ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ とりえる値範囲 / さいでん

α、β、γを0＜α、β、γ＜1、かつα＋β＋γ＝１を満たす実数とするとき、

（α＾２×β＾２＋β＾２×γ＾２＋γ＾２×α＾２）÷（（α＋β）＾２×（β＋γ）＾２×（γ＋α）＾２）のとりえる値の範囲を求めたいのですが、教えてください。

高校の範囲でお願いします。

No.71042 - 2020/11/21(Sat) 13:48:23

☆ Re: とりえる値範囲 / らすかる

α≦β≦γとする。
γ=1-α-βを使って与式をγとαβの式に変形すると
{(αβ)^2+(βγ)^2+(γα)^2}/{(α+β)(β+γ)(γ+α)}^2
={{γ(1-γ)}^2-γ^4+(γ^2-αβ)^2}/{(1-γ)(αβ+γ)}^2
α≦β≦γからγ^2≧αβなので、γを一定とするとαβが大きいほど分子が小さく、
分母が大きくなり、全体は小さくなる。
α+β≧2√(αβ)からγが一定すなわちα+βが一定のとき、αβが最大となるのはα=βの場合。
α=βのときγ=1-2αなので、与式に代入して整理すると(9α^2-8α+2)/(1-α)^4
f(α)=(9α^2-8α+2)/(1-α)^4とするとf'(α)=6α(3α-1)/(1-α)^5なので
α=1/3のときに最小値をとる。
このときβ=α=1/3、γ=1-2α=1/3で、与式に代入すると27/64
従って与式は(α,β,γ)=(1/3,1/3,1/3)のとき最小値27/64をとる。

最大値の方は、逆にαβが小さいほど分子が大きく分母が小さくなるので、
全体が大きくなる。
(与式)＝{{γ(1-γ)}^2-γ^4+(γ^2-αβ)^2}/{(1-γ)(αβ+γ)}^2
＜{{γ(1-γ)}^2-γ^4+(γ^2)^2}/{(1-γ)(γ)}^2=1
αβ→0とするにあたってαとβを両方とも小さくする場合、t=α=βとして
lim[t→0]{(αβ)^2+(βγ)^2+(γα)^2}/{(α+β)(β+γ)(γ+α)}^2
=lim[t→0]{t^4+2t^2(1-2t)^2}/{2t(1-t)^2}^2
=lim[t→0](9t^2-8t+2)/{2(1-t)^2}^2
=1/2
αだけ小さくしてβ=γとする場合、t=αとして
lim[t→0]{(αβ)^2+(βγ)^2+(γα)^2}/{(α+β)(β+γ)(γ+α)}^2
=lim[t→0]{2t^2{(1-t)/2}^2+{(1-t)/2}^4}/{((1+t)/2)^2(1-t)}^2
=lim[t→0](9t^2-2t+1)/(1+t)^4
=1
従って1にいくらでも近い値をとるので、
求める範囲は27/64≦(与式)＜1となる。

No.71067 - 2020/11/21(Sat) 21:16:38

☆ Re: とりえる値範囲 / さいでん

ありがとうございました。理解出来ました。

No.71183 - 2020/11/27(Fri) 19:52:08

★ (No Subject) / 現役生

三角比の相互関係を使うと思うのですが解き方が分かりません。
解説お願いします。
回答は23＝(3)24＝(7)です。

No.71039 - 2020/11/21(Sat) 13:02:57

☆ Re: / ヨッシー

sinｙ＝√3sinｘ　　・・・(i)
tanｙ＝√5tanｘ　　・・・(ii)

(i)÷(ii) より
cosｙ＝√(3/5)cosｘ　　・・・(iii)
(i)(iii) それぞれ２乗して加えると
　sin^2ｙ＋cos^2ｙ＝３sin^2ｘ＋(3/5)cos^2ｘ＝１
　(12/5)sin^2ｘ＋(3/5)(sin^2ｘ＋cos^2ｘ)＝１
　(12/5)sin^2ｘ＝2/5
　sin^2ｘ＝1/6
よって
　sinｘ＝√6/6
(i) より
　sinｙ＝√2/2

No.71041 - 2020/11/21(Sat) 13:16:38

☆ Re: / 現役生

sin^2ｙ＋cos^2ｙ＝３sin^2ｘ＋(3/5)cos^2ｘ＝１からどのようにして
　(12/5)sin^2ｘ＋(3/5)(sin^2ｘ＋cos^2ｘ)＝1にしましたか？

