ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分方程式 / ユミ

【問】放物線：y=x^2 (0≦x≦1) を y 軸の周りに回転してできる容器を水で満杯にする。この容器の底に排水口があり、時刻 t=0 に排水口を開けて排水を開始する。時刻 t において容器に残っている水の深さを h、体積を V とする。
V の変化率?儼/?冲＝－√h とする。このとき、容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 T を求めなさい。

この問題なのですが、微分方程式を解いて、T＝4π/3　で答えはあっていますか？
分かる方、宜しくお願いします。

No.86164 - 2023/08/08(Tue) 23:41:50

☆ Re: 微分方程式 / ユミ

すみません、↑文字化けしたようで、Vの変化率はdV/dtです。

No.86165 - 2023/08/08(Tue) 23:43:39

☆ Re: 微分方程式 / ast

あってないのでは.

No.86166 - 2023/08/09(Wed) 02:52:04

☆ Re: 微分方程式 / X

条件から
V=π∫[y:0→h](x^2)dy
=π∫[x:0→√h](x^2)・2xdx
=2π[(1/4)x^4][x:0→√h]
=(π/2)h^2
これを
dV/dt=-√h
に代入すると
πhdh/dt=-√h
これより
(2/3)h^(3/2)=-t/π+C (A)
(Cは任意定数)
ここで
t=0のときh=1
ゆえ、(A)より
C=2/3
∴(A)は
(2/3)h^(3/2)=-t/π+2/3
となるので
-T/π+2/3=0
∴T=2π/3

ユミさんの答えは合ってないですね。

No.86172 - 2023/08/09(Wed) 18:55:39

☆ Re: 微分方程式 / ユミ

あっ、最初の体積の出し方で間違えていた事に気づきました。
　有難う御座います。

No.86181 - 2023/08/10(Thu) 16:15:50

★ モジュラ逆数と単位元 / 加賀

ax≡1mod7
aを0~6としたときのそれぞれのモジュラ逆数は以下の通りでいいですか？

0は逆数を持たない。なぜなら、0を掛けた数は1ではなく0だからである。
1 * 1 ≡ 1 (mod 7)なので、1はそれ自身の逆数である。
2 * 4 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)であるから、2の逆数は4である。
3 * 5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)であるから、3の逆数は5である。
4 * 2 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)なので、4の逆数は2。
5 * 3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)なので、5の逆数は3。
6 * 6 ≡ 36 ≡ 1 (mod 7)であるから、6はそれ自身の逆数である。

であっていますか？

補足
また、この時の単位元は１でいいですか？

No.86162 - 2023/08/08(Tue) 21:50:09

☆ Re: モジュラ逆数と単位元 / ast

特に問題は無いと思います.

No.86167 - 2023/08/09(Wed) 03:04:43

★ 中学数学　相似 / ささ

図において、四角形 ABCDが平行四辺形であるとき、次の各問に答えなさい。
　
問　△DQRの面積は、平行四辺形ABCDの何倍か求めなさい。
答　1/9倍
　
　
自分で計算を進めて、cf=4cm、BQ:QD=2:1、BP:PD=3:2まで求めました。
　
それぞれの図形の面積比を出すのかと思ったんですけどうまくできなくて、平行四辺形の面積がわからないのにどうやって出すんだろうって詰まってしまっています。
どこから始めたらいいのかよくわからないです。中学範囲でよろしくお願いします。

No.86159 - 2023/08/08(Tue) 17:50:08

☆ Re: 中学数学　相似 / X

＞＞平行四辺形の面積がわからないのにどうやって出すんだろう
分からないなら適当にTとでも置きましょう。
ということで方針を。
(以下、例えば△ABCの面積をS[△ABC]と表します。)

まず
BQ:QD=2:1、BP:PD=3:2
から
PQ:QD=… (A)
次に条件から
S[△BCD]=(1/2)T (B)
S[△CPD]=(PD/BD)S[△BCD]
=(2/5)S[△BCD] (C)
S[△PRD]=(DR/CD)S[△CPD]
=(2/3)S[△BCD] (D)
S[△QRD]=(DQ/PD)S[△PRD] (E)
(B)(C)(D)(E)から
S[△QRD]=(DQ/PD)(2/3)(2/5)(1/2)T
これと(A)から…

No.86160 - 2023/08/08(Tue) 18:04:15

☆ Re: 中学数学　相似 / ささ

Xさん、ありがとうございます。
文字でおいて、一回で求めようとするんじゃなくて、△QRDを含まないものを削っていって、少しずつ小さくしていくんですね！
方針のおかげで無事解けて1/9になりました。

