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★ 下線部の証明 / パスタ
この赤と青の下線部が成り立つ理由を教えてください。
お願いいたします。
No.70713 - 2020/11/07(Sat) 15:34:01
☆ Re: 下線部の証明 / ast
両者とも定義から明らかに従うこと（というかほぼ定義そのもの）だと思いますので, 定義が理解できているかをこちらから問い返すことになるかと思います. 具体的には:

青: φ_n の作り方から, k=1,…,n に対して φ_n(k)=|f(k)|^p となるのは分かりますか?
赤: 単函数 φ のルベーグ式の積分の定義が
　?農[a: φ の取りうる値] a × (φ(x)=a となる x 全体の成す集合の測度)
という形に与えられるものであることは把握できていますか?
# ただし厳密な意味でいうなら, φ(x)=a となる x の集合がさらに複数に細分されていてもよい
# (細分しても積分値に影響しないという意味で well-defined) というのは踏まえておく必要がある.
No.70714 - 2020/11/07(Sat) 16:52:58
☆ Re: 下線部の証明 / パスタ
返信ありがとうございます。

赤のほうは理解できたのですが、青がなぜその等式になるのかわからない状況です。
No.70716 - 2020/11/07(Sat) 17:26:32
☆ Re: 下線部の証明 / ast
では, 交わりを持たない集合 A, B に対して, χ_A+χ_B は A 上で χ_A および B 上で χ_B に一致するのは理解できますか?
あるいはもう少し一般に, a*χ_A + b*χ_B は A 上で常に値 a をとる定数函数, および B 上で常に値 b をとる定数函数, となることはわかりますか?
# いずれも, A, B が交わらないという条件は外してはいけない.
No.70719 - 2020/11/07(Sat) 18:02:08
☆ Re: 下線部の証明 / パスタ
そこは理解できました。
交わらないということは共通部分をもたないことで大丈夫ですよね。
No.70721 - 2020/11/07(Sat) 18:11:40
☆ Re: 下線部の証明 / ast
> 交わらないということは共通部分をもたないことで大丈夫ですよね。
そうです.

> そこは理解できました。
では, (面倒なので以下 a_k:=|f(k)|^p と書きますが,)
　[i] φ_1(k) = a_1*χ_[{1}](k) の k=1 における値 φ_1(1)
　[ii] φ_2(k) = a_1*χ_[{1}](k) + a_2*χ_[{2}](k) の k=1,2 における値 φ_2(1),φ_2(2),
　[iii] φ_3(k) = a_1*χ_[{1}](k) + a_2*χ_[{2}](k) + a_3*χ_[{3}](k) の k=1,2,3 における値 φ_3(1),φ_3(2),φ_3(3),
　……(必要ならもっと後のほうまで同様に)
などはもう計算できるはずですね?

そうして, どのような k∈Z^+ に対しても, k より大きな任意の n に対して φ_n(k)=a_k ですから, 極限函数 lim φ_n の値は青線で示された式の通りということになります.
No.70723 - 2020/11/07(Sat) 18:35:46
☆ Re: 下線部の証明 / パスタ
なるほど。理解できました。ありがとうございます
No.70727 - 2020/11/07(Sat) 21:42:19
★ 個数を数える問題 / 劣等生
a,b,c,d,nが自然数のとき、a+2b+3c+4d=nを満たす(a,b,c,d)の組の個数を求めよ。
nを12で割ったあまりで場合分けしようとしたのですが失敗に終わりました。
教えてください。
No.70703 - 2020/11/06(Fri) 19:53:27
☆ Re: 個数を数える問題 / らすかる
a=nとなるのは1通り

a+2b=nとなるのは
nが偶数のときb=1〜n/2-1の(n-2)/2通り
nが奇数のときb=1〜(n-1)/2の(n-1)/2通り
よってまとめると(2n-3-(-1)^n)/4通り

