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★ (No Subject) / aiko
答えがなくて困ってます。

あってるか見てください。
No.70002 - 2020/10/08(Thu) 19:59:03
☆ Re: / aiko
C⑷もわからなくて困ってます。
よろしくお願いします
No.70003 - 2020/10/08(Thu) 20:01:14
☆ Re: / aiko
これです
No.70004 - 2020/10/08(Thu) 20:01:39
☆ Re: / IT
> C⑷もわからなくて困ってます。
具体てきなｚについての出題なので、出題者の意図する解答と違うかも知れませんが、

z^n＝a+bi (a,b は実数）とすると
z^n+(z^n)~＝(a+bi)+(a-bi) ですから。
No.70006 - 2020/10/08(Thu) 21:20:33
☆ Re: / IT
(z^n+(z^n)~)~=(z^n)~+((z^n)~)~=(z^n)~+(z^n)
=z^n+(z^n)~
の方がいいかも。
No.70008 - 2020/10/08(Thu) 21:41:26
☆ Re: / aiko
ありがとうございました！
No.70009 - 2020/10/08(Thu) 22:59:22
☆ Re: / ヨッシー
[A](4) は足してはダメですね。
また、(3) と同じように
　・・・・＝８ｉ
で良いのでは？

[B](2) は考え方は良いですが、答えが違います。
途中に計算間違いがあると思います。
No.70054 - 2020/10/10(Sat) 11:13:20
★ (No Subject) / りか
529と851の最大公約数は
ユークリッドの互除法を用意て、この回答で合ってますか？
No.69998 - 2020/10/08(Thu) 17:52:31
☆ Re: 文字のクセがすごい / ヨッシー
合っています。
No.69999 - 2020/10/08(Thu) 17:57:42
★ atanの計算 / あああああ
計算機で atan4と打つと76°と出ます。
この76°がどういった計算をもとに出されているのかを知りたいです。(atanに限らずですが・・)
アークシリーズを紹介しているものはグラフで説明していますが、計算式はどうなっているのでしょうか
No.69989 - 2020/10/08(Thu) 11:39:39
☆ Re: atanの計算 / らすかる
atanは基本的には
atan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…
という式を用いて計算することが多いと思います。
ただしこの式は|x|≦1でしか収束しませんし、
収束しても|x|が1に近い時は収束が遅く計算に時間がかかりますので、
xに代入する値が小さくなるようにいろいろ工夫します。
また、この式で得られる結果の単位はラジアンですから、
度に直すには後で180/πを掛けます。

x＞1の場合はatan(x)=π/2-atan(1/x)という公式を使えば収束するようになります。
1に近い場合は他の工夫が必要ですが、atan4ならばそのまま計算しても
そんなに遅くないです。
atan(1/4)=1/4-(1/4)^3/3+(1/4)^5/5までで打ち切っても
atan(1/4)≒0.2450が得られます。
よってatan(4)≒π/2-atan(1/4)≒1.3258
となり、度に直すと1.3258×180/π≒75.96°となります。

atan以外の関数も、普通はこのようにテイラー展開された多項式で
計算すると思います。
No.69990 - 2020/10/08(Thu) 12:12:06
☆ Re: atanの計算 / あああああ
atan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…

↑この式の^3また^5 ,^7はどこからきているのでしょうか？
(数列的ななにかでしょうか？)
No.69993 - 2020/10/08(Thu) 14:04:08
☆ Re: atanの計算 / らすかる
atan(x)をx=0のまわりでテイラー展開すると
x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+…
のようになります。
そもそもテイラー展開はべき級数展開ですから、
指数は^1,^2,^3,^4,…のようになっていくものであり、
atan(x)の場合はたまたま偶数次の係数が0ということです。
より詳しく知りたければ、「テイラー展開」で検索してみて下さい。
No.69994 - 2020/10/08(Thu) 14:12:54
☆ Re: atanの計算 / あああああ
テイラー展開というものがあるんですね
ありがとうございます
勉強してみます！！
No.69995 - 2020/10/08(Thu) 14:31:23
☆ Re: atanの計算 / GandB
　電卓の計算については

　　CORDICアルゴリズム

で検索するといろいろおもしろい情報が得られる。
No.70000 - 2020/10/08(Thu) 18:47:21
★ (No Subject) / プリン
整数全体を定義域とする関数f(n)が、

n-10 (n≧101)
f(n)=
f(f(n+11)) (n≦100)

