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★ 電場について / 物理
物理の電場についてご質問させて下さい。

画像を以下に添付致します。
今回は全問解答することができましたが、やはり不安で、間違い箇所がございましたら、お教え頂きたく思います。

解答が間違っているところのみご解答頂けますと幸いです。

どうかよろしくお願い申し上げます。
No.71373 - 2020/12/07(Mon) 22:11:14
☆ Re: 電場について / 物理
こちらは2枚目です。
No.71374 - 2020/12/07(Mon) 22:11:55
☆ Re: 電場について / 関数電卓
４．球殻上の電荷 4πR^2σ は球殻内部には電場を作りませんが，中心に点電荷 Q があるので

　(a) E1＝1/(4πε0)･(Q/r^2)
　(b) E2＝1/(4πε0)･(Q/r^2)＋1/(4πε0)･(４πR^2σ/r^2)
　　　　＝1/(4πε0)･(Q/r^2)＋(σ/ε2)(R/r)^2
ですね。
No.71387 - 2020/12/08(Tue) 21:37:46
☆ Re: 電場について / 関数電卓
１.(a) 面内に電気力線がなく，面外に外側に外側に伸びる力線があるところは OK ですが，力線同士の間隔は電場の強さを表し，広い帯電板は一様電場を作るので，力線を等間隔に 描かなければなりません。
　(b) Ein＝0 (OK)，Eout＝σ/ε0
　(c) F＝q0･E＝0 (OK)

２.(a) 面内では下向きの一様電場，E＝σ/ε0，面外では電場なし，Eout＝0 (OK)
　　面外に矢線を描いてはいけません。
No.71390 - 2020/12/08(Tue) 21:58:13
☆ Re: 電場について / 物理
ご連絡が遅れてしまい申し訳ございません。
ご丁寧にお教え頂きましてありがとうございます。
解決致しました。
これからもよろしくお願い申し上げます。
No.71435 - 2020/12/12(Sat) 13:33:37
★ (No Subject) / むりんご
2/(3−√7)に最も近い整数の求め方を教えてください。
解答は6です。
有理化して、2＜√7＜3になるところまではわかるんですが、そこからの求め方がわかりません。
No.71371 - 2020/12/07(Mon) 21:48:13
☆ Re: / IT
２と３のちょうど真ん中は　5/2 ですから、√7 と 5/2の大小関係を調べれば良いのでは？　

数直線を描いて考えてみてください。
No.71372 - 2020/12/07(Mon) 21:57:04
★ 無限級数 / ぴーたろー
??(n=1→∞)[{2^(n+1)+3}/4^n]

収束、発散を調べ収束するなら和を求めよという問題です。
どう解いたらよいでしょうか。
?馬=1から∞、4のn乗分の2のn+1乗+3です。
No.71366 - 2020/12/07(Mon) 17:18:46
☆ Re: 無限級数 / X
{2^(n+1)+3}/4^n=2/2^n+3/4^n
=(1/2)^(n-1)+(3/4)(1/4)^(n-1)
と変形すると、問題の無限級数は
二つの無限等比級数で構成されて
いることが分かり、
(与式)=1/(1-1/2)+(3/4)/(1-1/4)
=2+1=3 (収束)
No.71367 - 2020/12/07(Mon) 17:46:19
★ 導関数について / たき
これらの導関数、2次導関数を求める問題です。
解答をしていただると嬉しいです、よろしくお願いします。
No.71358 - 2020/12/06(Sun) 11:01:52
☆ Re: 導関数について / IT
教科書の基本事項を組み合わせれば出来ると思いますが、自力でまったく分からないのなら、絶対正しいという保証はないですが、下記などで自動計算してもらえば良いのでは？
（結果の導関数をインプットすると２次導関数が出ます。）
https://www.wolframalpha.com/input/?i=xtanx&lang=ja
No.71362 - 2020/12/06(Sun) 12:55:45
☆ Re: 導関数について / 関数電卓
たとえば， こんな感じ です。
No.71370 - 2020/12/07(Mon) 20:17:22
★ 極限の取り方が分かりません / 山と田んぼ
携帯電話の契約者数が２００万人。毎月の契約変更の状況は以下のとおり。
a社⇒契約継続 ９０％ S社へ変更 １０％
S社⇒契約継続 ６０％ a社へ変更 ４０％
ある月の契約者数が、a社で８０万人、S社で１２０万人だったという。

