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★ (No Subject) / やま
4-2が全く分かりません。どなたか教えて頂けると幸いです。
No.70495 - 2020/10/27(Tue) 12:42:15
☆ Re: / X
まずJを対角化します。

条件からJの固有方程式は
t^2+1=0
∴t=i,-i
固有値1,-1に対する固有ベクトルをそれぞれ
↑a=τ_(a[1],a[2])
↑b=τ_(b[1],b[2])
(但しτ_は転置を示す記号で係数ではありません)
とすると
J↑a=i↑a (A)
J↑b=-i↑b (B)
(A)より縦ベクトルの第1成分について
-ia[1]-a[2]=0
∴a[2]=-ia[1]
∴↑a=a[1](1,-i)
(B)より縦ベクトルの第1成分について
ib[1]-b[2]=0
∴b[2]=ib[1]
∴↑b=b[1](1,i)
以上から固有値1,-1に対する固有ベクトルの
一つとしてそれぞれ
τ_(1,-i),τ_(1,i)
を対応させることができるので
T=M{(1,1),(-i,i)}
K=M{(i,0),(0,-i)}
(つまりKはJを対角化した行列
でTはJにKを対応させる行列)
とすると
K={T^(-1)}JT
∴J=TKT^(-1)
∴e^(Jt)=Σ[n=0〜∞](1/n!)(tJ)^n
=Σ[n=0〜∞](1/n!)T{(tK)^n}T^(-1)
=T{Σ[n=0〜∞](1/n!)(tK)^n}T^(-1)
=T{e^(Kt)}T^(-1) (A)
一方
e^(Kt)=M{(e^(it),0),(0,e^(-it))} (B)
(A)(B)から
e^(Jt)=M{(cost,-sint),(sint,cost)}
No.70525 - 2020/10/28(Wed) 17:32:08
★ (No Subject) / やま
この問題の解き方が分かりません。
どなたか教えて頂けると幸いです。
No.70494 - 2020/10/27(Tue) 12:41:20
☆ Re: / X
＞＞(A-λ[1])…(A-λ[n])=0
は明らかにありえない式の形です。
誤植ではありませんか？
No.70499 - 2020/10/27(Tue) 14:25:54
☆ Re: / やま
ご解答ありがとうございます！詳しくは下の証明をした後で証明するようなのですがやはり誤植でしょうか？
No.70500 - 2020/10/27(Tue) 15:28:19
☆ Re: /X / やま
ご解答ありがとうございます！詳しくは下の証明をした後で証明するようなのですがやはり誤植でしょうか？
No.70501 - 2020/10/27(Tue) 15:29:00
☆ Re: / X
続いている問題文云々以前の問題です。

＞＞(A-λ[1])…(A-λ[n])=0
は、行列から行列でないスカラー値を
引くという記述になっている時点で
式の形になっていません。

上記のことが理解できないのであれば、
行列の定義が理解できていないと同じです。
No.70506 - 2020/10/27(Tue) 17:40:20
☆ Re: / IT
横から失礼します。

単位行列をIとしたとき、Iのスカラーλ倍　"λI"を　紛れがない場合は、"λ" と記述する旨の　断り書きがテキストの中にあるのでは？
No.70509 - 2020/10/27(Tue) 20:08:51
☆ Re: / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
確かにその可能性はありますね。

＞＞やまさんへ
ごめんなさい。こちらの想像力不足で言い過ぎました。
ITさんのレスの内容の前提に加えて
＞＞(A-λ[1])…(A-λ[n])=0
の右辺の0を零行列であるとして回答を。

