ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 統計学２標本のｔ検定 / だいがくせい

統計学の問題です。答えがわかる方、よろしくお願いします。
化学薬品の充填はA・B両充填機でおこなわれている。充填機により充填量に差があるかどうか検討せよ.。
なお、両充填機A・Bは、以下の統計量である。
標本平均： xa=20.270、 xb=20.725
平方和： Sa=1.521、 Sb=0.555
サンプル数： Na=10､ Nb＝８

?B 推定母分散を求めなさい
?C 差の標準誤差を求めなさい
?D t値を求めなさい(小数第3位を四捨五入)
?E 区間推定をし、有意水準を５%としたとき、t値から言えることを書きなさい
?F 以上の検定の結果をわかりやすい言葉で説明しなさい

No.70634 - 2020/11/03(Tue) 17:22:24

★ 方程式 / あ

0＜X＜90 0＜Ｙ＜90
方程式 sinY ＝2sinX
tanY＝√5tanX

1.sinX＝？
2.sinY＝？
3.cosX＝？
4.cosY＝？答え 1. 1/4 2. 1/2 3. √15/4 4. √3/2

公式を使うところまでは分かるのですが解く過程が分かりません。
教えて欲しいです。よろしくお願いします。

No.70623 - 2020/11/03(Tue) 13:51:39

☆ Re: 方程式 / らすかる

解き方はいろいろあると思いますが、例えば
cosY=sinY/tanY=2sinX/(√5)tanX=(2/√5)cosX
1=(sinY)^2+(cosY)^2=(2sinX)^2+{(2/√5)cosX}^2=4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2
=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2=(16/5)(sinX)^2+4/5
(16/5)(sinX)^2=1/5
(sinX)^2=1/16
sinX=1/4（∵0＜X＜90°）
sinY=2sinX=1/2
cosX=√{1-(sinX)^2}=√15/4
cosY=(2/√5)cosX=√3/2

No.70625 - 2020/11/03(Tue) 13:59:57

☆ Re: 方程式 / あ

1=(sinY)^2+(cosY)^2=(2sinX)^2+{(2/√5)cosX}^2=4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2 ここから下の
=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2=(16/5)(sinX)^2+4/5
(16/5)(sinX)^2=1/5になる理由を教えてください。お願いします

No.70633 - 2020/11/03(Tue) 16:03:44

☆ Re: 方程式 / らすかる

1=(16/5)(sinX)^2+4/5
の両辺から4/5を引けば
1/5=(16/5)(sinX)^2
となります。

No.70635 - 2020/11/03(Tue) 17:38:58

☆ Re: 方程式 / あ

ありがとうございます。
1=(sinY)^2+(cosY)^2=(2sinX)^2+{(2/√5)cosX}^2=4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2が
=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2になる理由を教えて欲しいです。
何度もすみません。

No.70639 - 2020/11/03(Tue) 19:33:30

☆ Re: 方程式 / らすかる

4=20/5=16/5+4/5なので
4(sinX)^2=(16/5)(sinX)^2+(4/5)(sinX)^2です。
これはcosXを消すための変形ですが、わかりにくければ
4(sinX)^2+(4/5)(cosX)^2
=4(sinX)^2+(4/5){1-(sinX)^2}
=(16/5)(sinX)^2+4/5
としてもよいと思います。

No.70643 - 2020/11/03(Tue) 20:41:13

☆ Re: 方程式 / あ

分かりやすかったです。
ありがとうございました。

No.70645 - 2020/11/03(Tue) 21:19:27

★ (No Subject) / なち

わかりませんでした。よろしくお願い致します。

No.70616 - 2020/11/03(Tue) 10:23:51

☆ Re: / なち

言葉足らずで申し訳ないです。⑶からがわかりませんでした。

No.70617 - 2020/11/03(Tue) 11:00:26

☆ Re: / IT

高校数学ですか？　大学数学ですか？　ロピタルの定理は使っていいのですか？

No.70618 - 2020/11/03(Tue) 11:54:43

☆ Re: / なち

高校数学ですが説明ありだったらロピタルは使えます

No.70620 - 2020/11/03(Tue) 12:36:54

☆ Re: / ast

# 具体的に何も計算していませんが, 方針を:

(3) は (e^x-1)/sin(x/2) = (e^x-e^0)/(x-0) * 2*(x/2)/sin(x/2) とすれば x→0 の極限はわかりますから, これが c と一致すればよいですね.

