ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ああ

赤で囲ったところはなんの確認をしているのですか？

No.69888 - 2020/10/03(Sat) 08:19:39

☆ Re: / ヨッシー

グラフの交点を求めるためです。
　ｘ^2－ｘｅ^(1-x)＝０
となる点が交点になるわけですが、
　ｘ^2－ｘｅ^(1-x)＝ｘ{ｘ－ｅ^(1-x)}
において、
　ｙ＝ｘ
は、ｘ＝０でのみｙ＝０となります。
他に交点があるとすれば、
　ｘ－ｅ^(1-x)＝０
のときであり、それを調べています。

No.69889 - 2020/10/03(Sat) 08:53:24

☆ Re: / ああ

なるほど！単調に増加しといった文とかはあんまり答えには関係ないのですか？

No.69891 - 2020/10/03(Sat) 10:48:37

☆ Re: / IT

関係あります。
ｆ(x) は狭義単調増加　かつ　f(1)=0 　なので
（x＜1　　では　f(x)＜0、　x＞１では f(x)＞0であり）
f(x)＝0となるのはx＝1のときだけである。

No.69894 - 2020/10/03(Sat) 12:02:24

☆ Re: / ああ

なるほど！ありがとうございます！

No.69903 - 2020/10/04(Sun) 08:54:24

★ (No Subject) / みかん

10^n≡2020のとき、n=4K+5(kは0以上の整数)となるのはなぜですか？

No.69884 - 2020/10/02(Fri) 22:44:30

☆ Re: / mathmouth

何を法とした合同式ですか？

No.69885 - 2020/10/02(Fri) 22:49:59

☆ Re: / らすかる

10^n≡2020 (mod m) ⇒ n=4k+5
が成り立つようなmを考えてみる。
条件から10^5-2020と10^9-2020はmで割り切れるから
mは10^5-2020と10^9-2020の公約数。
10^5-2020と10^9-2020の最大公約数は60だから、
mは60の約数。
しかしmが60の約数だとすると
10^n≡2020 (mod m)はn≧2で成り立つから
10^n≡2020 (mod m) ⇒ n=4k+5
とはならない。
従って法がわからないだけでなく、他の条件があるのに
書かれていないものと思われます。

No.69887 - 2020/10/03(Sat) 03:05:57

☆ Re: / mathmouth

なるほど
確かにらすかるさんのおっしゃる通りですね。
ご説明ありがとうございます。

No.69896 - 2020/10/03(Sat) 13:18:05

★ 大学数学幾何学 / ぽっし

次の問題が分からないです。

定理5.4｢2点A,Dが直線BCの同じ側にあって∠BDC=∠BACならば、四点A,B,C,Dは同一円周上にある。｣の証明の中で、点Dが円ｒの外側にある場合に弦BC上の点Mを持ち出さなければいけない理由はなんでしょう。

以前、

弦BC上の一点からDを通るような直線をひいて、円rとの交点（E）を決めることによって角BECが弧BCの円周角となり、角BACと等しくなる。このことを用いるために弦BC上の点Mが必要。

と書いたところ不正解とのことでした

No.69874 - 2020/10/01(Thu) 21:06:21

☆ Re: 大学数学幾何学 / ぽっし

定理の証明はこちらになります

No.69875 - 2020/10/01(Thu) 21:09:30

☆ Re: 大学数学幾何学 / IT

＞弦BC上の一点からDを通るような直線をひいて、円rとの交点（E）を決めることによって角BECが弧BCの円周角となり、角BACと等しくなる。このことを用いるために弦BC上の点Mが必要。

たしかに、これでは、点Mが必須（なくてはならない）ことは言えてませんね。

No.69878 - 2020/10/01(Thu) 22:31:48

☆ Re: 大学数学幾何学 / 関数電卓

> 不正解
の直接の理由は，
　∠BDC＜∠BEC に言及していない
から，と推測されます。
質問の意図が「弦 BC 上の 点 M」ならば，

下図のように，D がどこにあっても DB, DC の一方または両方は必ず円と交わるのですが，D の位置によっては，「DB と円の交点を E」「DC と円の交点を E」と２回言わなければならない。
　その点，BC 上に M をとれば D がどこにあっても DM は必ず円と交わるから１回ですむ
ということではないかと思いますが，如何でしょうか。