但し、気持ち悪いので
Iを単位行列
Oを零行列
として記述するので適宜読み替えて下さい。

i=1,…,nとして、
(i,i)成分がλ[i]である対角行列をB
とすると、ある正則行列Sに対し
B={S^(-1)}AS
と書けるので
A=SBS^(-1)
∴A-λ[i]I=SBS^(-1)-λ[i]SIS^(-1)
=S(B-λ[i]I)S^(-1)
∴(A-λ[1]I)…(A-λ[n]I)=S{(B-λ[1]I)…(B-λ[n]I)}S^(-1) (A)
ここで条件から
B-λ[i]I は(i,i)成分が0である対角行列
∴((A)の右辺の{}内)=(全ての対角成分に0がかけてある対角行列)
=O
∴(A)から
(A-λ[1]I)…(A-λ[n]I)=O
No.70526 - 2020/10/28(Wed) 17:42:33
★ (No Subject) / 千歳
7の（1）の解き方が全く分かりません。わかる方よろしくお願い致します。
No.70490 - 2020/10/27(Tue) 02:31:01
☆ Re: / X
条件から
∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u)
=(∂z/∂x)cosθ+(∂z/∂y)sinθ (A)
∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v)
=-(∂z/∂x)sinθ+(∂z/∂y)cosθ (B)
(A)(B)を証明すべき等式の左辺に代入し
整理をします。
No.70491 - 2020/10/27(Tue) 04:43:28
☆ Re: / 千歳
ありがとうございます。感謝です
No.70493 - 2020/10/27(Tue) 10:20:55
★ 堂々巡りを防ぐには / √
教えて下さい。

Ａ＋Ｂ＝１８７
Ｃ＋Ｄ＝１３７
Ａ−Ｄ＝４０
Ｂ−Ｃ＝１０

上記の連立方程式で、
ただし「１個の式に対して文字２個という条件」で。

文字が４個あるので、等式も４個。
だから、
解けるはずと思っていたら、
堂々巡りして、解に辿り着きません。

この原因は、
四角形ＡＢＣＤ（反時計回り）
Ａ−Ｄ
｜　｜
Ｂ−Ｃ

で考えた時、【辺】で繋がった頂点同士の
関係は連立方程式の中に含まれているけど

【対角線】で繋がった頂点同士
Ａ−ＣとＢ−Ｄの関係が無いからでしょうか？

一般に、
連立方程式を作るには、
ただし「１個の式に対して文字２個という条件」で。

例えば、
文字が５個あったら、
式も５個と言う訳ではなく、
５角形を書いて、各頂点同士の関係が、
【辺の数５】＋【対角線の数５】＝１０個の式が
必要ということでしょうか？

また、
全ての式に全ての文字が含まれていたら、
【文字の数】＝【式の数】のはず
と考えてよろしいでしょうか？
No.70485 - 2020/10/26(Mon) 23:03:16
☆ Re: 堂々巡りを防ぐには / らすかる
解にたどり着かない原因は、(第1式)=(第2式)+(第3式)+(第4式)となっていて
4式が独立でないためです。
つまり、4式のうち3つがあれば残りの式が導き出せるため、
有効な式が実質3つしかないということです。
各式の変数の個数とは関係ありません（0個ではダメですが）。
No.70486 - 2020/10/26(Mon) 23:21:22
☆ Re: 堂々巡りを防ぐには / √
らすかるさん
有難うございます。

私の考えたＮ個の文字があったら
Ｎ角形の「辺と対角線の和」の数だけ
式が必要というのは、間違いですね。
No.70489 - 2020/10/27(Tue) 02:05:30
★ 積分の発散 / ｆ
この積分が発散する理由を教えてください。
No.70477 - 2020/10/26(Mon) 18:37:50
☆ Re: 積分の発散 / IT
0＜a≦16　について、定積分　∫[a,16](1/x)dx　は、計算できますか？
No.70479 - 2020/10/26(Mon) 19:55:46
☆ Re: 積分の発散 / ｆ
log(16)-log(a)ですよね。

そこで多分ですが、a→＋0としたときにlog(a)→∞になると思うのですが、答えとしては-∞という感じでいいのでしょうか。
No.70480 - 2020/10/26(Mon) 20:12:16
☆ Re: 積分の発散 / IT
> そこで多分ですが、a→＋0としたときにlog(a)→∞になると思うのですが、
a→＋0としたときlog(a)→-∞　では？　再確認してください。

