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★ 行列のrank / マカデミア
画像の問題は以下でよろしいでしょうか。
(1) 3a+b=2abの場合　rank2
3a+b≠2abの場合　rank3
(2)の解き方がいまいちわかりません。
3a+b=2abに適当に数を当てはめて考えるのでしょうか？
　　
No.70130 - 2020/10/12(Mon) 14:27:00
☆ Re: 行列のrank / IT
(1)
過程が重要です。
> (2)の解き方がいまいちわかりません。
> 3a+b=2abに適当に数を当てはめて考えるのでしょうか？

b=1+(a+1)/(2a-1) なので　(a+1)/(2a-1) が整数になるaを見つければよいと思います。

a+1=0または|a+1|≧|2a-1｜が必要条件となります。
これで絞って確認すれば良いのでは。
No.70143 - 2020/10/12(Mon) 20:45:15
☆ Re: 行列のrank / IT
2ab-3a-b=0
⇔(2a-1)(b-(3/2))-3/2=0
⇔(2a-1)(2b-3)=3
とすると楽ですね
No.70145 - 2020/10/12(Mon) 21:26:03
★ (No Subject) / 高校1年生
納得しました、らすかるさん本当にありがとうございました🙇
No.70129 - 2020/10/12(Mon) 12:39:16
★ (No Subject) / 高校1年生
答えがなくとてもわかりません、どうか教えていただけると幸いです🙇
No.70126 - 2020/10/12(Mon) 11:40:19
☆ Re: 漸化式 / 高校1年生
(4)は?狽?使ってやることはわかるのですが計算が合わず質問しました
すみません
No.70127 - 2020/10/12(Mon) 12:06:02
☆ Re: / らすかる
(4)
S[n+1]=-2a[n+1]+(n+1)-4
S[n]=-2a[n]+n-4
なので
a[n+1]=S[n+1]-S[n]={-2a[n+1]+(n+1)-4}-(-2a[n]+n-4)
=-2a[n+1]+2a[n]+1
3a[n+1]=2a[n]+1
3a[n+1]-3=2a[n]-2
b[n]=a[n]-1とおくと
3b[n+1]=2b[n]
b[n+1]=(2/3)b[n]
またa[1]=S[1]=-2a[1]+1-4からa[1]=-1なのでb[1]=a[1]-1=-2
∴b[n]=(-2)(2/3)^(n-1)=-3(2/3)^n
従ってa[n]=b[n]+1=-3(2/3)^n+1

(5)
a[n+1]=a[n]+2b[n] … (a)
b[n+1]=2a[n]+b[n] … (b)
(a)と(b)を足してa[n+1]+b[n+1]=3(a[n]+b[n])
a[1]+b[1]=3なのでa[n]+b[n]=3^n … (c)
(a)から(b)を引いてa[n+1]-b[n+1]=-(a[n]-b[n])
a[1]-b[1]=-1なのでa[n]-b[n]=(-1)^n … (d)
{(c)+(d)}÷2からa[n]={3^n+(-1)^n}/2
{(c)-(d)}÷2からb[n]={3^n-(-1)^n}/2
No.70128 - 2020/10/12(Mon) 12:15:00
★ (No Subject) / まな
（1）番の質問です。
領域Dと（1）で与えられた式が接する条件を求めてkを出すところまでは解るのですが、そこから、とり得る値の範囲の求め方がわかりません。
よろしくお願いします。
No.70124 - 2020/10/12(Mon) 09:58:15
☆ Re: / ヨッシー
その考え方で行くと、「接する」場合は２箇所あります。
それぞれのｋの値で、大きいほうが最大値、小さい方が最小値です。