No.71043 - 2020/11/21(Sat) 14:43:07

☆ Re: / ヨッシー

ためしに
　(12/5)sin^2ｘ＋(3/5)(sin^2ｘ＋cos^2ｘ)
を計算してみれば分かると思います。

No.71048 - 2020/11/21(Sat) 16:41:03

☆ Re: / 現役生

何度もすみません。
どうしても(12/5)sin∧2が出てくる理由が分かりません。

No.71050 - 2020/11/21(Sat) 17:40:24

☆ Re: / ヨッシー

(12/5)sin^2ｘ＋(3/5)(sin^2ｘ＋cos^2ｘ)
の計算はしてみましたか？

ここで言う計算とは、sin^2ｘ＋cos^2ｘを１に置き換えることではなく、
カッコを外して、sin^2ｘの項と、cos^2ｘの項でまとめることです。

No.71055 - 2020/11/21(Sat) 18:41:18

☆ Re: / ast

# 横からですが……
あるいは
　1(=sin^2(y)+cos^2(y))=3sin^2(x)+(3/5)cos^2(x)
の右辺に cos^2(x)=1-sin^2(x) を代入するように言った方が意図が伝わりやすいのかもしれませんね.

とはいえ, No.71050 がもし "(12/5)A+(3/5)(A+B) の同類項をまとめる計算ができない" という意味の返答だったと仮定すると, 中学の割と初めのほうまで戻って復習しないといけないような内容になってしまうので, 危機的ですね (質問者さんがもし大学受験生だとしたらそろそろ手遅れな時季).

No.71058 - 2020/11/21(Sat) 19:28:54

☆ Re: / URHANL

私なら

3sin^2x+(3/5)cos^2x=1

これから sinx の値が欲しいという中間目標をたてます。

cos^2x が邪魔です。だから

sin^2x+cos^2x=1
を利用してcos^2xを消すことを考えます。

3sin^2x+(3/5)cos^2x=1

(15/5)sin^2x+(3/5)cos^2x=1

(12/5+3/5)sin^2x+(3/5)cos^2x=1

(12/5)sin^2x+(3/5)sin^2x+(3/5)cos^2x=1

(12/5)sin^2x+(3/5)(sin^2x+cos^2x)=1

(12/5)sin^2x+(3/5)=1

(12/5)sin^2x=2/5
どうやら sinx の値が欲しいという中間目標が達成できそうだ……

質問者さんが上記の流れのなかでどこにつまずいていらっしゃるのか、常連さんたちにとっては謎なのでアレコレと探りをいれていらっしゃるのではないかと思われます。私にもわかりません。

※たぶん質問者さんによる単純なボーンヘッドだと思いますし、
言われればアッ(゜ロ゜;
なことなのではと。

No.71068 - 2020/11/21(Sat) 21:48:50

☆ Re: / 現役生

すみません。
ようやく分かりました。URHANLさんの解説をよむと答えてくださった人達の解説も分かりました。
説明不足の中解説して下さりありがとうございました。

No.71075 - 2020/11/21(Sat) 22:52:26

★ 自然数の組 / もも

a,b,cをa≦b≦cを満たす自然数とするとき、
a^2+b^2+c^2=abcを満たす(a,b,c)の組を求めよ。

(3,3,3)ぐらいしか見つけられなかったのですが、
これ以外に求める方法をおしえてください。

No.71031 - 2020/11/20(Fri) 21:36:31

☆ Re: 自然数の組 / らすかる

解は
(a,b,c)=(3,3,3), (3,3,6), (3,6,15), (3,15,39), (6,15,87),
(3,39,102), (3,102,267), (6,87,507), (15,39,582), (3,267,699),
(15,87,1299), (3,699,1830), (6,507,2955), (39,102,3975),
(3,1830,4791), (15,582,8691), …
のように無数にあります。
その式を満たすcのリストは
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A086326
このページによると、
a,b,cがa^2+b^2+c^2=3abc(a≦b≦c)を満たすとき
(3a)^2+(3b)^2+(3c)^2=(3a)(3b)(3c)
なので、(3a,3b,3c)が元の問題の解になっています。
a^2+b^2+c^2=3abc(a≦b≦c)を満たすcの値は
↓こちらにあり、
http://oeis.org/A002559
これは「マルコフ数」と呼ばれているようです。
↓こちらを読むとわかりますが、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E6%95%B0
(3,3F(2n-1),3F(2n+1))　（ただしF(n)はフィボナッチ数）
がa^2+b^2+c^2=abc(a≦b≦c)の一般解のうちの一つの系列に
なっているようですので、解が無数にあるのは間違いありません。
一般解が求まるような式は上記のサイトにありませんでしたので、
おそらく「探索」によらずに「計算」で導き出すのは（今のところは）無理なのだと思います。

