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★ 検定問題 / kaz
検定問題について教えてください。 「母集団分布が正規分布N（μ,σ＾２）から無作為標本とする。 H0：μ＝２ ｖｓ H1：μ＝３ に対する有意水準0.05の最強力検定の棄却域Rを求めよ。 ただしσ＾２は既知な正の定数とする。」
よろしくお願いいたします。
No.69866 - 2020/10/01(Thu) 18:27:53
★ 微分 / n
すみません、どう解けばよいのか分かりません。お願いいたします。
No.69864 - 2020/10/01(Thu) 14:11:22
☆ Re: 微分 / X
(1)だけ解きますので、解析学の教科書などで
合成関数の偏微分の公式を復習した上で
(2)はご自分でどうぞ。

(1)
dz/dt=-(sint)f_x(cost,sint)+(cost)f_y(cost,sint)
これに更に積の微分を使うと
d^2z/dt^2=-(cost)f_x(cost,sint)
-(sint){-(sint)f_xx(cost,sint)+(cost)f_xy(cost,sint)}
-(sint)f_y(cost,sint)
+(cost){-(sint)f_yx(cost,sint)+(cost)f_yy(cost,sint)}
=-(cost)f_x(cost,sint)
+{(sint)^2}f_xx(cost,sint)-(sintcost)f_xy(cost,sint)
-(sint)f_y(cost,sint)
-(sintcost)f_yx(cost,sint)+{(cost)^2}f_yy(cost,sint)
No.69883 - 2020/10/02(Fri) 18:58:15
☆ Re: 微分 / n
ありがとうございます。2番も参考にしながらですが、解くことことができました。
No.69898 - 2020/10/03(Sat) 15:11:47
★ 確率 / ponta
箱の中に1からnまでのn枚のカードが入っている。この箱の中から3枚のカードを同時に取り出すとき、最大の番号がn-2以上で、最小の番号がn-8以下である確率を求めよ。
No.69860 - 2020/10/01(Thu) 10:47:14
☆ Re: 確率 / ヨッシー
取り出した３枚が
Ａ：１から n-3 の範囲にある確率
Ｂ：n-7 からｎの範囲にある確率
Ｃ：n-7 から n-3 の範囲にある確率
を求め、
　１−Ａ−Ｂ＋Ｃ
が求める確率です。
No.69861 - 2020/10/01(Thu) 10:59:56
★ 命題　真偽 / あ
∃b, c ∈ R s.t ∀x ∈ R, x^2 + bx +c=0 という命題の真偽とその証明を教えてください
No.69854 - 2020/09/30(Wed) 23:42:43
☆ Re: 命題　真偽 / IT
その命題を∃や∀を使わずに日本語で書くとどうなりますか？
No.69858 - 2020/10/01(Thu) 07:20:03
☆ Re: 命題　真偽 / あ
実数b,cで、『どんなx ∈ Rを取っても、 x^2 + bx +c=0を満たすものが存在する』
だと思います。私はこの命題は真であると思っているのですが、その証明をすることが出来ないので教えて頂きたいです。
No.69863 - 2020/10/01(Thu) 13:51:57
☆ Re: 命題　真偽 / IT
「ｘ＝0,1,-1 について　x^2 + bx +c=0を満たす」　b,cが存在しますか？
No.69870 - 2020/10/01(Thu) 20:14:19
☆ Re: 命題　真偽 / あ
存在するとおもいます。
No.69922 - 2020/10/05(Mon) 16:37:35
☆ Re: 命題　真偽 / IT
b,cの具体的な値を示してください。
No.69924 - 2020/10/05(Mon) 20:23:18
☆ Re: 命題　真偽 / ast
らちが明かなそうなので横から口を挟みます.
便宜のため, 本問にいう「∃b, c ∈ R s.t ∀x ∈ R, x^2 + bx +c=0」を命題 (P) と呼ぶことにします.