No.70125 - 2020/10/12(Mon) 11:24:11
★ 接線と傾きの切り分け / あああああ
接線と傾きの違いが理解しきれていないので確認したいと思い質問いたしました。
y = x のような傾きを持つ1次関数のグラフの
接線は横棒が大量に入ったグラフになるという認識でよろしいのでしょうか？
No.70111 - 2020/10/12(Mon) 00:11:58
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / らすかる
一次関数のグラフの接線は、どの点における接線もそのグラフ自身です。「横棒」は出てきません。
No.70113 - 2020/10/12(Mon) 00:15:48
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / あああああ
返信ありがとうございます
でも接線は２つ以上の接点は持たないという決まりがあったと思います。
接線がそのグラフ自身ならすべての接点と交わってしまうと思うのですが。。
No.70114 - 2020/10/12(Mon) 00:20:17
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / らすかる
そんな決まりは聞いたことがありません。
例えばy={x(x-1)}^2という四次関数は(0,0)と(1,0)でx軸に接しますが、y=0は接線です。
またy=x^3の(1,1)における接線はy=3x-2ですが、y=3x-2はy=x^3と(-2,-8)で交わります。それでもこれは(1,1)における接線です。
接線は接点における傾きが元のグラフと一致しなければなりませんので、一次関数の場合の接線はそれ自身となります。
No.70119 - 2020/10/12(Mon) 00:45:15
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / あああああ
では１次関数における接線とはなにを基準に定められるのでしょうか？
(円なら中心点から90°で接線と定められるのような)
No.70121 - 2020/10/12(Mon) 01:03:13
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / らすかる
「ある点における接線とは、そのグラフのその点での傾きを持ちその点を通る直線」ですから
一次関数の接線は元のグラフに一致します。
この「　」内が任意のグラフにおける基準です。
「円なら中心点から90°で接線」は基準ではなく、円の接線の性質です。
（曲線の場合は、「その点での傾き」は極限をとります。）
No.70123 - 2020/10/12(Mon) 01:12:15
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / あああああ
つまり傾き = 接線ととらえてもよいのでしょうか？
No.70144 - 2020/10/12(Mon) 21:21:23
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / あああああ
すいません
完全に間違えていました
傾きは変化量ですね。。。
接線の
＜＜「ある点における接線とは、そのグラフのその点での傾きを持ちその点を通る直線」は
つまり傾きを持つ点がその傾きに近い線を引くみたいなことなんでしょうか？
傾きはxが1移動したときのyの増加量ですが、
接線yはなにをしめしだすのでしょうか？
No.70146 - 2020/10/12(Mon) 22:20:00
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / GandB
> 傾きは変化量ですね。。。
　うーむwwwww
　もういちど微積の本を開いて微分係数・導関数について説明しているところをじっくり読んだ方がいいと思う。
No.70147 - 2020/10/12(Mon) 22:25:00
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / らすかる
曲線上に点Aがあるとき、点Aにおける接線は
・曲線上で点Aの近くに点Bをとる
・直線ABを引くとたいていA,Bの2点で交わる
・このBをAに近づけていくと直線ABの傾きは「点Aでの曲線の傾き」に近づいていく
・この極限が接線
ということです。
ですから、元の曲線が一次関数の場合はBがどこにあっても
直線ABが元のグラフと一致していますので、極限としての接線も
元のグラフと一致することになります。
傾きを常に「xが1移動したときのyの増加量」と考えていると
よくわからないことになってしまいますが、傾きを
「xが微小量Δx移動したときのそれに対するyの増加量Δyの比（Δy/Δx）」
と考えればAとBがいくら近くても傾きが考えられますね。
なお、難しい言葉にすると余計わからなくなると思いましたので
「傾き」という言葉をそのまま使いましたが、接線はy軸に平行な直線の場合も
ありますので、本当は「傾き」ではまずいです。
No.70148 - 2020/10/12(Mon) 23:09:59
☆ Re: 接線と傾きの切り分け / あああああ
なるほど
だいぶ理解できました。
ただもう少し自分なりに勉強してみます
ありがとうございました！
No.70171 - 2020/10/13(Tue) 21:53:06
★ 部分集合の族の写像 / マカデミア
(2)(3)を教えてください
No.70110 - 2020/10/12(Mon) 00:06:47
☆ Re: 部分集合の族の写像 / ast
何に詰まっているのか確認したいので, (3) の略解 (肝心なところをわざと抜かしたので, そのままレポートとして提出したらまず突き返されるレベル) のみ示します.