（１）翌月のa社、S社の契約者数をそれぞれ求めよ。また、上の計算課程を行列表示せよ。
（２）nか月後のa社、S社の契約者数をそれぞれ求めよ。
（３）（２）の結果について、n⇒∞の極限をとり、a，S両社の将来の顧客数を求めよ。
No.71355 - 2020/12/06(Sun) 07:31:52
☆ Re: 極限の取り方が分かりません / X
(1)
問題の「ある月」からnか月後のa,S社それぞれの
契約者数をそれぞれa[n],S[n][万人]とすると
条件から
a[0]=80 (A)
S[0]=120 (B)
a[n]+S[n]=200 (C)
a[n]=0.9a[n-1]+0.4S[n-1] (D)
S[n]=0.1a[n-1]+0.6S[n-1] (E)
ここで
↑x[n]=τ_(a[n],S[n])
(但しτ_は転置を表す)
A=M{(0.9,0.4),(0.1,0.6)}
とすると
↑x[n]=A↑x[n-1]
∴↑x[1]=A↑x[0]
=τ_(0.9・80+0.4・120,0.1・80+0.6・120)
=τ_(120,80)
ということで翌月の
a社の契約者数は120万人
S社の契約者数は80万人

(2)
(1)の過程から
↑x[n]=(A^n)↑x[0]
後はA^nを具体的に求めることを考えます。

(3)
(2)の結果を使います。


上記の説明で(2)が解けないようであれば
その旨をアップして下さい。
No.71356 - 2020/12/06(Sun) 08:57:06
★ 数列 / あああ
[2](?A）α2=1,α1=a1+a2　,α0＝a1^2
(?B）β3=1,β2=a1+a2+a3,β1=(a1)^2+(a1)*(a2)+(a2)^2
β0=1


[2](v)がどうしてもできないので質問しました。
予想としては、
c0=(a1)^k
c1=(a1)^(k-1)+(a1)^(k-2)*(a2)+・・・＋(a2)^(k-1)
c2=
・
・
のように項の次数の和が減りつつ扱う項の数が増えていきながら、その光を使ってありうる積のパターンの係数が１のものを一般化して表したいです。
c1をシグマで一般化して表すことができたのですが、その後にも続くように表すことができませんでした。

自分の考えです。もし、ヒントになればと思い、書き込みました。
Σ[b(i-1)=0,Σb(i-2)]・・・Σ[b2=0,i-b1]Σ[b1=0,i]{(a1)^(b1)*(a2)^(b2)*・・・＊(ai)^(i-Σ[b=0,i-1]}

これが近い形になりそうだなと思いましたが、シグマの使い方がそもそもあってるのか少し不安になりました。
No.71354 - 2020/12/06(Sun) 07:26:20
☆ Re: 数列 / ast
c[i]は a[1],…,a[i+1] の k-i 次の (斉次) 完全対称式になるっぽいか. おそらく出題者の意図としてはΣで綺麗に書くようなことは求めてないと思うけども, すくなくとも質問者のΣの使い方は丸がもらえるようには見えない (内容的にもおそらく上手く行ってない).
# どうしてもシグマ記法で書くなら, ↓の画像のような感じではないかと思う.
## まあ, ヤング図形などのもっと組合せ論的な要素で添字付けするほうが自然のような気もするが……
No.71360 - 2020/12/06(Sun) 12:00:28
☆ Re: 数列 / あああ
j1からjrまでの不等号についてなのですが、イコールも含まないといけないんですか？
No.71364 - 2020/12/07(Mon) 08:53:43
☆ Re: 数列 / ast
厳密な検討をしていないのでアレですが, たぶん等号が無くても同じことになるのでしょう (同じ番号のところはまとめて, そのあと適当に番号付け直せばたぶんそれでいいということになるはず). No.71360 のような書き方は, 別に一通りしかないわけでもなく, その選択は話の都合とか好みの問題でもあるので, まあ (意味があってさえいれば) 好きにすればいいのではないかと思います.
# 細かい検討は丸投げするつもりで書いておいたエクスキューズが「のような感じではないかと思う」だったりする.