(追記)

(a,b,c)=(3,3F(n),3F(n+2))がa^2+b^2+c^2=abc（a≦b≦c）の解のときに
(a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))も解であることの証明
フィボナッチ数の定義から
F(n+4)=F(n+3)+F(n+2) … (1)
F(n+3)=F(n+2)+F(n+1) … (2)
F(n+2)=F(n+1)+F(n) … (3)
(1)+(2)-(3)から
F(n+4)+F(n+3)-F(n+2)=F(n+3)+2F(n+2)-F(n)
F(n+4)-F(n+2)=2F(n+2)-F(n)
∴F(n+4)=3F(n+2)-F(n) … (4)

(3,3F(n),3F(n+2))が解だから
3^2+{3F(n)}^2+{3F(n+2)}^2=3・3F(n)・3F(n+2)
9+9{F(n)}^2+9{F(n+2)}^2=27F(n)F(n+2) … (5)

((a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))のときの左辺)
=3^2+{3F(n+2)}^2+{3F(n+4)}^2
=9+9{F(n+2)}^2+9{F(n+4)}^2
=9+9{F(n+2)}^2+9{3F(n+2)-F(n)}^2　（∵(4)より）
=9+90{F(n+2)}^2-54F(n+2)F(n)+9{F(n)}^2
=9+90{F(n+2)}^2-2{9+9{F(n)}^2+9{F(n+2)}^2}+9{F(n)}^2　（∵(5)より）
=72{F(n+2)}^2-9{F(n)}^2-9

((a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))のときの右辺)
=3・3F(n+2)・3F(n+4)
=27F(n+2)F(n+4)
=27F(n+2){3F(n+2)-F(n)}　（∵(4)より）
=81{F(n+2)}^2-27F(n+2)F(n)
=81{F(n+2)}^2-{9+9{F(n)}^2+9{F(n+2)}^2}
=72{F(n+2)}^2-9{F(n)}^2-9

従って(左辺)=(右辺)であることが示されたので、
(a,b,c)=(3,3F(n),3F(n+2))がa^2+b^2+c^2=abc（a≦b≦c）の解のときに
(a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))も解。

そして(a,b,c)=(3,3F(1),3F(3))=(3,3,6)は3^2+3^2+6^2=54=3・3・6から
解なので、数学的帰納法により
(a,b,c)=(3,3F(2n-1),3F(2n+1))がすべて解であることがわかる。

No.71034 - 2020/11/20(Fri) 22:53:18

☆ Re: 自然数の組 / もも

マルコフ数というのですね。
大変勉強になりました。
こんなところにフィボナッチ数が出てくるなんてとても面白いですね。

No.71040 - 2020/11/21(Sat) 13:05:34

☆ Re: 自然数の組 / URHANL

らすかるさんがおっしゃるに

> 解は
> (a,b,c)=(3,3,3), (3,3,6), (3,6,15), (3,15,39), (6,15,87),
> (3,39,102), (3,102,267), (6,87,507), (15,39,582), (3,267,699),
> (15,87,1299), (3,699,1830), (6,507,2955), (39,102,3975),
> (3,1830,4791), (15,582,8691), …
> のように無数にあります。

とても面白いです。

(a,b,c)は昇順に並べていますが、昇順でなくてもよいように緩めたものを[x,y,z]と書くものとすると

[x,y,z] からは
[x,y,x*y-z] を得られるというわけですね。

[3,3,3]→[3,3,3*3-3]=[3,3,6]→[3,3*6-3,6]=[3,15,6]=[3,6,15]→[3,3*15-6,15]=[3,39,15]=[3,15,39]

[3,6,15]→[6*15-3,6,15]=[87,6,15]=[6,15,87]

[3,15,39]→[3,3*39-15,39]=[3,102,39]=[3,39,102]