a+2b+3c=nとなるのは
n=3kのときcの範囲は1〜n/3-1
それぞれのcに対してa+2bは{2(n-3c)-3-(-1)^(n-3c)}/4通りなので
全部でΣ[c=1〜n/3-1]{2(n-3c)-3-(-1)^(n-3c)}/4={2n^2-12n+21+3(-1)^n}/24通り
n=3k+1のときcの範囲は1〜(n-4)/3
それぞれのcに対してa+2bは{2(n-3c)-3-(-1)^(n-3c)}/4通りなので
全部でΣ[c=1〜(n-4)/3]{2(n-3c)-3-(-1)^(n-3c)}/4={2n^2-12n+13+3(-1)^n}/24通り
n=3k+2のときcの範囲は1〜(n-5)/3
それぞれのcに対してa+2bは{2(n-3c)-3-(-1)^(n-3c)}/4通りなので
全部でΣ[c=1〜(n-5)/3]{2(n-3c)-3-(-1)^(n-3c)}/4={2n^2-12n+13+3(-1)^n}/24通り
よってまとめると{2n^2-12n+13+8f(n)+3(-1)^n}/24通り
（ただしf(n)はn=3kのとき1、n≠3kのとき0）

a+2b+3c+4d=nとなるのは
n=4kのときdの範囲は1〜n/4-2、n=4k+1のときdの範囲は1〜(n-9)/4、
n=4k+2のときdの範囲は1〜(n-6)/4、n=4k+3のときdの範囲は1〜(n-7)/4なので
n=12kのとき
Σ[d=1〜n/4-2]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n^3-15n^2+72n-144)/144
n=12k+1のとき
Σ[d=1〜(n-9)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-1)(n-7)^2/144
n=12k+2のとき
Σ[d=1〜(n-6)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-2)(n^2-13n+46)/144
n=12k+3のとき
Σ[d=1〜(n-7)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-3)^2(n-9)/144
n=12k+4のとき
Σ[d=1〜n/4-2]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-4)^2(n-7)/144
n=12k+5のとき
Σ[d=1〜(n-9)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-5)(n^2-10n+13)/144
n=12k+6のとき
Σ[d=1〜(n-6)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-3)(n-6)^2/144
n=12k+7のとき
Σ[d=1〜(n-7)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-1)(n-7)^2/144
n=12k+8のとき
Σ[d=1〜n/4-2]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-8)(n^2-7n+16)/144
n=12k+9のとき
Σ[d=1〜(n-9)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-3)^2(n-9)/144
n=12k+10のとき
Σ[d=1〜(n-6)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n^3-15n^2+72n-76)/144
n=12k+11のとき
Σ[d=1〜(n-7)/4]{2(n-4d)^2-12(n-4d)+13+8f(n-4d)+3(-1)^(n-4d)}/24
=(n-5)(n^2-10n+13)/144

