+1)^2}/{n(n+1)} … (2)
(1)から
p[m]={n!/(n-m)!}^2/{n(n+1)}^m
(2)に代入して
q[m+1]=q[m]・(n-m+1)^2/{n(n+1)}
　　　　+(2mn-2m^2+n){n!/(n-m)!}^2/{n(n+1)}^(m+1)
f(m)=(n-m+1)^2/{n(n+1)},
g(m)=(2mn-2m^2+n){n!/(n-m)!}^2/{n(n+1)}^(m+1)
とおくと
q[m+1]=q[m]f(m)+g(m)なので
q[1]=g(0)
q[2]=q[1]f(1)+g(1)=g(0)f(1)+g(1)
q[3]=q[2]f(2)+g(2)=g(0)f(1)f(2)+g(1)f(2)+g(2)
q[4]=q[3]f(3)+g(3)=g(0)f(1)f(2)f(3)+g(1)f(2)f(3)+g(2)f(3)+f(3)
・・・
q[m]=q[m-1]f(m-1)+g(m-1)
　　=g(0)f(1)f(2)…f(m-1)+g(1)f(2)f(3)…f(m-1)+g(2)f(3)f(4)…f(m-1)
　　　+…+g(m-2)f(m-1)+g(m-1)
分母は全項共通で{n(n+1)}^m
g(0)f(1)f(2)…f(m-1)の分子は
(n-0){n!/n!}^2・n^2・(n-1)^2・(n-2)^2・…・(n-m+2)^2
=n{n!/(n-m+1)!}
g(1)f(2)f(3)…f(m-1)の分子は
(3n-2){n!/(n-1)!}^2・(n-1)^2・(n-2)^2・…・(n-m+2)^2
=(3n-2){n!/(n-m+1)!}^2
g(2)f(3)f(4)…f(m-1)の分子は
(5n-8){n!/(n-2)!}^2・(n-2)^2・(n-3)^2・…・(n-m+2)^2
=(5n-8){n!/(n-m+1)!}^2
・・・
g(k)f(k+1)f(k+2)…f(m-1)の分子は
{(2k+1)n-2k^2}{n!/(n-m+1)!}^2
のようになるので
q[m]=Σ[k=0〜m-1]{(2k+1)n-2k^2}{n!/(n-m+1)!}^2/{n(n+1)}^m
={n!/(n-m+1)!}^2/{n(n+1)}^m・Σ[k=0〜m-1]{(2k+1)n-2k^2}
={n!/(n-m+1)!}^2/{n(n+1)}^m・{(n+2)m^2-m(m+1)(2m+1)/3}
従って求める確率は
q[n]=(n!)^2/{n(n+1)}^n・{(n+2)n^2-n(n+1)(2n+1)/3}
=n(n^2+3n-1)(n!)^2/{3・{n(n+1)}^n}
No.71771 - 2020/12/27(Sun) 13:50:17
☆ Re: 確率 / 奏
IT様へ
つたない文章と解答、読んでいただきありがとうございます！
出典は先生が出してくれた問題です。はじめ、自分で問題を検索して調べてみたのですが、九州大学の2012の確率の問題が類題(？)で出てきたので、改作？だと思います。
題意を掴むので精一杯な私には面倒とかの判定すら出来ないので、少しホッとしています。

らすかる様へ
見た瞬間、思わずびっくりしてしまいました！
すごい！の一言です。IT様の返信で、私がすぐに解ける類いの問題でないことが分かり、安心していたのですが、ご回答を拝読して、より頑張ろうと思いました！本腰を入れて理解していきます。とても丁寧に説明して頂き本当にありがとうございました(前回の確率の問題でもお世話になりましたが、世の中にはこんなに凄い方がいらっしゃるのだなぁと思っています！)

皆様、本当にありがとうございました。
No.71775 - 2020/12/27(Sun) 16:33:33
☆ Re: 確率 / IT
> {(n-k+1)/n}×{k/(n+1)}+{(k-1)/n}×{(n-k+2)/(n+1)}
> ={-2k^2+(2n+4)k-n+4}/{n(n+1)}

は、
＝{-2k^2+(2n+4)k-n-2}/{n(n+1)} ですね。
これだと、らすかるさんの結果と一致しそうです。
No.71779 - 2020/12/27(Sun) 18:24:12
☆ Re: 確率 / IT
＞n!/n^n × n!/(n+1)^n × {-2k^2+(2n+4)k-n+2}/{n(n+1)}

