ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / いいいい

(1) 等式cos3θ=4cos3θ－3cosθを示せ.
(2) 2cos80° は3次方程式x^3－3x+1=0の解であることを示せ.
(3) x^3－3x+1 = (x－2cos80°)(x－2cosα)(x－2cosβ)となる角度α, βを求めよ.ただし,0°<α<β<180° とする.

よろしくお願いします。

No.70827 - 2020/11/11(Wed) 10:43:35

☆ Re: / らすかる

(1)は成り立ちません。
例えばθ=π/3のとき
(左辺)=cos(3(π/3))=cosπ=-1
(右辺)=4cos(3(π/3))-3cos(π/3)=4cosπ-3cos(π/3)=-4-3/2=-11/2
です。

No.70828 - 2020/11/11(Wed) 12:31:44

☆ Re: / いいいい

すいません。等式cos3θ=4(cosθ)^3－3cosθを示せ.です。

No.70829 - 2020/11/11(Wed) 13:01:07

☆ Re: / らすかる

(1)
cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ-sinθsin2θ
=cosθ{2(cosθ)^2-1}-sinθ(2sinθcosθ)
=2(cosθ)^3-cosθ-2(sinθ)^2cosθ
=2(cosθ)^3-cosθ-2{1-(cosθ)^2}cosθ
=4(cosθ)^3-3cosθ

(2)
4(cosθ)^3-3cosθ=cos3θ
8(cosθ)^3-6cosθ=2cos3θ
θ=80°を代入すると
8(cos80°)^3-6cos80°=2cos240°=-1
(2cos80°)^3-3(2cos80°)+1=0
よって2cos80°はx^3-3x+1=0の解。

(3)
8(cosθ)^3-6cosθ=2cos3θにθ=40°を代入すると
8(cos40°)^3-6cos40°=2cos120°=-1
(2cos40°)^3-3(2cos40°)+1=0
よって2cos40°もx^3-3x+1=0の解。
8(cosθ)^3-6cosθ=2cos3θにθ=160°を代入すると
8(cos160°)^3-6cos160°=2cos480°=-1
(2cos160°)^3-3(2cos160°)+1=0
よって2cos160°もx^3-3x+1=0の解。
2cos40°＞2cos80°＞2cos160°から3つは異なるので、
この3つがx^3-3x+1=0の3解。
従って
(x^3-3x+1)=(x-2cos80°)(x-2cos40°)(x-2cos160°)
なので、α=40°、β=160°。

No.70831 - 2020/11/11(Wed) 13:20:33

☆ Re: / いいいい

丁寧な解説ありがとうございます。私はあまり知りませんが、この問題の作り手はチェビシェフ多項式とか考えて作ったんですかね？

No.70832 - 2020/11/11(Wed) 14:40:18

☆ Re: / らすかる

どうでしょう？
特にチェビシェフ多項式とか知らなくても作れる問題かと思います。

No.70835 - 2020/11/11(Wed) 17:38:15

★ 中３の問題 / 元気

宿題ですが、わからないので教えて下さい。

No.70821 - 2020/11/11(Wed) 02:01:45

☆ Re: 中３の問題 / らすかる

Dを通りAFと平行な直線とBCとの交点をPとすると、FP：PB=AD：DB=1：2
そしてCF：FB=2：1ですから、CJ：JD=CF：FP=6：1となります。
よって△ADJ=(1/7)△ADC=(1/21)△ABCであり、△BFKと△CHLも全く同様に
(1/21)△ABCとなります。
従って
△JKL=△ABC-△AJC-△BKA-△CLB
=△ABC-(△ADC-△ADJ)-(△BFA-△BFK)-(△CHB-△CHL)
=△ABC-(△ADC+△BFA+△CHB)+(△ADJ+△BFK+△CHL)
=△ABC-{(1/3)△ABC+(1/3)△ABC+(1/3)△ABC}+{(1/21)△ABC+(1/21)△ABC+(1/21)△ABC}
=(1/7)△ABC
となりますので、△JKL：△ABC=1：7です。

No.70822 - 2020/11/11(Wed) 02:25:37

★ (No Subject) / moerin

座標平面上の２点Q（1、1）R（2、1／2）に対して点Ｐが円、x^2＋y^2＝1の周上を動くとき、次の問いに答えよ.
（1）△PQRの重心の軌跡を求めよ.
（2）点Pから△PQRの重心までの距離が最小となるとき、点Pの座標を求めよ.
答えは（1）円(x-1)^2+(y-1/2)^2=1/9（2）P(2√5/5,√5/5)　です。
どなたか解いていただけませんか？🙇♀