x=16,8,4,2,1,1/2,1/4,...,で区分し階段関数で下から評価してもできますね。
No.70482 - 2020/10/26(Mon) 20:47:35
☆ Re: 積分の発散 / ｆ
-∞でした。ありがとうございます。
No.70483 - 2020/10/26(Mon) 21:34:16
★ (No Subject) / いいいい
この問題の別解をお願いします。
No.70472 - 2020/10/26(Mon) 16:00:31
☆ Re: / いいいい
答えはこれです。
No.70473 - 2020/10/26(Mon) 16:01:38
☆ Re: / いいいい
つづきです。
No.70474 - 2020/10/26(Mon) 16:02:08
☆ Re: / ヨッシー
別解１
３点Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面
　4x＋y＋2z−6＝0　・・・(i)
を求め、原点を通り、この平面に垂直な直線
　x＝4t, y＝t, z＝2t　(t は実数)　・・・(ii)
と、(i) との交点が点Ｈなので、
(ii) を (i) に代入して、
　21t＝6
　t＝2/7
(ii) より、求める点は (x, y, z)＝(8/7, 2/7, 4/7)

別解２
同じく
　4x＋y＋2z−6＝0　・・・(i)
を求め、法線ベクトル (4, 1, 2) を得ます。
原点から平面(i) までの距離は
　6/√(4^2+1^2+2^2)＝6/√21
原点から点(4, 1, 2)までの距離は
　√(4^2+1^2+2^2)＝√21
距離を 6/√21 にするために、(4, 1, 2) を 2/7 倍して、
　(8/7, 2/7, 4/7)
よって、求める点は
　(8/7, 2/7, 4/7) または (−8/7, −2/7, −4/7) であるが、
(i) を満たすのは、(8/7, 2/7, 4/7)
No.70475 - 2020/10/26(Mon) 16:29:00
☆ Re: / らすかる
別解３
ABの中点をM(3/2,1,-1/2)とすると、OA=OB=√5、OC=2√5、AB=√6、BC=CA=√33から
四面体OABCは平面OMCに関して対称なので、HはCM上にある。
OH^2+CH^2=OC^2=20、OH^2+MH^2=OM^2=7/2、CH+MH=CM=3√14/2から
CH=8√14/7、CH/CM=16/21なので、H=C+(16/21)(M-C)=(8/7,2/7,4/7)。
No.70476 - 2020/10/26(Mon) 18:32:33
☆ Re: / いいいい
3つも浮かんだんですね。皆さん凄いです。ありがとうございます。
No.70492 - 2020/10/27(Tue) 08:33:06
★ 完全微分方程式について / meow
完全系であるということを前提で解くと，
P=cosx+f(y)
Q=g(x)+1/(1+y^2)
とおくと，
∂P/∂y = ∂Q/∂xより
f'(y) = g'(x)が成り立たなければならないと思うのですが，ここからどのように進めていけば良いのかご教授お願いしたいです．
No.70467 - 2020/10/26(Mon) 03:49:41
☆ Re: 完全微分方程式について / ast
とりあえず
> f'(y) = g'(x)
は, 左辺は x に依存しないこと, かつ右辺は y に依存しないことを主張していますから, したがって両辺とも x にも y にも依存しない定数ということを意味していますね. そうするとそれ以降やるべきことは明白だと思います.
# もしこういう簡明な状況にない場合の一般論が欲しいのであれば, たとえばこのPDFの p.4-5 あたりは
# 条件 ∂P/∂y = ∂Q/∂x から解 (全微分が左辺になる函数) を構成的に見つけられることを述べているので
# これに具体的な P,Q を入れて機械的になぞっていけばいい, ということになりますね.

