ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校数学の問題です / 3515

高校数学の問題です
幅２ｍの銅板を両端から等しい長さだけ、等しい角度で折り曲げて、断面が台形状となるようにする。
このとき断面積が最大になるようにするには、端から何ⅿのところで折り曲げ、かつどれくらいの角度で折り曲げればよいか。

以下の手順で求めよ。
（1）折り曲げる長さをX、折り曲げる角度をΘ。断面積をSをXとΘで表せ。
（2）SをXで微分。Sが最大となるXの値をΘを用いて表し、その時の面積の最大値S1をΘで表せ。
（３）（２）のS1をΘで微分することにより、Sの最大値と、その時のX、Θの値を求めよ。

という問題なんですが全く分かりません誰か教えて下さい高校数学の問題です

No.70531 - 2020/10/29(Thu) 02:58:55

☆ Re: 高校数学の問題です / ヨッシー

(1)
図のように、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを決めます。
　ＢＣ＝2－2X
　ＡＤ＝ＢＣ＋2Xcosθ＝2－2X＋2Xcosθ
　高さ＝Xsinθ
よって、
　Ｓ＝(2－4X＋4Xcosθ)(Xsinθ)÷２＝(1－2X＋2Xcosθ)(Xsinθ)
(2)
θを固定値として、
　dS/dx＝(－2＋2cosθ)(Xsinθ)＋(1－2X＋2Xcosθ)(sinθ)
　　＝－2Xsinθ＋2Xsinθcosθ＋sinθ－2Xsinθ＋2Xsinθcosθ
　　＝sinθ－4Xsinθ＋4Xsinθcosθ
　S が最大になる X1 は
　X1＝1/(4－4cosθ)
このとき
　Ｓ1＝(1－2X1＋2X1cosθ)(X１sinθ)
　　＝X1^2(2sinθcosθ－2sinθ)＋X1sinθ
　　＝(2sinθcosθ－2sinθ)/(4－4cosθ)^2＋sinθ/(4－4cosθ)
　　＝－2sinθ(1－cosθ)/(4－4cosθ)^2＋sinθ/(4－4cosθ)
　　＝－2sinθ/4(4－4cosθ)＋sinθ/(4－4cosθ)
　　＝sinθ/8(1－cosθ)
(3)
Ｓ1 をθで微分して
　dＳ1/dθ＝(1/8){cosθ(1－cosθ)＋sin^2θ}/(1－cosθ)^2
　　＝(1/8){cosθ－cos(2θ)}/(1－cosθ)^2
0＜θ＜π/2 の範囲で dＳ1/dθ＝0 となるのは、
　2θ＝π－θ
になるときで、θ＝π/3 ・・・答
このとき、
　X＝1/(4－4cosθ)＝1/2 ・・・答

増減表は省略しました。

No.70532 - 2020/10/29(Thu) 09:56:58

☆ Re: 高校数学の問題です / 関数電卓

>> ヨッシーさん
ケアレスミスがあるようですよ。
(1)
よって、
　S＝(4－4X＋2Xcosθ)(Xsinθ)÷2＝(2－2X＋Xcosθ)(Xsinθ)
(2)
S が最大になる X1 は
　X1＝1/(2－cosθ)
(3)
S1 をθで微分して
　dS1/dθ＝…＝(2cosθ－1)/(2－cosθ)^2
0＜θ＜π/2 の範囲で dS1/dθ＝0 となるのは、2cosθ－1＝0 になるときで、θ＝π/3
このとき、
　X＝(√3/2)/(2－1/2)＝√3/3

となりました。

No.70535 - 2020/10/29(Thu) 18:13:06

★ 玉 / Tom

この問題を確率漸化式で解くことは可能でしょうか？

初めに赤球2個と白球2個が入った袋がある。その袋に対して以下の試行を繰り返す。
?@まず同時に2個の球を取り出す。
?Aその2個の球が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば赤球2個を袋に入れる。
?B最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回の試行を終える。
n回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数をX nとする。
（1）X 1= 3となる確率を求めよ。
（2）X 5= 3となる確率を求めよ。
（3）X 5= 3であったとき、X 4= 3である条件つき確率を求めよ。
（1）2/3,（2）5227/66150、（3）4303/5227 が答えです。