まあでも No.71360 は e_{j_m}=0 となる場合には a_{j_m}^{e_{j_m}}} を書かないようにしたかったのでああなったけれど, 実際のところそれは不必要に複雑な書き方だったかも. 添字 j も部分列 {j_m} を作らずに単に

　?倍e_1+…+e_{i+1}=k-i} a_1^{e_1}×…×a_{i+1}^{e_{i+1}}

とかでよかったんだよね, たぶん. それで例えば c_k =1 は e_1=…=e_{i+1}=0 の場合, と言えばよい.
# No.71360 の書き方では e_{j_1}=…=e_{j_r}=0 ととる以外に r=0 ととる場合と言ってもよいはずなので
# そのへんで私の好みが出た, ということで.

とはいえ No.71360 の書き方では r や e_{j_m} のとる値の範囲とかは明示せずにやってるので, r=0 ととれるのかとか, e_{j_m}=0 ととれなかったりしないかとか, 厳密にやるならむしろそっちのほうをちゃんと書かないといけない. なので, 結局のところ

　?倍e_1+…+e_{i+1}=k-i, (e_1,…,e_{i+1})∈Z≥0^{i+1}} a_1^{e_1}×…×a_{i+1}^{e_{i+1}}

とかにすればいいか……な? (各 e_j は 0 以上の整数値をとる, という条件を明示的に書き加えた).
No.71365 - 2020/12/07(Mon) 12:33:35
★ 命題と証明 / むりんご
数1です。
√2が無理数であることを、背理法を用いて説明せよ。ただし、整数nについて、n²が偶数ならばnは偶数であることを用いてよい。
「√2＝m/n(m、nは1以外の正の公約数を持たない自然数)とおく(約分できる数を除外するため)」とあるのですが、なぜ約分できる数を除外する必要があるのかいまいちわかりません。
No.71350 - 2020/12/05(Sat) 22:47:11
☆ Re: 命題と証明 / らすかる
除外しなくても証明はできますが、除外した方が証明が簡単になるからです。
No.71352 - 2020/12/05(Sat) 23:01:01
☆ Re: 命題と証明 / むりんご
そうなんですね ありがとうございました！
No.71357 - 2020/12/06(Sun) 10:14:19
★ (No Subject) / 高いち
220、358、565をある正の整数aで割ったらどれも余りが13になった。このときaの最小は何か、また最大は何か？

解き方を含めて教えて欲しいです。よろしくお願いします。
No.71346 - 2020/12/05(Sat) 21:48:45
☆ Re: / らすかる
「220、358、565をある正の整数aで割ったらどれも余りが13になった」ということは
「207、345、552をある正の整数aで割ったらどれもわりきれる」ということです。
よってaは207,345,552の公約数のうち13より大きいものですから、その中の最小のものと最大のものが答えとなります。
No.71351 - 2020/12/05(Sat) 22:58:06
★ (No Subject) / やん
10進数、0.224を5進法で表すにはどうすればいいですか？
No.71340 - 2020/12/05(Sat) 19:18:42
☆ Re: / らすかる
0.224×5=1.12 → 1
0.12×5=0.6 → 0
0.6×5=3 → 3
から、0.103(5)となります。
実際、0.103(5)=1×(1/5)+0×(1/5)^2+3×(1/5)^3=0.224(10)です。
No.71341 - 2020/12/05(Sat) 19:22:37
★ 整数の性質 / むりんご
数Aについて質問です。
360の正の約数のうち偶数であるものの総和の解き方を教えてください。(2+2²+2³)(1+3+3²)(1+5) この式から2^0だけ除外されている理由がわかりません。
回答よろしくお願いします。
No.71339 - 2020/12/05(Sat) 19:06:31
☆ Re: 整数の性質 / らすかる
2^0であるものは奇数だからです。
No.71342 - 2020/12/05(Sat) 19:23:38
☆ Re: 整数の性質 / むりんご
3^0と5^0も1で奇数ではないんですか？
No.71344 - 2020/12/05(Sat) 20:20:02
☆ Re: 整数の性質 / IT
そうです。そして３も3²も５も奇数です。