以上をまとめると、nに対して条件を満たす(a,b,c,d)の組の個数は
[{2n^3-30n^2+(135+9(-1)^n)n-1}/288]個　（ただし[　]はガウス記号）
No.70711 - 2020/11/06(Fri) 23:59:26
☆ Re: 個数を数える問題 / 劣等生
理解できました。
ありがとうございました。
最後はまとめないといけないのでしょうか。
No.70883 - 2020/11/13(Fri) 20:16:27
★ 部分群について / meow
この問題についてなのですが，
演算については閉じているが，
det(A)=0ということは正則でないので，逆元が存在しないことから，部分群ではないということで良いでしょうか？
No.70699 - 2020/11/06(Fri) 18:00:59
☆ Re: 部分群について / IT
行列の"加法"について"逆元"が存在しない。ことが言えますか？
No.70700 - 2020/11/06(Fri) 19:26:57
☆ Re: 部分群について / meow
なるほどです．
加法についての逆元は存在します．
しかし乗法については存在しないので，乗法については部分群にはならないですよね．
この場合，どのように解答すれば良いのでしょうか．
演算が乗法と加法で分けるのでしょうか？
No.70704 - 2020/11/06(Fri) 20:05:38
☆ Re: 部分群について / meow
ITさんいつも回答ありがとうございます．
No.70705 - 2020/11/06(Fri) 20:08:34
☆ Re: 部分群について / IT
問題をもう一度、よく読んでください。「乗法」はどこにも出て来ません。
No.70707 - 2020/11/06(Fri) 20:34:41
☆ Re: 部分群について / meow
回答ありがとうございます．
加法に関して可換群であると書かれていますが，どの演算に対して部分群か求めろと明記されている問題と，このような問題があり，どうすれば良いのか悩んでいました．
今回の場合は言及されている加法について考えれば良いのですね．
No.70708 - 2020/11/06(Fri) 21:17:00
☆ Re: 部分群について / IT
そうだと思います。
ところでＨは加法について閉じていますか？
n=２で考えてみてください。
No.70709 - 2020/11/06(Fri) 22:12:54
★ (No Subject) / タケノリ
確率論の証明ができません、、お願いします(･_･;
No.70697 - 2020/11/06(Fri) 15:40:02
★ 逆行列 / まい
この問題の解き方が分からないので、解いて欲しいです。
No.70694 - 2020/11/06(Fri) 10:19:06
☆ Re: 逆行列 / X
まず、行列の積の定義の復習をしましょう。
その上でもう一度挑戦してみて下さい。
行列の積の計算の理解ができていれば
(2)の計算は容易です。
又、(1)についても行列の積が計算できれば
後は連立方程式を二組解くだけです。
これは中学数学の範囲で十分解けます。
No.70696 - 2020/11/06(Fri) 15:10:33
★ (No Subject) / 天才
任意の自然数kに対して,
D(k) = (1+1)(1+1/4)(1+1/9)(1+1/16)・...・(1+1/k^2)と定義する.

1/e^(π/2) < lim_[k→∞] D(k) < 1/(2e^(-π/2))を示せ.

No.70689 - 2020/11/06(Fri) 05:05:30
☆ Re: / 天才
> 任意の自然数kに対して,
> D(k) = (1+1)(1+1/4)(1+1/9)(1+1/16)・...・(1+1/k^2)と定義する.
>
> 1/e^(π/2) > lim_[k→∞] D(k) > 1/(2e^(-π/2))を示せ.
>
の誤りです。
No.70690 - 2020/11/06(Fri) 05:08:39
☆ Re: / X
条件から
1＜D(k)
一方
1/e^(π/2)＜1
∴証明すべき不等式は成立しません。
(問題文にタイプミスはありませんか?)
No.70691 - 2020/11/06(Fri) 05:47:12
☆ Re: / 天才

> 任意の自然数kに対して,
> D(k) = (1+1)(1+1/4)(1+1/9)(1+1/16)・...・(1+1/k^2)と定義する.
>
> 1/e^(-π/2) > lim_[k→∞] D(k) > 1/(2e^(-π/2))を示せ.
>
の誤りです。
No.70706 - 2020/11/06(Fri) 20:22:24
☆ Re: / IT
>1/e^(-π/2) > lim_[k→∞] D(k) > 1/(2e^(-π/2))
e^(π/2)>lim_[k→∞] D(k)>e^(π/2)/2 と書いた方が分かり安いですね。

e^(π/2)>lim_[k→∞] D(k)　だけやってみました。
もっとストレートな解法があるかも知れませんが1/1^2+1/+1/3^2+...+1/k^2 →π^2/6（k→∞) を使います。

logD(k)=log(1+1)+log(1+1/4)+log(1+1/9)+...+log(1+1/k^2)
　0＜x について　log(1+x)＜x なので　
＜log2+1/4+1/9+...+1/k^2＝(log2-1)+1/1+1/4+1/9+...+1/k^2 →(log2-1)+π^2/6（k→∞)

数値計算で確認したところ(log2-1)+π^2/6＜π/2

よってlim_[k→∞]logD(k)＜π/2
したがって　lim_[k→∞]D(k)＜e^(π/2)
No.70712 - 2020/11/07(Sat) 15:09:22
☆ Re: / IT
もう一つの不等式は、
logD(k)=log(1+1)+log(1+1/4)+log(1+1/9)+...+log(1+1/k^2)
　0＜x＜1 でlog(1+x)＞(log2)x なので,
＞(log2)(1/1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2)→(log2)(π^2)/6 (k→∞)

よって、lim[k→∞]logD(k)≧(log2)(π^2)/6 ＞(π/2)-log2
No.70717 - 2020/11/07(Sat) 17:28:56
★ (No Subject) / 天才
２以上の整数Nの２つの正の約数a,bを,
下記の条件のもとで任意に選ぶ.

