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★ 積分の確認 / あああああ
画像の右にあるグラフ(y = x^2)の階段状になっているものを
1つずつ左のグラフに持ってきて
その高さが右のグラフから持ってきた階段状の面積と一致するという説明を受けました(この画像の右の赤い部分の面積が左グラフの赤い部分の高さ)
そこで確認なのですが、現在その高さだけで表している面積は
y座標の大きさのみと受け取れるのですが、
xを明示的にかけようとしないのはxの移動量が小さすぎるから、
yの大きさを面積にしてしまおうということなのでしょうか？
(本来の4角形面積公式なら x * yなので)
No.70440 - 2020/10/25(Sun) 01:01:47
☆ Re: 積分の確認 / ヨッシー
>1つずつ左のグラフに持ってきて
だけだと片手落ちで、
「階段状になっているものを積み上げて、横幅１の長方形に換算したときの高さを左のグラフのｙとする」
が正解です。
そうでないと、分割数を増やすといくらでも高くなりますから。
その意味では、ｘもちゃんと考慮しています。

No.70441 - 2020/10/25(Sun) 07:02:24
☆ Re: 積分の確認 / あああああ
なるほど　確かに無限になってしまいますね。
この図は縦に並べるのではなく横に倒してその高さ * 1 という認識でしょうか？
No.70446 - 2020/10/25(Sun) 15:38:54
☆ Re: 積分の確認 / ヨッシー
縦に並べた上で、面積を変えずに、横が１になるように
変形したものです。
２番目は最初、横が1/2 なので、横を１にするときに、縦を1/2倍しています。
３番目は最初、横が1/4 なので、横を１にするときに、縦を1/4倍しています。
No.70450 - 2020/10/25(Sun) 16:48:17
☆ Re: 積分の確認 / あああああ
ありがとうございます
完璧に理解できました！！
No.70451 - 2020/10/25(Sun) 16:53:34
★ チェバの定理とメネラウスの定理 / 学生
この問題においてABの中点をM,CDの中点をNとし、一辺の長さが√3の正三角形を作りその三角形においてチェバメネラウスの定理を用いてOMの長さを求めることはできますか？
No.70434 - 2020/10/24(Sat) 15:10:49
☆ Re: チェバの定理とメネラウスの定理 / ヨッシー

たとえば、図のようにＡＯの延長とＢＮの交点、ＢＯの延長とＡＮの交点を
考えれば出来るかもしれませんが、各部分の辺の長さを求めている間に
ｒを求めるための材料は全部揃うと思います。
No.70435 - 2020/10/24(Sat) 15:40:11
★ 確率 / 高校生
Cを使った解き方がわかりません。

解説よろしくお願いいたします。
No.70433 - 2020/10/24(Sat) 12:53:27
☆ Re: 確率 / ヨッシー
表裏の出方は全部で ２^4＝16(通り)
そのうち、表が２回、裏が２回出るときが
(2, 2) に到着する場合であり、その場合の数は
　4Ｃ2＝6
求める確率は
　6/16＝3/8
という具合です。
No.70436 - 2020/10/24(Sat) 17:56:43
☆ Re: 確率 / 高校生
> 表裏の出方は全部で ２^4＝16(通り)
> そのうち、表が２回、裏が２回出るときが
> (2, 2) に到着する場合であり、その場合の数は
> 　4Ｃ2＝6
> 求める確率は
> 　6/16＝3/8
> という具合です。

ありがとうございます！
No.70438 - 2020/10/24(Sat) 21:11:53
★ 数学3の定積分の不等式について / 修業中
定積分の不等式について教えてください。

nを2以上の自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
1/√２≦∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦π/4

答えが以下です。


ｎ≧2, 0 ≦ x ≦ 1/√2 において
1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)
であるから
∫(0→1/√2) dx ≦∫(0→1/√2) 1/√{1-(x^n)} dx ≦∫(0→1/√2) 1/√(1-x^2) dx

∫(0→1/√2) dx = 1/√2
∫(0→1/√2) 1/√(1-x^2) dx = [arcsin(x)](0→1/√2) = π/4

故に
１/√2 ≦∫(0→1/√2) 1/√{1-(x^n)} dx ≦ π/4

なのですが、最初の

ｎ≧2, 0 ≦ x ≦ 1/√2 において
1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)

