ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 軌跡 / 赤

(1)の答えは0＜m＜24/7
(2)の答えはx=m(4m-3)/(m^2+1)、y=(-4m+3)/(m^2+1)
です。
(3)の答えを教えてください。

No.69778 - 2020/09/27(Sun) 10:05:51

☆ Re: 軌跡 / mathmouth

(3)はもちろん(2)で求めたx,yのmを含む式から媒介変数mを消去することで得られます。(y≠0のときm=-x/yをx=(mの式)に代入,その他の同値変形等は略)
ただし、この手の問題は図形的に考えてみるのが得策です。
結局換言すればMは点(4,3)をAとして「∠AMO=90°かつMは円Cの内部」または「M=O」を満足するので、あとは円周角の定理より軌跡は直ちに2点O,Aを直径の両端とする円のうち円Cの内部にある部分とわかります。
それぞれ定点をもつ2直線が直交しながら動くときの交点の軌跡は円周角の定理より円となるので、この考え方は押えておくといいと思います。

No.69780 - 2020/09/27(Sun) 10:44:45

☆ Re: 軌跡 / 赤

理解できました。ありがとうございます。

No.69782 - 2020/09/27(Sun) 11:15:12

★ 増殖 / りんりん

1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれ1/2,1/3,1/6であるとする。1個のバクテリアが4分後に6個になっている確率を求めよ。

No.69775 - 2020/09/27(Sun) 00:30:02

☆ Re: 増殖 / らすかる

1分後の0個の確率: 1/6
1分後の1個の確率: 1/3
1分後の2個の確率: 1/2
2分後の0個の確率: 1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2=17/72
2分後の1個の確率: 1/3*1/3+1/2*1/3*1/6*2=1/6
2分後の2個の確率: 1/3*1/2+1/2*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)=11/36
2分後の3個の確率: 1/2*1/2*1/3*2=1/6
2分後の4個の確率: 1/2*(1/2)^2=1/8
3分後の0個の確率:
17/72+1/6*1/6+11/36*(1/6)^2+1/6*(1/6)^3+1/8*(1/6)^4=2833/10368
3分後の1個の確率:
1/6*1/3+11/36*1/3*1/6*2+1/6*1/3*(1/6)^2*3+1/8*1/3*(1/6)^3*4=41/432
3分後の2個の確率:
1/6*1/2+11/36*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)+1/6*((1/3)^2*1/6*3+1/2*(1/6)^2*3)
+1/8*((1/3)^2*(1/6)^2*6+1/2*(1/6)^3*4)=487/2592
3分後の3個の確率:
11/36*(1/2*1/3*2)+1/6*((1/3)^3+1/2*1/3*1/6*6)
+1/8*((1/3)^3*1/6*4+1/2*1/3*(1/6)^2*12)=7/48
3分後の4個の確率:
11/36*(1/2)^2+1/6*(1/2*(1/3)^2*3+(1/2)^2*1/6*3)
+1/8*((1/3)^4+1/2*(1/3)^2*1/6*12+(1/2)^2*(1/6)^2*6)=755/5184
3分後の5個の確率:
1/6*(1/2)^2*(1/3)*3+1/8*(1/2*(1/3)^3*4+(1/2)^2*1/3*1/6*12)=31/432
3分後の6個の確率:
1/6*(1/2)^3+1/8*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)=5/96
3分後の7個の確率: 1/8*(1/2)^3*1/3*4=1/48
3分後の8個の確率: 1/8*(1/2)^4=1/128
4分後の6個の確率:
7/48*(1/2)^3+755/5184*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)
+31/432*(1/2*(1/3)^4*5+(1/2)^2*(1/3)^2*1/6*30+(1/2)^3*(1/6)^2*10)
+5/96*((1/3)^6+1/2*(1/3)^4*1/6*30+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^2*90+(1/2)^3*(1/6)^3*20)
+1/48*((1/3)^6*1/6*7+1/2*(1/3)^4*(1/6)^2*105+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^3*210
+(1/2)^3*(1/6)^4*35)
+1/128*((1/3)^6*(1/6)^2*28+1/2*(1/3)^4*(1/6)^3*280+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^4*420
+(1/2)^3*(1/6)^5*56)
=2053177/26873856
というわけで、求める確率は2053177/26873856です。

# 計算はご確認下さい。

No.69776 - 2020/09/27(Sun) 01:10:41

☆ Re: 増殖 / りんりん

大変な作業ご苦労様そしてありがとうございます。

No.69795 - 2020/09/27(Sun) 23:35:30

☆ Re: 増殖 / URHANL

失礼します。

らすかるさんがお書きになったところで以下の部分、

> 1分後の0個の確率: 1/6
> 1分後の1個の確率: 1/3
> 1分後の2個の確率: 1/2
> 2分後の0個の確率: 1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2=17/72

最後の、2分後の0個の確率の式が理解できません。

私が思いまするに、
「2分後の0個の確率」= 「1分後の0個の確率」+ (1/6)*(「1分後の1個の確率」+「1分後の2個の確率」)
= 1/6 + 1/6*(5/6)
= 1/6 + 5/36
= 11/36 ...?@

なのではないかと。

また、背反事象であるところの「2分後に0個ではない確率」を求めてみたいのですが、以下のようになりました。

「2分後に0個ではない確率」= (「1分後の1個の確率」+「1分後の2個の確率」)^2
= (1/2+1/3)^2
= (5/6)^2
= 25/36

この「2分後に0個ではない確率」を 1 から減じると「2分後に0個である確率」になるはずですから、

「2分後に0個である確率」= 1 - 25/36
= 11/36
となり、?@の結果と一致します。

No.69799 - 2020/09/28(Mon) 10:25:55

☆ Re: 増殖 / URHANL

> 1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれ1/2,1/3,1/6であるとする。1個のバクテリアが4分後に6個になっている確率を求めよ。

