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★ (No Subject) / 雪だるま
方程式7x(x+1)+8y=52を満たす自然数xと整数yの内xの値が最小になる時のx，yの値は?

解答解説よろしくお願いします
No.86921 - 2023/12/11(Mon) 23:43:28
☆ Re: / らすかる
7x(x+1)=52-8y=4(13-2y)は4で割り切れ8で割り切れない数なので、
xまたはx+1が4で割り切れ8で割り切れない数でなければならない。
これを満たす最小のxは3で
x=3のとき7x(x+1)=21×4=4(13-2y)からy=-4となるので
(x,y)=(3,-4)が条件を満たす解。
No.86922 - 2023/12/11(Mon) 23:54:09
★ (No Subject) / 柿
座標空間上の3点A(0,0,2),B(1,1,0),C(0.1.0)を通る円の中心の座標は?また半径は?

解答解説よろしくお願いします
No.86919 - 2023/12/11(Mon) 18:25:30
☆ Re: / らすかる
3点A,B,Cを通る平面をax+by+cz=dとおくと
2c=a+b=b=d
これを解いて
b=d,a=0,c=d/2
よって3点A,B,Cを含む平面は
dy+(d/2)z=d
すなわち
2y+z=2 … (1)
ACの垂直二等分面は
x^2+y^2+(z-2)^2=x^2+(y-1)^2+z^2
を整理して
2y-4z=-3 … (2)
BCの垂直二等分面は
(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=x^2+(y-1)^2+z^2
を整理して
2x=1 … (3)
(1)(2)(3)から、円の中心は
(x,y,z)=(1/2,1/2,1)
半径は
√{(0-1/2)^2+(0-1/2)^2+(2-1)^2}=√(3/2)=√6/2
No.86920 - 2023/12/11(Mon) 23:13:23
☆ Re: / WIZ
別解

3点から等距離にある点の座標をD(x, y, z)とすると、
|DA|^2 = x^2+y^2+(z-2)^2
|DB|^2 = (x-1)^2+(y-1)^2+z^2
|DC|^2 = x^2+(y-1)^2+z^2

|DA| = |DB| = |DC|は3点が表面にある球の半径となります。

|DA|^2 = |DC|^2より、
x^2+y^2+(z-2)^2 = x^2+(y-1)^2+z^2
⇒ -4z+4 = -2y+1
⇒ 2y-4z+3 = 0
⇒ y = (4z-3)/2

|DB|^2 = |DC|^2より、
(x-1)^2+(y-1)^2+z^2 = x^2+(y-1)^2+z^2
⇒ -2x+1 = 0
⇒ x = 1/2

従って、3点を表面に含む球の中心は直線「x = 1/2かつ、2y-4z+3 = 0」の上にあることになります。
|DA| = |DB| = |DC|の値が最小になるときのDが3点を円周に含む円の中心となりますので、

|DA|^2 = (1/2)^2+((4z-3)/2)^2+(z-2)^2
= 1/4+(4z^2-6z+9/4)+(z^2-4z+4)
= 5z^2-10z+13/2
= 5(z-1)^2+3/2

よって、z = 1のとき、最小値|DA|^2 = 3/2となるので、
y = (4-3)/2 = 1/2、中心座標は(1/2, 1/2, 1)、半径は√(3/2) = (√6)/2となります。
No.86933 - 2023/12/13(Wed) 13:26:02
★ 実数解が存在しないと証明する方法 / SS(高２)
こんばんは。2t^2+5t+5において、実数解が存在しないと証明する方法は下記の通り3パターンで証明できると思うのですが、
?@平方完成で実数解が存在しないことを証明するためには、t=-5/4であるということを言えばいいのでしょうか？
?A平方完成のt=-5/4の値と複素数の値が異なるのはなぜなのでしょうか。
よろしくお願いいたします。
No.86916 - 2023/12/10(Sun) 21:47:41
☆ Re: 実数解が存在しないと証明する方法 / らすかる
> 平方完成で実数解が存在しないことを証明するためには、t=-5/4であるということを言えばいいのでしょうか？
○(t+5/4)^2+△の形に平方完成されるということは「t=-5/4のときに最小値（または最大値）をとる」
ということであって、「t=-5/4である」という言い方は間違いです。（t=-5/4は解ではありません）
平方完成で実数解が存在しないことを証明するためには、
○(t+5/4)^2+△の形で○と△の符号が等しいことを言えば（式の値が0にならないことになりますので）十分です。