# 全体の議論はあまり検討していませんが, 問題の「完全形である」というのが
# 「適当な積分因子を掛けてもよい」ものともとれなくはない気がします.
## ただそうすると一気に込み入って相当面倒になるので, そのような意図はないとは思いますが……
No.70488 - 2020/10/27(Tue) 02:04:04
★ 空間ベクトル / ず
３点A(-１,２,-２),B(２,-２,３),C(2,4,-１)の定める平面ABC上に点P(x、３，１)があるとき、ｘの値を求めよ。
−ーーー
Q,なぜ原点Oをとって、OP=OA+SAB+TAC(ベクトル矢印省略）で
計算できないのですか？できれば、計算過程も書いていただけると幸いです。
No.70463 - 2020/10/26(Mon) 00:12:58
☆ Re: 空間ベクトル / らすかる
AB=(2,-2,3)-(-1,2,-2)=(3,-4,5)
AC=(2,4,-1)-(-1,2,-2)=(3,2,1)
OP=OA+sAB+tACに代入
(x,3,1)=(-1,2,-2)+s(3,-4,5)+t(3,2,1)
x=-1+3s+3t … (1)
3=2-4s+2t … (2)
1=-2+5s+t … (3)
(2)-(3)×2
1=6-14s
s=5/14
(2)に代入
3=2-4(5/14)+2t
t=17/14
(1)に代入
x=-1+3(5/14)+3(17/14)=26/7
No.70465 - 2020/10/26(Mon) 02:03:25
☆ Re: 空間ベクトル / ず
この問題本来x=5となっております。
また、原点を取らずに、平面上の一つの頂点から、AP=sAB+tACで計算していました。何故答えが変わってくるのか教えてください。
No.70468 - 2020/10/26(Mon) 07:14:51
☆ Re: 空間ベクトル / らすかる
x=5は間違いです。
f(x,y,z)=7x-6y-9z+1とすると
f(-1,2,-2)=f(2,-2,3)=f(2,4,-1)=0ですから、
平面ABCは7x-6y-9z+1=0と表されますが、
x=5とするとf(5,3,1)=9となり点Pは平面ABC上にありません。
f(26/7,3,1)=0なのでx=26/7で合っています。

AP=sAB+tACで計算しても
(x+1,1,3)=s(3,-4,5)+t(3,2,1) から
x+1=3s+3t, 1=-4s+2t, 3=5s+t
これを解いて
s=5/14, t=17/14, x=26/7
となり同じ値が出ます。

そもそも
OP=OA+sAB+tACのOAを移項すれば
OP-OA=sAB+tAC
AP=sAB+tAC
ですから、同じことです。
No.70469 - 2020/10/26(Mon) 07:51:19
☆ Re: 空間ベクトル / ず
すみません、上のA(-1,2,-1)でした。
それでも計算が一致しません。ご教授お願いします
No.70478 - 2020/10/26(Mon) 18:46:59
☆ Re: 空間ベクトル / らすかる
A(-1,2,-1)ならば
AB=(2,-2,3)-(-1,2,-1)=(3,-4,4)
AC=(2,4,-1)-(-1,2,-1)=(3,2,0)
OP=OA+sAB+tACに代入
(x,3,1)=(-1,2,-1)+s(3,-4,4)+t(3,2,0)
x=-1+3s+3t … (1)
3=2-4s+2t … (2)
1=-1+4s … (3)
(3)からs=1/2
(2)に代入してt=3/2
(1)に代入してx=5
となります。
No.70481 - 2020/10/26(Mon) 20:30:25
★ L^1空間について / ｆ
L^1(X,A,μ)空間についてです.

X=[0,1/2]に対して,f:X→Rをf(x)={xlog^2(1/x)}^(-1)で定義する.

このときfはA-可測かつ可積分である、つまりf∊L^1であることを示せ.

お願いいたします・・・
No.70455 - 2020/10/25(Sun) 21:00:18
☆ Re: L^1空間について / ast
おそらく No.70162 の方だとは思いますが, 前回とはうってかわって今回は, Aが分からないと可測性が議論できないし, μが分からなければ可積分性が議論できない, のでそれらを省略しては誰にも答えようがないですね.
No.70462 - 2020/10/26(Mon) 00:10:24
★ 関数 / Tom
(1)から(3)は分かりましたが(4)が分からないので教えてください。
No.70454 - 2020/10/25(Sun) 19:33:39
★ 食塩水 / しんや
この問題を教えてください。
No.70453 - 2020/10/25(Sun) 19:28:53
☆ Re: 食塩水 / X
(1)
2回の操作前後の食塩水の濃度の割合を考えて
4.32/12=0.36[倍]