No.69879 - 2020/10/01(Thu) 22:36:06

★ (No Subject) / あやね

この問題を詳しく教えていただけますか？

No.69868 - 2020/10/01(Thu) 18:54:10

☆ Re: / IT

経済学の問題だと思いますが、「実質賃金」の定義はどうなっていますか？

１つのものの価格の変化だけでは、「実質賃金」の計算はできない気がしますが。

No.69869 - 2020/10/01(Thu) 20:10:54

☆ Re: / あやね

実質賃金低下:インフレ率50%>10%
とありました。これが定義になりますか？

No.69871 - 2020/10/01(Thu) 20:20:01

☆ Re: / IT

それは定義ではなく　例示では？
また、もっと説明があるのでは　10%　とはなんでしょう？

No.69872 - 2020/10/01(Thu) 20:39:26

☆ Re: / IT

元の問題の場合、その情報だけで判断できるということなら

　実質賃金低下:インフレ率50%>名目賃金上昇率20%
　ということになると思います。

No.69873 - 2020/10/01(Thu) 20:54:00

☆ Re: / あやね

このような定義がありました！

No.69876 - 2020/10/01(Thu) 21:45:16

☆ Re: / IT

インフレ率50%>名目賃金上昇率20%　なので　実質賃金は減少した。

No.69877 - 2020/10/01(Thu) 21:59:28

★ 微分 / n

すみません、どう解けばよいのか分かりません。お願いいたします。

No.69864 - 2020/10/01(Thu) 14:11:22

☆ Re: 微分 / X

(1)だけ解きますので、解析学の教科書などで
合成関数の偏微分の公式を復習した上で
(2)はご自分でどうぞ。

(1)
dz/dt=-(sint)f_x(cost,sint)+(cost)f_y(cost,sint)
これに更に積の微分を使うと
d^2z/dt^2=-(cost)f_x(cost,sint)
-(sint){-(sint)f_xx(cost,sint)+(cost)f_xy(cost,sint)}
-(sint)f_y(cost,sint)
+(cost){-(sint)f_yx(cost,sint)+(cost)f_yy(cost,sint)}
=-(cost)f_x(cost,sint)
+{(sint)^2}f_xx(cost,sint)-(sintcost)f_xy(cost,sint)
-(sint)f_y(cost,sint)
-(sintcost)f_yx(cost,sint)+{(cost)^2}f_yy(cost,sint)

No.69883 - 2020/10/02(Fri) 18:58:15

☆ Re: 微分 / n

ありがとうございます。2番も参考にしながらですが、解くことことができました。

No.69898 - 2020/10/03(Sat) 15:11:47

★ 命題　真偽 / あ

∃b, c ∈ R s.t ∀x ∈ R, x^2 + bx +c=0 という命題の真偽とその証明を教えてください

No.69854 - 2020/09/30(Wed) 23:42:43

☆ Re: 命題　真偽 / IT

その命題を∃や∀を使わずに日本語で書くとどうなりますか？

No.69858 - 2020/10/01(Thu) 07:20:03

☆ Re: 命題　真偽 / あ

実数b,cで、『どんなx ∈ Rを取っても、 x^2 + bx +c=0を満たすものが存在する』
だと思います。私はこの命題は真であると思っているのですが、その証明をすることが出来ないので教えて頂きたいです。

No.69863 - 2020/10/01(Thu) 13:51:57

☆ Re: 命題　真偽 / IT

「ｘ＝0,1,-1 について　x^2 + bx +c=0を満たす」　b,cが存在しますか？

No.69870 - 2020/10/01(Thu) 20:14:19

☆ Re: 命題　真偽 / あ

存在するとおもいます。

No.69922 - 2020/10/05(Mon) 16:37:35

☆ Re: 命題　真偽 / IT

b,cの具体的な値を示してください。

No.69924 - 2020/10/05(Mon) 20:23:18

☆ Re: 命題　真偽 / ast

らちが明かなそうなので横から口を挟みます.
便宜のため, 本問にいう「∃b, c ∈ R s.t ∀x ∈ R, x^2 + bx +c=0」を命題 (P) と呼ぶことにします.