> 平方完成のt=-5/4の値と複素数の値が異なるのはなぜなのでしょうか。
「平方完成でt=-5/4」と思っているのが間違いだからです。
No.86917 - 2023/12/11(Mon) 00:13:59
★ テスト / ヨッシー
丸数字のテスト
○１　　?@
○２　　?A
○３　　?B
・・・
○９　　?H
○10　　?I
No.86911 - 2023/12/10(Sun) 07:35:59
★ (No Subject) / りんご
平面上の点Oを中心とする半径１の円周Cがある。t>0に対して実数aおよびC上の2点A，Bは
(tanα)^2=t，0＜α＜π/2,∠AOB=2α

を満たす。またAにおけるCの接線とBにおけるCの接線の交点をDとする。さらに0＜s＜?@に対して線分AD上の点Pと線分BDの点Qを
→OP=→OA+s→AD
→OQ=→OB+{(1-s)/(1+st)}→BD
を満たすようにとれば直線PQはCに接する。

s=1/4,t=2の時内積→OP・→PQの値を求めよ

→OP＝→OA+1/4→AD=3/4→OA+1/4→OD
→OQ=→OB+1/2→BD=1/2→OB+1/2→OD

より
→OP・→OQ=(3/4→OA+1/4→OD)・(1/2→OB+1/2→OD)
=1/8→OD・→OB+1/8|→OD｜^2+3/8→OA・→OB+3/8→OA・→OD
=1/8(→OB+→BD)・→OB+1/8(1+t)+3/8cos2α+3/8→OA・(→OA+→AD）
=1/8+1/8(1+t)+3/8cos2α+3/8

1+(tanα)^2=1/(cosα)^2より
(cosα)^2=1/(1+(tanα)^2)=1/(1+t)
よってcos2α=2(cosα)^2-1に(cosα)^2=1/(1+t)を代入して
/8+1/8(1+t)+3/8cos2α+3/8をさらに整理していくと
5/8+(t/8)+3(1-t)/8(1+t)になりt=2を代入すると3/4…
答え-3/8なんですがどこが間違っているのでしょうか。解説よろしくお願いします
No.86910 - 2023/12/10(Sun) 00:54:57
☆ Re: / ヨッシー
問題が正しければ、3/4 で正しいです。

問題が間違っているか、答え-3/8 が間違っています。

一般化を意識されているのか、あるいは、前後の問題に一般化があるのか
分かりませんが、ｔをいつまでも残しておかないで、さっさと代入して、
　cos(2α)＝-1/3
にしてしまえば楽だと思います。
No.86912 - 2023/12/10(Sun) 08:02:07
☆ Re: / りんご
誤)0＜s＜?@→(正)0<s<1
誤)線分AD上の点Pと線分BDの点Q→(正)線分AD上の点Pと線分
BD上の点Qを

それ以外は問題文間違ってないはずなんですが…

この問題2023年の工学院のｓ日程の数学の[2]なんですが資料請求で来る問題集の答えも赤本に載ってる答えも-3/8なんですが…

問題集にのっているちょこっと解説によると
→ＯＡ・→ＢＤ=1-cos2α=4/3より→ＯＰ・→ＰＱ=(→ＯＡ+1/4→ＡＤ)・(3/4→ＡＤ-1/2→ＢＤ)=-3/8
になっていて実際計算してみると-3/8になるんですけど
(この問題の前に内積→ＡＤ・→ＢＤをtを用いて表せという問題があり答えは{t(t-1)}/(t+1)です
No.86913 - 2023/12/10(Sun) 09:07:32
☆ Re: / ヨッシー
→OP・→OQ　じゃなくて、
→OP・→PQ　を聞かれてるんですね。
確かに問題は正しいです。
No.86914 - 2023/12/10(Sun) 11:39:20
★ (No Subject) / 山田山
アンダーラインが引かれている場所が何故こうなるのか分かりません。解説を宜しくお願いします。
No.86902 - 2023/12/09(Sat) 11:38:22
☆ Re: / ast
書いてある通りの「正弦定理
　(i.e. (BC/sin∠CAB=)AB/sin∠ACB=AC/sin∠ABC=2R)
より」 (この「より」も, 分母を払うだけのこと) でしょう.
# いまは定理の式の BC/sin∠CAB の部分は要らないのと,
# 設定が外接円の半径 R=1, ∠ACB=∠ABC=(π/2)-(θ/2) (∠CAB=θ),
## とくに, 「いま要る」部分の分母が共通の値になるので, これらは「分母を払う」部分に利いている
# あと (そこで詰まっての質問ではないとは思うが為念) sin((π/2)-(θ/2))=cos(θ/2) は初歩的な公式.

