ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学 / Ｒ

１から９までの数字が１つずつ書かれた9枚のカードをよく切って、Ｘ、Ｙ、Ｚの3人に3枚ずつ配った。配られたカードについて、以下のことが分かっている。
ア　Ｙのカードの数字の積は１８である
イ　Ｚのカードの数字の積は２１０である
このときＸのカードの数字の積は？

No.70982 - 2020/11/17(Tue) 10:36:15

☆ Re: 数学 / ヨッシー

これは出来ますか？

１から９までの数字が１つずつ書かれた9枚のカードをよく切って、Ｘ、Ｙ、Ｚの3人に3枚ずつ配った。配られたカードについて、以下のことが分かっている。
ア　Ｙのカードの数字の和は１２である
イ　Ｚのカードの数字の和は１８である
このときＸのカードの数字の和は？（答えは１５です）

もう少し難易度を下げると
１から９までの数字が１つずつ書かれた9枚のカードをよく切って、Ｘ、Ｙ、Ｚの3人に何枚かずつ配った。配られたカードについて、以下のことが分かっている。
ア　Ｙの持っているカードは３枚である
イ　Ｚの持っているカードは２枚である
このときＸの持っているカードの枚数は？（答えは４枚）

No.70983 - 2020/11/17(Tue) 10:55:46

☆ Re: 数学 / Ｒ

わかりました！
イより　２１０＝５×６×７であることから
Ｚのカードは(5,6.7)で確定
アより　１８＝１×２×９,１×３×６
しかし、Ｚで「６」のカードは使うため１×３×６は不適
よって、Ｙのカードは(１，２、９）
したがって、Ｘのカードは残りの（３、４、８）より
Ｘのカードの数の積は９６
であってますか？

No.70985 - 2020/11/17(Tue) 13:21:04

☆ Re: 数学 / ヨッシー

それで合っていますが、この手の問題の場合、
具体的に、（５，６，７）のように決まる場合ばかりではないので、
一般的に、
　(1×2×3×4×5×6×7×8×9)÷18÷210＝96
で求められるということも知っておきましょう。

和の例だと、
　(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)－12－18＝15
です。

No.70986 - 2020/11/17(Tue) 13:26:49

☆ Re: 数学 / らすかる

考えすぎかも知れませんが、例えば問題の条件が
Yのカード数字の積は81である
Zのカードの数字の積は112である
だった場合に
X=(1×2×3×4×5×6×7×8×9)÷81÷112＝40
と答えを書くと正しくありません（単なる問題不備ですが）ので、
具体的な組み合わせを考えることも必要かと思います。

No.70992 - 2020/11/18(Wed) 19:00:50

★ 数列の質問です。 / つなかん

漸化式を微分方程式っぽくしてn→∞での振る舞いをみる、という考え方を思いついたのですが、これは正当化できるのでしょうか？
（そもそも考え方自体が間違ってるのかもしれませんが）

No.70980 - 2020/11/17(Tue) 10:12:43

☆ Re: 数列の質問です。 / つなかん

（追記）
eの係数は-3xではなく-x/3です。

No.70981 - 2020/11/17(Tue) 10:14:30

☆ Re: 数列の質問です。 / 黄桃

考え方は面白いですが、正当化するのは難しそうです。
極限値が存在する場合は、それでもいいことが計算で証明できますが（特性方程式を解く方が速いですが）、そうでない場合に問題がありそうです。

(a[n+1]-a[n])/((n+1)-n)=(-3)*a[n]...(*)
の場合、同様に考えれば、y'=-3y より、y=C*e^(-3x)なので、a[n]=a[0]*1/(e^(3n) となり　n→∞の時、a[n]→0になります。
しかし、(*)はa[n+1]=(-2)*a[n] ですから、{a[n]}は公比-2の等比数列で、a[0]≠0 であれば、a[n]は発散です。

ちなみに、y’=y　に対応する数列は a[n]=C*e^n ではなく、a[n]=C*2^n ですので、数列自体も微妙に違います。
ですが、同様の発想は既にあるので、「差分　和分　とは」あたりで検索してみてはどうでしょうか。

No.71000 - 2020/11/19(Thu) 07:12:16

☆ Re: 数列の質問です。 / つなかん

返信ありがとうございます。調べてみます。

No.71001 - 2020/11/19(Thu) 08:54:34

★ (No Subject) / かまど

男子4人,女子3人がいる.女子のうち2人だけが隣り合うように7人が1列に並ぶ並び方は何通りあるか.

