高校２年です。
実数x,yが0≦x≦π,0≦y≦π/2の範囲で自由に動くとき、点(x+y,sinx+cosy)の存在範囲を求めよ、という問題の考え方をお教え下さい。
(X,Y)=(x,sinx)+(y,cosy)と分解した後、行き詰まってしまいました。片方を固定して、動かしていくとのだと思いますが、具体的にどうすればよいか困っています。
答えは求める存在範囲上の点を(X,Y)とすると、
0≦X≦π/2でcosX≦Y≦1+sinX
π/2≦X≦3π/2でsin(X-π/2)≦Y≦2cos(X/2-π/4)
となっています。
よろしくお願い致します。
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No.71485 - 2020/12/14(Mon) 23:18:58
| ☆ Re: 存在範囲 / IT | | | X=x+y などだと見間違えるので A=x+y 、B=sinx+cosyとします｡
y=A-x、B=sinx+cos(A-x) です。
0≦x≦π…(1)
0≦y=A-x≦π/2 ∴A-π/2≦x≦A…(2)
0≦A≦3π/2 を固定して、x を動かしてBの最小値と最大値を求める。
例えば 0≦A≦π/2のとき､(1)(2) より0≦x≦A です｡
B=sinx+cos(A-x)
0≦x≦π/2 において sinx は連続で単調増加
0≦y≦π/2で cosy は連続で単調減少なので xの関数としてcos(A-x)は連続で単調増加です.
よって sin0+cos(A-0)≦B≦sinA+cos(A-A)
という感じでできませんか？後半は少し面倒かも知れません。やってみてください。
xの範囲を sinx が増加となる0≦x≦π/2 と減少となるπ/2 ≦x≦πに分けて考えても良いかも知れません。
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No.71486 - 2020/12/15(Tue) 01:18:59 |
| ☆ Re: 存在範囲 / IT | | | sinx+cosy=sinx+sin(y+(π/2))=2sin((x+y)/2+π/4)cos(((x-y)-(π/2))/2) （和積公式
ですから、
A=x+yを固定したとき Bの値はcos(((x-y)-(π/2))/2)によって変化することが分かります。
これを使うと良さそうです。
見通し良く考えるには sinx（0≦x≦π) cosx（0≦x≦π/2)のグラフを描いてみるのが良いかも知れません。
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No.71487 - 2020/12/15(Tue) 19:43:03 |
| ☆ Re: 存在範囲 / IT | | | 少し厳密性に欠けるかも知れませんが、下記のような考えも分かり安いかも。
0≦A=x+y≦π/2のとき
0≦x≦π/2 でsinxは増加,cosxは減少なので
B=sinx+cosyが最小となるのはx=0,y=Aのときで最小値cosA
最大となるのはx=A,y=0のときで,最大値sinA+1
π/2≦A≦3π/2のとき
（最小値）
x=0,y=π/2 のときのsin0+cos(π/2)＝0 からxをA-π/2に増加させたときの
sin(A-π/2)が最小値となる。
（最大値）
x=π/2,y=0 からx が増加するとsinxは減少し、yが増加するとcosyは減少する。
ここでsinx(π/2≦x≦π) のグラフとcosy(0≦y≦π/2)のグラフは一致し
x,y が大きくなればなるほど、sinx、cosyの減少の割合が大きくなることから
x=π/2,y=0 からの増分をx,y 均等にしたときBは最大となる。
すなわちx=π/2+(A-π/2)/2,y=(A-π/2)/2のとき、
最大値sin(π/2+(A-π/2)/2)+cos((A-π/2)/2)＝2cos(A/2-π/4)
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No.71491 - 2020/12/15(Tue) 21:22:25 |
| ☆ Re: 存在範囲 / kei | | | IT様
詳細な解説ありがとうございます。
0≦A≦π/2のときは最初の回答のように考えることで分かりました！
π/2≦A≦3π/2のときは
まず、0≦x≦πかつA-π/2≦x≦Aなので
A-π/2≦x≦min{A,π}
B=sinx+cos(A-x)
=sinx+sin{π/2-(A-x)}
=2sin(x+π/4-A/2)cos(A/2-π/4) (和積の公式)
cos(A/2-π/4)≧0 (∵π/2≦A≦3π/2)なので、sin(x+π/4-A/2)の最大値と最小値を調べればよい。
A/2-π/4≦x+π/4-A/2≦π/4-A/2+min{A,π}において、
x=π/4+A/2のときsin(x+π/4-A/2)は最大値1をとるから
B≦2×1×cos(A/2-π/4)=cos(A/2-π/4)
ここまではきちんと示せていると思うのですが、
x=A/2-π/4のとき(★ここがうまく示せませんでした)、sin(x+π/4-A/2)は最小値sin(A/2-π/4)をとるので
B≧2×sin(A/2-π/4)×cos(A/2-π/4)
=sin(A-π/2)
∴sin(A-π/2)≦B≦2cos(A/2-π/4)
★のところをきちんと示すには、どのように書くのがよいのでしょうか？(もっとも、上記のような考え方でよろしいでしょうか？)
すみませんが、ご教授下さい。
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No.71496 - 2020/12/15(Tue) 23:09:26 |
| ☆ Re: 存在範囲 / IT | | | > x=A/2-π/4のとき(★ここがうまく示せませんでした)、sin(x+π/4-A/2)は最小値sin(A/2-π/4)
x=A/2-π/4のとき x+π/4-A/2=0 なので 間違っているのでは？
A-π/2≦x≦min{A,π}のときの C=x+π/4-A/2の値の範囲を調べ そこでの sinC の増減を調べる必要があると思います。
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No.71500 - 2020/12/16(Wed) 07:24:32 |
| ☆ Re: 存在範囲 / kei | | | No.71513 - 2020/12/16(Wed) 23:08:23 |
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