仮にまだピンと来ていない場合:
　正弦定理は分かっていますか? (曖昧である場合はちゃんと教科書の正弦定理に関する記述を参照しながら解説を辿るようにしていますか?)
No.86905 - 2023/12/09(Sat) 14:03:33
☆ Re: / 山田山
正弦定理の理解が甘かったようです。ご回答ありがとうございました。
No.86918 - 2023/12/11(Mon) 14:21:52
★ 二次関数の共有点 / 谷
この場合、最小値とはどこのことを指しているのですか？共有点のy座標のことですか？

a=-1の時に、C1とC3はどちらも(-1,0) (2,0) でX軸と共有点を持っているのは理解できるのですが、最小値が、0になることがよく分かりません。教えて頂きたいです。
No.86901 - 2023/12/09(Sat) 09:00:03
☆ Re: 二次関数の共有点 / ast
> 最小値とはどこのことを指しているのですか？
「どこ」ではありません. 問われているのは "l の最小値" ("1重点の数の最少個数") です.
> 最小値が、0になることがよく分かりません。
a=-1 のとき 1重点 (, 2重点, 3重点それぞれ) は何個あるか分かりますか?
No.86903 - 2023/12/09(Sat) 13:50:21
☆ Re: 二次関数の共有点 / 谷
> > 最小値とはどこのことを指しているのですか？
> 「どこ」ではありません. 問われているのは "l の最小値" ("1重点の数の最少個数") です.
> > 最小値が、0になることがよく分かりません。
> a=-1 のとき 1重点 (, 2重点, 3重点それぞれ) は何個あるか分かりますか?

a=-1のときは、2重点2つのみだと思います。ということはa=-1のとき1重点は無いため、最小値の0になるということですか？
No.86908 - 2023/12/09(Sat) 18:26:01
☆ Re: 二次関数の共有点 / ast
> a=-1のときは、2重点2つのみだと思います。
そうですね, つまり a=-1 のとき "1重点 0 個, 2重点 2 個, 3重点 0 個" です. "a=-1 のとき l=0, m=2, n=0" がそれを述べた式ということです.
またたとえば a=1 のときは 1重点が 4 個, 2重点が 1 個, 3重点が 0 個 (たぶん……) なので, 式は l=4, m=1, n=0 です.
もとの (3) では l の値だけが訊かれているので m, n は調べなくてもいいですが, 同様にして他の a に関しても調べると, (aの値によって) l=0,2,4 の三通りの値しかとらないと思います (私が勘違いしていなければですが……. あまりきちんと書き出していませんので抜けがあるかもしれません). 本来はそうして l の取り得る値がはっきりした時点でやっと 0 が最小値であると確認できます. l=0,2,4 という l がとり得る 3 つの値の中で最小なのは l=0 だというのが (3) の「最小値」の意味だということです.
# とはいえ「個数を数える」というのは 0 以上の整数を割り当てることになるので, 0 個になることがあるならその時点で最小と短絡しても構わないと言えば構わないのかもしれないが.

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余談? (「ここまでの説明が伝わっている手ごたえがあまりないので, もっと原理的なところにさかのぼった話が必要とは思うけれど, 趣旨をハッキリさせようとすると長くなるので自分でもまとまりが悪いと感じる内容があったり, 読んでもらうにも質問者への負担を大きく掛けるものになってしまって, 書いても読んでもらえないと思っていて普段は避けているが, 根気よく読んでくれるならばと期待して書いておく」的なもの):
煩わしくなるのであまりしないとは思いますが, パラメータ a に依存して決まる対象すべてにパラメータ a を明示する形で問題文を
「a を実数の定数として 3 つの2次函数 f[a](x)=x^2-x-2, g[a](x)=2x^2-4ax+3a^2-2a+1, h[a](x)=-x^2-ax+a^2+1 を考える. y=f[a](x),y=g[a](x),y=h[a](x) のグラフをそれぞれ C[1,a], C[2,a], C[3,a] とし, x-軸上の任意の点 P に対して, C[1,a], C[2,a], C[3,a] のうちその点を通るものがちょうど i[a]-個であるものの個数を i[a]=1,2,3 のそれぞれに応じて l(a), m(a), n(a) とする.」と書き直したならば,
# ※1. f(x) は a を含まないけれど便宜上 (すべての a に対して f[a]=f という意味で) パラメータ a に依存するものとした
# ※2 原文に忠実に「その点 P を通るものがちょうど i[a] 個あるとき点P を i[a]-重点ということにする」と
# 　書き直しても結局 1重点, 2重点, 3重点と呼んだとき a は見えないので
#　　あとの小問でこの呼称を用いる部分が無いことも踏まえて, このあたりの表現は改変した.

