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★ 線形代数 / moeri
解き方教えていただけると嬉しいです！
No.70818 - 2020/11/10(Tue) 22:41:27
★ 線形代数 / moeri
解き方教えていただけると嬉しいです
No.70817 - 2020/11/10(Tue) 22:39:47
★ (No Subject) / moerin
座標平面上の２点Q（1、1）R（2、1／2）に対して点Ｐが円、x^2＋y^2＝1の周上を動くとき、次の問いに答えよ.
（1）△PQRの重心の軌跡を求めよ.
（2）点Pから△PQRの重心までの距離が最小となるとき、点Pの座標を求めよ.
答えは（1）円(x-1)^2+(y-1/2)^2=1/9（2）P(2√5/5,√5/5)　です。
どなたか解いていただけませんか？🙇♀
No.70814 - 2020/11/10(Tue) 19:25:40
☆ Re: / X
点P,△PQRの重心の座標をそれぞれ(X,Y),(x,y)とすると

(1)
条件から
x=(3+X)/3 (A)
y=(3/2+Y)/3 (B)
X^2+Y^2=1 (C)
(A)より
X=3x-3 (A)'
(B)より
Y=3y-3/2 (B)'
(A)'(B)'を(C)に代入して
両辺を9で割ると
(x-1)^2+(y-1/2)^2=1/9 (C)
これが求める軌跡の方程式です。

(2)
方針を。

点Pから△PQRの重心までの距離の2乗を
kとすると、
k=(X-x)^2+(Y-y)^2
これに(A)'(B)'を代入すると
(2x-3)^2+(2y-3/2)^2=k (D)
(C)(D)をx,yの連立方程式として
解く過程で得られるxの2次方程式
の解の判別式に対する条件から
kの値の範囲を求めます。
No.70815 - 2020/11/10(Tue) 19:50:01
★ 微分の問題です / 茶番
同学年共に苦戦してます。分かる方だけで大丈夫なので解答お願いします。
No.70811 - 2020/11/10(Tue) 17:27:05
☆ Re: 微分の問題です / 茶番
誤解を生む可能性がありましたね。"分かる方"は分かる(ほう)です。(かた)ではありません。失礼しました。
No.70812 - 2020/11/10(Tue) 17:28:45
☆ Re: 微分の問題です / 茶番
すみません、1番はできました。
No.70823 - 2020/11/11(Wed) 02:44:36
★ (No Subject) / いいいい
ある袋の中に1〜6までの数字が1つずつ書かれたカードが2枚ずつ合計12枚のカードがある。この中から同時に3枚のカードを取り出す。
（問）取り出したカードに書かれている数字が全て異なる確率と取り出したカードに書かれている数字の和が3の倍数である確率を求めよ。
答えはそれぞれ8/11,19/55です。
よろしくお願いします。
No.70805 - 2020/11/10(Tue) 15:42:51
☆ Re: / らすかる
全て異なる確率は
1枚目は何でもよい
2枚目は残り11枚中1枚目と異なる10枚のどれか
3枚目は残り10枚中1枚目とも2枚目とも異なる8枚のどれか
従って求める確率は
(10/11)×(8/10)=8/11

和が3の倍数になるためには
「3で割った余りが3枚すべて同じ」か「3で割った余りが3枚すべて異なる」
のいずれかです。
取り出し方12C3通りのうち
3で割った余りがすべて同じになるのは4C3×3通り
3で割った余りがすべて異なるのは4^3通り
なので、求める確率は(4C3×3+4^3)/12C3=19/55となります。
No.70808 - 2020/11/10(Tue) 16:00:13
★ 解 / よしお
3次方程式x^3+(2m-7)x^2+(9-m)x-m-3=0が、異なる3つの正の解を持つとき実数の定数mの値の範囲はなんですか？
No.70803 - 2020/11/10(Tue) 15:21:00
☆ Re: 解 / らすかる
x^3+(2m-7)x^2+(9-m)x-(m+3)=(x-1)(x^2+(2m-6)x+(m+3))なので
x^2+2(m-3)x+(m+3)=0が1と異なる解を二つ持てばよい。
異なる2解を持つためには判別式が正であればよいので
D/4=(m-1)(m-6)＞0からm＜1または6＜m
x^2+2(m-3)x+(m+3)=0がx=1を解に持つのは
1+2(m-3)+(m+3)=0すなわちm=2/3の場合なので、
求めるmの範囲はそれを除いて
m＜2/3、2/3＜m＜1、6＜m
No.70806 - 2020/11/10(Tue) 15:48:44
★ 回路 / ゆう
若干数学じゃなくてすみません。分かる方がいましたらお願いします。
No.70801 - 2020/11/10(Tue) 14:47:44
☆ Re: 回路 / ゆう
すみません解決しました。
No.70802 - 2020/11/10(Tue) 14:55:13
★ 媒介変数 / よしお
X=(2t^2+1)/(2t^2+2),Y=t/2(t^2+1) （1/2≦X<1）のXとYの間に成り立つ関係式は何ですか？
No.70796 - 2020/11/10(Tue) 10:34:09
☆ Re: 媒介変数 / らすかる
X=(2t^2+1)/(2t^2+2), Y=t/{2(t^2+1)} ならば
X=(2t^2+2-1)/(2t^2+2)=1-1/(2t^2+2)
1/(2t^2+2)=1-X
1/(2t^2+2)^2=(1-X)^2
Y^2=t^2/(2t^2+2)^2
2Y^2+2(1-X)^2=(2t^2+2)/(2t^2+2)^2=1/(2t^2+2)=1-X
2X^2-3X+2Y^2-3=0
(X-3/4)^2+Y^2=(1/4)^2