この変形の仕方が分かりません。ご回答頂けると幸いです
No.70426 - 2020/10/23(Fri) 23:19:59
☆ Re: 数学3の定積分の不等式について / IT
> ｎ≧2, 0 ≦ x ≦ 1/√2 において
> 1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)
> この変形の仕方が分かりません。
この不等式の証明法が分からない。　という意味でしょうか？
どうやって、この不等式を思いついたか分からない。という意味でしょうか？
あるいは、別の意味でしょうか？
No.70430 - 2020/10/23(Fri) 23:46:24
☆ Re: 数学3の定積分の不等式について / 修業中
質問の仕方が不十分で申し訳ありません。

1 ≦ 1/√{1-(x^n)} ≦ 1/√(1-x^2)

この不等式をどうやって思いついたかが分かりませんでした。
ご回答お待ちしております。
No.70437 - 2020/10/24(Sat) 20:04:08
☆ Re: 数学3の定積分の不等式について / IT
2以上の自然数nについて,∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦π/4…(1)　を示すために
nが変化したとき　
　　∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx　がどう変化するかを考えます。
　　そこで被積分関数　1/√{1-(x^n)}がどう変化するかを考えます。

0＜x≦1/√2　では、
　nが大きくなると、x^nは小さくなるので、√{1-(x^n)}　は大きくなり
　1/√{1-(x^n)}は、小さくなります。
　よって、1/√{1-(x^n)}≦1/√{1-(x^2)}となることが分かります。

よって、　∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦∫(0→1/√2)1/√{1-(x^2)}dxです。

したがって、
　∫(0→1/√2)1/√{1-(x^2)}dx≦π/4…(2)を示せば、
　2以上の自然数nについて,∫(0→1/√2)1/√{1-(x^n)}dx≦π/4…(1)が示せます。
No.70439 - 2020/10/24(Sat) 22:40:17
★ (No Subject) / 劣等生
a,b,c：自然数 (a<b<c)
n：自然数
a^2b+b^2c+c^2a=ab^2+bc^2+ca^2+abcnを満たす(a,b,c,n)の組をすべて求めよ。
どこから手をつけてよいのかわからないです。
No.70424 - 2020/10/23(Fri) 21:24:51
☆ Re: / ヨッシー
a^2b＋b^2c＋c^2a−ab^2−bc^2−ca^2＝abcn
とおいて、左辺を因数分解すると
　(左辺)＝c^2a−bc^2＋b^2c−ca^2−ab^2＋a^2b
　　＝(a−b)c^2＋(b−a)(b＋a)c＋ab(a−b)
　　＝(a−b){c^2−(a＋b)c＋ab}
　　＝(a−b)(c−a)(c−b)＜０
となり、条件を満たす自然数a,b,c,n は存在しない。
No.70432 - 2020/10/24(Sat) 08:50:58
☆ Re: / 劣等生
コロナに感染して入院していました。
返信が遅れて申し訳ございませんでした。
ご回答ありがとうございました。
No.70702 - 2020/11/06(Fri) 19:47:04
★ (No Subject) / 劣等生
a,b,c：非負整数
a^b+b^c+c^a＝276を満たす(a,b,c)の組をすべて求めよ。
どこから手をつけてよいのかわからないです。
No.70423 - 2020/10/23(Fri) 21:19:02
☆ Re: / IT
有限の問題ですから、必ずできることはできます。
ある程度工夫して、しらみつぶしでやるしかないのでは

a^b、b^c、c^aのうちa^bが最大だとすると

92≦a^b≦276　…(1)
ｂ=1 のとき　 a+1+c^ａ＝276　
　　　　　　　∴　(a,b,c)=(275,1,0),(274,1,1)
ｂ≧2のとき
　(1)より a ≦16
　　a＝2のとき b=7,7^c+c^2=276-128=148,c=1,2いずれも不適。
　　　　　　　 b=8,8^c+c^2=276-256=20,c=1 不適。
　　a＝3のとき a^b=243,b=5,5^c+c^3=276-243=33,c=2 はＯＫ
　　a＝4のとき a^b=256,b=4,4^c+c^4=276-256=20,c=1,2いずれも不適。
　　a＝5のとき a^b=125,b=3,3^c+c^5=276-125=151,c=1,2,3いずれも不適.
　　a＝6のとき a^b=216,b=3,3^c+c^6=276-216=60,c=1,2いずれも不適。
　　a＝7のとき 7^2＜92,276＜7^3 なので不適。
　　a＝8のとき 8^2＜92なので不適。
　　a＝9のとき 9^2＜92なので不適。
　　10≦a≦16 のとき　92 ≦10^2=100,16^2=256≦276 なので b=2
　　　　c^10≦c^a ＜2^10　なのでc=0,1
　　　c=0 のとき　a^2+1=276,a^2=275 これを満たす整数aはない。
　　　c=1 のとき　a^2+2+1=276,a^2=273 これを満たす整数aはない。