> > 日本語で書くとどうなりますか？
> 実数b,cで、『どんなx ∈ Rを取っても、 x^2 + bx +c=0を満たすものが存在する』だと思います。
> 私はこの命題は真であると思っている

少なくとも「実数b,cで、『どんなx ∈ Rを取っても、 x^2 + bx +c=0』を満たすものが存在する」(上は閉じ括弧の位置がおかしい) 程度は直すべきですが, それよりもこれが真であると思っているということはおそらく (P) を正しく読み取れていないと考えるのが蓋然性がありそうです. もう一度, 今度は'別の’命題
　(Q): ∀x ∈ R, ∃b, c ∈ R s.t x^2 + bx +c=0
とはっきり区別できるように (P) を (ついでに (Q) も) 日本語に直してみてください.
# 少なくとも命題 (P) と命題 (Q) がどのように違うかは踏まえられていないと話になりませんので,
# 何らかの文字をとるときほかの文字に依存してよいのか依存してはいけないのか
# といった点を明確にした記述にしてください.
## IT さんの No.69870 でいうと,
## 　[A] x=0 のとき, x=1 のとき, x=-1 のときそれぞれで b,c の値が違うのか
## 　[B] x=0,1,-1 のどの場合でも b,c は共通した値をとるのか
## のどっちになるかちゃんと考えて問題にあたっているかということを訊いているということになります.

あるいは本問の類題として,
　 (P'): ∃a, b, c ∈ R s.t ∀x ∈ R, ax^2 + bx +c=0
は真であり, この命題 (P') が存在を主張する a,b,c はただ一通り (つまり ∃ を一意存在の記号 ∃! に変更しても真) となるのですが, この a,b,c の値が具体的にいくつになるか分かりますか?
# それがわかるならさらに, それらの比について, a:b:c=1:b':c' とできるかどうかも考えましょう.
## これが可能かどうかというのはもとの命題 (P) の真偽の説明にもなるでしょう.
No.69928 - 2020/10/05(Mon) 23:17:51
★ 重積分 / はなぞの
(3)の重積分の解き方を教えてください
答えは　π/√α^2-β^2 らしいのですが、解き方がわかりません。
No.69853 - 2020/09/30(Wed) 23:38:22
☆ Re: 重積分 / X
添付写真で(3)の問題文の一部が欠けています。
No.69855 - 2020/10/01(Thu) 04:43:48
☆ Re: 重積分 / ast
この大問は, 二次形式の係数行列が (ふつうは) 対称行列であること, 一般に対称行列が直交行列で対角化できること, などを踏まえたうえで二次形式の標準化が係数行列の対角化とほぼ同義であることがわかっているかが問われている問題ということになるかと思います.

(3) の非積分函数において e の右肩に載っている二次形式の係数行列は (1) で与えられた対称行列ですから, (1) の設定の下で係数行列を対角化する直交変換によって当該の二次形式は標準化 (つまり, x,y を適当な X,Y に変換すると XY の項のない X^2 と Y^2 の項しかない二次形式に) され, 結局のところ (2) に帰着されます (というか, (1) の設定はそうなるためのものになっている).
# まあ, きれいに (2) の形にするなら, (1) の固有値を適当な形に書くなどの工夫は必要でしょうけども.
No.69857 - 2020/10/01(Thu) 06:37:14
★ 不等式 / あか
どうやってYnを解き直すと画像のようになるかわかりません。
No.69852 - 2020/09/30(Wed) 22:52:00
☆ Re: 不等式 / X
添付写真1行目の不等式は成立しません。
誤植がありませんか？
No.69856 - 2020/10/01(Thu) 04:46:23
★ 数理統計 / infinity
こんばんは。
基礎的な質問ですが、幾何分布の十分統計量とはどういったものでしょうか？
No.69851 - 2020/09/30(Wed) 22:22:11
★ (No Subject) / ひらやま
大学2年の幾何学概論の問題です。
「2点A,Dが直線BCの同じ側にあって∠BDC=∠BACならば四点A,B,C,Dは同一円周上にある」
の証明の中で、点Dが円rの外側にある場合に弦BC上の点Ｍを持ち出さなければいけない理由とは？

