ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / pinkpocket

自然数nに対し、√nに最も近い整数をａnとする.
(1)ｍを自然数とするとき、ａn＝ｍとなる自然数nの個数をｍを用いて表せ.
(2)Σk=1→2001(ａk)を求めよ.

この写真の解法より早い方法はありますか？

No.70668 - 2020/11/05(Thu) 10:58:34

☆ Re: / らすかる

a[k]=mを満たす項a[k]をまとめて第m群とする.
√2001≒√2000=20√5≒44.7、44.5^2=1980.25だからa[2001]は第45群の21番目。
（∵44.7を四捨五入すると45、1980.25より大きい最小の整数は1981なので2001-1981+1=21）
したがって，（以降同じ）

No.70678 - 2020/11/05(Thu) 19:48:31

☆ Re: / pinkpocket

ありがとうございます。

No.70680 - 2020/11/05(Thu) 20:56:23

★ (No Subject) / 天才

sinxsinysinz=1を満たすxyzの取りうる範囲を求めよ。

No.70663 - 2020/11/05(Thu) 06:35:02

☆ Re: / らすかる

-1≦sinx,siny,sinz≦1なので
sinx=siny=sinz=1 または
sinx=1,siny=sinz=-1 または
siny=1,sinz=sinx=-1 または
sinz=1,sinx=siny=-1
よって
「x=(4p+1)π/2 かつ y=(4q+1)π/2 かつ z=(4r+1)π/2」または
「x=(4p+1)π/2 かつ y=(4q-1)π/2 かつ z=(4r-1)π/2」または
「x=(4p-1)π/2 かつ y=(4q+1)π/2 かつ z=(4r-1)π/2」または
「x=(4p-1)π/2 かつ y=(4q-1)π/2 かつ z=(4r+1)π/2」
（p,q,rは任意の整数）
なので、xyzがとる範囲は
xyz=(4n+1)π^3/8（nは任意の整数）

No.70665 - 2020/11/05(Thu) 06:48:08

☆ Re: / 天才

素晴らしいです。

No.70687 - 2020/11/06(Fri) 04:10:05

★ (No Subject) / あ

(独立集合の性質)
ベクトル空間 W に属する二つのベクトルの集合 X := {x1, . . . , xr}
と Y := {y1, . . . , ys} がいずれも一次独立であり、かつ X のサイズ
が Y より小さい (r < s) ならば、Y \ X に属する少なくとも一つの
ベクトル y について集合 X ∪ {y} = {x1, . . . , xr
, y} は再び一次独立。
レポート課題 7
先程証明した定理 (言明:ベクトル空間 V の全ての基底のサイズは
同一である。) を用いて、上記の系 (独立集合の性質) を証明せよ。

No.70659 - 2020/11/04(Wed) 22:34:35

★ (No Subject) / いいいい

nを自然数とする。 |x|+|y|+|z|≦n となる3つの整数の組(x,y,z)の個数を求めよ.

答えは(1/3)(2n+1)(2n^2+2n+3)です。

この問題を立体的に解くことは可能ですか？

No.70653 - 2020/11/04(Wed) 18:36:28

☆ Re: / らすかる

求める個数は、6頂点が(±n,0,0),(0,±n,0),(0,0,±n)である
正八面体の表面及び内部に含まれる格子点の個数です。
中心の1点から1次元ずつ増やしていけば、
零次元のとき、格子点の個数は1個
一次元のとき、格子点の個数は2{Σ[k=0～n]1}-(1)=2n+1個
二次元のとき、格子点の個数は2{Σ[k=0～n]2k+1}-(2n+1)=2n^2+2n+1個
三次元のとき、格子点の個数は2{Σ[k=0～n]2k^2+2k+1}-(2n^2+2n+1)
=(2n+1)(2n^2+2n+3)/3個
のように求められます。

