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★ 数学?U円の格子点 / 高校二年生
数学?Uの解答集などのない問題ですので質問させていただきます。
問
原点中心の円 x＾2 + y＾2 = r＾2 の格子点の数について、法則性や性質を整理せよ。
No.87482 - 2024/02/19(Mon) 19:31:32
☆ Re: 数学?U円の格子点 / らすかる
円周上の格子点の個数の話でしたら、以下をご覧下さい。
ヤコビの二平方定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E4%BA%8C%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
ただし、ここの書かれている証明は高校範囲外です。
この定理により、自然数rに対してx^2+y^2=r^2を満たす(x,y)の組の個数は
r=A・Πp[k]^q[k]
（ただしp[k]は4n+1型の素数、Aはrから4n+1型の素因数を除いた残りの数）
としたとき
4Π(2q[k]+1) 個
となると思います（ただし4n+1型の素因数を持たないときは4個）。
例えばr=253500のとき
253500=2^2×3×5^3×13^2
なので
A=2^2×3=12、p[1]=5、q[1]=3、p[2]=13、q[2]=2
となり
4Π(2q[k]+1)=4{(2×3+1)(2×2+1)}=4×7×5=140個
と計算されます。
No.87488 - 2024/02/19(Mon) 21:42:45
☆ Re: 数学?U円の格子点 / WIZ
> らすかるさん
ヤコビの二平方定理を若干勘違いされているようです。
らすかるさんの提示された式のAは4n+3型の素因数の指数が偶数であることが必要です。
なので、例として上げられている253500 = 2^2×3×5^3×13^2を2個の整数の平方の和に表す表現数は0個です。

また、r = √2などrが整数でなくでもr^2 = 2 = 1^2+1^2と2個の整数の平方の和に表すことが
できる場合があるので、rでなくr^2が整数になる場合に対してヤコビの二平方定理を適用すべきだと思います。

ヤコビの二平方定理の証明ですが、一応初等的な方法も知られておりググれば見つけられるかもしれません。
ちなみに手持ちの「チャレンジ! 整数の問題199」(ISBN4-535-78420-5)という本には、
前提となる補題から読むとかなりの長さになるし、若干の厳密さは犠牲になっているものの高校数学程度で
理解できる証明が解説されています。

以下余談

もし、円周上の格子点だけでなく円内部の格子点も含むのなら、おそらく同じ質問/質問者さんと思われる
数学問題集「考える葦」数学質問掲示板に投稿されている
円の公式と格子点について　名前：どこぞの高校生 日付：2024/1/28(日) 19:11
に回答がついています。この回答に疑問があるのなら、
「考える葦」の方に追加質問のスレを立ててみては如何でしょうか?
No.87489 - 2024/02/19(Mon) 23:28:43
☆ Re: 数学?U円の格子点 / らすかる
> WIZさん
質問の式はa^2+b^2=rではなくa^2+b^2=r^2ですから、
r=253500の場合もr^2は平方数の和で表せます。
例に挙げた「140個」は、253500^2を平方数の和で表す場合の数です。
No.87495 - 2024/02/20(Tue) 09:34:49
☆ Re: 数学?U円の格子点 / WIZ
> らすかるさん
私がらすかるさんの解説を誤読していました。申し訳ありません。
No.87496 - 2024/02/20(Tue) 10:04:58
★ (No Subject) / tokotoko
中学範囲でどうとけばよいか教えてください
No.87481 - 2024/02/19(Mon) 18:37:05
☆ Re: / らすかる
上の角（3の辺とaの辺の交点）をA、
左下の角（3の辺とbの辺の交点）をB、
右下の角（aの辺とbの辺の交点）をC、
三角形の内部に描かれている線分とbの辺の交点をDとします。
AB=AD=CD=3、BC=b、CA=aです。
AB=ADから∠ADB=∠ABD=2xなので
3x+2x+2x=7x=180°、∠DAC=∠DCA=x、∠ADC=5xとなります。
Cを通り直線ADに平行な直線と直線ABの交点をEとします。
∠CEB=∠DAB=3x、∠ACE=∠CAD=xなので∠CAE=180°-3x-x=3xとなり
△CEAはCE=CAの二等辺三角形ですから、CE=aです。
そして△EBC∽△ABDからEC：BC=AD：BDすなわちa：b=3：b-3
これより
3b=a(b-3)
3a+3b=ab
3(a+b)=ab
従ってa+b：ab=1：3です。
No.87485 - 2024/02/19(Mon) 20:52:03
☆ Re: / tokotoko
分かりやすい説明をありがとうございました。
No.87487 - 2024/02/19(Mon) 21:38:08
★ 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
最小値の確率

何卒宜しくお願いします

以下問題

--------------------------------------------
No.87471 - 2024/02/18(Sun) 08:54:25
☆ Re: 最小値の確率 / IT
問題文（「このときの確率」）があいまいのような気がしますが転記ミスはないですか？
（確率論を専門的に習ってないので私の誤解かも知れませんが）
No.87473 - 2024/02/18(Sun) 10:08:35
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
申し訳ございません。

>このときの確率→mとするときの確率

です

何卒宜しくお願いします
No.87474 - 2024/02/18(Sun) 10:30:56
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
mとするときの確率→mとなるときの確率です
No.87475 - 2024/02/18(Sun) 10:33:32
☆ Re: 最小値の確率 / WIZ
基本的にはNo.87403と同じ考え方で求められます。
# No.87403は2枚の場合で、最小値がkならもう一枚はn-k枚から選ぶから、
# 確率はC(n-k, 1)/C(n, 2) = 2(n-k)/{n(n-1)}