(条件) : ab = N.

このとき,
|a-b|が最小となる選び方とa+bが最小となる選び方は,
常におなじになることを示せ.

ただし,aとbは区別しないものとする.
No.70688 - 2020/11/06(Fri) 04:31:44
☆ Re: / らすかる
a+bが最小⇔(a+b)^2が最小⇔(a-b)^2+4abが最小⇔(|a-b|)^2+4Nが最小⇔|a-b|が最小
よって常に同じになる。
No.70692 - 2020/11/06(Fri) 07:30:26
★ 中央大学　数学　過去問　数列の極限 / maeyo

「したがって」の前の式が、「したがって」の後の式になるところがわかりません。どうぞよろしくお願いします。
No.70683 - 2020/11/05(Thu) 23:03:04
☆ Re: 中央大学　数学　過去問　数列の極限 / らすかる
S[n+1]-S[n]=-e^(-aπ)・(S[n]-S[n-1])
=-e^(-aπ)・{-e^(-aπ)・(S[n-1]-S[n-2])}
={-e^(-aπ)}^2・(S[n-1]-S[n-2])
={-e^(-aπ)}^2・{-e^(-aπ)・(S[n-2]-S[n-3])}
={-e^(-aπ)}^3・(S[n-2]-S[n-3])
=・・・
={-e^(-aπ)}^n・(S[1]-S[0])
となりますね。
No.70684 - 2020/11/05(Thu) 23:31:05
☆ Re: 中央大学　数学　過去問　数列の極限 / maeyo
大変よくわかりました！
ありがとうございました。
No.70685 - 2020/11/05(Thu) 23:40:02
★ 確率統計学 / 特論
どなたかお願いします、、！！
No.70681 - 2020/11/05(Thu) 22:20:59
★ 整数 / 狭山
実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.このとき,自然数nに対してx^n+y^nは偶数になることを示せ。

この問題を数学的帰納法を用いずに解く事は可能ですか？
No.70676 - 2020/11/05(Thu) 18:11:27
☆ Re: 整数 / IT
厳密に帰納法を使わないかは疑問ですが
解の公式と、2項展開を使えば言えると思います。
No.70677 - 2020/11/05(Thu) 18:51:27
☆ Re: 整数 / jpgr
x、yが（本文にある実数ではなく）整数だったら、
x+yが偶数なので、x, yの偶奇は一致する。
xyが偶数なので、x, yは共に偶数。…といくのはどうですか？
No.70682 - 2020/11/05(Thu) 22:27:34
☆ Re: 整数 / URHANL
漸化式を登場させるので数学的帰納法そのものですが、以下。

Z[n] = x^n +y^n

としたときに、

Z[n+2] = (x+y)*Z[n+1] -x*y*Z[n]
Z[1] = (x+y) ≡ 0 (mod 2)
Z[2] = (x+y)^2 -2*x*y ≡ 0 (mod 2)

から

任意の n について Z[n] は偶数といえると思います。

ただ、上記をみると、 x*y は偶数である必要はなくて、整数であればよいらしいのでとまどっています。


※ x*y がたんなる整数ではなく偶数であることをうまく利用することで数学的帰納法を使わなくてもよくなる示し方があるものなのでしょうか？
No.70695 - 2020/11/06(Fri) 14:18:30
☆ Re: 整数 / URHANL
>実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.このとき,自然数nに対してx^n+y^nは偶数になることを示せ。

