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★ 漸化式 / ココナッツ
正八面体ABCDEFGHの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、隣の4頂点のいずれかに等しい確率a/4で移るか、もとの頂点に確率1-aでとどまる。初め頂点Aにいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をpnとする。ただし、0 <a <1とし、nは自然数とする。
（1）数列｛pn}の漸化式を求めよ。
（2）確率pnを求めよ。
No.69969 - 2020/10/07(Wed) 09:47:00
☆ Re: 漸化式 / IT
>正八面体ABCDEFGHの頂点
頂点は6個では？

正八面体ABCDEF　だとすると、Aに隣接する4頂点BCDE を一塊として考えるとシンプルになると思います。
No.69977 - 2020/10/07(Wed) 19:21:46
★ 三角関数 / しらす
写真の問題が解けません...
No.69962 - 2020/10/07(Wed) 00:33:35
☆ Re: 三角関数 / X
鉛筆で書かれた通りの方針で変形します。

二倍角の公式(又は半角の公式)を使うと
f(x)=4(1-cos2x)/2+(3/2)sin2x+2(1+cos2x)/2
=(3/2)sin2x-cos2x+3
={(1/2)√13}(2x-α)+3
(但しαは0＜α＜π/2,tanα=2/3なる角)
ここで
0≦x≦2π
により
α≦2x-α≦4π-α
∴f(x)の最大値は
3+(1/2)√13
(このとき2x-α=π/2,2π+π/2
つまり
x=π/4+α/2,5π/4+α/2)
f(x)の最小値は
3-(1/2)√13
(このとき2x-α=3π/2,2π+3π/2
つまり
x=3π/4+α/2,7π/4+α/2)


まとめて
f(x)の最大値は3+(1/2)√13
(このときx=π/4+α/2,5π/4+α/2)
f(x)の最小値は3-(1/2)√13
(このときx=3π/4+α/2,7π/4+α/2)
(但しαは0＜α＜π/2,tanα=2/3なる角)
No.69965 - 2020/10/07(Wed) 05:58:50
★ 区分求積法 / つちのこ
写真の問題がさっぱりわかりません。
No.69960 - 2020/10/06(Tue) 23:06:58
☆ Re: 区分求積法 / IT
その積分値を区分求積法の式の形に書けますか？

式の中に　Σ[i=1..n]i^m が出るので　

Σ[i=1..n]i^m は　nのm+１次式で　n^(m+1)の係数は1/(m+1) であることを使えば良いと思います。

Σ[i=1..n]i^m については、下記などを参考にしてください。
https://mathtrain.jp/yonjo
No.69961 - 2020/10/07(Wed) 00:20:34
★ (No Subject) / アーモンド
赤と白のビーズを30個使いネックレスを作る。ただし、ビーズの形と大きさはすべて同じであり、使わない色があってもよいものとする。このとき、ネックレスのつなぎ目については無視するとして、ネックレスの作り方は何通りあるか。

教えてくれませんか。
No.69956 - 2020/10/06(Tue) 22:59:27
☆ Re:数珠順列 / URHANL
重複ありの数珠順列については、高校まででは比較的に解きやすいとされる特殊なパターンのみ取り上げられています。

一般に知られている万能な公式などなく丹念にパターン分けをして数え上げていくわけですね。裏返して同一のものになったりならなかったりを区別するのも苦痛です。

表題の問題は、パターンを分類することすら難しいですね。

恐らくは高校数学の範囲ではないのでしょう。

なお、とある資料によれば、
求める値は以下のようになるらしいです。私は確かめていません。


記号(a,b)は整数a,bの最大公約数を表すものとします。

[1/(2*30)]*[2^{(30,1)} +2^{(30,2)} +2^{(30,3)} +2^{(30,4)} +2^{(30,5)} +2^{(30,6)} +2^{(30,7)} +2^{(30,8)} +2^{(30,9)} +2^{(30,10)} +2^{(30,11)} +2^{(30,12)} +2^{(30,13)} +2^{(30,14)} +2^{(30,15)} +2^{(30,16)} +2^{(30,17)} +2^{(30,18)} +2^{(30,19)} +2^{(30,20)} +2^{(30,21)} +2^{(30,22)} +2^{(30,23)} +2^{(30,24)} +2^{(30,25)} +2^{(30,26)} +2^{(30,27)} +2^{(30,28)} +2^{(30,29)} +2^{(30,30)} +(30/2)*2^{(30/2) +1} +(30/2)*2^{(30/2)}]