3枚選ぶ場合は、1枚はmで、他の2枚はmより大きい数字のn-m枚から選ぶから
確率はC(n-m, 2)/C(n, 3)
= {(n-m)(n-m-1)/(2*1)}/{n(n-1)(n-2)/(3*2*1)}
= 3(n-m)(n-m-1)/{n(n-1)(n-2)}
# 勿論n, mは自然数で、3 ≦ n, 1 ≦ m ≦ n-2です。
No.87476 - 2024/02/18(Sun) 13:32:01
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
WIZ先生へ

今晩は

ご回答ありがとうございます。

なるほどのなるほどです

感動しました。

本当にありがとうございました。

感謝いたします。


彼処
No.87483 - 2024/02/19(Mon) 19:58:18
☆ Re: 最小値の確率 / GandB
　「本当にわかって」

感動までしたのなら、No.87450 の投稿は、考え方に難があるというだけではなく、数学の文章として、「事象」や「期待値」という用語の使い方がデタラメであることもよくわかったはずなので、まともな文章と差し替えたほうがいいのではないかwww。
No.87484 - 2024/02/19(Mon) 20:26:31
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
GandB先生に

ご指摘ありがとうございました。
No.87492 - 2024/02/20(Tue) 08:34:02
★ 中学数学の問題 / 中３
　
この問題です。解けません。解説よろしくお願いします。

ＡＤ＝４ｃｍ、∠Ａ＝３０°の平行四辺形ＡＢＣＤがある。ＰはＡを出発して、毎秒１cmの速さでＡＢ、ＢＣ、ＣＤをＢ、Ｃを通ってＤまで２０秒で動いた。ＰがＡを出発してからｘ秒後の△ＰＤＡの面積をｙｃｍ^2とする。ただしx=0のときy=0である。
　(1) ｙをｘの式で表せ。
?@　ＰがBC上にあるとき。
?A　PがCD上にあるとき.
(2) 平行四辺形ＡＢＣＤと△PDAの面積が5:2になるｘの値をすべて求めよ。
No.87462 - 2024/02/17(Sat) 13:39:20
☆ Re: 中学数学の問題 / WIZ
内角が30°,60°,90°の直角三角形の辺の長さの比が、斜辺を2とすると、
直角を挟む短い方の辺が1、長い方が√3であることは既知とします。

|AB|+|BC|+|CD| = 20[cm], |BC| = 4[cm], |AB| = |CD|から、
|AB| = |CD| = 8[cm]です。

(1.1)点Pが線分AB上にある場合
|AP| = x[cm]となります。
点Dから線分ABに下した垂線の足をEとすると、
△ADEにおいて斜辺が|AD| = 4[cm]となることから、|DE| = 2[cm]となります。
従って、△PDAの底辺を線分AP、高さを|DE|とすれば、
y = |△PDA| = |AP|*|DE|/2 = x*2/2 = x[cm^2]

(1.2)点Pが線分BC上にある場合
線分ABを延長した直線ABに点Cから下した垂線の足をFとすると、
△ACFにおいて斜辺が|AB| = 8[cm]となることから、|BF| = 4[cm]となります。
従って、△PDAの底辺を線分AD、高さを|BF|とすれば、
y = |△PDA| = |AD|*|BF|/2 = 4*4/2 = 8[cm^2]

(1.3)点Pが線分CD上にある場合
△PDAの底辺を線分DP、高さを|AE|とすれば、
点Cに点Pが到達するのはx = 8+4 = 12[秒], 点Dに点Pが到達するのはx = 20[秒]です。
y = |△PDA| = |DP|*|DE|/2 = (20-x)*2/2 = 20-x[cm^2]

(2)|□ABCD| = |AB|*|DE| = 8*2 = 16[cm^2]
|△PDA| = (2/5)*16 = 32/5[cm]

(1.1)の場合は、x = 32/5 = 6.4[秒]
(1.3)の場合は、20-x = 32/5 ⇒ x = 20-6.4 = 13.6[秒]

# ここまで解いて思うに、(1.2)の場合は|△PDA|は|□ABCD|の半分だからと考えた方が簡単でしたね。
No.87468 - 2024/02/17(Sat) 22:25:07
☆ Re: 中学数学の問題 / 中３
ありがとうございました。大変わかりやすかったです。
No.87469 - 2024/02/18(Sun) 05:59:57
★ 媒介変数表示 / 三国協商
以下の媒介変数表示の式を元に戻すにはどうしたら良いのでしょうか？tを消そうにも cos14tとかsin14tをどうすべきかわかりません。
No.87457 - 2024/02/17(Sat) 12:53:30
☆ Re: 媒介変数表示 / WIZ
x = t+cos(14t)/t, y = t+sin(14t)/tと解釈して回答します。
tは0でない実数とします。

t(x-t) = cos(14t), t(y-t) = sin(14t)
⇒ {t(x-t)}^2+{t(y-t)}^2 = cos(14t)^2+sin(14t)^2 = 1
⇒ (x-t)^2+(y-t)^2 = 1/(t^2)
つまり、(x, y)は中心(t, t)、半径1/|t|の円周上の点です。

tを消去してx, yだけの関係式を導くことはできますが、あまりきれいな式にはならないと思います。
⇒ (t^2)(x^2-2xt+t^2)+(t^2)(y^2-2yt+t^2) = 1
⇒ 2t^4-2(x+y)t^3+(x^2+y^2)t^2-1 = 0

