ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 定積分版シュワルツの不等式の等号成立 / ラーク

定積分版シュワルツの不等式の、等号成立の条件に関する証明が理解できません。
「q(x)
=∫[a→b](tf(x)-g(x))^2dx(以下[a→b]を省略)
=(∫f(x)^2dx)t^2-2(∫f(x)g(x)dx)t+∫g(x)^2dx…?@
q(x)≧0だから(?@の判別式)≦0となり、そこから
(∫f(x)g(x)dx)^2≦∫f(x)^2dx∫g(x)^2dx(シュワルツの不等式)が導ける。
そして、等号成立のとき、?@の判別式が0になる。」
というところまではわかるのですが、そこから「q(x)=0」とどうして言えるのでしょうか。（もしくはその間に何か説明があるのでしょうか）

No.70033 - 2020/10/09(Fri) 22:01:49

☆ Re: 定積分版シュワルツの不等式の等号成立 / IT

まず、ｑ(x)ではなくて　q(t) では?

No.70036 - 2020/10/09(Fri) 22:16:33

☆ Re: 定積分版シュワルツの不等式の等号成立 / ラーク

> まず、ｑ(x)ではなくて　q(t) では?

すみません、q(t)でした。

No.70038 - 2020/10/09(Fri) 22:29:46

☆ Re: 定積分版シュワルツの不等式の等号成立 / IT

tの２次方程式?@＝0の判別式が0のとき
(∫f(x)^2dx)t^2-2(∫f(x)g(x)dx)t+∫g(x)^2dx＝0　の実数解ｔ＝αが存在します。
すなわち、q(α）＝∫[a→b](αf(x)-g(x))^2dx＝0　となります。

No.70040 - 2020/10/09(Fri) 22:45:32

☆ Re: 定積分版シュワルツの不等式の等号成立 / ラーク

理解できました。解説していただきありがとうございます。

No.70041 - 2020/10/09(Fri) 22:56:35

★ 角錐 / エヴァ

七角錐において、OA1= OA2= OA3 = …OA7=a、A1A2= A2A3=A3A4= …A7A1=bとする。
点P1を辺OA2上、点P2を辺OA3上、…点P6を辺OA7上にそれぞれとる。A1P1+P1P2+…P6A1が最小となるとき、線分OP1の長さを求めよ。また体積も求めよ。
お願いします。

No.70029 - 2020/10/09(Fri) 18:58:27

☆ Re: 角錐 / 関数電卓

体積は容易に求まる。
底面の正７角形の外接円の半径 r は，r＝b/(2sin(π/7))。
底面の面積 S は，S＝7b^2/(4tan(π/7))
角錐の高さ h は，h＝√(a^2－r^2)

OP1 の方は，かなり大変な計算になりそう。
図のように，A4A5の中点を B とし，OB に垂直でかつ A1 を通る平面でこの角錐を切断したときの断面が，求める最短線。図の C は切断面と OB の交点で，A1C⊥OB。
この平面と OA2 との交点を求める。

すみません。食指が動きません。よって，断面との交線も描けませんでした。

No.70042 - 2020/10/09(Fri) 22:59:30

☆ Re: 角錐 / らすかる

∠A1OA2≧π/7の場合、展開図で頂点に集まる角の合計角度がπ以上になり、
A1P1+P1P2+…+P6A1が最短となるのはP1=P2=P3=…=P6=Oの場合でOP1=0
∠A1OA2＜π/7の場合、展開図で二つのA1を線分で結ぶとOA2,OA3,…,OA7の
すべてを横切るので、これらの交点がP1,P2,…,P6である場合が最小となる。
このときP3P4の中点をM、∠A1OA2=2θとすると
OM=acos7θ, OP1cos5θ=OMからOP1=acos7θ/cos5θ
asinθ=b/2から
cos5θ=cosθ(b^2+ab-a^2)(b^2-ab-a^2)/a^4
cos7θ=-(cosθ)(b^3+ab^2-2a^2b-a^3)(b^3-ab^2-2a^2b+a^3)/(a^6)
なので
OP1=-(b^3+ab^2-2a^2b-a^3)(b^3-ab^2-2a^2b+a^3)/{a(b^2+ab-a^2)(b^2-ab-a^2)}