(3) y∈(右辺) をとれば f(x_n)=y となる x_n∈X_n が各 n についてとれるが, 逆像 f^(-1) に関する有限性の仮定から x∈f^(-1)({y}) で無限個の n に対し x=x_n となるものがなければならない. このとき集合列 X_n に関する単調性の仮定からすべての n に対して x∈X_n が成り立ち, かつ作り方から y=f(x) だったから y は左辺に入る.//

#f が単射というのは f の値域の各元の逆像がどれも 1 個の元しか持たないことだから
# (つまり (3) は (2) の実質的な一般化といえる主張になってるので), (2) も同様の流れで証明できる.
## ただし単射の場合は X_n が単調減少でなくても x=x_n (for ∀n) が出るから,
## (2) は (3) の特別な場合よりは主張が一般になっているし証明も単純.
No.70161 - 2020/10/13(Tue) 13:44:38
☆ Re: 部分集合の族の写像 / マカデミア
x∈f^(-1)({y}) が有限かつ単調減少より、下限xが存在するので、x∈Xnが成立するということでよろしいですか？
No.70176 - 2020/10/14(Wed) 00:25:59
☆ Re: 部分集合の族の写像 / ast
# ちょっとごちゃごちゃ書きすぎたので, 修正してやや論点を絞りました (本筋は変わってない).

当然ダメです. 明らかにダメな理由として:
•「有限」は集合 f^(-1)({y}) に属する元の個数が有限個であるという話
• 単調減少なのは集合列 X_n
なので「有限かつ単調減少」なものはここには一切存在していないし, あるいは, そもそも考えるベースになっている集合 A 自体に大小を考えるための順序関係や元の極限操作ができる構造が入っているとは限らないので, そもそも x や x_n の大小や増減というのを考えるのはナンセンスで,「x が下限」はこの文脈上全く意味が通りません.

その部分で示すべき非自明な主張は
　[ii] 集合列 X_n が包含関係に関して単調減少であるとき, 無限個の n に対し x∈X_n ならばすべての n に対して x∈X_n が成り立つ
ですから, これをきちんと証明しなければいけません.
## この主張を示すにあたっては, もはや f^(-1)({y}) は関係ないとわかると思います.

それ以前に
　[i] f^(-1)({y}) が有限集合ならば x∈f^(-1)({y}) で無限個の n に対し x=x_n となるものが存在しなければならない.
は示せますか? (もちろん, y∈(右辺) や x_n∈X_n は No.70161 で述べたようにとります)
これもちゃんと証明してその内容をここに述べてください.

## これで良いかと問う場合, 私の略証におけるギャップをすべて埋めた証明の全体を書くべきです.
## (でないと, 何がきちんと示せているか, ギャップに気づかずスルーしたような箇所がないか,
## などがチェックから漏れてしまいます. 一カ所でもダメだと証明とはいえないですしね)
No.70177 - 2020/10/14(Wed) 02:52:51
☆ Re: 部分集合の族の写像 / マカデミア
返信ありがとうございます。
明日以降にもう一度返信します。

お手数おかけしして申し訳ございません。
No.70192 - 2020/10/14(Wed) 18:24:18
★ 漸化式➁ / 高校一年生
下記の２問が答えも解き方もなく、わかりません。
教えていただければ大変助かります。
どうぞよろしくお願いします。
No.70109 - 2020/10/11(Sun) 23:55:52
☆ Re: 漸化式➁ / らすかる
代入して順に数項求めてみると4,5,6,…となるので
a[n]=n+3と予想される。
(n+2)a[n+1]=(a[n])^2-1に代入すると
(左辺)=(n+2)(n+4)
(右辺)=(n+3)^2-1=n^2+6n+8=(n+2)(n+4)
となり成り立つ。
従ってa[n]=n+3。
No.70112 - 2020/10/12(Mon) 00:14:26
☆ Re: 漸化式➁ / 高校一年生
ご回答いただき本当にどうもありがとうございました！！