　したがって、(a,b,c)=(275,1,0),(274,1,1),(3,5,2)

その他の場合は、a→b→c→aと入れ替える。
No.70425 - 2020/10/23(Fri) 22:36:10
☆ Re: / らすかる
a,b,cのうち最小のものが4以上だとすると
a^b+b^c+c^a≧4^4+4^4+4^4=768＞276となり不適なので
少なくとも一つ3以下のものがある。
4以上のものが二つある場合、4^5=1024＞276,5^4=625＞276なので
二つとも4でなければならない。このとき、例えばa=b=4とすると
4^4+4^c+c^4=276から4^c+c^4=20となり、これを満たすcは存在しない。
従って3以下のものが二つ以上となる。
どれか一つが0の場合、例えばa=0とすると
0^b+b^c+c^0=276からb^c=275となり、このときb=275、c=1なので、(a,b,c)=(0,275,1)が解。
あとは1≦a,b≦3の9通りについて考えればよい。
(a,b)=(1,1)のとき1+1+c=276なので(1,1,274)が解。
(a,b)=(1,2)のとき1+2^c+c=276となるが1+2^8+8=265＜276＜1+2^9+9=522なので不適。
(a,b)=(1,3)のとき1+3^c+c=276となるが1+3^5+5=249＜276＜1+3^6+6=736なので不適。
(a,b)=(2,1)のとき2+1+c^2=276となるが273は平方数でないので不適。
(a,b)=(2,2)のとき4+2^c+c^2=276となるが4+2^7+7^2=181＜276＜4+2^8+8^2=324なので不適。
(a,b)=(2,3)のとき8+3^c+c^2=276なので(2,3,5)が解。
(a,b)=(3,1)のとき3+1+c^3=276となるが272は4乗数でないので不適。
(a,b)=(3,2)のとき9+2^c+c^3=276となるが9+2^5+5^3=166＜276＜9+2^6+6^3=289なので不適。
(a,b)=(3,3)のとき27+3^c+c^3=276となるが27+3^4+4^3=172＜276＜27+3^5+5^3=395なので不適。
従って求める答えは上記の解とそれをa→b→c→aのように回転したものなので
(a,b,c)=(0,275,1),(1,0,275),(275,1,0),(1,1,274),
(274,1,1),(1,274,1),(2,3,5),(5,2,3),(3,5,2)
No.70431 - 2020/10/24(Sat) 03:41:21
☆ Re: / IT
らすかるさん＞
> どれか一つが0の場合、例えばa=0とすると
> 0^b+b^c+c^0=276からb^c=275となるが、275は累乗数でないので不適。
a=0,b=275 ,c=1 ならOKでは?
No.70442 - 2020/10/25(Sun) 08:51:40
☆ Re: / らすかる
あ、そうですね。1乗を忘れていました。
ご指摘ありがとうございます。元記事を修正します。
No.70443 - 2020/10/25(Sun) 09:51:59
☆ Re: / 劣等生
コロナに感染して入院していました。
返信が遅れて申し訳ございませんでした。
お二方ともありがとうございました。
No.70701 - 2020/11/06(Fri) 19:46:12
★ 結び目理論 / 結び目
下図の結び目Kに対しての問いです。
お願いします、！
No.70415 - 2020/10/23(Fri) 15:02:43
★ (No Subject) / いいいい
2x^2+（4-7a）x+a (3a-2) <0の解がちょうど3個の整数を含むような正の定数aの値を求めよ。
この答えのやり方以外の方法を教えて欲しいです。
No.70408 - 2020/10/23(Fri) 09:17:33
☆ Re: / いいいい
あとこれです
No.70409 - 2020/10/23(Fri) 09:18:03
☆ Re: / らすかる
2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)=0の2解をα,β（α＜β）とすると
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ={(4-7a)/2}^2-2a(3a-2)=(5a-4)^2/4
問題の条件を満たすためには、少なくとも
2^2＜(5a-4)^2/4≦4^2でなければならず、これを解いて8/5＜a≦12/5
2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)=(2x-a){x-(3a-2)}から
2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)=0の解はa/2,3a-2
8/5＜a≦12/5のとき4/5＜a/2≦6/5,14/5＜3a-2≦26/5だから
小さい方の解がa/2、大きい方の解が3a-2であり、
小さい方の解αは
8/5＜a＜2のとき0＜α＜1
a=2のときα=1
2＜a≦12/5のとき1＜α＜2
大きい方の解βは
8/5＜a＜5/3のとき2＜β＜3
a=5/3のときβ=3
5/3＜a＜2のとき3＜β＜4
a=2のときβ=4
2＜a＜7/3のとき4＜β＜5
a=7/3のときβ=5
7/3＜a≦12/5のとき5＜β＜6
となる。
従ってα＜x＜βを満たす整数の個数は
8/5＜a≦5/3のとき1,2の2個
5/3＜a＜2のとき1,2,3の3個
a=2のとき2,3の2個
2＜a≦7/3のとき2,3,4の3個
7/3＜a≦12/5のとき2,3,4,5の4個
となるから、問題の条件を満たすaの範囲は
5/3＜a＜2 と 2＜a≦7/3。
No.70412 - 2020/10/23(Fri) 13:00:42
☆ Re: / いいいい
理解力が乏しくすみません。ここの場合分けは何を基準にしているのですか？