などなどなど

[3,3*F(n),3*F(n+2)]→[3,3*3*F(n+2)-3*F(n),3*F(n+2)]=[3,3*(3*F(n+2)-F(n)),3*F(n+2)]

らすかるさんがお示しくださったように
F(n+4)=3*F(n+2)-F(n)
なので

[3,3*F(n),3*F(n+2)]→[3,3*F(n+4),3*F(n+2)]=[3,3*F(n+2),3*F(n+4)]

[x,y,z] から[x,y,x*y-z] を得られることの証明は

Z = x*y -z
とする。

x^2+y^2+z^2 = x*y*z
のもとで

x^2+y^2+Z^2 = x*y*Z
を示せばよい。

x^2+y^2+Z^2
= x^2+y^2+(x*y -z)^2 = x^2+y^2+z^2 -2*x*y*z +x^2*y^2 = x^2*y^2-x*y*z = x*y*(x*y-z) = x*y*Z

No.71046 - 2020/11/21(Sat) 16:18:55

★ 線形代数 / たろう

この問題がわかりません
解説お願いします。

No.71023 - 2020/11/20(Fri) 14:24:20

☆ Re: 線形代数 / X

方針を。

例えば3次元の縦ベクトルを
τ_[1,2,3]
という形で書くことにします。

このとき
T(τ_[1,2,-2])=τ_[1.1] (A)
T(τ_[2,-1,-1])=τ_[1.-1] (B)
T(τ_[1,0,-1])=τ_[2,1] (C)
とします。

さて(A)(B)(C)の右辺の
τ_[1,2,-2] (A)'
τ_[2,-1,-1] (B)'
τ_[1,0,-1] (C)'
に対し
A=M{τ_[1,2,-2],τ_[2,-1,-1],τ_[1,0,-1]}
(つまりAは縦ベクトル(A)'(B)'(C)'を
順に横に並べてできる3次の正方行列)
とすると
detA=-1≠0
∴(A)'(B)'(C)'は線形独立。
従って
τ_[3,2,1]=x・τ_[1,2,-2]+y・τ_[2,-1,-1]+z・τ_[1,0,-1] (D)
なるx,y,zの連立方程式の解の組(x,y,z)が
只一つ存在します。

ということで(D)を解いてx,y,zを求めると
T(τ_[3,2,1])=xT(τ_[1,2,-2])+yT(τ_[2,-1,-1])+zT(τ_[1,0,-1])
=…

No.71025 - 2020/11/20(Fri) 18:10:45

★ 二次関数と不等式の問題 / ひかる

不等式x^2-2x≦0...?@と2次関数f(x)=x^2-2ax+3a(aは定数)がある。次の問いに答えよ。

不等式?@を満たす全てのxに対してf(x)>0を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。
　　
解答 0<a<4

の解説をお願いします。

No.71020 - 2020/11/20(Fri) 11:48:17

☆ Re: 二次関数と不等式の問題 / ヨッシー

?@が 0≦ｘ≦2 であることは朝飯前として、
　y＝f(x)＝ｘ^2－2ax＋3a
のグラフの軸はｘ＝ａであり、?@の範囲内で
　f(x)＞0
となるのは、下の３通りが考えられます。

ａ≦０または　２≦ａのとき
　f(0)＞０　かつ　f(2)
０＜ａ＜２　のとき
　Ｄ＜０　（Ｄは判別式）
それぞれ解いて、
f(0)＝3a＞０　より　０＜ａ
f(2)＝4－a＞０　より　ａ＜４
D/4＝ａ^2－３ａ＜０　より　０＜ａ＜３
以上より、
　０＜ａ＜４

No.71021 - 2020/11/20(Fri) 12:58:22

☆ Re: 二次関数と不等式の問題 / らすかる

参考別解
?@から0≦x≦2
f(0)=3a＞0からa＞0, f(2)=4-a＞0からa＜4なので0＜a＜4が必要。
逆に0≦x≦2かつ0＜a＜4のときf(x)=x^2-2ax+3a=(x-a/2)^2+(2-x)a+(4-a)a/4＞0
（∵(x-a/2)^2≧0, (2-x)a≧0, (4-a)a/4＞0）
従って0＜a＜4は必要十分条件。

