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★ (No Subject) / 狭山
1から5の数がかかれたカードがそれぞれ4枚ずつ,計20枚ある。この20枚のカードを1列に並べる。このとき、3のカードが2枚ずつ隣り合い,かつ4枚連続して並ばない確率をもとめよ。4枚の3を2枚ずつ2組と考えて、4枚連続する場合をひくか、3以外のカードの計16枚の右端左端隙間に2枚ずつの3を2組入れるという考え方以外に思いつく方法があったら教えて下さい。
No.70881 - 2020/11/13(Fri) 19:51:56
☆ Re: / らすかる
あまり変わりませんが
4枚の3を2枚ずつ2組と考えて残り16枚のうちの15枚とその2組を並べ、
残りの1枚を左から2枚目の3の右に入れる。
No.70885 - 2020/11/13(Fri) 20:23:25
★ 図形方程式 / 狭山
座標平面上に円（x-2）^2+（y-3)^2＝5^2と点A（-6,-6）がある。円上を動く点Pに対し,線分APを1:2に内分する点Qの軌跡をもとめよ。
解法を教えてほしいです。
No.70880 - 2020/11/13(Fri) 19:47:38
☆ Re: 図形方程式 / らすかる
P(a,b),Q(c,d)とおくと
c=(a-12)/3,d=(b-12)/3
a=3c+12,b=3d+12を円の式のx,yに代入して整理すると
(c+10/3)^2+(d+3)^2=(5/3)^2
従って求める軌跡の式は
(x+10/3)^2+(y+3)^2=(5/3)^2
No.70896 - 2020/11/14(Sat) 03:26:07
☆ Re: 図形方程式 / 狭山
ありがとうございます。メリットがあるかは微妙ですが、P（5cosΘ+2,5sinΘ+3）とおいて、cos^2Θ+sin^2Θ＝1という感じでも解けました。
No.70901 - 2020/11/14(Sat) 10:38:01
★ 物理ですが... / いも
すみません、物理ですが大問1が解けません。分かる方いらっしゃいましたら是非お願いします。
No.70873 - 2020/11/13(Fri) 16:48:39
☆ Re: 物理ですが... / いも
問題はこちらです。
No.70874 - 2020/11/13(Fri) 16:50:09
☆ Re: 物理ですが... / X
(1)
条件から
dR=dx/(σπr^2)
∴R=∫[x:0→l]dx/(σπr^2)

(2)
(1)の結果を使うと
R=∫[x:0→l]dx/{σ[0]π(a+(b-a)x/l)^2}
=[-{l/(b-a)}/{σ[0]π(a+(b-a)x/l)}][x:0→l]
={l/(b-a)}/(σ[0]πa)-{l/(b-a)}/(σ[0]πb)
=l/(σ[0]πab)

(3)
(2)と方針は同じです。
R=∫[x:0→l]dx/{σ[0]π{a+(b-a)(x/l)^2}}
=∫[x:0→l]dx/{σ[0]πa{1+(b/a-1)(x/l)^2}}
ここで
(x/l)√(b/a-1)=t
と置くと
R=∫[t:0→√(b/a-1)]dx/{σ[0]πa(1+t^2)}
=[{1/(σ[0]πa)}arctant][t:0→√(b/a-1)]
={1/(σ[0]πa)}arctan√(b/a-1)
No.70875 - 2020/11/13(Fri) 17:54:32
☆ Re: 物理ですが... / いも
こんな素早い返信ありがとうございます！
No.70877 - 2020/11/13(Fri) 19:10:46
★ (No Subject) / やま
この2問が全く分かりません。１問でも良いのでどなたか解き方と解答を教えて頂けると助かります🙇
No.70872 - 2020/11/13(Fri) 16:25:06
☆ Re: / IT
5.2　ｕはどんな関数で、Iどんな集合(区間だとは思いますが)ですか？、ノルムの定義はどう習いましたか？