ここで一番に気を付けることとして, a は任意の値と仮定してよいが最初にいちど値を任意にとった後はしばらく (上記の「」の中ではずっと) ひとつの値に止めたままの話であるということがあります. しかしひとまず a の値を決めるごとに定まる 3 つの数値 l(a),m(a),n(a) の値のきめ方 (決定アルゴリズム) が定まったならば, たとえば上記の文の後に加えて「a を任意の実数値にわたって変化させるとき, 3つの a の函数 l(a), m(a), n(a) について以下の問いに答えよ」のような文を挿入して a を変化させたときの l(a),m(a),n(a) の挙動を各小問で問うているという話に変わっています. なのでたとえば

　(0) 3つの函数 l=l(a), m=m(a), n=n(a) の値域 (取りうる値) を答えよ.
# 記号の濫用で l=l(a) のように書いているものは, たとえば y=l(a) とかでもいいがもとのグラフの y とは関係ないし不必要に使う文字を増やしたくなかったのでこう書いている.
とか
　(3') 3つの函数 l=l(a), m=m(a), n=n(a) について, l,m,n それぞれの最大値および最小値を答えよ (それぞれの値をとる a の値も明示せよ)
のような問題を設定できるということになります.
# もとの各小問も同様に書き直せますし, たぶん細かい意図はその方が説明しやすいこともあると思います.
## 例えば (4) は l(a)+m(a)+n(a) という同じ a に対する l,m,n の和の値について a を変化させる話であって
## l(a)+m(b)+n(c) (b,c は a の「コピー」だけど a と独立に値を決められるという意味で別のパラメータ) を考えたりすると
## 問われていることと違うものを考えたことになってしまう, とか.
No.86909 - 2023/12/09(Sat) 22:29:05
☆ Re: 二次関数の共有点 / 谷
とてもご丁寧な解説ありがとうございます。
お陰で疑問が解消され、理解が深まりました＾＾

本当にありがとうございました。
No.86915 - 2023/12/10(Sun) 16:47:50
★ 高3　包除原理 / ゆう
この問題の解き方が全く分かりません。
解説を知りたいです。
No.86894 - 2023/12/08(Fri) 20:53:49
☆ Re: 高3　包除原理 / ゆう
特に⚫の3つ目の分数の部分が全く理解出来ません。
No.86895 - 2023/12/08(Fri) 21:14:44
☆ Re: 高3　包除原理 / ヨッシー
国語に合格の集合をＡ、英語に合格の集合をＢ、数学に合格の集合をＣとします。
集合Ａの要素数を |Ａ| で表すことにすると、
１つめの●より
　|Ａ|＝279、|Ｂ|＝301、|Ｃ|＝232　・・・(1)
２つめの●より
　|Ａ∩Ｂ∩Ｃ|＝22　　・・・(2)
　|Ａ∪Ｂ∪Ｃ|＝ｘ−130　（ｘは全生徒数。以下同じ）　・・・(3)
３つめの●より
　|Ａ∪Ｂ|＝|Ａ|＋|Ｂ|−|Ａ∩Ｂ|＝3x/4　・・・(4)
　|Ａ∪Ｃ|＝|Ａ|＋|Ｃ|−|Ａ∩Ｃ|＝2x/3　・・・(5)
　|Ｂ∪Ｃ|＝|Ｂ|＋|Ｃ|−|Ｂ∩Ｃ|＝x/2　・・・(6)
(4)(5)(6)に(1) を代入しつつ変形すると
　|Ａ∩Ｂ|＝580−3x/4
　|Ａ∩Ｃ|＝511−2x/3
　|Ｂ∩Ｃ|＝533−x/2
これを、包除原理の式
　|Ａ∪Ｂ∪Ｃ|＝|Ａ|＋|Ｂ|＋|Ｃ|−|Ａ∩Ｂ|−|Ａ∩Ｃ|−|Ｂ∩Ｃ|＋|Ａ∩Ｂ∩Ｃ|
に代入すると
　ｘ−130＝279＋301＋232−(580−3x/4)−(511−2x/3)−(533−x/2)＋22
これを解いて
　11x/12＝660
　ｘ＝720(人)　・・・答え
No.86896 - 2023/12/09(Sat) 01:37:47
☆ Re: 高3　包除原理 / ast
ヴェン図を眺めると
　一つ目の●で 1科目のみ合格者が 1 回, ちょうど2科目合格者が 2 回, 3科目合格者が 3 回;
　三つ目の●で 1科目のみ合格者が 2 回, ちょうど2科目合格者が 3 回, 3科目合格者が 3 回,
それぞれ数えられているので (包除原理と同じ理屈で, 数える回数を調整して)
　x-130 = (3/4+2/3+1/2)x - (301+279+232) + 22
が導かれることになりますね (まあこの式自体は, ヨッシーさんの式と本質的に同じ式ですが).
# i.e. 279+301+232-580-511-533=-(301+279+232).