まずどうやって解答をすればいいのか教科書等を参考に考えてはみましたが、全く検討がつきません。お分かりの方いらっしゃいましたら、ご教授よろしくお願い致します。
No.69847 - 2020/09/30(Wed) 21:55:52
★ (No Subject) / さやか
取っ掛かりがわかりません。
よろしくお願いします。
もし宜しければ、最後まで解答解説していただけたら嬉しいです。
No.69844 - 2020/09/30(Wed) 19:43:01
☆ Re: / らすかる
条件から(最小値)=-(最大値)なので、最大値を求めれば最小値もただちに（マイナスを付けた数と）わかる。
a^2+b^2＜1のとき最大値ではない（aを大きくすることが出来るから）ので、
a+b+c+dが最大値をとるときa^2+b^2=1
同様に、c^2+d^2＜1のときも最大値ではないので、a+b+c+dが最大値をとるときc^2+d^2=1
よってa+b+c+dが最大値をとるときa^2+b^2+c^2+d^2=2
8=4(a^2+b^2+c^2+d^2)
=(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2+(a+b+c+d)^2
から(a+b+c+d)^2はa=b=c=d=1/√2のとき最大値8となる。
a=b=c=d=1/√2は条件を満たしているから、
a+b+c+dはa=b=c=d=1/√2のとき最大値2√2、a=b=c=d=-1/√2のとき最小値-2√2をとり、
a=b=c=dのまま値を変化させることでその間の値はすべてとり得る（条件を満たす）ので、
a+b+c+dのとる値の範囲は-2√2≦a+b+c+d≦2√2。
No.69846 - 2020/09/30(Wed) 21:54:00
☆ Re: / IT
らすかるさんが回答済みですが、せっかくなので書き込みます。　後半少しちがう方法です。

f(a,b,c,d)=a+b+c+d とおく
f(a,b,c,d)の最大値を求める。
f(a,b,c,d)が最大となるとき
　a,b,c,d≧0であることは容易に分かる。
　a^2+b^2＜1 とすると　a'^2+b^2＝1となるa'＞0をとると　a＜a'なので

f(a,b,c,d)＜f(a',b,c,d)となるので　a^2+b^2＝1
同様に　b^2+c^2=1,c^2+d^2=1
∴　c=a,d=b　よって　f(a,b,c,d)=2(a+b)

したがって、a^2+b^2＝1の条件下でa+bが最大になるときを調べればよい。

あと、ラスカルさんの回答のように最大値と最小値の間の任意の値をとり得ることも示す必要があります。
No.69848 - 2020/09/30(Wed) 21:59:11
☆ Re: / らすかる
> ITさん
a^2+b^2=1とc^2+d^2=1はaとdが一つの不等式にしか登場しませんので言えますが、
b^2+c^2=1は同じ方法では言えないのでは？
（∵b^2+c^2＜1のときbやcを増やすと他の条件を満たさなくなる可能性がある）
No.69849 - 2020/09/30(Wed) 22:04:48
☆ Re: / IT
らすかるさん＞・・・
ご指摘ありがとうございます。そうですね。　私の解答はまちがいです。

