ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分 / 鹿

画像の問題で右辺を微分して証明したいのですが、赤線部分の微分が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.71287 - 2020/12/02(Wed) 17:38:47

☆ Re: 微分 / mathmouth

普通に合成関数の微分法を使いましょう.

No.71289 - 2020/12/02(Wed) 19:01:31

☆ Re: 微分 / 関数電卓

赤線部分の微分ならば，mathmouth さんの計算の通りですが，こちらによると，そもそも貼り付けに誤植があるようです。tan^(-1) ではなく tanh^(-1) のようですね。

貼り付けの第２項の微分が第１項と相殺しないので，力技を試しました。

No.71291 - 2020/12/02(Wed) 19:17:04

☆ Re: 微分 / 鹿

返信をくださり、ありがとうございます！
参考にさせていただきますm(_ _)m

No.71294 - 2020/12/02(Wed) 22:33:08

☆ Re: 微分 / mathmouth

関数電卓さんへ

私の計算では(計算ミスがなければ)矛盾は生じませんでした。
恐らくWolframAlphaではeを自然対数と認識しているからtanhの逆関数が登場しているのではないでしょうか？(よく見ると根号の中身がe²-1になっています)
問題のeは、二次曲線の離心率か何かで多分0<e<1
として設定されている気がします。(被積分関数の1/2乗が二次曲線の極方程式の形を含んでいます。)

私はtanhについて学習していませんので詳しくは計算していませんが、Wolframの結果(これには虚数が入っていますので微分については詳しくわかりませんが)を変形すればもとの問題の右辺に一致すると思います。

No.71295 - 2020/12/02(Wed) 22:42:17

☆ Re: 微分 / 関数電卓

大変失礼致しました。
mathmouth さんのご指摘の通りで，wolfram の悪戯でした。間違いは私の筆算でした。懲りずに Walframで確認しました。
ということで，鹿さん，冒頭の貼り付けに 誤植はありません。

No.71296 - 2020/12/02(Wed) 23:20:03

☆ Re: 微分 / 鹿

かしこまりました。
たくさん返信をくださり、ありがとうございました！

No.71297 - 2020/12/02(Wed) 23:31:50

★ 対角化について / 大学生です

このエルミート行列をユニタリ行列によって対角化するという問題です。ただし、ωは(-1+√3i)/2 ,とします。iは虚数単位です。
固有多項式を解くことにより、固有値は3（代数的重複度２）,0と求まりましたが、固有ベクトルを求めようとするとうまく解けなくて困っています。

No.71286 - 2020/12/02(Wed) 16:49:19

☆ Re: 対角化について / 関数電卓

力ずくで計算させるとこのようになりましたが…

No.71288 - 2020/12/02(Wed) 18:26:49

★ 測度について / うい

写真にあるように集合A_k,n,mを定めたときに測度が0になるとあるのですが、これはなぜでしょうか。

教えていただけると幸いです。

No.71285 - 2020/12/02(Wed) 16:02:57

☆ Re: 測度について / ast

結局のところ,「その閾値を一番おおきいものが越えられないのだから, 閾値を超えるものは誰も現れない」という話をしてるだけにしか見えない.
# 必要なところに (今考えている測度に関して) "ほとんど" や "a.e." のような注釈を入れる前提で,
# というのは当然考慮した上での話ではあるけど.

No.71298 - 2020/12/02(Wed) 23:36:55

☆ Re: 測度について / うい

なるほどです、ありがとうございます

No.71312 - 2020/12/03(Thu) 20:27:20

★ 動く点 / 中学受験数学

質問の部分がわかりません。
質問の式がなぜ成り立つのか。説明をしていただけたら幸いです。

No.71284 - 2020/12/02(Wed) 16:00:18

☆ Re: 動く点 / ヨッシー

(180－12x)＋(15x－180)＝36 が模範解答で、
(180－12x)＋(180－15x)＝36 ではないか？というのがあなたの意見ということでしょうか？
だとすると、模範解答が間違っています。
この問題の結果は x=12 で、15x－180＝180－15x＝０なので、
たまたま、どちらでも答えが合いますが、例えば、円周角 45°だと2点間の距離90cmで、
　(180－12x)＋(180－15x)＝90
からは　x＝10 が得られますが、
　(180－12x)＋(15x－180)＝90
は、x＝30 となります。