No.71022 - 2020/11/20(Fri) 14:03:20

☆ Re: 二次関数と不等式の問題 / ひかる

解説ありがとうございました。

No.71085 - 2020/11/22(Sun) 10:57:35

★ 解説がなく困っています / 中学受験数学

解説がなく、困っています。写真の通りです。

解説ができる方。よければよろしくお願いいたします。

No.71003 - 2020/11/19(Thu) 13:43:10

☆ Re: 解説がなく困っています / 中学受験数学

2問目です

No.71004 - 2020/11/19(Thu) 13:43:54

☆ Re: 解説がなく困っています / 中学受験数学

3問目です。

No.71005 - 2020/11/19(Thu) 13:44:29

☆ Re: 解説がなく困っています / ヨッシー

関連のない別の問題は新しい記事として書いてください。(次から)

１問目
書いてあることを、事実と式を対応させながら書いていきます。
　(事実)太郎さんの公園までの時間　(式) a/70 分
　(事実)花子さんの公園までの時間　(式) b/60 分
　(事実)太郎さんの時間のほうが３分短い　(式) b/60－a/70＝3　　アは?C

花子さんが公園についた後、太郎さんは (10－3＝)７分後に公園に着くはず。
花子さんは６分待ったので、その(7－6＝)１分後に太郎さんが公園に着いた　・・・イは１
太郎さんが公園に着いたとき、花子さんは　(60×1＝) 60ｍ戻っている。
太郎さんと花子さんは１分間に(70－60＝)10ｍ近づくので、
追いつくまでの時間は　60÷10＝６(分)　　　・・・ウは６

追いついた地点と公園の距離は　70×６＝420(m)
この地点が太郎さんの家から1120ｍなので、ａ＝1120－420＝700(m)　・・・エオカ
この距離を太郎さんは　700÷70＝10(分)で進み、花子さんはｂの距離を13分で進むので、
　ｂ＝13×60＝780(m)　　・・・キクケ

No.71006 - 2020/11/19(Thu) 14:02:38

☆ Re: 解説がなく困っています / ヨッシー

２問目
(1)
　ＡＣ＝√(３^2＋４^2)＝５
　ＢＧ＝√(２^2＋４^2)＝２√５
(2)
ＡＣの中点をＭとすると
　△ＡＦＭ∽△ＣＡＢ　（∽は相似の意味）
ＡＭ＝5/2 より　ＡＦ＝ＡＭ×(5/4)＝25/8
よって、
　ＤＦ＝４－25/8＝7/8
(3)
ＢとＥはＡＣに対して対象なので、ＥＰ＝ＢＰ
よって、ＢＰ＋ＰＧが最小になるとき、ＥＰ＋ＰＧも最小になります。
Ｂ，Ｐ，Ｇが一直線上にあるとき最小になるので、
ＢＧとＡＣの交点が求める点Ｐとなります。
このとき、△ＡＢＰ∽△ＧＣＰ　（相似比は３：２）
よって、ＥＰ＝ＢＰ＝(3/5)ＢＧ＝(6√5)/5

No.71007 - 2020/11/19(Thu) 14:13:28

☆ Re: 解説がなく困っています / 中学受験数学

ありがとうございました！

次回から気をつけます。

No.71008 - 2020/11/19(Thu) 16:02:31

☆ Re: 解説がなく困っています / 中学受験数学

> ２問目
> (1)
> 　ＡＣ＝√(３^2＋４^2)＝５
> 　ＢＧ＝√(２^2＋４^2)＝２√５
> (2)
> ＡＣの中点をＭとすると
> 　△ＡＦＭ∽△ＣＡＢ　（∽は相似の意味）
> ＡＭ＝5/2 より　ＡＦ＝ＡＭ×(5/4)＝25/8
> よって、
> 　ＤＦ＝４－25/8＝7/8
> (3)
> ＢとＥはＡＣに対して対象なので、ＥＰ＝ＢＰ
> よって、ＢＰ＋ＰＧが最小になるとき、ＥＰ＋ＰＧも最小になります。
> Ｂ，Ｐ，Ｇが一直線上にあるとき最小になるので、
> ＢＧとＡＣの交点が求める点Ｐとなります。
> このとき、△ＡＢＰ∽△ＧＣＰ　（相似比は３：２）
> よって、ＥＰ＝ＢＰ＝(3/5)ＢＧ＝(6√5)/5

最後の△ＡＢＰ∽△ＧＣＰがどうして相似になるのでしょうか？
角BAC＝角ACG(錯角)は分かるのですが、そこからもう一つの相似条件が分かりません。

よろしくお願いします。

No.71018 - 2020/11/20(Fri) 09:47:15

☆ Re: 解説がなく困っています / ヨッシー

同様に、
　∠ＡＢＧ＝∠ＧＣＡ（錯角）
もしくは、
　∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＧ（対頂角）
が言えます。