> 小さい方の解αは
> 8/5＜a＜2のとき0＜α＜1
> a=2のときα=1
> 2＜a≦12/5のとき1＜α＜2
> 大きい方の解βは
> 8/5＜a＜5/3のとき2＜β＜3
> a=5/3のときβ=3
> 5/3＜a＜2のとき3＜β＜4
> a=2のときβ=4
> 2＜a＜7/3のとき4＜β＜5
> a=7/3のときβ=5
> 7/3＜a≦12/5のとき5＜β＜6
> となる。
> 従ってα＜x＜βを満たす整数の個数は
> 8/5＜a≦5/3のとき1,2の2個
> 5/3＜a＜2のとき1,2,3の3個
> a=2のとき2,3の2個
> 2＜a≦7/3のとき2,3,4の3個
> 7/3＜a≦12/5のとき2,3,4,5の4個
> となるから、問題の条件を満たすaの範囲は
> 5/3＜a＜2 と 2＜a≦7/3。
No.70416 - 2020/10/23(Fri) 15:37:39
☆ Re: / らすかる
間の整数解の個数が問題なのですから、
「小さい方の解がnとn+1の間」
「小さい方の解がn」
のように「整数でない場合に何と何の間か」と
「ちょうど整数の場合」にすべて場合分けしてしまって
「小さい方の解の場合分け」と「大きい方の解の場合分け」を
合わせて全部の場合分けのパターンを考えれば、
間の整数の個数が容易にわかりますね。
その考え方に従って、例えば大きい方の解は
14/5＜3a-2≦26/5つまり最小で2と3の間、最大で5と6の間なので
「2と3の間になる場合」
「3になる場合」
「3と4の間になる場合」
「4になる場合」
「4と5の間になる場合」
「5になる場合」
「5と6の間になる場合」
のそれぞれのaの範囲を出します。
No.70417 - 2020/10/23(Fri) 16:11:13
★ (No Subject) / い
次の問の解説及び解答をお願いします。
No.70405 - 2020/10/23(Fri) 01:18:30
☆ Re: / らすかる
△EBCの面積は△ABCの面積の1/5なので、AE：EB=4：1
△DEGの面積は△AEGの面積の1/3なので、AD：DE=2：1
よってAD：DE：EB=8：4：3だからAD：EB=8：3
No.70407 - 2020/10/23(Fri) 05:59:47
☆ Re: / い
よってAD：DE：EB=8：4：3

はどうやって出てくるのでしょうか？
No.70413 - 2020/10/23(Fri) 14:20:18
☆ Re: / らすかる
AE：EB=4：1でAD：DE=2：1なので
AE：EB=4：1の4を2：1に分割しなければなりませんが、
このままでは分数になってしまいますので
整数で分割できるように
AE：EB=4：1=12：3とします。
そうすればAEが12でAD：DE=2：1なので
ADを8、DEを4とすればよいことがわかりますね。
もちろん、最初に分数で出してから後で何倍かしてもOKです。
No.70418 - 2020/10/23(Fri) 16:14:00
☆ Re: / い
ありがとうございます。
No.70427 - 2020/10/23(Fri) 23:34:16
★ (No Subject) / あ
次の問の解説及び解答をお願いします。
No.70404 - 2020/10/23(Fri) 01:17:14
☆ Re: / らすかる
長方形の左上をA、左下をB、右下をC、右上をD
斜線部分の頂点のうちA,B,C,Dに近い点を順にE,F,G,Hとして
ABの4等分点のうちAに近い点をIとします。
Iを通り直線EFと平行な直線とBCの交点はBに近い5等分点と
その次の5等分点の中点になるから、IE：EH=1：6
EH：HD=6：4だからIE：ED=1：10
よって△AIEのAIを底辺とすると高さは33÷11=3だから
△AIEの面積は(24/4)×3÷2=9
よって△ABFの面積は9×4×4=144、△AEDの面積は△AIEの面積の10倍で90
従って斜線部分の面積は33×24-(144+90)×2=324cm^2
No.70406 - 2020/10/23(Fri) 05:53:45
☆ Re: / あ
Iを通り直線EFと平行な直線とBCの交点はBに近い5等分点と
その次の5等分点の中点になる