No.86171 - 2023/08/09(Wed) 18:24:59

★ 最小二乗推定量の分散 / 奮闘中のFラン大生

度々申し訳ございません。
入門統計解析（倉田、星野、新世社）のp286がわかりませんでした。
最小二乗推定量の分散の証明ですが、
マーカーで囲んだ部分の式変形がどうしてこのようになるのかがわかりませんでした。
恐れ入りますが、ご教示お願いいたします。

No.86156 - 2023/08/08(Tue) 01:46:20

☆ Re: 最小二乗推定量の分散 / ast

# 便宜のため, (項数 n はともかく, ほかの) 文字変数は画像の本文とは別に改めることにしますが:
項数を減らした n=2,3,4 のとき:
　(x+y)^2 = x^2+y^2 + 2xy
　(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy+2yz+2zx
　(x+y+z+w)^2 = x^2+y^2+z^2+w^2 + 2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw
くらいは自力で計算して確認したうえで, それでももし
　(Σ_i x_i)^2 = Σ_i (x_i)^2 + 2 Σ_{i<j} x_i x_j
が自明だと思えないようなら, (以前からの質問も踏まえると) まず勉強すべき本を間違えているのではないか, と応答したほうが親切になるような気がします.
# 分散や期待値の計算途中であるとはいえ, その部分自体は期待値を計算する以前の段階の
# 引数部分の代数的計算でしかない (あまり極端な言い方すると, 語弊あるとは思うが,
# やはり中学の代数の簡単な延長線にある話な) ので.
# まあ, 「じゃあどの本読めばいいのか」と問われても, 専門家でもないし知りませんけれども.
## 本問に限って言えば, 二項定理の一般化である「多項展開」が書いてあるようなものを探してみたら
## よいのではないかと. (とはいえ本問に対して多項定理までは必要ない牛刀だとは思いますが.)

No.86157 - 2023/08/08(Tue) 02:47:52

☆ Re: 最小二乗推定量の分散 / 奮闘中のFラン大生

ast様
今回もわかりやすくご解説頂きありがとうございました。具体例をみることで理解することができました。仰る通り、基礎数学力の不足が深刻なので、そちらの向上に取り組みます。一方で、こちらが教科書指定されているため、何とか基礎数学力の向上と並行せねばならない状況です（多くの友人もついていけてないのですが）。今後ともよろしくお願いいたします。

No.86161 - 2023/08/08(Tue) 21:02:43

★ アベール群 / gf

自然数の掛け算はアベール群ではないのでしょうか？
なぜなら、正整数の集合において、任意の正整数 a の乗法逆元は存在しない。a×x=1 となるような正の整数 x は存在しない。ということでいいですか？

No.86154 - 2023/08/07(Mon) 20:54:56

☆ Re: アベール群 / ast

書いてあることを文字通り読むといろいろとおかしいので「いいです」とはさすがに言えないんだけどなあ…… (もろもろ好意的に考えると「思っていることや述べたい主張と実際に書いてることが一致してな」くて, それらを全部修正できたあとだともしかしたら「いい」のかもしれない可能性はでてくるかもしれないけど), ってあたりで答えづらい……

> 自然数の掛け算はアベール群ではないのでしょうか？
(日常会話で使うような) ふつうの日本語として受け取ると「～ではないのでしょうか？」は「～ですよね (「～ではない」に対して疑義がある)」という意味だと思うので, そのあとに「アーベル(≠アベール)群ではない」ことを示そうという文がくるとなんだか面食らいます.
また, きちんとした数学的な主張のつもりなのであれば, たとえば「『アーベル群ではない』でよい (合っている) でしょうか」のような感じに述べるべき (命題そのものとそれに対する自分の真偽の判断ははっきり分けるべき) ではないでしょうか.
# あとこれは個人的には枝葉末節だと考えますが
# 「群」は「'集合’とその上の'演算’の組」に対する概念なので
# > 自然数の掛け算は
# ではなく「'自然数全体の成す集合’は'自然数の掛け算’に関して」と述べるべきです.