> 特に⚫の3つ目の分数の部分が全く理解出来ません。
それは割合の話が分からないという意味か, 割合なのは分かるが本問で活用できそうにないという意味か (あるいはもっと別の意味か) でだいぶ内容が異なると思いますが, どっち?
No.86897 - 2023/12/09(Sat) 02:40:45
★ 高3 整数 ユークリッド / 谷
x=7 y=18 なのですが、これをユークリッドの互除法出とく方法が知りたいです。
No.86890 - 2023/12/08(Fri) 14:46:50
☆ Re: 高3 整数 ユークリッド / ヨッシー
まず、最小かどうかわからないが、解を１つ見つけるのに、
31 と 12 で互除法を使います。
　31＝12×2＋7
　12＝7×1＋5
　7＝5×1＋2
　5＝2×2＋1
これを逆にたどると、
　1＝5−2×2　　2＝7−5×1 を代入して
　1＝5−(7−5×1)×2＝5×3−7×2　　5＝12−7×1 を代入して
　1＝(12−7×1)×3−7×2＝12×3−7×5　7＝31−12×2 を代入して
　1＝12×3−(31−12×2)×5＝12×13−31×5
ここまでで、
　ｘ＝−５、ｙ＝−１３
という解が見つかります。ｘに１２、ｙに３１ を足しても、
等式は成り立ったままですので、
　ｘ＝７、ｙ＝１８
が得られます。
No.86891 - 2023/12/08(Fri) 15:44:32
☆ Re: 高3 整数 ユークリッド / 谷
ご丁寧な解説ありがとうございます。
お陰で解けるようになりました＾＾
No.86892 - 2023/12/08(Fri) 18:13:47
★ 積分を含む関数 / ダガ−ネット
f(x)=1+∫[t=0→x](t^2+1)f(t)dtを満たす関数f(t)を求めよ。
という問題なのですが、部分積分していも簡単な形にならず行き詰ってしまいました。

f(x)=x+{(t^3/3+t)f(t) [t=0→x]}-∫[t=0→x](t^3/3+t)f'(t)dt
=x+(x^3/3+x)f(x)-∫[t=0→x](t^3/3+t)f'(t)dt

解き方を教えてください。
No.86889 - 2023/12/08(Fri) 12:21:16
☆ Re: 積分を含む関数 / X
元の等式を(A)とします。

(A)の両辺をxで微分すると
f'(x)=(x^2+1)f(x) (A)'
これより
f'(x)/f(x)=x^2+1
両辺xで積分すると
log|f(x)|=(1/3)x^3+x+C[1]
(C[1]は任意定数)
f(x)=±e^((1/3)x^3+x+C[1])
ここで更に
±e^C[1]=C
と置くと
f(x)=Ce^{(1/3)x^3+x}
これはC=0のときも成立するので
f(x)=Ce^{(1/3)x^3+x}
(Cは任意定数)

さて(A)にx=0を代入すると
f(0)=1
∴(B)から
C=1
よって
f(x)=e^{(1/3)x^3+x}
No.86893 - 2023/12/08(Fri) 18:59:25
☆ Re: 積分を含む関数 / ast
与えられた条件を "微分方程式の初期値問題 f(0)=1, f'(x)=(x^2+1)f(x)" と読んだのであれば,
> log|f(x)|=(1/3)x^3+x+C[1]
の時点で x=0 として C[1]=0 と決まるので
> ここで更に
> ±e^C[1]=C
> と置くと
> f(x)=Ce^{(1/3)x^3+x}
> これはC=0のときも成立するので
の部分はまるまる無意味な議論ではないですか?
# つまり, 本問において C[1] あるいは C は「任意」定数ではなく, 初期条件から決まる「特定の」定数.
No.86898 - 2023/12/09(Sat) 02:50:31
☆ Re: 積分を含む関数 / X
＞＞astさんへ
ダガ−ネットさんはこの問題を解くにあたり、微分方程式を解くという
考え方を全く知らないと見ましたので、(A)'を変数分離法を使って解く
に当たり、教科書通りのセオリーで
f(x)=…
の形の一般解を求めてから、f(0)=1を満たす解を求める方針を使いました。