それらに2か2²か2³を掛けることによって、２の倍数になります。
No.71345 - 2020/12/05(Sat) 21:38:06
☆ Re: 整数の性質 / むりんご
なるほど！わかりました
らすかるさん、ITさん、ありがとうございました！
No.71349 - 2020/12/05(Sat) 22:38:35
★ 中学受験の年齢算を教えてください。 / 中学受験生親
中学受験生の親です。下記の年齢算の解き方がわかりません。どうか教えてください。よろしくお願いします。

A子さんは兄と両親との４人で生活しています。現在、兄の年齢はA子さんの年齢の3倍で、現在、父親の年齢はA子さんの年齢の9倍です。また、母親は父親の8歳年下です。
今から3年後、母親の年齢がA子さんの年齢の5倍になります。次の3つの問いに答えなさい。

（1）現在A子さんの年齢は何歳ですか。
（2）現在の母親の年齢は何歳ですか。
（3）両親の年齢の和が子どもの年齢の和の2倍になるのは、今から何年後ですか？
No.71335 - 2020/12/05(Sat) 16:16:20
☆ Re: 中学受験の年齢算を教えてください。 / IT
A子さんの年齢をｘとおいてみるとよいのでは？

（未知数をｘとおいて解く方法を小学６年で習うようなので）
No.71336 - 2020/12/05(Sat) 17:22:49
☆ Re: 中学受験の年齢算を教えてください。 / らすかる
現在母親の年齢はA子さんの年齢の9倍より8少ない歳ですから
「現在のA子さんの年齢の5倍」よりも「現在のA子さんの年齢の4倍-8」多い歳です。
母親の年齢は3年で3増えますので、3年後の母親の年齢は
「現在のA子さんの年齢の5倍」よりも「現在のA子さんの年齢の4倍-5」多い歳となります。
そして「3年後のA子さんの年齢の5倍」は「現在のA子さんの年齢の5倍」よりも
15多いので、「現在のA子さんの年齢の4倍-5」が15になることがわかります。
つまりA子さんの年齢の4倍は20ですから、A子さんは5歳です。
従って現在、A子さんは5歳、兄は15歳、父は45歳、母は37歳となり、
3年後はA子さんが8歳、母は40歳ですから確かに合っています。
よって(1)は5歳、(2)は37歳です。
(3)は、現在の子供の年齢の和の2倍が40、両親の年齢の和が82、その差は
42であり、1年ごとに子供の年齢の和の2倍は4増え、両親の年齢の和が
2増えることから差が1年につき2ずつ縮まりますので、42÷2=21から
21年後となります。
実際、21年後はA子さんが26歳、兄は36歳で合計は62歳、
父は66歳、母は58歳で合計124歳なので合っていますね。
No.71353 - 2020/12/06(Sun) 00:35:29
★ 線形代数 / 大学生
{a1, a2,・・・, ar}はR^nのベクトルであり、R^nの部分空間W=<a1, a2, ・・・, ar>である。
この時、dimW = rank[a1 a2 ・・・ ar]を示せ。

上記の問題が分かりません。
ご教授お願い致します。
No.71332 - 2020/12/05(Sat) 11:59:38
☆ Re: 線形代数 / IT
rank[a1 a2 ・・・ ar]　の定義（意味・導出方法）は、どう習いましたか？

線形代数の基礎事項（線形独立、線形従属、基底、次元、rankなど）があやふやな場合は、お使いのテキストで確認してください。
下記のテキスト（PDF)もかなりていねいに説明してありお勧めです。

「人には聞けない線形代数の基礎 」京都大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻　大和田拓准教授

http://fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp/sites/default/files/linear_algebra.pdf
No.71333 - 2020/12/05(Sat) 12:56:18
☆ Re: 線形代数 / 大学生
rankの定義は、「階段行列に変形した時に0ベクトルでない行の数」と習いました。また、dimの定義は、「部分空間の基底を構成するベクトルの個数」と学習しました。
もう一度知識を再確認してみます。