を満たすとき、f(n)=91 (n≦100)

が成り立つことを示せ。
No.69987 - 2020/10/08(Thu) 04:49:08
☆ Re: / プリン
f(n)=n-10 (n≧101)、f(n)=f(f(n+11)) (n≦100)です。
No.69988 - 2020/10/08(Thu) 04:50:56
☆ Re: / IT
実験すると
f(99)=f(f(110))=f(100)=f(f(111))=f(101)=91
ですから、数学的帰納法でできそうですね。
No.69991 - 2020/10/08(Thu) 12:40:51
★ 確率 / プリン
サイコロをくり返し投げて、4以上が出るかまたは投げた回数がnに達したら、そこで試行を中止することにする。試行が中止されるまでに出た目の中で最小の値がiとなる確率をpiとする。このとき、p1、p2、p3の値をnを用いて表せ。

分からないので、教えてください。
No.69986 - 2020/10/08(Thu) 04:43:40
☆ Re: 確率 / X
k回目(k=1,2,…、n)で試行が中止されたとき、
最小値がiである確率をp[i,k]とすると、
k=1,…,n-1のとき
条件から
p[3,k]=(1/2)(1/6)^(k-1)
p[2,k]=(1/2){(1/3)^(k-1)-(1/6)^(k-1)}
p[1,k]=(1/2){(1/2)^(k-1)-(1/3)^(k-1)}
一方
p[3,n]=(1/2)(1/6)^(n-1)+(1/6)^n
p[2,n]=(1/2){(1/3)^(n-1)-(1/6)^(n-1)}+{(1/3)^n-(1/6)^n}
p[1,n]=(1/2){(1/2)^(n-1)-(1/3)^(n-1)}+{(1/2)^n-(1/3)^n}
∴
p[3]=Σ[k=1〜n]p[3,k]=…
p[2]=Σ[k=1〜n]p[2,k]=…
p[1]=Σ[k=1〜n]p[1,k]=…
No.69997 - 2020/10/08(Thu) 16:11:16
★ (No Subject) / みかん
この問題なのですが、(2)でわからなくなってしまいました。どこが良くないのか指摘いただけますか？
No.69980 - 2020/10/07(Wed) 21:29:04
☆ Re: / X
(2)の3行目の計算が間違っています。
-(1/2)(β-α)^3
ではなくて
(1/2)(β-α)^3
です。
No.69981 - 2020/10/07(Wed) 21:37:22
★ (No Subject) / りか
（2）の問題が分かりません。
問題名と解き方をお願いします。
No.69974 - 2020/10/07(Wed) 16:41:53
☆ Re: / IT
その群は、どんな群か分かりますか？
テキストにその群の定義（につながる事項）や例題が書いてないですか？
No.69982 - 2020/10/07(Wed) 21:46:16
☆ Re: / りか
> その群は、どんな群か分かりますか？
> テキストにその群の定義（につながる事項）や例題が書いてないですか？


このようになっておりました。
No.70015 - 2020/10/09(Fri) 15:22:04
☆ Re: / IT
　　　　　×
群（（Z/5Z）,×,1) のような群の意味が書いてあるところがありませんか？
No.70031 - 2020/10/09(Fri) 20:06:48
★ 複素積分 / マカデミア
(3)の解き方を教えてください
No.69972 - 2020/10/07(Wed) 13:52:26
☆ Re: 複素積分 / X
条件から
h(z)={(z-1)^2}{(z+1)^3}f(z)
(f(z)はD上で零点を持たない正則関数)
と置くことができるので
h'(z)=2(z-1){(z+1)^3}f(z)+3{(z-1)^2}{(z+1)^2}f(z)
+{(z-1)^2}{(z+1)^3}f'(z)
∴h'(z)/h(z)=2/(z-1)+3/(z+1)+f'(z)/f(z)
∴留数定理とコーシーの積分定理により
(与式)=2πi(2+3)=10πi
No.69973 - 2020/10/07(Wed) 15:07:35
★ 数理モデルと確率 / 牛カルビ
この問題がわかりません、お願いします（ ; ; ）
No.69971 - 2020/10/07(Wed) 13:44:46
★ 漸化式 / ココナッツ
正八面体ABCDEFGHの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、隣の4頂点のいずれかに等しい確率a/4で移るか、もとの頂点に確率1-aでとどまる。初め頂点Aにいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をpnとする。ただし、0 <a <1とし、nは自然数とする。
（1）数列｛pn}の漸化式を求めよ。
（2）確率pnを求めよ。
No.69969 - 2020/10/07(Wed) 09:47:00
☆ Re: 漸化式 / IT
>正八面体ABCDEFGHの頂点
頂点は6個では？