女子2人を一塊とみなし3P2×6！をして、そこから女子3人が隣り合うことを考え、女子3人を一塊とみなし3P3×5！を引いても答えが合いません。何故ですか？

No.70969 - 2020/11/16(Mon) 21:34:20

☆ Re: / ヨッシー

>女子2人を一塊とみなし3P2×6！
にさらに、女子２人の並び順２！を掛ける必要があります。
同様に、
>女子3人を一塊とみなし3P3×5！
にさらに、女子３人の並び順３！を掛ける必要があります。

No.70971 - 2020/11/16(Mon) 21:38:01

☆ Re: / かまど

女子2人を一塊とみなし3P2×6！の3P2の段階で3人から2人選んで並べるという事にはならないのでしょうか？
同様に女子3人を一塊とみなし3P3×5！の3P3の段階で3人から3人選んで並べるということにはならないのでしょうか？

No.70975 - 2020/11/16(Mon) 21:58:14

☆ Re: / ヨッシー

あ、ＣじゃなくてＰか。
失礼しました。

ＡＢＣＤが男子、ＥＦＧが女子とすると
ＡＢＣＤＥＦＧ　という並びは
ＥＦのときにも、ＦＧのときにも数えられているので、
３人並びを排除するには、２回引かないといけないためです。

No.70979 - 2020/11/17(Tue) 07:49:31

★ 割り算の問題 / ぴーたろー

こんばんは。進研模試の問題です。
（１）は問題なく解けました。P(1)=-11 a=-7 b=-4です。
（２）の正答は c=-3 d=-7 e=-1
（３）の正答は 2x^3-x^2-9x-3

（２）（３）について、次のコメントのように解きました。
（続きます）

No.70964 - 2020/11/16(Mon) 19:29:50

☆ Re: 割り算の問題 / ぴーたろー

（２）（３）ともに式をA=BQ+Rの形に変形することを目標に解いているのですが、（２）はうまくいったのですが、（３）がうまくいきません。最後の行でP(1)=11を使いたいのですが、x=1を代入すると０になってしまい、おかしくなります。

ここまでの過程で何かおかしいところがあれば突っ込みをお願いします。模範解答は理解しているのですが、このやり方でなぜうまくいかないのか教えてください。模範解答はこの次に載せます（続きます）

No.70965 - 2020/11/16(Mon) 19:33:35

☆ Re: 割り算の問題 / ぴーたろー

その１

No.70966 - 2020/11/16(Mon) 19:39:19

☆ Re: 割り算の問題 / ぴーたろー

その２です。よろしくお願いいたします！

No.70967 - 2020/11/16(Mon) 19:40:01

☆ Re: 割り算の問題 / IT

＞　最後の行でP(1)=11を使いたいのですが、x=1を代入すると０になってしまい、
P(1)=－11なので、どういう意味かよく分かりませんが、
P(1)=－11は、使って　-3x^2-7x-1　が決まっているのでこれ以上使いようがないですね。

残りの条件：P(x)を(x-1)^2 で割った余り＝-5x-6を使うしかないと思います。

（私のPCでは、あなたの答案の字が薄くてはっきり見えませんし）
模範解答は見ていませんが、あなたの続きをやるなら

P(x)={(x+1)^2}{(x-1)^2}Q[3](x)+{(x+1)^2}(x-1)g-3x^2-7x-1

ここで、{(x+1)^2}(x-1)={((x-1)+2)^2}(x-1)={(x-1)^2+4(x-1)+4}(x-1)
また、-3x^2-7x-1=-3(x-1)^2-13x+2

したがって、P(x)を(x-1)^2 で割った余りは 4g(x-1)-13x+2=(4g-13)x-4g+2=-5x-6
∴g=2
・・・

No.70968 - 2020/11/16(Mon) 21:11:59

★ 数学 / ｙ

18チームが参加してサッカーの総当たりのリーグ戦を行う。それぞれの試合には引き分けがなく、勝ち数の多い順に順位をつける。
勝ち数が同じになったチームは同じ順位とする。4位のチームとして考えられる最も少ない勝ち数は何勝か。
１．6勝
２．7勝
３．8勝
４．9勝
５．10勝