P.S.資料まで載せて頂き有り難うございます。
No.71334 - 2020/12/05(Sat) 13:29:49
☆ Re: 線形代数 / 大学生
一通り読ませて頂いたのですが、やはり解法が思いつきません。{a1, a2, ・・・, ar}が1次独立だったら定義通りなのですが...。
何かヒントを頂けませんか。
No.71338 - 2020/12/05(Sat) 17:47:40
☆ Re: 線形代数 / IT
＞rankの定義は、「階段行列に変形した時に0ベクトルでない行の数」
紹介したテキストに
　行列Aの線形独立な行ベクトルの最大数s(A)
　行列Aの線形独立な列ベクトルの最大数t(A)とすると
　s(A)=t(A)
が示してあると思います。

このことと
　Aに列の交換および左基本変形を施してもt(A)は変わらない。
ことを示して使えば良いと思います。(示し方は、既習事項によって異なります。）
No.71343 - 2020/12/05(Sat) 19:36:30
☆ Re: 線形代数 / 大学生
ヒントのお陰で解答の案が立ちました。
ご丁寧に教えて下さり有り難うございました。
No.71347 - 2020/12/05(Sat) 22:17:32
★ (No Subject) / やん
この問題の解き方を教えて欲しいです
答えは、33,,,,(4) 34,.,,,(5)です
No.71328 - 2020/12/05(Sat) 10:02:30
☆ Re: / IT
不良品かどうかと、検査結果が合格か不合格かに分ける　３×３の表を作って、その表に与えられた条件（割合）を記入してみると分かり安いのでは。

割合（％）計算が　分かりにくければ、たとえば全部で製品が１万個あるとして、各実数がどうなるかを計算してから、問われている割合を計算する方法もあります。
No.71329 - 2020/12/05(Sat) 11:35:03
★ 微分方程式についての質問です。 / お願いします
微分方程式についての質問です。
x*y*dy/dx = 1-x^2
という微分方程式はx,y≠0の時に
dy/dx = 1/y*(1-x^2)/x
という形に変形されるので変数分離型と判定され、解くと
y = √(2log|x|-x^2+C) ,但しCは任意定数
となるのは分かるのですが、次にy=0の時を考えると、x=±1の時にも、等号を満たします。この場合、この微分方程式の解は y = 0, √(2log|x|-x^2+C) の二つなのでしょうか。また、前者を特殊解、後者を一般解と呼ぶことであっていますか？お願いいたします。
No.71326 - 2020/12/05(Sat) 02:44:40
☆ Re: 微分方程式についての質問です。 / X
まず
>>y = √(2log|x|-x^2+C) ,但しCは任意定数
についてですが、これは一般解の一部です。
もしこの形で書くのであれば、一般解は
y=±√(2log|x|-x^2+C) ,但しCは任意定数
となります。

只、一般解を必ずしも
y=… (A)
の形に書く必要性は何もありません。
従ってこの場合の一般解を
(A)の形にする前の
y^2=2log|x|-x^2+C,但しCは任意定数
としても問題はありません。

次に特殊解についてですが
y=0
だけでは特殊解になりません。
この場合の特殊解は
(x,y)=(±1,0)
です。
またこれは一般解である
y=±√(2log|x|-x^2+C)
のC=1のときの更に特別な場合ですので
一般解に含まれると考えます。
従って求める解は一般解だけ
挙げておけば問題ありません。
No.71337 - 2020/12/05(Sat) 17:30:19
☆ Re: 微分方程式についての質問です。 / お願いします
ご返信ありがとうございます。
まず、±をつけ忘れていたのはとても恥ずかしいです。
また、特殊解の意味も分かり、さらにC=1とした際に一般解に含まれていると教えていただき、納得しました。
ありがとうございました。
No.71348 - 2020/12/05(Sat) 22:19:10
☆ Re: 微分方程式についての質問です。 / ast
横から疑問をさしはさんで申し訳ないのですが,
> X さん
> この場合の特殊解は
> (x,y)=(±1,0)
> です。
これはどういう意味でおっしゃっていますか? (どこで定義されたどういうクラスの函数とみなしているのか, とくにどう微分できると仰っているのか, などをお尋ねしています)
# y=f(x) の定義域がいくつかの交わらない開集合に分かれる場合を考えるのはよくあるかと思いますが,
# 孤立点の集合でしか定義できない函数 y だとそこで微分が定義できないので, 微分方程式に代入もできず
# したがってそれが微分方程式の解になるというのもないと思います.