(4) の前半は A_n を部分積分すれば出てきます. あるいはまったく同じことですが, g(x):=cos((n+1/2)x)/(n+1/2) と置けば (実際には置き換える必要はない),
　 A_n = ∫_[-π,π] f(x)g'(x)dx,
　 B_n = -∫_[-π,π] f'(x)g(x)dx
と書けるので, 積の微分の逆を考えることにより A_n-B_n = [f(x)g(x)]_[-π,π], これが 0 であることを確かめます.
後半は A_n が (2) を通じて (1) の I_n たちの計算に帰着されるので A_n のほうを調べることになるのでしょう.

((5) は (4) あたりから出てきそうですが, 見ていません.)

No.70624 - 2020/11/03(Tue) 13:58:36

☆ Re: / IT

(4) の後半は、f'(x)とcos((n+1/2)x)が[-π,π] で有界であることと2/(2n+1) →0（n→∞) から言えますね。

No.70626 - 2020/11/03(Tue) 14:30:56

☆ Re: / ast

なるほどそうですね, No.70624 の (4)後半以降の話は取り消します (というか, (1)や(2) に帰着させるのは (5) の計算ですね).

つまり, (5) を 1/(e^π-e^(-π))?納n=1,2,…] I_n と見ることができるので, lim_[n→∞] ?納k=1,…,n] I_k に (2) (の両辺 sin(x/2) で割ったもの) を適用してから (4) の lim_[n→∞] A_n (=lim_[n→∞] B_n) の計算に持ち込みます (すると, a を使った式が残るはずです, たぶん).

No.70631 - 2020/11/03(Tue) 15:54:59

★ 中学数学の問題です / ののか

中心がoである円oと円外の点aがある。点pが円oの周上を動く。

?@ a,pの距離が最大になるのはpがどこにいる時か。理由は？
?A a,pの距離が最小になるのはpがどこにいる時か。理由は？

宜しくお願いいたします。

No.70615 - 2020/11/03(Tue) 10:04:41

☆ Re: 中学数学の問題です / ヨッシー

円とは、中心からの距離が等しい点の集まりであり、この距離を半径という。
円の内部の点は中心からの距離が半径より短く、円の外部の点は中心からの距離が半径より長い。
このことを認めたとして、
２点Ｏ、Ａを通る直線と円Ｏとの交点で、Ａから遠い方が距離最大、近い方が距離最小です。
理由は図の通り。
円Ｏ上のＰmax 以外の点は、Ａからの距離がＡＰmaxより小さく、
円Ｏ上のＰmin 以外の点は、Ａからの距離がＡＰminより大きい。

No.70627 - 2020/11/03(Tue) 14:38:54

☆ Re: 中学数学の問題です / ののか

よく分かりました。
ありがとうございました！

No.70641 - 2020/11/03(Tue) 20:32:45

★ 確率 / あ

1から13までのいずれかの番号が1つずつ書かれたカードがそれぞれ4枚ずつ、合計52枚ある。この中から同時に5枚のカードを無作為に取り出す。
1.同じ番号が書かれたカードが4枚含まれる確率
2.同じ番号が書かれたカードが3枚のみ含まれ、残り2枚には互いに異なる番号が書かれている確率
3.同じ番号が書かれたカードが2枚のみ含まれ、残り3枚には互いに異なる番号が書かれている確率

1の答え 1/4165 2の答え 88/4165 3の答え 352/833 です
途中の計算の過程が分かりません。
教えて下さるととても嬉しいです。よろしくお願いします