冷静に考えますと、任意の時刻n(分刻み)において、
バクテリアの個数は 2^k または 0 なのではないでしょうか。ただし、k は 0 < k <= n を満たす自然数です。

従いましてバクテリアの個数が6個になる確率は 0 となります。

私は何か勘違いをしているでしょうか……

No.69800 - 2020/09/28(Mon) 11:03:44

☆ Re: 増殖 / URHANL

> 冷静に考えますと、任意の時刻n(分刻み)において、
> バクテリアの個数は 2^k または 0 なのではないでしょうか。ただし、k は 0 < k <= n を満たす自然数です。
>

間違えました
k は 0 <= k <= n を満たす自然数です。

No.69801 - 2020/09/28(Mon) 11:06:21

☆ Re: 増殖 / ヨッシー

例えば、２個あるバクテリアが、１分後に
　２個とも２倍になるか、１倍になるか、０倍になるか
であれば、そう言えるかも知れませんが、
　１個は２個になり、もう１個は１個のままで、合計３個
という場合もあるので、2^k にならない場合もあります。

No.69802 - 2020/09/28(Mon) 11:19:13

☆ Re: 増殖 / らすかる

2分後に0個になるのは、
1分後に0個であった場合(1/6)と、
1分後に1個であった場合(1/3)にその1個がその1分後に0個になる場合(1/6)と、
1分後に2個であった場合(1/2)に、その2個が2個とも1分後に0個になる場合(1/6)^2
ですから、1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2となります。
複数個の場合、それぞれが条件の確率を持って変化しますので、
2個から0個になる確率は1/6ではありません。

No.69803 - 2020/09/28(Mon) 11:19:23

☆ Re: 増殖 / URHANL

らすかるさん、ヨッシーさん。

私がおおバカでした。

お教えくださりましたこと有り難うございました。
スッキリ理解いたしました。

No.69807 - 2020/09/28(Mon) 19:46:41

☆ Re: 増殖 / URHANL

らすかるさんから以下、ご教示賜りました。

> 1分後の0個の確率: 1/6
> 1分後の1個の確率: 1/3
> 1分後の2個の確率: 1/2
> 2分後の0個の確率: 1/6+1/3*1/6+1/2*(1/6)^2=17/72
> 2分後の1個の確率: 1/3*1/3+1/2*1/3*1/6*2=1/6
> 2分後の2個の確率: 1/3*1/2+1/2*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)=11/36
> 2分後の3個の確率: 1/2*1/2*1/3*2=1/6
> 2分後の4個の確率: 1/2*(1/2)^2=1/8
> 3分後の0個の確率:
> 17/72+1/6*1/6+11/36*(1/6)^2+1/6*(1/6)^3+1/8*(1/6)^4=2833/10368
> 3分後の1個の確率:
> 1/6*1/3+11/36*1/3*1/6*2+1/6*1/3*(1/6)^2*3+1/8*1/3*(1/6)^3*4=41/432
> 3分後の2個の確率:
> 1/6*1/2+11/36*(1/2*1/6*2+(1/3)^2)+1/6*((1/3)^2*1/6*3+1/2*(1/6)^2*3)
> +1/8*((1/3)^2*(1/6)^2*6+1/2*(1/6)^3*4)=487/2592
> 3分後の3個の確率:
> 11/36*(1/2*1/3*2)+1/6*((1/3)^3+1/2*1/3*1/6*6)
> +1/8*((1/3)^3*1/6*4+1/2*1/3*(1/6)^2*12)=7/48
> 3分後の4個の確率:
> 11/36*(1/2)^2+1/6*(1/2*(1/3)^2*3+(1/2)^2*1/6*3)
> +1/8*((1/3)^4+1/2*(1/3)^2*1/6*12+(1/2)^2*(1/6)^2*6)=755/5184
> 3分後の5個の確率:
> 1/6*(1/2)^2*(1/3)*3+1/8*(1/2*(1/3)^3*4+(1/2)^2*1/3*1/6*12)=31/432
> 3分後の6個の確率:
> 1/6*(1/2)^3+1/8*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)=5/96
> 3分後の7個の確率: 1/8*(1/2)^3*1/3*4=1/48
> 3分後の8個の確率: 1/8*(1/2)^4=1/128
> 4分後の6個の確率:
> 7/48*(1/2)^3+755/5184*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)
> +31/432*(1/2*(1/3)^4*5+(1/2)^2*(1/3)^2*1/6*30+(1/2)^3*(1/6)^2*10)
> +5/96*((1/3)^6+1/2*(1/3)^4*1/6*30+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^2*90+(1/2)^3*(1/6)^3*20)
> +1/48*((1/3)^6*1/6*7+1/2*(1/3)^4*(1/6)^2*105+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^3*210
> +(1/2)^3*(1/6)^4*35)
> +1/128*((1/3)^6*(1/6)^2*28+1/2*(1/3)^4*(1/6)^3*280+(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)^4*420
> +(1/2)^3*(1/6)^5*56)
> =2053177/26873856
> というわけで、求める確率は2053177/26873856です。
>
> # 計算はご確認下さい。

驚くべきことに他掲示板で、一般化された問題について質問があがっていました。

下記にまるごと引用いたします。

：：：

◆数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板
バクテリア名前：Tom 日付：2020/9/18(金) 13:16
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=86149

1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれp,q,rであるとする。1個のバクテリアがn分後に6個になっている確率をPnとおく（nは1以上の自然数とする）。
(1)P3をp,q,rを用いて表せ。
(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

（2）を教えて欲しいです。
ちなみに（1）の答えはp^5(4pr+6q^2+2q)らしいです。
難易度が高すぎるのでとても時間がかかるようだったら諦めても構いません。