この問題の場合は、
　b^2+c^2≦1 の条件をいったん棚上げして、
　a^2+b^2≦1のときのa+bの最大値,c^2+d^2≦1のときc+dの最大値を調べて
　a+b,c+dがそれぞれ最大となるとき　a＝b＝c＝d＝1/√2なのでb^2+c^2≦1 も満たす。・・・とすると大丈夫かもしれませんね
No.69850 - 2020/09/30(Wed) 22:10:19
☆ Re: / さやか
条件から(最小値)=-(最大値)になる理由がわかりません。
その箇所以外は理解できました！
No.69859 - 2020/10/01(Thu) 08:40:10
☆ Re: / らすかる
条件式の中の変数は全て2乗されていますので、
(a,b,c,d)が条件を満たすとき、(-a,-b,-c,-d)も条件を満たします。
よって最大値がa+b+c+dならば最小値は(-a)+(-b)+(-c)+(-d)=-(a+b+c+d)となり、
符号だけ変えたものになります。
No.69865 - 2020/10/01(Thu) 15:32:30
★ 順列 / ペンギン
0から9までの番号をつけた10枚のカードが6組ある。これら60枚のカードから異なる5個の数字を選んで、5桁の整数を作る。このとき、3の倍数は何個できるか。
No.69841 - 2020/09/30(Wed) 14:14:23
☆ Re: 順列 / ペンギン
ただし、0〜9までにそれぞれある6組は別々のカードとみなす。
No.69842 - 2020/09/30(Wed) 14:18:23
☆ Re: 順列 / らすかる
0〜9の数字を3で割った余りで分類すると、
余りが0のものが4つ(0,3,6,9)、1のものが3つ(1,4,7)、2のものが3つ(2,5,8)。
よって5個の数字の合計が3の倍数になるのは、3で割った余りが
(0,0,0,1,2)
(0,0,1,1,1)
(0,0,2,2,2)
(0,1,1,2,2)
の4通りとなる。
(0,0,0,1,2)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から3個、(1,4,7)から1個、
(2,5,8)から1個なので、使う数字の組み合わせは4×3×3=36通り
(0,0,1,1,1)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から2個、(1,4,7)すべてなので、
使う数字の組み合わせは4C2=6通り
(0,0,2,2,2)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から2個、(2,5,8)すべてなので、
使う数字の組み合わせは4C2=6通り
(0,1,1,2,2)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から1個、(1,4,7)から2個、
(2,5,8)から2個なので、使う数字の組み合わせは4×3×3=36通り
従って使う数字の組み合わせは全部で36+6+6+36=84通り
先頭桁の0を除外しない場合、数字の並べ方が5!通り、カードの選び方が
6^5通りなので、全部で84×5!×6^5=78382080通り
ここから先頭桁が0であるものを除く必要があるが、先頭桁が0であるものは
すべての0のカードを除いた54枚から異なる4個の数字を選んで3の倍数である
4桁の数字を作る場合の数と考えればよい。
上と同様に余りで考えると（ただし余りが0のものが3つに減っていることに注意）、
3の倍数になるのは
(0,0,1,2) → 3×3×3=27通り
(0,1,1,1) → 3通り
(0,2,2,2) → 3通り
(1,1,2,2) → 3×3=9通り
の計42通りなので、全部で42×4!×6^4=1306368通り
従ってできる3の倍数は
78382080-1306368×6=70543872個　（×6は先頭の0に使うカードの種類）
となります。
No.69843 - 2020/09/30(Wed) 15:47:47
★ (No Subject) / かんな
この問題(証明)解ける方いましたら教えてください
No.69837 - 2020/09/30(Wed) 11:41:14
☆ Re: / かんな
補足です
No.69838 - 2020/09/30(Wed) 11:49:25
★ 方程式 / n
2(2x-1)^(1/3)=x^3 +1

