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★ 高校数学の問題について / たく
f(x)＝x^3-6x^2+9x-1とおく。

kを正の定数とする。方程式f(x)＝k　がちょうど２個の異なる実数解をもつように、kの値を定めよ。

この解き方を教えてください。

No.69665 - 2020/09/21(Mon) 12:44:16
☆ Re: 高校数学の問題について / IT
まず、f(x) の極大値と極小値を求めて、y=f(x)のグラフの概形を描きます。

y=f(x)のグラフと、直線y=kがちょうど２個の共有点を持つような正数kが求めるkです。
No.69666 - 2020/09/21(Mon) 12:49:18
☆ Re: 高校数学の問題について / たく
これで合っていますでしょうか？
No.69669 - 2020/09/21(Mon) 13:38:03
☆ Re: 高校数学の問題について / たく
上記問題の追加お願いします。

直線y=kと曲線y=f(x)で囲まれた部分の
面積を求めよ。

解き方を教えてください。
No.69671 - 2020/09/21(Mon) 13:41:55
☆ Re: 高校数学の問題について / らすかる
k=3, k=-1 は正しくありません。問題をよく読みましょう。
また、グラフの概形で原点より上側を通るのはいただけません。
y軸との交点を出すのは簡単ですから、きちんと(0,-1)を通るように描きましょう。
No.69672 - 2020/09/21(Mon) 14:41:16
★ ()でくくられた計算の順番について / あああああ
((x + h)^3 - x^3) / ((x + h) - x)という式が
(3hx^2 + 3xh^2 + h^3) / h　←の式に置き換わりました。
分子の部分は理解できたのですが、((x + h) - x)←の部分が
()が囲われているにも関わらず、 x - x が先に計算されています。この()が先に計算される概念を打ち破った公式がどういう公式名なのか 自分で勉強したいので是非聞きたいのです！
No.69663 - 2020/09/21(Mon) 11:17:29
☆ Re: ()でくくられた計算の順番について / 劣等生き物
加法についての交換法則およびに結合法則を適用しただけです。

(x + h) - x
の括弧内に交換法則を使うと
(x + h) - x
= (h + x) - x
となります。

結合法則を使うと、
(h + x) - x
= h + (x - x)
となります。

ゆえに、
(x + h) - x
= h
です。

さて。

>この()が先に計算される概念を打ち破った公式がどういう公式名なのか

公式ではなく加法の性質ですね。
No.69668 - 2020/09/21(Mon) 13:34:56
☆ Re: ()でくくられた計算の順番について / 劣等生き物
> 加法についての交換法則およびに結合法則を適用しただけです。
>

以下のページが参考になるかもしれません。

【中１数学】交換法則・結合法則の意味とは？

https://asunaro-a.com/tips/how-to-study-jhs/13613/

以上です。
No.69670 - 2020/09/21(Mon) 13:40:27
☆ Re: ()でくくられた計算の順番について / あああああ
ありがとうございます！
勉強してみます！
No.69673 - 2020/09/21(Mon) 16:18:09
★ 2円の交点の問題について / しょう
3番の問題で点と直線の距離で解くのは分かったのですがなぜ円1ではなく円2を使うのでしょうか？そこを教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.69659 - 2020/09/21(Mon) 10:35:15
☆ Re: 2円の交点の問題について / ヨッシー
別にどちらの円でも構いません。
ちなみに、円?@を使うと、
円?@は中心(1, -2)、半径√5 なので、
直線?Cとの距離をｄとすると
　ｄ＝11/4√2
　ＰＱ^2＝4(5−121/32)＝39/8
　ＰＱ＝√78/4
と同じ結果になります。
No.69674 - 2020/09/21(Mon) 16:37:28
☆ Re: 2円の交点の問題について / しょう
なるほど！どちらの円を使ってもよいのですね！勉強になりました！ありがとうございます！
No.69676 - 2020/09/21(Mon) 18:32:55
★ (No Subject) / トンボ
なぜ(1)の数列はしょこうが0になる場合は考えなくていいのですか？
No.69658 - 2020/09/21(Mon) 10:26:33
☆ Re: / らすかる
初項が0になる場合は2x-3=0すなわちx=3/2ですから、1＜x≦2の範囲に含まれています。
No.69660 - 2020/09/21(Mon) 10:40:20
☆ Re: / トンボ
なるほど！ありがとうございます！
No.69667 - 2020/09/21(Mon) 12:50:26
★ (No Subject) / はぴねす
8616を自然数nで割ると、商がaであまりがr、
5844を自然数nで割ると、商がbであまりがrであった。
nの最小値と最大値を求めなさい。
No.69653 - 2020/09/21(Mon) 01:04:51
☆ Re: / らすかる
最小値は明らかに1ですね。
最大値は8616-5844=2772です。