(2)
1回目の操作で容器から取り出された食塩水中の
食塩の重さは
2x×12/100=24x/100[g] (A)
となるので
1回目の操作後の容器の中の食塩水の濃度は
100×(400×12/100-24x/100)/400
=(1200-6x)/100[%]
従って、2回目の操作で容器から取り出された
食塩水中の食塩の重さは
2x(1200-6x)/10000[g] (B)
更に2回の操作前の容器の中の食塩水中の
食塩の重さは
400×12/100=48[g] (C)
(A)(B)(C)と(1)の結果から
2回の操作により容器から
取り出された食塩の重さについて
{24x/100+2x(1200-6x)/10000}/48=1-0.36
これを解いてxの値を求めます。
{2400x+2x(1200-6x)}/48=6400
{200x+2x(100-x/2)}/4=6400
400x-x^2=25600
x^2-400x+25600=0
(x-320)(x-80)=0
ここで条件から
0＜2x＜400
となるので
0＜x＜200
よって
x=80
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.70456 - 2020/10/25(Sun) 21:56:53
☆ Re: 食塩水 / らすかる
(2)
0.6×0.6=0.36なので1回の操作で食塩の量が0.6倍になった。
ということは食塩水：水=6：4の割合で混ぜたということなので、
2x=400×0.4=160からx=80
No.70466 - 2020/10/26(Mon) 02:25:35
★ (No Subject) / あ
以下の問題の解説及び解答をお願いします。
No.70448 - 2020/10/25(Sun) 16:30:33
☆ Re: / ヨッシー
△ＥＤＩ，△ＩＣＧ，△ＦＨＧ はいずれも、
三辺の比が　３：４：５ の直角三角形です。
ＩＣ＝１５　より　ＣＧ＝１５×(4/3)＝２０(cm)　・・・答
ＢＧ＝１２cm であり、ＢＦ：ＦＧ＝ＨＦ：ＦＧ＝３：５　より
ＦＧ＝１２×(5/8)＝7.5(cm)　・・・　答
No.70449 - 2020/10/25(Sun) 16:45:44
☆ Re: / あ
相似条件は何でしょうか？その図形的理由もお願いします。
No.70470 - 2020/10/26(Mon) 14:07:11
☆ Re: / ヨッシー
いずれも直角三角形なので、残りの角を調べていけば分かります。
例えば、∠ＤＥＩ＝α、∠ＤＩＥ＝90°−α　として、
他の三角形の角を調べていきます。
No.70471 - 2020/10/26(Mon) 14:24:38
☆ Re: / あ
ありがとうございます。
No.70546 - 2020/10/30(Fri) 15:01:07
★ (No Subject) / めぐ
No,70378の続きです。
(0,±ｂ）の時、0/0 となりますが、いいのですか？
No.70445 - 2020/10/25(Sun) 15:28:02
☆ Re: / らすかる
ああ、まずいですね。分母の条件を見落としていました。
(±a,0)と(0,±b)は削除して下さい。
No.70447 - 2020/10/25(Sun) 16:26:34
☆ Re: / めぐ
> ああ、まずいですね。分母の条件を見落としていました。
> (±a,0)と(0,±b)は削除して下さい。

わかりました。
詳しく教えていただき、ありがとうございました。
No.70452 - 2020/10/25(Sun) 16:55:15
★ (No Subject) / りん
距離空間(X,dX)(Y,dY)と写像f:X→Yについてfが連続＝Yの任意の集合Oについてf^(-1)(O)がXの開集合
これを用いて以下の問題を解いてください
No.70444 - 2020/10/25(Sun) 11:42:32
☆ Re: / IT
> 距離空間(X,dX)(Y,dY)と写像f:X→Yについてfが連続＝Yの任意の集合Oについてf^(-1)(O)がXの開集合

間違っていませんか？
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

「直積空間」の「開集合」、「射影」の性質などについて、習った（出題された）ことは、どんなことですか？
No.70457 - 2020/10/25(Sun) 22:15:41
☆ Re: / りん
直積空間自体の説明はありましたが直積空間の開集合、射影については見つかりませんでした
No.70458 - 2020/10/25(Sun) 23:11:36
☆ Re: / りん
ご指摘のあったところ、これを参考にして書いたのですが間違っていたら申し訳ないです
No.70459 - 2020/10/25(Sun) 23:15:22
☆ Re: / IT
> ご指摘のあったところ、これを参考にして書いたのですが