>この問題を数学的帰納法を用いずに解く事は可能ですか？


（みかけ上では数学的帰納法の香りをかなり消せるかもしれません。以下はあらすじです。）

【１】n が奇数のとき

m を 3 以上の奇数とします。
x と y についての多項式 Q(x,y) があって
x^m +y^m = (x +y)*Q(x,y)
と因数分解できます。
ここで Q(x,y) は対称式となります。よって、ふたつの基本対称式
x +y
x*y
からなる多項式があってこれと等しくなります。仮定より x +y も x*y も整数ですから、 Q(x,y) もまた整数となります。
整数 Q(x,y) に、偶数であるところの x +y を乗じた x^m +y^m は偶数です。


【２】n が 2 の冪乗のとき。
自然数 k があって
n = 2^k
とできます。

x^(2^k) +y^(2^k) = (x^(2^(k-1)))^2 +(y^(2^(k-1)))^2
≡ (x^(2^(k-1)))^2 +2*(x^(2^(k-1)))*(y^(2^(k-1))) +(y^(2^(k-1)))^2
≡ (x^(2^(k-1)) +y^(2^(k-1)))^2 ≡ x^(2^(k-1)) +y^(2^(k-1)) (mod 2)
となります。自乗しても偶奇は不変ですので。


ゆえに
x^(2^k) +y^(2^k) ≡ x^2 +y^2 (mod 2)
となります。

x^2 +y^2 = (x +y)^2 -2*x*y ≡ (x +y)^2 ≡ x +y (mod 2)
ですから、
x^2 +y^2 は偶数、従って
x^(2^k) +y^(2^k) もまた偶数です。


【３】n が 2 の冪乗以外の 偶数のとき。

m,k は今までと同じ定義とします。
n = m*2^k
と書けます。

x^(m*2^k) = (x^m)^(2^k)
ですから、

x^(m*2^k) +y^(m*2^k) = (x^m)^(2^k) +(y^m)^(2^k)

ここで
X=x^m
Y=y^m
と置き換えれば
x^(m*2^k) +y^(m*2^k) = X^(2^k) +Y^(2^k)
となる。
X +Y が偶数ならば 【２】の結果より、x^(m*2^k) +y^(m*2^k) もまた偶数となる。
X +Y が偶数かどうか調べると、
x^m +y^m
は【１】より偶数であったので、結局、
x^(m*2^k) +y^(m*2^k)
は偶数である。


【１】【２】【３】より、任意の正の自然数 n について、 x +y が偶数、 x*y が整数であるならば、
x^n +y^n は偶数とわかる。


※【２】のステップでもう少し数学的帰納法臭を消せればよいのですけれども力つきました。 orz
No.70718 - 2020/11/07(Sat) 17:49:06
☆ Re: 整数 / URHANL
あー。

任意の正の自然数 n について、 x +y が偶数、 x*y が【奇数】であるならば、
x^n +y^n は偶数とわかります。

なんとならば
x^(n+2) +y^(n+2) -(x^n +y^n)
= (x +y)*(x^(n+1) +y^(n+1)) -(x*y +1)*(x^n +y^n)
で右辺が偶数であることは《ほとんど》明らかであるので、
x^(n+2) +y^(n+2) と x^n +y^n とは偶奇が一致しています。

n が奇数のときには
x^(n+2) +y^(n+2) は x +y と偶奇が一致していますので偶数です。

n が偶数のときには
x^(n+2) +y^(n+2) は x^2 +y^2 と偶奇が一致しています。
x^2 +y^2 = (x +y)^2 -2*x*y
ですから、x^2 +y^2 は偶数です。
No.70732 - 2020/11/07(Sat) 23:29:18
☆ Re: 整数 / URHANL
> 実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.このとき,自然数nに対してx^n+y^nは偶数になることを示せ。

この問題を数学的帰納法を用いずに解く事は可能ですか？


これまでいろいろと書いてきましたけれども、とどのつまり、以下のようなものも１つのやり方になろうかと存じます。

対称式の基本定理を使います。

対称式の基本定理：　どんな対称式も基本対称式の和・差・積の組み合わせで表せる

x^n +y^n は
２変数 x, y についての対称式ですから、ふたつの基本対称式、 x +y, x*y の和、差、積で表せます。
仮定より、 x +y も x*y も偶数ですから、これらの和、差、積もまた偶数です。

