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(No Subject) / Suzumushi
図中の式変形でn_x = dy/ds, n_y = -dx/dsとなるのは何故でしょうか?
n_x,n_yはそれぞれ法線ベクトルのx成分とy成分、dsは線素です。

元サイトはこちらです↓
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/StreamFunction/

No.77168 - 2021/08/01(Sun) 17:50:16

Re: / 関数電卓
曲線上の接近した2点 A(x,y), A'(x+dx,y+dy) の長さ ds は
 ds=√(dx^2+dy^2)
で,
 点 A での接線の傾きは dy/dx,
 接線 の方向ベクトルは (dx/ds, dy/ds) …(1)
  (AA' を斜辺とする直角三角形を考えて下さい)
ですから,
 点 A での 法線 の方向ベクトルは,(dy/ds, −dx/ds) …(2)
です。
なぜなら,(1)と(2)の内積は 0 でなければならないから。

No.77182 - 2021/08/01(Sun) 23:34:46
(No Subject) / 黒
3つの直線が写真のような位置関係を満たすようなw1,w2,w0は存在しますか?
存在するならその例を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

No.77160 - 2021/08/01(Sun) 16:56:18

Re: / らすかる
例えば
w1=-2, w2=-1, w0=5

No.77166 - 2021/08/01(Sun) 17:47:42
(No Subject) / りか
次の証明が分からないので、教えていただきたいです。
No.77156 - 2021/08/01(Sun) 16:23:00

Re: / りか
これです
No.77157 - 2021/08/01(Sun) 16:23:35

Re: / X
大学数学の範囲であれば
以下のようになります。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{e^(ikθ)-e^(-ikθ)}/{i2^(k+1)}
=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^k-1/{2e^(iθ)}^k}
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n+1]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^(k-1)-1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
((∵)k+1を改めてkと置いた)
=lim[n→∞]{1/(2i)}{{1-{{e^(iθ)}/2}^(n+1)}/{1-e^(iθ)}/2}
-{1-1/{2e^(iθ)}}^(n+1)}/{1-1/{2e^(iθ)}}}
={1/(2i)}{1/{1-{e^(iθ)}/2}-1/{1-1/{2e^(iθ)}}}
=-i{1/{2-e^(iθ)}-1/{2-1/e^(iθ)}}
=-i{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/{{2-e^(iθ)}{2-1/e^(iθ)}}
=-i{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/{5-2{e^(iθ)+1/e^(iθ)}}}
=2{{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/(2i)}/{5-4{e^(iθ)+1/e^(iθ)}/2}}
=(右辺)

No.77159 - 2021/08/01(Sun) 16:52:00

Re: / りか
早速ありがとうございます。

=lim[n→∞]Σ[k=1〜n+1]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^(k-1)-1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
((∵)k+1を改めてkと置いた)
=lim[n→∞]{1/(2i)}{{1-{{e^(iθ)}/2}^(n+1)}/{1-e^(iθ)}/2}
-{1-1/{2e^(iθ)}}^(n+1)}/{1-1/{2e^(iθ)}}}

ここの部分がいまいちわからないのですが、どうすればいいのでしょうか

No.77167 - 2021/08/01(Sun) 17:49:15

Re: / りか
追加ですいません。
2行目の
=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^k-1/{2e^(iθ)}^k}
の{e^(iθ)}/2はe^(2iθ)ではないのですか。
合わせてお願いいたします。、

No.77169 - 2021/08/01(Sun) 18:01:06

Re: / X
>>No.77167について
Σ{e^(iθ)}/2}^(k-1)

Σ{1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
に対して、等比数列の和の公式を使っています。

>>No.77169について
{e^(iθ)}/2}^k
で正しいです。
オイラーの公式により
sin(kθ)={1/(2i)}{e^(ikθ)-e^(-ikθ)}
={1/(2i)}{{e^(iθ)}^k-{1/e^(iθ)}^k}
∴{sin(kθ)}/2^k={1/(2i)}[{{e^(iθ)}^k}/2^k-{{1/e^(iθ)}^k}/2^k]
={1/(2i)}[{{e^(iθ)}/2}^k-{1/{2e^(iθ)}}^k]