No.70814 - 2020/11/10(Tue) 19:25:40

☆ Re: / X

点P,△PQRの重心の座標をそれぞれ(X,Y),(x,y)とすると

(1)
条件から
x=(3+X)/3 (A)
y=(3/2+Y)/3 (B)
X^2+Y^2=1 (C)
(A)より
X=3x-3 (A)'
(B)より
Y=3y-3/2 (B)'
(A)'(B)'を(C)に代入して
両辺を9で割ると
(x-1)^2+(y-1/2)^2=1/9 (C)
これが求める軌跡の方程式です。

(2)
方針を。

点Pから△PQRの重心までの距離の2乗を
kとすると、
k=(X-x)^2+(Y-y)^2
これに(A)'(B)'を代入すると
(2x-3)^2+(2y-3/2)^2=k (D)
(C)(D)をx,yの連立方程式として
解く過程で得られるxの2次方程式
の解の判別式に対する条件から
kの値の範囲を求めます。

No.70815 - 2020/11/10(Tue) 19:50:01

★ 微分の問題です / 茶番

同学年共に苦戦してます。分かる方だけで大丈夫なので解答お願いします。

No.70811 - 2020/11/10(Tue) 17:27:05

☆ Re: 微分の問題です / 茶番

誤解を生む可能性がありましたね。"分かる方"は分かる(ほう)です。(かた)ではありません。失礼しました。

No.70812 - 2020/11/10(Tue) 17:28:45

☆ Re: 微分の問題です / 茶番

すみません、1番はできました。

No.70823 - 2020/11/11(Wed) 02:44:36

★ (No Subject) / いいいい

ある袋の中に1～6までの数字が1つずつ書かれたカードが2枚ずつ合計12枚のカードがある。この中から同時に3枚のカードを取り出す。
（問）取り出したカードに書かれている数字が全て異なる確率と取り出したカードに書かれている数字の和が3の倍数である確率を求めよ。
答えはそれぞれ8/11,19/55です。
よろしくお願いします。

No.70805 - 2020/11/10(Tue) 15:42:51

☆ Re: / らすかる

全て異なる確率は
1枚目は何でもよい
2枚目は残り11枚中1枚目と異なる10枚のどれか
3枚目は残り10枚中1枚目とも2枚目とも異なる8枚のどれか
従って求める確率は
(10/11)×(8/10)=8/11

和が3の倍数になるためには
「3で割った余りが3枚すべて同じ」か「3で割った余りが3枚すべて異なる」
のいずれかです。
取り出し方12C3通りのうち
3で割った余りがすべて同じになるのは4C3×3通り
3で割った余りがすべて異なるのは4^3通り
なので、求める確率は(4C3×3+4^3)/12C3=19/55となります。

No.70808 - 2020/11/10(Tue) 16:00:13

★ 解 / よしお

3次方程式x^3+(2m-7)x^2+(9-m)x-m-3=0が、異なる3つの正の解を持つとき実数の定数mの値の範囲はなんですか？

No.70803 - 2020/11/10(Tue) 15:21:00

☆ Re: 解 / らすかる

x^3+(2m-7)x^2+(9-m)x-(m+3)=(x-1)(x^2+(2m-6)x+(m+3))なので
x^2+2(m-3)x+(m+3)=0が1と異なる解を二つ持てばよい。
異なる2解を持つためには判別式が正であればよいので
D/4=(m-1)(m-6)＞0からm＜1または6＜m
x^2+2(m-3)x+(m+3)=0がx=1を解に持つのは
1+2(m-3)+(m+3)=0すなわちm=2/3の場合なので、
求めるmの範囲はそれを除いて
m＜2/3、2/3＜m＜1、6＜m

No.70806 - 2020/11/10(Tue) 15:48:44

★ 媒介変数 / よしお

X=(2t^2+1)/(2t^2+2),Y=t/2(t^2+1) （1/2≦X<1）のXとYの間に成り立つ関係式は何ですか？

No.70796 - 2020/11/10(Tue) 10:34:09

☆ Re: 媒介変数 / らすかる

X=(2t^2+1)/(2t^2+2), Y=t/{2(t^2+1)} ならば
X=(2t^2+2-1)/(2t^2+2)=1-1/(2t^2+2)
1/(2t^2+2)=1-X
1/(2t^2+2)^2=(1-X)^2
Y^2=t^2/(2t^2+2)^2
2Y^2+2(1-X)^2=(2t^2+2)/(2t^2+2)^2=1/(2t^2+2)=1-X
2X^2-3X+2Y^2-3=0
(X-3/4)^2+Y^2=(1/4)^2

# ただし元の媒介変数の式ではX=1をとらないので
# 軌跡は中心(3/4,0)半径1/4の円周から(1,0)を除いたもの

もしもX=(2t^2+1)/(2t^2+2), Y=(t/2)(t^2+1) ならば
X=1-1/(2t^2+2)
(1/2){1/(t^2+1)}=1-X
t^2+1=1/{2(1-X)}
Y=(t/2){1/{2(1-X)}}
4(1-X)Y=t
16(1-X)^2Y^2+1=t^2+1=1/{2(1-X)}
∴2{16(1-X)^2Y^2+1}(1-X)=1