No.71290 - 2020/12/02(Wed) 19:04:47

☆ Re: 動く点 / 中学受験数学

> (180－12x)＋(15x－180)＝36 が模範解答で、
> (180－12x)＋(180－15x)＝36 ではないか？というのがあなたの意見ということでしょうか？
> だとすると、模範解答が間違っています。
> この問題の結果は x=12 で、15x－180＝180－15x＝０なので、
> たまたま、どちらでも答えが合いますが、例えば、円周角 45°だと2点間の距離90cmで、
> 　(180－12x)＋(180－15x)＝90
> からは　x＝10 が得られますが、
> 　(180－12x)＋(15x－180)＝90
> は、x＝30 となります。
ありがとうございます。助かりました。

No.71305 - 2020/12/03(Thu) 12:57:09

★ 確率変数 / DOMさん

確率変数𝑋のとる値𝑥の範囲が0 ≤ 𝑥 ≤ 4で、その確率密度関数𝑦 = 𝑓(𝑥)がy=(1/8)x (0 ≤ 𝑥 ≤ 4)
で与えられるとき、次の確率を求めてください。
(1)Pr{0≤𝑋≤4}　(2)Pr{0≤𝑋≤2}　(3)Pr{1≤𝑋≤3}
(4)Pr{1/2 ≤𝑋≤3/2｝
答は、(1)の答え◯◯、(2)の答え△△、(3)の答え□□、(4)の答え◎◎という形式で書いて欲しいです。お願いします。

No.71283 - 2020/12/02(Wed) 15:46:29

★ 関数の極限 / ぴーたろー

lim(x→-∞)　5^x/(3^x+4^x)

において、模範解答は3^xで分母分子を割っているのですが、「分母の一番大きいもので割る」と聞いたので4^xで割るのではないかと思ったのですが、なぜ3^xで割るのでしょうか。

お願いします。

No.71281 - 2020/12/02(Wed) 08:29:33

☆ Re: 関数の極限 / らすかる

x→-∞だからですね。
lim[x→-∞]5^x/(3^x+4^x)
=lim[x→∞](1/5)^x/{(1/3)^x+(1/4)^x}
なので、「x→∞のとき分母の一番大きいもので割る」を適用すると
(1/3)^xで割ることになります。
x→-∞をx→∞に変えずにやると、
「x→-∞のとき分母の一番小さいもので割る」ことになりますね。

No.71282 - 2020/12/02(Wed) 09:04:02

★ テイラー展開 / KAN

√(x^2+y^2)の(3,4)まわりのテイラー展開を簡便方を用いて表せ。

解ける方いらっしゃいますか？

No.71277 - 2020/12/02(Wed) 02:18:59

☆ Re: テイラー展開 / GandB

> 簡便方を用いて表せ。
　おもしろい表現だな（笑）。初めて聞いた。
　おそらく二次か三次で打ち切れということだろうから
　　http://aitech.ac.jp/~k-ito/biseki2/14en6.pdf
などを参考にすればよい。

No.71279 - 2020/12/02(Wed) 06:06:16

☆ Re: テイラー展開 / KAN

　お答えいただきありがとうございます。表記が間違っており、正しくは簡便法でした。また、2次の項で打ち切れということでした。すみません。
　x^2yを(1,2)まわりで2次の項までテイラー展開を行う際には、
x^2y＝[1+(x-1)]^2・[2+(y-2)]=[1+2(x-1)+(x-1)^2]・[2+(y-2)] と表され、(x-1)，(y-2)の項を用いて、微分をすることなくテイラー展開が可能です。このような微分を用いることのない方法について、知りたいと考えております。

No.71280 - 2020/12/02(Wed) 08:29:12

★ 行列 / 大学生

2以降がわかりません

No.71275 - 2020/12/01(Tue) 21:49:20

☆ Re: 行列 / IT

(2) (1)でp^-1 が求まったのなら
１つめの式の右辺と２つめの式の右辺を計算して、それぞれのx同志,y同志を比べて等しいことを確認すれば良いのでは？

No.71276 - 2020/12/01(Tue) 22:22:57

☆ Re: 行列 / X

(3)
(x,y)=↑u
(s,t)=↑v
とし、ベクトルの転置をベクトルの頭に
τ_をつけたもので表すとすると
3x^2+4xy+3y^2=↑uAτ_↑u
={↑vP^(-1)}A{Pτ_↑v} ((∵)(2)の結果より)
=↑v{{P^(-1)}AP}τ_↑v (A)
(A)に(1)の結果を代入します。