正八面体ABCDEF　だとすると、Aに隣接する4頂点BCDE を一塊として考えるとシンプルになると思います。
No.69977 - 2020/10/07(Wed) 19:21:46
★ 三角関数 / しらす
写真の問題が解けません...
No.69962 - 2020/10/07(Wed) 00:33:35
☆ Re: 三角関数 / X
鉛筆で書かれた通りの方針で変形します。

二倍角の公式(又は半角の公式)を使うと
f(x)=4(1-cos2x)/2+(3/2)sin2x+2(1+cos2x)/2
=(3/2)sin2x-cos2x+3
={(1/2)√13}(2x-α)+3
(但しαは0＜α＜π/2,tanα=2/3なる角)
ここで
0≦x≦2π
により
α≦2x-α≦4π-α
∴f(x)の最大値は
3+(1/2)√13
(このとき2x-α=π/2,2π+π/2
つまり
x=π/4+α/2,5π/4+α/2)
f(x)の最小値は
3-(1/2)√13
(このとき2x-α=3π/2,2π+3π/2
つまり
x=3π/4+α/2,7π/4+α/2)


まとめて
f(x)の最大値は3+(1/2)√13
(このときx=π/4+α/2,5π/4+α/2)
f(x)の最小値は3-(1/2)√13
(このときx=3π/4+α/2,7π/4+α/2)
(但しαは0＜α＜π/2,tanα=2/3なる角)
No.69965 - 2020/10/07(Wed) 05:58:50
★ 区分求積法 / つちのこ
写真の問題がさっぱりわかりません。
No.69960 - 2020/10/06(Tue) 23:06:58
☆ Re: 区分求積法 / IT
その積分値を区分求積法の式の形に書けますか？

式の中に　Σ[i=1..n]i^m が出るので　

Σ[i=1..n]i^m は　nのm+１次式で　n^(m+1)の係数は1/(m+1) であることを使えば良いと思います。

Σ[i=1..n]i^m については、下記などを参考にしてください。
https://mathtrain.jp/yonjo
No.69961 - 2020/10/07(Wed) 00:20:34
★ (No Subject) / アーモンド
赤と白のビーズを30個使いネックレスを作る。ただし、ビーズの形と大きさはすべて同じであり、使わない色があってもよいものとする。このとき、ネックレスのつなぎ目については無視するとして、ネックレスの作り方は何通りあるか。

教えてくれませんか。
No.69956 - 2020/10/06(Tue) 22:59:27
☆ Re:数珠順列 / URHANL
重複ありの数珠順列については、高校まででは比較的に解きやすいとされる特殊なパターンのみ取り上げられています。

一般に知られている万能な公式などなく丹念にパターン分けをして数え上げていくわけですね。裏返して同一のものになったりならなかったりを区別するのも苦痛です。

表題の問題は、パターンを分類することすら難しいですね。

恐らくは高校数学の範囲ではないのでしょう。

なお、とある資料によれば、
求める値は以下のようになるらしいです。私は確かめていません。


記号(a,b)は整数a,bの最大公約数を表すものとします。

[1/(2*30)]*[2^{(30,1)} +2^{(30,2)} +2^{(30,3)} +2^{(30,4)} +2^{(30,5)} +2^{(30,6)} +2^{(30,7)} +2^{(30,8)} +2^{(30,9)} +2^{(30,10)} +2^{(30,11)} +2^{(30,12)} +2^{(30,13)} +2^{(30,14)} +2^{(30,15)} +2^{(30,16)} +2^{(30,17)} +2^{(30,18)} +2^{(30,19)} +2^{(30,20)} +2^{(30,21)} +2^{(30,22)} +2^{(30,23)} +2^{(30,24)} +2^{(30,25)} +2^{(30,26)} +2^{(30,27)} +2^{(30,28)} +2^{(30,29)} +2^{(30,30)} +(30/2)*2^{(30/2) +1} +(30/2)*2^{(30/2)}]