No.70524 - 2020/10/28(Wed) 16:35:23

☆ Re: 玉 / ヨッシー

漸化式を作ることは出来ますし、それに、値を代入して、
この問題にある範囲の数値なら求めることは出来ます。
しかし、それを解いて、任意のｎについての式を出すのは難しいでしょう。

No.70529 - 2020/10/28(Wed) 21:08:17

★ 線型空間 / さくら

(2)の解き方が分からなく解けないので、お願いしたいです。。

No.70520 - 2020/10/28(Wed) 07:30:09

☆ Re: 線型空間 / X

Wに対する条件から
↑v=(v[1],v[2],v[3])∈W
なる↑vの成分について
v[1]+2v[2]=0 (A)
-3v[2]+v[3]=0 (B)

(A)より
v[1]=-2v[2]
(B)より
v[3]=3v[2]
よって
↑v=(-2v[2],v[2],3v[2])
=v[2](-2,1,3)

∴Wの任意の要素はベクトル
(-2,1,3) (C)
の一次結合で表すことができる。
更に(C)は一次独立であることは
明らかなので、(C)はWの基底。

Wを構成する基底は(C)の1つのみ
なので
dimW=1

No.70523 - 2020/10/28(Wed) 16:30:20

★ 束の利用 / オレガノ

x^2+y^2+z^2=25,x^2+y^2+z^2+8x-2y-4z+5=0が交わってできる円の中心および半径を求める為に円束を使って求めることは可能ですか？

No.70515 - 2020/10/28(Wed) 01:01:43

☆ Re: 束の利用 / X

求めることはできません。

円を求めることになるので一見円束が使えそうに見えますが
この場合の円は二つの球の「交わり」であって
「交わりを含む何か(注)」ではありません。

注)
平面座標での円束のアナロジーで考えると
空間座標では交円を(交円上の一部だけではなくて)
全て含まなくてはいけません。
その意味で「通る何か」ではなくて
「含む何か」にしています。

No.70517 - 2020/10/28(Wed) 05:50:50

★ ベクトル / さら

質問は(2)です。
OP=kAB(kは実数)で、OAとBPは垂直なので、便宜上垂直記号を:とします。OA:BP→OA:kOA-OB→OAはkOAでもいいよね→kOA:kOA-OB→k^2|OA|^2-kOA:OB→(1)より4k(4K-1)=0
k=0,1/4と自分は計算しました。ですが、正答を見た感じk=1/4だけらしいです。何故k=0はダメなのですか。

No.70510 - 2020/10/27(Tue) 20:45:57

☆ Re: ベクトル / さら

この計算が蛇足なのは分かっています。

No.70511 - 2020/10/27(Tue) 20:47:56

☆ Re: ベクトル / IT

ｋ＝0　のとき
　　Pはどんな点ですか？
　　OA→：BP→　を満たしますか？

No.70512 - 2020/10/27(Tue) 21:25:31

☆ Re: ベクトル / さら

k=0のとき、点Oと点Pは一致するので、
「OA→：BP→　を満たしますか？」←「OA→:BP→=0を満たす？」ということですか？
今のところ自分は満たすと思います。k=0で何が矛盾するのか知りたいです。

No.70513 - 2020/10/27(Tue) 23:07:29

☆ Re: ベクトル / らすかる

> OAはkOAでもいいよね
よくありません。kOAはk=0のとき方向が定まりません。
実際k=0という誤答が出てしまっています。

k=0のとき点O=点PなのでBP→=BO→です。
OA→⊥OB→は成り立ちませんので
OA→⊥BO→も成り立たず、従って
OA→⊥BP→も成り立ちません。

No.70514 - 2020/10/28(Wed) 00:25:06

☆ Re: ベクトル / さら

あ、、なるほど！わかりました。
つまり、簡潔にまとめると、k=0を認めてしまったら、OA→とBO→,もしくは,BP→が垂直なことを認めてしまう。(なぜなら点Oと点Pが一致するため)
OA→•BO→=OA→•(-OB→)=0 つまり、OA→•OB→=0...?@
?@は(1)の結果(もしくは、問題の条件)と矛盾してしまう。
よって、k≠0,k=1/4となる。　　　こうゆうことですね！
ご教授ありがとうございました。