ですが、簡単に解くのであれば確かにastさんの仰る通りですね。
No.86906 - 2023/12/09(Sat) 15:43:46
★ 数学A（場合の数） / ユミ
（問）〇または×を適当に合計８個並べるとき、５回以上〇が連続する並べ方は何通りあるか。

という問題についてですが、私は地道に場合分けして、
（ア）〇が８回連続するとき、１通り。
（イ）〇が７回連続するとき、２通り。
（ウ）〇が６回連続するとき、５通り。
（エ）〇が５回連続するとき、１２通り。
よって、全部で２０通り。

と、答えは合っていたのですが、
同じクラスの男子が、下のような解答をして、高校の先生から「よくこんな発想ができたね。」と褒められていました。

「合計n個の〇または×を並べたとき、５個以上の〇が連続しない並べ方をX(n)とすると、
X(1)＝２、X(2)＝４、X(3)＝８、X(4)＝１６、X(5)＝31
であるから、
X(6)＝２＋４＋８＋１６＋３１＝６１、
X(7)＝４＋８＋１６＋３１＋６１＝１２０、
X(8)＝８＋１６＋３１＋６１＋１２０＝２３６
よって、合計８回投げて５回以上連続する並べ方は、
２５６−２３６＝２０通り。」

おそらく、
漸化式 X(n+5)＝X(n)＋X(n+1)＋X(n+2)＋X(n+3)＋X(n+4)
を見出して計算していると思うのですが、私にはこの漸化式みたいなのがどう考えたのか、さっぱり分かりませんでした。
　でも、なんか応用性がありそうなので、理解したいと思い、質問させていただきます。
考え方が分かる方、御教授頂けると嬉しいです。
No.86885 - 2023/12/06(Wed) 16:44:21
☆ Re: 数学A（場合の数） / ヨッシー
X(n) の内訳を、右端に○がいくつ並んでいるかで
X(n)→(x0, x1, x2, x3, x4) と書くことにします。
x0：右端が×、x1：１個○がある・・・x4：４個○がある。

X(1)→(1, 1, 0, 0, 0)，X(1)=2
X(2)→(2, 1, 1, 0, 0)，X(2)＝4
X(3)→(4, 2, 1, 1, 0)，X(3)＝8
X(4)→(8, 4, 2, 1, 1)，X(4)＝16
X(5)→(16, 8, 4, 2, 1)，X(5)＝31
X(6)→(31, 16, 8, 4, 2)，X(6)＝61
のように、伝播していきます。

X(n) のすべての場合は、×を右につけることにより　X(n+1) の中の x0 になり、
X(n) の中の x0 は、○を右に付けることにより X(n+1) の中の x1 になり
x1 は x2 になり、x2 は x3 になり、x3 は x4 になり、x4 は外れていきます。
No.86886 - 2023/12/06(Wed) 17:46:35
☆ Re: 数学A（場合の数） / ユミ
ヨッシー様、御回答有難うございます。
隣に〇が何個あるか、という観点で5つの状態からの推移を考えたということですね。私には難しいですが、腑に落ちるまでもう一度考えてみたいと思います。
有難う御座いました。
No.86887 - 2023/12/08(Fri) 00:53:34
☆ Re: 数学A（場合の数） / ヨッシー
隣に、というより右端に○が何個連続しているか。
その右にさらに○か×を１つ加えたときの状態を考えています。
No.86888 - 2023/12/08(Fri) 06:30:48
★ どなたか教えていただきたいです。 / 安原遼
お願いします🙇‍♂️
No.86883 - 2023/12/04(Mon) 17:20:26
★ 微分 / kitty
冬用ジャケット x 枚を生産するのにかかる総費用（ドル）は C(x) = 100 + 10x + 0.2x^2 で与えられる。

1.微分の極限定義を使用して，[10,12]におけるジャケット1着あたりの平均コストを求めよ．

2.次に，1500着のジャケットを生産する平均コストを求めよ．

これらの問題の解き方のご教授よろしくお願いします。
No.86882 - 2023/12/03(Sun) 15:42:36
★ 助けて！ / 春一番
どなたか宜しくお願いします🙇
No.86875 - 2023/12/02(Sat) 18:12:00
☆ Re: 助けて！ / 春一番
> どなたか宜しくお願いします🙇