なぜ上記のようになるのですか？
No.70414 - 2020/10/23(Fri) 14:37:51
☆ Re: / らすかる
直線AFは下に4目盛進んで右に2目盛進む角度ですから、
この直線と平行な直線ならば
下に2目盛なら右に1目盛
下に3目盛なら右に3/2目盛
となりますね。
ですからIから下に3目盛でBまで進んだとき、
Bから右に3/2目盛進んだ点になります。
No.70419 - 2020/10/23(Fri) 16:18:39
☆ Re: / あ
どうして

IE：EH=1：6

なるのでしょう？
No.70420 - 2020/10/23(Fri) 16:45:48
☆ Re: / あ
よって△ABFの面積は9×4×4=144、△AEDの面積は△AIEの面積の10倍で90

この部分の図形的解説をお願いします。
No.70421 - 2020/10/23(Fri) 17:06:54
☆ Re: / らすかる
EFと平行な線をあと5本引いてみて下さい。
Aの右の目盛からEFと平行に、
その右の目盛からEFと平行に、
そしてEF、HGと今引いた2本の計4本の間それぞれに1本ずつ。
そうすると等間隔の平行線が全部で8本あることになり、
その図を見ればIE：EH=1：6は一目瞭然ですね。

ABの中点を通りEFと平行な直線、
その下の目盛を通りEFと平行な直線、
Eを通りABと平行な直線、
EFの3等分点を通りABと平行な直線
（3等分点は2個ありますので平行な直線も2本）、
ABの中点を通りEHと平行な直線、
その下の目盛を通りEHと平行な直線
以上7本の直線を引くと、
△ABFが△AIEと同じ三角形16個に分割されますね。
ですから△ABF=△AIE×16=9×16=144となります。
△AEDの面積が△AIEの面積の10倍なのは
IE：ED=1：10からIE、EDを底辺とみれば
底辺が10倍で高さが同じだからです。
No.70422 - 2020/10/23(Fri) 19:41:50
☆ Re: / あ
ありがとうございます。
No.70428 - 2020/10/23(Fri) 23:35:20
☆ Re: / ヨッシー

らすかるさんの回答とリンクするかはわかりませんが、
図のように細かく分けると、求める面積は
全体の 6/11×15/20＝18/44（倍）
よって、
　24×33×18/44＝324
となります。
　
No.70429 - 2020/10/23(Fri) 23:42:06
★ (No Subject) / おlれ
(2)なのですがなぜ m＜3ではなく 0＜m＜3になるのですか？
No.70393 - 2020/10/22(Thu) 20:25:01
☆ Re: / ヨッシー
問題と答えが合っていないのでは？
No.70394 - 2020/10/22(Thu) 20:34:13
☆ Re: / IT
mx^2-x-2 のままだと、m<0 のとき　上に凸のグラフになりますね。

ｆ(x)=x^2−x/m−2/m としているのでは？
No.70397 - 2020/10/22(Thu) 20:49:46
☆ Re: / おlれ
なるほど！
(1) (2) ではそれは考えなくていいのですか？
No.70398 - 2020/10/22(Thu) 20:53:57
☆ Re: / IT
> (1) (2) ではそれは考えなくていいのですか？
(1) (2)？
「それ」とは？　何のことですか？
No.70399 - 2020/10/22(Thu) 20:58:58
☆ Re: / おlれ
例えば(1)をmが負も考えてやってみたのですが答えが出なかったのですがこれはどこが間違っていますか？
No.70400 - 2020/10/22(Thu) 21:13:26
☆ Re: / おlれ
でなかったというかいらない答えまで出てしまいました
No.70401 - 2020/10/22(Thu) 21:14:25
☆ Re: / IT
２つの実数解を持つための条件を考慮してないからでは？
No.70402 - 2020/10/22(Thu) 22:31:44
★ 食塩水の濃度の計算 / うしょ
この写真の(3)の解き方がわかりません。解説がのってないので教えて欲しいです。答えは?Eの160です。
No.70392 - 2020/10/22(Thu) 19:52:12
☆ Re: 食塩水の濃度の計算 / X
条件から混ぜてできる食塩水の中の食塩の重さについて
(1.5/100)a+(0.5/100)(200-a)≧200・1.3/100
これをaについての不等式として解きます。
No.70395 - 2020/10/22(Thu) 20:37:33
★ フーリエ変換 / yuki
以下の問題の解き方を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。
No.70391 - 2020/10/22(Thu) 19:07:42
☆ Re: フーリエ変換 / X
(1)(2)
Fourier変換の定義式にg(t)を代入し
lim[t→∞]e^(-at)=0
に注意して積分を計算します。

