実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.このとき,自然数nに対してx^n+y^nは偶数になることを示せ。
この問題を数学的帰納法を用いずに解く事は可能ですか？
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No.70676 - 2020/11/05(Thu) 18:11:27
| ☆ Re: 整数 / IT | | | 厳密に帰納法を使わないかは疑問ですが
解の公式と、2項展開を使えば言えると思います。
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No.70677 - 2020/11/05(Thu) 18:51:27 |
| ☆ Re: 整数 / jpgr | | | x、yが（本文にある実数ではなく）整数だったら、
x+yが偶数なので、x, yの偶奇は一致する。
xyが偶数なので、x, yは共に偶数。…といくのはどうですか？
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No.70682 - 2020/11/05(Thu) 22:27:34 |
| ☆ Re: 整数 / URHANL | | | 漸化式を登場させるので数学的帰納法そのものですが、以下。
Z[n] = x^n +y^n
としたときに、
Z[n+2] = (x+y)*Z[n+1] -x*y*Z[n]
Z[1] = (x+y) ≡ 0 (mod 2)
Z[2] = (x+y)^2 -2*x*y ≡ 0 (mod 2)
から
任意の n について Z[n] は偶数といえると思います。
ただ、上記をみると、 x*y は偶数である必要はなくて、整数であればよいらしいのでとまどっています。
※ x*y がたんなる整数ではなく偶数であることをうまく利用することで数学的帰納法を使わなくてもよくなる示し方があるものなのでしょうか？
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No.70695 - 2020/11/06(Fri) 14:18:30 |
| ☆ Re: 整数 / URHANL | | | >実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.このとき,自然数nに対してx^n+y^nは偶数になることを示せ。
>この問題を数学的帰納法を用いずに解く事は可能ですか？
（みかけ上では数学的帰納法の香りをかなり消せるかもしれません。以下はあらすじです。）
【１】n が奇数のとき
m を 3 以上の奇数とします。
x と y についての多項式 Q(x,y) があって
x^m +y^m = (x +y)*Q(x,y)
と因数分解できます。
ここで Q(x,y) は対称式となります。よって、ふたつの基本対称式
x +y
x*y
からなる多項式があってこれと等しくなります。仮定より x +y も x*y も整数ですから、 Q(x,y) もまた整数となります。
整数 Q(x,y) に、偶数であるところの x +y を乗じた x^m +y^m は偶数です。
【２】n が 2 の冪乗のとき。
自然数 k があって
n = 2^k
とできます。
x^(2^k) +y^(2^k) = (x^(2^(k-1)))^2 +(y^(2^(k-1)))^2
≡ (x^(2^(k-1)))^2 +2*(x^(2^(k-1)))*(y^(2^(k-1))) +(y^(2^(k-1)))^2
≡ (x^(2^(k-1)) +y^(2^(k-1)))^2 ≡ x^(2^(k-1)) +y^(2^(k-1)) (mod 2)
となります。自乗しても偶奇は不変ですので。
ゆえに
x^(2^k) +y^(2^k) ≡ x^2 +y^2 (mod 2)
となります。
x^2 +y^2 = (x +y)^2 -2*x*y ≡ (x +y)^2 ≡ x +y (mod 2)
ですから、
x^2 +y^2 は偶数、従って
x^(2^k) +y^(2^k) もまた偶数です。
【３】n が 2 の冪乗以外の 偶数のとき。
m,k は今までと同じ定義とします。
n = m*2^k
と書けます。
x^(m*2^k) = (x^m)^(2^k)
ですから、
x^(m*2^k) +y^(m*2^k) = (x^m)^(2^k) +(y^m)^(2^k)
ここで
X=x^m
Y=y^m
と置き換えれば
x^(m*2^k) +y^(m*2^k) = X^(2^k) +Y^(2^k)
となる。
X +Y が偶数ならば 【２】の結果より、x^(m*2^k) +y^(m*2^k) もまた偶数となる。
X +Y が偶数かどうか調べると、
x^m +y^m
は【１】より偶数であったので、結局、
x^(m*2^k) +y^(m*2^k)
は偶数である。
【１】【２】【３】より、任意の正の自然数 n について、 x +y が偶数、 x*y が整数であるならば、
x^n +y^n は偶数とわかる。
※【２】のステップでもう少し数学的帰納法臭を消せればよいのですけれども力つきました。 orz
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No.70718 - 2020/11/07(Sat) 17:49:06 |
| ☆ Re: 整数 / URHANL | | | あー。
任意の正の自然数 n について、 x +y が偶数、 x*y が【奇数】であるならば、
x^n +y^n は偶数とわかります。
なんとならば
x^(n+2) +y^(n+2) -(x^n +y^n)
= (x +y)*(x^(n+1) +y^(n+1)) -(x*y +1)*(x^n +y^n)
で右辺が偶数であることは《ほとんど》明らかであるので、
x^(n+2) +y^(n+2) と x^n +y^n とは偶奇が一致しています。
n が奇数のときには
x^(n+2) +y^(n+2) は x +y と偶奇が一致していますので偶数です。
n が偶数のときには
x^(n+2) +y^(n+2) は x^2 +y^2 と偶奇が一致しています。
x^2 +y^2 = (x +y)^2 -2*x*y
ですから、x^2 +y^2 は偶数です。
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No.70732 - 2020/11/07(Sat) 23:29:18 |
| ☆ Re: 整数 / URHANL | | | > 実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.このとき,自然数nに対してx^n+y^nは偶数になることを示せ。
この問題を数学的帰納法を用いずに解く事は可能ですか？
これまでいろいろと書いてきましたけれども、とどのつまり、以下のようなものも１つのやり方になろうかと存じます。
対称式の基本定理を使います。
対称式の基本定理： どんな対称式も基本対称式の和・差・積の組み合わせで表せる
x^n +y^n は
２変数 x, y についての対称式ですから、ふたつの基本対称式、 x +y, x*y の和、差、積で表せます。
仮定より、 x +y も x*y も偶数ですから、これらの和、差、積もまた偶数です。
ゆえに x^n +y^n もまた偶数です。
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No.70813 - 2020/11/10(Tue) 19:19:34 |
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