No.70516 - 2020/10/28(Wed) 01:31:58

★ Vector関数 / 大学1年

すみません、この問題が解けません、お願い致します。

No.70507 - 2020/10/27(Tue) 19:35:57

☆ Re: Vector関数 / X

方針を。

↑u=(u_x,u_y,u_z)
↑v=(v_x,v_y,v_z)
と置いて証明すべき等式の
両辺のx,y,z成分が各々
等しくなることを示します。

この方針だと(1)(3)は比較的簡単ですが
(2)については計算が少し煩雑です。

No.70518 - 2020/10/28(Wed) 06:23:58

☆ Re: Vector関数 / X

或いは導関数の定義式を成分を使わず、
ベクトルと係数のスカラーで書き下して
証明するという方針もあります。

この場合は分配法則に対応する外積の公式を
使えば、(2)は多少簡単になるかもしれません。

No.70519 - 2020/10/28(Wed) 06:26:28

☆ Re: Vector関数 / X

ということで、No.70519での方針による証明を。

(1)
(左辺)=lim[h→0]{{λ↑u(t+h)+μ↑v(t+h)}-{λ↑u(t)+μ↑v(t)}}/h
=lim[h→0]{λ・(1/h){↑u(t+h)-↑u(t)}+μ・(1/h){↑v(t+h)}-↑v(t)}}
=(右辺)

(2)
(左辺)=lim[h→0]{↑u(t+h)×↑v(t+h)-↑u(t)×↑v(t)}/h
=lim[h→0]{↑u(t+h)×↑v(t+h)-↑u(t+h)×↑v(t)+↑u(t+h)×↑v(t)-↑u(t)×↑v(t)}/h
=lim[h→0]{↑u(t+h)×{(1/h){↑v(t+h)-↑v(t)}}+(1/h){↑u(t+h)-↑u(t)}×↑v(t)}
(∵)外積の分配法則
=(右辺)

(3)
(左辺)=lim[h→0]{f(t+h)↑u(t+h)-f(t)↑u(t)}/h
=lim[h→0]{f(t+h)↑u(t+h)-f(t+h)↑u(t)+f(t+h)↑u(t)-f(t)↑u(t)}/h
=lim[h→0]{f(t+h)・(1/h){↑u(t+h)-↑u(t)}+{{f(t+h)-f(t)}/h}↑u(t)}
=(右辺)

No.70521 - 2020/10/28(Wed) 14:19:27

☆ Re: Vector関数 / 大学1年

本当にありがとうございます。ほぼ毎週教授からは資料も何もなく、質問に返信もない状況だったので方針も書いてくださって助かりました。

No.70522 - 2020/10/28(Wed) 16:23:12

★ L_p空間の包含 / パスタ

X:集合、A:X上の完全加法族、μ:X上のルベーグ測度とする.
(X,A,μ):測度空間、μ(X)＜∞とする.
1≦p≦q≦∞のとき、L_q(X,A,μ)⊂L_p(X,A,μ)である.
この証明を定義関数を用いて示していただけないでしょうか。

この証明をヘルダーの不等式を使って示しているものが多く、それ以外の方法で定義関数を使った証明があるらしいのですが、さっぱりわからない感じです( ；∀；)
お願いします。

No.70504 - 2020/10/27(Tue) 16:27:09

★ (No Subject) / マカロニ

次の正則関数 f(z) の与えられた点 z0 における Taylor 展開を求めよ.
またそれはどのような範囲で成立するか？
と言う問題です。お願いします

No.70503 - 2020/10/27(Tue) 16:18:19

☆ Re: / GandB

(1)(2) はほとんどの関数論の本に必ず載っている問題。

(3)
　　z/(z+2) = (z+2-2)/(z+2)
　　　　　　= 1 - 2/(z+2)
　　　　　　= 1 - 2/( 3+(z-1) )
　　　　　　= 1 - 2/3( 1+(z-1)/3 )
として無限等比級数を利用する。