No.70654 - 2020/11/04(Wed) 18:48:42

☆ Re: / いいいい

すいません、なぜ2×（1次元前のkが0～nまでの時の和）-（1次元前の総和）で求める事ができるのですか？

No.70656 - 2020/11/04(Wed) 20:55:00

☆ Re: / らすかる

この正八面体をxy平面(z=0)で切ると
◇←この形をしていますよね。
この形に含まれる格子点は、
x=0のとき y=-n～n の 2n+1個
x=±1のとき y=-(n-1)～n-1 の 2(n-1)+1個
x=±2のとき y=-(n-2)～n-2 の 2(n-2)+1個
・・・
x=±nのとき y=0 の 1個
のようになっています。
つまりx≧0の部分は一次元の場合の2k+1をk=0～nまで合計したもの、
x≦0の部分もk=0～nまで合計したもので、これを合わせると
x=0の分(2n+1個)がダブルカウントされますので引きます。
よって一次元の2n+1から
2{Σ[k=0～n]2k+1}-(2n+1)という式で二次元の式になりますね。
二次元から三次元の場合も、z=0のときx,yとも±nまで、
z=±1のときx,yとも±(n-1)まで、・・・のように
全く同様になっていますので、
2{二次元の式の0～nの総和}-{二次元のnの式}
で三次元の式が求まることになります。

No.70657 - 2020/11/04(Wed) 21:30:08

☆ Re: / いいいい

ありがとうございます。すみません、あつかましく聞きますが、この問題はnの式の因数分解がなかなか大変なので計算の工夫なども教えていただけたらありがたいです。

No.70661 - 2020/11/04(Wed) 23:16:29

☆ Re: / らすかる

例えば
2{Σ[k=0～n]2k^2+2k+1}-(2n^2+2n+1)
=2{2n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2+n+1}-(2n^2+2n+1)
=2{n(n+1)(2n+1)/3+n(n+1)+n+1}-(2n^2+2n+1)
=2{n(n+1)(2n+1)/3+n^2+2n+1}-(2n^2+2n+1)
=2n(n+1)(2n+1)/3+2n^2+4n+2-(2n^2+2n+1)
=2n(n+1)(2n+1)/3+2n+1
=(2n+1){2n(n+1)/3+1}
=(2n+1){2n(n+1)+3}/3
=(2n+1)(2n^2+2n+3)/3

# 全部バラしたら大変です。一部バラして項を減らすなどの工夫をしましょう。

No.70662 - 2020/11/05(Thu) 00:26:25

☆ Re: / いいいい

ありがとうございます。

No.70667 - 2020/11/05(Thu) 08:58:15

★ (No Subject) / すう学

平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に点Pをとり，円の内部または周上に2点Q，Rを，△PQRが1辺の長さ2/√3の正三角形になるようにとる．このとき，OQ^2+OR^2の最大値および最小値を求めよ．

この問題をP(1,0),Q(a,b)R(c,d)((a,b)(c,d)はx^2+y^2<=1を満たす)と置いて解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。この方針で解くことは可能ですか？

No.70647 - 2020/11/03(Tue) 23:34:13

☆ Re: / ヨッシー

その方針だと、△ＰＱＲが正三角形であることを表すのが大変かと思います。

むしろ、Ｐを原点にして、△ＰＱＲを回転させるのはどうでしょう？
上の図の状態で最小。
下の図の状態で最大となります。

No.70650 - 2020/11/04(Wed) 09:01:51

★ 軌跡 / いいいい

放物線y=x^2上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線とのもう一つの交点をBとする。ただし点Aにおける法線とは点Aを通りAにおける接線と直交する直線である。
線分ABの中点をP(X、Y)とするとき、YをXを用いて表せ。
答えはY=2x^2 +1/(16x^2)+1/2です。

この問題を2通りで解くことは可能でしょうか？

No.70636 - 2020/11/03(Tue) 18:09:12

☆ Re: 軌跡 / らすかる

解法1
点Aを(t,t^2)として法線の方程式を求めるとy=-x/(2t)+t^2+1/2
yにx^2を代入して整理すると(x-t)(2tx+2t^2+1)=0
よって点Bのx座標は2tx+2t^2+1=0の解すなわちx=-t-1/(2t)
中点のx座標は{t+{-t-1/(2t)}}/2=-1/(4t)なので
直線の式に代入して中点は(-1/(4t), 1/(8t^2)+t^2+1/2)と求まる。
X=-1/(4t)からt=-1/(4X)であり、これをy座標に代入して
Y=2X^2+1/(16X^2)+1/2を得る。