漸化式?@で問いの質問に画像貼り付けできなくてすみませんでした。
こちらも教えていただけると助かります。


問☆　nが自然数のとき、次の等式を数学的帰納法によって証明せよ。
No.70115 - 2020/10/12(Mon) 00:26:30
☆ Re: 漸化式➁ / 高校一年生
問☆　nが自然数のとき、次の等式を数学的帰納法によって証明せよ。
No.70116 - 2020/10/12(Mon) 00:27:43
☆ Re: 漸化式➁ / らすかる
まず1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6を証明する。
n=1のときは(左辺)=(右辺)=1となり成り立つ。
n=kのとき成り立つとすると
1^2+2^2+3^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
n=k+1のとき
1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}/6
となるのでn=k+1のときも成り立つ。
従って数学的帰納法により
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6が成り立つので、
両辺の逆数をとれば
1/{1^2+2^2+3^2+…+n^2}=6/{n(n+1)(2n+1)}が成り立つ。
No.70120 - 2020/10/12(Mon) 00:49:58
☆ Re: 漸化式➁ / 高校一年生
らすかるさん本当にありがとうございます、とても数学ができなく助かりました！
またよろしくお願いします
No.70122 - 2020/10/12(Mon) 01:11:42
★ 漸化式?@ / 高校一年生
下記の２問が答えも解き方もなく、わかりません。
教えていただければ大変助かります。
どうぞよろしくお願いします。
No.70108 - 2020/10/11(Sun) 23:53:36
★ Xの∞乗＝1 / ｋ・ｋ
質問です中学生なので間違っているかもしれませんがその時は優しく訂正させてくださいw
Xの2乗＝1の解は2つあります
同様に3乗の場合は3つ解があります
そして複素平面に表すと
正三角形になります
そうするとxの∞乗＝1
の解は∞個あり点を結ぶと円になります
そしてxを実軸yを虚軸だとすると
Xの2乗＋yの2乗＝1
の関数に当てはまる座標は全て
Xの∞乗＝1の解になる
この解釈合ってますか？
色々考えを聞かせてください
中学生に合わせなくていいですどんな知識でも！
No.70101 - 2020/10/11(Sun) 20:52:20
☆ Re: Xの∞乗＝1 / らすかる
xが実軸の値と複素数で二つの意味に使われていてわかりにくいので
複素数のxはzに変えるとして、
複素数z=x+iyがx^2+y^2=1を満たす座標すなわち
原点中心の円周上の点とすると、
z^a=1であるような実数aが存在する
と書けば合っています。
∞は数ではありませんので、「∞乗」は意味が定まりません。
もし∞を「無限に大きくした整数」と考えているのであれば、
これでできる「円のような図形」は稠密ですが
円周上のすべての点は表しません。
No.70103 - 2020/10/11(Sun) 21:21:01
★ 中学数学 / 図形
写真のものがわかりません。分かる方よろしくお願いいたします。
No.70098 - 2020/10/11(Sun) 17:14:50
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
点Ｊが△ＡＣＤにとってどういう点かを考えれば、
　ＢＪ：ＪＣ
が分かります。

これを習っていない場合は、ＡＣの中点をＭとしてＤＭを結び
△ＡＣＤないに出来る小さい６つの三角形の面積を考えます。
No.70099 - 2020/10/11(Sun) 17:23:04
☆ Re: 中学数学 / らすかる
HDの中点をMとすると
△AJH=(2/3)^2△AGM
△AGM=(3/4)△AGD
△AGD=(1/4)平行四辺形ABCD
とわかるので
△AJH=(2/3)^2・(3/4)・(1/4)平行四辺形ABCD
=(1/12)平行四辺形ABCD
となります。
No.70100 - 2020/10/11(Sun) 17:46:15
★ 不等式 / ろっとむ
よろしくお願いいたします。
No.70091 - 2020/10/11(Sun) 12:56:16
☆ Re: 不等式 / らすかる
rcosθ=x, rsinθ=yとすると
log[2]{(2-x^2-y^2)/(x+y)}≦1
0＜(2-x^2-y^2)/(x+y)≦2
(2-x^2-y^2)/(x+y)=2 または 0＜(2-x^2-y^2)/(x+y)＜2
(2-x^2-y^2)/(x+y)=2 から
2-x^2-y^2=2(x+y) かつ x+y≠0
(x+1)^2+(y+1)^2=4 かつ x+y≠0
→中心(-1,-1)半径2の円周から(1,-1)と(-1,1)を除いた曲線
0＜(2-x^2-y^2)/(x+y)＜2 から
-1＜(2-x^2-y^2)/(x+y)-1＜1
-1＜(2-x^2-y^2-x-y)/(x+y)＜1
{(2-x^2-y^2-x-y)/(x+y)}^2＜1
(2-x^2-y^2-x-y)^2＜(x+y)^2 かつ x+y≠0 →x+y≠0は第1式に含まれるので不要
(x^2+y^2+x+y-2)^2＜(x+y)^2
(x^2+y^2+x+y-2)^2-(x+y)^2＜0
{(x^2+y^2+x+y-2)+(x+y)}{(x^2+y^2+x+y-2)-(x+y)}＜0
(x^2+y^2+2x+2y-2)(x^2+y^2-2)＜0
{(x+1)^2+(y+1)^2-4}(x^2+y^2-2)＜0
→原点中心半径√2の円と中心(-1,-1)半径2の円のどちらか一つの円の内部
No.70094 - 2020/10/11(Sun) 14:39:15
☆ Re: 不等式 / ろっとむ
ありがとうございます。大変そうですが、真数部分の分母を√2rsin（θ+π/4）とおいて解いたりすることは可能でしょうか？
No.70096 - 2020/10/11(Sun) 15:10:36
☆ Re: 不等式 / らすかる
どうでしょう？
中心が原点からずれた円が出てきますので、極座標では面倒になる気がします。
でも私が極座標に慣れていないだけかも知れません。
No.70097 - 2020/10/11(Sun) 15:30:00
☆ Re: 不等式 / IT
極方程式での解法　途中まで （円の極方程式を調べてやってみました）