No.71019 - 2020/11/20(Fri) 09:50:04

★ (No Subject) / やま

問題5.9が全く分かりません。どなたか解き方と解答を教えて頂けると助かります🙇

No.70996 - 2020/11/19(Thu) 02:32:09

☆ Re: / ast

画像に書かれている「定義を見て納得しろ」にほぼ同意ですが, とりあえず補題 5.8 で用いられている「一様収束」という言葉と‖‖ (おそらく sup ノルム) を使わずに, (おそらくそれらは ε-δ 論法に基づく主張によって定義されている可能性が高いと思いますので) 補題 5.8 全体を ε-δ (この場合は ε-N か) で書き直してみればよいのでは?

テキストの文脈が私の想像した通りなら, ε-δ で書き直したとき "⇔" の両側はほぼ同じような形をしているはずです. 見た目が違っている部分の表す意味が同じであることをきちんというというのがここでの「証明」ということになります.
# 結局のところ, 全部より大きいことと最大のものより大きいことが同じ意味になるという話でしかないので,
# 納得するしないにかかわらず (画像にもあるように) 特に解説することもないと考えるのはむしろ当然
# と言っても過言ではないのではないかと.

# なお, (考えているのが sup ノルムなら) 補題 5.8 の主張はむしろよくある一様収束の定義の仕方のひとつです.
# 定義まわりの議論の際には, 自分がいま採用している定義がどんなものかをきちんと提示すべきでしょう.
# (でないとしばしば曖昧で不毛なやり取りしかできなくなる.)

No.71027 - 2020/11/20(Fri) 19:15:41

☆ Re: / やま

分かりやすい説明ありがとうございます。
ただ‖‖をε-δ論法に書き換える方法が分かりません。
問題で言う‖fn-f‖を||の形にするとなるとどのように書き換えれば良いでしょうか？

No.71132 - 2020/11/24(Tue) 10:48:26

★ 整数 / 大学生

(1)次の整数の部分集合はどのような集合か
(1) (3Z + 2)∩(5Z + 3)
(2) (4Z + 1)∩(9Z + 4)
(3) (10Z + 5) ∩ (12Z + 7)

(2)以下の証明
(10Z + 2) ∩ (12Z + 3) = ϕ

No.70995 - 2020/11/19(Thu) 00:42:07

☆ Re: 整数 / ヨッシー

(1) Z が整数だとすると、この問題は次のように書き換えられます。
　(1) ３で割ると２あまり、５で割ると３あまる数はどんな数ですか。
　(2) ４で割ると１あまり、９で割ると４あまる数はどんな数ですか。
　(3) 10で割ると５あまり、12で割ると７あまる数はどんな数ですか。
　答え
　(1) 15で割ると８あまる数　15Z＋8
　(2) 36で割ると13あまる数　36Z＋13
　(3) 60で割ると55あまる数　60Z＋55

(2)
　10Z＋2 は偶数であり、12Z＋3 は奇数なので、共通項はない。
　ではダメですか？

No.71002 - 2020/11/19(Thu) 11:37:27

★ 不等式の領域について / 舞

すみません。分かる方教えて下さい。

(問題) 不等式(x-y-1)(x+y-1)>0の表す領域を図示でよ。

この問題の解答で不等式(x-y-1)(x+y-1)>0は次の2つの場合にわけられる。

?@x-y-1>0かつx+y-1>0

?Ax-y-1<0かつx+y-1<0

とありますが?@は問題が不等式(x-y-1)(x+y-1)>0と不等式が>0となっているので分かるのですが
何故?Aの不等式<0の場合も考えなくてはならないのでしょうか？

No.70994 - 2020/11/18(Wed) 23:21:00

☆ Re: 不等式の領域について / らすかる

AB＞0となるのはA＞0かつB＞0のときだけでなく、
A＜0かつB＜0のときもAB＞0となるからです。
つまり
AB＞0 ⇔ 「A＞0かつB＞0」または「A＜0かつB＜0」
です。