解法2
点Aを(t,t^2)として法線の方程式を求めるとy=-x/(2t)+t^2+1/2
中点の座標はy=x^2からこの式を引いて平方完成すれば求まる。
（頂点を(u,v)とすると中点は(u,u^2-v)）
x^2-{-x/(2t)+t^2+1/2}={x+1/(4t)}^2-t^2-1/(16t^2)-1/2から
(u,v)=(-1/(4t),-t^2-1/(16t^2)-1/2)なので
中点は(u,u^2-v)=(-1/(4t),t^2+1/(8t^2)+1/2)
以降同じ。

No.70642 - 2020/11/03(Tue) 20:39:29

☆ Re: 軌跡 / いいいい

解法2
点Aを(t,t^2)として法線の方程式を求めるとy=-x/(2t)+t^2+1/2
中点の座標はy=x^2からこの式を引いて平方完成すれば求まる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
なぜ引いて平方完成したら中点の座標を求める事ができるのでしょうか？

No.70649 - 2020/11/04(Wed) 08:43:30

☆ Re: 軌跡 / らすかる

平方完成して求まるのは頂点の座標であり、
頂点の座標がわかれば中点の座標もわかる、ということです。
放物線と直線が2点A,Bで交わる時、
(放物線)-(直線)はx軸と2点C,Dで交わり、
(Aのx座標)=(Cのx座標)、(Bのx座標)=(Dのx座標)
となりますね。このとき
(頂点のx座標)=(CDの中点のx座標)=(ABの中点のx座標)
となりますので、中点のx座標はただちにわかります。
そしてx軸から頂点までの距離は、ABの中点から
その真下の(元の)放物線までの距離ですから、
y座標も簡単に求まります。

No.70651 - 2020/11/04(Wed) 10:31:30

☆ Re: 軌跡 / いいいい

助かりました。ありがとうございます。

No.70652 - 2020/11/04(Wed) 13:08:57

★ 統計学２標本のｔ検定 / だいがくせい

統計学の問題です。答えがわかる方、よろしくお願いします。
化学薬品の充填はA・B両充填機でおこなわれている。充填機により充填量に差があるかどうか検討せよ.。
なお、両充填機A・Bは、以下の統計量である。
標本平均： xa=20.270、 xb=20.725
平方和： Sa=1.521、 Sb=0.555
サンプル数： Na=10､ Nb＝８

?B 推定母分散を求めなさい
?C 差の標準誤差を求めなさい
?D t値を求めなさい(小数第3位を四捨五入)
?E 区間推定をし、有意水準を５%としたとき、t値から言えることを書きなさい
?F 以上の検定の結果をわかりやすい言葉で説明しなさい

No.70634 - 2020/11/03(Tue) 17:22:24

★ 方程式 / 12345

4x^3+6x^2-24x-13=0を求めてほしいです。
中々すぐに解くのが難しいため解法が知りたいです。

No.70628 - 2020/11/03(Tue) 14:50:22

☆ Re: 方程式 / ast

解法は「整数係数方程式の有理数解」とか「有理根定理」で調べるとよいと思います.
# 整数係数の代数方程式に有理数解があれば, 実は整数係数の範囲で因数分解できます (ガウスの補題).

No.70629 - 2020/11/03(Tue) 15:21:52

☆ Re: 方程式 / X

単に解のみを知りたいのであれば以下のURLで
方程式を入力すれば求められます。
https://ja.wolframalpha.com/

No.70648 - 2020/11/04(Wed) 06:33:58

★ 方程式 / あ

0＜X＜90 0＜Ｙ＜90
方程式 sinY ＝2sinX
tanY＝√5tanX

1.sinX＝？
2.sinY＝？
3.cosX＝？
4.cosY＝？答え 1. 1/4 2. 1/2 3. √15/4 4. √3/2

公式を使うところまでは分かるのですが解く過程が分かりません。
教えて欲しいです。よろしくお願いします。

No.70623 - 2020/11/03(Tue) 13:51:39

☆ Re: 方程式 / らすかる

解き方はいろいろあると思いますが、例えば
cosY=sinY/tanY=2sinX/(√5)tanX=(2/√5)cosX
1=(sinY)^2+(cosY)^2=(2sinX)^2+{(2/√5)cosX}^2=4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2
=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2=(16/5)(sinX)^2+4/5
(16/5)(sinX)^2=1/5
(sinX)^2=1/16
sinX=1/4（∵0＜X＜90°）
sinY=2sinX=1/2
cosX=√{1-(sinX)^2}=√15/4
cosY=(2/√5)cosX=√3/2