0＜(2-r^2)/((√2)rcos(θ-π/4) ≦2
cos(θ-π/4)＞0すなわち-π/4＜θ＜3π/4…(A)のとき
　2-r^2＞0…(1)　かつ　2-r^2≦2(√2)rcos(θ-π/4)…(2)
(1)は原点中心、半径√2の円の内側（円周含まず）
(2)を整理すると　r^2-2r(√2)cos(θ-5π/4)+(√2)^2≧2^2
これは　中心　極座標（√2,5π/4),半径2の円の外側（円周含む）

(A)(1)(2)の共通部分（らすかるさんの図の右上部分）

cos(θ-π/4)＜0の部分も　同様にできます。
No.70102 - 2020/10/11(Sun) 21:02:57
☆ Re: 不等式 / ろっとむ
極方程式よく思い浮かびましたね。凄くて感激しました。
流石にこれ以上の解法はありませんよね？
No.70105 - 2020/10/11(Sun) 22:49:14
★ 工夫して計算しましょう / 小学校5年生
はじめまして、こんにちは。
テストで出た問題ですが解けませんでした。
教えてください。よろしくお願いします。

4.9×2.5×4 ＝　　　　7.2×4.1+7.2×5.9＝

面倒かもしれませんが
解き方も説明してもらいたいです。
No.70085 - 2020/10/11(Sun) 08:05:08
☆ Re: 工夫して計算しましょう / ヨッシー
4.9×2.5×4 ＝4.9×(2.5×4)
カッコを先に計算します。

7.2×4.1+7.2×5.9＝7.2×(4.1＋5.9)
同じ数が掛けられているのをまとめます。

続きはご自分でどうぞ。
No.70086 - 2020/10/11(Sun) 08:07:25
☆ Re: 工夫して計算しましょう / 小学校5年生
迅速な対応ありがとうございます。心から感謝いたします。
私は母ながら、教える事ができず悩んでいたところ
このHPを見つけました。これから息子と勉強をして答えを導き出しますm(__)m 重ね重ねありがとうございます
No.70088 - 2020/10/11(Sun) 09:37:22
☆ Re: 工夫して計算しましょう / 小学校5年生
4.9×4×（3-0.5） 4.1＋5.9×（7.2＋7.2）
＝9.6×2.5 ＝10×14.4
＝49 ＝144
＝7.2×（5.9＋4.1）
＝7.2

こうやって回答してしまう子にどうやって教えてあげたら
いいのか悩んでいますが、アイデアがありましたからご教示ねがいます。よろしくお願いしますm(__)m
No.70090 - 2020/10/11(Sun) 12:08:07
☆ Re: 工夫して計算しましょう / ヨッシー
まずは、工夫しない方法でも答えを出せるだけの計算力があるか。

7.2×4.1+7.2×5.9＝4.1＋5.9×(7.2＋7.2)
とするに至っては、
　2×3＋2×4＝3＋4×(2＋2)
で正しいのか？
ボールが2個入っている袋が3個あり、同じ袋がもう4個来たとき
2個入りの袋が7個になったので、
　2×(3＋4)＝2×7
となる仕組みを、具体的なものの数から認識させる。