# 差が2772であることから、2772で割れば余りが等しくなり、
# 2772より大きい値で割ると余りが等しくならないことがわかります。

# もし式を立てた方がよいのであれば、条件からan+r=8616, bn+r=5844なので
# 2式の差をとって(a-b)n=2772、よってnは2772の約数
# のようにすればできますね。
No.69654 - 2020/09/21(Mon) 01:13:21
☆ Re: / はぴねす
最大値はわかったんですが、あまりrは1以上じゃなきゃダメみたいです。
言葉足らずでごめんなさい。
No.69655 - 2020/09/21(Mon) 01:20:09
☆ Re: / らすかる
8616と5844の最大公約数は12なので、余りが1以上になるためには
2772の約数であって12の約数でない最小の数、すなわち7が最小値となります。
No.69656 - 2020/09/21(Mon) 02:18:17
★ 回転体問題 / カテウ
〔１〕
?@(x^2)+2(y^2)=3をy軸回転した領域
{範囲:(-√3)≦x≦(√3)}の体積V(1)を求めよ。
?Ay=(1/4){(x^2)+1}をy=xで斜軸回転した領域
{範囲:(2-√3)≦x≦(2+√3)}の体積V(2)を求めよ。
?B?@,?Aの立体が重なった領域の体積V(3)を求めよ。
　
この問題の?B番の計算方法と答えが分かりません。?@から?Bまで解くのには相当時間がかかると思います。一緒に考えて頂ける方ご教授願います。
No.69649 - 2020/09/21(Mon) 00:26:37
☆ Re: 回転体問題 / IT
面倒そうですね。
?@の軸に垂直な平面での断面を考えるか
?Aの軸に垂直な平面での断面を考えるか
その他かですかね

図や出来たとこまでは載せられたほうが、回答が着きやすいと思いますよ。

出典は何ですか？
No.69675 - 2020/09/21(Mon) 17:18:32
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
遅れてしまいすみません。返信ありがとうございます。出典は私の通う難関校大学の恩師からの問題です。?@,?A問は高校生の範囲で解ける問題でしたので30分以上はかかりましたが解けました。ですが?Bは恩師には難問といわれ、詳しく話しますと、?@?Aのグラフが重なった場所、つまり楕円とラグビー型の立体が重なった場所を求める問題で、図を詳しく描くと大変だと言われ、ジオグラフィなどで図を描くことを勧められました。自分でも試行錯誤してみたのですが解き方が本当に分からずこの掲示板の凄腕さんに相談しにきました。かなり難問だと思いますが一緒に考えて下さると助かります。
No.69677 - 2020/09/21(Mon) 19:44:43
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
返信ありがとうございます！
ちなみに私が計算した所(計算間違えしてなければ)?@は2(√6)π^2、?Aは{(3√6)/10}πになりました。AとBに代入して送ってもらった通りに詳しく考えてみます。恩師もいろんな方法があるとおっしゃっていましたが...やはり数学は面白いですね！
No.69685 - 2020/09/21(Mon) 23:59:57
☆ Re: 回転体問題 / 関数電卓
ごめんなさい。計算ミスがあったので，ひとつ上のレスを消去してしまいました。こんなに早くリアクションがあると思わなかった。明日（以降）計算を修正し再度書き込みます。
No.69686 - 2020/09/22(Tue) 00:07:10
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
返信ありがとうございます。明日も詳しく考えて見ます！色々お掛けして申し訳ありません。感謝しても仕切れません。
No.69687 - 2020/09/22(Tue) 00:23:27
☆ Re: 回転体問題 / 関数電卓
原点 O を通り xy 平面に垂直に（手前向きに）z 軸をとります。

　楕円 x^2＋2y^2＝3，z＝0 …(1) を y 軸の回りに回転した回転楕円体は
　x^2＋2y^2＋z^2＝3 …(2)
　放物線 y＝(1/4)(x^2＋1)，z＝0 …(3)

(2)(3)を
　x＝(1/√2)(X−Y)，y＝(1/√2)(X＋Y)，z＝Z …(4)
で z 軸の回りに45°回転すると

　楕円体 3X^2＋2XY＋3Y^2＋2Z^2＝6 …(5)
　放物線 4√2(X＋Y)＝X^2−2XY＋Y^2＋2
　　Y について解いて Y＝X＋2√2−√(8√2X＋6 …(6)
(6)を X 軸の回りに回転すると
　回転放物面 Y^2＋Z^2＝(X＋2√2−√(8√2X＋6))^2 …(7)