> > 日本語で書くとどうなりますか？
> 実数b,cで、『どんなx ∈ Rを取っても、 x^2 + bx +c=0を満たすものが存在する』だと思います。
> 私はこの命題は真であると思っている

少なくとも「実数b,cで、『どんなx ∈ Rを取っても、 x^2 + bx +c=0』を満たすものが存在する」(上は閉じ括弧の位置がおかしい) 程度は直すべきですが, それよりもこれが真であると思っているということはおそらく (P) を正しく読み取れていないと考えるのが蓋然性がありそうです. もう一度, 今度は'別の’命題
　(Q): ∀x ∈ R, ∃b, c ∈ R s.t x^2 + bx +c=0
とはっきり区別できるように (P) を (ついでに (Q) も) 日本語に直してみてください.
# 少なくとも命題 (P) と命題 (Q) がどのように違うかは踏まえられていないと話になりませんので,
# 何らかの文字をとるときほかの文字に依存してよいのか依存してはいけないのか
# といった点を明確にした記述にしてください.
## IT さんの No.69870 でいうと,
## 　[A] x=0 のとき, x=1 のとき, x=-1 のときそれぞれで b,c の値が違うのか
## 　[B] x=0,1,-1 のどの場合でも b,c は共通した値をとるのか
## のどっちになるかちゃんと考えて問題にあたっているかということを訊いているということになります.

あるいは本問の類題として,
　 (P'): ∃a, b, c ∈ R s.t ∀x ∈ R, ax^2 + bx +c=0
は真であり, この命題 (P') が存在を主張する a,b,c はただ一通り (つまり ∃ を一意存在の記号 ∃! に変更しても真) となるのですが, この a,b,c の値が具体的にいくつになるか分かりますか?
# それがわかるならさらに, それらの比について, a:b:c=1:b':c' とできるかどうかも考えましょう.
## これが可能かどうかというのはもとの命題 (P) の真偽の説明にもなるでしょう.

No.69928 - 2020/10/05(Mon) 23:17:51

★ 重積分 / はなぞの

(3)の重積分の解き方を教えてください
答えは　π/√α^2-β^2 らしいのですが、解き方がわかりません。

No.69853 - 2020/09/30(Wed) 23:38:22

☆ Re: 重積分 / X

添付写真で(3)の問題文の一部が欠けています。

No.69855 - 2020/10/01(Thu) 04:43:48

☆ Re: 重積分 / ast

この大問は, 二次形式の係数行列が (ふつうは) 対称行列であること, 一般に対称行列が直交行列で対角化できること, などを踏まえたうえで二次形式の標準化が係数行列の対角化とほぼ同義であることがわかっているかが問われている問題ということになるかと思います.

(3) の非積分函数において e の右肩に載っている二次形式の係数行列は (1) で与えられた対称行列ですから, (1) の設定の下で係数行列を対角化する直交変換によって当該の二次形式は標準化 (つまり, x,y を適当な X,Y に変換すると XY の項のない X^2 と Y^2 の項しかない二次形式に) され, 結局のところ (2) に帰着されます (というか, (1) の設定はそうなるためのものになっている).
# まあ, きれいに (2) の形にするなら, (1) の固有値を適当な形に書くなどの工夫は必要でしょうけども.

No.69857 - 2020/10/01(Thu) 06:37:14

★ (No Subject) / さやか

取っ掛かりがわかりません。
よろしくお願いします。
もし宜しければ、最後まで解答解説していただけたら嬉しいです。

No.69844 - 2020/09/30(Wed) 19:43:01

☆ Re: / らすかる

条件から(最小値)=-(最大値)なので、最大値を求めれば最小値もただちに（マイナスを付けた数と）わかる。
a^2+b^2＜1のとき最大値ではない（aを大きくすることが出来るから）ので、
a+b+c+dが最大値をとるときa^2+b^2=1
同様に、c^2+d^2＜1のときも最大値ではないので、a+b+c+dが最大値をとるときc^2+d^2=1
よってa+b+c+dが最大値をとるときa^2+b^2+c^2+d^2=2
8=4(a^2+b^2+c^2+d^2)
=(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2+(a+b+c+d)^2
から(a+b+c+d)^2はa=b=c=d=1/√2のとき最大値8となる。
a=b=c=d=1/√2は条件を満たしているから、
a+b+c+dはa=b=c=d=1/√2のとき最大値2√2、a=b=c=d=-1/√2のとき最小値-2√2をとり、
a=b=c=dのまま値を変化させることでその間の値はすべてとり得る（条件を満たす）ので、
a+b+c+dのとる値の範囲は-2√2≦a+b+c+d≦2√2。

No.69846 - 2020/09/30(Wed) 21:54:00

☆ Re: / IT

らすかるさんが回答済みですが、せっかくなので書き込みます。　後半少しちがう方法です。

f(a,b,c,d)=a+b+c+d とおく
f(a,b,c,d)の最大値を求める。
f(a,b,c,d)が最大となるとき
　a,b,c,d≧0であることは容易に分かる。
　a^2+b^2＜1 とすると　a'^2+b^2＝1となるa'＞0をとると　a＜a'なので

f(a,b,c,d)＜f(a',b,c,d)となるので　a^2+b^2＝1
同様に　b^2+c^2=1,c^2+d^2=1
∴　c=a,d=b　よって　f(a,b,c,d)=2(a+b)