ぞっとするほど大きい数ですね。
No.69970 - 2020/10/07(Wed) 10:53:08
☆ Re: / らすかる
計算すると17920860通りなので、
「ぞっとするほど大きい数」でもないように感じました。
No.69976 - 2020/10/07(Wed) 19:10:15
☆ Re: / IT
2^30＝1024＾3 と比較すると、ほぼ60分の１に小さくなるのですね。
No.69978 - 2020/10/07(Wed) 20:46:04
☆ Re: / らすかる
一般のパターンは回転で30重複、裏返しで2重複なので
自己対称形がなければちょうど1/60ですが、
17920860ということは結構自己対称形が多いということですね。
No.69979 - 2020/10/07(Wed) 20:59:37
☆ Re:数珠順列 / URHANL
さきの投稿で参照した、手元の環境にダウンロードしてあったPDF資料のWeb上でのURLを再発見しましたのでご報告します。


●[PDF] 重複円順列・重複数珠順列について - 数研出版
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/68/68-1.pdf
3ページめの、「公式?V（重複数珠順列）」

●[PDF] 同じものを含む円順列について - 数研出版
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/93/93-6.pdf
数珠順列そのものについてではなく、ひとつまえのPDFに含まれる円順列の解説を読むときに参考になりました。


※やはり高校レベルを越えている感じがします。

※でも２色のビーズならばもう少し簡単なアタックルートがあるのでしょうか……
No.69985 - 2020/10/07(Wed) 23:15:11
★ (No Subject) / マカデミア
画像の式の導出法を教えてください
No.69954 - 2020/10/06(Tue) 21:57:55
☆ Re: / GandB
その式、ホントに等しいのか？
No.69955 - 2020/10/06(Tue) 21:58:21
☆ Re: / GandB
　あれ？　この質問削除したはずでは。
　69955の投稿は私ではないけど（同じ内容を投稿したが、投稿した時間が違うという意味です）、自動的に復活するのかな（笑）。
　ま、それはともかく普通に考えたら導関数を求めてから極限をとるのだろうから、-ie^(-π)にはとてもなりそうもないぞwwwwwwwwwwwww。
No.69959 - 2020/10/06(Tue) 23:06:03
☆ Re: / らすかる
その導関数にz≒iπ（iπに近いけどiπとは異なる値）を代入すると
-ie^(-π)に近い値になりますので、答えは合っているように思えます。
No.69964 - 2020/10/07(Wed) 00:52:22
☆ Re: / GandB
　あちゃ！
　確かにそうですね。しかし、どう証明するんだろう？
　手持ちの関数論の本を引っ張り出して見ても似たような問題がない。
No.69966 - 2020/10/07(Wed) 06:35:22
☆ Re: / X
横から失礼します。
以下、単にガリガリ計算しただけですが
証明はできるようです。

No.69959の導関数において
(第2項)+(第3項)={-2[e^{(2+i)z}](z-iπ)^2+2[e^{(1+i)z}](z-iπ)(1+e^z)}/(1+e^z)^3
=2{e^{(1+i)z}}[{-(e^z)(z-iπ)^2+(1+e^z)(z-iπ)}/(1+e^z)^3]
これのz→iπの場合を考えるとき、[]内にロピタルの定理を3回適用すると
(第2項)+(第3項)→-e^(-π+iπ)=e^(-π)

一方
g(z)=e^z
とすると
lim[z→iπ]=(z-iπ)/(1+e^z)=1/g'(iπ)=-1
∴No.69959の導関数においてz→iπのとき
(第1項)→(1+i)e^(-π+iπ)=-(1+i)e^(-π)