No.77180 - 2021/08/01(Sun) 22:22:41

Re: / りか
大変理解できました。
ありがとうございました。

No.77196 - 2021/08/02(Mon) 11:29:43
近似? / 室井
これなにが行われているのですか?
No.77153 - 2021/08/01(Sun) 14:27:25

Re: 近似? / IT
分かり易くするために 固定されているt は無視して,yをxの一変数関数と考える
yをx で(偏)微分した結果をg(x) と書くと

その式は、g(x+Δx)=g(x)+g'(x)Δx+ O((Δx)^2) となります。

No.77155 - 2021/08/01(Sun) 14:43:22

Re: 近似? / 室井
漸近展開みたいなやつですか?
No.77158 - 2021/08/01(Sun) 16:25:47

Re: 近似? / ast
平均値の定理 (=1次のテイラー展開) ですね.
# なので, ランダウのO-記法で書かれてるということを除けば高校範囲の内容と言えます.

No.77165 - 2021/08/01(Sun) 17:35:12

Re: 近似? / 室井
なるほど!わかりました!
No.77188 - 2021/08/02(Mon) 09:16:38
大学受験 / イトウ
添付ファイルの問題の解き方を教えてください
No.77152 - 2021/08/01(Sun) 14:14:25

Re: 大学受験 / IT
けっこうめんどうですね。
Σの計算をすると,n|2m+2+(1/2)-n|≦a になる。
mが最大になるのは、|2m+2+(1/2)-n|=1/2 のときのような気がしますが、まだできていません。

No.77162 - 2021/08/01(Sun) 17:02:42

Re: 大学受験 / GM
−a≦(2m+5/2)n−n^2≦aより
n/2−5/4−a/2n≦m≦n/2−5/4+a/2n
(ここでa/2nはa/(2n)のこととします)

mは整数なので左右のa/2nが適切な値でないといけません
あまり小さいと整数mが存在しません
またn/2−5/4は整数まで1/4足りないか大きすぎるのどちらかです
よってa/2n≧1/4でなければならず
2a≧n≧1となりますがaは正の整数なのでこの式は成立します

mを大きくするにはmの上限のn/2−5/4+a/2nを大きくすればいいですから
n=1のときの値とn=2aのときの値を比較して大きい方をとればよいです

n=1のときa/2−3/4
n=2aのときa−1
a≧1に注意するとn=2aのときのa−1の方が大きいのが分かります

No.77316 - 2021/08/05(Thu) 12:32:37
素因数分解を使う? / 中1女子 都内私立です
56とある自然数nの最少公倍数が392のとき、このようなnをすべて求めなさい。ただしn<392とする。
(強引に数を調べ上げてならできるのですが、この問題が素因数分解の章にあります。標準的な正しい解き方を教えてください。)

No.77147 - 2021/08/01(Sun) 12:35:00

Re: 素因数分解を使う? / ヨッシー
素因数分解して、nが持つべき性質を言葉でまとめていきます。

56=2^3×7
392=2^3×7^2

よって、nは
・7 は 2乗が必須。3乗以上は不要。
・2 は 3乗までは任意。4乗以上は不要。
以上より
 7^2=49
 2×7^2=98
 2^2×7^2=196
 2^3×7^2=392
この4つ。

No.77149 - 2021/08/01(Sun) 12:53:37

Re: 素因数分解を使う? / 中1女子 都内私立です
nがどういう性質を持つか、素因数分解の結果によって考えていくということだと理解しました。
わかったと思います。もう一度解説をにらめっこしながら頭を整理します。
ありがとうございました。
(夏休みの宿題で唯一よくわからない問題でした。)

No.77151 - 2021/08/01(Sun) 13:27:51
1=2の偽証 / 高校生
1=2の偽証です。
2式目から3式目で同値性が崩れているのは分かるのですが、どうして崩れてしまっているのでしょうか?