逆さまですいません。
No.86877 - 2023/12/02(Sat) 18:15:56
☆ Re: 助けて！ / ヨッシー
(x+3y-4)(x+2y+3)＝・・・
の形に因数分解できます。
No.86878 - 2023/12/02(Sat) 18:19:55
☆ Re: 助けて！ / 春一番
ありがとうございます
No.86881 - 2023/12/03(Sun) 09:54:41
★ 猛者よ、助けて下さい！ / あらはん
pを3以上の素数とする。このときn （n+p）が平方数となるような正の整数nをpを用いて表しなさい。

上手く解けません。どなたかご教授下さい。
No.86874 - 2023/12/02(Sat) 17:44:34
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / ヨッシー
ｎが平方数とすると、ｎ＋ｐが平方数になれば、条件を満たします。

■□□□
■□□□
■□□□
■■■■
のように、素数ｐ＝７をＬの字に折り曲げて、平方数ｎ＝９を足してやると、
　ｎ＋ｐ　が平方数になります。
ｐ＝３だとｎ＝１^2
ｐ＝５だとｎ＝2^2
ｐ＝１１だとｎ＝5^2
となり、ｎ＝{(p-1)/2}^2 とすると、とりあえず、１つは見つかります。

他にあるかは、調べていません。
No.86876 - 2023/12/02(Sat) 18:14:51
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / IT
n=s^2, n+p=t^2 (s,tは自然数でs<t)とおける
p=(t+s)(t-s)
pは素数なので t-s=1,t+s=p
よって s=(p-1)/2 , t=(p+1)/2

...
No.86879 - 2023/12/02(Sat) 19:03:11
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / 春一番
ありがとうございます！納得しました。
No.86880 - 2023/12/02(Sat) 19:32:23
★ 自然数 / えっとう
自然数についての定義を述べているのって、ペアノ定理だけですか？
たとえば楕円なら複数定義がありますよね。知ってるだけ教えてください！
No.86868 - 2023/12/01(Fri) 17:44:37
☆ Re: 自然数 / GandB
　そんなつまらんこと考えるよりも、「数」について詳細に解説した本で、まずは「ペアノの公理」による自然数の定義をきちんと理解したほうがいいんじゃないの。一般向け、少なくとも大学の数学科で数学を学んだ（学ぶ）ような人を読者としては想定してはいない（はずの）本としては、たとえば

　　「数の体系 上・下」（彌永昌吉 著：岩波新書）

という「恐るべき本」がある。著者の彌永昌吉と当時の岩波書店の編集部は、高校数学をだいたい理解していれば、読み進めることができるであろうと判断して、これを「新書」として出版したのだろう。いい本が廉価で手に入るのだから、質問者も大いに発奮して挑戦すればいい。

　なお、私はその昔、この本の上巻の前書きや冒頭の数ページに騙されて安直に手を出し、見事に挫折した。上巻は何とか通読したが、下巻は買ってから20年以上経過したにもかかわらず、今日に至るまで眺めただけであるwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww。

　私のように挫折しないためには
　　https://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/suuron.html
のようなところで勉強するのも悪くないと思う。
No.86873 - 2023/12/02(Sat) 08:45:40
★ 確率です。 / アルファード
解答教えて下さい
No.86865 - 2023/11/30(Thu) 01:00:14
☆ Re: 確率です。 / IT
(1)1からkまでの数字のカードの中でkが最も左側にくる確率なので1/k
No.86870 - 2023/12/01(Fri) 21:46:13
☆ Re: 確率です。 / IT
(2) 13箇所の内、文字のカードを置く場所の選び方は、C(13,5)通り。
文字のカードを隣り合わないように置くには、数字のカードの間と両端の9箇所から5箇所を選べば良いので、C(9,5)通り。
よって、求める確率は、C(9,5)/C(13,5)
No.86871 - 2023/12/01(Fri) 22:36:05
★ (No Subject) / 算数
問2の問題です。