> またこれは一般解である
> y=±√(2log|x|-x^2+C)
> のC=1のときの更に特別な場合です
についての同様にどのような設定で含まれると仰っているのかいちおう確認させてください.

あと今回の X さんのご回答だと (x,y)=(±1,0) とやらは「一般解に含まれる解」だという趣旨なので, それを「特殊解」だと仰っても齟齬はないのですが, 質問者さんの質問内容は「一般解に含まれない解を特殊解と呼ぶのか」という意図に見えるので, 特異解と混同されているのではないか, そしてそれは X さんも同様ではないか, と危惧します.

# 少し頭がすっきりしたので内容を整理しました (まだごちゃついてますが……).
No.71361 - 2020/12/06(Sun) 12:30:00
☆ Re: 微分方程式についての質問です。 / X
＞＞astさんへ
ご指摘ありがとうございます。

お願いしますさんの質問内容で、
わざわざ一般解と特殊解を分けて
解答としていたので、
特殊解を特異解と混同しているのでは？
とは考えました。

ですが、この時点では
(x,y)=(±1,0) (A)
が一般解の
y=±√(2log|x|-x^2+C) (B)
におけるC=1のとき、つまり
y=±√(2log|x|-x^2+1) (B)'
の上の点である、ということで
(A)は(B)に含まれるという理解で
特異解とは区別できると考え、
敢えて特異解については書きませんでした。

只、ご指摘の通り、飽くまで(A)は(B)'上の点
であるというだけで
(B)を特殊解とは確かにできませんね。

＞＞お願いしますさんへ
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
astさんの仰る通り、(A)は単なる点であり
微分方程式の解
の定義から言うと、特殊解以前に解とはなりません。
No.71368 - 2020/12/07(Mon) 18:05:29
☆ Re: 微分方程式についての質問です。 / 関数電卓
意味がありげの，この曲線群は何なのでしょう？
お願いします さん，問題の出典は何ですか？
No.71369 - 2020/12/07(Mon) 20:11:17
★ (No Subject) / 勉強
共通テスト演習問題について質問です
添付した画像の問題を解く過程でｆ(x)=0は実数解と異なる二つの虚数解ををもつという表現が出てくるのですが,これを満たす条件というものがよく理解できません。解答ではy=ｆ(x)のグラフがx軸と接することなくy軸とただ一つの交点をもつのでと表記してあるのですがつまりf´(x)>0やf´(x)<0のときｆ(x)=0は実数解と異なる二つの虚数解ををもつという認識でよろしいのでしょうか？

f´(x)>0のときその区間でｆ(x)はつねに増加、f´(x)<0のときその区間でｆ(x)はつねに減少　などの表現ならばよく見かけるのですが数２ｂの参考書等でｆ(x)=0は実数解と異なる二つの虚数解ををもつという表現をみたことがないので詳しく解説していただきたいです。

また上記の質問部分が十分に理解できていないからと思うのですが問題文の「ツ」「テ」が１，４となる理由もよくわかりませんでした。こちらも解説していただけたら嬉しいです
No.71318 - 2020/12/04(Fri) 16:41:09
☆ Re: / 勉強
画像その２
No.71319 - 2020/12/04(Fri) 16:42:03
☆ Re: / 勉強
画像その３
No.71320 - 2020/12/04(Fri) 16:42:54
☆ Re: / IT
> 解答ではy=ｆ(x)のグラフがx軸と接することなくy軸とただ一つの交点をもつのでと表記してあるのですが
>つまりf´(x)>0やf´(x)<0のときｆ(x)=0は実数解と異なる二つの虚数解ををもつという認識でよろしいのでしょうか？

x の条件が明記してないので、正しく認識しておられるかどうか判然としませし、画像も複数あるので完全には読んでいませんが

まずは、３次方程式について下記の基礎事項の確認をされ、
そのうえで、疑問があれば改めて質問されることをお勧めします。

実数係数の３次方程式　g(x)=x^3+ax^2+bx+c=0 の解がどうなるかを分類し
　（異なる３つの実数解を持つ　など）＃（３）関連
そしてそれぞれの場合y=g(x) のグラフとx軸がどうなるかを描いて見てください。