平面 X＝k と(5)(7)の交線は
　楕円 3(Y＋k/3)^2＋2Z^2＝6−8k^2/3 …(8)
　円　 Y^2＋Z^2＝(k＋2√2−√(8√2k＋6))^2 …(9)

求める立体の体積は，(8)(9)両方の内部を積分すれば求まりますが，これは容易ではなさそうです。
No.69694 - 2020/09/22(Tue) 10:05:24
☆ Re: 回転体問題 / カテウ
返信ありがとうございます！
とても細かくまとめてくださり...さぞ打つの大変だったでしょう。どうお礼すれば...すみません！私も関数電卓さんに教わった通りに積分...し詳しく最後まで解いてみます！本当にありがとうございます。
No.69696 - 2020/09/22(Tue) 10:18:49
★ 整数問題 / はやしん
m,nを自然数とするとき、√(26^4-10^4)=m√nを満たす最小nを求めなさい。

この問題の解き方を教えてください。
No.69647 - 2020/09/20(Sun) 23:55:44
☆ Re: 整数問題 / IT
26^4-10^4　を計算して素因数分解すればいいですが
出来るだけ計算を楽にし、途中で k^2 の形を分け出して行くといいと思います。

26^4-10^4=(2^4)(13^4-5^4)
=(4^2)(13^2+5^2)(13^2-5^2)
=(4^2)(169+25)(169-25)
=(4^2)*194*144

144=12^2 です。
後は194 を素因数分解すれば分ると思います。
No.69648 - 2020/09/21(Mon) 00:07:41
☆ Re: 整数問題 / はやしん
26^4-10^4=(26+10)^2*(26-10)^2
って風にはできないんですかね？
No.69650 - 2020/09/21(Mon) 00:29:49
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(26+10)^2*(26-10)^2={(26+10)(26-10)}^2
=(26^2-10^2)^2
=26^4+10^4-2*26^2*10^2
≠26^4-10^4
です。
もしa^2-b^2=(a+b)(a-b)を使うのであれば
26^4-10^4=(26^2+10^2)*(26^2-10^2)
=2^2*(13^2+5^2)*(26+10)*(26-10)
=2^2*194*36*16
=2^2*194*6^2*4^2
=194*(2*6*4)^2
=194*48^2
のようになります。
No.69651 - 2020/09/21(Mon) 00:53:07
☆ Re: 整数問題 / はやしん
なるほど！ありがとうございます！
No.69652 - 2020/09/21(Mon) 01:03:16
★ (No Subject) / かんな
37で割り切れるフィボナッチ数を求めてください
No.69635 - 2020/09/20(Sun) 14:52:08
☆ Re: / 関数電卓
　a(1)＝1, a(2)＝1, a(n＋2)＝a(n＋1)＋a(n)
として，エクセルで計算した結果，
　a(19)＝ 4,181 ＝37*113
　a(38)＝39,088,169 ＝37*113*9349
を見つけました。これより先はエクセルの通常の精度では難しく，マクロを組む必要があるようです。（素因数を書き加えました。）
No.69638 - 2020/09/20(Sun) 19:17:18
☆ Re: / 劣等生き物
> 　a(1)＝1, a(2)＝1, a(n＋2)＝a(n＋1)＋a(n)
> として，エクセルで計算した結果，
> 　a(19)＝ 4,181
> 　a(38)＝39,088,169
> を見つけました。これより先はエクセルの通常の精度では難しく，マクロを組む必要があるようです。


a(57)＝ 365,435,296,162 = 2*37*113*797*54833

a(76)＝ 3,416,454,622,906,707 = 3*37*113*29134601*9349

a(95)＝ 31,940,434,634,990,099,905 = 5*37*113*761*6773500*29641



19,38,57,76,95,...

