早稲田大学志望の高校生になります。
赤本の解説に疑問があるので質問よろしいでしょうか。
f(cos(π/7))=0かつf(0)=1
を満たす整数係数の３次式f(x)を求めよ…
という問題です。
解答はθ=π/7とおいて4θ=π-3θを導き、この式にcosを付加させて
cos(2θ+2θ)=cos(π-3θ)
の加法定理による展開および因数定理で4次→3次に落として、
f(x)=8x^3-4x^2-4x+1
を導いています。
解答は理解できるのですが、なぜこの形しかf(x)がありえないのか分かりません。
f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+1
の形で他にA、B、Cはないのでしょうか。
問題の指示は求めよ(見つけよではない)…なのでこれを答えと主張するには一意性も述べないといけない気がします。
（赤本の解説はノータッチ）
チェビシェフ多項式の性質が関わっているのでしょうか。
よろしくお願い致します。
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No.70065 - 2020/10/10(Sat) 17:31:46
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / IT | | | >問題の指示は求めよ(見つけよではない)…なのでこれを答えと主張するには一意性も述べないといけない気がします。
そうですね。私もそう思います。
丸亀数理塾
https://marugamesuurijuku.hatenablog.com/entry/2019/11/21/195540
このサイトのPDFにも同様のことが書いてあります。
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No.70077 - 2020/10/10(Sat) 23:25:45 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ | | | すみませんが、これは一意性を示すことはできないのでしょうか。ある程度高校数学の範囲を超えても構わないのでどなたかお願いできませんか。
問題の聞き方うんぬんよりも、本当はどうなのか気になります。
整数係数という条件が効いてくると思うのですが。
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No.70079 - 2020/10/10(Sat) 23:34:37 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ | | | 2018年の千葉大の問題文に同じようなことが聞かれていますが、f(x)がただ一つに定まることは証明しなくてよいとあります。
ということは逆を言えば、この千葉の問題や早稲田の問題もやろうと思えば示せるのでは…と思っています。
よろしくお願い致します。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2018/18chiba12.htm
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No.70080 - 2020/10/10(Sat) 23:39:11 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / 黄桃 | | | 一意性は、本質的に
(*)8x^3-4x^2-4x+1 は有理数係数の多項式として既約である
ことから従います（既約でなければ1次の因数を持つことからわかります）。
以下、証明です。
f(x)=8x^3-4x^2-4x+1
と置き、他に、条件を満たす
g(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+1
があったとすると、g(x)をf(x)で割って
g(x)=A/8*f(x)+r(x)
とかけます。x=θを代入すると、r(θ)=0 で、rは2次以下の有理数係数多項式です。
(1) r(x)=0 の時
この時、f(x)はg(x)の0でない定数倍だから、定数項を比較してf(x)=g(x)がわかります。
(2) r(x)が0でない定数の時
r(θ)=0≠r(x) なので、矛盾。
(3) r(x)が1次式の時
r(θ)=0 ということは、θが有理数ということで、因数定理よりf(x)がr(x)で割り切れるということ。これは(*)に矛盾します。
(4) r(x)が2次式の時
f(x)をr(x)で割ると、同様に
f(x)=q(x)r(x)+r1(x)
となり、r1(x)は1次以下の有理数係数多項式でr1(θ)=0 を満たす。r1(x)=0なら(*)に矛盾、そうでないなら上と同様に矛盾。
以上から、他に条件を満たす整数係数の3次式はありません。
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No.70082 - 2020/10/11(Sun) 01:38:04 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / IT | | | 黄桃 さん
>一意性は、本質的に
>(*)8x^3-4x^2-4x+1 は有理数係数の多項式として既約である
>ことから従います（既約でなければ1次の因数を持つことから>わかります） ・・・
なるほど、高校数学範囲で理解できますね。
まちゃさんへ
一般に、整数係数のｎ次方程式（定数項≠0）が有理数解ｒを持つときｒを既約分数で表すと、その分母は、ｎ次の係数の約数、分子は定数項の約数であることから、
8x^3-4x^2-4x+1＝0は有理数解を持たないことが分かります。
（もちろん個別に示すことも容易です）
なお、質問文の中ではθ＝π/7なので、黄桃さんの証明中のθは、α(＝cosθ)などで書き換えた方が分かり安いかも知れません。
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No.70087 - 2020/10/11(Sun) 09:24:37 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ | | | お二人ともありがとうございました。
とてもすっきり分かりました。
あと数か月志望校合格へ向かって頑張ります。
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No.70089 - 2020/10/11(Sun) 11:32:25 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / URHANL | | | 失礼いたします。
>解答はθ=π/7とおいて4θ=π-3θを導き、この式にcosを付加させて
>cos(2θ+2θ)=cos(π-3θ)
の加法定理による展開
で 4次方程式が出てくるのですよね？
4つの解のうち1つが cos(π/7) と。
4つの解を a,b,c,d=cos(π/7) としたときに x についての 3つの 3次式、すなわち
?@ (x-b)(x-c)(x-d)
?A (x-a)(x-c)(x-d)
?B (x-a)(x-b)(x-d)
は、どれもその値が 0 となっているはずです。
「f(cos(π/7))=0かつf(0)=1
を満たす整数係数の３次式f(x)」として、?@?A?Bがふさわしくない理由はなんでしょうか？
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No.70106 - 2020/10/11(Sun) 23:04:32 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ | | | >>URHANLさん
僕が質問者なのに、答えるのはおかしなことですが……。
すみません。
?@、?A、?Bだと整数係数にはならないからだと思われます。
残りの解は-1とcos(3π/7)とcos（5π/7）なので。
?@、?A、?Bがないことも含めまして、先ほど答えて頂いたお二人の方が証明をくださったのだと僕本人は解釈しております。
間違っていたらすみません。。。
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No.70107 - 2020/10/11(Sun) 23:22:42 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / IT | | | >>URHANLさん
?@?A?Bのうちの１つは答えだと思いますが
残りの２つがダメな理由を直接的に答えると
求められた４次方程式は、
(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0 で、URHANLさんのa,b,c,dにおいてa=-1として
8(x+1)(x-b)(x-c)(x-d)=(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0
No.70087 で述べたように 8x^3-4x^2-4x+1＝0は有理数解を持たないので
b,c,d は無理数です。
一方、bcdは有理数です。
よってbc,cd,db,は無理数です。
したがって例えば(x+1)(x-b)(x-d)について、定数項のbdは無理数となり条件を満たしません。
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No.70117 - 2020/10/12(Mon) 00:36:25 |
| ☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / URHANL | | | まちゃさん
ITさん
御回答を有り難うございました。
大変に為になりました。
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No.70174 - 2020/10/13(Tue) 23:03:18 |
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