a,b,cをa≦b≦cを満たす自然数とするとき、
a^2+b^2+c^2=abcを満たす(a,b,c)の組を求めよ。
(3,3,3)ぐらいしか見つけられなかったのですが、
これ以外に求める方法をおしえてください。
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No.71031 - 2020/11/20(Fri) 21:36:31
| ☆ Re: 自然数の組 / らすかる | | | 解は
(a,b,c)=(3,3,3), (3,3,6), (3,6,15), (3,15,39), (6,15,87),
(3,39,102), (3,102,267), (6,87,507), (15,39,582), (3,267,699),
(15,87,1299), (3,699,1830), (6,507,2955), (39,102,3975),
(3,1830,4791), (15,582,8691), …
のように無数にあります。
その式を満たすcのリストは
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A086326
このページによると、
a,b,cがa^2+b^2+c^2=3abc(a≦b≦c)を満たすとき
(3a)^2+(3b)^2+(3c)^2=(3a)(3b)(3c)
なので、(3a,3b,3c)が元の問題の解になっています。
a^2+b^2+c^2=3abc(a≦b≦c)を満たすcの値は
↓こちらにあり、
http://oeis.org/A002559
これは「マルコフ数」と呼ばれているようです。
↓こちらを読むとわかりますが、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E6%95%B0
(3,3F(2n-1),3F(2n+1)) （ただしF(n)はフィボナッチ数）
がa^2+b^2+c^2=abc(a≦b≦c)の一般解のうちの一つの系列に
なっているようですので、解が無数にあるのは間違いありません。
一般解が求まるような式は上記のサイトにありませんでしたので、
おそらく「探索」によらずに「計算」で導き出すのは（今のところは）無理なのだと思います。
(追記)
(a,b,c)=(3,3F(n),3F(n+2))がa^2+b^2+c^2=abc（a≦b≦c）の解のときに
(a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))も解であることの証明
フィボナッチ数の定義から
F(n+4)=F(n+3)+F(n+2) … (1)
F(n+3)=F(n+2)+F(n+1) … (2)
F(n+2)=F(n+1)+F(n) … (3)
(1)+(2)-(3)から
F(n+4)+F(n+3)-F(n+2)=F(n+3)+2F(n+2)-F(n)
F(n+4)-F(n+2)=2F(n+2)-F(n)
∴F(n+4)=3F(n+2)-F(n) … (4)
(3,3F(n),3F(n+2))が解だから
3^2+{3F(n)}^2+{3F(n+2)}^2=3・3F(n)・3F(n+2)
9+9{F(n)}^2+9{F(n+2)}^2=27F(n)F(n+2) … (5)
((a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))のときの左辺)
=3^2+{3F(n+2)}^2+{3F(n+4)}^2
=9+9{F(n+2)}^2+9{F(n+4)}^2
=9+9{F(n+2)}^2+9{3F(n+2)-F(n)}^2 （∵(4)より）
=9+90{F(n+2)}^2-54F(n+2)F(n)+9{F(n)}^2
=9+90{F(n+2)}^2-2{9+9{F(n)}^2+9{F(n+2)}^2}+9{F(n)}^2 （∵(5)より）
=72{F(n+2)}^2-9{F(n)}^2-9
((a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))のときの右辺)
=3・3F(n+2)・3F(n+4)
=27F(n+2)F(n+4)
=27F(n+2){3F(n+2)-F(n)} （∵(4)より）
=81{F(n+2)}^2-27F(n+2)F(n)
=81{F(n+2)}^2-{9+9{F(n)}^2+9{F(n+2)}^2}
=72{F(n+2)}^2-9{F(n)}^2-9
従って(左辺)=(右辺)であることが示されたので、
(a,b,c)=(3,3F(n),3F(n+2))がa^2+b^2+c^2=abc（a≦b≦c）の解のときに
(a,b,c)=(3,3F(n+2),3F(n+4))も解。
そして(a,b,c)=(3,3F(1),3F(3))=(3,3,6)は3^2+3^2+6^2=54=3・3・6から
解なので、数学的帰納法により
(a,b,c)=(3,3F(2n-1),3F(2n+1))がすべて解であることがわかる。
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No.71034 - 2020/11/20(Fri) 22:53:18 |
| ☆ Re: 自然数の組 / もも | | | マルコフ数というのですね。
大変勉強になりました。
こんなところにフィボナッチ数が出てくるなんてとても面白いですね。
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No.71040 - 2020/11/21(Sat) 13:05:34 |
| ☆ Re: 自然数の組 / URHANL | | | らすかるさんがおっしゃるに
> 解は
> (a,b,c)=(3,3,3), (3,3,6), (3,6,15), (3,15,39), (6,15,87),
> (3,39,102), (3,102,267), (6,87,507), (15,39,582), (3,267,699),
> (15,87,1299), (3,699,1830), (6,507,2955), (39,102,3975),
> (3,1830,4791), (15,582,8691), …
> のように無数にあります。
とても面白いです。
(a,b,c)は昇順に並べていますが、昇順でなくてもよいように緩めたものを[x,y,z]と書くものとすると
[x,y,z] からは
[x,y,x*y-z] を得られるというわけですね。
[3,3,3]→[3,3,3*3-3]=[3,3,6]→[3,3*6-3,6]=[3,15,6]=[3,6,15]→[3,3*15-6,15]=[3,39,15]=[3,15,39]
[3,6,15]→[6*15-3,6,15]=[87,6,15]=[6,15,87]
[3,15,39]→[3,3*39-15,39]=[3,102,39]=[3,39,102]
などなどなど
[3,3*F(n),3*F(n+2)]→[3,3*3*F(n+2)-3*F(n),3*F(n+2)]=[3,3*(3*F(n+2)-F(n)),3*F(n+2)]
らすかるさんがお示しくださったように
F(n+4)=3*F(n+2)-F(n)
なので
[3,3*F(n),3*F(n+2)]→[3,3*F(n+4),3*F(n+2)]=[3,3*F(n+2),3*F(n+4)]
[x,y,z] から[x,y,x*y-z] を得られることの証明は
Z = x*y -z
とする。
x^2+y^2+z^2 = x*y*z
のもとで
x^2+y^2+Z^2 = x*y*Z
を示せばよい。
x^2+y^2+Z^2
= x^2+y^2+(x*y -z)^2 = x^2+y^2+z^2 -2*x*y*z +x^2*y^2 = x^2*y^2-x*y*z = x*y*(x*y-z) = x*y*Z
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No.71046 - 2020/11/21(Sat) 16:18:55 |
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