# ただし元の媒介変数の式ではX=1をとらないので
# 軌跡は中心(3/4,0)半径1/4の円周から(1,0)を除いたもの


もしもX=(2t^2+1)/(2t^2+2), Y=(t/2)(t^2+1) ならば
X=1-1/(2t^2+2)
(1/2){1/(t^2+1)}=1-X
t^2+1=1/{2(1-X)}
Y=(t/2){1/{2(1-X)}}
4(1-X)Y=t
16(1-X)^2Y^2+1=t^2+1=1/{2(1-X)}
∴2{16(1-X)^2Y^2+1}(1-X)=1
No.70797 - 2020/11/10(Tue) 11:30:20
☆ Re: 媒介変数 / よしお
分かりやすい解説ありがとうございます。
No.70798 - 2020/11/10(Tue) 12:05:30
★ (No Subject) / やま
行列指数関数のこの二つの問題が全く分かりません。
どちらか一方でも良いので分かる方教えて頂けると助かります！
No.70794 - 2020/11/10(Tue) 00:58:16
☆ Re: / ast
最近似たようなことに答えたので, まずは No.68633 や No.68667 のあたりの説明を参照してください.
No.71030 - 2020/11/20(Fri) 19:34:00
★ (No Subject) / 時計塔の主
Aをn次正方行列とし、Xi（1≦i≦k）を基本行列とする。それらを用いてAを被約階段行列に変形できてXk・・・X1A=Enであると仮定する。このとき、Aの逆行列をXiたちを用いて表せ。
No.70792 - 2020/11/09(Mon) 21:40:37
★ 分数の入れ替え / あああああ
分母の値を分子んもってきて
分子にあった値を分母に持ってくる公式みたいなものがある
らしいのですが、
どういう公式名なのでしょうか？
No.70791 - 2020/11/09(Mon) 21:37:51
☆ Re: 分数の入れ替え / ヨッシー
逆数の定義。
No.70793 - 2020/11/10(Tue) 00:26:50
☆ Re: 分数の入れ替え / あああああ
返信ありがとうございます。
逆数の定では見つかりませんでした
そもそも私の質問の仕方がわかりにくかったので
画像はります
左の式と右の式が同じで　この人曰くまず初めに
t / log(1 + t) の部分を入れ替えて
log(1 + t) / tにするみたいなのですが、
どうやってそれを実現したのかということです。
No.70799 - 2020/11/10(Tue) 13:35:25
☆ Re: 分数の入れ替え / ヨッシー
右上の -1 を見落としていませんか？

　(a/b)^(-1)＝b/a

なので、やはり逆数の定義ですね。
No.70800 - 2020/11/10(Tue) 13:45:20
☆ Re: 分数の入れ替え / あああああ
あああ
本当ですね
完全に見落としていました
面目ありません
ありがとうございました
No.70816 - 2020/11/10(Tue) 22:37:47
★ (No Subject) / 全知全能
次の連立1次方程式の拡大係数行列に対して行基本変形を施すことで被約階段行列にしてください！
No.70789 - 2020/11/09(Mon) 21:34:55
★ 三角関数 / unknown
sin^2α+sin^2β+sin^2(α+β) +2cosαcosβcos(α+β) =2となる事を証明せよ.
解いていただけませんか？
和積の公式を使わずに証明できる方法ももしあったらそれも教えて欲しいです。
No.70781 - 2020/11/09(Mon) 17:38:56
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
ベストな方法かはわかりませんが。

sin^2α＋sin^2β＋sin^2(α+β)＋2cosαcosβcos(α＋β)
＝sin^2α＋sin^2β＋1−cos^2(α+β)＋2cosαcosβcos(α＋β)
＝sin^2α＋sin^2β＋1＋cos(α+β){2cosαcosβ−cos(α＋β)}