/n(n+1) が１つ余分のようですね。
No.71780 - 2020/12/27(Sun) 18:32:22
☆ Re: 確率 / 奏
IT様へ
丁寧に見ていただきありがとうございます！
No.71793 - 2020/12/28(Mon) 10:26:57
★ (No Subject) / 正月
赤玉2個，青玉3個，白玉4個の合計9個の玉を横一列に並べる

(1)中央の玉が白玉であるような並べ方は全部で[1]通りある
(2)3個の青玉がいずれも隣合わないような並べ方は全部で[2]通りある
(3)左に白玉が3個中央より右に白玉が1個あるような並べ方は全部で[3]通りある
(4)中央より左にある白玉の数が中央より右にある白玉の数より多いような並び方は全部で[4]通りある

(1)中央に置く白玉を除いた3個を置く場所の選び方が8C3通り
それに対して赤玉を置く場所の選び方は5C2通りそれぞれ存在するので
8C3×5C2=560通り(解答560通り)
(2)青玉2つの組み合わせ=黄色玉とすると
赤玉2個，青玉1個，白玉4個，黄色玉1個の並べ方は
8C2×6C4×2=(8個の置く場所から赤玉を置く場所の選び方)×(残り6か所から白玉を置く場所の選び方)×(青玉と黄色玉の置き方は2通り）=1120
→青玉が2個隣合う場合と青玉が3個隣合う場合の両方が数えられる
また9個の玉を横一列に並べる並べ方は1260通りから
1260−1120=140通り(解答525通り)
合わない…


(3)中央より左側に白玉を3個置く時白玉の置き方は4C3=4通り
中央より右側に白玉を1個置く時白玉の置き方は4C1=4通り
残り5か所の場所から赤玉の置く場所の選び方は5C2=10通り
よって4C3×4C1×5C2=160通り(解答50通り)
全然合わない…
(4)中央より左側にある白玉が4個であるとき残りの玉の置き方は5C2=10通り(残りの5か所の場所のどこに赤玉を置くか)…＊
(3)の答えと＊より160＋10=170通り
(解答450通り)
全然合わない…
解説よろしくお願いします
No.71748 - 2020/12/26(Sat) 18:47:24
☆ Re: / IT
＞2)青玉2つの組み合わせ=黄色玉とすると
赤玉2個，青玉1個，白玉4個，黄色玉1個の並べ方は
8C2×6C4×2=(8個の置く場所から赤玉を置く場所の選び方)×(残り6か所から白玉を置く場所の選び方)×(青玉と黄色玉の置き方は2通り）=1120

＝８４０では？

このうち　青玉と黄玉が隣り合う場合,青黄、黄青の２通りがあるが
実は青玉３つが連続する１通りなので　差し引かないといけない。それが105通りあると思います。
No.71752 - 2020/12/26(Sat) 21:37:33
☆ Re: / ヨッシー
(2)
まず、＝1120 が誤りです。

次に、たとえば、
　赤赤青青青白白白白
という並びは
　赤赤黄青白白白白
　赤赤青黄白白白白
の２回数えられているので、青が３個並ぶ場合をＡ通りとすると
青が隣り合う並べ方は
　(上の1120を直した数)−Ａ
となります。

(3)
その問題の通りなら、160通りで良いと思います。
50は別の問題の答えでは？

(4)
左右に白が２個ずつ来るのは
　4Ｃ2×4Ｃ2×5Ｃ2＝360
それ以外の
　1260−360＝900(通り)
は、ある並べ方が左が多ければ、それを反対にした並べ方は右が多いので、
左が多いのと、右が多いのは同数だけある。よって、
　900÷2＝450

また、上のように足し算でやるなら、
　白が左に４個　1×5Ｃ2＝10
　白が左に３個、右に１個　4Ｃ3×4Ｃ1×5Ｃ2＝160
　白が左に３個、右に０個　4Ｃ3×5Ｃ2＝40
　白が左に２個、右に１個　4Ｃ2×4Ｃ1×5Ｃ2＝240
合計　10＋160＋40＋240＝450　です。
No.71753 - 2020/12/26(Sat) 21:41:38
★ (No Subject) / 正月
CA=8,∠ACB=45度の三角形ABCがある。三角形ABCの面積は24である。