No.77142 - 2021/08/01(Sun) 04:36:17

Re: 1=2の偽証 / X
>>1=x^3
>>よって
>>x=1
が誤りです。
x=1は?@の解ではありませんので
1=x^3
の解から
x=1
は除く必要があります。

No.77143 - 2021/08/01(Sun) 08:18:56

Re: 1=2の偽証 / IT
スッキリ書くと
x^3-1=0
⇔(x-1)(x^2+x+1)=0
⇔(x-1)=0 または  (x^2+x+1)=0
⇔x=1 または x=(-1+i√3)/2 または x=(-1-i√3)/2

No.77144 - 2021/08/01(Sun) 08:25:36

Re: 1=2の偽証 / IT
代入で同値が崩れてますね。
(1/x)(x^2+x+1)=0…?Aもx^2+x+1=0…?@ も 元の式x^2+x+1=0…?@と同値です。

2つを引いた
((1/x)-1)(x^2+x+1)=0 すなわち -x^2+(1/x)=0…?B は,元の式x^2+x+1=0…?@と同値ではありません。 

No.77150 - 2021/08/01(Sun) 13:08:02
数3 / タノ
写真の2つの問題がわかりません。教えてください
No.77133 - 2021/07/31(Sat) 22:45:19

Re: 数3 / ast
投稿前にプレビューをした場合はプレビュー画面で再度参照する画像ファイルを指定し直すようにしてください.
(個人的には, 画像を添付する際はプレビューしないことをお勧めします.)

なお, もし編集パスを設定してあるならサイトの一番下から記事編集を選んでファイルを添付し直せるはずです.

No.77136 - 2021/07/31(Sat) 22:53:21
場合の数 / フジ
問題
0、1、2、3、4、5の数字を重複を許して使ってできる、4桁以下の自然数のうち、3000よりも小さい数はいくつあるか。

解答解説で千の位が0、1、2の3通り。その他の位が6通りだから、3×6³=648(個)となっていました。0000の場合があるので-1して647個だと思うのですが、解説が間違ってませんか?

No.77128 - 2021/07/31(Sat) 21:59:16

Re: 場合の数 / ヨッシー
0を自然数に含まない立場なら 647 でしょうね。

対象学年は何ですか?

No.77130 - 2021/07/31(Sat) 22:19:03

Re: 場合の数 / フジ
高1の数Aの問題です
No.77131 - 2021/07/31(Sat) 22:26:55

Re: 場合の数 / ヨッシー
では、647 とすべきでしょうね。

まさか、検定をちゃんと受けた教科書と言うことはありませんよね?

No.77134 - 2021/07/31(Sat) 22:49:36
(No Subject) / kkk
以下の問題の(2)が分かりません。
図などもあると嬉しいのですが、わかりますか?

No.77123 - 2021/07/31(Sat) 17:26:35

Re: / X
まず円の位置関係ですが
円C[2]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[2]
x軸
に囲まれた領域に存在します。
同様に円C[n]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[n-1]
x軸
に存在します。
もう少し具体的に文章で書けば、
円C[1]の左下でかつx軸の上側にC[2]
円C[2]の左下でかつx軸の上側にC[3]

円C[n-1]の左下でかつx軸の上側にC[n]
が存在することになります。

ここで(1)の結果から、C[n]の中心をA[n]とすると
A[n](a[n],(1/4)a[n]^2)
∴C[n]の半径は(1/4)a[n]^2
このことから線分A[n]A[n+1]の長さについて
(a[n]-a[n+1])^2+{(1/4)a[n]^2-(1/4)a[n+1]^2}^2={(1/4)a[n]^2+(1/4)a[n+1]^2}^2
これより
(a[n]-a[n+1])^2=(1/4){a[n]a[n+1]}^2
(1/a[n]-1/a[n+1])^2=1/4
条件からa[n+1]<a[n]ゆえ
1/a[n]-1/a[n+1]=-1/2
∴a[n+1]=2a[n]/(a[n]+2)

No.77125 - 2021/07/31(Sat) 20:00:21

Re: / ヨッシー
X さん
(1) の結果は
 y=(1/4)x^2
では?

私は、1/a[n] のように分母に持ってこずに、そのまま計算しました。

x^2+(y−1)^2=1 をC0 と呼ぶことにします。
また、Cn の中心のy座標を b[n] とします。

C0 と Cn の関係において、
 a[n]^2+(b[n]−1)^2=(b[n]+1)^2
より、
 a[n]^2=4b[n] ・・・(i)
これは、任意の自然数nについて成り立ちます。よって、
 a[n+1]^2=4b[n+1] ・・・(ii)
も成り立ちます。 ※ここまでは(1) で求めたものです