No.70998 - 2020/11/19(Thu) 04:48:58

☆ Re: 不等式の領域について / 舞

らすかる様

有難う御座います。
理解しました。

No.71015 - 2020/11/19(Thu) 22:21:53

★ 数学 / Ｒ

１から９までの数字が１つずつ書かれた9枚のカードをよく切って、Ｘ、Ｙ、Ｚの3人に3枚ずつ配った。配られたカードについて、以下のことが分かっている。
ア　Ｙのカードの数字の積は１８である
イ　Ｚのカードの数字の積は２１０である
このときＸのカードの数字の積は？

No.70982 - 2020/11/17(Tue) 10:36:15

☆ Re: 数学 / ヨッシー

これは出来ますか？

１から９までの数字が１つずつ書かれた9枚のカードをよく切って、Ｘ、Ｙ、Ｚの3人に3枚ずつ配った。配られたカードについて、以下のことが分かっている。
ア　Ｙのカードの数字の和は１２である
イ　Ｚのカードの数字の和は１８である
このときＸのカードの数字の和は？（答えは１５です）

もう少し難易度を下げると
１から９までの数字が１つずつ書かれた9枚のカードをよく切って、Ｘ、Ｙ、Ｚの3人に何枚かずつ配った。配られたカードについて、以下のことが分かっている。
ア　Ｙの持っているカードは３枚である
イ　Ｚの持っているカードは２枚である
このときＸの持っているカードの枚数は？（答えは４枚）

No.70983 - 2020/11/17(Tue) 10:55:46

☆ Re: 数学 / Ｒ

わかりました！
イより　２１０＝５×６×７であることから
Ｚのカードは(5,6.7)で確定
アより　１８＝１×２×９,１×３×６
しかし、Ｚで「６」のカードは使うため１×３×６は不適
よって、Ｙのカードは(１，２、９）
したがって、Ｘのカードは残りの（３、４、８）より
Ｘのカードの数の積は９６
であってますか？

No.70985 - 2020/11/17(Tue) 13:21:04

☆ Re: 数学 / ヨッシー

それで合っていますが、この手の問題の場合、
具体的に、（５，６，７）のように決まる場合ばかりではないので、
一般的に、
　(1×2×3×4×5×6×7×8×9)÷18÷210＝96
で求められるということも知っておきましょう。

和の例だと、
　(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)－12－18＝15
です。

No.70986 - 2020/11/17(Tue) 13:26:49

☆ Re: 数学 / らすかる

考えすぎかも知れませんが、例えば問題の条件が
Yのカード数字の積は81である
Zのカードの数字の積は112である
だった場合に
X=(1×2×3×4×5×6×7×8×9)÷81÷112＝40
と答えを書くと正しくありません（単なる問題不備ですが）ので、
具体的な組み合わせを考えることも必要かと思います。

No.70992 - 2020/11/18(Wed) 19:00:50

★ 数列の質問です。 / つなかん

漸化式を微分方程式っぽくしてn→∞での振る舞いをみる、という考え方を思いついたのですが、これは正当化できるのでしょうか？
（そもそも考え方自体が間違ってるのかもしれませんが）

No.70980 - 2020/11/17(Tue) 10:12:43

☆ Re: 数列の質問です。 / つなかん

（追記）
eの係数は-3xではなく-x/3です。

No.70981 - 2020/11/17(Tue) 10:14:30

☆ Re: 数列の質問です。 / 黄桃

考え方は面白いですが、正当化するのは難しそうです。
極限値が存在する場合は、それでもいいことが計算で証明できますが（特性方程式を解く方が速いですが）、そうでない場合に問題がありそうです。

(a[n+1]-a[n])/((n+1)-n)=(-3)*a[n]...(*)
の場合、同様に考えれば、y'=-3y より、y=C*e^(-3x)なので、a[n]=a[0]*1/(e^(3n) となり　n→∞の時、a[n]→0になります。
しかし、(*)はa[n+1]=(-2)*a[n] ですから、{a[n]}は公比-2の等比数列で、a[0]≠0 であれば、a[n]は発散です。

ちなみに、y’=y　に対応する数列は a[n]=C*e^n ではなく、a[n]=C*2^n ですので、数列自体も微妙に違います。
ですが、同様の発想は既にあるので、「差分　和分　とは」あたりで検索してみてはどうでしょうか。

No.71000 - 2020/11/19(Thu) 07:12:16

☆ Re: 数列の質問です。 / つなかん

返信ありがとうございます。調べてみます。

No.71001 - 2020/11/19(Thu) 08:54:34