上記の問題が分かりません。
分かる方宜しくお願いします。

No.70961 - 2020/11/16(Mon) 15:50:16

☆ Re: 数学 / らすかる

全部で18C2=153試合なので全チームの勝ち数の合計は153
上位3チームの勝ち数合計は最大で48
（1位が17勝、2位が16勝、3位が15勝または3チームとも16勝）
残り153-48=105勝を残り15チームで分けると105÷15=7なので
下位15チームがすべて7勝ということがあり得るかどうかを考えればよい。
その15チームは上位3チームには全敗なので下位15チームとの試合で
7勝7敗であればよい。そのような組み合わせを考えてみると、例えば
　ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫＬＭＮＯ
Ａ－○○○○○○○×××××××
Ｂ×－○○○○○○○××××××
Ｃ××－○○○○○○○×××××
Ｄ×××－○○○○○○○××××
Ｅ××××－○○○○○○○×××
Ｆ×××××－○○○○○○○××
Ｇ××××××－○○○○○○○×
Ｈ×××××××－○○○○○○○
Ｉ○×××××××－○○○○○○
Ｊ○○×××××××－○○○○○
Ｋ○○○×××××××－○○○○
Ｌ○○○○×××××××－○○○
Ｍ○○○○○×××××××－○○
Ｎ○○○○○○×××××××－○
Ｏ○○○○○○○×××××××－
このような勝敗であればよいことがわかる。従って答えは7勝。

No.70962 - 2020/11/16(Mon) 16:06:57

★ (No Subject) / ラムネ

次のx,y,z,wに関する連立1次方程式が解を持つような定数p,q,r,sの条件を求めてください。また、その時の解も求めてください。

2x+z=p
x+2y+z+w=q
-y-w=r
x+y-z+4w=s

No.70960 - 2020/11/16(Mon) 15:44:12

☆ Re: / らすかる

2x+z=p … (1)
x+2y+z+w=q … (2)
-y-w=r … (3)
x+y-z+4w=s … (4)
(1)-(2)×2から
-4y-z-2w=p-2q … (5)
(2)-(4)から
y+2z-3w=q-s … (6)
(5)×2+(6)から
-7y-7w=2p-3q-s
(3)×7から
-7y-7w=7r
なので
2p-3q-s=7rであれば解を持つ。
このとき変数が4個方程式が3個なので
いずれかの変数を任意の数にする必要がある。
w=tとおくと
(3)からy=-t-r
(5)からz=-4y-2w-p+2q=2t-p+2q+4r
(2)からx=-2y-z-w+q=-t+p-q-2r
従って
解を持つ条件は2p-3q-s=7r
解は(x,y,z,w)=(-t+p-q-2r,-t-r,2t-p+2q+4r,t)　（tは任意の数）

No.70963 - 2020/11/16(Mon) 16:17:59

★ 複素数平面 / 赤

写真の問題の答えを教えてください。
解法もお願いします。

No.70956 - 2020/11/15(Sun) 22:58:45

☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

複素数平面と言うことなので、
(1)ｚ＝cos(2nπ/5)＋ｉsin(2nπ/5)　(ｎ＝0,1,2,3,4)　
(2)ｚは
ｚ^5＝１を満たすので、
　ｚ^5－１＝(ｚ－１)(ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１)＝０
ｚ＝１は　ｚ－１＝０から得られる解であり、その他の４つの解は
　ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１＝０
から得られます。ｚ≠０より、両辺ｚ^2 で割って
　ｚ^2＋ｚ＋１＋1/z＋1/z^2＝０　　・・・(i)
Ａ＝ｚ＋1/z とおくと、Ａ^2＝ｚ^2＋1/z^2＋２
よって、(i) は
　Ａ^2＋Ａ－１＝０
と書け、これを解いて
　Ａ＝(－１±√５)／２
これと、ｚ＝１のときのｚ＋1/z＝１を合わせて、
　答え　２，(－１±√５)／２

No.70957 - 2020/11/15(Sun) 23:47:53

☆ Re: 複素数平面 / 赤

分かりました。分かりやすい解説をありがとうございます。

No.70959 - 2020/11/16(Mon) 06:14:57

★ 数学 / ｘ

Ｐ、Ｑ、Ｒの3人それぞれの所持金額について次のことが分かっている。
・Ｐの所持金額は、3人の中で一番多くなかった。
・3人のうち2人の所持金額の合計は、残りの1人の所持金額　と同じであった。