(3)
ネットなどで以下のキーワードを検索してみて下さい。
ガウス積分
No.70396 - 2020/10/22(Thu) 20:39:51
☆ Re: フーリエ変換 / yuki
(1)は解けたのですが(2)と(3)が分からず…
(2)以降って部分積分の形になりますか？

何度もすみません><
No.70403 - 2020/10/22(Thu) 23:59:02
☆ Re: フーリエ変換 / X
(2)
部分積分ではありません。

{e^(-at-i2πν[0]t)}e^(-i2πνt)=e^{(-a-i2πν[0]-i2πν)t}
ですので(1)と計算方針は変わりません。
No.70410 - 2020/10/23(Fri) 10:01:05
☆ Re: フーリエ変換 / X
(3)
{e^(-at^2-i2πν[0]t)}e^(-i2πνt)=e^{-(1/a)(πν[0]+πν)^2}
・e^{-a(t+iπν[0]/a+iπν/a)^2}
と変形して、以下の補題を使うと
G(ν)={√(π/a)}e^{-(1/a)(πν[0]+πν)^2}


補題)
a,pを実数(但しa＞0)とするとき
∫[-∞→∞]{e^{-a(x+ip)^2}}dx=√(π/a) (A)
(∵)
R,r＞0に対し、次の積分路を考える。
C[1]:z:-r+ip→R+ip
C[2]:z:-r→R
C[3]:z:-r+ip→-r
C[4]:z:R→R+ip
ここで関数
f(z)=e^(-az^2)
を考えると、
(A)の左辺が収束⇔
∫[-∞→∞]{e^{-a(x+ip)^2}}dx=lim[r,R→∞]∫[C[1]]f(z)dz (B)
((∵)z=x+ipと置換積分)

さて、f(z)は正則なのでCauchyの積分定理により
f(z)の経路積分は積分路の始点終点に依存し、経路に依らず
等しい値を取るので
∫[C[1]]f(z)dz=∫[C[3]]f(z)dz+∫[C[2]]f(z)dz+∫[C[4]]f(z)dz
∴∫[C[1]]f(z)dz=∫[z:-r+ip→-r]{e^(-az^2)}dz+∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[z:R→R+ip]{e^(-az^2)}dz (C)
ここで右辺の第1項において
z+r=u
右辺の第3項において
z-R=U
と置換積分すると(C)は
∫[C[1]]f(z)dz=∫[u:ip→0]{e^(-a(u-r)^2)}du+∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[U:0→ip]{e^(-a(U+R)^2)}dU
整理して
∫[C[1]]f(z)dz=∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[u:0→ip]{e^(-a(u+R)^2)-e^(-a(u-r)^2)}du
∫[C[1]]f(z)dz=∫[x:-r→R]{e^(-ax^2)}dx+∫[u:0→ip]{{e^(2aRu)}/e^(aR^2)-e^(-2aru)}/e^(ar^2)}{e^(-au^2)}du (C)'
(C)'においてr,R→∞を考えると
(右辺の第2項)→0 (証明は省略します。)
又、ガウス積分により
(右辺の第1項)→√(π/a)
∴(B)により(A)は成立。

注)
補題についてはどこかに誤りがあるかもしれません。
もし補題が成立しないのであれば、この補題を使った
G(ν)の計算も誤りですので、上記の回答は
無視して下さい。
No.70411 - 2020/10/23(Fri) 11:06:00
★ 図形 / 中学数学
解説していただける方、よろしくお願いいたします。
No.70386 - 2020/10/22(Thu) 11:26:51
☆ Re: 図形 / 中学数学
間違えました。こちらもお願いいたしたいです。
よろしくお願いいたします
No.70387 - 2020/10/22(Thu) 11:34:44
☆ Re: 図形 / らすかる
OB'=6,OQ=5/2だからB'Q=6-5/2=7/2
B'R=13/2なので△ORB'と△PQB'の相似比は13：7、
従って面積比は169：49なので
△ORB'と四角形ORPQの面積比は169：169-49=169：120
よって四角形ORPQ=(120/169)△ORB=900/169
No.70389 - 2020/10/22(Thu) 11:50:22
☆ Re: 図形 / 中学数学
> OB'=6,OQ=5/2だからB'Q=6-5/2=7/2
> B'R=13/2なので△ORB'と△PQB'の相似比は13：7、
> 従って面積比は169：49なので
> △ORB'と四角形ORPQの面積比は169：169-49=169：120
> よって四角形ORPQ=(120/169)△ORB=900/169
ありがとうございました！理解できました！
No.70390 - 2020/10/22(Thu) 12:35:09
★ 二次関数 / 中学数学
解説がなく、何となくの方針がわかりますが途中が分かりません。解説出来る方、どうかよろしくお願いいたします。
No.70385 - 2020/10/22(Thu) 11:06:28
☆ Re: 二次関数 / らすかる
点Aのx座標をtとおくとy座標はt^2でSの一辺の長さが2tなので
Bのy座標はt^2+2t、よってbのx座標は√(t^2+2t)。
このときTの一辺の長さは2√(t^2+2t)なので
Sの面積は4t^2、Tの面積は4(t^2+2t)となる。