：：：

ちなみに
p^5(4pr+6q^2+2q)
に p=1/2, q=1/3, r=1/6 を代入したところ、その値は、らすかるさんによる計算の一部、すなわち、

> 3分後の6個の確率:
> 1/6*(1/2)^3+1/8*((1/2)^2*(1/3)^2*6+(1/2)^3*1/6*4)=5/96

に一致しています。

ビックリなのですが、

(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

と、二項間の漸化式が本当に作れるのかと？

作れるのならば Pn の一般項も求められるのでしょうか。

一般項を使って、 20分後にバクテリアの数が 6 である確率も求められるのかどうかと。

No.69880 - 2020/10/02(Fri) 13:11:34

☆ Re: 増殖 / URHANL

1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれp,q,rであるとして。1個のバクテリアが3分後に6個になっている確率をP3とする。
(1)P3をp,q,rを用いて表せ。

⇒
P3=p^5(4pr+6q^2+2q)

単純にゴリゴリと計算したところ一致しました。

それにしても P_{n+1}が P_nと p,q,rで書けるとは未だに思えないでいます。

No.69886 - 2020/10/02(Fri) 23:05:02

☆ Re: 増殖 / URHANL

> 3分後の7個の確率: 1/8*(1/2)^3*1/3*4=1/48
> 3分後の8個の確率: 1/8*(1/2)^4=1/128
> 4分後の6個の確率:

「3分後の7個の確率」と「3分後の8個の確率」とがなくとも、「4分後の6個の確率」は求められる、ということでいいでしょうか。

「n分後の0個の確率」と「n分後の1個の確率」と「n分後の2個の確率」と「n分後の3個の確率」と「n分後の4個の確率」と「n分後の5個の確率」と「n分後の6個の確率」とから
「(n+1)分後の6個の確率」
が求められる気がいたします。

「n分後に7個以上の確率」を使わない、「n分後に7個以上だったのに(n+1)分後に6個までに減少した」計算をしないですみそうな。

No.69902 - 2020/10/03(Sat) 23:24:50

☆ Re: 増殖 / URHANL

> 1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれ1/2,1/3,1/6であるとする。1個のバクテリアが4分後に6個になっている確率を求めよ。

紙とペンとで手計算をしていくとついつい間違えてしまいがちです。

以下のような手法で多項式の展開を機械的に行うことで手計算の煩雑さを避けることができるようです。なお、適宜、多項式の展開をしてくれるサイトや、アプリをダウンロードして利用することとします。

?@問題文に従って以下の多項式を書きくだします。

((3/6)*((3/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))^2+(2/6)*((3/6)*x^2+(2/6)*x+(1/6))+(1/6))+(1/6))+(1/6))

?A多項式展開計算サービスを利用して、?@の多項式を展開します。結果は《例えば》以下。

(6561*x^16+34992*x^15+134136*x^14+353808*x^13+857628*x^12+1700784*x^11+3153096*x^10+4880784*x^9+8077702*x^8+11244432*x^7+16425416*x^6+18220464*x^5+25763100*x^4+22851600*x^3+25470200*x^2+12376752*x+63439393)/214990848

?Bx^6 の項の係数をみます。今回の計算では
16425416/214990848
です。適宜約分を行って答えとします。（私は素因数分解サービスを利用しました。）

結果は、らすかるさんによる
>求める確率は2053177/26873856です。
と一致しました。

※?@の多項式は、次のように求めます。

f(x)=(3/6)*x^2 + (2/6)x +(1/6)
とします。

２分後のバクテリアの数の評価を得るには、
f(f(x))
の各項の係数を使います。x^k の係数が k個になっている確率です。

３分後のバクテリアの数の評価を得るには、
f(f(f(x)))
を、
４分後のバクテリアの数の評価を得るには、
f(f(f(f(x))))
を使えば良いです。

No.70180 - 2020/10/14(Wed) 09:58:26

☆ Re: 増殖 / URHANL

◆数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板
バクテリア名前：Tom 日付：2020/9/18(金) 13:16
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=86149

より引用します。

：：：

1個のバクテリアが1分後に2個、1個、0個になる確率が、それぞれp,q,rであるとする。1個のバクテリアがn分後に6個になっている確率をPnとおく（nは1以上の自然数とする）。
(1)P3をp,q,rを用いて表せ。
(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

（2）を教えて欲しいです。
ちなみに（1）の答えはp^5(4pr+6q^2+2q)らしいです。
難易度が高すぎるのでとても時間がかかるようだったら諦めても構いません。

：：：

表記のお約束を変更します。

1個のバクテリアがn分後にm個になっている確率を
P(n,m)
と書くことにします。

P(1,2)=1/2
P(1,1)=1/3
P(1,0)=1/6

という増殖の設定で
P(4,6)=2053177/26873856
を、らすかるさんが示されました。

P(1,2)=p
P(1,1)=q
P(1,0)=r

という増殖の設定で
P(4,6)=p^5(4pr+6q^2+2q)
も、正しいです。

再度引用しますが
：：：

(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。

：：：

は、新しい表記のお約束では、

P((n+1),6)
を、p,q,rとP(n,6)とで表す漸化式を求めよということだと思います。

ですが、私にはこのことはとても難解です。かろうじてわかることは以下です。

7次元ベクトル
P↓(n) = (P(n,0),P(n,1),P(n,2),P(n,3),P(n,4),P(n,5),P(n,6))
を考えると

P↓(n+1) と P↓(n) との間には、ある7行7列の行列Ａがあって

P↓(n+1) = ＡP↓(n)

と表せるだろうということです。

P(n+1,1) = q*P(n,1) +p(P(n,0)*P(n,1) +P(n,1)*P(n,0))