このとき、ありえないのは次の１～５のうちいずれか。
１．Ｑの所持金額が最も多い。
２．Ｒの所持金額が最も少ない。
３．ＰとＱの所持金額は同じであった。
４．ＰとＲの所持金額は同じでなかった。
５．ＱとＲの所持金額は同じであった。

No.70951 - 2020/11/15(Sun) 21:22:48

☆ Re: 数学 / IT

（Pの所持金額,Qの所持金額,Rの所持金額)とします

1.(1,3,2)
2.(1,2,1)
3.(1,1,2)
4.(1,1,2)
5.(0,1,1)
どれもあり得るのでは？
所持金額0円を許さなければ５はあり得ないと思います。

なお,いずれもQとRを置き換えても同じことです。

No.70952 - 2020/11/15(Sun) 21:51:41

★ 数学 / ｗ

下の図は正二十面体の展開図である。この展開図を組み立てたとき、平行な面となる面の組み合わせとして正しいものは、次のうちどれか。
１．ＡとＥ
２．ＡとＰ
３．ＦとＩ
４．ＨとＭ
５．ＡとＳ

No.70950 - 2020/11/15(Sun) 21:10:31

☆ Re: 数学 / ヨッシー

図のような位置関係になります。
黒はこの図に見えている面、青は隠れて見えない面（破線で表示）です。
ＡとＲ、ＬとＧのように、点対称にある黒と青が向かい合う面です。

No.70953 - 2020/11/15(Sun) 22:06:13

☆ Re: 数学 / らすかる

4です。
Hの隣はBとGとI

Bの隣はAとCとH
Gの隣はFとHとP
Iの隣はHとJとQ

Aの隣はBとEとF
Cの隣はBとDとJ
Fの隣はAとGとO
Pの隣はGとQとT
Jの隣はCとIとK
Qの隣はIとPとR

ここまでで出てきていないのは
LとMとNとS
ですから、その中心にあるMがHから最も遠くにあり、平行です。

No.70954 - 2020/11/15(Sun) 22:07:38

★ 数学 / e

Ａ～Ｅの5人のうち何人かは男性でそれ以外は女性である。
5人は次のように発言しているが、3人が嘘をついており、2人が本当のことを言っている。
Ａ「Ｄは女性ではありません」
Ｂ「Ｅは女性です」
Ｃ「女性は私一人です」
Ｄ「私は女性です」
Ｅ「私は女性です」
以上より確実にいえることはどれか。
１．ＡとＣは嘘をついている
２．ＡとＢは嘘をついている
３．ＢとＤは嘘をついてる
４．ＡとＦは女性である
５．ＢとＣは男性である

上記の問題がわかりません
分かる方宜しくお願いします。

No.70947 - 2020/11/15(Sun) 20:50:37

☆ Re: 数学 / ヨッシー

ＢとＥは同じことを言っているので、ともに本当かともに嘘。
ＡとＤは逆のことを言っているので、一方が本当で一方が嘘。
　ＡＣが本当　ＢＤＥが嘘
　ＣＤが本当　ＡＢＥが嘘
の２パターンに絞られます

Ｃがともに本当なので、事実は
　ＡＢＣＤＥの順に　男男女男男
ＡＣが本当のときは、会話が矛盾しない
ＣＤが本当のときは　ＣとＤの会話が矛盾する

以上より、確実に言えるのは　３．のみ
４．のＦは登場しませんが、Ａが男性なので×です。

No.70949 - 2020/11/15(Sun) 21:08:22

★ (No Subject) / いいいい

袋の中に符号+と記されたカードが1枚、ーと記されたカードが2枚、合計3枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚取り出し、記されている符号を記録し、カードを袋に戻す。この試行をn回繰り返し、符号は順番通り記録するものとする。例を参照しながら次の問に答えよ。
例：n = 5として、+ －－－－のとき符号の変化は1回
+－+++のとき符号の変化は2回。
（問）符号の変化が2回以上起こる確率を求めよ。

1.2.3の番号のついたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中からカードを任意に1枚取り出し番号を確認し、またもとに戻すという操作をn回繰り返す。出た番号を順にa1.a2…anとする。