あと、こういうのは、全く経験したことのないところから
ひらめくことはないので、答えを示して、工夫すると
何が楽になるのかを体験させて、同種の問題をいくつも
解いていくのが良いでしょう。
No.70092 - 2020/10/11(Sun) 13:15:22
☆ Re: 工夫して計算しましょう / 小学校5年生
ご返答ありがとうございますm(__)m
確かにひらめかせる事は難しく、日々の生活でも
学べるように親も頭を使って子供を育てていか
なければいけませんね。
大変勉強になり感謝です。
お時間いただきありがとうございました！！
No.70095 - 2020/10/11(Sun) 14:59:11
★ 群数列 / fun
この問題の（2）を解いて欲しいです。たぶんかなり難しいです。
なので、すみませんが、解けなかったらパスしてもかまいません。
No.70076 - 2020/10/10(Sat) 22:44:21
☆ Re: 群数列 / らすかる
第1項から第1項までの和が1/2
第1項から第3項までの和が3/2
第1項から第7項までの和が7/2
第1項から第15項までの和が15/2
・・・
第1項から第2^m-1項までの和が(2^m-1)/2
のようになっていることはわかりますね。
2^m-1＜nを満たす最大のmは
[log[2]n]　（外側の[　]はガウス記号）
と表せますので、n項のうち前2^[log[2]n]-1項の和は
(2^[log[2]n]-1)/2
となります。
最後のn-(2^[log[2]n]-1)項は
分母が2^([log[2]n]+1)で
分子の和が{n-(2^[log[2]n]-1)}^2
ですから最後のn-(2^[log[2]n]-1)項の和は
{n-(2^[log[2]n]-1)}^2/2^([log[2]n]+1)
となり、前の項の和と合わせて
(2^[log[2]n]-1)/2+{n-(2^[log[2]n]-1)}^2/2^([log[2]n]+1)
となります。
No.70078 - 2020/10/10(Sat) 23:34:08
☆ Re: 群数列 / fun
凄すぎる。有難うございます。
No.70081 - 2020/10/11(Sun) 00:22:48
★ (No Subject) / アメ
この式の導関数が分かりません。よろしくお願いします。
No.70070 - 2020/10/10(Sat) 19:51:52
☆ Re: / X
y=x^(x^2+1)
とすると
logy=(x^2+1)logx
両辺xで微分すると
y'/y=2xlogx+x+1/x
∴y'=(2xlogx+x+1/x)x^(x^2+1)
No.70072 - 2020/10/10(Sat) 20:01:13
★ 重積分 / マカデミア
X=x+y ,Y=x-yとおいたとき、変換後の積分領域が0≦X≦1,0≦Y≦Xになる理由を教えてください。
No.70067 - 2020/10/10(Sat) 18:17:25
☆ Re: 重積分 / X
>>変換後の積分領域が0≦X≦1,0≦Y≦Xになる
そのような領域には変換できません。
変換前の重積分に記述ミスはありませんか？
No.70071 - 2020/10/10(Sat) 19:59:47
☆ Re: 重積分 / マカデミア
元の画像です。
No.70073 - 2020/10/10(Sat) 20:47:46
☆ Re: 重積分 / マカデミア
ちなみに解説はこのようになります。
No.70074 - 2020/10/10(Sat) 20:49:36
☆ Re: 重積分 / X
X=x+y (P)
Y=x-y (Q)
を
0≦X≦1
0≦Y≦X
に代入すると
0≦x+y≦1 (A)
0≦x-y≦x+y (B)
(A)より
-x≦y≦-x+1 (A)'
(B)より
0≦y≦x (B)'
(A)'(B)'を満たす領域を図示しても
0≦y≦max{x,1-x}
とは一致しません。
(0≦y≦min{x,1-x}なら一致するのですが、
解説を見る限り、この問題は広義の重積分
の例題のようですので、それも変です。)

そもそも(P)(Q)の変換は
元の図形をx,y軸方向に√2倍に引き伸ばした後
に原点中心に-π/4だけ回転移動させる
変換と同じ意味ですので
開領域である
0≦y≦max{x,1-x}
が閉領域に変換されている時点で明らかに変です。
本の記述の方が間違っていると思います。
No.70075 - 2020/10/10(Sat) 21:37:38
☆ Re: 重積分 / マカデミア
ありがとうございます！
No.70083 - 2020/10/11(Sun) 01:43:42
★ cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ
早稲田大学志望の高校生になります。
赤本の解説に疑問があるので質問よろしいでしょうか。

f(cos(π/7))=0かつf(0)=1
を満たす整数係数の３次式f(x)を求めよ…
という問題です。

解答はθ=π/7とおいて4θ=π-3θを導き、この式にcosを付加させて
cos(2θ+2θ)=cos(π-3θ)
の加法定理による展開および因数定理で4次→3次に落として、
f(x)=8x^3-4x^2-4x+1
を導いています。