ぞっとするほど大きい数ですね。
No.69970 - 2020/10/07(Wed) 10:53:08
☆ Re: / らすかる
計算すると17920860通りなので、
「ぞっとするほど大きい数」でもないように感じました。
No.69976 - 2020/10/07(Wed) 19:10:15
☆ Re: / IT
2^30＝1024＾3 と比較すると、ほぼ60分の１に小さくなるのですね。
No.69978 - 2020/10/07(Wed) 20:46:04
☆ Re: / らすかる
一般のパターンは回転で30重複、裏返しで2重複なので
自己対称形がなければちょうど1/60ですが、
17920860ということは結構自己対称形が多いということですね。
No.69979 - 2020/10/07(Wed) 20:59:37
☆ Re:数珠順列 / URHANL
さきの投稿で参照した、手元の環境にダウンロードしてあったPDF資料のWeb上でのURLを再発見しましたのでご報告します。


●[PDF] 重複円順列・重複数珠順列について - 数研出版
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/68/68-1.pdf
3ページめの、「公式?V（重複数珠順列）」

●[PDF] 同じものを含む円順列について - 数研出版
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/93/93-6.pdf
数珠順列そのものについてではなく、ひとつまえのPDFに含まれる円順列の解説を読むときに参考になりました。


※やはり高校レベルを越えている感じがします。

※でも２色のビーズならばもう少し簡単なアタックルートがあるのでしょうか……
No.69985 - 2020/10/07(Wed) 23:15:11
★ (No Subject) / マカデミア
画像の式の導出法を教えてください
No.69954 - 2020/10/06(Tue) 21:57:55
☆ Re: / GandB
その式、ホントに等しいのか？
No.69955 - 2020/10/06(Tue) 21:58:21
☆ Re: / GandB
　あれ？　この質問削除したはずでは。
　69955の投稿は私ではないけど（同じ内容を投稿したが、投稿した時間が違うという意味です）、自動的に復活するのかな（笑）。
　ま、それはともかく普通に考えたら導関数を求めてから極限をとるのだろうから、-ie^(-π)にはとてもなりそうもないぞwwwwwwwwwwwww。
No.69959 - 2020/10/06(Tue) 23:06:03
☆ Re: / らすかる
その導関数にz≒iπ（iπに近いけどiπとは異なる値）を代入すると
-ie^(-π)に近い値になりますので、答えは合っているように思えます。
No.69964 - 2020/10/07(Wed) 00:52:22
☆ Re: / GandB
　あちゃ！
　確かにそうですね。しかし、どう証明するんだろう？
　手持ちの関数論の本を引っ張り出して見ても似たような問題がない。
No.69966 - 2020/10/07(Wed) 06:35:22
☆ Re: / X
横から失礼します。
以下、単にガリガリ計算しただけですが
証明はできるようです。

No.69959の導関数において
(第2項)+(第3項)={-2[e^{(2+i)z}](z-iπ)^2+2[e^{(1+i)z}](z-iπ)(1+e^z)}/(1+e^z)^3
=2{e^{(1+i)z}}[{-(e^z)(z-iπ)^2+(1+e^z)(z-iπ)}/(1+e^z)^3]
これのz→iπの場合を考えるとき、[]内にロピタルの定理を3回適用すると
(第2項)+(第3項)→-e^(-π+iπ)=e^(-π)

一方
g(z)=e^z
とすると
lim[z→iπ]=(z-iπ)/(1+e^z)=1/g'(iπ)=-1
∴No.69959の導関数においてz→iπのとき
(第1項)→(1+i)e^(-π+iπ)=-(1+i)e^(-π)