(問)a1.a2…anの中に1.2.3がすべて入っている確率を求めよ。

この２つの問題の答えは同じです。なぜでしょうか？

No.70937 - 2020/11/15(Sun) 17:53:13

☆ Re: / らすかる

(全部+である確率)=(1/3)^n=(全部1である確率)

(全部-である確率)=(2/3)^n=(全部2または3である確率)　※「全部2」と「全部3」を含む

(先頭のk個(1≦k≦n-1)が-で残りのn-k個が+である確率)
=2^k/3^n
=(先頭の1個が1または2、続くn-k-1個が先頭と同じもの、続く1個が3-(先頭の番号)、
残りのk-1個が1または2である確率)

(末尾のk個(1≦k≦n-1)が-で残りのn-k個が+である確率)
=2^k/3^n
=(先頭の1個が1または3、続くn-k-1個が先頭と同じもの、続く1個が4-(先頭の番号)、
残りのk-1個が1または3である確率)

のように対応付けられるためです。

No.70938 - 2020/11/15(Sun) 18:26:03

★ (No Subject) / いいいい

n^3+5nは6の倍数であることをn^3+5n＝n^3-n+6n＝n(n^2-1)+6n
＝(n-1)n(n+1)+6n (n-1)n(n+1)は連続3整数の積だから6の倍数とか、n=6k+1,6k+2…みたいに代入していき地道に因数分解する方法以外に6の倍数である事を証明する方法はありますか？

No.70924 - 2020/11/15(Sun) 08:36:49

☆ Re: / らすかる

例えば
n^3+5n=n(n^2+5)でnとn^2+5の偶奇は異なるからn^3+5nは偶数
n^3+5n=n(n^2+5)でnが3の倍数でないときn^2は3で割って1余ることから
n^2+5は3で割り切れ、従ってn^3+5nは3の倍数
よってn^3+5nは偶数かつ3の倍数なので6の倍数

No.70926 - 2020/11/15(Sun) 11:40:31

☆ Re: n^3+5n / URHANL

a[n] = n^3 +5*n
とします。
a[1] = 6 == 0 (mod 6)
a[2] = 18 == 0 (mod 6)
a[n+2] -a[n] = 6*n^2 +12*n +18 == 0 (mod 6)
より数学的帰納法で。というのはいかがでしょうか。

※《連続○整数の積だから□の倍数》とか《因数分解》のようなことを避けてみました。
a[n+1] -a[n] が 6 の倍数であることを示すには、二次式の因数分解をした上で更に連続する 2 自然数の積が偶数であるということを利用しますのでこれを避けたいのであるならば a[n+2] -a[n] でと。

No.70931 - 2020/11/15(Sun) 15:25:14

☆ Re: / IT

合同式（mod）を使って良いのなら、
単にn≡0,±1,±2,3(mod6) のとき n^3+5n≡0(mod6) を示す。

計算は、らすかるさん方式で(mod2),(mod3) に分けた方が少し簡単ですね。

No.70932 - 2020/11/15(Sun) 16:12:57

☆ Re: / いいいい

沢山解答をありがとうございます。

No.70934 - 2020/11/15(Sun) 17:04:44

☆ Re:n^3+5n / URHANL

こんな時にふと思い出したのは、いつぞやの京大文系の入試問題です。

自然数 n について
n^9 -n^3
は 9 の倍数である。このことを証明せよ。

《困ったときには愚直に数学的帰納法》というやり方と
《切り口スッキリ、見通しよく楽に証明できないものかね》
とでは、どちらが良いか？の闘いを、入試の限られた時間の中で判断するのは難しいなあと。

●《困ったときには愚直に数学的帰納法》

a[n] = n^9 -n^3
とします。

?@a[1] = 0 == 0 (mod 9)

?Aa[2] = 504 == 0 (mod 9)

?Ba[3] = 19656 == 0 (mod 9)

?C((n +3)^9 -(n +3)^3) -(n^9 -n^3) = 27*n^8 +324*n^7 +2268*n^6 +10206*n^5 +30618*n^4 +61236*n^3 +78723*n^2 +59022*n +19656

で右辺の n についての多項式の、各次数の係数が全て 9 の倍数であることから

((n +3)^9 -(n +3)^3) -(n^9 -n^3) == 0 (mod 9)