(4)1/z(z+2) = (1/2)( 1/z - 1/(z+2) )
　1/z と 1/(z+2) を、(3)と同じような要領で無限等比級数を利用できるように変形する。

No.70537 - 2020/10/29(Thu) 20:47:12

★ 二次曲線 / Ran

この問題を教えてください！

No.70496 - 2020/10/27(Tue) 13:52:00

☆ Re: 二次曲線 / ヨッシー

この楕円をｙ軸方向に a/b 倍した円
　ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2
を考えます。この円外の点Ｐから、円に２接線を引き接点をＡ，Ｂと
したとき、△ＰＡＢの面積が (1/2)ａ^2 であるように点Ｐを動かすとき
Ｐの描く軌跡を、ｙ軸方向に b/a 倍したものが、求める軌跡となります。

ＰＡＯＢが正方形になるとき、△ＰＡＢ＝(1/2)ａ^2 となるので、
点Ｐの軌跡は、半径√2ａの円
　ｘ^2＋ｙ^2＝２ａ^2
これを、ｙ軸方向に b/a 倍して、
　ｘ^2/2ａ^2＋ｙ^2/2ｂ^2＝１・・・答

No.70497 - 2020/10/27(Tue) 14:16:25

★ (No Subject) / やま

4-2が全く分かりません。どなたか教えて頂けると幸いです。

No.70495 - 2020/10/27(Tue) 12:42:15

☆ Re: / X

まずJを対角化します。

条件からJの固有方程式は
t^2+1=0
∴t=i,-i
固有値1,-1に対する固有ベクトルをそれぞれ
↑a=τ_(a[1],a[2])
↑b=τ_(b[1],b[2])
(但しτ_は転置を示す記号で係数ではありません)
とすると
J↑a=i↑a (A)
J↑b=-i↑b (B)
(A)より縦ベクトルの第1成分について
-ia[1]-a[2]=0
∴a[2]=-ia[1]
∴↑a=a[1](1,-i)
(B)より縦ベクトルの第1成分について
ib[1]-b[2]=0
∴b[2]=ib[1]
∴↑b=b[1](1,i)
以上から固有値1,-1に対する固有ベクトルの
一つとしてそれぞれ
τ_(1,-i),τ_(1,i)
を対応させることができるので
T=M{(1,1),(-i,i)}
K=M{(i,0),(0,-i)}
(つまりKはJを対角化した行列
でTはJにKを対応させる行列)
とすると
K={T^(-1)}JT
∴J=TKT^(-1)
∴e^(Jt)=Σ[n=0～∞](1/n!)(tJ)^n
=Σ[n=0～∞](1/n!)T{(tK)^n}T^(-1)
=T{Σ[n=0～∞](1/n!)(tK)^n}T^(-1)
=T{e^(Kt)}T^(-1) (A)
一方
e^(Kt)=M{(e^(it),0),(0,e^(-it))} (B)
(A)(B)から
e^(Jt)=M{(cost,-sint),(sint,cost)}