ゆえに x^n +y^n もまた偶数です。
No.70813 - 2020/11/10(Tue) 19:19:34
★ 数学的帰納法 / 狭山
数列{an}の初項a1から第ｎ項anまでの和をSnと表す.
この数列がa1=0, a2=1 ,(n-1)^2an=Sn (n≧1)を満たすとき,一般項anを求めよ.
という問題を数学的帰納法を用いて解くことはできるでしょうか？
No.70674 - 2020/11/05(Thu) 17:00:22
☆ Re: 数学的帰納法 / 元中3
この問題に限らず、
第1項から具体的に求めていって、一般項を推測し、その推測が正しければ数学的帰納法をもちいれば推測が正しいことを示せます。
ただ、わざわざ数学的帰納法を用いて議論するような問題ではないですね。(記述が多少面倒くさい)
なお、推測の程度(きちんと構造を捉えた上での推測なのか単なる当てずっぽうの推測なのか)にも因りますが、必ずしも漸化た式で定義された全ての数列の一般項が簡単に推測できるというわけではありません。
No.70675 - 2020/11/05(Thu) 17:58:46
★ これ教えてください / さる
途中まで解いたので見ていただきたいのと、【4】番教えてください
No.70670 - 2020/11/05(Thu) 13:49:22
☆ Re: これ教えてください / さる
2枚目です。
No.70671 - 2020/11/05(Thu) 13:50:01
☆ Re: これ教えてください / さる
ここからが自分の回答です
No.70672 - 2020/11/05(Thu) 13:50:33
☆ Re: これ教えてください / さる
最後の4番分からなかったです。場合分けですかねぇ。。
No.70673 - 2020/11/05(Thu) 13:51:08
☆ Re: これ教えてください / ヨッシー
詳しくは見ていませんが、とりあえず［２］は違いますね。
あと、［４］は多分、場合分けはいらないと思います。
高さで言うと、上に伸びるのと、斜めに伸びるのとで、
伸びる量はどちらも、直前の１/２倍なので。
No.70686 - 2020/11/06(Fri) 00:25:11
☆ Re: これ教えてください / ヨッシー
[1] は正しいようです。
[2][3] はいずれも、０から始まるという点で数え間違いをしているようです。
[4] の解答を載せておきます。

[4]
Ｈn＝Ｈ0＋(1/2)Ｈ0＋(1/4)Ｈ0＋…(1/2)^n・Ｈ0
　　＝Ｈ0(1＋1/2＋1/4＋…＋1/2^n)
　　＝(2−1/2^n)Ｈ0
　　＝(2−1/2^n)(2＋√2)a/2
　　＝{1−1/2^(n+1)}(2＋√2)a
Ｗn＝Ｗ0＋2(Ｈn−Ｈ0)
　＝Ｗ0＋2(1−1/2^n)Ｈ0
　＝(√2)a＋2(1−1/2^n)(2＋√2)a/2
　＝(√2)a＋(1−1/2^n)(2＋√2)a

Ｈn, Ｗn をそれぞれ
　Ｈn＝{1−1/2^(n+1)}(2＋√2)a
　　＝{2＋√2−1/2^n−√2/2^(n+1)}a
　Ｗn＝(√2)a＋(1−1/2^n)(2＋√2)a
　　＝{2＋2√2−1/2^(n-1)−√2/2^n}a
まで展開するかは好き好きです。
No.70693 - 2020/11/06(Fri) 09:49:24
★ (No Subject) / pinkpocket
自然数nに対し、√nに最も近い整数をａnとする.
(1)ｍを自然数とするとき、ａn＝ｍとなる自然数nの個数をｍを用いて表せ.
(2)Σk=1→2001(ａk)を求めよ.