2cosαcosβ−cos(α＋β)＝2cosαcosβ−cosαcosβ＋sinαsinβ
　＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α−β)

cos(α+β){2cosαcosβ−cos(α＋β)}＝cos(α+β)cos(α−β)
　　＝cos^2αcos^2β−sin^2αsin^2β
　　＝(1−sin^2α)(1−sin^2β)−sin^2αsin^2β
　　＝1−sin^2α−sin^2β

よって、
　(与式)＝sin^2α＋sin^2β＋1＋1−sin^2α−sin^2β＝2
No.70783 - 2020/11/09(Mon) 18:11:59
☆ Re: 三角関数 / IT
加法定理だけで
sin^2α+sin^2β+sin^2(α+β) +2cosαcosβcos(α+β)
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ+cosαsinβ)^2+2cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ)^2+2sinαsinβcosαcosβ+(cosαsinβ)^2+2cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ)^2+(cosαsinβ)^2+2(cosα)^2(cosβ)^2
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ)^2+(cosα)^2(cosβ)^2+(cosαsinβ)^2+(cosα)^2(cosβ)^2
=sin^2α+sin^2β+((sinα)^2+(cosα)^2)cosβ)^2+(cosα)^2((sinβ)^2+(cosβ)^2)
=sin^2α+sin^2β+(cosβ)^2+(cosα)^2
=1+1=2

sin^2αなどは途中から出てくるのは(sinα)^2などと書いてます。
No.70787 - 2020/11/09(Mon) 19:56:58
☆ Re: 三角関数 / IT
上とまったく同じですが記述量削減のため、
a=sinα,b=sinβ,c=cosα,d=cosβとおけば、a^2+c^2=b^2+d^2=1

sin^2α+sin^2β+sin^2(α+β) +2cosαcosβcos(α+β)
（加法定理により）
=sin^2α+sin^2β+(sinαcosβ+cosαsinβ)^2+2cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)
=a^2+b^2+(ad+cb)^2+2cd(cd-ab)
=a^2+b^2+(ad)^2+2adcb+(cb)^2+2(cd)^2-2cdab
=a^2+b^2+(ad)^2+(cb)^2+2(cd)^2
=a^2+b^2+(ad)^2+(cd)^2+(cb)^2+(cd)^2
=a^2+b^2+(a^2+c^2)d^2+c^2(b^2+d^2)
=a^2+b^2+d^2+c^2
=1+1=2
No.70790 - 2020/11/09(Mon) 21:37:21
★ (No Subject) / マリオ
もう写真おくります！笑
No.70779 - 2020/11/09(Mon) 16:03:29
☆ Re: / GandB
　掃き出し法の基本問題なので(3)番だけ。
No.70788 - 2020/11/09(Mon) 20:01:09
★ (No Subject) / マリオ
下の問題について、行列が大きくずれたのでしっかり書きます！
（1 2 1 0） （1 2 3） （1 2 1 | 1 0 0）
（2 5 0 2） （4 5 6） （2 5 1 | 0 1 0）
（3 3 1 3） （-1 -2 -3） （1 3 4 | 0 0 1）
（-4 -5 -6）
No.70778 - 2020/11/09(Mon) 16:01:47
★ (No Subject) / マリオ
行に関する基本変形をして、次の行列を被約階段行列となるようにしてください。
（1）（1 2 1 0） （2） （1 2 3） （3）（1 2 1 | 1 0 0）
（2 5 0 2） （4 5 6） （2 5 1 | 0 1 0）
（3 3 1 3） （-1 -2 -3） （1 3 1 | 0 0 1）
（-4 -5 -6）
※（3）の棒は仕切りとして用いているだけで数学的に特殊な意味があるわけではない。（3）を被約階段行列にすると棒の左側に単位行列が現れるはずである。このとき、棒の右側に、左側の行列の逆行列が現れていることを確認せよ。
No.70777 - 2020/11/09(Mon) 15:58:09
★ f問題 / 天才
nは0以上の整数とする.
nにかかわらず,
|cos(2nx)|が同じ値をとるとき,
cos(x)をすべて求めよ.
No.70771 - 2020/11/09(Mon) 05:54:06
☆ Re: f問題 / らすかる
n=0のとき|cos(2nx)|=1なので
|cos(2nx)|がnにかかわらず同じ値をとるならば
|cos(2nx)|=1しかあり得ない。
n=1のときcos(2x)=±1なのでx=kπ/2（kは整数）
逆にこのとき|cos(2nx)|=|cos(nkπ)|=1となり条件を満たす。
従ってcos(x)=cos(kπ/2)=0,±1
No.70774 - 2020/11/09(Mon) 10:35:56
★ (No Subject) / ななし
1)対角線の長さが等しい2つの長方形は合同ですか？
2)斜辺が等しい2つの直角三角形は合同ですか？

