f(x,y)はR^2上C^2級とし、任意のt>0に対しf(tx,ty)=t^2f(x,y)が成り立つとする。この時、
f_{xx}(x,y)x^2+2f_{xy}(x,y)xy+f_{yy}(x,y)y^2=2f(x,y)が成り立つことを示せ。
回答解説よろしくお願いします。
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No.86935 - 2023/12/14(Thu) 11:25:39
| ☆ Re: 偏微分 / ast | | | 証明: f(tx,ty)=t^2f(x,y) の両辺を "t で" 2回微分して t=1 と置けば所期の式. [/証明了]
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No.86936 - 2023/12/14(Thu) 12:52:46 |
| ☆ Re: 偏微分 / λ | | | 回答ありがとうございます。
1回微分したものと2回微分したものの式をそれぞれ途中式も含めて書いていただけませんか？
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No.86937 - 2023/12/14(Thu) 13:26:03 |
| ☆ Re: 偏微分 / ast | | | そんなの私がやっても意味ないでしょう, 典型的な「添削くらいしてやるからお前の方が書け」案件だと思います.
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No.86938 - 2023/12/14(Thu) 13:34:51 |
| ☆ Re: 偏微分 / λ | | | その通りですね。すみません
∂f(tx,ty)/∂t
={∂f(tx,ty)/∂(tx)}{∂(tx)/∂t}+{∂f(tx,ty)/∂(ty)}{∂(ty)/∂t}
ここまでしかわからないため、この後どのようにしていけばいいかご教授ください。
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No.86939 - 2023/12/14(Thu) 14:30:14 |
| ☆ Re: 偏微分 / ast | | | ∂(tx)/∂t=x, ∂(ty)/∂t=y (i.e. 比例の式の微分は比例定数) くらいはさすがに偏微分以前の問題のような…….
で, 2回目の微分は (一般には各項を「積の微分」していかないといけないが) 今の場合は (t に依存しないという意味での) 定数 x,y くらいしかかかっていないから, 各項がふたたび No.86939 と同様の形に微分できる(:微分は線型変換).
# 計算問題としていうなら計算量もほぼ無い初心者向けの超易問に入るといってよいと思います.
# 本問の趣旨としては「合成函数の微分公式をきちんとなぞれるか」だと思うので,
# 私なら No.86939 ができている時点で及第点とするとは思いますが.
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No.86940 - 2023/12/14(Thu) 15:07:09 |
| ☆ Re: 偏微分 / λ | | | これで合ってますか？添削お願いします
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No.86943 - 2023/12/14(Thu) 18:12:55 |
| ☆ Re: 偏微分 / ast | | | 概ねそういうことですが, しかしあちこち t が抜けて特に後半めちゃくちゃになっているので全般的に見直してください. また, f(x,y) と f(tx,ty) は引数を省略したらどちらも f で区別がつかないので, 引数も省略すべきではありません (画像の最初の "F''(t)=" のところの2行とか).
最低限おさえておくべき内容は:
与えられた f(tx,ty) = t^2⋅f(x,y) の両辺 t で微分して f_x(tx,ty)⋅x+f_y(tx,ty)⋅y = 2t⋅f(x,y),
再度両辺微分して (f_{xx}(tx,ty)⋅x + f_{xy}(tx,ty)⋅y)⋅x + (f_{yx}(tx,ty)⋅x + f_{yy}(tx,ty)⋅y)⋅y = 2⋅f(x,y).
f_{xy}=f_{yx} (函数として等しい) に注意して,
t=1 とおくと f_{xx}(x,y)⋅x^2 + 2⋅f_{xy}(x,y)⋅xy + f_{yy}(x,y)⋅y^2 = 2⋅f(x,y).
# x,y を定数とし t の一変数函数同士の等式と見るなら, t=1 における2階微分係数が等しいという話.
です.
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なお, とくに f(tx,ty) を微分して出てくる f_x および f_y ほかは, f(○,×) のそれぞれ第一引数 ○ および第二引数 × に関する偏微分(をしてから ○=tx,×=ty を代入) という意味の「記法の濫用」: f_x(u,v):=(∂f(x,y)/∂x)|_[x=u,y=v], f_y(u,v):=(∂f(x,y)/∂y)|_[x=u,y=v] (あるいはいまの場合: "•_x"=∂•/∂(tx), "•_y"=∂•/∂(ty) と思ってもよい), といったあたりあらかじめ解説すべき事項を失念していました, すみません.
# 「代入してから微分」と「微分してから代入」で記法が衝突しているという話で,
# 一般に x=x(t), y=y(t) (x,y が t の函数) のときの f(x,y)=f(x(t),y(t)) を t で微分する,
# といったようなときによく使う記法.
## いまたまたま x(t)=xt, y(t)=yt と書いてる (が, 左辺の x,y と右辺の x,y は別物で,
## さらに上で書いた f(x,y) の x,y とも意味が別) ということ.
# また例えば一変数の場合にも, df(u)/dx=f'(u)du/dx のような式にであったとき
# この f'(u) も二通り: df(u)/du or (df(x)/dx)(u) に解釈できる, という記法上同様の「問題」はある
# (が, やはりどちらに解釈しても実際は同じ式を指してるので, 解釈上はとくに問題でないはず).
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No.86945 - 2023/12/14(Thu) 21:05:04 |
| ☆ Re: 偏微分 / λ | | | 迅速で丁寧な回答解説ありがとうございました。お陰様で理解が深まりました。本当にありがとうございました。
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No.86946 - 2023/12/14(Thu) 23:25:06 |
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