(1)BC=[11]でありAB＝[12]。またcos∠BAC＝[13]である。
[11]=6√2, [12]=2√10,[13]=√10/10
(2)辺BCのCの方への延長線上にAD=4√5となる点Dをとる。この時▲ACD
の外接円の半径は[14]であり▲ABDの外接円の半径は[15]である。

[14]2√10，[15]5
[15]の答えが5にならない…
∠BCA=45度より∠DCA=135度
よって正弦定理より
4√5/sin135=2R
R=2√10

また三角形ABCにおいて余弦定理から
64＝72 ＋40−2・6√2・2√10cosB
cosB=-√5/15
よってsinABD=2√55/15
▲ABDに正弦定理を適用させると
4√5/sinABD=2r r=3√55/11
答え5になりません。
No.71746 - 2020/12/26(Sat) 18:23:55
☆ Re: / ヨッシー
>cosB=-√5/15
が違います。
その上の式は合っているので、
計算ミスでしょう。
No.71747 - 2020/12/26(Sat) 18:31:17
★ 確率 / 奏
次の問題を教えて下さい。

６個の玉と２つの箱A、Bがある。最初A、Bにはそれぞれ３個ずつ玉が入っている。次の操作(R)に従って玉をA、Bの間で移すことを繰り返す。
(R):サイコロを振り、出た目が３で割って１余る数ならば１個、２余る数ならば２個、割り切れる数ならば３個、入っている玉の数が多い箱から少ない箱へと玉を移す。ただし、箱の中に入っている玉の数が同じときは等確率で玉を取り出す箱を選ぶものとする。
操作(R)をn回行った後、Aの箱に６個の玉が入っている確率を求めよ。

n−１回目にAとBに玉が３個ずつ入っている確率に１／６をかければよいことは分かるのですが・・・

よろしくお願いします。
No.71743 - 2020/12/26(Sat) 14:51:06
☆ Re: 確率 / IT
n回目にAにｋ個入っている確率をP(n,k)とすると

P(n+1,3)=(1/3)(P(n,0)+P(n,1)+P(n,2)+P(n,4)+P(n,5)+P(n,6))=(1/3)(1-P(n,3)) となりませんか？
No.71744 - 2020/12/26(Sat) 15:39:40
☆ Re: 確率 / 奏
ありがとうございます。
P(n,3)=1/4{1-(-1/3)^n}と求まり、求める確率=1/24{1-(-1/3)^(n-1)}と求められました。
No.71745 - 2020/12/26(Sat) 16:58:37
★ 漸化式 / kei
高校２年です。

続けての質問で申し訳ありません。

a[1]=1,a[2]=3
a[n+1]-{(4n+2)/(n+1)}a[n]+{(4n-4)/n}a[n-1]=0 (n≧2)
によって定められる数列{a[n]}の一般項を求めよ、という問題をお教え下さい。

数式が読みづらくて申し訳ないのですが、a[n]の係数が-(4n+2)/(n+1)という分数で、a[n-1]の係数が(4n-4)/nという分数になっています。
また、答はa[n]=(n+1)・2^(n-2)であることが分かっています。

自分ではb[n]=a[n]/(n+1)とおいて漸化式を作ってみたのですが
b[n+2]-{4-6/(n+3)}b[n+1]+{4-12/(n+3)}b[n]=0
となり、この形ではn+3がある以上解けなさそうだと思い止まってしまいました。

よろしくお願い致します。
No.71737 - 2020/12/26(Sat) 10:16:26
☆ Re: 漸化式 / IT
＞自分ではb[n]=a[n]/(n+1)とおいて漸化式を作ってみたのですが
> b[n+2]-{4-6/(n+3)}b[n+1]+{4-12/(n+3)}b[n]=0 となり・・

a[n]=(n+1)b[n] を元の漸化式にいれるとそうなりますか？
計算間違いか、変形結果が分かりにくいのだと思います。
No.71738 - 2020/12/26(Sat) 11:16:18
☆ Re: 漸化式 / IT
(n+2)b[n+1]-(4n+2)b[n]+(4n-4)b[n-1]) =0
(n+2)b[n+1]-2nb[n]=2((n+1)b[n]-2(n-1)b[n-1])
になりませんか？
No.71739 - 2020/12/26(Sat) 11:23:15
☆ Re: 漸化式 / kei
IT様

ご回答ありがとうございます。
ご指摘の通りでした！(無事に答えまで辿り着けました)