YESかNO、またその理由もお願いします。
No.70768 - 2020/11/09(Mon) 00:50:50
☆ Re: / らすかる
例えば2辺の長さが7、残り2辺の長さが24の長方形と
2辺の長さが15、残り2辺の長さが20の長方形は
どちらも対角線の長さが25ですが、合同ではありません。

2も全く同じですね。
直角を挟む2辺が7と24の直角三角形と
直角を挟む2辺が15と20の直角三角形は
どちらも斜辺の長さが25ですが、合同ではありません。
No.70769 - 2020/11/09(Mon) 01:31:27
★ トランプ５２枚が全部表になる確率 / URHANL
はるか昔、高校三年生のときに某受験参考書に登場した問題をふと思い出しました。解答を見ても全く理解できなかったのです。日本語で３行ほど説明があり突然に確率の値が書いてあったものです。
（あまりにも理解できなかったのでその内容を再現できません。申し訳ありません。）

以下のゲームを考えます。

●準備（?@から?B）

?@トランプ５２枚をランダムに切り混ぜます。

?Aアナログ時計を模したテーブルの上で、長針短針が生えている根本に４枚のカードを裏に伏せて配ります。この場所を「１３番」と呼称します。

?B時計の文字盤の１から１２までの位置にそれぞれ４枚のカードを裏に伏せて配ります。それぞれの時刻ｎに対応してその場所を「ｎ番」と呼称します。

?CトランプのカードのＡには１番の場所が【目的地】となります。カードの２から１０までは、それぞれ、２番から１０番の場所が【目的地】となります。Ｊ、Ｑ、Ｋについても同様で、それぞれ、１１番、１２番、１３番の場所が目的地となります。

●ゲーム開始

◇スタート：１番の場所に裏に伏せてあるカードのうち１枚を表にして、カードを見ます。そのカードの目的地にカードを移動します。

◇終了条件を検査します：よその場所から表のカードが目的地のこの場所に来たときに、この場所には既に裏のカードが存在していなければゲーム終了です。ゲームの勝敗判定のステップに進みます。

◇この場所に裏のカードが存在していればそのうち１枚を表にして目的地を調べそのカードの目的地にカードを移動します。次いで、◇終了条件の検査のステップを行います。


●ゲームの勝敗判定のステップ
５２枚がすべて表になっていれば勝ち、裏が残っていれば負けです。
このゲームの勝率はいかほどか。


※さきほど申し上げました受験参考書では私が理解できなかった理由により、勝率は１/１３となっていました。

どうしても理解できませんでした。ちんぷんかんぷんでした。

勝率は１/１３？ 本当でしょうか？

私はプログラミング能力に乏しいものですから、シミュレーション（モンテカルロ法）もしておりません。
理論値もわかりません。

何か良い理解のための方法がございましたら是非ともご教示をお願いいたします。
No.70767 - 2020/11/08(Sun) 23:31:22
☆ Re: トランプ５２枚が全部表になる確率 / ヨッシー
52枚のカードを横に一列に並べます。
そのうちの一つが
　1, 2, 3, 4, ・・・
だとすると
　１番をめくったら１が出た→次の目的地１番
　１番をめくったら２が出た→次の目的地２番
　２番をめくったら３が出た→次の目的地３番
　３番をめくったら４が出た→次の目的地４番
というふうに対応するとします。
４枚目の１が出るとそこで終了です。
それが５２枚目であれば勝ち、それ以前なら負けです。
つまり、いろんな並べ方がある中で、５２枚目が１なら勝ち。
それ以外なら負けです。
よって、勝つ確率は 1/13 です。
No.70775 - 2020/11/09(Mon) 11:14:02
☆ Re: トランプ５２枚が全部表になる確率 / URHANL
ヨッシーさん、まことに有り難うございます。