No.70610 - 2020/11/03(Tue) 00:20:00

☆ Re: 確率 / ヨッシー

トランプのように、４つのスートがあって５２枚全部区別出来るものとします。
全ての選び方は　52Ｃ5＝2598960 通りです。
1. ４枚となる数字の選び方が13通り。残りの1枚が48通りの合計 13×48＝624(通り)
　求める確率は　624/2598960＝1/4165
2. ３枚となる数字の選び方が13通り。どの3枚を選ぶかで 4Ｃ3＝4(通り)
　他の2枚の選び方が 48×44÷2＝1056(通り) の合計
　　13×4×1056
　求める確率は　13×4×1056/2598960＝88/4165
3. ２枚となる数字の選び方が13通り。どの2枚を選ぶかで 4Ｃ2＝6(通り)
　他の3枚の選び方が　48×44×40÷6＝14080 の合計
　　13×6×14080
　求める確率は　13×6×14080//2598960＝352/833

No.70612 - 2020/11/03(Tue) 00:53:37

★ 確率 / いいいい

袋の中に符号+と記されたカードが1枚、ーと記されたカードが2枚、合計3枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚取り出し、記されている符号を記録し、カードを袋に戻す。この試行をn回繰り返し、符号は順番通り記録するものとする。例を参照しながら次の問に答えよ。
例：n = 5として、+ －－－－のとき符号の変化は1回
+－+++のとき符号の変化は2回。
（問）符号の変化が2回以上起こる確率を求めよ。

この答えはn人でじゃんけんするときアイコになる確率と同じです。なぜそのように一致するのですか？

No.70599 - 2020/11/02(Mon) 08:57:03

☆ Re: 確率 / らすかる

アイコの確率とは一致しないのでは？

n=2のとき変化が2回以上起こる確率は0
2人でじゃんけんしたときのアイコ確率は1/3

n=3のとき変化が2回以上起こる確率は
+-+と-+-なので(1/3)(2/3)(1/3)+(2/3)(1/3)(2/3)=2/9
3人でじゃんけんしたときのアイコ確率は1/3

n=4のとき変化が2回以上起こる確率は
+-+-: 4/81
-+-+: 4/81
+-++: 2/81
+--+: 4/81
++-+: 2/81
-+--: 8/81
-++-: 4/81
--+-: 8/81
から(4+4+2+4+2+8+4+8)/81=4/9
4人でじゃんけんしたときのアイコ確率は13/27(計算省略)

全然一致しませんね。

No.70601 - 2020/11/02(Mon) 09:40:20

☆ Re: 確率 / いいいい

すいません。間違えました。n人がアイコになる確率＋1/3^n-1ですね

No.70602 - 2020/11/02(Mon) 10:59:34

☆ Re: 確率 / ヨッシー

ｎ人でじゃんけんをして、グー、チョキ、パー全てが揃ってあいこになる確率だと、一致するのでしょう。
ただし、この＋－－＋の出方が、じゃんけんのどの出方と対応しているかは分かりません。
結果として確率が一致するということでしょう。

このままだと計算が大変なので、
ｎ個の＋－の問題で、変化が０回または１回の確率は、ｎ人がじゃんけんをして、出した手が１または２種類となる確率が一致することを示します。

＜ｎ個の＋－で変化が１以下の確率＞
"＋" から始まる場合
　"＋" がｋ回(１≦ｋ≦ｎ)続いて、残りのｎ－ｋ個が "－"
　(1/3)^k・(2/3)^(n-k) をｋ＝１からｋ＝ｎまで足します。
　Σ[k=1～n](1/3)^k・(2/3)^(n-k)＝(1/3)^n・Σ[k=1～n]２^(n-k)
　　＝{1＋2＋・・・＋2^(n-1)}/3^n
　　＝(2^n－1)/3^n
"－" から始まる場合
　"－" がｋ回(１≦ｋ≦ｎ)続いて、残りのｎ－ｋ個が "＋"
　(2/3)^k・(1/3)^(n-k) をｋ＝１からｋ＝ｎまで足します。
　Σ[k=1～n](2/3)^k・(1/3)^(n-k)＝(1/3)^n・Σ[k=1～n]２^k
　　＝(2＋4＋・・・＋2^n)/3^n
　　＝2(2^n－1)/3^n
よって、確率の和は
　　(2^n－1)/3^(n-1)