先に、y=g(x) のグラフの変化（増減）のパターンを分類し
x 軸との位置関係を分類すると
g(x)=0の解がどうなるかが分類できますね。

なお、実数係数の３次方程式g(x)=0 は、少なくとも１つの実数解を持つこと。は基本事項です。
No.71324 - 2020/12/04(Fri) 21:11:50
★ 整式の割り算 / ミー
整式x^2020を整式x^4+x^3+x^2+x+1で割った余りを求めなさい。

詳しく教えてください。よろしくお願いします。
No.71317 - 2020/12/04(Fri) 16:12:11
☆ Re: 整式の割り算 / X
二項定理を学習済みという前提なら
以下の解答が考えられます。

(x-1)(x^4+x^3+x+1)=x^5-1
ですので
x^5=(x-1)(x^4+x^3+x+1)+1
∴x^2020=(x^5)^404
={(x-1)(x^4+x^3+x+1)+1}^404
=Σ[k=0〜404](404Ck){(x-1)(x^4+x^3+x+1)}^k
(∵)二項定理
=1+Σ[k=1〜404](404Ck){(x-1)(x^4+x^3+x+1)}^k
となるので求める余りは1
No.71321 - 2020/12/04(Fri) 16:49:32
☆ Re: 整式の割り算 / X
別解)
やはり
(x-1)(x^4+x^3+x+1)=x^5-1 (A)
を使います。

x^5=a (B)
と置くと
x^2020=a^404 (C)
これをf(a)と置くと
f(1)=1
∴剰余の定理により
f(a)をa-1で割った余りは1
∴f(a)=(a-1)g(a)+1
(g(a)はaについての整式)
と書くことができます。
これより
a^404=(a-1)g(a)+1
aを元に戻して
x^2020=(x^5-1)g(x^5)+1
∴(A)により求める余りは1です。
No.71322 - 2020/12/04(Fri) 16:59:21
☆ Re: 整式の割り算 / らすかる
別解
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1
x^2020=(x^5-1)(x^2015+x^2010+x^2005+…+x^10+x^5+1)+1
=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2015+x^2010+x^2005+…+x^10+x^5+1)+1
なので、余りは1
また、この式を見てわかるように、商は
(x-1)(x^2015+x^2010+x^2005+…+x^10+x^5+1)
=(x^2016-x^2015)+(x^2011-x^2010)+(x^2006-x^2005)+…+(x^6-x^5)+(x-1)
です。
No.71325 - 2020/12/05(Sat) 01:59:30
☆ Re: 整式の割り算 / 黄桃
なんだか、x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)に気づかないとできないように思われそうなので、泥臭いけど、あきらめずにやれば、気づかなくてもできるはず、といっておきます。

普通に筆算で、多項式の割り算

x^4+x^3+x^2+x+1)x^2020

の計算を始めてみてください。最初に商が x^2016 で、差が -x^2019-x^2018-x^2017-x^2016になります。
さらに続けると次の商は-x^2015 で、差はx^2015です。

ここはぜひご自分で紙に書いてやってみてください。

ここで気づいてもいいですが、もう少し続けると次の商がx^2011、その次の商が-x^2010と続き、この時の差がx^2010となります。
このくらいまでくると、次数が違うだけで同じことの繰り返しだとわかります。
つまり、割り算を続けると、x^2020, x^2015,x^2010 と5つ置きに xのなんとか乗が出てくるから、最後は...,x^10,x^5となるはず。
だから、結局x^5を x^4+x^3+x^2+x+1 で割ったものと同じになるはず、とわかります（ついでにいえば、商も x^2011-x^2010+x^2006-x^2005... と、x^(5n+1)-x^(5n)という形のが続くとわかります）。
もちろん、続けて...x^10,x^5,x^0=1 として、最後に1だけ残るから余りは1としてもいいですが、x^5を割り算した方が安心できるでしょう。

このように規則的になる理由が、皆さんが示している
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
なのです。