P(n+1,2) = q*P(n,2) +p(P(n,0)*P(n,2) +P(n,1)*P(n,1) +P(n,0)*P(n,2))

P(n+1,3) = q*P(n,3) +p(P(n,0)*P(n,3) +P(n,1)*P(n,2) +P(n,2)*P(n,1) +P(n,3)*P(n,0))

P(n+1,4) = q*P(n,4) +p(P(n,0)*P(n,4) +P(n,1)*P(n,3) +P(n,2)*P(n,2) +P(n,3)*P(n,1) +P(n,4)*P(n,0))

P(n+1,5) = q*P(n,5) +p(P(n,0)*P(n,5) +P(n,1)*P(n,4) +P(n,2)*P(n,3) +P(n,3)*P(n,2) +P(n,2)*P(n,3) +P(n,1)*P(n,4) +P(n,0)*P(n,5))

P(n+1,6) = q*P(n,6) +p(P(n,0)*P(n,6) +P(n,1)*P(n,5) +P(n,2)*P(n,4) +P(n,3)*P(n,3) +P(n,4)*P(n,2) +P(n,5)*P(n,1) +P(n,6)*P(n,0))

P(n+1,0) と P(n,0) との間の関係式は別途に。

No.70202 - 2020/10/14(Wed) 23:31:40

☆ Re: 増殖 / URHANL

P(n+1,0) と P(n,0) との間の関係式については次のようになります。

P(n+1,0) = r +q*P(n,0) +p*(P(n,0)*P(n,0))

ここであらためて元の問題
「(2)Pn+1をp,q,rとPnの式で表せ。」
を、新しい表記方法で書くと
「P(n+1,6) を P(n,6) と p,q,rで表せ」ということですから、

P(n+1,6) = q*P(n,6) +p(P(n,0)*P(n,6) +P(n,1)*P(n,5) +P(n,2)*P(n,4) +P(n,3)*P(n,3) +P(n,4)*P(n,2) +P(n,5)*P(n,1) +P(n,6)*P(n,0))

において、P(n,0)、P(n,1)、P(n,2)、P(n,3)、P(n,4)、P(n,5) のそれぞれを p,q,r で表す、つまり一般項を計算して、代入することとなりそうです。

恐らくは P(n,k) については、k が小さいほうから順に一般項を求めていくことになるのでしょう。

No.70216 - 2020/10/15(Thu) 15:34:32

☆ Re: 増殖 / URHANL

P(n,0)の一般項は、p,q,rでもってどのように表すことができるのでしょうか？

P(0,0)=0
P(1,0)=r
P(2,0)=p*r^2+(q+1)*r
P(3,0)=p^3*r^4+(2*p^2*q+2*p^2)*r^3+(p*q^2+3*p*q+p)*r^2+(q^2+q+1)*r
P(4,0)=p^7*r^8+(4*p^6*q+4*p^6)*r^7+(6*p^5*q^2+14*p^5*q+6*p^5)*r^6+(4*p^4*q^3+18*p^4*q^2+18*p^4*q+6*p^4)*r^5+(p^3*q^4+10*p^3*q^3+19*p^3*q^2+15*p^3*q+5*p^3)*r^4+(2*p^2*q^4+8*p^2*q^3+12*p^2*q^2+10*p^2*q+2*p^2)*r^3+(p*q^4+3*p*q^3+6*p*q^2+3*p*q+p)*r^2+(q^3+q^2+q+1)*r

かなり難しいですね。

No.70230 - 2020/10/15(Thu) 22:46:16

☆ Re: 増殖 / URHANL

別の表現を試みます。

f(x)= p*x^2 +q*x +r
とします。すると計算上では

P(0,0)=0
P(1,0)=r
P(2,0)=f(r)
P(3,0)=f(f(r))
P(4,0)=f(f(f(r)))
となっていました。

P(n,0) (ただし n ≧ 5)
ではどうなのか、計算での確認はしていません。

多項式関数f を含まない形で、p,q,r および n からなる、
P(n,0) の一般項の表現はどうなっているのか、まだ見当がついていません。

これではとてもP(n,6) の一般項の表現には届きません。

まだやってみてはいないことがあります。

p+q+r=1 という拘束条件がありますから、この条件下で、P(0,0)=0,P(1,0)=r,P(2,0)=f(r),P(3,0)=f(f(r)),P(4,0)=f(f(f(r)))
を書き直して見通しのよいものが作り出せるかどうか、試してはいません。

No.70239 - 2020/10/16(Fri) 14:26:59

★ (No Subject) / 確率　中学2年生

大、中、小3個のサイコロを同時になげる時、大、中、小のサイコロの出た目をそれぞれa,b,c,とする。a>b>cとなる時の確率を求めなさい。　　答え5／54
私は3つ取ってから大きい順に並べてa,b,cを決めるでいいと思ったので6×5×4÷6^3で5／9になってしまいました。どこで考え方が間違ってるのか教えていただけると嬉しいです。

No.69773 - 2020/09/26(Sat) 23:10:22

☆ Re: / らすかる

「3つ取る」のは(6×5×4)÷(3×2×1)通りです。
6×5×4は「3つ取って取った順番を区別する」場合の数です。
「3つ取ってから大きい順に並べる」のなら、
例えば「3,5,2」と「2,3,5」は同じものですから
これを別々にカウントしてはまずいですよね。
6×5×4という計算はこれらを別々にカウントするものですから、
3×2×1で割る必要があります。

No.69774 - 2020/09/27(Sun) 00:06:45

☆ Re: / 確率　中学2年生

とてもよくわかりました！ありがとうございます！

No.69779 - 2020/09/27(Sun) 10:42:21

★ ボール遊び / cucumber

中の見えない袋に20個の玉が入っていて、そのうちn個（nを1以上の整数とする）が赤で残りが白とする。A君とB君が交互に1個ずつ玉を取り出して、先に赤の玉を取り出した方が勝ちとする。取り出した玉は袋には戻さないとする。A君が先に取り始めるとき、B君が勝つ確率を求めよ。