＜じゃんけんで手が１種類か２種類の場合の確率＞
手の出方は全部で３^n 通り。
たとえば、グーとチョキだけ(１種類でも可)を使った手の出し方は
グーがｋ個（0≦k≦n) 出たとすると
　Σ[k＝0～n]nＣk＝２^k
チョキとパー、パーとグーでもそれぞれ２^k通り出し方がある。
ただし、全員がグーの場合はグーチョキのときと、パーとグーのときで
２回数えられている、チョキとパーも同様で、場合の数の総数は
　３・２^k－３　通り
求める確率は
　(３・２^k－３)/３^n＝(2^n－1)/3^(n-1)
となり、＋－の場合と一致します。

No.70608 - 2020/11/02(Mon) 22:07:00

★ 正四面体と球面 / なみ

Oの位置がハッキリしなくて分からなくなりました。よろしくお願いします。

正四面体ABCDと点Oを中心とする半径1の球面S1がある.Oは3点B,C,Dが定める平面上にあり,3点B,C,DはS1上にある.S1と線分ABの交点でBと異
なるものをP,S1と線分ACの交点でCと異なるものをQ,S1と線分ADの交点でDと異なるものをRとする.

(1)正四面体ABCDの一辺の長さと,線分OAの長さを求めよ.
(2)線分APの長さを求めよ.
(3)6つの線分BC,CD, DB, PQ,QR,RPのすべてに接する球面S2の半径を求めよ.

ただし,線分と球面Sが接するとは,その線分を含む直線とS1が接し,接点が線分上にあることである.

No.70593 - 2020/11/01(Sun) 23:07:40

☆ Re: 正四面体と球面 / らすかる

(1)
Oが平面BCD上にあることから、正三角形BCDの外接円の半径が1です。
外接円の半径が1である正三角形の一辺の長さは√3ですから、
正四面体ABCDの一辺の長さは√3となります。またOAの長さは
OA=√(AB^2-OB^2)=√2となります。

(2)
△OABはOA=√2,OB=1,AB=√3,∠AOB=90°の直角三角形
OからABに垂線OHを下すと、△OAB∽△HOBであることから
BH=(OB/AB)OB=√3/3
OB=OPからBH=PHなので、AP=AB-BP=AB-2BH=√3/3

(3)
△BCDは一辺が√3の正三角形
△PQRは正四面体APQRの一面なので、一辺が√3/3の正三角形
よって球面S2の接点であるBCの中点をE、PQの中点をSとし、
Sから直線OAに垂線STを下すと、一辺がaの正三角形の内接円の半径が
(√3/6)aであることから、OE=(√3/6)BC=1/2、ST=(1/3)OE=1/6、
OT=(2/3)OA=2√2/3
座標平面上にO(0,0),T(2√2/3,0),S(2√2/3,1/6),E(0,1/2)をとると
直線SEはy=-(√2/4)x+1/2、SEの垂直二等分線はy=(2√2)x-1となり、
SEの垂直二等分線とx軸の交点Uは(√2/4,0)であることから
求める球面S2の半径は√{(√2/4)^2+(1/2)^2}=√6/4

No.70598 - 2020/11/02(Mon) 06:20:08

★ 線形代数 / たろう

u1,u2,u3の正規直交化はグラムシュミットを使って求めれました。
u1,u2の場合の正射影は求めれるのですがu3がある場合の正射影の求め方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

No.70589 - 2020/11/01(Sun) 21:29:43

☆ Re: 線形代数 / ast

> u1,u2の場合の正射影は求めれる
> u3がある場合の正射影
の意味がよく分かりませんが, u_1,u_2,u_3 を正規直交化したものを u'_1,u'_2,u'_3 とすると, x を u'_1,u'_2,u'_3 の一次結合に書いて, u'_3 成分を消せばよいだけでは?
# u_1,u_2 の生成する W は u'_1,u'_2 で生成される部分空間でもあるはず.