最初の置き換えで、b[n]=2a[n]/(n+1)とおくのが一番良かったようです。

お騒がせしてすみませんでした(よく注意してから質問するように心がけます)。
No.71740 - 2020/12/26(Sat) 12:13:34
★ 漸化式 / kei
高校２年です。

2a[n]S[n]=a[n]^2+3n^2 (n≧1)によって定められる正の数列{a[n]}の一般項を求めよ、という問題をお教え下さい。S[n]はa[1]からa[n]までの和を表してます。

答は
a[n]=√{(1/2)n(n+1)(2n+1)} - √{(1/2)(n-1)n(2n-1)}
であることが分かっています。

自分ではa[1]=√3であること、また、与えられた漸化式の両辺をa[n]で割って、添字をn+1に置き換えた漸化式から元の漸化式を引いて整理した

a[n+1]+a[n]=3(n+1)^2/a[n+1] - 3n^2/a[n]

を導いた後、右辺を(n/√a[n])^2の形で見たりしたのですが分かりませんでした。

いつも申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.71733 - 2020/12/26(Sat) 05:18:24
☆ Re: 漸化式 / らすかる
2a[n]S[n]=(a[n])^2+3n^2
Σ[k=1〜n]2a[k]S[k]=Σ[k=1〜n](a[k])^2+Σ[k=1〜n]3k^2
Σ[k=1〜n]2a[k]S[k]-Σ[k=1〜n](a[k])^2=Σ[k=1〜n]3k^2
2Σ[k=1〜n](a[k])^2+2Σ[1≦i＜j≦n]a[i]a[j]-Σ[k=1〜n](a[k])^2=Σ[k=1〜n]3k^2
Σ[k=1〜n](a[k])^2+2Σ[1≦i＜j≦n]a[i]a[j]=Σ[k=1〜n]3k^2
(S[n])^2=n(n+1)(2n+1)/2
∴S[n]=√{n(n+1)(2n+1)/2}　（∵全項が正）
従ってn≧2のとき
a[n]=S[n]-S[n-1]=√{n(n+1)(2n+1)/2}-√{(n-1)n(2n-1)/2}
となり、この式はn=1のときも成り立つのでこれが答え。
No.71734 - 2020/12/26(Sat) 06:10:37
☆ Re: 漸化式 / kei
らすかる様

ありがとうございます！

Σ[k=1〜n]2a[k]S[k]=Σ[k=1〜n](a[k])^2+Σ[k=1〜n]3k^2
として両辺の和をとるなんて思いつきもしませんでした！ずっと考えていたので感動しています！(低レベルですみません)

(a[1]+a[2]+…+a[n])^2=Σ[k=1〜n]a[k]^2+2Σ[1≦i<j≦n]a[i]a[j]もよく確認しておきます(漸化式でも使うことになるとは…)。とても勉強になりました！
No.71736 - 2020/12/26(Sat) 09:58:06
★ 確率 / 奏
先ほどはお世話になりました。
もう一問だけ確率の問題を教えて下さい。

?@から?Cまでの数が書かれた4枚のカードが?@?A?B?Cの順で並べられている。このうちの２枚を無作為に選び、その位置を入れ替えることを繰り返す。入れ替えを2n回行った後、カードの順が?@?A?B?Cとなっている確率を求めよ。

よろしくお願いします。
No.71730 - 2020/12/25(Fri) 17:25:00
☆ Re: 確率 / らすかる
全24通りのうち偶数回の入れ替えで出現するパターンは
(a) 1234
(b) 1342 1423 2314 2431 3124 3241 4132 4213
(c) 2143 3412 4321
の12通り
(a)のとき2回の入れ替えで
(a)に戻る確率は1/6
(b)に移る確率は2/3
(c)に移る確率は1/6
(b)のとき2回の入れ替えで
(a)に移る確率は1/12
(b)に戻る確率は2/3
(c)に移る確率は1/4
(c)のとき2回の入れ替えで
(a)に移る確率は1/18
(b)に移る確率は2/3
(c)に戻る確率は5/18
よってn≧1のとき2n回後の入れ替えで
(a)となっている確率をp[n]
(b)となっている確率をq[n]
(c)となっている確率をr[n]
とすると
p[1]=1/6, q[1]=2/3, r[1]=1/6
p[n+1]=(1/6)p[n]+(1/12)q[n]+(1/18)r[n]
q[n+1]=(2/3)p[n]+(2/3)q[n]+(2/3)r[n]
r[n+1]=(1/6)p[n]+(1/4)q[n]+(5/18)r[n]
これを解いて
p[n]=1/12+3/(4・9^n)
q[n]=2/3
r[n]=1/4-3/(4・9^n)
よって2n回後に1234となっている確率は1/12+3/(4・9^n)
No.71731 - 2020/12/25(Fri) 22:03:31
☆ Re: 確率 / 奏
こんなに丁寧に解説して下さり、ありがとうございました！とても自力では無理でした。
No.71742 - 2020/12/26(Sat) 13:35:26
★ 「 y=(2x)/(1+x)」が「y=2-2/(x+1)」となる式変形の途中式について / ニック
質問失礼いたします。