No.70625 - 2020/11/03(Tue) 13:59:57

☆ Re: 方程式 / あ

1=(sinY)^2+(cosY)^2=(2sinX)^2+{(2/√5)cosX}^2=4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2 ここから下の
=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2=(16/5)(sinX)^2+4/5
(16/5)(sinX)^2=1/5になる理由を教えてください。お願いします

No.70633 - 2020/11/03(Tue) 16:03:44

☆ Re: 方程式 / らすかる

1=(16/5)(sinX)^2+4/5
の両辺から4/5を引けば
1/5=(16/5)(sinX)^2
となります。

No.70635 - 2020/11/03(Tue) 17:38:58

☆ Re: 方程式 / あ

ありがとうございます。
1=(sinY)^2+(cosY)^2=(2sinX)^2+{(2/√5)cosX}^2=4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2が
=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2になる理由を教えて欲しいです。
何度もすみません。

No.70639 - 2020/11/03(Tue) 19:33:30

☆ Re: 方程式 / らすかる

4=20/5=16/5+4/5なので
4(sinX)^2=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2です。
これはcosXを消すための変形ですが、わかりにくければ
4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2
=4(sinX)^2+(4/5){1-(sinX)^2}
=(16/5)(sinX)^2+4/5
としてもよいと思います。

No.70643 - 2020/11/03(Tue) 20:41:13

☆ Re: 方程式 / あ

分かりやすかったです。
ありがとうございました。

No.70645 - 2020/11/03(Tue) 21:19:27

★ (No Subject) / なち

わかりませんでした。よろしくお願い致します。

No.70616 - 2020/11/03(Tue) 10:23:51

☆ Re: / なち

言葉足らずで申し訳ないです。⑶からがわかりませんでした。

No.70617 - 2020/11/03(Tue) 11:00:26

☆ Re: / IT

高校数学ですか？　大学数学ですか？　ロピタルの定理は使っていいのですか？

No.70618 - 2020/11/03(Tue) 11:54:43

☆ Re: / なち

高校数学ですが説明ありだったらロピタルは使えます

No.70620 - 2020/11/03(Tue) 12:36:54

☆ Re: / ast

# 具体的に何も計算していませんが, 方針を:

(3) は (e^x-1)/sin(x/2) = (e^x-e^0)/(x-0) * 2*(x/2)/sin(x/2) とすれば x→0 の極限はわかりますから, これが c と一致すればよいですね.

(4) の前半は A_n を部分積分すれば出てきます. あるいはまったく同じことですが, g(x):=cos((n+1/2)x)/(n+1/2) と置けば (実際には置き換える必要はない),
　 A_n = ∫_[-π,π] f(x)g'(x)dx,
　 B_n = -∫_[-π,π] f'(x)g(x)dx
と書けるので, 積の微分の逆を考えることにより A_n-B_n = [f(x)g(x)]_[-π,π], これが 0 であることを確かめます.
後半は A_n が (2) を通じて (1) の I_n たちの計算に帰着されるので A_n のほうを調べることになるのでしょう.

((5) は (4) あたりから出てきそうですが, 見ていません.)

No.70624 - 2020/11/03(Tue) 13:58:36

☆ Re: / IT

(4) の後半は、f'(x)とcos((n+1/2)x)が[-π,π] で有界であることと2/(2n+1) →0（n→∞) から言えますね。

No.70626 - 2020/11/03(Tue) 14:30:56

☆ Re: / ast

なるほどそうですね, No.70624 の (4)後半以降の話は取り消します (というか, (1)や(2) に帰着させるのは (5) の計算ですね).