No.70621 - 2020/11/03(Tue) 12:46:03

★ 確率と二次方程式 / 中学数学苦手３年

答え（１）２通り　(2)5/36　どのようにして問題を解いたらよいのかわかりません。詳しい解説よろしくお願いいたします。

No.70581 - 2020/11/01(Sun) 18:02:39

☆ Re: 確率と二次方程式 / X

(1)
問題の二次方程式の解の判別式をDとすると
題意を満たすためには
D=a^2-4b=0
これより
b=(1/4)a^2 (A)
ここでa,bがいずれも1以上6以下の自然数
であることに注意すると、(A)を満たす
(a,b)の値の組は
(a,b)=(2,1),(4,4)
の2通り。

(2)
問題の二次方程式が
x=-1
を解に持つので、これを
問題の二次方程式に
代入すると
1-a+b=0
∴b=a+1 (B)
ここでa,bがいずれも
1以上6以下の自然数
であることに注意すると
(B)を満たす(a,b)の値の組は
(a,b)=…
の…通り
よって求める確率は…

No.70583 - 2020/11/01(Sun) 19:12:02

☆ Re: 確率と二次方程式 / IT

Ｘさんへ
現在の指導要領では、二次方程式の解の公式は、中学数学３で出て来ますが、二次方程式の判別式は、高校数学２で出てくるようです。

２次方程式x^2+ax+b＝0の唯一の解をｃとすると
x^2+ax+b=(x-c)^2=x^2-2cx+c^2＝0
∴a=-2c,b=c^2
∴a^2=4b
後はＸさんの回答のとおり・・・

No.70584 - 2020/11/01(Sun) 19:39:05

☆ Re: 確率と二次方程式 / X

＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞中学数学苦手３年さんへ
ごめんなさい。配慮が欠けていました。
(1)については高校数学の範囲で解いているので
中学数学の範囲で、ということであれば
ITさんの方針で解きます。

No.70585 - 2020/11/01(Sun) 20:18:57

☆ Re: 確率と二次方程式 / 中学数学苦手３年

学力不足で内容が理解できませんでした。別解よろしくお願いいたします。

No.70597 - 2020/11/02(Mon) 06:02:11

☆ Re: 確率と二次方程式 / ヨッシー

たかだか36通りのことなので、全部解いてみれば良いと思います。
中学の範囲で解けないものは、条件を満たさないものとして、カウントしなければいいです。

また、(2) は解が与えられているので、これらの式にｘ＝－１を代入してみれば良いでしょう。
いろんなテクニックを考えるのはその後です。

No.70600 - 2020/11/02(Mon) 09:10:19

★ (No Subject) / ぱん

数?Vです(ノ_＜)宜しくお願いします！
【問題】 Oを原点とするxy平面上にA(√2,0)とP(cosθ,sinθ)(0<θ<π)がある。直線APとy軸との交点をQ,Qを通りx軸に平行な直線をl,lと直線OPの交点をRとする。

⑴lの方程式を求めよ。
⑵θが0<θ<πで変化するとき、Rの軌跡がある2次曲線の一部であることを示し、その2次曲線の焦点を求めよ。さらにRの軌跡を図式せよ。

⑴でy=√2sinθ/√2-cosθ となったのですがあっていますか？そこから実験して通る点を考えてみたのですがうまくできませんでした…

No.70578 - 2020/11/01(Sun) 16:29:37

☆ Re: / X

(1)は
＞＞y=√2sinθ/√2-cosθ
が
y=(√2)(sinθ)/(√2-cosθ)
の意味であるなら、それで正しいです。

(2)
条件から直線OPの方程式は
ycosθ-xsinθ=0 (A)
これと(1)の結果を連立して解くと
x=(√2)(cosθ)/(√2-cosθ) (B)
y=(√2)(sinθ)/(√2-cosθ) (C)
(B)^2+(C)^2より
x^2+y^2=2/(√2-cosθ)^2 (D)
さらに(B)をcosθについて解くと
cosθ=(x√2)/(x+√2) (E)
(E)を(D)に代入して
x^2+y^2=2/{√2-(x√2)/(x+√2)}^2
x^2+y^2=(1/2)(x+√2)^2
2x^2+y^2=(x+√2)^2
更に整理をすると
楕円をx軸方向に平行移動したもの
の方程式になります。