(1)
t^2+2tにt=1を代入して3

(2)
t＞0に注意してt^2+2t=48を解いてt=6

(3)
t＞0に注意して4t^2+4(t^2+2t)=88を解いてt=(-1+3√5)/2
No.70388 - 2020/10/22(Thu) 11:35:57
★ 整数 / 大学生
(1) n = 4k (k ∈ N) のとき、2^n − 1 は 5 の倍数であることを証明せよ。

(2)n が 4 の倍数でないとき、2^n − 1 は 5 の倍数でないことを証明せよ。
No.70379 - 2020/10/22(Thu) 02:30:21
☆ Re: 整数 / らすかる
(1)
n=4kのとき2^n-1=2^(4k)-1=16^k-1≡1^k-1=0 (mod 5)

(2)
2^4=16≡1 (mod 5)から2^(n+4)≡2^n (mod 5)
そして2^1-1=1,2^2-1=3,2^3-1=7はいずれも5の倍数でないので
n≠4kならば2^n-1は5の倍数でない。
No.70380 - 2020/10/22(Thu) 05:35:01
★ (No Subject) / めぐ
変数はx,yでa,b>0のとき、次の等式を満たす(x,y)を全て求めたいのですが、(x,y)=(0,0)以外の組はどのように求めるのでしょうか。
No.70376 - 2020/10/21(Wed) 23:39:35
☆ Re: / めぐ
こちらです
No.70377 - 2020/10/21(Wed) 23:40:33
☆ Re: / らすかる
辺々a^2b^2√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)を掛けて
y(-2b^2x^2-a^2y^2+a^2b^2)=0 かつ
x(-2a^2y^2-b^2x^2+a^2b^2)=0

x=0のとき
y(-y^2+b^2)=0
y=0,±b
y=0のとき
x(-x^2+a^2)=0
x=0,±a
x≠0,y≠0のとき
-2b^2x^2-a^2y^2+a^2b^2=0 かつ
-2a^2y^2-b^2x^2+a^2b^2=0
第1式×2-第2式から3x^2=a^2
∴x=±a/√3
第2式×2-第1式から3y^2=b^2
∴y=±b/√3
従って条件を満たす解は
(x,y)=(0,0),(±a,0),(0,±b),(±a/√3,±b/√3)　（複号任意）
No.70378 - 2020/10/22(Thu) 00:03:29
★ 阪大過去問 / Ran
阪大の過去問です。


最後の最後で、重複度が3なのはなんとなくそーなのかなと思うんですけど、明確にはわからくてモヤモヤします。なんで最後の重複度が3なのか教えてください。
No.70368 - 2020/10/21(Wed) 14:12:19
☆ Re: 阪大過去問 / ヨッシー

図は、ｎ＝１ のときの組み合わせで、上から順に
Ｐ0 を基準に数えたもの、Ｐ1を基準に数えたもの・・・
となっています。

例えば、Ｐ0Ｐ1Ｐ2 を通る三角形は、Ｐ0, Ｐ1, Ｐ2 で
それぞれ１回ずつ数えられているので、
重複度(という言葉があるのかは知りませんが)は３です。
No.70369 - 2020/10/21(Wed) 15:06:24
☆ Re: 阪大過去問 / Ran
なるほど！
具体的に考えたらいいんですね！
ありがとうございました(*´-`)
No.70382 - 2020/10/22(Thu) 10:14:18
★ 球 / Tom
初めに赤球2個と白球2個が入った袋がある。その袋に対して以下の試行を繰り返す。
?@まず同時に2個の球を取り出す。
?Aその2個の球が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば赤球2個を袋に入れる。
?B最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回の試行を終える。
n回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数をX nとする。
（1）X 1= 3となる確率を求めよ。
（2）X 5= 3となる確率を求めよ。
（3）X 5= 3であったとき、X 4= 3である条件つき確率を求めよ。
No.70363 - 2020/10/21(Wed) 00:10:38
☆ Re: 球 / ヨッシー
(1) １回目に色違いを引いて赤２個を入れた時に Ｘ1＝３ となるので、
　求める確率は 2/3 (赤赤が 1/6, 白白が 1/6, 赤白が 2/3)