No.70525 - 2020/10/28(Wed) 17:32:08

★ (No Subject) / やま

この問題の解き方が分かりません。
どなたか教えて頂けると幸いです。

No.70494 - 2020/10/27(Tue) 12:41:20

☆ Re: / X

＞＞(A-λ[1])…(A-λ[n])=0
は明らかにありえない式の形です。
誤植ではありませんか？

No.70499 - 2020/10/27(Tue) 14:25:54

☆ Re: / やま

ご解答ありがとうございます！詳しくは下の証明をした後で証明するようなのですがやはり誤植でしょうか？

No.70500 - 2020/10/27(Tue) 15:28:19

☆ Re: /X / やま

ご解答ありがとうございます！詳しくは下の証明をした後で証明するようなのですがやはり誤植でしょうか？

No.70501 - 2020/10/27(Tue) 15:29:00

☆ Re: / X

続いている問題文云々以前の問題です。

＞＞(A-λ[1])…(A-λ[n])=0
は、行列から行列でないスカラー値を
引くという記述になっている時点で
式の形になっていません。

上記のことが理解できないのであれば、
行列の定義が理解できていないと同じです。

No.70506 - 2020/10/27(Tue) 17:40:20

☆ Re: / IT

横から失礼します。

単位行列をIとしたとき、Iのスカラーλ倍　"λI"を　紛れがない場合は、"λ" と記述する旨の　断り書きがテキストの中にあるのでは？

No.70509 - 2020/10/27(Tue) 20:08:51

☆ Re: / X

＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
確かにその可能性はありますね。

＞＞やまさんへ
ごめんなさい。こちらの想像力不足で言い過ぎました。
ITさんのレスの内容の前提に加えて
＞＞(A-λ[1])…(A-λ[n])=0
の右辺の0を零行列であるとして回答を。

但し、気持ち悪いので
Iを単位行列
Oを零行列
として記述するので適宜読み替えて下さい。

i=1,…,nとして、
(i,i)成分がλ[i]である対角行列をB
とすると、ある正則行列Sに対し
B={S^(-1)}AS
と書けるので
A=SBS^(-1)
∴A-λ[i]I=SBS^(-1)-λ[i]SIS^(-1)
=S(B-λ[i]I)S^(-1)
∴(A-λ[1]I)…(A-λ[n]I)=S{(B-λ[1]I)…(B-λ[n]I)}S^(-1) (A)
ここで条件から
B-λ[i]I は(i,i)成分が0である対角行列
∴((A)の右辺の{}内)=(全ての対角成分に0がかけてある対角行列)
=O
∴(A)から
(A-λ[1]I)…(A-λ[n]I)=O

No.70526 - 2020/10/28(Wed) 17:42:33

★ (No Subject) / 千歳

7の（1）の解き方が全く分かりません。わかる方よろしくお願い致します。

No.70490 - 2020/10/27(Tue) 02:31:01

☆ Re: / X

条件から
∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u)
=(∂z/∂x)cosθ+(∂z/∂y)sinθ (A)
∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v)
=-(∂z/∂x)sinθ+(∂z/∂y)cosθ (B)
(A)(B)を証明すべき等式の左辺に代入し
整理をします。

No.70491 - 2020/10/27(Tue) 04:43:28

☆ Re: / 千歳

ありがとうございます。感謝です

No.70493 - 2020/10/27(Tue) 10:20:55

★ 堂々巡りを防ぐには / √

教えて下さい。

Ａ＋Ｂ＝１８７
Ｃ＋Ｄ＝１３７
Ａ－Ｄ＝４０
Ｂ－Ｃ＝１０

上記の連立方程式で、
ただし「１個の式に対して文字２個という条件」で。

文字が４個あるので、等式も４個。
だから、
解けるはずと思っていたら、
堂々巡りして、解に辿り着きません。

この原因は、
四角形ＡＢＣＤ（反時計回り）
Ａ－Ｄ
｜　｜
Ｂ－Ｃ

で考えた時、【辺】で繋がった頂点同士の
関係は連立方程式の中に含まれているけど

【対角線】で繋がった頂点同士
Ａ－ＣとＢ－Ｄの関係が無いからでしょうか？

一般に、
連立方程式を作るには、
ただし「１個の式に対して文字２個という条件」で。

例えば、
文字が５個あったら、
式も５個と言う訳ではなく、
５角形を書いて、各頂点同士の関係が、
【辺の数５】＋【対角線の数５】＝１０個の式が
必要ということでしょうか？

また、
全ての式に全ての文字が含まれていたら、
【文字の数】＝【式の数】のはず
と考えてよろしいでしょうか？

No.70485 - 2020/10/26(Mon) 23:03:16

☆ Re: 堂々巡りを防ぐには / らすかる

解にたどり着かない原因は、(第1式)=(第2式)+(第3式)+(第4式)となっていて
4式が独立でないためです。
つまり、4式のうち3つがあれば残りの式が導き出せるため、
有効な式が実質3つしかないということです。
各式の変数の個数とは関係ありません（0個ではダメですが）。