上記の4次方程式をフェラーリの公式などで解いて、t = f(x, y)の形が得られ、
x = f(x, y)+cos(14f(x, y))/f(x, y)とかになると思います。
# もっと上手い方法があるのかもしれません。
No.87464 - 2024/02/17(Sat) 14:33:58
☆ Re: 媒介変数表示 / ast
どうして x,y 間の直接関係式が知りたいのかは知りませんが, その曲線の性質としては媒介曲線として素直に追跡して知れる "巨視的には t→±∞ で x=y を, t→0 で y=14 をそれぞれ漸近線に持つ" ことが直ちにわかる程度で, あるいは "原点の近くでぐちゃぐちゃになりそう" くらいの話にしかならないのではないでしょうか.
参考: -15≤t<0, 0<t≤15 あたりの挙動.
No.87467 - 2024/02/17(Sat) 20:30:13
★ 空間図形です！ / ゆう　中３
図はAC=3cm,CB＝4cm,BA=5cm, ∠ACB= 90°, AD=BE=CF=6cm の三角柱ACB-DFEである。点P,Q,Rはそれぞれ辺AD,BE,CF上の点で AP=BQ=CRである。また、AE と PQの交点をSとする。PS:SQ＝1：1であるとき、立体A-PSRの体積を求めなさい。

よろしくお願いいたします
No.87452 - 2024/02/16(Fri) 22:33:55
☆ Re: 空間図形です！ / 三国協商
以下のように考えました。
No.87455 - 2024/02/17(Sat) 10:22:37
☆ Re: 空間図形です！ / 三国協商
3つの面が平行で面積が等しい証明。
No.87456 - 2024/02/17(Sat) 10:24:10
☆ Re: 空間図形です！ / ゆう　中３
ありがとうございました！
相似な図形を使って解くのですね！すっきりしました。
ありがとうございました！
No.87463 - 2024/02/17(Sat) 14:13:27
★ 答案を作成しました / Nishino (中学２年生)
答案を作成しました　アドバイスいただけると幸いです

何卒宜しくお願いします

問題と答案

画像拡大リンク先

https://imgur.com/a/A7PCb9D

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No.87450 - 2024/02/16(Fri) 18:15:35
☆ Re: 答案を作成しました / WIZ
何故こんな無駄で不必要な計算をするのか不思議だ。

それにNo.87448で「Σの計算をせず理屈で」と条件を付けて
Σ[k=1,n]{k(n-k)}とΣ[k=1,n]{k(k-1)}の比が1:2であることを示す方法を質問しておきながら、
このNo.87450での自身の答案ではちゃっかり「Σの計算をした」方法で示している。
No.87448の質問は何だったのか?

取り敢えず、Σ[k=1,n]{k} = n(n+1)/2とΣ[k=1,n]{k^2} = n(n+1)(2n+1)/6を使って良いのなら、
「大きい方の総和」も「小さい方の総和と大きい方の総和の比が1:2」であることも必要なく、
小さい方の総和を全事象数で割れば小さい方の期待値は求まる。

(小さい方の総和) = Σ[k=1,n]{k(n-k)}
= n{n(n+1)/2}-n(n+1)(2n+1)/6
= n(n+1){3n-(2n+1)}/6
= n(n+1)(n-1)/6

(全事象数) = C(n, 2) = n(n-1)/2

(小さい方の期待値) = {n(n+1)(n-1)/6}/{n(n-1)/2} = (n+1)/3

勿論、上記はNo.87403でXさんが示された計算式と事実上同じだ。
No.87479 - 2024/02/19(Mon) 00:01:07
☆ Re: 答案を作成しました / Nishino (中学２年生)
WIZ先生に

ご指摘ごもっともです。

私は、どうしても確率の分野は全事象を先ずは捉える悪癖がありまして、、、

今回もありがとうございました。
No.87493 - 2024/02/20(Tue) 09:00:17
★ 比例式 / Nishino (中学２年生)
比例式

何卒宜しくお願いします

次の比例式を示せる方教えてください

※ できれば、実際に、Σの計算をせず理屈でお願い致します。

問題
---------------------------------------------
No.87448 - 2024/02/16(Fri) 14:48:21
☆ Re: 比例式 / らすかる
n+1個から3個(左から順にA,B,Cとする)選ぶことを考える。

AとCの間隔で分類すると
AとCの間がn-1個になるのは1通り→Bの位置の選び方はn-1通り
AとCの間がn-2個になるのは2通り→Bの位置の選び方はn-2通り
AとCの間がn-3個になるのは3通り→Bの位置の選び方はn-3通り
・・・
AとCの間が1個になるのはn-1通り→Bの位置の選び方は1通り
∴合計はΣ[k=1〜n-1]k(n-k)=Σ[k=1〜n]k(n-k)通り

Cの位置で分類すると
Cが左から3番目になるのが2×1÷2通り
Cが左から4番目になるのが3×2÷2通り
Cが左から5番目になるのが4×3÷2通り
・・・
Cが左からn+1番目になるのがn×(n-1)÷2通り
∴合計は(1/2)Σ[k=2〜n]k(k-1)=(1/2)Σ[k=1〜n]k(k-1)

よってΣ[k=1〜n]k(n-k)=(1/2)Σ[k=1〜n]k(k-1)なので
Σ[k=1〜n]k(n-k)：Σ[k=1〜n]k(k-1)=1：2
No.87451 - 2024/02/16(Fri) 18:25:44
☆ Re: 比例式 / IT
らすかるさんの証明けっこうたいへんですね。
しんぷるに計算するか、
それぞれ差分を計算して、数学的帰納法で示すかですかね（Σ計算はやってしまいますが）

中学２年生だけどΣは既習のようですが、「差分」、「数学的帰納法」は、分かりますか？
No.87453 - 2024/02/17(Sat) 04:41:44
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生に