ということでz→iπのとき
(No.69959の導関数)→-(1+i)e^(-π)+e^(-π)=-ie^(-π)
(かなり端折った計算ですので間違えていたらごめんなさい。)
No.69967 - 2020/10/07(Wed) 06:43:01
☆ Re: / GandB
　ああ、なるほど！
　関数論は等角写像と実関数の定積分への応用ぐらいしか覚えてないので、とても勉強になります（笑）。ありがとう。
No.69968 - 2020/10/07(Wed) 07:53:39
★ (No Subject) / ん
この問題あってますか？教えてください！
No.69945 - 2020/10/06(Tue) 19:13:43
☆ Re: / ヨッシー
問題は合っています。
答えも合っています。
No.69947 - 2020/10/06(Tue) 19:28:32
★ Taylor展開? / SUM
今までやってたTaylor展開と全然違い、どう書けばいいのかも分かりません。。。
分かる方お願いします。
No.69943 - 2020/10/06(Tue) 18:36:30
☆ Re: Taylor展開? / 関数電卓
このへん の‘具体的な計算例’をご覧になれば，さほど難しくはないのでは…？
No.69944 - 2020/10/06(Tue) 18:57:31
☆ Re: Taylor展開? / SUM
本当にバカですみません、あれから友人とも考えたのですが中々歯が立ちません...
解説願いたいです。
No.70057 - 2020/10/10(Sat) 14:34:26
★ 自然数の組 / さいおんじ
p,q,rを1≦p<q<rを満たす自然数とするとき、(q-p)(r-p)(r-q)/(pqr)が自然数となるような(p,q,r)の組をすべて求めよ。
どこから手を付けていいのかわかりません。
No.69941 - 2020/10/06(Tue) 16:42:40
☆ Re: 自然数の組 / さいおんじ
何か答えが出さない条件が抜けているのでしょうか？
No.69984 - 2020/10/07(Wed) 22:02:49
☆ Re: 自然数の組 / にじがさき
おそらくみなさん分からないのだと思います。
わかる問題のみご回答されているので仕方ないと思います。
No.70138 - 2020/10/12(Mon) 17:03:06
★ x^p+y^p=p^z / さいおんじ
pを素数、x,y,zを自然数とするとき、
x^p+y^p=p^zを満たす(x,y,z,p)の組を求めよ。
pは5以上にはならなさそうですが、示すのが難しいです。
No.69940 - 2020/10/06(Tue) 16:42:04
☆ Re: x^p+y^p=p^z / さいおんじ
何か答えが出さない条件が抜けているのでしょうか？
No.69983 - 2020/10/07(Wed) 22:02:23
☆ Re: x^p+y^p=p^z / にじがさき
フェルマーの最終定理に通ずるものがあるので難しいのだと思います。
学校の先生に聞いたほうがここで聞くよりは良いと思います。
No.70139 - 2020/10/12(Mon) 17:04:50
★ テイラー展開またはローラン展開 / はなぞの
次の式がなぜ成り立つか、またはどのように導出するか教えてください
No.69933 - 2020/10/06(Tue) 14:18:05
★ 複素数 / 醤油
複素数の問題です。
|z-3|+|z-3i|=6を図示せよ、という問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.69932 - 2020/10/06(Tue) 14:15:15
☆ Re: 複素数 / ヨッシー
式をそのまま解釈すると、
　点(3,0) までの距離と
　点(0,3) までの距離の和が６
なので、図示するだけなら、
(1.5, 1.5) 中心、長径が−45°の方向で３、
短径が45°の方向で1.5√2
原点と (3, 3) を通る楕円となります。