もう一度、参考にしたところと　書かれたものを良く見比べてください。


また、「"これを用いて"以下の問題を解いてください」"これを用いて"というのは出題者からのヒントですか？
No.70461 - 2020/10/25(Sun) 23:48:24
☆ Re: / りん
任意の開集合の開が抜けていました。すみません。
出題者からのヒントというわけではないです、この定理を使って解けたと友人が言っていたこと。また、積空間でのεδ論法を用いた連続の証明の仕方が私には分からなかったためこのような聞き方になりました
No.70464 - 2020/10/26(Mon) 01:09:32
★ 積分の確認 / あああああ
画像の右にあるグラフ(y = x^2)の階段状になっているものを
1つずつ左のグラフに持ってきて
その高さが右のグラフから持ってきた階段状の面積と一致するという説明を受けました(この画像の右の赤い部分の面積が左グラフの赤い部分の高さ)
そこで確認なのですが、現在その高さだけで表している面積は
y座標の大きさのみと受け取れるのですが、
xを明示的にかけようとしないのはxの移動量が小さすぎるから、
yの大きさを面積にしてしまおうということなのでしょうか？
(本来の4角形面積公式なら x * yなので)
No.70440 - 2020/10/25(Sun) 01:01:47
☆ Re: 積分の確認 / ヨッシー
>1つずつ左のグラフに持ってきて
だけだと片手落ちで、
「階段状になっているものを積み上げて、横幅１の長方形に換算したときの高さを左のグラフのｙとする」
が正解です。
そうでないと、分割数を増やすといくらでも高くなりますから。
その意味では、ｘもちゃんと考慮しています。

No.70441 - 2020/10/25(Sun) 07:02:24
☆ Re: 積分の確認 / あああああ
なるほど　確かに無限になってしまいますね。
この図は縦に並べるのではなく横に倒してその高さ * 1 という認識でしょうか？
No.70446 - 2020/10/25(Sun) 15:38:54
☆ Re: 積分の確認 / ヨッシー
縦に並べた上で、面積を変えずに、横が１になるように
変形したものです。
２番目は最初、横が1/2 なので、横を１にするときに、縦を1/2倍しています。
３番目は最初、横が1/4 なので、横を１にするときに、縦を1/4倍しています。
No.70450 - 2020/10/25(Sun) 16:48:17
☆ Re: 積分の確認 / あああああ
ありがとうございます
完璧に理解できました！！
No.70451 - 2020/10/25(Sun) 16:53:34
★ チェバの定理とメネラウスの定理 / 学生
この問題においてABの中点をM,CDの中点をNとし、一辺の長さが√3の正三角形を作りその三角形においてチェバメネラウスの定理を用いてOMの長さを求めることはできますか？
No.70434 - 2020/10/24(Sat) 15:10:49
☆ Re: チェバの定理とメネラウスの定理 / ヨッシー

たとえば、図のようにＡＯの延長とＢＮの交点、ＢＯの延長とＡＮの交点を
考えれば出来るかもしれませんが、各部分の辺の長さを求めている間に
ｒを求めるための材料は全部揃うと思います。
No.70435 - 2020/10/24(Sat) 15:40:11
★ 確率 / 高校生
Cを使った解き方がわかりません。

解説よろしくお願いいたします。
No.70433 - 2020/10/24(Sat) 12:53:27
☆ Re: 確率 / ヨッシー
表裏の出方は全部で ２^4＝16(通り)
そのうち、表が２回、裏が２回出るときが
(2, 2) に到着する場合であり、その場合の数は
　4Ｃ2＝6
求める確率は
　6/16＝3/8
という具合です。
No.70436 - 2020/10/24(Sat) 17:56:43
☆ Re: 確率 / 高校生
> 表裏の出方は全部で ２^4＝16(通り)
> そのうち、表が２回、裏が２回出るときが
> (2, 2) に到着する場合であり、その場合の数は
> 　4Ｃ2＝6
> 求める確率は
> 　6/16＝3/8
> という具合です。

ありがとうございます！
No.70438 - 2020/10/24(Sat) 21:11:53
★ 数学3の定積分の不等式について / 修業中
定積分の不等式について教えてください。

nを2以上の自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
1/√２≦∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦π/4

答えが以下です。


ｎ≧2, 0 ≦ x ≦ 1/√2 において
1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)
であるから
∫(0→1/√2) dx ≦∫(0→1/√2) 1/√{1-(x^n)} dx ≦∫(0→1/√2) 1/√(1-x^2) dx