No.69770 - 2020/09/26(Sat) 22:07:06

★ 指数の計算 / qwert

2^x-2^-x=2のとき,8^xの値を求めよ。
略解として,［2^2x-2×2^x-1=0と,2^x＞0より
2^x=1+√2］とあり,答えが7+5√2になるようなのですが,［］内がどのようにして導けるのかが分かりません。
教えて頂きたいです。

No.69764 - 2020/09/26(Sat) 18:17:06

☆ Re: 指数の計算 / X

2^x-2^(-x)=2
の両辺に2^xをかけた上で
2^x=t
と置いてみましょう。

No.69765 - 2020/09/26(Sat) 18:36:17

☆ Re: 指数の計算 / qwert

解決しました。有難うございます。

No.69766 - 2020/09/26(Sat) 18:55:21

★ (No Subject) / かんな

位相幾何の問題です。
3単体s=|P0P1P2P3|についてK(∂s)の単体を全て挙げてください

No.69762 - 2020/09/26(Sat) 13:11:02

☆ Re: / IT

K(∂s)の単体　とは、どういう意味ですか？
テキストによって記法が違うので、K(∂s)が何を表すか定義を明確にされないと回答が着かないと思います。

No.69763 - 2020/09/26(Sat) 15:36:50

☆ Re: / かんな

sを単体としたときsの面全体が作る集合をK(s)として(有限単体的複体)、
K(∂s)はK(s)の単体のうちs自身を除いて得られる集合のことです。

No.69767 - 2020/09/26(Sat) 19:07:01

☆ Re: / IT

２単体：P0,P1,P2,P3 から任意の3つを選ぶ。|P0P1P2|など　４つあります。
１単体：P0,P1,P2,P3 から任意の2つを選ぶ。　６つあります。
０単体：P0,P1,P2,P3 から任意の1つを選ぶ。　４つあります。

全部で14（＝2^4-2) 個になります。

No.69768 - 2020/09/26(Sat) 19:40:43

☆ Re: / かんな

ありがとうございます！

No.69772 - 2020/09/26(Sat) 22:17:03

★ 図形と方程式 / zero

x^2+2xy+3y^2=16のときx+yのとりうる値の範囲を求めよ。またx^2-2xy+3y^2=16のときx-yのとりうる値の範囲を求めよ。教えていただけますか？

No.69760 - 2020/09/26(Sat) 10:07:57

☆ Re: 図形と方程式 / IT

(ポイントだけ）
t=x+y とおくと　y=t-x
これをx^2+2xy+3y^2=16に代入して整理
　2x^2-4tx+3t^2-16=0
xは実数なので、判別式=-2t^2+32≧0（逆にこのとき条件を満たす実数x,yが存在する）

後半も同様にできると思います。

No.69761 - 2020/09/26(Sat) 10:56:23

☆ Re: 図形と方程式 / 関数電卓

ご参考まで。

No.69769 - 2020/09/26(Sat) 19:54:37

★ 微分について / よろしくお願いします

f(x,y)=(2x^{2}y)/(x^{2}+y^{4}) という２変数函数（ただし原点では０とする）があり、原点に於ける、∂/∂x(∂f/∂y)を求める、という問題を解いているのですが、不定形が出てきてしまいました。自分の行った計算は以下です。

まず、準備として、原点以外での、∂f/∂y を計算し、
(∂f/∂y)=(2x^{4}-6x^{2}y^{4})/((x^{2}+y^{4})^{2})
つぎに、(∂/∂y)f(0,0) を計算し、
(∂/∂y)f(0,0)=lim[h→0](f(0,h)-f(0,0))/h = 0
となりました。よって、

∂/∂x(∂f/∂y)=lim[h→0](f[y](h,0)-f[y](0,0))/h
=lim[h→0] 2/h
となり、不定形となりました。

また、これ以外の２階偏微分は３つとも０になりました。
どこか計算に誤りや、そもそも考え方に誤りがあるのでしょうか。教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

No.69757 - 2020/09/26(Sat) 01:33:01

☆ Re: 微分について / 関数電卓

イメージ作りの一助に。

No.69771 - 2020/09/26(Sat) 22:09:03

★ 3次式の因数分解 / えす

2x^3-3x^2-x+1を因数分解せよ。ずっと因数を探しているのですが見つからず、問題を解けていません。どなたか力を貸してください。

No.69755 - 2020/09/26(Sat) 00:42:37

☆ Re: 3次式の因数分解 / IT

x=1/2 のとき与式＝0ですから、x-(1/2)が因数の１つです。

No.69756 - 2020/09/26(Sat) 01:12:07

★ 複素数平面 / あいもょん

教えてください。よろしくお願いします。

以下の条件をみたす実数aを求めよ。

条件
4次方程式 x^4+3x^3+4x^2+ax+1=0 が異なる4つの虚数を解にもち、
さらに、それら4つの虚数と0が複素数平面上である円の円周上にある。

No.69746 - 2020/09/25(Fri) 17:22:16

☆ Re: 複素数平面 / IT

（略解）
４つの解をα,α~,β,β~ とおく。
解と係数の関係から
α+α~+β+β~=-3 …(1)
(α+α~)(β+β~)+αα~+ββ~=4…(2)
αα~(β+β~)+ββ~(α+α~)=-a…(3)
αα~ββ~=1…(4)

0、α,α~ の位置関係から、その円の中心は実軸上にある。
中心をc(実数) とする。
円の半径は|c|.