ある書籍で出題されている、次の関数

y=(2x)/(1+x)

のグラフを描けという問題について、解答の冒頭で

y=2-2/(x+1)だから、[...]

というように式変形がされた前提で解説が始まっているのですが、どのように式変形がされているのか考えてはみたものの結局分かりませんでした。

y=(2x)/(1+x)
が
y=2-2/(x+1)
となる式変形の途中式を教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
No.71726 - 2020/12/25(Fri) 14:40:00
☆ Re: 「 y=(2x)/(1+x)」が「y=2-2/(x+1)」となる式変形の途中式について / ヨッシー
y=(2x)/(1+x)=(2x+2-2)/(1+x)
=(2x+2)/(x+1)-2/(1+x)
=2(x+1)/(1+x)-2/(1+x)
=2-2/(1+x)
です。
No.71727 - 2020/12/25(Fri) 15:25:34
☆ Re: 「 y=(2x)/(1+x)」が「y=2-2/(x+1)」となる式変形の途中式について / ニック
>=(2x+2)/(x+1)-2/(1+x)
>=2(x+1)/(1+x)-2/(1+x)
大変丁寧に回答いただきありがとうございました。理解することができました！
No.71728 - 2020/12/25(Fri) 16:25:51
★ 確率 / 奏
次の問題を教えてください。

次の方法で12人の中から委員を選ぶ。選ばれる委員の数が4人になる確率および5人になる確率を求めよ。
選び方:12人の中から2人を記した計66枚のカードを用意し、その中から3枚を取り出す。3枚のカードに記されている人が委員になる(選ばれる委員の数は3人から6人まで考えられる)。

よろしくお願いします。
No.71719 - 2020/12/25(Fri) 10:01:16
☆ Re: 確率 / ヨッシー
カードの選び方は全部で
　66Ｃ3＝45760（通り）
3人になるのは　（A,B)(B,C)(A,C) というパターンの３枚を選んだとき
　こういう場合は　12Ｃ3＝220（通り）　あります。
4人になるのは　（A,B)(B,C)(C,D) というパターンの３枚を選んだとき
　B と C に当たる人の選び方は　12Ｃ2＝66（通り）
　A と D に当たる人の選び方は　10Ｐ2＝90（通り）
　合計　66×90＝5940（通り）
また、4人になるのは　（A,B)(A,C)(A,D) というパターンの３枚を選んだとき
　A に当たる人の選び方は　12通り
　B と C と D に当たる人の選び方は　11Ｃ3＝165（通り）
　合計　12×165＝1980（通り）
5人になるのは　（A,B)(B,C)(D,E) というパターンの３枚を選んだとき
　B に当たる人の選び方は　12通り
　A と C に当たる人の選び方は　11Ｃ2＝55（通り）
　D と E に当たる人の選び方は　9Ｃ2＝36（通り）
　合計　12×55×36＝23760（通り）
6人になるのは　（A,B)(C,D)(E,F) というパターンの３枚を選んだとき
　こういう場合は　12Ｃ2×10Ｃ2×8Ｃ2÷３！＝13860（通り）
以上の合計が
　220＋5940＋1980＋23760＋13860＝45760
となり、漏れがないことが分かります。（通常の解答ではここまで書く必要はありません）

求める確率は
　４人　(5940＋1980)/45760＝9/52
　５人　23760/45760＝27/52
ちなみに
　３人　220/45760＝1/208
　６人　13860/45760＝63/208
です。
No.71722 - 2020/12/25(Fri) 12:47:33
☆ Re: 確率 / 奏
とてもよく分かりました。全ての場合を説明して下さりありがとうございます！
No.71729 - 2020/12/25(Fri) 17:10:39
★ 割り算 / 雪坊主
中学です。