5.3　x=0で等しいことを確認し、差を微分すれば良いのでは？
No.70878 - 2020/11/13(Fri) 19:21:13
☆ Re: / ast
問題 5.3 は, a(t) が連続という仮定から微積分学の基本定理が成り立つので, 単に置換積分の話でしかないということになりますね.
なので,「a(t) が連続」という仮定は「a(t) が微積分学の基本定理の成立する適当なクラスに属する」という形まで緩めることができます.
No.71029 - 2020/11/20(Fri) 19:28:53
★ 複素解析 / 鹿
一次分数関数w=f(z)はz=3をw=-5に移し、単位円を単位円に移すとする。このとき、z=1/3の像を求めよ。
この問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.70871 - 2020/11/13(Fri) 16:17:02
☆ Re: 複素解析 / GM
f(z)=(az+b)/(cz+d)とおいて解こうとすると未知数が多くて解きにくいので
f(z)=(az+b)/(z+c)の場合とf(z)=az+bの場合に分けます。

f(z)=(az+b)/(z+c)とすると
(3a+b)/(3+c)=-5・・・?@
|z|=1のとき|az+b|/|z+c|=1より
zの共役な複素数をyとして
(az+b)(ay+b)=(z+c)(y+c)
(ab-c)(z+y)+a^2+b^2-c^2-1=0
z+yは-2から2までの任意の実数をとり得るので
ab=c・・・?A
a^2+b^2-c^2-1=0に?Aを代入して
a^2+b^2-a^2b^2-1=0
(a^2-1)(b^2-1)=0・・・?B

?@?A?Bよりa,b,cを場合分けして求め題意を満たすa,b,cを決定します。
単位円が単位円に移されるのを確認する必要もあると思います。

f(z)=az+bの場合は上と同様な計算をすると題意を満たす解がないことが分かります。
No.71011 - 2020/11/19(Thu) 17:29:47
★ 円 / よしお
図のように，AB=AC=5，BC=6の二等辺三角形ABC内に，半径が等しい2つの円O1，O2が次の2つの条件を満たすように置かれているとする．
・円O1と円O2は外接する．
・円O1は辺ABと辺BCに接し，円O2は辺ACと辺BCに接する．
円O3が円O1と円O2に外接し，辺ABと辺ACに接しているとき，円O3の半径を求めよ．
No.70865 - 2020/11/13(Fri) 13:50:40
☆ Re: 円 / らすかる
BCの中点をMとすると、条件から円O1は△ABMの内接円
よってO1の半径(=O2の半径)は3×4÷(3+4+5)=1
O3の半径をrとするとAO3=(5/3)r（三角形の相似による）
O3MとO1O2の交点をPとすると
O3P=3-(5/3)r, O1P=1, O1O3=1+rなので
{3-(5/3)r}^2+1^2=(1+r)^2
r＜4に注意してこれを解いて
r=(9/8)(3-√5)
No.70868 - 2020/11/13(Fri) 15:12:02
☆ Re: 円 / よしお
分かりやすい解説ありがとうございます。
No.70870 - 2020/11/13(Fri) 16:07:54
★ (No Subject) / かまど
a,b,cをa+b+c＝1を満たす正の数とする。このとき,（(1/a)-1）×（(1/b)-1）×（(1/c)-1）≧8をしめせ.
解説宜しくお願いします。
No.70864 - 2020/11/13(Fri) 13:13:13
☆ Re: / らすかる
補題1
三変数の相加相乗平均からab+bc+ca≧3(abc)^(2/3)

補題2
三変数の相加相乗平均から1=a+b+c≧3(abc)^(1/3)なので
1/abc^(1/3)≧3

本題
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)={(1-a)/a}{(1-b)/b}{(1-c)/c}
=(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)={1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc}/(abc)
=(ab+bc+ca)/(abc)-1
≧3(abc)^(2/3)/abc-1　（∵補題1）
=3/abc^(1/3)-1
≧9-1　（∵補題2）
=8
No.70867 - 2020/11/13(Fri) 15:00:45
☆ Re: / かまど
ありがとうございます。相加相乗って三次式でも使えるのですね。知りませんでした。
No.70923 - 2020/11/15(Sun) 07:18:16
★ 整式 / かまど
x^6をx^2-x-3で割った余りを求めよ.という問題を暗算で解けるくらいの解き方はありますか？
No.70863 - 2020/11/13(Fri) 13:01:14
☆ Re: 整式 / らすかる
x^2-x-3=0のとき
x^2=x+3
x^4=(x+3)^2=x^2+6x+9=x+3+6x+9=7x+12
x^6=(7x+12)(x+3)=7x^2+33x+36=7(x+3)+33x+36=40x+57
∴x^6をx^2-x-3で割った余りは40x+57