No.70582 - 2020/11/01(Sun) 19:06:37

☆ Re: / ぱ

理解出来ました！ありがとうございました！

> (1)は
> ＞＞y=√2sinθ/√2-cosθ
> が
> y=(√2)(sinθ)/(√2-cosθ)
> の意味であるなら、それで正しいです。
>
> (2)
> 条件から直線OPの方程式は
> ycosθ-xsinθ=0 (A)
> これと(1)の結果を連立して解くと
> x=(√2)(cosθ)/(√2-cosθ) (B)
> y=(√2)(sinθ)/(√2-cosθ) (C)
> (B)^2+(C)^2より
> x^2+y^2=2/(√2-cosθ)^2 (D)
> さらに(B)をcosθについて解くと
> cosθ=(x√2)/(x+√2) (E)
> (E)を(D)に代入して
> x^2+y^2=2/{√2-(x√2)/(x+√2)}^2
> x^2+y^2=(1/2)(x+√2)^2
> 2x^2+y^2=(x+√2)^2
> 更に整理をすると
> 楕円をx軸方向に平行移動したもの
> の方程式になります。

No.70591 - 2020/11/01(Sun) 22:54:55

★ 整数の問題です / ぱん

数学です。両辺積の形にするのは分かりましたがそこからわかりません…。よろしくお願いします！
x,y,zは0以上の整数で、x≦yとする。⑴⑵⑶のそれぞれについて等式を満たす組(x,y,z)を全て求め、存在しないならば存在しないことを証明せよ。

⑴2^x+2^y=2^z
⑵3^x+3^y=3^z
⑶2^x+2^y=3^z

No.70577 - 2020/11/01(Sun) 16:28:08

☆ Re: 整数の問題です / IT

＞両辺積の形にするのは分かりましたが
どうできましたか？
（１）のできたとこまで書いてみてください。

No.70580 - 2020/11/01(Sun) 17:54:41

☆ Re: 整数の問題です / ぱん

2^x(1+2^(y-x))=2^zとなり、1+2^(y-x)=2^(z-x)になり2は素因数なのでこれは存在することは分かりましたが証明の書き方がよく分かりません…⑶は(0,1,1)しか見つけられませんでした…

> ＞両辺積の形にするのは分かりましたが
> どうできましたか？
> （１）のできたとこまで書いてみてください。

No.70586 - 2020/11/01(Sun) 20:44:45

☆ Re: 整数の問題です / ぱん

間違えました…2行目、存在しないです

> 2^x(1+2^(y-x))=2^zとなり、1+2^(y-x)=2^(z-x)になり2は素因数なのでこれは存在することは分かりましたが証明の書き方がよく分かりません…⑶は(0,1,1)しか見つけられませんでした…
>
> > ＞両辺積の形にするのは分かりましたが
> > どうできましたか？
> > （１）のできたとこまで書いてみてください。

No.70587 - 2020/11/01(Sun) 20:46:27

☆ Re: 整数の問題です / IT

(1)
> 1+2^(y-x)=2^(z-x)になり2は素因数なのでこれは存在することは分かりました
なぜ"2が素因数なので"、1+2^(y-x)=2^(z-x)を満たす(x,y,z)が存在する. ことが言えるのですか？

ていねいに書くと、
1+2^(y-x)=2^(z-x)　より　y-x＜z-x
　y-x≧0なのでz-xは１以上の整数
　∴2^(z-x)は偶数　∴2^(y-x)は奇数
　∴y-x＝0
あとは簡単だと思います。

No.70588 - 2020/11/01(Sun) 21:05:50

☆ Re: 整数の問題です / ぱ

分かりました！ありがとうございました！

No.70590 - 2020/11/01(Sun) 22:54:05