No.70486 - 2020/10/26(Mon) 23:21:22

☆ Re: 堂々巡りを防ぐには / √

らすかるさん
有難うございます。

私の考えたＮ個の文字があったら
Ｎ角形の「辺と対角線の和」の数だけ
式が必要というのは、間違いですね。

No.70489 - 2020/10/27(Tue) 02:05:30

★ 積分の発散 / ｆ

この積分が発散する理由を教えてください。

No.70477 - 2020/10/26(Mon) 18:37:50

☆ Re: 積分の発散 / IT

0＜a≦16　について、定積分　∫[a,16](1/x)dx　は、計算できますか？

No.70479 - 2020/10/26(Mon) 19:55:46

☆ Re: 積分の発散 / ｆ

log(16)-log(a)ですよね。

そこで多分ですが、a→＋0としたときにlog(a)→∞になると思うのですが、答えとしては-∞という感じでいいのでしょうか。

No.70480 - 2020/10/26(Mon) 20:12:16

☆ Re: 積分の発散 / IT

> そこで多分ですが、a→＋0としたときにlog(a)→∞になると思うのですが、
a→＋0としたときlog(a)→-∞　では？　再確認してください。

x=16,8,4,2,1,1/2,1/4,...,で区分し階段関数で下から評価してもできますね。

No.70482 - 2020/10/26(Mon) 20:47:35

☆ Re: 積分の発散 / ｆ

-∞でした。ありがとうございます。

No.70483 - 2020/10/26(Mon) 21:34:16

★ (No Subject) / いいいい

この問題の別解をお願いします。

No.70472 - 2020/10/26(Mon) 16:00:31

☆ Re: / いいいい

答えはこれです。

No.70473 - 2020/10/26(Mon) 16:01:38

☆ Re: / いいいい

つづきです。

No.70474 - 2020/10/26(Mon) 16:02:08

☆ Re: / ヨッシー

別解１
３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面
　4x＋y＋2z－6＝0　・・・(i)
を求め、原点を通り、この平面に垂直な直線
　x＝4t, y＝t, z＝2t　(t は実数)　・・・(ii)
と、(i) との交点が点Ｈなので、
(ii) を (i) に代入して、
　21t＝6
　t＝2/7
(ii) より、求める点は (x, y, z)＝(8/7, 2/7, 4/7)

別解２
同じく
　4x＋y＋2z－6＝0　・・・(i)
を求め、法線ベクトル (4, 1, 2) を得ます。
原点から平面(i) までの距離は
　6/√(4^2+1^2+2^2)＝6/√21
原点から点(4, 1, 2)までの距離は
　√(4^2+1^2+2^2)＝√21
距離を 6/√21 にするために、(4, 1, 2) を 2/7 倍して、
　(8/7, 2/7, 4/7)
よって、求める点は
　(8/7, 2/7, 4/7) または (－8/7, －2/7, －4/7) であるが、
(i) を満たすのは、(8/7, 2/7, 4/7)

No.70475 - 2020/10/26(Mon) 16:29:00

☆ Re: / らすかる

別解３
ABの中点をM(3/2,1,-1/2)とすると、OA=OB=√5、OC=2√5、AB=√6、BC=CA=√33から
四面体OABCは平面OMCに関して対称なので、HはCM上にある。
OH^2+CH^2=OC^2=20、OH^2+MH^2=OM^2=7/2、CH+MH=CM=3√14/2から
CH=8√14/7、CH/CM=16/21なので、H=C+(16/21)(M-C)=(8/7,2/7,4/7)。

No.70476 - 2020/10/26(Mon) 18:32:33

☆ Re: / いいいい

3つも浮かんだんですね。皆さん凄いです。ありがとうございます。

No.70492 - 2020/10/27(Tue) 08:33:06

★ 完全微分方程式について / meow

完全系であるということを前提で解くと，
P=cosx+f(y)
Q=g(x)+1/(1+y^2)
とおくと，
∂P/∂y = ∂Q/∂xより
f'(y) = g'(x)が成り立たなければならないと思うのですが，ここからどのように進めていけば良いのかご教授お願いしたいです．

No.70467 - 2020/10/26(Mon) 03:49:41

☆ Re: 完全微分方程式について / ast

とりあえず
> f'(y) = g'(x)
は, 左辺は x に依存しないこと, かつ右辺は y に依存しないことを主張していますから, したがって両辺とも x にも y にも依存しない定数ということを意味していますね. そうするとそれ以降やるべきことは明白だと思います.
# もしこういう簡明な状況にない場合の一般論が欲しいのであれば, たとえばこのPDFの p.4-5 あたりは
# 条件 ∂P/∂y = ∂Q/∂x から解 (全微分が左辺になる函数) を構成的に見つけられることを述べているので
# これに具体的な P,Q を入れて機械的になぞっていけばいい, ということになりますね.