(2) 以降の方針は次の通りです。
(2) この試行は、１回に付き全体の個数は、１個増えます。
　同色を引くと白が１個増え、色違いだと赤が１個増えます。
　各色の数が減ることはありません。
　Ｘ5＝３ ということは、５回の試行のうち、１回だけ色違いが出たということです。
　以下、個数を(赤, 白)の順に表記することにします。
　１回目のみ色違い：(2,2)→(3,2)→(3,3)→(3,4)→(3,5)→(3,6)
　２回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(3,3)→(3,4)→(3,5)→(3,6)
　３回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(2,4)→(3,4)→(3,5)→(3,6)
　４回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(2,4)→(2,5)→(3,5)→(3,6)
　５回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(2,4)→(2,5)→(2,6)→(3,6)
それぞれの確率を求め足します。
(3)
(2) の確率のうち、「５回目のみ色違い」以外が Ｘ4＝3 なので、
　１〜４の確率の合計÷１〜５の確率の合計
が求める条件付き確率です。
No.70370 - 2020/10/21(Wed) 17:20:54
☆ Re: 球 / Tom

（2）は16538/33075
（3）は7089/16538でしょうか？
めんどくさかったら無視して良いです。
No.70371 - 2020/10/21(Wed) 17:49:56
☆ Re: 球 / ヨッシー
こちらの計算では、分母を
　4Ｃ2×5Ｃ2×6Ｃ2×7Ｃ2×8Ｃ2＝529200
として、分子は
　１回目のみ色違い：(2,2)→(3,2)→(3,3)→(3,4)→(3,5)→(3,6)：11232
　２回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(3,3)→(3,4)→(3,5)→(3,6)：8424
　３回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(2,4)→(3,4)→(3,5)→(3,6)：7488
　４回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(2,4)→(2,5)→(3,5)→(3,6)：7280
　５回目のみ色違い：(2,2)→(2,3)→(2,4)→(2,5)→(2,6)→(3,6)：7392
となりました。
確率は順に、5227/66150、4303/5227 です。
　
No.70381 - 2020/10/22(Thu) 06:55:36
☆ Re: 球 / Tom
間違えました。ありがとうございます。例えば一回目のみ色違いのところを例に挙げると
　１回目のみ色違い：
(2,2)→(3,2)→(3,3)→(3,4)→(3,5)→(3,6)：11232
のところは2C1×2C1×(3C2+2C2)×(3C2+3C2)×(3C2+4C2)×(3C2+5C2)=11232という導出方法ですか？
No.70384 - 2020/10/22(Thu) 11:00:15
★ 漸化式 / ココナッツ
正八面体ABCDEFの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、隣の4頂点のいずれかに等しい確率a/4で移るか、もとの頂点に確率1-aでとどまる。初め頂点Aにいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をpnとする。
ただし、0 <a <1とし、nは自然数とする。
（1）数列｛pn}の漸化式を求めよ。
（2）確率pnを求めよ。
No.70360 - 2020/10/20(Tue) 21:26:10
☆ Re: 漸化式 / IT
n秒後に頂点B,C,D,Eのいずれかにいる確率をQ[n],頂点Fにいる確率をR[n]
とする。設問中　pn とあるのはP[n] と書く。

P[n+1]=(1-a)P[n]+(a/4)Q[n]…(1)
Q[n+1]=aP[n]+(1-a/2)Q[n]+aR[n]…(2)
R[n+1]=(a/4)Q[n]+(1-a)R[n]…(3)
P[n]+Q[n]+R[n]=1…(4)
P[0]=1,Q[0]=0,R[0]=0…(5)

(1)-(2) P[n+1]-R[n+1]=(1-a)(P[n]-R[n])=(1-a)^(n+1)(P[0]-R[0])=(1-a)^(n+1)
∴　R[n]=P[n]-(1-a)^n
(4) より　Q[n]=1-2P[n]+(1-a)^n,これを(1)に代入するとP[n]の漸化式になる。
No.70361 - 2020/10/20(Tue) 22:11:48
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