|c|=|α-c|=|β-c|
∴|α|^2=c(α+α~),|β|^2=c(β+β~)…(5)
(2)に(5)を代入し (4)から　1/c^2+|α|^2+|β|^2=4
(5) から |α|^2+|β|^2= c(α+α~+β+β~)=-3c ∵(1)
よって　　1/c^2-3c=4　∴　3c^3+4c^2-1=0
c=-1 が解の一つなので因数分解できて c=-1,(-1±√13)/6

一方　(3)(5)よりa=-(|α|^2|β|^2/c+|β|^2|α|^2/c)
　　　(4)より　=-2/c

α~ はαの共役複素数。
途中必要条件で押しています、何か他にも条件があるかも知れません。
c=-1 のときのa=2 は、OKのようです。他は確認していません。

No.69749 - 2020/09/25(Fri) 19:29:21

☆ Re: 複素数平面 / あいもょん

ありがとうございました。

No.69758 - 2020/09/26(Sat) 03:44:11

☆ Re: 複素数平面 / IT

解と係数の関係と同じことですが
x^4+3x^3+4x^2+ax+1=(x^2+bx+c)(x^2+(3-b)x+(1/c))
4=c+(1/c)+b(3-b),a=(b/c)+(3-b)c
・・・とすると、少し見通しがいいかも知れません。

注)前出のcと上記のcは違うものです。

No.69759 - 2020/09/26(Sat) 08:45:32

★ 複素数 / カーキ

複素数に関する問題です。
z=x+iyに対して、|z+1/z|をxとyを用いて表せ。
この問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.69741 - 2020/09/25(Fri) 13:21:11

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

1/z をａ＋ｂｉ　の形で表すとどうなりますか？

No.69742 - 2020/09/25(Fri) 13:47:23

☆ Re: 複素数 / カーキ

(a-bi)/(a^2-b^2)になりました。

No.69744 - 2020/09/25(Fri) 14:16:25

☆ Re: 複素数 / IT

横から失礼します。
ａ＋ｂｉ　の"形" というアドバイスで、
>(a-bi)/(a^2-b^2)になりました。
この場合、z=x+iy ですから、1/z=(x-iy)/(x^2-y^2) ということでしょうが、　
例えば　ｚ=1+i（≠0）のとき　分母のx^2-y^2＝0となってしまいますので、おかしいです。計算間違いです。

No.69745 - 2020/09/25(Fri) 17:05:12

★ プレゼント / unknown

nは2以上の自然数とする。1からnまでの自然数をそれぞれ1つずつ書いたn枚のカードが、中の見えない箱に入っている。まず1枚のカードを取り出し、その数字を確認する。取り出したカードは戻さずに、次に2枚目のカード
を取り出し、その数字を確認する。この作業を繰り返し、直前に取り出したカードの数字より大きい数字が出たときに、プレゼントがもらえることとする。プレゼントがもらえた時点で、作業を終了する。
（問い）n-1枚目のカードを取り出したときにプレゼントがもらえたとき、最後（n-1枚目）のカードの数字がnである条件付き確率を求めよ。

No.69740 - 2020/09/25(Fri) 12:31:37

☆ Re: プレゼント / ヨッシー

n-2枚目まで引いたとき、つまり残り２枚の状態から
n-1枚目でプレゼントがもらえるパターンは
　１とｎが残っている状態から　ｎを取る
　２とｎが残っている状態から　ｎを取る　または　２を取る
　３とｎが残っている状態から　ｎを取る　または　３を取る
　・・・
　n-1とｎが残っている状態から　ｎを取る　または　n-1を取る
の、2n-3 通りあり、この中の n-1 通りがｎを取った場合です。

No.69743 - 2020/09/25(Fri) 13:55:54

☆ Re: プレゼント / unknown

すいません。または２を取る～またはn-1を取るのところですが、これらをしてしまうとこの作業がn枚目のカードまで続き、最後のカードを取り出したときにも景品が貰えないということになるのではないでしょうか？

No.69751 - 2020/09/25(Fri) 21:22:17

☆ Re: プレゼント / IT

代わって回答します｡
＞・・・または２を取る・・・
・・最後のカードを取り出したときにも景品が貰えないということになる。

なぜ、そう考えられるのか分りませんが、具体的に数字を並べてみると明確だと思います。

2とnが残っているということは、そこまで降順なのでn-2番目は1で､
n-1＞...＞..＞5＞4＞3＞1＜2 です。n-1番目に２を取ったとき景品が貰えます。

最後のカードを取り出したときも景品がもらえないのは
n＞n-1＞....＞３＞２＞１　の場合だけです。

No.69752 - 2020/09/25(Fri) 22:11:36

☆ Re: プレゼント / unknown

わかりやすい説明ありがとうございます。

No.69753 - 2020/09/25(Fri) 23:01:01

☆ 【訂正】Re: プレゼント / ヨッシー

ITさんの挙げられた
n＞n-1＞....＞３＞２＞１
を見て、上の 2n－3 通りでは不十分と気付きました。
つまり、最初にｎを引いた場合もわんさかあることが分かりました。

最後の２個に
　１と２が残ったとき　・・・　n-1 枚目でプレゼントがもらえることはない
　１と３以上のどれか１枚が残ったとき　・・・　n-1枚目に１以外のカードを引いたときプレゼントがもらえる
　２～ｎのうちの２枚が残ったとき　・・・　n-1枚目にどちらを引いてもプレゼントがもらえる
以上数え上げると
　(n-2)＋2×(n-1)Ｃ2＝n(n-2)　通り
このうち、n-1枚目にｎを引くのは、前の記事の n-1 通りです。

よって、求める条件付き確率は
　(n-1)/n(n-2)