ご丁寧なご解説いつもありがとうございます。

大分スッキリしました。

今回も親身になってご対応くださりありがとうございます
No.87458 - 2024/02/17(Sat) 13:19:13
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生、こんにちは


>「差分」、「数学的帰納法」は、分かりますか？

大丈夫です

ご回答いただけますと幸いです。
No.87459 - 2024/02/17(Sat) 13:22:14
☆ Re: 比例式 / IT
f(n)=Σ[k=1〜n]k(n-k),g(n)=Σ[k=1〜n]k(k-1)とおく

f(n+1)=Σ[k=1..n+1]k(n+1-k)
=Σ[k=1〜n]k(n+1-k)
=Σ[k=1〜n]k(n-k)+Σ[k=1〜n]k

∴f(n+1)-f(n)=n(n+1)/2

一方、g(n+1)-g(n)=(n+1)n

よって f(n+1)-f(n):g(n+1)-g(n)=1:2
したがって、f(n):g(n)=1:2 であれば、f(n+1):g(n+1)=1:2
また、f(1)=0,g(1)=0 なので　f(1):g(1)=1:2 が成立

以上から数学的帰納法により任意の自然数nについてf(n):g(n)=1:2
No.87465 - 2024/02/17(Sat) 14:36:45
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生

おはようございます！

分かりやすい解説ありがとうございました

私も問題を見たときに、帰納法を試みましたが

挫折したので、大変勉強になりました

また、よろしくお願いいたします
No.87470 - 2024/02/18(Sun) 08:47:44
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生

おはようございます！

分かりやすい解説ありがとうございました

私も問題を見たときに、帰納法を試みましたが

挫折したので、大変勉強になりました

また、よろしくお願いいたします
No.87472 - 2024/02/18(Sun) 09:38:58
☆ Re: 比例式 / らすかる
実は、最初は数学的帰納法で回答しようと思ったのですが
「Σの計算をせず理屈で」に反するような気がしたので、
それならば組合せ論ぐらいしかないかな、と思って
上のような回答になった次第です。
No.87477 - 2024/02/18(Sun) 13:56:50
☆ Re: 比例式 / IT
もう一度、差分をとれば、「直接的にはΣ計算をしない」で済みますが、かえって複雑になると思い止めました。
No.87478 - 2024/02/18(Sun) 14:47:15
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生、IT先生

最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.87494 - 2024/02/20(Tue) 09:02:11
★ 逆の確認は必要ですか？ / とんかち
高校２年です。

f(x)=(ax+1)/(x^2+1)がx=4/3で極値をとるときaの値を求めよ

という問題を、f(x)を微分してf'(4/3)=0を求めてaの値を求めたあと、増減表をかいてx=4/3で極値をとることの確認は必要でしょうか？

必要条件なので十分性を確かめる必要があるのは分かるのですが、参考書によって確認しているものと確認していないものがあり困っています。

ご教授下さい。よろしくお願いします。
No.87446 - 2024/02/16(Fri) 01:55:08
☆ Re: 逆の確認は必要ですか？ / ヨッシー
絶対必要とは言いませんが、無くても良いとも言えません。

増減表でなくとも、f'(x) の式の分子を因数分解して、
　x=4/3 の前後で符号が変わるので・・・
的な注釈を書いておくのが無難でしょう。
No.87447 - 2024/02/16(Fri) 09:36:25
★ (No Subject) / かよこ
(10＋k)³＞2000を満たす最小の自然数kを求めろ。
この問題についての解き方を教えてください。
とりあえず展開したら
k(k²＋30k＋300)＞1000になりました。
よく分かりません。
No.87443 - 2024/02/15(Thu) 22:47:18
☆ Re: / IT
10＋k=m とでもして考えた方がいいかも
m^3 > 2000をみたす　最小の自然数m を見つける
10^3 = 1000 ですから m＞10
15^3 > 15*15*10= 2250 ですから　m≦15
　だいぶしぼれましたね
No.87444 - 2024/02/15(Thu) 23:13:31
☆ Re: / IT
k(k²＋30k＋300)＞1000 を使って
k=1,2,3,4..を試してみてもいいです。
No.87445 - 2024/02/15(Thu) 23:50:58
★ 期待値 / Nishino (中学２年生)
以下の解説の意味が分かる方教えてください

?C大きい方をYとする。
?Aと同様にしてE[Y]=2(n+1)/3

E[X+Y]×ₙC₂×2+Σ[k=1,2,...,n] (2k)
=Σ[i=1,...,n] Σ[j=1,...,n] (i+j)
よりE[X+Y]=n+1

従って求める期待値は
E[X+Y]-E[Y]=(n+1)/3

以下問題

-------------
No.87441 - 2024/02/15(Thu) 18:30:45
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
問題です

何卒宜しくお願いします
No.87442 - 2024/02/15(Thu) 18:32:25
☆ Re: 期待値 / GandB
　No.87403 に示された明快な解答をきちんと理解できているのなら、こんな珍妙な「解説」を提示して同じ質問を繰り返すようなことはしないはずだが。知恵袋を覗いてみたが、同じ質問は見つけられなかった。マルチポストではないようだ（笑）。

　期待値の線形性より
　　E[X+Y] - E[Y] = E[X] + E[Y] - E[Y] = E[X]
なのだから、この問題を解くのに E[Y] や E[X+Y] を考えること自体が滑稽だ。
No.87449 - 2024/02/16(Fri) 17:20:13
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
GandB先生