?@?A?B?Cより数学的帰納法で
n^9 -n^3 は 9 の倍数であることが証明できる。

※明らかに入試向きではありませんね。

●見通しよく楽に証明できないものかね

n^9 -n^3 = (n^3 -1)*(n^3)*(n^3 +1)
で、(n^3 -1) または (n^3) または (n^3 +1) が 9 の倍数であることを n=3*k+l (0≦l≦2) を放り込んで調べれば簡単にチェックできる。

■京大の出題者は後者を期待していると思います。

No.70955 - 2020/11/15(Sun) 22:29:53

☆ Re: / らすかる

> 自然数 n について
> n^9 -n^3
> は 9 の倍数である。このことを証明せよ。

私が解くとしたら
nが3の倍数でないときn^2≡1 (mod3)なので（当然n^4≡1）
n^9-n^3=(n^3)(n^2-1)(n^4+n^2+1)から
nが3の倍数ならばn^3が9の倍数なのでn^9-n^3は9の倍数。
nが3の倍数でなければn^2-1とn^4+n^2+1が
両方とも3の倍数なので、n^9-n^3は9の倍数。

No.70958 - 2020/11/15(Sun) 23:52:28

★ 三角関数の不等式の範囲を求める / L

xの方程式cos2x+2ksinx+k-4=0(0≦x≦π)
の異なる解の個数が2つであるためのkの満たす条件を求めよ。

よろしくお願いします。

No.70920 - 2020/11/15(Sun) 00:24:35

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲を求める / X

問題の方程式を
(cosx)^2+2ksinx+k-4=0
のタイプミスとみて方針を。

これも問題の方程式をtの二次方程式に変換して
考える点では
No.70919で質問されている問題
と同種の問題です。
No.70929でも書きましたが、ここでも
tの値1つに対して、θの値が何個対応するか
に注意します。

問題の方程式を(A)とします。
sinx=t
と置くと
0≦x≦π
により
0≦t≦1 (B)
で(A)は
1-t^2+2kt+k-4=0
∴
t^2-2kt-k+3=0 (A)'
ここで(B)において
0≦t＜1 (B)'
なる
ある1つのtの値に対し、xの値は2つ対応し
t=1に対してθの値は1つ対応
することに注意すると
題意を満たすためには
次の(P)(Q)を満たさなくて
はなりません。

(P)
(A)'がt=1を解に持たない。
(Q)
(A)'が(B)'の範囲に1つのみ解をもつ

後は(Q)から
(i)(A)'が重解を持つとき
(ii)(A)'が重解を持たないとき
に場合分けしてkに対する条件を考えていきます。

(i)のとき
(A)'の解の判別式をDとすると
D/4=k^2-(-k+3)=0
∴k=(1±√13)/2
このとき(A)'の解は
t=(1±√13)/2 (複号同順)
しかしこれらはいずれも(B)'に含まれないので不適。

(ii)のとき
題意を満たすためには(A)'が
(B)'において1つ
t＜0,1＜tにおいて1つ
解を持つ必要があります。
そこで
f(t)=t^2-2kt-k+3
と置き、横軸にt、縦軸にyを取ったグラフ
を考えると

(I)t＜0において(A)'が1つ解をもつとき
f(0)=-k+3≦0
f(1)=4-3k＞0
これを満たすkは存在しないので不適。

(II)1＜tにおいて(A)'が1つ解をもつとき
f(0)=-k+3≧0
f(1)=4-3k＜0
∴4/3＜k≦3

以上から求めるkの値の範囲は
4/3＜k≦3
となります。

No.70928 - 2020/11/15(Sun) 11:53:15

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲を求める / L

すいませんたぶんxの方程式cos2x+2ksinx+k-4=0(0≦x≦π)のままです。で答えはk=-1+√7,5/3<k≦3です。

No.70933 - 2020/11/15(Sun) 16:46:42

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲を求める / IT

答えからしても、cos(2x)+2ksinx+k-4=0(0≦x≦π) のようですね。

No.70935 - 2020/11/15(Sun) 17:48:09

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲を求める / X

＞＞Lさんへ
ごめんなさい。
改めて回答を。

これも問題の方程式をtの二次方程式に変換して
考える点では
No.70919で質問されている問題
と同種の問題です。
No.70929でも書きましたが、ここでも
tの値1つに対して、θの値が何個対応するか
に注意します。