はて！？
No.69639 - 2020/09/20(Sun) 19:51:40
☆ Re: / 関数電卓
> はて！？
ここまでだけなら
初項 19, 公差 19 の等差数列ですね。
No.69640 - 2020/09/20(Sun) 20:12:46
☆ Re: / IT
mod(37) で考えると
(a(0)≡0),a(1)≡1,a(2)≡1
a(19)≡0,a(20)≡31,a(21)≡31
a(38)≡0,a(39)≡-1,a(40)≡-1
a(57)≡0,a(58)≡-31,a(59)≡-31

と周期性がありますね。
No.69642 - 2020/09/20(Sun) 20:41:16
☆ Re: / らすかる
mod37で考えると
1,1,2,3,5,8,13,21,34,18,15,33,11,7,18,25,6,31,0,
31,31,25,19,7,26,33,22,18,3,21,24,8,32,3,35,1,36,0,
36,36,35,34,32,29,24,16,3,19,22,4,26,30,19,12,31,6,0,
6,6,12,18,30,11,4,15,19,34,16,13,29,5,34,2,36,1,0,
1,1,…　（各行19項ずつ）
となっていますので、「nが19の倍数」⇔「a[n]≡0 (mod 37)」です。
No.69643 - 2020/09/20(Sun) 20:45:03
☆ Re: / IT
このサイトで以前にフィボナッチ数列についての質問があり、下記の回答をしましたが過去ログになっているようです。

a[1]=a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]+a[n](nは任意の自然数)なる数列について

一般に、３以上の自然数rと任意の自然数m について　a[mr]≡0(mod a[r]) です。

m=1 のとき成立

m=k のとき　a[kr]≡0(mod a[r]) と仮定する。
　　t=a[kr+1]とおく

　b[s]=a[kr+s] とおくと　b[1]≡b[2]≡t(mod a[r]) ,b[n+2]=b[n+1]+b[n] なので
　b[n]≡ta[n](mod a[r])
よって　b[r]≡ta[r]≡0(mod a[r])
すなわち　a[kr+r]≡a[(k+1)r]≡0(mod a[r])

したがって任意の自然数mについて　a[mr]≡0(mod a[r])

r=19 とすると　a[19m]≡0(mod 37*113)

No.69644 - 2020/09/20(Sun) 21:20:14
☆ Re: / 劣等生き者
答えが出た今、完全に余談に過ぎませんが。

OEIS の
A001175 Pisano periods (or Pisano numbers): period of Fibonacci numbers mod n
が関連深いと思いまして。

少々遊んだのですが、
c(n) = A001175(n)
とし、また、π(n)をn番目の素数としたときに。

c(π(n))について考えると

2 3 = 3 -1
3 8 = 3*2 +2
5 20 ????
7 16 = 7*2 +2
11 10 = 11 -1
13 28 = 13*2 +2
17 36 = 17*2 +2
19 18 = 19 -1
23 48 = 23*2 +2
31 30 = 31 -1
37 76 = 37*2 +2
41 40 = 41 -1

…… となっていまして、パターン認識としては、なんとも不思議な景色です。

?@π(n) が 1 ないし 4 に合同（５を法として）
と
?Aπ(n) が 2 ないし 3 に合同（５を法として）
と
?Bπ(n) が 0 に合同（５を法として）
とに分類できそうですね。

2 3 = 3 -1
3 8 = 3*2 +2
5 20 ????
7 16 = 7*2 +2
11 10 = 11 -1
13 28 = 13*2 +2
17 36 = 17*2 +2
19 18 = 19 -1
23 48 = 23*2 +2
31 30 = 31 -14
37 76 = 37*2 +2
41 40 = 41 -1
No.69645 - 2020/09/20(Sun) 23:38:39
☆ Re: / 劣等生き者
A001175(29)=14

というのが
さきほどの観察、
「?@π(n) が 1 ないし 4 に合同（５を法として）
と
?Aπ(n) が 2 ないし 3 に合同（５を法として）
と
?Bπ(n) が 0 に合同（５を法として）
とに分類」

の反例になっていました。すみませんでした。
No.69646 - 2020/09/20(Sun) 23:44:16
☆ Re: / かんな
先ほどR言語でも
>a=1;b=1
>while(b<10000){c=a+b;if(c%%37==0){print(c);break}
+else{a=b;b=c}}
で出せました！
modでのやり方などまったく分からなかったので助かりました
No.69661 - 2020/09/21(Mon) 11:04:55
★ (No Subject) / 飯島
赤でかこったところってなんで符号かわっているのですか？？
No.69628 - 2020/09/20(Sun) 13:36:53
☆ Re: / ヨッシー
cos(2x)のとりうる値を考えると分かります。