ボートQの下り速さがなぜ

18+6✖︎2＝30km/時なのでしょうか。

式は12+6ではないのでしょうか。
No.86864 - 2023/11/30(Thu) 00:17:12
☆ Re: / X
時速18kmというのはQの上りの速さであって
下りの速さではありません。
ですので静水のときのQの速さは時速で
18+6=24[km]
よって、Qの下りの速さは時速で
(24+6)[km]
となります。
No.86867 - 2023/11/30(Thu) 08:16:06
★ (No Subject) / r
この問題の極限の解き方を教えてください。　答えでは1/e,3なのですが。
No.86861 - 2023/11/29(Wed) 21:06:51
☆ Re: / X
(3)
f(x)=logx
とすると
lim[x→1]log{x^{1/(x-1)}}=lim[x→1](logx)/(x-1)
=f'(1)=1
∴(与式)=e^1=e

(4)
(与式)=lim[x→∞]3・{1+(2/3)^x}^(1/x)
=lim[x→∞]3・[{1+(2/3)^x}^{1/(2/3)^x}]^{{(2/3)^x}/x}
=3・e^0
=3
No.86862 - 2023/11/29(Wed) 21:57:58
☆ Re: / WIZ
> Xさん
# 流石に間違い多過ぎない?
# (3)は質問者さんが答えは1/eと書いているのに、違う値になって疑問に思わないの?
# lim[x→1]{x^(1/(x-1))}じゃなくて、lim[x→1]{x^(1/(1-x))}を求めるんだよ?

(3)自然対数を取れば
lim[x→1]{log(x^(1/(1-x)))}
= lim[x→1]{log(x)/(1-x)}
= lim[x→1]{-(log(x)-log(1))/(x-1)}
= -log'(1) = -(1/1) = -1
# log'(x)なんて書き方はしないかもしれないが、
# これは自然対数関数の導関数で、log'(x) = 1/xです。

自然対数を外すと、
lim[x→1]{x^(1/(1-x))} = e^(-1) = 1/e
No.86863 - 2023/11/29(Wed) 23:44:17
☆ Re: / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞rさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
No.86866 - 2023/11/30(Thu) 07:42:05
☆ Re: / IT
s=1/(x-1)とおく方法もありますね
s=1/(x-1)とおくと　x=1+(1/s) なので
x^(1/(1-x))＝(1+(1/s))^(-s)
x→1+0 のときは　s→+∞で　自然対数の底ｅの定義から求める極限値が求まります。
x→1-0 のときは　s→-∞なので、１ステップ要ります。

lim(s→∞){1+1/s}^s が収束することも、どこかで証明が必要ですが。
No.86869 - 2023/12/01(Fri) 19:06:46
☆ Re: / ast
(3) は x:=1+h として h→0 の極限をとるだけなのでは……?
# まあ e の導入の仕方に依る話ではあるかもしれないが……,
# もし仮にダメな場合 No.86862 の (4) の証明もダメな可能性が.
No.86899 - 2023/12/09(Sat) 02:55:39
★ (No Subject) / むらりひょんのすけ
平面上に中心を共有する半径1の円と半径6の円がある。それぞれをC1,C2とする。C1上の点PとC2上の点Q,Rを頂点とする三角形PQRの面積の最大値を求めよ

とりあえず中心を(1,0),点Pを(0,0)に固定してみたのですが分かりません。

解説よろしくお願いします
No.86855 - 2023/11/28(Tue) 20:51:18
☆ Re: / らすかる
中心を原点として
Q(6cosθ,6sinθ), R(6cosθ,-6sinθ)　（0＜θ≦π/2）とおくと
面積が最大になるPの位置はθによらず明らかに(-1,0)
このとき△PQRの面積は6sinθ(6cosθ+1)
f(θ)=sinθ(6cosθ+1)
f'(θ)=cosθ(6cosθ+1)+sinθ(-6sinθ)
=6{(cosθ)^2-(sinθ)^2}+cosθ
=12(cosθ)^2+cosθ-6
f'(θ)=0を解くとcosθ=2/3（∵cosθ＞0）
このときsinθ=√(1-(2/3)^2)=√5/3（∵sinθ＞0）なので、
6sinθ(6cosθ+1)に代入して
△PQRの面積の最大値は10√5
No.86858 - 2023/11/28(Tue) 23:15:24
☆ Re: / むらりひょんのすけ
なぜQ,Rがx軸対称のときに最大となるのでしょうか。
No.86859 - 2023/11/28(Tue) 23:35:55
☆ Re: / らすかる
QとRの位置関係がどうであっても、回転すればx軸に関して対称になるように移動できます。
従って最初から対称と仮定してOKです。
でも、そのことを解答の最初で言及しておいた方がいいでしょうね。
No.86860 - 2023/11/28(Tue) 23:45:20
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