(4)
(2)の条件である
τ_↑u=Pτ_↑v
からxy平面において、
τ_↑uに対応する点は、τ_↑vに対応する点を
原点中心で-π/4だけ回転移動させたもの
であることが分かります。
(注:
Pは原点中心、角θの回転移動の行列
M{(cosθ,-sinθ),{sinθ,cosθ)}
のθ=-π/4の場合です。)

後はこのことと、(3)の結果を使います。

No.71278 - 2020/12/02(Wed) 05:28:37

★ 関数行列 / 梨沙

この問題の解法が分からないので教えてください。

No.71270 - 2020/12/01(Tue) 16:37:47

☆ Re: 関数行列 / 関数電卓

言われたとおりにそのまま計算すると
　φ(s,t)＝(s＋t)/4, ψ(s,t)＝(s－t)/2
ですので，(ウ)4, (エ)2 です。
また，
　f(s,t)＝^t((s＋t)/4,(s－t)/2)
　g(x,y)＝3(4x^2－y^2)
ですから
　grad(g(x,y)＝(∂g/∂x,∂g/∂y)＝6(4x,－y)
となり，(ア)6, (イ)4 です。

grad(h(s,t)) は
　h(s,t)＝g(f(s,t))＝3(4((s＋t)/4)^2－((s－t)/2)^2)＝3st
から
　grad(h(s,t))＝(∂h/∂s,∂h/∂t)＝(3t,3s)
で求められ，(ケ)3, (コ)3

f のヤコビ行列のところは，記号 ([a,b],[c,d]) で行列を表すことにして，
　Jacobi(f(s,t))＝([∂((s＋t)/4)/∂s,∂((s＋t)/4)/∂t],[∂((s－t)/2)/∂s,∂((s－t)/2)/∂t])
　　　　　　　＝(1/4)([1,1],[2,－2])
だから，(オ)4,(カ)1, (キ)2, (ク)2 となります。

No.71292 - 2020/12/02(Wed) 21:47:29

★ 巡回置換 / たか

f=(123⋯n)を有限集合X={1,…,n}の巡回置換とする。
1. Cを体、XからXへの線型写像をp_f(x_i)=f(x_i), i=1,2,…とする。固有値と固有ベクトルを求めよ。
2. Z/7Zを体とし、固有値と固有ベクトルを求めよ。また、答えがどうnに依存説明しなさい。

一応２のヒントでこんな図をを貰っています。

No.71266 - 2020/12/01(Tue) 05:37:26

☆ Re: 巡回置換 / ast

だいぶ壊れてるね……
本来の問題文はどういう内容なんだろう……

No.71299 - 2020/12/02(Wed) 23:52:34

★ この問題が分かりません。 / どなりん

答えは、7/2なのですが、下記のやり方のどこが間違っているか教えてくださると助かります！

操作が終了するのは、偶数回の時のみ
2回　→　1/2
4回　→　1/4
6回　→　1/8

よって期待値は、11/4

No.71252 - 2020/11/29(Sun) 20:18:42

☆ Re: この問題が分かりません。 / IT

６回の操作で、玉がなくならなかった場合を　もらしているのでは

No.71253 - 2020/11/29(Sun) 20:39:38

☆ Re: この問題が分かりません。 / どなりん

> ６回の操作で、玉がなくならなかった場合を　もらしているのでは

玉がなくならないとはどういうことでしょうか..?

No.71254 - 2020/11/29(Sun) 20:42:42

☆ Re: この問題が分かりません。 / IT

>　玉がなくならないとはどういうことでしょうか..?
文字通りです。言い換えると箱の中の玉が0個にならないということですが、分かりませんか？

玉は、かならずなくなるとは、限らないということです。
もう一度問題をよく読んでみてください。

2回　→　1/2
4回　→　1/4
6回　→　1/8
の各確率を足して　1/2+1/4+1/8 = 7/8 ≠1　であることからもそのことが分かります、
　
残りの　確率1/8 の場合の回数を期待値に加えてないのはおかしいことに気づくと思いますが、

No.71255 - 2020/11/29(Sun) 20:59:26

☆ Re: この問題が分かりません。 / どなりん

> ６回の操作で、玉がなくならなかった場合を　もらしているのでは

ありがとうございます！理解できました！

No.71256 - 2020/11/29(Sun) 21:53:42