また
一辺がbの正七角形の外接円の半径はb/{2sin(π/7)}であることから
正七角錐の高さは√{a^2-b^2/{2sin(π/7)}^2}とわかり、
底面の面積は7b^2tan(5π/14)/4なので、体積は
(1/3){7b^2tan(5π/14)/4}√{a^2-b^2/{2sin(π/7)}^2}
=7b^2tan(5π/14)√{{2a^2sin(π/7)}^2-b^2}/{24sin(π/7)}

# 計算はご確認下さい。

追記
∠A1OA2≧π/7 ⇔ b≧2asin(π/14)
∠A1OA2＜π/7 ⇔ b＜2asin(π/14)
なので、OP1の長さは
b≧2asin(π/14)のとき 0
b＜2asin(π/14)のとき
-(b^3+ab^2-2a^2b-a^3)(b^3-ab^2-2a^2b+a^3)/{a(b^2+ab-a^2)(b^2-ab-a^2)}
となります。

No.70045 - 2020/10/09(Fri) 23:18:51

☆ Re: 角錐 / らすかる

> 関数電卓さん
> 図のように，A4A5の中点を B とし，OB に垂直でかつ A1 を通る平面でこの角錐を切断したときの断面が，求める最短線。

これはOA1で切って側面を展開図にしたとき、切断線が直線になりませんので
最短ではないと思います。

No.70049 - 2020/10/09(Fri) 23:34:45

☆ Re: 角錐 / 関数電卓

とでもない珍回答を書いてしまい，大変失礼しました。
回答は，よく検証してから書かなければいけませんね。丸ごと削除したいくらいですが，そうもいきません…

No.70093 - 2020/10/11(Sun) 13:33:38

★ (No Subject) / p

以下の解説及び解答をお願いします。

No.70020 - 2020/10/09(Fri) 15:45:16

☆ Re: / ヨッシー

Ａから歩く人Ｐと、Ｂまでバスに乗って戻る人Ｑがいて、同時にＡを出発したとします。
ＱがＡを出てＢに着くまで　3600÷800＝4.5(分)
そのとき、Ｐは　64×4.5＝288(m)　進んでおり、Ｑとの距離は　3312m。
そこから、互いに向き合って進み、15秒分(16ｍ) まで近づいたところで、
Ｑは銀行に着く。その間歩いた距離は　(3312－16)÷２＝1648(m)
以上からＡから銀行までの距離は
　288＋1648＋16＝1952(m)

No.70024 - 2020/10/09(Fri) 16:57:39

★ (No Subject) / p

以下の解説・解答をお願いします。

No.70016 - 2020/10/09(Fri) 15:28:45

☆ Re: / ヨッシー

Ｇ駅を各駅停車と特急が同時に発車し、各駅停車がＨに止まらなかったとすると、
特急は各駅停車より2分40秒(160秒)早く着きます。
特急のかかる時間と、各駅停車のかかる時間の比は　1：1.4　なので、
特急はＧＩ間を　160×1/(1.4－1)＝400（秒）＝6分40秒
各駅停車は　400×1.4＝560（秒）＝9分20秒　かかります。

特急の速さは　5.6km÷560秒×3600＝36km/時

各駅停車が途中止まらず、一定の速さで走ったとすると、ＡからＩまで
　52分－45秒×6－5分＝42.5分
各駅停車の速さは　36÷1.4＝180/7(km/時)
よって、ＡＩ間の距離は
　42.5÷60×180/7＝255/14(km)