この方程式って、両辺3乗するしかないのでしょうか？
No.69836 - 2020/09/30(Wed) 10:58:15
☆ Re: 方程式 / らすかる
3乗せずに解けます。（というより、3乗すると高次すぎて解きにくいと思います。）
2x=tとおくと2(t-1)^(1/3)=(t/2)^3+1
y=(t/2)^3+1とおくと
y-1=(t/2)^3
(y-1)^(1/3)=t/2
2(y-1)^(1/3)=t
よって両辺は逆関数の関係にあり、y=(t/2)^3+1は単調増加なので
(t/2)^3+1=tを解けばよい。
整理してt^3-8t+8=0
(t-2)(t^2+2t-4)=0
t=2,-1±√5
∴x=1,(-1±√5)/2
No.69840 - 2020/09/30(Wed) 12:16:48
★ (No Subject) / おっふ
次の方程式を解きなさい。
(9-2x/25){(100-x)/100}+(1+2x/25)(x/100)=6
No.69831 - 2020/09/30(Wed) 00:27:58
☆ Re: / ヨッシー
y=x/100 とおくと、この式は
　(9−8y)(1−y)＋(1＋8y)y＝6
展開して、
　8y^2−17y＋9＋8y^2＋y−6＝0
　16y^2−16y＋3＝0
これを解いて、
　y＝(8±4)/16＝3/4, 1/4
x＝100y より
　x＝75, 25
No.69834 - 2020/09/30(Wed) 00:36:56
★ 微分方程式 / 醤油
初期値問題をピカールの逐次近似法で解く問題です。
y'=-2xy,y(0)=1
よろしくお願いいたします。
No.69826 - 2020/09/29(Tue) 21:40:56
☆ Re: 微分方程式 / 醤油
解決したので大丈夫です！
No.69835 - 2020/09/30(Wed) 08:26:28
★ (No Subject) / のん
定数a,b,c,p,q,Dに対して、次の等式
(x^3+ax^2+bx+c)^2=(x^2-1)(x^2+px+q)^2+D
がすべてのxについて成り立つようなDの値を求めよ。
全部展開したのですが途中で訳がわからなくなってしまいました。
答えは1/16になります。教えていただけますでしょうか。
No.69825 - 2020/09/29(Tue) 21:35:37
☆ Re: / らすかる
展開して係数を比較すると
a=p … (1)
a^2+2b=p^2+2q-1 … (2)
ab+c=p(q-1) … (3)
b^2+2ac=q^2-p^2-2q … (4)
bc=-pq … (5)
c^2=-q^2+D … (6)
(1)を(2)に代入するとa^2とp^2が消えて
b=q-1/2 … (7)
(3)に(1)と(7)を代入してaとbを消去して整理すると
c=-p/2 … (8)
(4)に(1)と(7)と(8)を代入してa,b,cを消去して整理すると
q=-1/4 … (9)
(7)に(9)を代入して
b=-3/4 … (10)
(8)と(9)と(10)を(5)に代入して
p=0 … (11)
(1)と(11)から
a=0 … (12)
(8)と(11)から
c=0 … (13)
(6)と(9)と(13)から
D=1/16
a=0,b=-3/4,c=0,p=0,q=-1/4,D=16を問題の式に代入すると
x^6-(3/2)x^4+(9/16)x^2=x^6-(3/2)x^4+(9/16)x^2
となりすべてのxについて成り立つので、D=1/16が答え。
No.69830 - 2020/09/29(Tue) 23:32:54
☆ Re: / 関数電卓
本問の結果の両辺を 16 倍すると
　(4x^3−3x)^2＝(x^2−1)(4x^2−1)^2＋1
となるのですが，
　左辺は，{cos(3θ)}^2＝{4(cosθ)^3−3cosθ}^2
　右辺は，{sin(3θ)}^2＝(sinθ)^2･{4(cosθ)^2−1}＝((cosθ)^2−1)･{4(cosθ)^2−1}
を cosθ＝x として書いたものです。すなわち，
　(cos(3θ))^2＋(sin(3θ))^2＝1 …(*)
というよく知られた関係式を cosθ＝x として書いたものでした。

cos(nθ), sin(nθ)/sinθ を展開し cosθ＝x として表したものを チェビシェフの多項式 といいます。本問は(*)をチェビシェフの多項式で表したもので，これはもちろんもっと大きな n に拡張できます。しかし，スレッド冒頭のような形で設問された場合，どのように解くのか私は知りません。
No.69833 - 2020/09/30(Wed) 00:34:13
☆ Re: / のん
お二人ともありがとうございます。深いですね…。
No.69845 - 2020/09/30(Wed) 21:29:12
★ 証明問題 / カーキ
sin5θ=5cos^4θsinθ-10cos^2θsin^3θ+sin^5θ
この等式の証明が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.69823 - 2020/09/29(Tue) 19:19:45
☆ Re: 証明問題 / IT
加法定理と倍角の公式を２回使うか
sin5x=sin(4x+x)=sin(4x)cosx+cos4xsinx
=2(sin2x)(cos2x)cosx+((cos2x)^2-(sin2x)^2)sinx
=4(sinxcosx)((cosx)^2-(sinx)^2)cosx+((((cosx)^2-(sinx)^2)^2)-4(sinxcosx)^2)sinx
=4(sinx)(cosx)^4-4((sinx)^3)(cosx)^2+((cosx)^4+(sinx)^4-6((sinx)^2)((cosx)^2))sinx
=5(sinx)(cosx)^4-10((sinx)^3)(cosx)^2-(sinx)^5