Cn と Cn+1 の関係において、
 (a[n]−a[n+1])^2+(b[n]−b[n+1])^2=(b[n]+b[n+1])^2
 (a[n]−a[n+1])^2=4b[n]b[n+1]
4倍して、
 4(a[n]−a[n+1])^2=4b[n]・4b[n+1]
(i)(ii)を代入して
 4(a[n]−a[n+1])^2=a[n]^2・a[n+1]^2
図より、a[n]>a[n+1] 、および、a[n]>0,a[n+1]>0より
 2(a[n]−a[n+1])=a[n]a[n+1]
a[n+1] について解くと
 a[n+1]=2a[n]/(a[n]+2) ・・・答え

No.77126 - 2021/07/31(Sat) 20:33:27

Re: / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>>kkkさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
No.77125を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.77127 - 2021/07/31(Sat) 20:49:03

Re: / kkk
ありがとうございます。
また再度解き直しをしてみて
分からない所が有れば質問しますね。

No.77171 - 2021/08/01(Sun) 18:30:42
積分 / 火
I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか?
No.77111 - 2021/07/31(Sat) 12:05:39

Re: 積分 / 火
返信よろしくお願いします。
No.77145 - 2021/08/01(Sun) 09:11:30

Re: 積分 / 火
あと、追加で、I [0→π/6] 1/(3sin^2 x +cos^2 x) dx を半角タンジェントの置換でするなら、どう解きますか?
No.77146 - 2021/08/01(Sun) 10:23:54
9点配置 / 大西
直径5の円の内部および周上に異なる9点を配置した時に
その中のどの2点間の距離をとっても2以上にするような
配置が存在することを示したいのですが、円をショートケーキの
ように8等分したりして考えても鳩ノ巣の原理を使おうとしても
うまくいかないです。教えてください、

No.77100 - 2021/07/31(Sat) 02:09:25

Re: 9点配置 / らすかる
「存在しないこと」を示すのではなく、
「存在すること」を示すのですか?
存在することを示すとしたら鳩ノ巣原理とか使えない気がしますが。

No.77108 - 2021/07/31(Sat) 11:07:43

Re: 9点配置 / 大西
鳩ノ巣の原理は使えないですね。
単純に一例を示さないといけないですね。

No.77109 - 2021/07/31(Sat) 11:22:10

Re: 9点配置 / IT
詳しく確認してないですが、らすかるさんが不可能証明しておられるようです。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun59.htm

No.77113 - 2021/07/31(Sat) 12:34:46

Re: 9点配置 / 大西
ご回答ありがとうございます。
すべてが納得できました。
さすがはらすかるさんですね。
ITさんの情報量も素晴らしいです。
ありがとうございました。

No.77115 - 2021/07/31(Sat) 13:06:17

Re: 9点配置 / らすかる
自分で不可能証明していたことはすっかり忘れてました。
2004年なので17年も前ですね。

No.77176 - 2021/08/01(Sun) 20:05:54
(No Subject) / 確率の問題です
一つのサイコロを1の目が出るまで投げる。初めて1の目が出た回数をXとする時、P(X≧5)を求めよ。という問題です。

(5/6)^4×(1/6)で良いのでしょうか。

どなたかお願いいたします

No.77099 - 2021/07/31(Sat) 00:48:00

Re: / ast
確認ですけど, 問題は「P(X5)を求めよ」で合っていて「P(X=5)を求めよ」ではないのですよね?
No.77101 - 2021/07/31(Sat) 02:32:52

Re: / 確率の問題です
P(X≥5)を求めよです
No.77102 - 2021/07/31(Sat) 03:02:58

Re: / ast
もし P(X=5) が訊かれていたのであれば =(5/6)^4×(1/6) でよかったのですが,
> P(X≥5)を求めよです
ということなので, 不正解ですね (X=6,7,… のときの確率が足りてません ).

# "1-P(1≤X≤4)" を考えるのがたぶん出題意図だと思うが
# "?納k=5,6,…] P(X=k)" を直接計算してもそう変わらないと思う.
## もちろん ?納k=1,2,…]P(X=k) = 1 は検算のためにも確認しておくべき.