簡単に言うと
　|１−２|＝２−１
となるのと同じです。
　|１−２|＝１−２
ではおかしいですよね？
No.69629 - 2020/09/20(Sun) 13:39:47
☆ Re: / 飯島
こういうことですか？？0になるときもあるけど−をつけて外すのですか？？
No.69632 - 2020/09/20(Sun) 14:06:25
☆ Re: / 飯島
これをみると必ずふになるわけではないから−をつけて外すべきなのかわかりません
No.69633 - 2020/09/20(Sun) 14:31:26
☆ Re: / ヨッシー
テキストの肩を持つなら、それは絶対値の性質であって、
絶対値記号の外し方ではありません。

絶対値の外し方を厳密に書くと
　ａ＞０　のとき　|ａ|＝ａ
　ａ＜０　のとき　|ａ|＝−ａ
　ａ＝０　のとき　|ａ|＝ａ、|ａ|＝−ａ　のどちらでもよい
です。
ただし、ここまで書いてあるテキストは多分ありません。
自分で考察すべきものだからです。
No.69636 - 2020/09/20(Sun) 14:58:31
☆ Re: / 飯島
なるほど！詳しくありがとうございます！！
No.69637 - 2020/09/20(Sun) 17:56:07
★ 数学?V 極限 / kitano
kitanoです 数学?V 極限

こんにちは、何卒

宜しくお願いいたします。

問題
No.69626 - 2020/09/20(Sun) 13:13:32
☆ Re: 数学?V 極限 / IT
（略解）
s=sinθ,c=cosθと略記します。

c=s=1/√2 のとき　0
|c|＜s のとき　(1-(c/s)^n)/(1+(c/s)^n) →1 (n→∞)
|c|＞s のとき　((s/c)^n-1)/((s/c)^n+1) →-1 (n→∞)
No.69634 - 2020/09/20(Sun) 14:48:50
☆ Re: 数学?V 極限 / kitano
IT 様　こんにちは

ご回答有難うございます。

私は次のようにときました。

ご意見頂けると幸いです。


kitano
No.69657 - 2020/09/21(Mon) 08:43:21
★ 数学の範囲の抑え方について。 / YUKI
数学の範囲の抑え方について。何卒よろしくお願いします。

x=yまたはy=zまたはz=x………?@
x≦y≦z　　　　　　　　 ………?A

?@と?Aより、3通りの場合分けをせよ。という問題です。

理由も合わせて教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.69619 - 2020/09/20(Sun) 12:27:12
☆ Re: 数学の範囲の抑え方について。 / ヨッシー
?Aを不等号の種類で場合分けすると
　ｘ＝ｙ＝ｚ
　ｘ＝ｙ＜ｚ
　ｘ＜ｙ＝ｚ
　ｘ＜ｙ＜ｚ
の４通りですが、この中で条件を満たさないものが１つあります。

それを除いて３通りです。
No.69620 - 2020/09/20(Sun) 12:30:42
☆ Re: 数学の範囲の抑え方について。 / YUKI
ありがとうございます。

x<y<zが?@の条件を満たさないですね。

何はともあれ?Aを4通りに分解して考える、

という事ですね。勉強になります。
No.69621 - 2020/09/20(Sun) 12:39:09
☆ Re: 数学の範囲の抑え方について。 / YUKI
すみません、もう一つだけお聞きしていいですか？

教えていただいたx=y<zとx<y=zはx=y≦zとx≦y=zとするべきか

しないべきかを教えていただけないでしょうか？
No.69623 - 2020/09/20(Sun) 12:53:51
☆ Re: 数学の範囲の抑え方について。 / IT
横から失礼します。
x=y≦zとx≦y=zとすると　ｘ＝ｙ＝ｚが両方に含まれてしまいます。
３つに分けろということですから
互いに重なり合う部分がないように３つに場合分けすべきと思います。
No.69624 - 2020/09/20(Sun) 13:05:39
☆ Re: 数学の範囲の抑え方について。 / YUKI
IT　様

いつもありがとうございます！
No.69625 - 2020/09/20(Sun) 13:12:55
★ (No Subject) / 飯島
赤で囲った部分が問題の解説なのですが、解説のかなで緑にラインを引いた部分は下に手書きでかいたような計算になると思うのですか絶対値の場合わけはいらないのですか？？
No.69617 - 2020/09/20(Sun) 11:47:35
☆ Re: / らすかる
log|x+1|の微分は1/|x+1|ではなく1/(x+1)です。
No.69618 - 2020/09/20(Sun) 12:01:32
☆ Re: / 飯島
そうでした！笑
ありがとうございます
No.69627 - 2020/09/20(Sun) 13:32:27
★ 証明 / ヤマダ
この大門の解説お願いします
No.69613 - 2020/09/20(Sun) 00:24:19
☆ Re: 証明 / ヨッシー
図１および（おそらく存在するであろう）[問１]が明らかでないと
何とも言えません。