３で割ると１余る
５で割ると１余る
７で割ると１余る
１１で割ると６余る
これを満たす最小の正の整数を求めよ

これはどうすれば解けますか？

3×5×7×n+1だと上の３つの条件を満たすとおもうのですが、11で割って6余るをどうつなげたらよいのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.71716 - 2020/12/25(Fri) 09:13:45
☆ Re: 割り算 / ヨッシー
もちろん、106, 211, 316, 421 ・・・から、11で割ると６あまる数を
探す方法でも、高々10回以内には見つかるのですが、
もう少し、数学っぽく考えると．．．
　105n＋1
が 11で割ると6あまるとします。
　105＝11×9＋6
なので、
　105n＋1＝(11×9＋6)n＋1＝11×9n＋6n＋1
より、6n＋1 が11で割って6あまるような n を見つけます。
さらに　6n＋1＝6(n-1)＋1＋6 より
　6(n-1)＋1
が11で割れれば、条件を満たします。※

そのような n は 10 で 1051 が求める数となります。

※の見つけ方として、実際には 11の倍数で、1を引くと6の倍数に
　なるような数を見つける方が、回数が最大5回ですみます。
その場合は、
　6(n-1)＋1＝11m
とおく事になりますが、きりがないので省略しました。
No.71718 - 2020/12/25(Fri) 09:52:14
☆ Re: 割り算 / 雪坊主
ありがとうございました。
わかりました！！
No.71721 - 2020/12/25(Fri) 10:40:22
★ 整数問題 / kei
高校２年です。

方程式 2x^2+6x-y^3-50=0 の整数解を求めよ、という問題をお教え下さい。

自分では
2(x^2+3x-25)=y^3
と変形してyが偶数と分かるのでy=2zとおいてみたり、x^2+3x-25=4k^3などとおいて試してみたのですが分かりませんでした。また、答は分かっていません。

どうぞよろしくお願い致します。
No.71712 - 2020/12/25(Fri) 07:20:24
☆ Re: 整数問題 / X
方針に問題はありません。
でそこからですが
x^2+3x-25=4k^3
の左辺はxの偶奇によらず奇数になりますので
問題の整数解は存在しません。
(元の問題文に誤植はありませんか？)
No.71713 - 2020/12/25(Fri) 07:49:10
☆ Re: 整数問題 / kei
X様

ありがとうございます。問題文ですが、原文通りなので「解なし」で大丈夫のようです。
お騒がせしてすみませんでした。
No.71717 - 2020/12/25(Fri) 09:21:01
★ 図形と方程式 / kei
高校２年です。

放物線C:y=ax^2+x-b (a≠0)と直線y=xが2つの異なる交点A,Bをもつ。このとき、放物線CとABを直径とする円Dが交点を4個もつa,bの条件を求めよ。また、4交点を通る放物線のうち、軸がx軸と平行なものを求めよ、という問題をお教え下さい。

答えがab>1,x=ay^2+y-b であることは分かっています。

A,Bのx座標をα、βとおいて円の方程式と放物線の式と連立したりして考えたのですが、式が膨らむばかりで方針が違うのだと思っています。

続けての投稿で申し訳ありませんが、どうぞよろしくお願い致します。
No.71709 - 2020/12/25(Fri) 02:01:54
☆ Re: 図形と方程式 / mathmouth
方針はそれでいいと思います.
放物線C:y=ax²+x-b (a≠0)…?@と直線y=xを連立させることにより、この２交点のx座標は2次方程式ax²-b=0の２解ですので、交点のx座標はα>0 なる実数αを用いてα,-αと書け（b<0は明らかに不適）,また円の方程式はx²+y²=2α²…?Aと書けます.