No.69935 - 2020/10/06(Tue) 15:08:50
☆ Re: 複素数 / 醤油
ありがとうございます。
傾いた楕円を扱うのが初めてなのですが、この場合x^2/a^2+x^2/b^2=1のaとbはどのような値になりますか？
No.69936 - 2020/10/06(Tue) 15:33:32
☆ Re: 複素数 / ヨッシー
１．式を作ってから、これがどんな図形か考える
２．図形は描けたが、これがどんな式だろうと考える
３．式は式、図形は図形で別々に考える
いろんなアプローチがあります。
この問題の場合は、３．が手頃そうですが、
今直面しているのは、２．なので、この図形から式を求めてみます。

まず、普通に長径がｙ軸方向で３、短径がｘ軸方向で1.5√2 の楕円を
　2x^2/9＋y^2/9＝1　　・・・(i)
とし、これを原点周りに45°回転した楕円を(ii) とします。
(i) 上の点を(x,y)、(ii)上の点を(X,Y) とすると、
　x＝X/√2＋Y/√2
　y＝−X/√2＋Y/√2
の関係があります。これを(i) の式に代入して、
　2(X/√2＋Y/√2)^2＋(−X/√2＋Y/√2)＝9
展開して整理すると
　2(X^2/2＋Y^2/2＋XY)＋(X^2/2＋Y^2/2−XY)＝9
　3X^2/2＋3Y^2/2＋XY＝9
　3X^2＋3Y^2＋2XY＝18
これを、(1.5, 1.5) 平行移動して、
　3(X−1.5)^2＋3(Y−1.5)^2＋2(X−1.5)(Y−1.5)＝18
これが(ii) の式となります。
No.69939 - 2020/10/06(Tue) 16:14:54
★ 数2 / Ran
この問題を見てください！

私の解答はxyzの範囲がめんどくさいのでそれを置き換えて、XYZ≧0となるようにして格子点で考えているのですが私の答えがあわないんです！

本当の答えは　k^2/2+11k/2-16 なんです。
どこが間違ってるのか教えてください！
No.69930 - 2020/10/06(Tue) 12:41:23
☆ Re: 数2 / Ran
私の解答です！
No.69931 - 2020/10/06(Tue) 12:42:15
☆ Re: 数2 / ヨッシー
本当の答えの方が違っているのでは？
No.69937 - 2020/10/06(Tue) 15:58:45
☆ Re: 数2 / Ran
いや本当のこたえはあってるんです(((
No.69938 - 2020/10/06(Tue) 16:03:03
☆ Re: 数2 / ヨッシー
例えば、ｋ＝６ のとき、
Ran さんの方法だと
　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝ｋ＋４＝１０　Ｘ≧０，Ｙ≧０，Ｚ≧０
を満たすＸ，Ｙ，Ｚの個数で、
　(X,Y,Z)＝
　　(10,0,0)
　　(9,1,0)(9,0,1)
　　(8,2,0)(8,1,1)(8,0,2)
　　(7,3,0)(7,2,1)(7,1,2)(7,0,3)
　　　・・・
　　(0,0,10)(0,1,9)(0,2,8)…(0,9,1)(0,10,0)
　　で、1+2+3+…+11＝66個 ですね？

元の問題で考えると、
　ｘ＋ｙ＋ｚ＝2k−1＝11　ｘ≦6, y≦7, z≦8
を満たすｘ，ｙ，ｚの個数を求めるわけですが、
上の(X,Y,Z) と１対１に対応して、
　(x,y,z)＝
　　(-4,7,8)
　　(-3,6,8)(-3,7,7)
　　(-2,5,8)(-2,6,7)(-2,7,6)
　　(-1,4,8)(-1,5,7)(-1,6,6)(-1,7,5)
　　　・・・
　　(6,7,-2)(6,6,-1)(6,5,0)…(6,-2,7)(6,-3,8)
のように 66個あるので、
k^2/2+11k/2-16 に6を代入した
　18＋33−16＝35
とは、似ても似つかないですよ。
No.69948 - 2020/10/06(Tue) 19:46:40
☆ Re: 数2 / IT
横から失礼します。
x,y,z ＞０　の条件が抜けているのでは？
x,y,z ＞０なので　ｋ＝6のとき35通りで合っているのでは？
No.69949 - 2020/10/06(Tue) 20:11:32
☆ Re: 数2 / ヨッシー
あぁぁ。
(1) のうちかぁ