No.70797 - 2020/11/10(Tue) 11:30:20

☆ Re: 媒介変数 / よしお

分かりやすい解説ありがとうございます。

No.70798 - 2020/11/10(Tue) 12:05:30

★ 分数の入れ替え / あああああ

分母の値を分子んもってきて
分子にあった値を分母に持ってくる公式みたいなものがある
らしいのですが、
どういう公式名なのでしょうか？

No.70791 - 2020/11/09(Mon) 21:37:51

☆ Re: 分数の入れ替え / ヨッシー

逆数の定義。

No.70793 - 2020/11/10(Tue) 00:26:50

☆ Re: 分数の入れ替え / あああああ

返信ありがとうございます。
逆数の定では見つかりませんでした
そもそも私の質問の仕方がわかりにくかったので
画像はります
左の式と右の式が同じで　この人曰くまず初めに
t / log(1 + t) の部分を入れ替えて
log(1 + t) / tにするみたいなのですが、
どうやってそれを実現したのかということです。

No.70799 - 2020/11/10(Tue) 13:35:25

☆ Re: 分数の入れ替え / ヨッシー

右上の -1 を見落としていませんか？

　(a/b)^(-1)＝b/a

なので、やはり逆数の定義ですね。

No.70800 - 2020/11/10(Tue) 13:45:20

☆ Re: 分数の入れ替え / あああああ

あああ
本当ですね
完全に見落としていました
面目ありません
ありがとうございました

No.70816 - 2020/11/10(Tue) 22:37:47

★ 三角関数 / unknown

sin^2α+sin^2β+sin^2(α+β) +2cosαcosβcos(α+β) =2となる事を証明せよ.
解いていただけませんか？
和積の公式を使わずに証明できる方法ももしあったらそれも教えて欲しいです。

No.70781 - 2020/11/09(Mon) 17:38:56

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

ベストな方法かはわかりませんが。

sin^2α＋sin^2β＋sin^2(α+β)＋2cosαcosβcos(α＋β)
＝sin^2α＋sin^2β＋1－cos^2(α+β)＋2cosαcosβcos(α＋β)
＝sin^2α＋sin^2β＋1＋cos(α+β){2cosαcosβ－cos(α＋β)}

2cosαcosβ－cos(α＋β)＝2cosαcosβ－cosαcosβ＋sinαsinβ
　＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)

cos(α+β){2cosαcosβ－cos(α＋β)}＝cos(α+β)cos(α－β)
　　＝cos^2αcos^2β－sin^2αsin^2β
　　＝(1－sin^2α)(1－sin^2β)－sin^2αsin^2β
　　＝1－sin^2α－sin^2β

よって、
　(与式)＝sin^2α＋sin^2β＋1＋1－sin^2α－sin^2β＝2

No.70783 - 2020/11/09(Mon) 18:11:59

☆ Re: 三角関数 / IT

加法定理だけで
sin^2α+sin^2β+sin^2(α+β) +2cosαcosβcos(α+β)
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ+cosαsinβ)^2+2cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ)^2+2sinαsinβcosαcosβ+(cosαsinβ)^2+2cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ)^2+(cosαsinβ)^2+2(cosα)^2(cosβ)^2
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ)^2+(cosα)^2(cosβ)^2+(cosαsinβ)^2+(cosα)^2(cosβ)^2
=sin^2α+sin^2β+((sinα)^2+(cosα)^2)cosβ)^2+(cosα)^2((sinβ)^2+(cosβ)^2)
=sin^2α+sin^2β+(cosβ)^2+(cosα)^2
=1+1=2

sin^2αなどは途中から出てくるのは(sinα)^2などと書いてます。

No.70787 - 2020/11/09(Mon) 19:56:58

☆ Re: 三角関数 / IT

上とまったく同じですが記述量削減のため、
a=sinα,b=sinβ,c=cosα,d=cosβとおけば、a^2+c^2=b^2+d^2=1

sin^2α+sin^2β+sin^2(α+β) +2cosαcosβcos(α+β)
（加法定理により）
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ+cosαsinβ)^2+2cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)
=a^2+b^2+(ad+cb)^2+2cd(cd-ab)
=a^2+b^2+(ad)^2+2adcb+(cb)^2+2(cd)^2-2cdab
=a^2+b^2+(ad)^2+(cb)^2+2(cd)^2
=a^2+b^2+(ad)^2+(cd)^2+(cb)^2+(cd)^2
=a^2+b^2+(a^2+c^2)d^2+c^2(b^2+d^2)
=a^2+b^2+d^2+c^2
=1+1=2

No.70790 - 2020/11/09(Mon) 21:37:21