No.69754 - 2020/09/25(Fri) 23:29:05

★ パラメータ / Tom Riddle

3直線4x-3y = 0、3x-4y + 7 = 0、5x + 12y-7 = 0で作られる三角形の内接円の方程式を求めよ。
この問題を媒介変数表示を使って解いて欲しいです。
例えば内接円上にある点を（p,q）とおきp=rcosθ q=rsinθとかしてやって欲しいです。
ちなみに答えは(x-1/7)^2+(y-8/7)^2＝16/49です。

No.69735 - 2020/09/24(Thu) 18:56:39

☆ Re: パラメータ / X

この問題は、点と直線との間の距離の公式を
使えば、内接円の半径、中心の座標を
求めることができます。
従って、単に媒介変数表示にしたい
のであれば、そこから、例えば

x=(4/7)cosθ+1/7
y=(4/7)sinθ+8/7

となります。

No.69736 - 2020/09/24(Thu) 19:52:38

☆ Re: パラメータ / Tom Riddle

すいません。このx=(4/7)cosθ+1/7
y=(4\7)sinθ+8/7のxとyってなんのことでしょうか？

No.69737 - 2020/09/24(Thu) 20:09:15

☆ Re: パラメータ / Tom Riddle

すいません\→/です

No.69738 - 2020/09/24(Thu) 20:13:20

☆ Re: パラメータ / X

点(x,y)は内接円の円周上の点です。
つまり、内接円の方程式である
(x-1/7)^2+(y-8/7)^2=16/49
を媒介変数表示にしたものです。

No.69736でも書きましたが、
内接円の半径、中心の座標
は求めた後に
円の方程式を使うか
媒介変数表示を使うか
は、その後の円周上の点(x,y)
についての表示の違いに
過ぎません。

No.69747 - 2020/09/25(Fri) 18:20:39

☆ Re: パラメータ / 由香

＞この問題を媒介変数表示を使って解いて欲しいです　
とのことですので、
ベクトルを用いて、その成分のパラメータ表示で解く方法かなと思います。
まず、３直線を順に、l、ｍ、ｎで表し、内接円をＣ、その中心を（ａ、ｂ）　半径をｒとします。
以下、ｓ、ｔ、ｕを実数とし、円Ｃとの接点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとします。

ｌ、ｍ、ｎの方向ベクトルは、１例としてそれぞれ　（３，４）、（４，３）、（－１２，５）と採れます。
また、各直線の法線ベクトルは、１例としてそれぞれ　（４．-３）、（３，－４）、（５，１２）と採れます。
法線ベクトルでは、以下で必要なので、単位法線ベクトルも考えておきます。
今の例では、それぞれ　（４/５，－３/５）、（３/５，－４/５）、（５/１３，１２/１３）です。
これらの符号を入替えたものももちろんＯＫです。

各直線と円との位置関係を分かるようにできるだけ正確に図を描き、各接点Ｐ，Ｑ，Ｒをベクトルで表すための必要なこととは、
第１；各直線上の通過点を見つける。
第２；単位法線ベクトルの方向を見極めて使用する。
の２点です。

以下、ベクトル方程式を成分表示して示しますので、各単位法線ベクトルを何故こう採っているのか、図上から読み取ってください。

→ＯＰ＝（０，０）　　＋ｓ（３，４）＝（ａ，ｂ）＋ｒ（４/５，－３/５）
→ＯＱ＝（－７/３，０）＋ｔ（４，３）＝（ａ，ｂ）＋ｒ（－３/５，４/５）
→ＯＲ＝（０，７/１２）＋ｕ（－１２，５）＝（ａ，ｂ）＋ｒ（－５/１３，－１２/１３）

未知数６個で、方程式６個（成分に分けて）ですから、解けます。
ｓ、ｔ、ｕを消去して、ａ、ｂ、ｒだけ求めます。

No.69786 - 2020/09/27(Sun) 13:26:34

★ (No Subject) / あい

正三角形OABにおいて、Oは原点、Aの座標は(6,0)である。いま、二点P,Qの座標を次のように定める。
１回目のサイコロの目の数をPのx座標、
２回目のサイコロの目の数をPのy座標、
３回目のサイコロの目の数をQのx座標、
４回目のサイコロの目の数をQのy座標とする。

(1)P,Qがともに△OABの内部の点になる確率を求めよ。
(2)P,Qがともに△OABの内部に点になり、さらに線分PQの長さが4以上になる確率を求めよ。

No.69733 - 2020/09/24(Thu) 17:57:01

☆ Re: / ヨッシー

(1) △ＯＡＢ内の点は図の13個です。
(2) △ＯＡＢ内の点を結んでできる線分で長さ４以上のものは、図の６本です。
　

No.69734 - 2020/09/24(Thu) 18:12:40

★ 複素積分 / あか

(3)の問題を教えてください。

No.69728 - 2020/09/24(Thu) 17:03:04

☆ Re: 複素積分 / あか

自分が解くと画像のようになりました。
間違えてるでしょか。それともie^(-4πi/5)が1/sin(π/5)に変形できるのでしょうか。

No.69729 - 2020/09/24(Thu) 17:04:54

☆ Re: 複素積分 / X

一行目の最後の項である1/2はどのような意味で
付けられましたか？

No.69730 - 2020/09/24(Thu) 17:27:44

☆ Re: 複素積分 / あか

求める積分範囲が[0,∞]なので、[-∞、∞]の半分になると考えました。

No.69731 - 2020/09/24(Thu) 17:32:30

☆ Re: 複素積分 / X

間違えています。
それは積分路が上半分の半円になる場合です。
(1)の結果をよく見ましょう。

積分路であるD_Rの境界をCとして
Cを
C[1]:z=x(x:0→R)
C[2]:z=Re^(iθ) (θ:0→2π/5)
C[3]:z=xe^(i2π/5)(x:R→0)
に分けて積分をすると
∫[C]f(z)dz=∫[C[1]]f(z)dz+∫[C[2]]f(z)dz+∫[C[3]]f(z)dz (A)
(A)の左辺には留数定理を使い、右辺の
第1項、第3項は置換積分を使うと
2πie^(-i4π/5)={1-e^(i2π/5)}∫[x:0→R]dx/(1+x^5)+∫[C[2]]f(z)dz
ここでR→∞を考えると
∫[C[2]]f(z)dz→0 (証明は省略します)
∴2πie^(-i4π/5)={1-e^(i2π/5)}∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)
となるので
∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)={2πie^(-i4π/5)}/{1-e^(i2π/5)}
=2πi/{e^(i4π/5)-e^(i6π/5)}
=2πi/{e^(i4π/5)-e^(-i4π/5)}
=2πi/{2isin(4π/5)}
=π/sin(4π/5)
=π/sin(π/5)
となります。