解答は理解できるのですが、なぜこの形しかf(x)がありえないのか分かりません。
f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+1
の形で他にA、B、Cはないのでしょうか。

問題の指示は求めよ(見つけよではない)…なのでこれを答えと主張するには一意性も述べないといけない気がします。
（赤本の解説はノータッチ）

チェビシェフ多項式の性質が関わっているのでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.70065 - 2020/10/10(Sat) 17:31:46
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / IT
>問題の指示は求めよ(見つけよではない)…なのでこれを答えと主張するには一意性も述べないといけない気がします。

そうですね。私もそう思います。

丸亀数理塾
https://marugamesuurijuku.hatenablog.com/entry/2019/11/21/195540

このサイトのPDFにも同様のことが書いてあります。
No.70077 - 2020/10/10(Sat) 23:25:45
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ
すみませんが、これは一意性を示すことはできないのでしょうか。ある程度高校数学の範囲を超えても構わないのでどなたかお願いできませんか。
問題の聞き方うんぬんよりも、本当はどうなのか気になります。
整数係数という条件が効いてくると思うのですが。
No.70079 - 2020/10/10(Sat) 23:34:37
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ
2018年の千葉大の問題文に同じようなことが聞かれていますが、f(x)がただ一つに定まることは証明しなくてよいとあります。
ということは逆を言えば、この千葉の問題や早稲田の問題もやろうと思えば示せるのでは…と思っています。
よろしくお願い致します。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2018/18chiba12.htm
No.70080 - 2020/10/10(Sat) 23:39:11
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / 黄桃
一意性は、本質的に
(*)8x^3-4x^2-4x+1 は有理数係数の多項式として既約である
ことから従います（既約でなければ1次の因数を持つことからわかります）。
以下、証明です。

f(x)=8x^3-4x^2-4x+1
と置き、他に、条件を満たす
g(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+1
があったとすると、g(x)をf(x)で割って
g(x)=A/8*f(x)+r(x)
とかけます。x=θを代入すると、r(θ)=0 で、rは2次以下の有理数係数多項式です。
(1) r(x)=0 の時
この時、f(x)はg(x)の0でない定数倍だから、定数項を比較してf(x)=g(x)がわかります。
(2) r(x)が0でない定数の時
r(θ)=0≠r(x) なので、矛盾。
(3) r(x)が1次式の時
r(θ)=0 ということは、θが有理数ということで、因数定理よりf(x)がr(x)で割り切れるということ。これは(*)に矛盾します。
(4) r(x)が2次式の時
f(x)をr(x)で割ると、同様に
f(x)=q(x)r(x)+r1(x)
となり、r1(x)は1次以下の有理数係数多項式でr1(θ)=0 を満たす。r1(x)=0なら(*)に矛盾、そうでないなら上と同様に矛盾。

以上から、他に条件を満たす整数係数の3次式はありません。
No.70082 - 2020/10/11(Sun) 01:38:04
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / IT
黄桃 さん
>一意性は、本質的に
>(*)8x^3-4x^2-4x+1 は有理数係数の多項式として既約である
>ことから従います（既約でなければ1次の因数を持つことから>わかります） ・・・

なるほど、高校数学範囲で理解できますね。

まちゃさんへ

一般に、整数係数のｎ次方程式（定数項≠0）が有理数解ｒを持つときｒを既約分数で表すと、その分母は、ｎ次の係数の約数、分子は定数項の約数であることから、
8x^3-4x^2-4x+1＝0は有理数解を持たないことが分かります。
（もちろん個別に示すことも容易です）

なお、質問文の中ではθ＝π/7なので、黄桃さんの証明中のθは、α(＝cosθ)などで書き換えた方が分かり安いかも知れません。
No.70087 - 2020/10/11(Sun) 09:24:37
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ
お二人ともありがとうございました。
とてもすっきり分かりました。
あと数か月志望校合格へ向かって頑張ります。
No.70089 - 2020/10/11(Sun) 11:32:25
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / URHANL
失礼いたします。