この写真の解法より早い方法はありますか？
No.70668 - 2020/11/05(Thu) 10:58:34
☆ Re: / らすかる
a[k]=mを満たす項a[k]をまとめて第m群とする.
√2001≒√2000=20√5≒44.7、44.5^2=1980.25だからa[2001]は第45群の21番目。
（∵44.7を四捨五入すると45、1980.25より大きい最小の整数は1981なので2001-1981+1=21）
したがって，（以降同じ）
No.70678 - 2020/11/05(Thu) 19:48:31
☆ Re: / pinkpocket
ありがとうございます。
No.70680 - 2020/11/05(Thu) 20:56:23
★ (No Subject) / 天才
pを素数とする。
関数f(p)=p^(1/(p-1))と定めたとき、
Σf(p)は正の無限大に発散することを示せ。
No.70664 - 2020/11/05(Thu) 06:44:17
☆ Re: / らすかる
条件からf(p)＞1でありpは無限個あるから、Σf(p)=∞。
No.70666 - 2020/11/05(Thu) 06:49:32
★ (No Subject) / 天才
sinxsinysinz=1を満たすxyzの取りうる範囲を求めよ。
No.70663 - 2020/11/05(Thu) 06:35:02
☆ Re: / らすかる
-1≦sinx,siny,sinz≦1なので
sinx=siny=sinz=1 または
sinx=1,siny=sinz=-1 または
siny=1,sinz=sinx=-1 または
sinz=1,sinx=siny=-1
よって
「x=(4p+1)π/2 かつ y=(4q+1)π/2 かつ z=(4r+1)π/2」 または
「x=(4p+1)π/2 かつ y=(4q-1)π/2 かつ z=(4r-1)π/2」 または
「x=(4p-1)π/2 かつ y=(4q+1)π/2 かつ z=(4r-1)π/2」 または
「x=(4p-1)π/2 かつ y=(4q-1)π/2 かつ z=(4r+1)π/2」
（p,q,rは任意の整数）
なので、xyzがとる範囲は
xyz=(4n+1)π^3/8（nは任意の整数）
No.70665 - 2020/11/05(Thu) 06:48:08
☆ Re: / 天才
素晴らしいです。
No.70687 - 2020/11/06(Fri) 04:10:05
★ (No Subject) / あ
(独立集合の性質)
ベクトル空間 W に属する二つのベクトルの集合 X := {x1, . . . , xr}
と Y := {y1, . . . , ys} がいずれも一次独立であり、かつ X のサイズ
が Y より小さい (r < s) ならば、Y \ X に属する少なくとも一つの
ベクトル y について集合 X ∪ {y} = {x1, . . . , xr
, y} は再び一次独立。
レポート課題 7
先程証明した定理 (言明:ベクトル空間 V の全ての基底のサイズは
同一である。) を用いて、上記の系 (独立集合の性質) を証明せよ。
No.70659 - 2020/11/04(Wed) 22:34:35
★ (No Subject) / 数学者
統計学の質問です。

分布が左右対称であるとき、偏差値70以上のひとは全体の何分の一以下か。

よろしくお願いします。
No.70655 - 2020/11/04(Wed) 20:30:56
☆ Re: / URHANL
正しく問わないと回答がつかないのではないかと危惧いたします。

生意気申しました。失礼いたしました。
No.70658 - 2020/11/04(Wed) 22:19:19
★ (No Subject) / いいいい
nを自然数とする。 |x|+|y|+|z|≦n となる3つの整数の組(x,y,z)の個数を求めよ.