# 実際に暗算で解いて合っていることを確認してから清書しました。
No.70869 - 2020/11/13(Fri) 15:18:11
☆ Re: 整式 / かまど
ありがとうございます。x^6=Q(x)(x^2-x-3)+ax+bでx^2-x-3が0となる場合を考えてその後恒等式をするという計算をされているのですよね？
No.70879 - 2020/11/13(Fri) 19:28:33
☆ Re: 整式 / らすかる
はい、そういうことです。
No.70882 - 2020/11/13(Fri) 20:05:13
★ 関数 / 中学数学苦手３年
学力不足で（２）（３）の問題が解けませんでした。詳しい解説よろしくお願いいたします。　
No.70860 - 2020/11/13(Fri) 07:39:14
☆ Re: 関数 / 中学数学苦手３年
答えです。よろしくお願いいたします。
No.70861 - 2020/11/13(Fri) 07:40:29
☆ Re: 関数 / ヨッシー
(1)ｙ＝２ｘ^2　は出来ているとして、

(2)ｘ＝３ のとき　ｙ＝１８
その後は、ＥＨ上に一辺を持つ長方形（点Ｅが一つの頂点）の部分が増えていきます。
ｘが１秒増えるごとに　２×６＝１２　増え、ｘ＝６で
　１８＋３×１２＝５４
となります。
そのようなグラフは　ウ　です。

(3)
ｔ秒後の面積は　ｙ＝２ｔ^2
そのｔ秒後はｘ＝３＋ｔ なので、
３秒の時点で　ｙ＝１８
その後のｔ秒間で　12t　増えるので、面積は　12t＋18
条件より
　4・2t^2＝12t＋18
両辺２で割って、整理すると
　4t^2−6t−9＝0
これを　0≦t≦3 の範囲で解くと
　ｔ＝(3＋3√5)/4　・・・答え
No.70862 - 2020/11/13(Fri) 08:17:43
★ 整数問題 / はまだ
添付した写真の下線部がなぜこのように書けるのかがわかりません。解説よろしくお願いします。
No.70852 - 2020/11/12(Thu) 13:19:33
☆ Re: 整数問題 / ＣＯＲＮＯ
　　１０^3＜ｍ^2(ｍ＋１)＜１０^6　　　…(Ａ)
　　ｍ^3＜ｍ^2(ｍ＋１)＜(ｍ＋１)^3　　…(Ｂ)

(Ａ)の前半と(Ｂ)の後半から，
　　１０^3＜ｍ^2(ｍ＋１)＜(ｍ＋１)^3
よって，
　　１０^3＜(ｍ＋１)^3
また，(Ｂ)の前半と(Ａ)の後半から，
　　ｍ^3＜ｍ^2(ｍ＋１)＜１０^6
よって，
　　ｍ^3＜１０^6
No.70856 - 2020/11/12(Thu) 15:45:58
☆ Re: 整数問題 / はまだ
ありがとうございます。とてもわかりやすくて助かりました！
No.70857 - 2020/11/12(Thu) 16:39:55
★ 行列式 / りこ
a1,a2,a3,a4はそれぞれ3次元列ベクトルである。次の行列式det(a1+a2,a2+a3,a3+a4)をdet(ai,aj,ak)(i＜j＜k)で表せ。

という問題がわからず困っています。
教えていただけたら嬉しいです。宜しくお願いします！
No.70850 - 2020/11/12(Thu) 10:47:42
☆ Re: 行列式 / IT
行列式の多重線形性を使って計算できるのでは？

det(a1+a2,a2+a3,a3+a4)
=det(a1,a2+a3,a3+a4)+det(a2,a2+a3,a3+a4)
=......
No.70859 - 2020/11/12(Thu) 20:39:49
☆ Re: 行列式 / りこ
ありがとうございます！
計算してみたところ
det(a1,a2,a3)+det(a1,a2,a4)+det(a1,a3,a4)+det(a2,a3,a4)
となったのですが、これ以上計算することは可能でしょうか？
No.70866 - 2020/11/13(Fri) 13:50:48
☆ Re: 行列式 / IT
合っているかは確認していませんが、
＞det(ai,aj,ak)(i＜j＜k)で表せ。
の条件を満たしているのでそのままで良いのでは？
No.70876 - 2020/11/13(Fri) 18:25:41
☆ Re: 行列式 / りこ
ありがとうございました！とても助かりました！
No.70906 - 2020/11/14(Sat) 14:19:01
★ ベクトル / かまど
誰か、よろしくお願いいたします。
No.70849 - 2020/11/12(Thu) 10:46:45
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
結果を見て理解していただくのが良いと思います。