No.70022 - 2020/10/09(Fri) 16:39:35

★ (No Subject) / りか

A+Bの逆行列はこれで合っていますか？

No.70014 - 2020/10/09(Fri) 15:13:58

☆ Re: / ＣＯＲＮＯ

違います．

Ａ＋Ｂの行列式は，
　　(－１)･５－(－２)･２＝－１
です．

なお，行列Ｘとその逆行列Ｘ^(-1)の積は単位行列になるので，
結果が正しいかどうかを知りたいのなら，他人にきかなくても自分で確認できるはずです．

No.70019 - 2020/10/09(Fri) 15:40:05

☆ Re: / りか

ありがとうございます。
てことはこれが答えになるのでしょうか？

No.70023 - 2020/10/09(Fri) 16:41:59

☆ Re: / ヨッシー

これの計算は出来ますか？

No.70025 - 2020/10/09(Fri) 17:04:34

☆ Re: / GandB

　それもまちがい。
　線形代数の参考書は持っているの？

　　|X|　　X の行列式
　　X^-1　 X の逆行列
　　X~　　 X の余因子行列

　　X^-1 = X~/|X|

No.70026 - 2020/10/09(Fri) 17:07:54

☆ Re: / りか

いえ、計算できないです。

参考書持ってないです。
教科書が分かりにくいので、、
質問しました。

No.70027 - 2020/10/09(Fri) 17:14:34

☆ Re: / りか

解答、解説お願いします。

No.70028 - 2020/10/09(Fri) 17:25:20

☆ Re: / GandB

　いや、すまん。解答は合っていたwwwww

No.70030 - 2020/10/09(Fri) 19:43:39

☆ Re: / ヨッシー

これの計算が出来ずに逆行列を求めるのは、
九九をすっ飛ばして、割り算やるようなものです。

まずは、行列の掛け算から。
教科書で良いので。

No.70050 - 2020/10/10(Sat) 02:19:22

★ この計算結果になる理由 / あああああ

画像の
3行目にある((n / 2) - (4 / 1))という結果が
2行目の式からどうやって導いたのかわかりません
これはどういう分数の仕組みを取り入れたのでしょうか？

No.70010 - 2020/10/09(Fri) 01:59:08

☆ Re: この計算結果になる理由 / らすかる

-2倍したものが(1/2-n)なのですから
求めるものは(1/2-n)÷(-2)=(-1/4+n/2)です。

No.70011 - 2020/10/09(Fri) 02:01:50

☆ Re: この計算結果になる理由 / あああああ

あーなるほど
分数の整数割り算が理解できていませんでした。

ただ２つ疑問があります
最後の式が(n / 2) -(1 / 4)で２つ目の式と順番が逆になっているのは、見やすいからでしょうか？
また左辺の式を-2で割ると右辺の式に-2がくっつくのは
わかるのですが、なぜ 3^n の右にある 1 / 4　で-2は使い切っているのに(1/2-n)÷(-2)←ができる理由がわかりません。
公式みたいなものがあるのでしょうか？
もし右辺全体にかかったとしても3^nだけポツンと佇んでいるのは掛け算だからでしょうか？

No.70017 - 2020/10/09(Fri) 15:35:41

☆ Re: この計算結果になる理由 / らすかる

> 最後の式が(n / 2) -(1 / 4)で２つ目の式と順番が逆になっているのは、見やすいからでしょうか？
「見やすいから」か「多項式は変数を先に持ってくるのが普通」のどちらかの理由だと思います。
n/2-1/4はどちらも満たしていますので、どちらの理由かはわかりませんが、
どちらも満たさないよりは両方を満たす方がいいですね。
もし式が1/4-n/2ならば「見やすいから」、-n/2+1/4ならば「多項式は変数が先」とわかるのですが。

(-2)S=A×Bならば
S=A×B÷(-2)=A×{B÷(-2)}のようになり
「Bだけで-2を使い切る」ことになりますが、
(-2)S=A-Bの場合は
S=(A-B)÷(-2)={A÷(-2)}-{B÷(-2)}
のようになり、分配法則で両方に効いてきます。
3^nだけ変わらないのは、(1/2-n)と3^nが掛け算されているためです。
(-2)S=(1/2-n)3^n-1/2
S={(1/2-n)3^n-1/2}÷(-2)
={(1/2-n)3^n÷(-2)}-{(1/2)÷(-2)}
={(1/2-n)÷(-2)}3^n-{(1/2)÷(-2)}
のようになります。