やはり 1/13 になるのでしたか……

せっかくご説明を頂きましたのに理解がよくできませんでしたので質問をさせて頂きたく存じます。

よくカードを切り混ぜた結果、偶然に以下のような配置を含むことになったとします。

５番の場所：６６６６
６番の場所：５５５５

（カードは左から順に表にかえすものとします。）

上の例の配置では絶対に全てが表になることはありません。

上の例に限らず他にも、部分的に閉じたループを内部に含んでしまうケースがあるのではないかと思っています。

ヨッシーさんによる《５２枚目が１なら勝ち》と、上記の閉じたループが存在しうることとの関係性が飲み込めませんでした。

なにとぞ宜しくお願いいたします。
No.70780 - 2020/11/09(Mon) 17:02:15
☆ Re: トランプ５２枚が全部表になる確率 / ヨッシー
その場合、例えば、運良く５，６以外のカードは全部めくれたとすると
　……1,5,5,5,5,6,6,6,6
　……1,5,6,5,6,5,6,5,6
　……1,5,5,6,6,6,6,5,5
などの並び方の１つとして数えられます。
４枚目の１が出たあとの、めくられ方は実現されませんが、
数字の並べ方だけ、カードの配置が考えられるので、確からしさは同じです。

別の見方をすれば、４枚目の１が出た時点で、残っているカードを
場所の若い順に並べて、数字の並べ方を決めると考えればどうでしょう。
No.70782 - 2020/11/09(Mon) 17:56:07
☆ Re: トランプ５２枚が全部表になる確率 / URHANL
ヨッシーさん。

丁寧な解説をまことに有り難うございます。

よく咀嚼して自分の感覚を研いでいきたいと存じます。
No.70810 - 2020/11/10(Tue) 16:43:15
☆ Re: トランプ５２枚が全部表になる確率 / URHANL
おかげさまで、スペードだけの１３枚で同様のゲームを行ったときには、全部が表になる確率は１/１３になると理解できるようになりました。

計算式は、
(12/13)*(11/12)*(10/11)*(9/10)*(8/9)*(7/8)*(6/7)*(5/6)*(4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/13
です。

あとは４つのスーツに拡大して１３の剰余系で考えればよいのかなあとチャレンジしています。
No.70855 - 2020/11/12(Thu) 14:35:53
☆ Re: トランプ５２枚が全部表になる確率 / URHANL
> 52枚のカードを横に一列に並べます。
> そのうちの一つが
> 　1, 2, 3, 4, ・・・
> だとすると
> 　１番をめくったら１が出た→次の目的地１番
> 　１番をめくったら２が出た→次の目的地２番
> 　２番をめくったら３が出た→次の目的地３番
> 　３番をめくったら４が出た→次の目的地４番
> というふうに対応するとします。
> ４枚目の１が出るとそこで終了です。
> それが５２枚目であれば勝ち、それ以前なら負けです。
> つまり、いろんな並べ方がある中で、５２枚目が１なら勝ち。
> それ以外なら負けです。
> よって、勝つ確率は 1/13 です。

意味を取り違えて読んでいました。意味がわかって納得いたしました。有り難うございます。

> 52枚のカードを横に一列に並べます。

このもとで、カードの目的地も５２箇所とすると、全部が表になる確率は 1/52 ですね。
なので、本問で求める確率は
1/52 * 4 というわけでしたか。

納得いたしました。
No.70858 - 2020/11/12(Thu) 20:24:26
★ 複素数平面 / 赤
数3の問題です
z1=(1+i)/√2 z2=(√3+i)/2 (i=√-1)とする時
(1)z1+z2の絶対値を求めよ。
(2)z1,z2の極形式を利用して、z1+z2の偏角θ(ただし、0≦θ＜2π)、およびcosπ/24の値を求めよ。
答え
(1)|z1+z2|=1/2√{2(4+√2+√6)}
(2)θ＝5/24π ,cos(π/24)=1/4√{2(4+√2+√6)}
(2)のcos(π/24)の求めを教えてください。
No.70759 - 2020/11/08(Sun) 20:33:38
☆ Re: 複素数平面 / X
(2)の前半の結果により
cos(5π/24)+isin(5π/24)=(z[1]+z[2])/|z[1]+z[2]| (A)
ここで
5π/24=π/24+π/6
∴(A)から
{cos(π/24)+isin(π/24)}{cos(π/6)+isin(π/6)}=(z[1]+z[2])/|z[1]+z[2]|
∴cos(π/24)+isin(π/24)=…
No.70763 - 2020/11/08(Sun) 21:24:35
☆ Re: 複素数平面 / 赤
ありがとうございます。
No.70772 - 2020/11/09(Mon) 06:43:27
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