＃実は、この問題が（時間をかけずに）解ける、ということがヒントでなんらかの規則性があることを暗示しているのです。
No.71330 - 2020/12/05(Sat) 11:40:22
★ 相関 / 受験生
n人の高校生がおり、t番目の生徒の国語の点数をXt、物理の点数をYt、英語の点数をZtとして国語と物理の点数の相関係数をSxy、物理と英語の点数の相関係数をSyz、国語と英語の点数の相関係数をSxzとする。
国語の点数と物理の点数の相関係数が0.5、物理と英語の点数の相関係数も0.5のとに国語と英語の点数の相関係数Sxzの最大値と最小値を求めよ。
またSxy=Syz=aとしたとき、Sxzが常に0以上となるaの条件を答えよ。
全くわかりません。どなたか解説付きで教えて貰えると助かります。
No.71313 - 2020/12/03(Thu) 23:07:47
★ 大学課題 / みみ
f(x,y)=e ^ x−y について次の問に答えよ.
(1) fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyy(x, y) を求めよ.
(2) fx(1, 0), fy(1, 0), fxx(1, 0), fxy(1, 0), fyy(1, 0) を求めよ. f(x,y)=e ^ x−y について次の問に答えよ.
(1) fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyy(x, y) を求めよ.
(2) fx(1, 0), fy(1, 0), fxx(1, 0), fxy(1, 0), fyy(1, 0) を求めよ. (3) f (x, y) =e ^ x−y を (x, y) = (1, 0) のまわりで 2 次の項までテイラー展開せよ.
大学の課題でこの問題がわりません。どなたかお願いします
No.71310 - 2020/12/03(Thu) 15:07:20
☆ Re: 大学課題 / 関数電卓
f(x,y)＝e^(x−y） ですね？
記号 fx(x,y), fxx(x,y) 等の意味はお分かりですか？
No.71311 - 2020/12/03(Thu) 18:31:49
★ 相似 / 受験生
体積の求め方が数が合わずわかりません。
よろしくお願いいたします。
No.71307 - 2020/12/03(Thu) 12:58:55
☆ Re: 相似 / らすかる
(1)
∠AEP=∠CED、∠EPA=∠EDC=90°、AP=AB=CDなので
△AEP≡△CED
よってAE=CEなのでAR=CR
AC=√(1^2+2^2)=√5からAR=CR=√5/2
△CER∽△CAPからCE=(CR/CP)CA=(√5/2)÷2×√5=5/4

(2)
△ACP∽△PCQから
PQ=(CP/CA)AP=(2/√5)×1=2√5/5

(3)
△CER∽△CAPからER=(1/2)CR=√5/4

(4)
頂点がAで底面がPQを回転したものである円錐は
底面の半径がPQ=2√5/5、高さがAQ=√5/5なので
(2√5/5)^2・π・(√5/5)÷3=(4√5)π/75
頂点がCで底面がPQを回転したものである円錐は
底面の半径がPQ=2√5/5、高さがCQ=4√5/5なので
(2√5/5)^2・π・(4√5/5)÷3=(16√5)π/75
頂点がCで底面がERを回転したものである円錐は
底面の半径がER=√5/4、高さがCR=√5/2なので
(√5/4)^2・π・(√5/2)÷3=(5√5)π/96
よって求める体積は
{(4√5)π/75+(16√5)π/75-(5√5)π/96}×2=(103√5)π/240
No.71309 - 2020/12/03(Thu) 13:40:59
★ 解説がないです。 / 受験生
全く歯が立たず困っています。よろしくお願いします。
No.71306 - 2020/12/03(Thu) 12:58:07
☆ Re: 解説がないです。 / らすかる
掲示板で説明しやすくするためxy平面上の座標を使います。
展開図を考えて
O(0,2),B(0,-2),C(2√3,0),A(-2√3,0)とすると
D(√3,1)なので
AP+PD=AD=√{(-2√3-√3)^2+(0-1)^2}=2√7

せっかく座標で考えたので(2)もそれを使って
直線ADの式はy=(x+2√3)/3√3なので
x=0としてy=2/3
よってOP=2-2/3=4/3

△OAP=(OP/OB)△OAB=(1/3)(4√3)=4√3/3
△OAPを底面とみると高さは正四面体O-ABCの高さの半分なので
4√6/3÷2=2√6/3
よって体積は(4√3/3)(2√6/3)/3=8√2/9
No.71308 - 2020/12/03(Thu) 13:23:49
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