No.77103 - 2021/07/31(Sat) 03:42:22

Re: / 確率の問題です
ありがとうございます
なかなか理解できないもので、
X=6〜はどう求めたら良いのでしょうか

No.77106 - 2021/07/31(Sat) 07:32:18

Re: / らすかる
「初めて1の目が出た回数」は意味がよくわかりませんが、
(初めて出るのは1回に決まっていますので)
もし「初めて1が出るのが5回目以降」ならば
最初の4回で1が出ない確率ですから
(5/6)^4です。

No.77112 - 2021/07/31(Sat) 12:14:25

Re: / 確率の問題です
一つのサイコロを1の目が出るまで投げる。
初めて1の目が出た時をXとする時、P(X≧5)を求めよ


つまりこの問題は、

1- (5/6)^4 ということで良かったですか?

No.77114 - 2021/07/31(Sat) 12:48:45

Re: / ast
1-(5/6)^4 は P(1≤X≤4) だと思いますが.
No.77116 - 2021/07/31(Sat) 13:33:41

Re: / 確率の問題です
> 1-(5/6)^4 は P(1≤X≤4) だと思いますが.


5回以内に1が出る確率

5C1×(1/6)×(5/6)^4

でしょうか、何度もすみません

No.77124 - 2021/07/31(Sat) 19:05:41

Re: / らすかる
5回とも1が出ない確率が(5/6)^5ですから、
5回以内に1が出る確率は1-(5/6)^5です。

No.77129 - 2021/07/31(Sat) 22:09:08

Re: / ast
5C1×(1/6)×(5/6)^4 は「5回投げてそのうちのちょうど1回だけ1が出る確率」とかなら当てはまるでしょうけど, もとの問題とはだいぶかけ離れますね.
# 「5回以内に1が出る確率」ももうもとの問題とは直接関係ない事象の確率だとおもいますが,
# (まあもとの問題はらすかるさんが No.77112 で端的な解答を提示されて終わってるので)
# もしかしてもう, 関連する (設定は同じ?) 別の問題に話は移ったのかな?

No.77132 - 2021/07/31(Sat) 22:44:54
(No Subject) / 数学苦手
この問題は全体を1として、やると解けないのでしょうか。
No.77094 - 2021/07/30(Fri) 23:18:42

Re: / 数学苦手
なんかAの方は24で通分できましたがBの方は無理でした
No.77095 - 2021/07/30(Fri) 23:19:46

Re: / 数学苦手
あ、一応、280ではBも通分できますね、、でも最後24分の5と280分の103とか…訳の分からない数字になりました。やっぱり全体を1としない方が良い問題でしたね
No.77096 - 2021/07/31(Sat) 00:12:13

Re: / 数学苦手
1としなくて良いような問題の判別方法を教えて欲しいです、
No.77097 - 2021/07/31(Sat) 00:23:17

Re: / 数学苦手
全体の仕事は同じなら比は逆比になるので、この問題も見た感じAとBのやる全体の仕事量は一定ですから、逆比を使うのは分かりました
No.77098 - 2021/07/31(Sat) 00:33:37

Re: / ヨッシー
立式がメタメタです。

Aとは何で、それを12で割った(1/12)A は何かを、
日本語で説明してください。

これに関する回答以外の独り言はスルーします。

No.77107 - 2021/07/31(Sat) 11:03:34

Re: / 数学苦手
Aさんが12日で1(全体の仕事量)を終えるわけではないので、Bさんが10日働いた量と合わせて1なので、12+10分の1といったように式を立てるべきだったのでしょうか。
No.77135 - 2021/07/31(Sat) 22:51:59

Re: / 数学苦手
あ、それだと22分の1+15分の1で最小公倍数が見つからないですし、むりですね、、
No.77137 - 2021/07/31(Sat) 23:27:57

Re: / ヨッシー
> この問題は全体を1として、やると解けないのでしょうか。
これに答えてませんでしたね。
答えは「できます」です。

No.77138 - 2021/07/31(Sat) 23:40:09

Re: / 数学苦手
仕事の速さの平均はAとB共に4日ですね。
No.77139 - 2021/08/01(Sun) 01:17:42

Re: / 数学苦手
Aをx、Bをyの仕事量として…
12x+10y=1

AとBが一緒に8日、Bだけその後7日で、、
8(x+y)+7y=1

この式を解く感じですか?