Θでなくｘとしています。かっこの付け方が不統一です。


複素数を履修済みなら　ド・モアブルの定理を使う方法もあると思います。

cos5x+isin5x=(cosx+isinx)^5
右辺を展開して虚部を比較して　
sin5x=5((cosx)^4)sinx-10((cosx)^2)(sinx)^3+(sinx)^5
No.69824 - 2020/09/29(Tue) 20:16:00
☆ Re: 証明問題 / 醤油
ありがとうございます。
No.69827 - 2020/09/29(Tue) 21:49:16
★ 証明の問題です / あおい
こちらの問題、解ける方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。
No.69822 - 2020/09/29(Tue) 17:15:07
★ 立体図形 / 優子
半径rの球面上に4点A、B、C、Dがある。四面体ABCDの各辺の長さは、AB = a、AC = AD = BC = BD = CD = bを満たしている。このとき、r= (b/2)√((4b^2-a^2)/(3b^2-a^2))となる。このことをべク
トルを用いて証明せよ。
No.69820 - 2020/09/29(Tue) 14:52:59
☆ Re: 立体図形 / 関数電卓
> r＝(b/2)√((4b^2−a^2)/(3b^2−a^2))
確かにこうなるようですが，
> ベクトルを用い
なければならないのですか？
私は，辺の長さから直接計算しましたが…
No.69829 - 2020/09/29(Tue) 23:08:56
★ (No Subject) / n
n を 2 以上の整数とする。n 個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の最大値Mと最小値mの積が 20 以上である確率を求めよ。

僕は積が20以上となる(M,,m)の組を考えてそれぞれの場合の数を考えたんですが、友達がふと「4 , 5 , 6」のどれかが出てそこから4だけ出る場合を求めればいいといっていました。
答えは同じなのですが、友達の考え方はあっているのでしょうか？
ちなみに、答えは　(3^n -1)/6^n です
No.69817 - 2020/09/29(Tue) 14:11:59
☆ Re: / らすかる
合っています。
Mとmの積が20以上になるのは
(M,m)=(6,6),(6,5),(6,4),(5,5),(5,4)
だけであり、こうなるのは「全てのサイコロが4以上」から
「全てのサイコロが4」を引いたものです。
No.69818 - 2020/09/29(Tue) 14:29:19
☆ Re: / n
返信ありがとうございます。
ということは、断然、友達のいっている方で解答する方がいいですね。
数行で解答が終わります。
ありがとうございました。
No.69819 - 2020/09/29(Tue) 14:43:13
★ 複素関数 / めがる
一問だけでも構いませんのでお願いします。
No.69816 - 2020/09/29(Tue) 14:04:20
☆ Re: 複素関数 / X
(1)
(x,y)=(t,t^2)
により
dx=dt
dy=2tdt
∴(与式)=∫[t:0→1](t+2t^3)dt
=1/2+1/2=1

(2)
(x,y)=(cost,sint)
より
dx=-sintdt
dy=costdt
∴(与式)=∫[t:0→2π]{-(sint)^2+(cost)^2}dt
=∫[t:0→2π]cos2tdt
=0

(3)
(2)の過程により
(与式)=∫[t:0→π]{-(sint)^2+(cost)^2}dt
=∫[t:0→π]cos2tdt
=0
No.69828 - 2020/09/29(Tue) 22:25:33
☆ Re: 複素関数 / めがる
大変助かりました‼ありがとうございます。
No.69862 - 2020/10/01(Thu) 11:57:45
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