したがって、a^2+b^2＝1の条件下でa+bが最大になるときを調べればよい。

あと、ラスカルさんの回答のように最大値と最小値の間の任意の値をとり得ることも示す必要があります。

No.69848 - 2020/09/30(Wed) 21:59:11

☆ Re: / らすかる

> ITさん
a^2+b^2=1とc^2+d^2=1はaとdが一つの不等式にしか登場しませんので言えますが、
b^2+c^2=1は同じ方法では言えないのでは？
（∵b^2+c^2＜1のときbやcを増やすと他の条件を満たさなくなる可能性がある）

No.69849 - 2020/09/30(Wed) 22:04:48

☆ Re: / IT

らすかるさん＞・・・
ご指摘ありがとうございます。そうですね。　私の解答はまちがいです。

この問題の場合は、
　b^2+c^2≦1 の条件をいったん棚上げして、
　a^2+b^2≦1のときのa+bの最大値,c^2+d^2≦1のときc+dの最大値を調べて
　a+b,c+dがそれぞれ最大となるとき　a＝b＝c＝d＝1/√2なのでb^2+c^2≦1 も満たす。・・・とすると大丈夫かもしれませんね

No.69850 - 2020/09/30(Wed) 22:10:19

☆ Re: / さやか

条件から(最小値)=-(最大値)になる理由がわかりません。
その箇所以外は理解できました！

No.69859 - 2020/10/01(Thu) 08:40:10

☆ Re: / らすかる

条件式の中の変数は全て2乗されていますので、
(a,b,c,d)が条件を満たすとき、(-a,-b,-c,-d)も条件を満たします。
よって最大値がa+b+c+dならば最小値は(-a)+(-b)+(-c)+(-d)=-(a+b+c+d)となり、
符号だけ変えたものになります。

No.69865 - 2020/10/01(Thu) 15:32:30

★ 順列 / ペンギン

0から9までの番号をつけた10枚のカードが6組ある。これら60枚のカードから異なる5個の数字を選んで、5桁の整数を作る。このとき、3の倍数は何個できるか。

No.69841 - 2020/09/30(Wed) 14:14:23

☆ Re: 順列 / ペンギン

ただし、0～9までにそれぞれある6組は別々のカードとみなす。

No.69842 - 2020/09/30(Wed) 14:18:23

☆ Re: 順列 / らすかる

0～9の数字を3で割った余りで分類すると、
余りが0のものが4つ(0,3,6,9)、1のものが3つ(1,4,7)、2のものが3つ(2,5,8)。
よって5個の数字の合計が3の倍数になるのは、3で割った余りが
(0,0,0,1,2)
(0,0,1,1,1)
(0,0,2,2,2)
(0,1,1,2,2)
の4通りとなる。
(0,0,0,1,2)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から3個、(1,4,7)から1個、
(2,5,8)から1個なので、使う数字の組み合わせは4×3×3=36通り
(0,0,1,1,1)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から2個、(1,4,7)すべてなので、
使う数字の組み合わせは4C2=6通り
(0,0,2,2,2)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から2個、(2,5,8)すべてなので、
使う数字の組み合わせは4C2=6通り
(0,1,1,2,2)の場合、使う数字は(0,3,6,9)から1個、(1,4,7)から2個、
(2,5,8)から2個なので、使う数字の組み合わせは4×3×3=36通り
従って使う数字の組み合わせは全部で36+6+6+36=84通り
先頭桁の0を除外しない場合、数字の並べ方が5!通り、カードの選び方が
6^5通りなので、全部で84×5!×6^5=78382080通り
ここから先頭桁が0であるものを除く必要があるが、先頭桁が0であるものは
すべての0のカードを除いた54枚から異なる4個の数字を選んで3の倍数である
4桁の数字を作る場合の数と考えればよい。
上と同様に余りで考えると（ただし余りが0のものが3つに減っていることに注意）、
3の倍数になるのは
(0,0,1,2) → 3×3×3=27通り
(0,1,1,1) → 3通り
(0,2,2,2) → 3通り
(1,1,2,2) → 3×3=9通り
の計42通りなので、全部で42×4!×6^4=1306368通り
従ってできる3の倍数は
78382080-1306368×6=70543872個　（×6は先頭の0に使うカードの種類）
となります。

No.69843 - 2020/09/30(Wed) 15:47:47