No.77140 - 2021/08/01(Sun) 01:30:06

Re: / ヨッシー
> Aをx、Bをyの仕事量として…
> 12x+10y=1
>
> AとBが一緒に8日、Bだけその後7日で、、
> 8(x+y)+7y=1
>

日本語部分はともかく、式はこの一連の記事で唯一正しいです。
では、解いてください。

正しい日本語は、
 xをA、yをBの1日の仕事量として
です。

No.77141 - 2021/08/01(Sun) 04:25:15

Re: / 数学苦手
あ、そうですね。日本語間違えました。
とりあえず汚いですが解けました。

Aの12日間とBの7日間の差から求められると聞きましたがそっちのほうが早くできるのでしょうか…
何故、差から解けるのか分かりませんが…

No.77163 - 2021/08/01(Sun) 17:10:08

Re: / 数学苦手
理屈を考えても仕方ないですよね。一人で働いてる時間の仕事量同士を引くから、そうなる…みたいな
No.77164 - 2021/08/01(Sun) 17:11:46
大学数学 概略図 / チャン
(1) s(t) = e^(-α|t|) (α>0)
(2)z(t)=0(t<-d, d<t)
z(t)=t+d(-d≦t<0)
z(t)=-t+d(0<t≦d)
この(1),(2)の概略図はどんなものになりますか?
図を書いて教えていただきたいです.

No.77090 - 2021/07/30(Fri) 22:33:00

Re: 大学数学 概略図 / X
(1)
(但し、α=2の場合です。)

No.77118 - 2021/07/31(Sat) 16:55:51

Re: 大学数学 概略図 / X
(2)
(但し、d=2の場合です。)

No.77119 - 2021/07/31(Sat) 16:57:06

Re: 大学数学 概略図 / X
(1)のα、(2)のdの共に数値を設定していますが
その他の値の場合についても
α>0
d>0
の条件を満たしていれば、グラフの形状に
変わりはありません。

No.77120 - 2021/07/31(Sat) 16:58:47

Re: 大学数学 概略図 / チャン
丁寧な説明ありがとうございます.理解できました.
No.77122 - 2021/07/31(Sat) 17:23:05
確率問題 / ペシミズム
手のつけ所がわかりません。お願いします。
No.77087 - 2021/07/30(Fri) 20:24:48

Re: 確率問題 / IT
Aが最後まで勝ち残る確率と
Aがn回対戦したとき、どこかでBと対戦する確率を考えれば良いのでは
((2^n)-1個のチームからn個の対戦相手を選ぶとき、特定のBが含まれる確率)

No.77088 - 2021/07/30(Fri) 20:45:25

Re: 確率問題 / ペシミズム
なるほど、トーナメント方式と勘違いしてました。ありがとうございます!
No.77091 - 2021/07/30(Fri) 22:43:45

Re: 確率問題 / ペシミズム
あ、でもこの場合BがAと当たるまで勝ち残っていることは考慮できているんでしょうか
No.77092 - 2021/07/30(Fri) 22:55:23

Re: 確率問題 / IT
>なるほど、トーナメント方式と勘違いしてました。ありがとうございます!
トーナメント方式だと思います。
優勝する確率はA、B、C ....すべてのチーム平等です。

1回戦でABがあたりAが勝ちAが優勝する確率
2回戦でABがあたりAが勝ちAが優勝する確率
・・・
n回戦でABがあたりAが勝ちAが優勝する確率

を計算して合計する方法もありますが、先に示した方法が計算が簡単だと思います。
n=2,3 ぐらいで 両方の方法で計算してみてください。

>あ、でもこの場合BがAと当たるまで勝ち残っていることは考慮できているんでしょうか

どこかでAと対戦する相手になる確率は、A以外の全員(B,C,D,...) 互いに平等です。

No.77093 - 2021/07/30(Fri) 23:07:51
数学 高校入試難問題集  / あ
数学の円周角とその応用

(1)円Oの周上に3点A、B、Cをとる。
∠OAC=35°、∠OBC=75°のとき、∠AOBの大きさxを
求めよ。
(1)の解説∠c=1/2∠AOB=2/x
三角形の内角の和からx/2+75=35+x
答えは80°

(2)円周上に4点A,B,C,Dがあり、直線ABと直線CDとの交点Eとし、
ACとBDとの交点Fとする∠AED=30°、∠BDC=50°であるとき、
∠AFBの大きさxを求めよ