>解答はθ=π/7とおいて4θ=π-3θを導き、この式にcosを付加させて
>cos(2θ+2θ)=cos(π-3θ)
の加法定理による展開

で 4次方程式が出てくるのですよね？
4つの解のうち1つが cos(π/7) と。

4つの解を a,b,c,d=cos(π/7) としたときに x についての 3つの 3次式、すなわち
?@ (x-b)(x-c)(x-d)
?A (x-a)(x-c)(x-d)
?B (x-a)(x-b)(x-d)
は、どれもその値が 0 となっているはずです。

「f(cos(π/7))=0かつf(0)=1
を満たす整数係数の３次式f(x)」として、?@?A?Bがふさわしくない理由はなんでしょうか？
No.70106 - 2020/10/11(Sun) 23:04:32
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / まちゃ
>>URHANLさん

僕が質問者なのに、答えるのはおかしなことですが……。
すみません。

?@、?A、?Bだと整数係数にはならないからだと思われます。
残りの解は-1とcos(3π/7)とcos（5π/7）なので。

?@、?A、?Bがないことも含めまして、先ほど答えて頂いたお二人の方が証明をくださったのだと僕本人は解釈しております。

間違っていたらすみません。。。
No.70107 - 2020/10/11(Sun) 23:22:42
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / IT
>>URHANLさん
?@?A?Bのうちの１つは答えだと思いますが
残りの２つがダメな理由を直接的に答えると

求められた４次方程式は、
(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0 で、URHANLさんのa,b,c,dにおいてa=-1として
8(x+1)(x-b)(x-c)(x-d)=(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0

No.70087 で述べたように　8x^3-4x^2-4x+1＝0は有理数解を持たないので
b,c,d は無理数です。
一方、bcdは有理数です。
よってbc,cd,db,は無理数です。
したがって例えば(x+1)(x-b)(x-d)について、定数項のbdは無理数となり条件を満たしません。
No.70117 - 2020/10/12(Mon) 00:36:25
☆ Re: cos（π/7）を解にもつ方程式の一意性 / URHANL
まちゃさん
ITさん

御回答を有り難うございました。

大変に為になりました。
No.70174 - 2020/10/13(Tue) 23:03:18
★ (No Subject) / ああ
赤で引いたところの変形はありなのですか？
（どんな数でもこの変形ってできるのですか？）
No.70060 - 2020/10/10(Sat) 15:44:13
☆ Re: / らすかる
できます。
No.70061 - 2020/10/10(Sat) 16:02:59
☆ Re: / ああ
ありがとうございます。
No.70062 - 2020/10/10(Sat) 16:29:26
★ 図形の切り取りについて / しょう
1番の容器の高さを求める問題で、解答の図の見方がわかりません。どのように見ているのでしょうか？よろしくお願いします。
No.70058 - 2020/10/10(Sat) 14:59:18
☆ Re: 図形の切り取りについて / IT
解答に書いてあるとおりなので、あまり説明することもない気がしますが、

解答の図 は、切り取られる３つの部分の１つですよ

その図は、真ん中の上のを拡大したとみるといいです。
縦に補助線が引いてあります

長さx/√３　と書いてある辺が、残る図形ではどこにあたるかを　元の図で確認してください。
そこが作られる容器（立体）の高さになります。
No.70059 - 2020/10/10(Sat) 15:13:17
★ (No Subject) / T
((z/5z)^x,x,1) において、(3×3)×(2×3)を計算せよ。

こちらの解答をお願いします。
No.70056 - 2020/10/10(Sat) 13:56:03
★ 級数の収束 / ｊ
級数の収束についてです。

p＞1に対して
∫(1~∞)??(n=1~∞) [{(-1)^n}z^(-n-1-1/p)]dz

において項別積分を行いたいのですが、上の級数の収束が言えなくて、ルベーグ収束定理が使えるらしいのですが、どなたか解いていただけないでしょうか…
No.70055 - 2020/10/10(Sat) 12:09:40
☆ Re: 級数の収束 / X
{(-1)^n}z^(-n-1-1/p)=-{(-1/z)^(n-1)}z^(-3-1/p)
と変形すれば、問題の級数は公比-1/zの無限等比級数
です。
後は、積分の下端を
1+ε
としてε→+0のときを考えます。
No.70063 - 2020/10/10(Sat) 17:03:12
☆ Re: 級数の収束 / ｊ
その変形の導出過程を教えていただけませんでしょうか・・・？(´･ω･｀)
No.70069 - 2020/10/10(Sat) 19:34:50
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