No.70021 - 2020/10/09(Fri) 15:55:32

☆ Re: この計算結果になる理由 / あああああ

なるほどです
2a = b + cがあって 2 を移行する場合 b + cに()がつくんですね
それは初めて知りました(だいぶ初歩のところだと思いますが・・・)
とてもためになりましたまた成長できます
ありがとうございました！！

No.70046 - 2020/10/09(Fri) 23:24:01

★ 計算のコツ / カブトムシ

（x+2）√（4x^2-42x+144）＝x√4（x+2）^2-42（x+2）+144
この計算をできる限り簡単に解く方法を教えてください。

No.70005 - 2020/10/08(Thu) 20:23:47

☆ Re: 計算のコツ / らすかる

右側の√がどこまでかかっているのかわかりませんが、もし問題が
(x+2)√(4x^2-42x+144)=x√{4(x+2)^2-42(x+2)+144}
ならば、普通に解くと
(x+2)√(4x^2-42x+144)=x√{4(x+2)^2-42(x+2)+144}
(x+2)^2(4x^2-42x+144)=x^2{4(x+2)^2-42(x+2)+144}
4x^2(x+2)^2-42x(x+2)^2+144(x+2)^2=4x^2(x+2)^2-42x^2(x+2)+144x^2
-42x(x+2)^2+144(x+2)^2=-42x^2(x+2)+144x^2
144{(x+2)^2-x^2}=42(x+2){x(x+2)-x^2}
144(4x+4)=42(x+2)(2x)
48(x+1)=7x(x+2)
7x^2-34x-48=0
(7x+8)(x-6)=0
x=6,-8/7
二乗する前の両辺の符号が同じでなければならないので
x(x+2)≧0からx≦-2または0≦x
√の中身は4x^2-42x+144=4(x-21/4)^2+135/4から正値関数なので
「√の中身≧0」という条件は不要
従って条件を満たすものはx=6

No.70007 - 2020/10/08(Thu) 21:38:21

★ (No Subject) / aiko

答えがなくて困ってます。

あってるか見てください。

No.70002 - 2020/10/08(Thu) 19:59:03

☆ Re: / aiko

C⑷もわからなくて困ってます。
よろしくお願いします

No.70003 - 2020/10/08(Thu) 20:01:14

☆ Re: / aiko

これです

No.70004 - 2020/10/08(Thu) 20:01:39

☆ Re: / IT

> C⑷もわからなくて困ってます。
具体てきなｚについての出題なので、出題者の意図する解答と違うかも知れませんが、

z^n＝a+bi (a,b は実数）とすると
z^n+(z^n)~＝(a+bi)+(a-bi) ですから。

No.70006 - 2020/10/08(Thu) 21:20:33

☆ Re: / IT

(z^n+(z^n)~)~=(z^n)~+((z^n)~)~=(z^n)~+(z^n)
=z^n+(z^n)~
の方がいいかも。

No.70008 - 2020/10/08(Thu) 21:41:26

☆ Re: / aiko

ありがとうございました！

No.70009 - 2020/10/08(Thu) 22:59:22

☆ Re: / ヨッシー

[A](4) は足してはダメですね。
また、(3) と同じように
　・・・・＝８ｉ
で良いのでは？

[B](2) は考え方は良いですが、答えが違います。
途中に計算間違いがあると思います。

No.70054 - 2020/10/10(Sat) 11:13:20

★ atanの計算 / あああああ

計算機で atan4と打つと76°と出ます。
この76°がどういった計算をもとに出されているのかを知りたいです。(atanに限らずですが・・)
アークシリーズを紹介しているものはグラフで説明していますが、計算式はどうなっているのでしょうか