(2)の解説
x=180°ー∠ABDー∠BAD=110°
答えは110°

(1)と(2)の答えになるにはどのような計算方法をしたら、このような
答えになるのかを教えてください。解説を見る限り大まかな
答えしか掲載しておらず詳しいことはそこまでは書いていません
だから余計に難しくて大変困っています。

参考文献、2017年度、富士教育、5教科モギテスト

No.77080 - 2021/07/30(Fri) 18:07:25

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー
まず(1)ですが、下の図で正しければ、80°ではないですね。
ご確認ください。

No.77081 - 2021/07/30(Fri) 18:55:51

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー
(2) も110°ではないですね。

No.77082 - 2021/07/30(Fri) 19:07:22

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー

(2) はこっちかぁ。

 ∠BAD=∠BCD=50°・・・(i)
 ∠BCE=180°−50°=130°
△BCEにおける内角より
 ∠CBE=180°−130°−30°=20° ・・・(ii)
△ABFにおける内角より
 x=180°−50°−20°=110°

No.77083 - 2021/07/30(Fri) 19:19:09

Re: 数学 高校入試難問題集  / ヨッシー

(1) もこうですね。

ACとBOの交点をDとします。
∠ACB(図の○)は∠AOBの半分(円周角)なので、x/2
△ADOにおける●以外の角 35°+x と
△BCDにおける●以外の角 75°+x/2 は等しいので、
 (以下略)

No.77085 - 2021/07/30(Fri) 19:54:37
漸近展開と極限 / い
自分は赤線を引いたところは1になると思い、答えは1/2になると思うのですが解答と違いました。赤線の部分はなぜ0になるのですか?
No.77077 - 2021/07/30(Fri) 15:43:00

Re: 漸近展開と極限 / IT
スモールoの意味を確認してください。
No.77079 - 2021/07/30(Fri) 18:01:41
(No Subject) / 一般中学生
(4),(5),(6)が分からないです。
No.77071 - 2021/07/30(Fri) 13:07:53

Re: / 関数電卓
図(グラフ)をきちんと描いてごらんなさい。
No.77072 - 2021/07/30(Fri) 14:06:44
(No Subject) / kkk
連続ですみません。
実数xに対し、n≦x<n+1を満たす整数nを記号[x]で表す。
aを正の定数とするとき、関数y=x[x](0≦x<3)と曲線y=ax^(2)+(5/2)のグラフが相異なる2つの共有点を持つようなaの値の範囲を求めよ。という問題の解説をお願いします。

アプローチとしてy=x[x]のグラフを書いてみましたが、それ以降が難しいです。よろしくお願いします。

No.77062 - 2021/07/30(Fri) 10:44:12

Re: / らすかる
0≦x<1における共有点はy=0とy=ax^2+5/2の交点
1≦x<2における共有点はy=xとy=ax^2+5/2の交点
2≦x<3における共有点はy=2xとy=ax^2+5/2の交点
このように3つに分けてそれぞれの交点の個数(aに依存)を求め、
共有点の合計が2個になるaの範囲を考えればいいですね。

No.77063 - 2021/07/30(Fri) 10:51:32

Re: / kkk
ありがとうございます。
3つに場合分け?するイメージは持てました。
具体的な計算過程とかわかりますか?

No.77067 - 2021/07/30(Fri) 11:49:44

Re: / らすかる
0≦x<1のとき
a>0なのでy=ax^2+5/2>0となりy=0との共有点は存在しない。
1≦x<2のとき
a>0なのでy=ax^2+5/2≧5/2>2となり1≦x<2においてy=xとの共有点は存在しない。
よって条件を満たすためには2≦x<3の範囲に共有点が2個なければならない。
そのためには
(ax^2+5/2)-(2x)=0の解が2≦x<3の範囲に2個なので
f(x)=ax^2-2x+5/2とおいたとき
(1)判別式が正で
(2)y=f(x)の軸が2<x<3の範囲にあり
(3)f(2)≧0かつf(3)>0
でなければならない。
(1)からD=4-10a>0なのでa<2/5
(2)から2<1/a<3なので1/3<a<1/2
(3)は
f(2)≧0からa≧3/8
f(3)>0からa>7/18
よって全部を合わせて
7/18<a<2/5

No.77078 - 2021/07/30(Fri) 17:19:46

Re: / kkk
ありがとうございます。理解できました。
No.77121 - 2021/07/31(Sat) 17:22:56
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