答えは(1/3)(2n+1)(2n^2+2n+3)です。

この問題を立体的に解くことは可能ですか？
No.70653 - 2020/11/04(Wed) 18:36:28
☆ Re: / らすかる
求める個数は、6頂点が(±n,0,0),(0,±n,0),(0,0,±n)である
正八面体の表面及び内部に含まれる格子点の個数です。
中心の1点から1次元ずつ増やしていけば、
零次元のとき、格子点の個数は1個
一次元のとき、格子点の個数は2{Σ[k=0〜n]1}-(1)=2n+1個
二次元のとき、格子点の個数は2{Σ[k=0〜n]2k+1}-(2n+1)=2n^2+2n+1個
三次元のとき、格子点の個数は2{Σ[k=0〜n]2k^2+2k+1}-(2n^2+2n+1)
=(2n+1)(2n^2+2n+3)/3個
のように求められます。
No.70654 - 2020/11/04(Wed) 18:48:42
☆ Re: / いいいい
すいません、なぜ2×（1次元前のkが0〜nまでの時の和）-（1次元前の総和）で求める事ができるのですか？
No.70656 - 2020/11/04(Wed) 20:55:00
☆ Re: / らすかる
この正八面体をxy平面(z=0)で切ると
◇←この形をしていますよね。
この形に含まれる格子点は、
x=0のとき y=-n〜n の 2n+1個
x=±1のとき y=-(n-1)〜n-1 の 2(n-1)+1個
x=±2のとき y=-(n-2)〜n-2 の 2(n-2)+1個
・・・
x=±nのとき y=0 の 1個
のようになっています。
つまりx≧0の部分は一次元の場合の2k+1をk=0〜nまで合計したもの、
x≦0の部分もk=0〜nまで合計したもので、これを合わせると
x=0の分(2n+1個)がダブルカウントされますので引きます。
よって一次元の2n+1から
2{Σ[k=0〜n]2k+1}-(2n+1)という式で二次元の式になりますね。
二次元から三次元の場合も、z=0のときx,yとも±nまで、
z=±1のときx,yとも±(n-1)まで、・・・のように
全く同様になっていますので、
2{二次元の式の0〜nの総和}-{二次元のnの式}
で三次元の式が求まることになります。
No.70657 - 2020/11/04(Wed) 21:30:08
☆ Re: / いいいい
ありがとうございます。すみません、あつかましく聞きますが、この問題はnの式の因数分解がなかなか大変なので計算の工夫なども教えていただけたらありがたいです。
No.70661 - 2020/11/04(Wed) 23:16:29
☆ Re: / らすかる
例えば
2{Σ[k=0〜n]2k^2+2k+1}-(2n^2+2n+1)
=2{2n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2+n+1}-(2n^2+2n+1)
=2{n(n+1)(2n+1)/3+n(n+1)+n+1}-(2n^2+2n+1)
=2{n(n+1)(2n+1)/3+n^2+2n+1}-(2n^2+2n+1)
=2n(n+1)(2n+1)/3+2n^2+4n+2-(2n^2+2n+1)
=2n(n+1)(2n+1)/3+2n+1
=(2n+1){2n(n+1)/3+1}
=(2n+1){2n(n+1)+3}/3
=(2n+1)(2n^2+2n+3)/3

# 全部バラしたら大変です。一部バラして項を減らすなどの工夫をしましょう。
No.70662 - 2020/11/05(Thu) 00:26:25
☆ Re: / いいいい
ありがとうございます。
No.70667 - 2020/11/05(Thu) 08:58:15
★ (No Subject) / すう学
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に点Pをとり，円の内部または周上に2点Q，Rを，△PQRが1辺の長さ2/√3の正三角形になるようにとる．このとき，OQ^2+OR^2の最大値および最小値を求めよ．

この問題をP(1,0),Q(a,b)R(c,d)((a,b)(c,d)はx^2+y^2<=1を満たす)と置いて解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。この方針で解くことは可能ですか？
No.70647 - 2020/11/03(Tue) 23:34:13
☆ Re: / ヨッシー
その方針だと、△ＰＱＲが正三角形であることを表すのが大変かと思います。

むしろ、Ｐを原点にして、△ＰＱＲを回転させるのはどうでしょう？
上の図の状態で最小。
下の図の状態で最大となります。

No.70650 - 2020/11/04(Wed) 09:01:51
★ 指数対数 / くもい
5の(1)(2)がわかりません
わかる方お願いします
No.70644 - 2020/11/03(Tue) 20:58:03
☆ Re: 指数対数 / IT
対数の底を揃えて､
log[3](・・・)=log[3](・・・) の形にして､真数＞0に注意して条件を求めればいいと思います。
No.70646 - 2020/11/03(Tue) 22:42:02
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