失礼しました。
No.69951 - 2020/10/06(Tue) 20:59:07
☆ Re: 数2 / Ran
何が起こっているんだ………(((
No.69992 - 2020/10/08(Thu) 12:50:24
☆ Re: 数2 / GandB
つまり、
　(x,y,z)＝
　　(-4,7,8)
　　(-3,6,8)(-3,7,7)
　　(-2,5,8)(-2,6,7)(-2,7,6)
　　(-1,4,8)(-1,5,7)(-1,6,6)(-1,7,5)
　　　・・・
　　(6,7,-2)(6,6,-1)(6,5,0)…(6,-2,7)(6,-3,8)
の中で、x,y,z がすべて正でないといけないということです。

(X,Y,Z) でいうと、X は５以下、Y は６以下、Z は７以下でないと
いけないということです。
No.69996 - 2020/10/08(Thu) 15:32:37
☆ Re: 数2 / Ran
つまり格子点でやるのは不可能ですか？？？
No.70001 - 2020/10/08(Thu) 19:44:17
★ ベクトル / うい
(3)を解いたのですが、何が不足しているか、これで合っているかがわからないのでアドバイスをいただきたいです。

見づらく申し訳ありません。
No.69929 - 2020/10/05(Mon) 23:29:43
☆ Re: ベクトル / X
添付写真右列4行目は間違っています。

添付写真右列2行目に(1)の結果を使いましょう。
No.69953 - 2020/10/06(Tue) 21:49:24
★ 統計学の問題について教えてください / rara
カイ二乗分布の確率密度関数の形に注意してE[1/U] 求めよという問題の答えが1/(n-2) なのですが、途中式が載っていなかったのでどう解けばよいのか分からず困っています。お願いします。
No.69921 - 2020/10/05(Mon) 13:02:47
★ (No Subject) / かんな
この図の一次元単体的複体のホモロジー群を求めてください
No.69919 - 2020/10/05(Mon) 11:43:54
☆ Re: / IT
丸投げでは、回答が付き難いと思います。

定義がテキストに書いてあり、定義だけでは抽象的で分からないので、１つか２つの計算例が載っていると思いますので
それを参考に求めることになると思います。
No.69925 - 2020/10/05(Mon) 21:25:51
☆ Re: / かんな
お世話になっております…
有限単体的複体Kに対して商群Hq(K)=Zq(K)/Bq(K)をq次ホモロジー群。
z∈Zq(K)に対して[z]∈Hq(K)をzのホモロジー類とする。
例題ではないですが参考になりそうなものも載せておきます、、
No.69927 - 2020/10/05(Mon) 22:40:38
★ 加重平均値を教えてください / ふー
宅急便の配送料の平均金額を出したいのですが
計算方法が分からず答えが出せません…。

各エリアの配送料にエリア別の人口比率を加味して
配送料の平均金額を出したいのですが。。。

よろしくお願いします。
No.69917 - 2020/10/05(Mon) 09:53:16
☆ Re: 加重平均値を教えてください / ヨッシー
人口比率と、利用数比率が同じとして、
北陸の 0.90% だけ、有効桁数が他とは違うのは無視すると、
　1220×0.04＋890×0.02＋・・・＋1220×0.11＋1220×0.01
を計算して、
　比率の合計　0.849
で割ればいいでしょう。
No.69918 - 2020/10/05(Mon) 10:56:19
★ 線形代数 / はなぞの
(3)の解き方を教えてください
No.69915 - 2020/10/05(Mon) 03:37:51
☆ Re: 線形代数 / IT
出来たとこまで書き込まれた方が回答が付きやすいと思います。
特に（１）のImfがどうなったかは必要だと思います。