つまり, (5) を 1/(e^π-e^(-π))?納n=1,2,…] I_n と見ることができるので, lim_[n→∞] ?納k=1,…,n] I_k に (2) (の両辺 sin(x/2) で割ったもの) を適用してから (4) の lim_[n→∞] A_n (=lim_[n→∞] B_n) の計算に持ち込みます (すると, a を使った式が残るはずです, たぶん).

No.70631 - 2020/11/03(Tue) 15:54:59

★ 中学数学の問題です / ののか

中心がoである円oと円外の点aがある。点pが円oの周上を動く。

?@ a,pの距離が最大になるのはpがどこにいる時か。理由は？
?A a,pの距離が最小になるのはpがどこにいる時か。理由は？

宜しくお願いいたします。

No.70615 - 2020/11/03(Tue) 10:04:41

☆ Re: 中学数学の問題です / ヨッシー

円とは、中心からの距離が等しい点の集まりであり、この距離を半径という。
円の内部の点は中心からの距離が半径より短く、円の外部の点は中心からの距離が半径より長い。
このことを認めたとして、
２点Ｏ、Ａを通る直線と円Ｏとの交点で、Ａから遠い方が距離最大、近い方が距離最小です。
理由は図の通り。
円Ｏ上のＰmax 以外の点は、Ａからの距離がＡＰmaxより小さく、
円Ｏ上のＰmin 以外の点は、Ａからの距離がＡＰminより大きい。

No.70627 - 2020/11/03(Tue) 14:38:54

☆ Re: 中学数学の問題です / ののか

よく分かりました。
ありがとうございました！

No.70641 - 2020/11/03(Tue) 20:32:45

★ 冪級数 / 鹿

大学数学の問題です。
冪級数について、次の等式を証明せよ。
(Σ[n=0～∞]x^n)^2=Σ[n=0～∞](n+1)x^n

よろしくお願いいたします。

No.70613 - 2020/11/03(Tue) 07:50:47

☆ Re: 冪級数 / ヨッシー

右辺をＳとおくと
　Ｓ＝1＋2x＋3x^2＋4x^3＋・・・・
ｘＳ＝　x＋2x^2＋3x^3＋・・・
上から下を引いて、
　(1－x)Ｓ＝1＋x＋x^2＋x^3＋・・・
これは、左辺のカッコの中と同じで、等比無限級数なので、
高３の範囲のため、省略します。
というか、上と同じ考え方（上から下を引いて）で出来ます。　

No.70614 - 2020/11/03(Tue) 08:13:09

★ 確率 / あ

1から13までのいずれかの番号が1つずつ書かれたカードがそれぞれ4枚ずつ、合計52枚ある。この中から同時に5枚のカードを無作為に取り出す。
1.同じ番号が書かれたカードが4枚含まれる確率
2.同じ番号が書かれたカードが3枚のみ含まれ、残り2枚には互いに異なる番号が書かれている確率
3.同じ番号が書かれたカードが2枚のみ含まれ、残り3枚には互いに異なる番号が書かれている確率

1の答え 1/4165 2の答え 88/4165 3の答え 352/833 です
途中の計算の過程が分かりません。
教えて下さるととても嬉しいです。よろしくお願いします

No.70610 - 2020/11/03(Tue) 00:20:00

☆ Re: 確率 / ヨッシー

トランプのように、４つのスートがあって５２枚全部区別出来るものとします。
全ての選び方は　52Ｃ5＝2598960 通りです。
1. ４枚となる数字の選び方が13通り。残りの1枚が48通りの合計 13×48＝624(通り)
　求める確率は　624/2598960＝1/4165
2. ３枚となる数字の選び方が13通り。どの3枚を選ぶかで 4Ｃ3＝4(通り)
　他の2枚の選び方が 48×44÷2＝1056(通り) の合計
　　13×4×1056
　求める確率は　13×4×1056/2598960＝88/4165
3. ２枚となる数字の選び方が13通り。どの2枚を選ぶかで 4Ｃ2＝6(通り)
　他の3枚の選び方が　48×44×40÷6＝14080 の合計
　　13×6×14080
　求める確率は　13×6×14080//2598960＝352/833

No.70612 - 2020/11/03(Tue) 00:53:37