問題の方程式を(A)とします。
sinx=t
と置くと
0≦x≦π
により
0≦t≦1 (B)
で、二倍角の公式を使うと(A)は
1-2t^2+2kt+k-4=0
∴
2t^2-2kt-k+3=0 (A)'
ここで(B)において
0≦t＜1 (B)'
なる
ある1つのtの値に対し、xの値は2つ対応し
t=1に対してθの値は1つ対応
することに注意すると
題意を満たすためには
次の(P)(Q)を満たさなくて
はなりません。

(P)
(A)'がt=1を解に持たない。
(Q)
(A)'が(B)'の範囲に1つのみ解をもつ

後は(Q)から
(i)(A)'が重解を持つとき
(ii)(A)'が重解を持たないとき
に場合分けしてkに対する条件を考えていきます。

(i)のとき
(A)'の解の判別式をDとすると
D/4=k^2-2(-k+3)=0
k^2+2k-6=0
∴k=-1±√7
このとき(A)'の解は
t=(-1±√7)/2 (複号同順)
このうち、(B)'に含まれるのは
t=(-1+√7)/2
∴k=-1+√7
が題意を満たします。

(ii)のとき
題意を満たすためには(A)'が
(B)'において1つ
t＜0,1＜tにおいて1つ
解を持つ必要があります。
そこで
f(t)=2t^2-2kt-k+3
と置き、横軸にt、縦軸にyを取ったグラフ
を考えると

(I)t＜0において(A)'が1つ解をもつとき
f(0)=-k+3≦0
f(1)=5-3k＞0
これを満たすkは存在しないので不適。

(II)1＜tにおいて(A)'が1つ解をもつとき
f(0)=-k+3≧0
f(1)=5-3k＜0
∴5/3＜k≦3

以上から求めるkの値の範囲は
k=-1+√7,5/3＜k≦3
となります。

No.70941 - 2020/11/15(Sun) 19:17:56

★ 三角関数の不等式の範囲 / L

関数 f(θ)＝a(√3sinθ＋cosθ)＋sinθ(sinθ＋√3cosθ)について、次の問いに答えよ。ただし、0≦θ≦πとする。

(1)t＝√3sinθ＋cosθのグラフをかけ。
(2)sinθ(sinθ＋√3cosθ)をtを用いて表せ。
(3)方程式f(θ)＝0が相異なる3つの解をもつときのaの値の範囲を求めよ。
お願いいたします。

No.70919 - 2020/11/15(Sun) 00:16:40

☆ Re: 三角関数の不等式の範囲 / X

(1)
三角関数の合成により
t=2sin(θ+π/6) (A)
後はこのグラフを描いてみましょう。

t=2sinθ (B)
(θは実数全体)
のグラフは描けますか？
後は(B)のグラフをθ軸方向に-π/6だけ
平行移動した後のグラフにおいて
0≦θ≦π
の範囲の部分のみ残します。

(2)
t=(√3)sinθ+cosθ
の両辺を二乗して右辺を展開すると
t^2=3(sinθ)^2+2(√3)sinθcosθ+(cosθ)^2
これより
t^2=3(sinθ)^2+2(√3)sinθcosθ+1-(sinθ)^2
t^2=2(sinθ)^2+2(√3)sinθcosθ+1
t^2=2{sinθ+(√3)cosθ}sinθ+1
∴{sinθ+(√3)cosθ}sinθ=(t^2-1)/2

(3)
tの値1つに対し、θの値が何個対応するかに
注意しましょう。

(1)(2)により
f(θ)=at+(t^2-1)/2
=(1/2)t^2+at-1=0
∴f(θ)=0のとき
2t^2+2at-2=0 (C)

ここで(1)の結果のグラフにより
-1≦t≦2 (E)
又
t=2,-1≦t＜1 (E)'
に対して対応するθの値は1つ対応
1≦t＜2 (E)"
なるtに対応するθの値は2つ対応

以上から題意を満たすためには
tの二次方程式(C)が
(E)',(E)"の範囲にそれぞれ1つづつ
解を持つ必要がある
ことが分かります。

ということで
(i)(C)がt=2を解に持つとき
(ii)(C)がt=2を解に持たないとき
に場合分けをし
g(t)=t^2-2at-2
なる二次関数について、
横軸にt、縦軸にg(t)を取ったグラフを
描いてその条件を求めていきます。

No.70929 - 2020/11/15(Sun) 12:14:27