こんにちは

私もこの解説は滑稽に感じていました

私の考え方をupしましたので、ご指導いただけると幸いです

No.87450 - 2024/02/16(Fri) 18:15:35

何卒宜しくお願いします
No.87460 - 2024/02/17(Sat) 13:26:33
★ ルジャンドル多項式の解 / ぐっち
https://math.stackexchange.com/questions/958204/another-solution-of-the-legendre-differential-equation
の方法で
ルジャンドル微分方程式の解
[ルジャンドル多項式の一般項]
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
がわかっているときのもう一つの解の一般項を求めたいです。
ご教授お願い致します。
No.87438 - 2024/02/15(Thu) 16:17:46
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / WIZ
# あまり自信が無いので話半分ぐらいに聞いてください。

yをxの関数とする以下の微分方程式
(1-x^2)(y'')-2x(y')+n(n+1)y = 0・・・(1)
の解はy = p = P[n](x)とルジャンドルの多項式で、pは既知関数とします。

qをxの未知関数として、pqが(1)の解だと仮定すると
(1-x^2)((pq)'')-2x((pq)')+n(n+1)pq = 0
⇒ (1-x^2)((p'')q+2(p')(q')+p(q''))-2x((p')q+p(q'))+n(n+1)pq = 0
⇒ {(1-x^2)(p'')q-2x(p')q+n(n+1)pq}+(1-x^2)(2(p')(q')+p(q''))-2xp(q') = 0
⇒ {(1-x^2)(p'')-2x(p')+n(n+1)p}q+2((1-x^2)(p')-xp)(q')+(1-x^2)p(q'') = 0
⇒ {0}q+2((1-x^2)(p')-xp)(q')+(1-x^2)p(q'') = 0
⇒ (1-x^2)p(q'')+2((1-x^2)(p')-xp)(q') = 0
⇒ (q'')+2((p')/p-x/(1-x^2))(q') = 0・・・(2)

上記はq'に関する1階微分方程式です。
q' = e^(-2∫{(p')/p-x/(1-x^2)}dx+C)・・・Cは任意定数
= (e^C)(e^(-2{log(p)+(1/2)log(1-x^2)}))
= A(e^(-log((p^2)(1-x^2))))・・・e^C = Aは任意定数(e^C ≠ 0だが、A = 0は(2)の解となっている)

よって、
q = A(∫{e^(log((p^2)/(1-x^2)))})+B・・・Bは任意定数
⇒ pq = Ap(∫{e^(-log((p^2)(1-x^2)))})+Bp
# もし、計算間違いしていたらごめんなさい。

A = 0かつB = 1なら、pq = pとなりますので上記は既知の解pを含む表現となります。
# 他に特異解があるかどうかは分かりませんでした。
No.87461 - 2024/02/17(Sat) 13:34:27
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ぐっち
WIZさん、返信ありがとうございます。
https://math.stackexchange.com/questions/958204/another-solution-of-the-legendre-differential-equation
の最後の部分の
fP[n]=K(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]+LP[n]
と書いてあるのがもう一つの解だと思うのですが、これを
[ルジャンドル多項式の一般項]
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
にあるような級数和での表記に直したいです。
No.87466 - 2024/02/17(Sat) 16:18:39
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ast
>WIZさん
> e^(-log((p^2)(1-x^2)))
は = 1/(p^2(1-x^2)) なので, それで確かに StackExchage の議論を追えています.
# 議論をなぞりたかっただけならば, 記号を合わせたほうが語弊は少ない気はするが……
---
これだけでは何なので, 軽く見た範囲ではありますがいくつか書いておきます.
# まあ, 質問者さんの質問が書かれた時点で No.87466 のような趣旨と受け取っていて
# あまりお力添えできることもないかと思ったため, コメントするつもりもなかったのですが……

> fP[n]=K(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]+LP[n]
>と書いてあるのがもう一つの解だと思う
これはWIZさんの方が正しくて, (P[n] を含む)一般解です. "もう一つの解" というのは「二階線型方程式なので P[n] とは一次独立な "もう一つの解" がある」というような意味で使ってると思いますので, そうであればそれはこの式で言うところの (∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n] (あるいはその何らかの定数倍) がそうです (本当に一次独立かは非自明な話ではある).

一般に (固定した各 n に対して) ルジャンドル方程式の一般解のうち, ルジャンドル多項式 P[n] を第一種, "もう一つの解" Q[n] を第二種と呼びます (自然数 n に対してでも Q[n] は逆双曲線正接 artanh(x) を含むのでもはや多項式ではない).
参考: 第二種ルジャンドル函数 (MathWorld).
# 一般には非整数値な n に対しても第一種および第二種のルジャンドル函数
# (この場合第一種も一般には多項式ではない) が考えられる.

具体的に小さい自然数 n に対して (∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n] = Q[n] が確かめられます (例えば n=1 (WolframAlpha) が, これを一般の自然数 n で確認することも既に難しいのではないでしょうか.

ただし, ルジャンドル方程式は「x=±1,∞ に確定特異点を持つフックス型方程式で, したがってガウスの超幾何方程式で表せる」という事実があるので, 超幾何級数を使って
> [ルジャンドル多項式の一般項]
> https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
> にあるような級数和での表記
をすることはできる (この場合, x=1 の周りでの超幾何解が P[n], x=∞ のまわりでの超幾何解が Q[n] になる) ようです (よく知らない).
# x=-1の周りでの超幾何解は……なんだろ?