ＯＰ＝ｔ(ＯＡ/|ＯＡ|＋ＯＢ/|ＯＢ|)　（ｔは実数）
No.70851 - 2020/11/12(Thu) 11:46:23
★ さんかくかんすう / りんりん
0≦α≦π/2　0≦β≦π/2で,sinα+cosβ=5/4,sinβ+cosα=5/4のとき,tan(α+β)の値を求めよ。
解法を教えていただきたいです。
No.70848 - 2020/11/12(Thu) 10:38:56
☆ Re: さんかくかんすう / らすかる
もしα＜βならばsinα＜sinβ、cosβ＜cosαなので
sinα+cosβ＜sinβ+cosαとなり条件と合わない。
もしα＞βならばsinα＞sinβ、cosβ＞cosαなので
sinα+cosβ＞sinβ+cosαとなり条件と合わない。
従ってα=βなのでsinα+cosα=5/4
(sinα+cosα)^2=1+sin(2α)=25/16
∴sin(2α)=9/16
cos(2α)=±√{1-(sin(2α))^2}=±5√7/16
∴tan(α+β)=tan(2α)=sin(2α)/cos(2α)=±9√7/35
No.70854 - 2020/11/12(Thu) 13:25:50
★ 帰納法 / 狭山
ｎを自然数とする。次の不等式を証明せよ。
1/(1･2)＋1/(3･4)＋1/(5･6)…＋1/(2n-1)･2n≦3/4−1/(4n)

数学的帰納法の問題です。
n≧2のときを16k^2+8k> 16k^2+8k-8>0が成り立つからn=k+1の時、-1/4k+1/(2k+1)（2k+2）<-1/4(k+1)が成り立つという事を示している人がいたのですが、意味が分かりません。教えていただけませんか？
No.70844 - 2020/11/11(Wed) 23:13:34
☆ Re: 帰納法 / X
ご質問の内容だけでは判断できません。
＞＞n≧2のとき
の内容全て(ご質問の式を含めて)をアップして下さい。
No.70847 - 2020/11/12(Thu) 06:46:34
★ べくとる / あかり
この大問がわからなくて困ってます。
答え教えていただきたいです。
宜しくお願いします。
No.70837 - 2020/11/11(Wed) 19:49:49
☆ Re: べくとる / ヨッシー
こちらの、３つ目の四角をご覧ください。
No.70838 - 2020/11/11(Wed) 19:57:07
☆ Re: べくとる / あかり
お早い返信ありがとうございます。
やってみます。
No.70839 - 2020/11/11(Wed) 20:04:25
☆ Re: べくとる / あかり

〜三つ目の資格の２点Ａ(ａ)，Ｂ(ｂ) を結ぶ線分ＡＢの〜

a,bってこの問では
a→　b→　でいいんでしょうか
No.70840 - 2020/11/11(Wed) 20:31:32
☆ Re: べくとる / ヨッシー
上から読んでいくと、太字はベクトルを表す、とありますので、その通りです。
No.70841 - 2020/11/11(Wed) 20:33:06
☆ Re: べくとる / あかり
成るほど。すっきりしました。
ありがとうございました。
No.70842 - 2020/11/11(Wed) 20:37:49
★ (No Subject) / 夢ならば
Aをn次正方行列とし、Xi（1≦i≦k）を基本行列とする。それらを用いてAを被約階段行列に変形できてXk・・・X1A=Enであると仮定する。このとき、Aの逆行列をXiたちを用いて表わせ。
No.70834 - 2020/11/11(Wed) 17:26:23
★ 広義重積分について / よろしくお願いします
∫∫_D log(x^2+y^2)dxdy ,D={(x,y)∈R^2 ; x^2+y^2≦1}
という積分を今考えています。まず、原点では被積分函数は定義できないので、D_n={(x,y)∈R^2 ; 1/n≦x^2+y^2≦1} という領域を作り、この領域において積分をし、最後にnを無限大へ飛ばす極限をとることで、求めました。その際、極座標系への変換を行いました。その結果、-π　となったのですが、この積分の結果が負符号を取っていることがよく分かりません。ここで質問ですが、