No.69989 - 2020/10/08(Thu) 11:39:39

☆ Re: atanの計算 / らすかる

atanは基本的には
atan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…
という式を用いて計算することが多いと思います。
ただしこの式は|x|≦1でしか収束しませんし、
収束しても|x|が1に近い時は収束が遅く計算に時間がかかりますので、
xに代入する値が小さくなるようにいろいろ工夫します。
また、この式で得られる結果の単位はラジアンですから、
度に直すには後で180/πを掛けます。

x＞1の場合はatan(x)=π/2-atan(1/x)という公式を使えば収束するようになります。
1に近い場合は他の工夫が必要ですが、atan4ならばそのまま計算しても
そんなに遅くないです。
atan(1/4)=1/4-(1/4)^3/3+(1/4)^5/5までで打ち切っても
atan(1/4)≒0.2450が得られます。
よってatan(4)≒π/2-atan(1/4)≒1.3258
となり、度に直すと1.3258×180/π≒75.96°となります。

atan以外の関数も、普通はこのようにテイラー展開された多項式で
計算すると思います。

No.69990 - 2020/10/08(Thu) 12:12:06

☆ Re: atanの計算 / あああああ

atan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…

↑この式の^3また^5 ,^7はどこからきているのでしょうか？
(数列的ななにかでしょうか？)

No.69993 - 2020/10/08(Thu) 14:04:08

☆ Re: atanの計算 / らすかる

atan(x)をx=0のまわりでテイラー展開すると
x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+…
のようになります。
そもそもテイラー展開はべき級数展開ですから、
指数は^1,^2,^3,^4,…のようになっていくものであり、
atan(x)の場合はたまたま偶数次の係数が0ということです。
より詳しく知りたければ、「テイラー展開」で検索してみて下さい。

No.69994 - 2020/10/08(Thu) 14:12:54

☆ Re: atanの計算 / あああああ

テイラー展開というものがあるんですね
ありがとうございます
勉強してみます！！

No.69995 - 2020/10/08(Thu) 14:31:23

☆ Re: atanの計算 / GandB

　電卓の計算については

　　CORDICアルゴリズム

で検索するといろいろおもしろい情報が得られる。

No.70000 - 2020/10/08(Thu) 18:47:21

★ 確率 / プリン

サイコロをくり返し投げて、4以上が出るかまたは投げた回数がnに達したら、そこで試行を中止することにする。試行が中止されるまでに出た目の中で最小の値がiとなる確率をpiとする。このとき、p1、p2、p3の値をnを用いて表せ。

分からないので、教えてください。

No.69986 - 2020/10/08(Thu) 04:43:40

☆ Re: 確率 / X

k回目(k=1,2,…、n)で試行が中止されたとき、
最小値がiである確率をp[i,k]とすると、
k=1,…,n-1のとき
条件から
p[3,k]=(1/2)(1/6)^(k-1)
p[2,k]=(1/2){(1/3)^(k-1)-(1/6)^(k-1)}
p[1,k]=(1/2){(1/2)^(k-1)-(1/3)^(k-1)}
一方
p[3,n]=(1/2)(1/6)^(n-1)+(1/6)^n
p[2,n]=(1/2){(1/3)^(n-1)-(1/6)^(n-1)}+{(1/3)^n-(1/6)^n}
p[1,n]=(1/2){(1/2)^(n-1)-(1/3)^(n-1)}+{(1/2)^n-(1/3)^n}
∴
p[3]=Σ[k=1～n]p[3,k]=…
p[2]=Σ[k=1～n]p[2,k]=…
p[1]=Σ[k=1～n]p[1,k]=…

No.69997 - 2020/10/08(Thu) 16:11:16

★ (No Subject) / りか

（2）の問題が分かりません。
問題名と解き方をお願いします。

No.69974 - 2020/10/07(Wed) 16:41:53

☆ Re: / IT

その群は、どんな群か分かりますか？
テキストにその群の定義（につながる事項）や例題が書いてないですか？

No.69982 - 2020/10/07(Wed) 21:46:16

☆ Re: / りか

> その群は、どんな群か分かりますか？
> テキストにその群の定義（につながる事項）や例題が書いてないですか？

このようになっておりました。

No.70015 - 2020/10/09(Fri) 15:22:04

☆ Re: / IT

　　　　　×
群（（Z/5Z）,×,1) のような群の意味が書いてあるところがありませんか？

No.70031 - 2020/10/09(Fri) 20:06:48