----
まじめに調べて書けば, 学部の卒論あたりとしてならだいぶ褒めてもらえる内容が書けるくらいのレベルの課題ではあるんじゃないでしょうか.
No.87480 - 2024/02/19(Mon) 06:44:49
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ぐっち
astさん、返信ありがとうございます。
どうももう一つの解(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]
を級数表示するのは難しそうですね。
級数法を使うか、超幾何関数を学習するかしかなさそうなので、そっちの方面を学習しようと思います。
No.87498 - 2024/02/20(Tue) 16:08:41
★ 複素数平面 / ゆかり
tは任意の実数とする。複素数平面上で2直線LとMを次のように定める。

L:(t+i)z-(t-i)<z>=4(t-2)i

M:(1-i)(t+i)z-(1+i)(t-i)<z>=0

LとMのなす角を求め、tが実数全体を動くとき、LとMの交点P(z)は複素数平面上でどのような図形を描くかを調べなさい。

<z>はzの共役複素数です。

z=x+yiとおきます。この時、L、Mはそれぞれ、

L:x+ty-2t+4=0

M:(1-t)x+(t+1)y=0

となりますので、tが実数となる(x,y)を求めることで解答は一応できました。

質問はここからです。

Lの式において、(t+i)zと(t-i)<z>は共役です。
Mの式において、(1-i)(t+i)zと(1+i)(t-i)<z>は共役です。
Mの(1-i)(t+i)zはLの(t+i)zに(1-i)をかけたものです。

問題の見た目と言いますか、式の特徴的な形から、何かもっと綺麗な解き方があるような気がしてならないのですが、上記以外の解き方はありますでしょうか。
No.87423 - 2024/02/13(Tue) 15:10:39
☆ Re: 複素数平面 / IT
どんな図形になり、何行ぐらいの記述が必要でしたか？
No.87425 - 2024/02/13(Tue) 21:32:13
☆ Re: 複素数平面 / ゆかり
私の答えは(-1,√3)を中心とする半径√10の円です。
解答は来週の月曜日に配られるので、合っているかはわかりません。

計算量はノート1ページくらい使いました。20行は超えています。
No.87427 - 2024/02/13(Tue) 23:42:26
☆ Re: 複素数平面 / IT
＞私の答えは(-1,√3)を中心とする半径√10の円です。
私の計算が合っていれば
t=0のとき、z=-4+4i
t=1のとき、z=-2
t=-1のとき,z=6i になり、(-1+3i)を中心とする半径√10の円では？
No.87428 - 2024/02/14(Wed) 00:02:38
☆ Re: 複素数平面 / IT
L:(t+i)z-(t-i)<z>=4(t-2)i

M:(1-i)(t+i)z-(1+i)(t-i)<z>=0

Mより, (t-i)<z>=(1-i)(t+i)z/(1+i)
Lに代入すると　(t+i)z+(1-i)(t+i)z/(1+i)=4(t-2)i
(1+i) を掛け整理すると　z(t+i)=2(1+i)(t-2)
z=x+yi(x,y は実数）とおくと
(x+yi)(t+i)=(2t-4)(1+i)
整理すると実部(x-2)t-y+4=0,虚部(y-2)t+x+4=0
１つめに(y-2)を,２つめに(x-2)を掛けて引くとtが消せてx,yが満たすべき関係式ができます。
（この記述だと必要条件しか示してないので円周の全体か抜けがあるのか、どの部分かは別に示す必要があると思います。）
No.87429 - 2024/02/14(Wed) 00:56:33
☆ Re: 複素数平面 / X
横から失礼します。
求める軌跡が円弧であることを予想した上での
変形であれば、
z(t+i)=2(1+i)(t-2) (A)
から直接tを消去できます。(参考までに)

(A)より
z=2(1+i)(t-2)/(t+i) (A)'
ここで
2(1+i)(t-2)=a(1+ti)+b(t+i)
(a,bは定数)
と変形できるとすると
2(1+i)t-4(1+i)=(b+ai)t+a+bi (B)
(B)はtについての恒等式ゆえ
b+ai=2(1+i) (C)
a+bi=-4(1+i) (D)
(C)(D)をa,bについての連立方程式として解き
(a,b)=(1+3i,-1+3i) (E)
(B)(E)より(A)'は
z=(1+3i)(1+ti)/(t+i)+(-1+3i)
これより
z-(-1+3i)=(1+3i)(1+ti)/(t+i)
|z-(-1+3i)|=|(1+3i)(1+ti)/(t+i)|
∴|z-(-1+3i)|=√10

注)
L,Mをtの恒等式として考えると、
L,Mはそれぞれ、tの値に依らない定点
(これらをQ,Rとします)を通る
ことが予想されます。
このことと問題前半の結果から、円周角により
P(z)の軌跡は点Q,Rを両端とする円弧
であることが予想できます。
No.87434 - 2024/02/14(Wed) 15:27:12
☆ Re: 複素数平面 / X
上記の回答では
|1+ti|=|t+i|=√(t^2+1)
であることを使うため
＞＞2(1+i)(t-2)=a(1+ti)+b(t+i)
と分解しています。
ですので、例えば1+tiの代わりに
t-iを使って
2(1+i)(t-2)=a(t-i)+b(t+i)
と分解しても、計算過程としては
問題ありません。
No.87435 - 2024/02/14(Wed) 19:28:10
★ 積分 / ゆかり
関数f(x)=2sinx+(√6)sin2xを定める。

曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた二つの部分の面積の和を求めなさい。

0<x<πにおいてf(x)=0となるxをαとおきます。cosα=-1/6です。

S=∫[0,α]f(x)dx+∫[α,π]{-f(x)}dx

∫f(x)dx=-2cosx-(√6)cos2x/2

以上から、S=7(√6)/3と求めましたが、解答は9(√6)/4になるそうです。

正しい計算方法を教えてください。
No.87411 - 2024/02/12(Mon) 17:43:31
☆ Re: 積分 / IT
cosα=-1/√6では？
No.87412 - 2024/02/12(Mon) 18:39:07
☆ Re: 積分 / ゆかり
失礼致しました。cosα=-1/√6です。私もこの下で計算しました。
No.87415 - 2024/02/12(Mon) 21:04:44
☆ Re: 積分 / X
方針に問題はありません。
私もゆかりさんと同じ結果になりました。