それに「大門」とは何ですか？
No.69630 - 2020/09/20(Sun) 13:48:21
★ 行列の漸化式 / あか
(3)の問題を教えてください。
No.69609 - 2020/09/19(Sat) 13:51:07
☆ Re: 行列の漸化式 / あか
この画像の式を帰納法で証明することが答えなのはわかるのですが、どうやって帰納法で証明するかわかりません。
No.69610 - 2020/09/19(Sat) 13:53:19
☆ Re: 行列の漸化式 / ast
(3) は (2) と同じ仕方で求まると思うのですが, (2) はどのように計算しましたか? (行基本変形で上三角にするとか, 好きな行 (または列) に沿って余因子展開するとか, ほかにも方法はあるかもしれませんが, そういうベタな方法をとっていればそれはそのまま (3) にも通用する機械的な操作のはずという意図で逆質問しています.)

# (3) を帰納的に求めるにしてもベースケースとしては (1) があれば十分なので,
# (2) はその感覚をつかむために用意された出題者の親切心のたぐいだと見ます.
No.69614 - 2020/09/20(Sun) 01:58:55
★ 大学生です。行列の微分について / ワイ
スカラーxと行列A,Bがあったとします。
x=f(A)
A=g(B)
という関係性があり、

∂x/∂B(ij)を求めたいのです。

そこで

∂x/∂B(ij) = (∂A/∂B(ij))*(∂x/∂A)

という形に合成関数とみなして分解できるかと思ったのですが、これだと左辺がスカラーで右辺が行列になってしまいます。

右辺を正しくスカラーにするためには、どのように考えたらいいのでしょうか。

教えていただけますと幸いです。
No.69605 - 2020/09/19(Sat) 12:06:24
☆ Re: 大学生です。行列の微分について / 関数電卓
> スカラー x と行列 A, B
> x＝f(A)
行列 A にスカラー x を対応させる関数 f とはどのようなものでしょうか？ 私は |A|, tr(A) くらいしか思い浮かばないのですが…
No.69611 - 2020/09/19(Sat) 17:39:52
☆ Re: 大学生です。行列の微分について / ワイ
> > スカラー x と行列 A, B
> > x＝f(A)
> 行列 A にスカラー x を対応させる関数 f とはどのようなものでしょうか？ 私は |A|, tr(A) くらいしか思い浮かばないのですが…

多変量正規分布での確率密度関数です。共分散行列が行列です。
No.69612 - 2020/09/19(Sat) 23:11:53
☆ Re: 大学生です。行列の微分について / ast
行列函数を行列変数で微分するみたいな多変数の話はよく知らない (定義すら把握してない) のであてずっぽうであることを先に謝っておきますが, もしかして ∂x/∂B = (∂A/∂B(ij))*(∂x/∂A) みたいな関係になっていて ∂x/∂B(ij) 各成分を比較してみればいい, というような単純な話だったりはしないですか?
No.69615 - 2020/09/20(Sun) 02:10:53
★ 両方を約分できるときの条件の確認 / あああああ
初心的な質問です。
画像にある x = (-2 * √8) / (2)
これらは 2　と　√8 (2√2) を 2で割っています。
結果 両方に割り算が適用されていますが、
ただこの式の場合本来なら片方を約分したら分母が1になって
2√2を約分できないと思います。
これができるのは a(b + c) のようなものが割り算でも適用されている　つまり (a + b) / c の時のみ両方に約分を適用できるという考えでいいのでしょうか?(()がついているとき
No.69604 - 2020/09/19(Sat) 12:04:51
☆ Re: 両方を約分できるときの条件の確認 / mathmouth
分数の計算をきちんと理解しましょう。
「両方を約分する条件」というか、逆に両方を約分しないと正しい計算ができません。
No.69607 - 2020/09/19(Sat) 13:44:01
☆ Re: 両方を約分できるときの条件の確認 / mathmouth
補足です。
> これができるのは a(b + c) のようなものが割り算でも適用されている　つまり (a + b) / c の時のみ両方に約分を適用できるという考えでいいのでしょうか?
これについては、a=1/cとなっているだけです。結局ただの掛け算の分配法則にすぎません。
(-2+2√2)÷2=(-2+2√2)×(1/2)=-1+√2
No.69608 - 2020/09/19(Sat) 13:49:59
★ 不等号の証明について / 舞
すみません。分かる方、教えて下さい。