∫(0→1/√2) dx = 1/√2
∫(0→1/√2) 1/√(1-x^2) dx = [arcsin(x)](0→1/√2) = π/4

故に
１/√2 ≦∫(0→1/√2) 1/√{1-(x^n)} dx ≦ π/4

なのですが、最初の

ｎ≧2, 0 ≦ x ≦ 1/√2 において
1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)

この変形の仕方が分かりません。ご回答頂けると幸いです
No.70426 - 2020/10/23(Fri) 23:19:59
☆ Re: 数学3の定積分の不等式について / IT
> ｎ≧2, 0 ≦ x ≦ 1/√2 において
> 1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)
> この変形の仕方が分かりません。
この不等式の証明法が分からない。　という意味でしょうか？
どうやって、この不等式を思いついたか分からない。という意味でしょうか？
あるいは、別の意味でしょうか？
No.70430 - 2020/10/23(Fri) 23:46:24
☆ Re: 数学3の定積分の不等式について / 修業中
質問の仕方が不十分で申し訳ありません。

1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)

この不等式をどうやって思いついたかが分かりませんでした。
ご回答お待ちしております。
No.70437 - 2020/10/24(Sat) 20:04:08
☆ Re: 数学3の定積分の不等式について / IT
2以上の自然数nについて,∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦π/4…(1)　を示すために
nが変化したとき　
　　∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx　がどう変化するかを考えます。
　　そこで被積分関数　1/√{1-(x^n)}がどう変化するかを考えます。

0＜x≦1/√2　では、
　nが大きくなると、x^nは小さくなるので、√{1-(x^n)}　は大きくなり
　1/√{1-(x^n)}は、小さくなります。
　よって、1/√{1-(x^n)}≦1/√{1-(x^2)}となることが分かります。

よって、　∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦∫(0→1/√2)1/√{1-(x^2)}dxです。

したがって、
　∫(0→1/√2)1/√{1-(x^2)}dx≦π/4…(2)を示せば、
　2以上の自然数nについて,∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦π/4…(1)が示せます。
No.70439 - 2020/10/24(Sat) 22:40:17
★ (No Subject) / 劣等生
a,b,c：自然数 (a<b<c)
n：自然数
a^2b+b^2c+c^2a=ab^2+bc^2+ca^2+abcnを満たす(a,b,c,n)の組をすべて求めよ。
どこから手をつけてよいのかわからないです。
No.70424 - 2020/10/23(Fri) 21:24:51
☆ Re: / ヨッシー
a^2b＋b^2c＋c^2a−ab^2−bc^2−ca^2＝abcn
とおいて、左辺を因数分解すると
　(左辺)＝c^2a−bc^2＋b^2c−ca^2−ab^2＋a^2b
　　＝(a−b)c^2＋(b−a)(b＋a)c＋ab(a−b)
　　＝(a−b){c^2−(a＋b)c＋ab}
　　＝(a−b)(c−a)(c−b)＜０
となり、条件を満たす自然数a,b,c,n は存在しない。
No.70432 - 2020/10/24(Sat) 08:50:58
☆ Re: / 劣等生
コロナに感染して入院していました。
返信が遅れて申し訳ございませんでした。
ご回答ありがとうございました。
No.70702 - 2020/11/06(Fri) 19:47:04
★ (No Subject) / 劣等生
a,b,c：非負整数
a^b+b^c+c^a＝276を満たす(a,b,c)の組をすべて求めよ。
どこから手をつけてよいのかわからないです。
No.70423 - 2020/10/23(Fri) 21:19:02
☆ Re: / IT
有限の問題ですから、必ずできることはできます。
ある程度工夫して、しらみつぶしでやるしかないのでは