# 全体の議論はあまり検討していませんが, 問題の「完全形である」というのが
# 「適当な積分因子を掛けてもよい」ものともとれなくはない気がします.
## ただそうすると一気に込み入って相当面倒になるので, そのような意図はないとは思いますが……

No.70488 - 2020/10/27(Tue) 02:04:04

★ 空間ベクトル / ず

３点A(-１,２,-２),B(２,-２,３),C(2,4,-１)の定める平面ABC上に点P(x、３，１)があるとき、ｘの値を求めよ。
－ーーー
Q,なぜ原点Oをとって、OP=OA+SAB+TAC(ベクトル矢印省略）で
計算できないのですか？できれば、計算過程も書いていただけると幸いです。

No.70463 - 2020/10/26(Mon) 00:12:58

☆ Re: 空間ベクトル / らすかる

AB=(2,-2,3)-(-1,2,-2)=(3,-4,5)
AC=(2,4,-1)-(-1,2,-2)=(3,2,1)
OP=OA+sAB+tACに代入
(x,3,1)=(-1,2,-2)+s(3,-4,5)+t(3,2,1)
x=-1+3s+3t … (1)
3=2-4s+2t … (2)
1=-2+5s+t … (3)
(2)-(3)×2
1=6-14s
s=5/14
(2)に代入
3=2-4(5/14)+2t
t=17/14
(1)に代入
x=-1+3(5/14)+3(17/14)=26/7

No.70465 - 2020/10/26(Mon) 02:03:25

☆ Re: 空間ベクトル / ず

この問題本来x=5となっております。
また、原点を取らずに、平面上の一つの頂点から、AP=sAB+tACで計算していました。何故答えが変わってくるのか教えてください。

No.70468 - 2020/10/26(Mon) 07:14:51

☆ Re: 空間ベクトル / らすかる

x=5は間違いです。
f(x,y,z)=7x-6y-9z+1とすると
f(-1,2,-2)=f(2,-2,3)=f(2,4,-1)=0ですから、
平面ABCは7x-6y-9z+1=0と表されますが、
x=5とするとf(5,3,1)=9となり点Pは平面ABC上にありません。
f(26/7,3,1)=0なのでx=26/7で合っています。

AP=sAB+tACで計算しても
(x+1,1,3)=s(3,-4,5)+t(3,2,1) から
x+1=3s+3t, 1=-4s+2t, 3=5s+t
これを解いて
s=5/14, t=17/14, x=26/7
となり同じ値が出ます。

そもそも
OP=OA+sAB+tACのOAを移項すれば
OP-OA=sAB+tAC
AP=sAB+tAC
ですから、同じことです。

No.70469 - 2020/10/26(Mon) 07:51:19

☆ Re: 空間ベクトル / ず

すみません、上のA(-1,2,-1)でした。
それでも計算が一致しません。ご教授お願いします

No.70478 - 2020/10/26(Mon) 18:46:59

☆ Re: 空間ベクトル / らすかる

A(-1,2,-1)ならば
AB=(2,-2,3)-(-1,2,-1)=(3,-4,4)
AC=(2,4,-1)-(-1,2,-1)=(3,2,0)
OP=OA+sAB+tACに代入
(x,3,1)=(-1,2,-1)+s(3,-4,4)+t(3,2,0)
x=-1+3s+3t … (1)
3=2-4s+2t … (2)
1=-1+4s … (3)
(3)からs=1/2
(2)に代入してt=3/2
(1)に代入してx=5
となります。

No.70481 - 2020/10/26(Mon) 20:30:25