Imfは２次元なので　BのKerが２次元ということから
２行の行列で条件を満たすBがないかを探して見ると良いと思います。

Imfの基底のベクトルｘ[1],x[2]について、Bｘ[i]＝０ベクトルとなるような２行４列の行列Bを探す.
No.69957 - 2020/10/06(Tue) 23:03:31
★ (No Subject) / うい
傾きが-aまでだせました…
この後どうすればいいか教えてください。
No.69914 - 2020/10/04(Sun) 22:22:01
☆ Re: / X
C[2]の方程式から
y'=-2(x-1)
これが-aに等しいときのxの値を求めることにより
求める接線のC[2]との接点のx座標を求める
ことができます。
No.69916 - 2020/10/05(Mon) 05:51:38
☆ Re: / うい
lは((α＋2)/2、 -α^2/4)
を通る傾き-αの直線になりますか？
No.69923 - 2020/10/05(Mon) 19:44:56
☆ Re: / X
＞＞((α＋2)/2、 -α^2/4)
が
((a+2)/2,-(a^2)/4)
の意味であればその通りです。
No.69926 - 2020/10/05(Mon) 21:36:11
★ 正規母集団の平均の推定と検定 / rumi
標本平均が推測論の観点から良い理由を教えてください。また、平均に対する片側検定は標本平均を用いた不等式の形で与えられるものが良い理由も教えてください。よろしくお願いいたします。
No.69909 - 2020/10/04(Sun) 18:01:14
★ (No Subject) / みかん
この問題と以下解答なのですが、なぜf(1)>0〜f(4)>0であることが必要、と言えるのでしょうか？実験の結果と書きましたが、どう実験すべきか教えていただけますか？
No.69907 - 2020/10/04(Sun) 17:29:53
☆ Re: / IT
xのすべての自然数値について　f(x)＞0　となる。
ためには、f(1)>0〜f(4)>0であることが必要
は、論理的に明らかだと思います。
（「実験の結果」などと書くべきではないと思います。）

f(1)>0〜f(4)>0　を調べることにする　1〜4の見つけ方　が分からないということでしょうか？　
小さい値の方が計算が簡単ということはあると思います。
No.69908 - 2020/10/04(Sun) 17:35:47
☆ Re: / IT
＞小さい値の方が計算が簡単ということはあると思います。
と書きましたが、この問題の場合はそうでもないかも知れません。

先に別の方法で　aのおよその範囲を調べてからの方が見通しが良いかも知れません。
No.69912 - 2020/10/04(Sun) 21:41:18
☆ Re: / IT
a＝0は不適
a＜0のとき　x→∞のとき　f(x)→-∞　なので不適
よってa＞0
f(x)＝a(x^2-(2/a)x+1+(3/a))

b=1/a,g(x)＝x^2-2bx+1+3b とおく
任意の自然数についてg(x)＞0であるb（＞0）の条件を求めればよい。　
g(x)＝(x-b)^2-b^2+3b+1、y=g(x)は下に凸の放物線で軸はx=b…(1)

xが自然数のときの(x-b)^2の最小値は、1より小さいので
1-b^2+3b+1＞0すなわち　b^2-3b-2＜0　が必要
よって　0＜b＜4　が必要。
0＜b＜4のとき　g(x)が最小となる自然数xは、(1)よりx=1,2,3,4のいずれか。
よって,a＞1/4かつf(1)＞0かつf(2)＞0かつf(3)＞0かつf(4)＞0を満たすaの範囲を求めればよい。

bやg(x) は、記述を簡単にするためです。使わなくてもOKです。
No.69913 - 2020/10/04(Sun) 22:15:23
☆ Re: / みかん
f(1)>0〜f(4)>0が論理的に明らかなのはなぜですか？
No.69952 - 2020/10/06(Tue) 21:11:51
☆ Re: / IT
＞f(1)>0〜f(4)>0が論理的に明らか
引用文を省略し過ぎです。

xのすべての自然数値について　f(x)＞0　となる。
とは、どういうことか　考えてみてください。
No.69958 - 2020/10/06(Tue) 23:05:15
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