念のため、WolframAlphaにも件の積分
＞＞S=∫[0,α]f(x)dx+∫[α,π]{-f(x)}dx
の計算をさせてみました

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B0%2Carccos%28-1%2F%E2%88%9A6%29%5D%282sinx%2B%E2%88%9A6sin2x%29dx-%E2%88%AB%5Barccos%28-1%2F%E2%88%9A6%29%2C%CF%80%5D%282sinx%2B%E2%88%9A6sin2x%29dx&lang=ja

が、やはりゆかりさんの結果と同じです。
問題文か解答に誤植があるのでは？
No.87418 - 2024/02/13(Tue) 01:51:00
☆ Re: 積分 / ゆかり
先生に確認しましたら、合っていました。
他の問題の解答と間違えていたとのことでした。
No.87419 - 2024/02/13(Tue) 12:52:03
★ 微分と極限 / ゆかり
関数f(x)=logx/√x(x>0)に対して、曲線Cy=f(x)とする。

C上の点(t,f(t))における接線lを考える。t>e^2のとき、lがx軸、y軸と交わる点をそれぞれP、Qとする。原点をOとして、三角形OPQの面積をS(t)とする。

極限値lim[t→∞]S(t)/{(√t)logt}を求めよ。

S(t)={(√t)(3logt-2)^2}/4(logt-2)と求めました。なので答えは9/4になると思ったのですが、答えは27/8になるそうです。

私のS(t)は間違えているということだと思いますが、何度計算しても同じ答えになってしまいます。S(t)の求め方を教えてください。
No.87409 - 2024/02/12(Mon) 17:26:48
☆ Re: 微分と極限 / IT
＞S(t)={(√t)(3logt-2)^2}/4(logt-2)と求めました。
私も同じ結果になりましたが、計算に自信がありません。
途中式を書かれると間違いをみつけてもらえて有効と思います。
No.87413 - 2024/02/12(Mon) 18:41:50
☆ Re: 微分と極限 / WIZ
私も質問者さんと同じ結果になったので、
おそらく問題文・式か解答に書き間違いがあるのではないかと思います。
No.87416 - 2024/02/12(Mon) 21:08:48
☆ Re: 微分と極限 / ゆかり
皆様ありがとうございました。明日先生にもう一度確認します。
No.87417 - 2024/02/13(Tue) 00:24:31
☆ Re: 微分と極限 / ゆかり
先生に確認しましたら、合っていました。
他の問題の解答と間違えていたとのことでした。
No.87420 - 2024/02/13(Tue) 12:52:43
★ 関数 / 磁石
⑶について教えてください。
答えは、y＝-5xになります。
おねがいします。
No.87404 - 2024/02/11(Sun) 19:32:00
☆ Re: 関数 / WIZ
線分ABの中点をMとすると、Mの座標は
((-6+3)/2, (12+3)/2) = (-3/2, 15/2)
|AM| = |BM|であり、AMとBMを底辺とする三角形の高さは線分ABと点Oの距離だから等しい。
つまり△AMOと△BMOの面積は等しく、△ABOの半分である。

点Mと点Oを通る直線は
(y-0)/(15/2-0) = (x-0)/(-3/2-0)
⇒ y = (15/2)(-2/3)x = -5x

# ちなみに直線ABの傾きは-1で、直線OBの傾きは1。
# よって、直線ABと直線OBは直交していて、∠ABOは直角。
# 従って、線分ABと点Oの距離は|OB|と等しい。
No.87405 - 2024/02/11(Sun) 22:50:32
☆ Re: 関数 / WIZ
No.87405の解説だと、直感的に線分ABの中点を通る直線だろうと予測し、
それが題意を満たすという十分条件を示しただけだった。
もっと演繹的に題意を満たす直線を求めるというか、
必要条件を示して他に解が無いことを補足しようと思う。

△AOBの面積は
|AB|*|BO|/2 = {√((-6-3)^2+(12-3)^2)}*{√(3^2+3^2)}/2 = (9√2)(3√2)/2 = 27

原点Oを通り△AOBの面積を2等分する直線をLとすると、
Lはaを実数としてy = ax、またはx = 0(y軸と一致する直線)となる。
直線Lは△AOBの中を通り、線分ABと交点を持たなければならないので、
この交点をPとする。

直線ABは
(y-12)/(3-12) = (x-(-6))/(3-(-6)
⇒ y-12 = -9(x+6)/9
⇒ y = -x+6

Lがx = 0であると仮定すると、P(0, 6)となる。
△BOPの面積は|BO|*|BP|/2 = (3√2)(3√2)/2 = 9 ≠ 27/2となり、題意を満たさない。

Lがy = axであると仮定すると、P(x, ax) = P(x, -x+6)となる。
つまり、(a+1)x = 6・・・(ア)

△BOPの面積は
|BO|*|BP|/2 = (3√2){√((x-3)^2+(ax-3)^2)}/2 = (3/√2){√((1+a^2)x^2-6(1+a)x+18)}

△AOPの面積は
|BO|*|AP|/2 = (3√2){√((x-(-6))^2+(ax-12)^2)}/2 = (3/√2){√((1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180)}

# ∵∠ABOは直角であることは既知とする。

△BOPと△AOPの面積が等しい為には
(3/√2){√((1+a^2)x^2-6(1+a)x+18)} = (3/√2){√((1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180)}
⇒ (1+a^2)x^2-6(1+a)x+18 = (1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180
⇒ (18a-18)x = 162
⇒ (a-1)x = 9・・・(イ)