(問題)
a>0 , b>0の時次の不等式を証明せよ。
(a+b)(1/a+1/b)≧4

この問題の解答で

(a+b)(1/a+1/b)=2+a/b+b/a

a>0,b>0なので相加平均≧相乗平均を利用して

a/b+b/a≧2√(a/b×b/a)=2

よって(a+b)(1/a+1/b)=2+a/b+b/a≧2+2=4

となるのですがどのようにして
(a+b)(1/a+1/b)=2+a/b+b/a≧2+2=4の
2+2というのが出てくるのでしょうか？
No.69592 - 2020/09/18(Fri) 00:14:54
☆ Re: 不等号の証明について / IT
a/b+b/a≧2√(a/b×b/a)=2 を使っただけです。
この不等式の両側に２を足してもいいです。
No.69594 - 2020/09/18(Fri) 01:01:28
★ 函数について / 大学生です
この函数は同次函数ではないですよね？
定数αを用いて、f(αx,αy) = αf(x,y) が成り立つとき同次函数だと習いました。
No.69581 - 2020/09/17(Thu) 18:09:32
☆ Re: 函数について / 関数電卓
分子が１次，分母が 2/3 次ですから，同次式ではないですね。
No.69582 - 2020/09/17(Thu) 18:49:10
☆ Re: 函数について / 劣等生き物
> この函数は同次函数ではないですよね？
> 定数αを用いて、f(αx,αy) = αf(x,y) が成り立つとき同次函数だと習いました。

その定義は 一次の同次函数 についてのものですよね。

くだんの f は、(1/3)次の同次関数なのではないかと愚考いたします。
No.69584 - 2020/09/17(Thu) 20:10:55
☆ Re: 函数について / 劣等生き物
> この函数は同次函数ではないですよね？
> 定数αを用いて、f(αx,αy) = αf(x,y) が成り立つとき同次函数だと習いました。

私の勘違いかもしれませんが…

?@
関数 f(x,y) が任意の実数 x 、y 、 α に対して
　　
f(αx,αy) = αf(x,y)

が成り立つとき、f(x,y) を １次同次関数というのだと思います。

?A
関数 f(x,y) が任意の実数 x 、y 、 α に対して、ある 実数 ｎ が存在して
　　
f(αx,αy) = (α^ｎ)f(x,y)

が成り立つとき、f(x,y) を ｎ次同次関数というのだと思います。

ｎは実数でよくて、かならずしも整数とは限らないものと記憶しております。
No.69585 - 2020/09/17(Thu) 20:22:08
☆ Re: 函数について / 劣等生き物
>
> ｎは実数でよくて、かならずしも整数とは限らないものと記憶しております。


see also
ttp://econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/ChuckWilsonhomogeneousfunctions.pdf
No.69586 - 2020/09/17(Thu) 20:42:08
☆ Re: 函数について / 関数電卓
あれ？ 何か勘違いしておりました。すみません。
No.69588 - 2020/09/17(Thu) 21:23:22
☆ Re: 函数について / 劣等生き物
関数電卓さんが仰有るに
> あれ？ 何か勘違いしておりました。すみません。

数学の皆さんは「同次」ではなく「斉次」というのが普通ですのでよくあり得ることかと存じます。どうかお気になさらずに願います。

物理とか経済とかの方面では同次と言い勝ちかと思います。 ともに微分方程式をよく使う学問です。

「同次形の微分方程式」とか有名なネーミングですが、この「同次関数」に深く関わっているようです。たとえば

⇒同次関数とオイラーの定理‖ねこ騙し数学（ https://nekodamashi-math.blog.ss-blog.jp/2017-08-27-3 ）
No.69590 - 2020/09/17(Thu) 22:06:00
☆ Re: 函数について / 大学生です
すみません。間違えていました。
f(αx,αy) = α^n*f(x,y)
が成り立つとき、ｎ次同次函数であると習いました。
私の質問の意図としては、
f(αx,αy)=(αx+αy)/{(αx)^2+(αy)^2}^{1/3}
ですが、これを変形することにより、nを実数として
α^n*f(x,y) の形へ変形できるのかどうか、という質問でした。お騒がせして申し訳ありません。
No.69593 - 2020/09/18(Fri) 00:47:37
☆ Re: 函数について / 劣等生き物
> すみません。間違えていました。
> f(αx,αy) = α^n*f(x,y)
> が成り立つとき、ｎ次同次函数であると習いました。
> 私の質問の意図としては、
> f(αx,αy)=(αx+αy)/{(αx)^2+(αy)^2}^{1/3}
> ですが、これを変形することにより、nを実数として
> α^n*f(x,y) の形へ変形できるのかどうか、という質問でした。お騒がせして申し訳ありません。