a^b、b^c、c^aのうちa^bが最大だとすると

92≦a^b≦276　…(1)
ｂ=1 のとき　 a+1+c^ａ＝276　
　　　　　　　∴　(a,b,c)=(275,1,0),(274,1,1)
ｂ≧2のとき
　(1)より a ≦16
　　a＝2のとき b=7,7^c+c^2=276-128=148,c=1,2いずれも不適。
　　　　　　　 b=8,8^c+c^2=276-256=20,c=1 不適。
　　a＝3のとき a^b=243,b=5,5^c+c^3=276-243=33,c=2 はＯＫ
　　a＝4のとき a^b=256,b=4,4^c+c^4=276-256=20,c=1,2いずれも不適。
　　a＝5のとき a^b=125,b=3,3^c+c^5=276-125=151,c=1,2,3いずれも不適.
　　a＝6のとき a^b=216,b=3,3^c+c^6=276-216=60,c=1,2いずれも不適。
　　a＝7のとき 7^2＜92,276＜7^3 なので不適。
　　a＝8のとき 8^2＜92なので不適。
　　a＝9のとき 9^2＜92なので不適。
　　10≦a≦16 のとき　92 ≦10^2=100,16^2=256≦276 なので b=2
　　　　c^10≦c^a ＜2^10　なのでc=0,1
　　　c=0 のとき　a^2+1=276,a^2=275 これを満たす整数aはない。
　　　c=1 のとき　a^2+2+1=276,a^2=273 これを満たす整数aはない。

　したがって、(a,b,c)=(275,1,0),(274,1,1),(3,5,2)

その他の場合は、a→b→c→aと入れ替える。
No.70425 - 2020/10/23(Fri) 22:36:10
☆ Re: / らすかる
a,b,cのうち最小のものが4以上だとすると
a^b+b^c+c^a≧4^4+4^4+4^4=768＞276となり不適なので
少なくとも一つ3以下のものがある。
4以上のものが二つある場合、4^5=1024＞276,5^4=625＞276なので
二つとも4でなければならない。このとき、例えばa=b=4とすると
4^4+4^c+c^4=276から4^c+c^4=20となり、これを満たすcは存在しない。
従って3以下のものが二つ以上となる。
どれか一つが0の場合、例えばa=0とすると
0^b+b^c+c^0=276からb^c=275となり、このときb=275、c=1なので、(a,b,c)=(0,275,1)が解。
あとは1≦a,b≦3の9通りについて考えればよい。
(a,b)=(1,1)のとき1+1+c=276なので(1,1,274)が解。
(a,b)=(1,2)のとき1+2^c+c=276となるが1+2^8+8=265＜276＜1+2^9+9=522なので不適。
(a,b)=(1,3)のとき1+3^c+c=276となるが1+3^5+5=249＜276＜1+3^6+6=736なので不適。
(a,b)=(2,1)のとき2+1+c^2=276となるが273は平方数でないので不適。
(a,b)=(2,2)のとき4+2^c+c^2=276となるが4+2^7+7^2=181＜276＜4+2^8+8^2=324なので不適。
(a,b)=(2,3)のとき8+3^c+c^2=276なので(2,3,5)が解。
(a,b)=(3,1)のとき3+1+c^3=276となるが272は4乗数でないので不適。
(a,b)=(3,2)のとき9+2^c+c^3=276となるが9+2^5+5^3=166＜276＜9+2^6+6^3=289なので不適。
(a,b)=(3,3)のとき27+3^c+c^3=276となるが27+3^4+4^3=172＜276＜27+3^5+5^3=395なので不適。
従って求める答えは上記の解とそれをa→b→c→aのように回転したものなので
(a,b,c)=(0,275,1),(1,0,275),(275,1,0),(1,1,274),
(274,1,1),(1,274,1),(2,3,5),(5,2,3),(3,5,2)
No.70431 - 2020/10/24(Sat) 03:41:21
☆ Re: / IT
らすかるさん＞
> どれか一つが0の場合、例えばa=0とすると
> 0^b+b^c+c^0=276からb^c=275となるが、275は累乗数でないので不適。
a=0,b=275 ,c=1 ならOKでは?
No.70442 - 2020/10/25(Sun) 08:51:40
☆ Re: / らすかる
あ、そうですね。1乗を忘れていました。
ご指摘ありがとうございます。元記事を修正します。
No.70443 - 2020/10/25(Sun) 09:51:59
☆ Re: / 劣等生
コロナに感染して入院していました。
返信が遅れて申し訳ございませんでした。
お二方ともありがとうございました。
No.70701 - 2020/11/06(Fri) 19:46:12
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