(ア)-(イ)より
{(a+1)x}-{(a-1)x} = 6-9
⇒ 2x = -3
⇒ x = -3/2・・・(ウ)
⇒ P(-3/2, 3/2+6) = P(-3/2, 15/2)
# 上記はNo.87405の点Mに一致する。

(ア)(ウ)より
(a+1)(-3/2) = 6
⇒ -3a-3 = 12
⇒ a = (12+3)/(-3) = -5
# 上記はy = -5xと一致する。
No.87408 - 2024/02/12(Mon) 13:49:56
☆ Re: 関数 / IT
WIZ さん
　三角形の面積の公式から　AP=BP が必要十分条件である。としてよいのでは？
No.87410 - 2024/02/12(Mon) 17:30:55
☆ Re: 関数 / 磁石
回答してくださった皆様、わかりやすい解説
ありがとうございました。
おかげでわかりました。
またよろしくお願いします。
No.87414 - 2024/02/12(Mon) 20:02:34
★ 期待値 / Nishino (中学２年生)
こんにちは

山形大学過去問

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

-----------------------------------
No.87401 - 2024/02/11(Sun) 13:21:30
☆ Re: 期待値 / X
条件から、X=kとなる確率をP[X=k]とすると
P[X=k]=(n-k)/(nC2)=2(n-k)/{n(n-1)}
∴求める期待値をE[X]とすると
E[X]=Σ[k=1〜n]kP[X=k]
=Σ[k=1〜n]2k(n-k)/{n(n-1)}
={2/{n(n-1)}}{(1/2)(n+1)n^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)}
={1/(n-1)}{(n+1)n-(1/3)(n+1)(2n+1)}
={(n+1)/{3(n-1)}}{3n-(2n+1)}
=(n+1)/3
No.87403 - 2024/02/11(Sun) 17:47:23
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
X先生
こんにちは

返信が遅くなり申し訳ございません。

ご丁寧な回答ありがとうございます。

以下は私の考え方です

アドバイスいただけると幸いです
No.87421 - 2024/02/13(Tue) 13:06:23
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
追伸

n=kの時、期待値を(k+1)/3と仮定する。
n=k+1の時、期待値は
{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂
={k(k-1)/2 ×(k+1)/3 +k(k+1)/2}/{k(k+1)/2}
=(k+2)/3

従って帰納法により求める期待値は(n+1)/3
No.87422 - 2024/02/13(Tue) 13:45:41
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
上は解説ですが

>{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂

と表せる理由が分かりません

何方か詳しく教えて下さい

何卒宜しくお願い致します。
No.87424 - 2024/02/13(Tue) 17:21:52
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
おはようございます！

私なりに解読してみました

以下私の考え方です

--------------------------
No.87431 - 2024/02/14(Wed) 06:53:06
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
> >{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂
> と表せる理由が分かりません
ｋ＋１個の球を２個取るとき、
　k+1 の球を取らない　kＣ2 通りと、
　k+1 の球を取る ｋ 通りに分かれます。
前者は、X=(k+1)/3 である試行を kＣ2 回やるのと同じです。
後者は、k+1 ではない方が X となります。
これらを全部足して、(k+1)Ｃ2 で割っています。
No.87436 - 2024/02/14(Wed) 19:42:05
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
ヨッシー 先生

今晩は

なるほどーです

ありがとうございました。

かしこ
No.87439 - 2024/02/15(Thu) 17:50:44
★ 期待値 / Nishino (中学２年生)
東京工芸大学 期待値

何卒宜しくお願い致します。

以下問題
No.87397 - 2024/02/10(Sat) 07:52:48
☆ Re: 期待値 / らすかる
前の問題で出た目の大きくない方の期待値が91/36であり、
平均値7/2との差は7/2-91/36=35/36
よって差の期待値は35/36×2=35/18
No.87398 - 2024/02/10(Sat) 11:20:51
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

おはようございます

なるほどです

私の考え方です

アドバイスいただけると幸いです

------------------------------------
No.87400 - 2024/02/11(Sun) 10:30:15
☆ Re: 期待値 / らすかる
突然今までとは解答の方針が全く変わったのは、何か理由があるのでしょうか。
No.87406 - 2024/02/11(Sun) 23:31:26
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

こんにちは

>突然今までとは解答の方針が全く変わったのは、何か理由があるのでしょうか。

特に理由はありません

この問題を単問で考えるとき、この解き方が浮かびました

要は差の確率をだすことだと感じましたので

かしこ
No.87407 - 2024/02/12(Mon) 10:55:31
★ 天理大学過去問　期待値 / Nishino (中学２年生)
天理大学過去問　期待値

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

-----------------------------
No.87393 - 2024/02/09(Fri) 14:01:02
☆ Re: 天理大学過去問　期待値 / ヨッシー
２つのさいころの目と大きくない方の数の関係は図の通りです。
求める期待値は
　(1×11＋2×9＋3×7＋4×5＋5×3＋6×1)/36＝91/36
No.87394 - 2024/02/09(Fri) 14:31:24
☆ Re: 天理大学過去問　期待値 / Nishino (中学２年生)
ヨッシー 先生

こんばんは！

いつもありがとうございます。

凄い考え方ですね、記憶にとどめておきます

以下は私の考え方です

何かアドバイスいただけると幸いです
No.87396 - 2024/02/09(Fri) 21:43:40
★ ヨッシー 先生へ / Nishino (中学２年生)
おはようございます

以下に私の答案をupしました

返信が遅くなり申し訳ございません



No.87390 - 2024/02/09(Fri) 03:12:57
No.87391 - 2024/02/09(Fri) 03:23:43
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