f(αx,αy)=(αx+αy)/{(αx)^2+(αy)^2}^{1/3}
の分母を g(αx,αy)、分子を h(αx,αy)、とします。

h(αx,αy) = (αx+αy) = α(x+y)

g(αx,αy) = {(αx)^2+(αy)^2}^{1/3} = [{(αx)^2+(αy)^2}]^[1/3] = [{α^2}{(x)^2+(y)^2}]^[1/3] = [{α^2}]^[1/3]] * [{(x)^2+(y)^2}]^[1/3]
= [α^{2/3}] * [{(x)^2+(y)^2}]^[1/3]

f(αx,αy) = h(αx,αy)/g(αx,αy)
= [α(x+y)]/[{α^(2/3)} * {x^2+y^2}^{1/3}]
= [{α}/{α^(2/3)}] * [(x+y)/(x^2+y^2)^(1/3)]
= [α^(1/3)] * [(x+y)/(x^2+y^2)^(1/3)]
= [α^(1/3)] * f(x,y)

大括弧や中括弧や小括弧などを多用してくどく計算しましたが、結果としては、(1/3)次の同次関数になっていることかと思われます。

気持ちとしてはαについてくくり出す方針です。


なお、これまでのお話しで、原点、すなわち x=0、y=0 についてはいちいち断り書きをしないで参りました。 申し訳ありませんでした。
No.69596 - 2020/09/18(Fri) 09:54:58
☆ Re: 函数について / 大学生です
ありがとうございました。
同次函数とか、難しい名前に惑わされましたが、やってる計算は、高校で扱うような指数計算なのですね。
No.69598 - 2020/09/18(Fri) 16:45:56
★ ()がつく理由 / あああああ
= √3 + 1 ÷ 2√2 という式の後に
= (√3 + 1) * √2 / 2√2 * √2というものがあります。
有利化するために2√2を √2でかけるのはわかりますが
なぜ √3 と 1　の両方に√2が掛けられているのでしょうか？
√6 + 1 もしくは √3 + √2なら理解できますが。。。
()がつく条件がわかりかねております。
ここら辺ぜひ教えていただきたいです！
No.69576 - 2020/09/17(Thu) 11:25:17
☆ Re: ()がつく理由 / ヨッシー

この式を通分してみてください。
No.69577 - 2020/09/17(Thu) 12:27:31
☆ Re: ()がつく理由 / あああああ
解決しました
式がまとまっていたので頭で追い切れていませんでした
ありがとうございます！
No.69578 - 2020/09/17(Thu) 14:02:31
☆ Re: ()がつく理由 / ヨッシー
それは良かったですが、
この質問の一番最初に書いてある
　 √3 + 1 ÷ 2√2
は、分数でなく式で書く場合は
　(√3 + 1)÷ 2√2
と書かないと、正しく伝わりません。
以後、ご注意を。
No.69579 - 2020/09/17(Thu) 14:52:53
★ (No Subject) / あやね
この問題が全くわかりません。解説をお願いしたいです。
No.69572 - 2020/09/16(Wed) 22:51:41
☆ Re: / IT
(1)yが最小値をとるとすれば　1≦x≦(2n+1)^2であることは容易に分ります。
---------------------------------------------------
(2)xが1から大きくなっていくとき
　k^2=1^2,2^2,3^2,...,(2n+1)^2 についてxとの距離|x-k^2|が小さくなるものと大きくなるものがあり、それらの個数はxによって変化します。
　各距離の増減の絶対値は同じです。
その個数の変化を考えればよさそうですね。

　最初は、|x-k^2|が小さくなるものの個数＞|x-k^2|が大きくなるものの個数なので、ｙは減少し
　x=(n+1)^2 を境目にして、その個数が逆転し、yは増加に転じます。

したがって、yが最小となるのは、x=(n+1)^2 のときになります。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Σ記号でイメージがつかみ難い場合は、
　y=|x-1^2|+|x-2^2|+|x-3^2|+...+|x-(2n+1)^2| 　などと書き下したり、
　具体的なｎの値の場合で考えた方が分かりやすいことがあります。
　また、数直線など図やグラフで考えた方が分かりやすく間違いにくいことも多いです。
No.69575 - 2020/09/17(Thu) 00:28:30
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