放物線の方程式はyがxの関数となる形で表され、ゆえにxに対してyがただ１つに決まるので、
求める必要十分条件は
　?@かつ?Aを満たす実数（x,y）の組がちょうど4つ存在するような正の実数αが存在する（別にα,-αの2つを考えたので「正の」はなくても構いません.）
⇔
?@と?Aからyを消去したxの4次方程式
(x²-α²)(a²x²+2ax+2-a²α²)=0
がちょうど4つの異なる実数解を持ち
かつ
b=aα²なるような正の実数αが存在する
⇔
xの2次方程式a²x²+2ax+2-a²α²=0…?B
が±α以外の異なる2つの実数解を持ち(但し?Bが±αを解にもたないのは図から明らかである.)
かつ
b=aα²なるような正の実数αが存在する　
⇔
(?Bの判別式)>0 かつb=aα²なる正の実数αが存在する
⇔
a²α²>1かつb=aα²なる正の実数αが存在する
⇔
ab>1かつα²=b/aなる正の実数αが存在する
⇔
ab>1
となります.
後半の4点を通る放物線の方程式は自力で求められると思います.
※上の解答では所与のa≠0の下で同値変形しています.
※同値関係を明示して書きましたが、高校数学(受験数学)ではもう少しラフに日本語を交えながら書いてもいいと思います.
※もっと楽なやり方があるかもしれません.
No.71710 - 2020/12/25(Fri) 04:07:58
☆ Re: 図形と方程式 / kei
mathmouth様

とても丁寧なご回答ありがとうございます。
一つ一つ順を追って考えることができ、とても良く分かりました！

計算過程で伺いたいことがあるのですが、自分は?@と?Aからyを消去して(?@のy=a(x^2+x/a-α^2)を?Aのx^2+y^2=2α^2に代入)

x^2+a^2(x^2+x/a-α^2)^2=2α^2

を導いた後、この式を整理して

a^2x^4+2ax^3+2(1-a^2α^2)x^2
-2aα^2x+a^2α^4-2α^2=0

この式の左辺を、x^2-α^2で割ることでご回答にあります

(x²-α²)(a²x²+2ax+2-a²α²)=0

を導いたのですが、それで合っていますでしょうか？なかなか大変な計算で少し不安になりました。もし、遠回りな計算をしている場合はお教えいただけますか？よろしくお願い致します。
No.71711 - 2020/12/25(Fri) 05:55:29
☆ Re: 図形と方程式 / mathmouth

>自分は?@と?Aからyを消去して(?@のy=a(x^2+x/a-α^2)を?Aのx^2+y^2=2α^2に代入)
> x^2+a^2(x^2+x/a-α^2)^2=2α^2
ここまでは同じです(a²で括らなくていいです)
ここで、この4次方程式が±αを解に持つことは知れているので(x²-α²)を因数に持つのは明らかです.
そこで、この固まりに着目すると
x²+{a(x²-α²)+x}²=2α²
(x²-α²)の形を崩さずに一部展開すると　
x²+a²(x²-α²)²+2ax(x²-α²)+x²=2α²
左辺に寄せて
2(x²-α²)+a²(x²-α²)²+2ax(x²-α²)=0
あとは(x²-α²)で括って
(x²-α²)(a²x²+2ax+2-a²α²)=0
を得ます.
上のようにすると比較的簡単に変形できると思います.
No.71720 - 2020/12/25(Fri) 10:35:34
☆ Re: 図形と方程式 / kei
mathmouth様

ありがとうございます！
x^-α^2の固まりを意識して展開していけば良いのですね！とても勉強になりました！
No.71725 - 2020/12/25(Fri) 13:46:24
★ 外心の軌跡 / kei
高校２年です。

放物線C:y=(1/4)x^2上に原点O以外の点Pをとる。PにおけるCの法線とCの交点をQとする(ただし、PとQは異なる)。点Pを自由に動かすとき、△OPQの外心の軌跡を求めよ、という問題なのですが

P(p,p^2/4) (p≠0)における法線
y=(-2/p)x+2+p^2/4とy=x^2/4とのP以外の交点のx座標-p-8/pを求めて、これをqとおきました。

次に、外心の座標を(x,y)とおき、この点3点P,Q,Rまでの距離が等しいので
x^2+y^2=(x-p)^2+(y-p^2/4)^2
=(x-q)^2+(y-q^2/4)^2

x=(-1/4)(p+(8/p))
y=2+(1/8)(p+(8/p))^2
と求まりました。

そして、２式からp+(8/p)を消去して
y=2x^2+2
また、|x|=(1/4)(|p|+(8/|p|))≧√2
(等号成立はp=±2√2)
で、p→±∞のとき|x|→∞

よって、求める軌跡は
放物線y=2x^2+2 (x≦-√2,x≧√2)

以上のような解答でよろしいでしょうか？
答がないので計算が合っているかは分からないのですが、考える過程でどこか変なところがありましたら、お教え下さい。どうぞよろしくお願い致します。
No.71708 - 2020/12/25(Fri) 01:42:26
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