ということでz→iπのとき
(No.69959の導関数)→-(1+i)e^(-π)+e^(-π)=-ie^(-π)
(かなり端折った計算ですので間違えていたらごめんなさい。)
No.69967 - 2020/10/07(Wed) 06:43:01
☆ Re: / GandB
　ああ、なるほど！
　関数論は等角写像と実関数の定積分への応用ぐらいしか覚えてないので、とても勉強になります（笑）。ありがとう。
No.69968 - 2020/10/07(Wed) 07:53:39
★ (No Subject) / ん
この問題あってますか？教えてください！
No.69945 - 2020/10/06(Tue) 19:13:43
☆ Re: / ヨッシー
問題は合っています。
答えも合っています。
No.69947 - 2020/10/06(Tue) 19:28:32
★ Taylor展開? / SUM
今までやってたTaylor展開と全然違い、どう書けばいいのかも分かりません。。。
分かる方お願いします。
No.69943 - 2020/10/06(Tue) 18:36:30
☆ Re: Taylor展開? / 関数電卓
このへん の‘具体的な計算例’をご覧になれば，さほど難しくはないのでは…？
No.69944 - 2020/10/06(Tue) 18:57:31
☆ Re: Taylor展開? / SUM
本当にバカですみません、あれから友人とも考えたのですが中々歯が立ちません...
解説願いたいです。
No.70057 - 2020/10/10(Sat) 14:34:26
★ 自然数の組 / さいおんじ
p,q,rを1≦p<q<rを満たす自然数とするとき、(q-p)(r-p)(r-q)/(pqr)が自然数となるような(p,q,r)の組をすべて求めよ。
どこから手を付けていいのかわかりません。
No.69941 - 2020/10/06(Tue) 16:42:40
☆ Re: 自然数の組 / さいおんじ
何か答えが出さない条件が抜けているのでしょうか？
No.69984 - 2020/10/07(Wed) 22:02:49
☆ Re: 自然数の組 / にじがさき
おそらくみなさん分からないのだと思います。
わかる問題のみご回答されているので仕方ないと思います。
No.70138 - 2020/10/12(Mon) 17:03:06
★ x^p+y^p=p^z / さいおんじ
pを素数、x,y,zを自然数とするとき、
x^p+y^p=p^zを満たす(x,y,z,p)の組を求めよ。
pは5以上にはならなさそうですが、示すのが難しいです。
No.69940 - 2020/10/06(Tue) 16:42:04
☆ Re: x^p+y^p=p^z / さいおんじ
何か答えが出さない条件が抜けているのでしょうか？
No.69983 - 2020/10/07(Wed) 22:02:23
☆ Re: x^p+y^p=p^z / にじがさき
フェルマーの最終定理に通ずるものがあるので難しいのだと思います。
学校の先生に聞いたほうがここで聞くよりは良いと思います。
No.70139 - 2020/10/12(Mon) 17:04:50
★ テイラー展開またはローラン展開 / はなぞの
次の式がなぜ成り立つか、またはどのように導出するか教えてください
No.69933 - 2020/10/06(Tue) 14:18:05
★ 複素数 / 醤油
複素数の問題です。
|z-3|+|z-3i|=6を図示せよ、という問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.69932 - 2020/10/06(Tue) 14:15:15
☆ Re: 複素数 / ヨッシー
式をそのまま解釈すると、
　点(3,0) までの距離と
　点(0,3) までの距離の和が６
なので、図示するだけなら、
(1.5, 1.5) 中心、長径が−45°の方向で３、
短径が45°の方向で1.5√2
原点と (3, 3) を通る楕円となります。

No.69935 - 2020/10/06(Tue) 15:08:50
☆ Re: 複素数 / 醤油
ありがとうございます。
傾いた楕円を扱うのが初めてなのですが、この場合x^2/a^2+x^2/b^2=1のaとbはどのような値になりますか？
No.69936 - 2020/10/06(Tue) 15:33:32
☆ Re: 複素数 / ヨッシー
１．式を作ってから、これがどんな図形か考える
２．図形は描けたが、これがどんな式だろうと考える
３．式は式、図形は図形で別々に考える
いろんなアプローチがあります。
この問題の場合は、３．が手頃そうですが、
今直面しているのは、２．なので、この図形から式を求めてみます。

まず、普通に長径がｙ軸方向で３、短径がｘ軸方向で1.5√2 の楕円を
　2x^2/9＋y^2/9＝1　　・・・(i)
とし、これを原点周りに45°回転した楕円を(ii) とします。
(i) 上の点を(x,y)、(ii)上の点を(X,Y) とすると、
　x＝X/√2＋Y/√2
　y＝−X/√2＋Y/√2
の関係があります。これを(i) の式に代入して、
　2(X/√2＋Y/√2)^2＋(−X/√2＋Y/√2)＝9
展開して整理すると
　2(X^2/2＋Y^2/2＋XY)＋(X^2/2＋Y^2/2−XY)＝9
　3X^2/2＋3Y^2/2＋XY＝9
　3X^2＋3Y^2＋2XY＝18
これを、(1.5, 1.5) 平行移動して、
　3(X−1.5)^2＋3(Y−1.5)^2＋2(X−1.5)(Y−1.5)＝18
これが(ii) の式となります。
No.69939 - 2020/10/06(Tue) 16:14:54
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