まず、重積分の考え方、つまり領域Dnの取り方はあっていますでしょうか。
次に、計算の考え方があっていた場合、−πという計算結果はあっていますでしょうか。

どなたか、よろしくお願いいたします。
No.70833 - 2020/11/11(Wed) 16:01:42
☆ Re: 広義重積分について / X
＞＞まず、重積分の考え方、〜
それで問題ありません。
＞＞次に〜
極座標に変換すると
(与式)=lim[n→∞]∫[θ:0→2π]∫[r:1/√n→1]2rlogrdrdθ
=lim[n→∞]∫[θ:0→2π]{[(r^2)logr][r:1/√n→1]-∫[r:1/√n→1]rdr}dθ
=lim[n→∞]2π{-(1/n)log{1/√n}-1/2+1/(2n)}
=-π
となり、合っています。
No.70846 - 2020/11/12(Thu) 06:41:11
★ 経営 / 高崎
経営ファイナンスの問題なんですが、わかる方いらっしゃいますでしょうか？

?@ 満期5年,額面100円,クーポンレート6%の利付債の理論価格を求めなさい。ただし、この債券にはデフォルトの可能性はなく安全利子率は3%とする。(四捨五入して円単位で 解答)

?A<理論株価1> A社は,1株当たり毎年期待値300円のキャッシュ・フローを永遠に得られると予測されて いる。そしてA社はキャッシュ・フローを全額配当に回す。このとき，DDMに沿ってA 社の理論株価を求めなさい。ただし安全利子率を3%,キャッシュ・フローのリスクに見合うリスク・プレミアムを6%とする。
No.70830 - 2020/11/11(Wed) 13:13:55
★ (No Subject) / いいいい
(1) 等式cos3θ=4cos3θ−3cosθを示せ.
(2) 2cos80° は3次方程式x^3−3x+1=0の解であることを示せ.
(3) x^3−3x+1 = (x−2cos80°)(x−2cosα)(x−2cosβ)となる角度α, βを求めよ.ただし,0°<α<β<180° とする.

よろしくお願いします。
No.70827 - 2020/11/11(Wed) 10:43:35
☆ Re: / らすかる
(1)は成り立ちません。
例えばθ=π/3のとき
(左辺)=cos(3(π/3))=cosπ=-1
(右辺)=4cos(3(π/3))-3cos(π/3)=4cosπ-3cos(π/3)=-4-3/2=-11/2
です。
No.70828 - 2020/11/11(Wed) 12:31:44
☆ Re: / いいいい
すいません。等式cos3θ=4(cosθ)^3−3cosθを示せ.です。
No.70829 - 2020/11/11(Wed) 13:01:07
☆ Re: / らすかる
(1)
cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ-sinθsin2θ
=cosθ{2(cosθ)^2-1}-sinθ(2sinθcosθ)
=2(cosθ)^3-cosθ-2(sinθ)^2cosθ
=2(cosθ)^3-cosθ-2{1-(cosθ)^2}cosθ
=4(cosθ)^3-3cosθ

(2)
4(cosθ)^3-3cosθ=cos3θ
8(cosθ)^3-6cosθ=2cos3θ
θ=80°を代入すると
8(cos80°)^3-6cos80°=2cos240°=-1
(2cos80°)^3-3(2cos80°)+1=0
よって2cos80°はx^3-3x+1=0の解。

(3)
8(cosθ)^3-6cosθ=2cos3θにθ=40°を代入すると
8(cos40°)^3-6cos40°=2cos120°=-1
(2cos40°)^3-3(2cos40°)+1=0
よって2cos40°もx^3-3x+1=0の解。
8(cosθ)^3-6cosθ=2cos3θにθ=160°を代入すると
8(cos160°)^3-6cos160°=2cos480°=-1
(2cos160°)^3-3(2cos160°)+1=0
よって2cos160°もx^3-3x+1=0の解。
2cos40°＞2cos80°＞2cos160°から3つは異なるので、
この3つがx^3-3x+1=0の3解。
従って
(x^3-3x+1)=(x-2cos80°)(x-2cos40°)(x-2cos160°)
なので、α=40°、β=160°。
No.70831 - 2020/11/11(Wed) 13:20:33
☆ Re: / いいいい
丁寧な解説ありがとうございます。私はあまり知りませんが、この問題の作り手はチェビシェフ多項式とか考えて作ったんですかね？
No.70832 - 2020/11/11(Wed) 14:40:18
☆ Re: / らすかる
どうでしょう？
特にチェビシェフ多項式とか知らなくても作れる問題かと思います。
No.70835 - 2020/11/11(Wed) 17:38:15
★ 解析力学 / のり
質量m,重心周り慣性モーメントI,軸と重心間距離rの剛体振り子について。一般化座標,自由度,拘束条件は何個かという問題なのですが一般化座標はθの1個だけでなくrも入れなくてはいけないのでしょうか。
No.70825 - 2020/11/11(Wed) 05:59:14
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