No.69732 - 2020/09/24(Thu) 17:46:06

☆ Re: 複素積分 / GandB

> ∫[x:0→∞]dx/(1+x^5)=
> ・・・・・
> =π/sin(π/5)

　　∫[x:0→∞]dx/(1+x^5) = π/5sin(π/5)

なので（分母の5を追加）留数のところがおかしいのでは？

No.69739 - 2020/09/24(Thu) 23:23:03

☆ Re: 複素積分 / X

＞＞GandBさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞あかさんへ
ごめんなさい。GandBさんの仰る通りです。
留数の値の分母の5が抜けていました。

No.69748 - 2020/09/25(Fri) 18:29:08

★ 大学1年の数学です / 45

こちらの問題分かる方お願いします。

No.69724 - 2020/09/23(Wed) 19:43:09

★ (No Subject) / あい

袋の中に、1,2,3,4の数字が書かれた球が、一個ずつ合計4個入っている。この袋の中から球を一個取り出し、数字を確認してからもとに戻す。よくかき混ぜたのちに、同じように球を取り出すことを計四回繰り返す。このとき、
一回目に取り出した球の数字を点Aのx座標とし、
二回目に取り出した球の数字を点Aのy座標とする。
三回目に取り出した球の数字を点Bのx座標とし、

4点P(1,1)、Q(4,1)、R(4,4)、S(1,4)を正方形の頂点とする。このとき、直線ABが正方形PQRSの面積を二等分する確率を求めよ。

この問題を自分で解いてみたら、答えは2/81になりました。ですが、解答がついていなかったので、自信がありません。申し訳ないのですが、どなたか解いてもらって、あっているかどうか教えてもらえませんか。
間違っていたら、解説の方もよろしくお願いします。

No.69721 - 2020/09/23(Wed) 17:18:07

☆ Re: / ヨッシー

四回目に取り出した球の数字を点Bのy座標とする。
と推測します。

Ａの座標の現れ方は16通り。
Ｂも16通りなので、直線ＡＢの組み合わせは、
点Ａと点Ｂが一致する場合も含めて、
　16×16＝256（通り）
なので、分母は 256 か、その約数になるはずです。

No.69722 - 2020/09/23(Wed) 17:37:01

☆ Re: / あい

ついサイコロだと思って6^4としてしまっていました。
1/8ではどうでしょうか？

No.69725 - 2020/09/23(Wed) 23:09:12

☆ Re: / IT

合っていると思いますが、考え方が大切です。

No.69726 - 2020/09/23(Wed) 23:36:48

☆ Re: / あい

わかりました！ありがとうございます！

No.69727 - 2020/09/24(Thu) 17:02:43

★ 微分方程式 / スイカ

y'=y/x(x≠0)が定めるベクトル場を図示せよ。
また、この微分方程式の解を1つ求めて、そのグラフをベクトル場の図に重ねて書け。
この問題が分かりません。
微分方程式を解くと、y=xe^c(c:積分定数)となりました。

No.69709 - 2020/09/22(Tue) 20:54:14

☆ Re: 微分方程式 / IT

wolframa に聞いてみると下記のような図（勾配場）を描いてくれました。
これに適当な勾配の直線を１つ加えればよいのでは？

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%E2%80%99%3Dy%2Fx&lang=ja

No.69723 - 2020/09/23(Wed) 19:04:27

★ 二重積分 / yeah

(問題)連立不等式 x^2-x+y-6<=0, x-y+2<=0 で表される領域Dにおいて, 2重積分∬(2x-y)dxdyを計算せよ.

自分でやったら
∫(-2,2)∫(-x^2+x+6,x+2)(2x-y)dydxっていう式がたって、結果 -192/5になりました。マイナスになっちゃったんですけど考え方あってるんですかね？

No.69708 - 2020/09/22(Tue) 20:43:46

☆ Re: 二重積分 / IT

考え方があってるかどうかは分りませんが
その領域Dでは2x-y≦0　（１点(2,4) を除いて2x-y＜0)　

なので　その積分はマイナスでおかしくないです。

No.69715 - 2020/09/22(Tue) 22:29:30

☆ Re: 二重積分 / IT

考え方も合ってるようです。（積分計算結果は確認していません。）

No.69716 - 2020/09/22(Tue) 22:35:45

☆ Re: 二重積分 / yeah

> 考え方も合ってるようです。（積分計算結果は確認していません。）

ありがとうございました！

No.69719 - 2020/09/23(Wed) 16:33:52

★ (No Subject) / kimika

このsin^2+cos^2を使うってどう使えばいいでしょうか…

No.69707 - 2020/09/22(Tue) 20:34:36

☆ Re: / mathmouth

?@式と?A式の辺々にそれぞれcosθ,sinθを掛けてNを消すか、
辺々にそれぞれsinθ,cosθを掛けてTを消すか
ってことでしょう。

No.69712 - 2020/09/22(Tue) 21:27:48

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