続き,
> 正整数の集合において、任意の正整数 a の乗法逆元は存在しない。
を文字通り読むと, a=1 は乗法逆元 x=1 を持つのでこの主張は偽です (もちろん「この命題が偽」であることは「アーベル群である」を意味しません, そもそもこの命題の主張がそれとは全然別の話になってしまっているからです).
あるいはもし, アーベル群の (というか群の) 条件 (公理) の一つである「(*) 任意の元 a が逆元を持つ」を挙げて, この (*) に反することを「アーベル群ではない」ことの根拠としたいという意図で書いたのであれば
　「正整数の集合において、'任意の正整数 a の乗法逆元が存在’ が成立しない」ということで～
のような感じの記述にするべきでしょう. さらにいえば, そうである場合, このような全称命題 ('任意の～’の形の命題)に「反する」ことを述べたいということですから, そのようなときふつうは「反例を具体的に一つ提示する」 (容易にたくさん思いつくこともあるだろうけれど, 挙げるのは一個あればそれでよい) のであって, 実際重要なのはその挙げられた反例が「事実, 反例である」のか (「どういう理由で反例と言えるのか」) のほうです (根拠の妥当性で「いい/わるい」を判断します).

# あと, これも枝葉末節ですが, 最初に「自然数」と述べているのに途中から (確かに意味は同じですが)
#「正整数」「正の整数」と言葉を変えているのは何故ですか?
## 長い文章で表記ゆれが出ることはままあるとは思いますが, いまは短い文ですし
## それぞれを別人が書いたのではないかといったような印象を与えかねません.
## (そうでなくとも, そもそも No.86154 は全体的に「どこかに落ちていた意味が解ってないものを
## なんだかわからないままコピペしたかのような文」という印象を受けるので……, というあたりで
## 本投稿の冒頭にまた戻る感じ (無限ループ……))

No.86158 - 2023/08/08(Tue) 07:13:38

★ 余り / セーラーマーキュリー

自然数 n に対して、3^n を 2^n で割った余りを a[n] とする。
数列 {a[n]} (n=1,2,3,...) は有界か。

という問題を以下のように考えてみたのですが、合っているでしょうか？

もし有界であると仮定すると、ある自然数mがあって、すべてのnに対して a[n] ≤ m となる。
3^n を 2^n で割った商の整数部分を q[n], 小数部分を d[n] とおくと
(3/2)^n = q[n] + d[n] そして 3^n = q[n] 2^n + a[n] だから d[n] = a[n]/2^n 。
a[n] ≤ m だから n→∞ のとき d[n] ≤ m/2^n → 0。
したがってある自然数 N があって n ≥ N であるすべての n に対して d[n] < 1/3 が成り立つ。

ここで s を奇数として q[N] = (2^k)s と表したとき、すべての i ≥ 0 に対して、i ≤ k ならば
q[N+i] = (3/2)^i q[N]
d[N+i] = (3/2)^i d[N]
が成り立つことを帰納法で示す。
i = 0 のときは明らか。
i < k のときは、帰納法の仮定から
(3/2)^{N+i} = q[N+i] + d[N+i] = (3/2)^i q[N] + (3/2)^i d[N]
だから
(3/2)^{N+i+1} = (3/2)^{i+1} q[N] + (3/2)^{i+1} d[N]
だが、i+1 ≤ k だから (3/2)^{i+1} q[N] は整数、そして
(3/2)^{i+1} d[N] = (3/2) d[N+i] < (3/2)(1/3) = 1/2 < 1 だから
q[N+i+1] = (3/2)^{i+1} q[N]
d[N+i+1] = (3/2)^{i+1} d[N]
となって帰納法完了。

このことから
q[N+k] = (3/2)^k q[N] = (3/2)^k (2^k)s = (3^k)s
(3/2)^{N+k} = q[N+k] + d[N+k] = (3^k)s + d[N+k]
だけど (3^k)s は奇数だから
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1 +
1/2 + (3/2) d[N+k]
において (3/2)((3^k)s - 1) + 1 は整数、そして
1/2 + (3/2) d[N+k] < 1/2 + (3/2)(1/3) = 1
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
となる。ところが 1/2 + (3/2) d[N+k] > 1/3 だから
d[N+k+1] > 1/3 となってこれは矛盾。
したがって {a[n]} は有界ではない。

No.86153 - 2023/08/06(Sun) 16:45:57

☆ Re: 余り / 黄桃

書き方がわかりにくいですが、内容自体は合っていると思います。
Nを決めた後、

n>N において、
q[n]が偶数の時、q[n+1]=(3/2)*q[n], d[n+1]=(3/2)d[n]
q[n]が奇数の時 q[n+1]=q[n]+(q[n]-1)/2, d[n+1]=1/2+(3/2)d[n] (>1/3)
であるから、すべてのn>Nに対して、q[n]は偶数、でなければならない。
したがって、n>Nならばq[n+1]=(3/2)q[n], d[n+1]=(3/2)d[n] を満たすがこれは矛盾
（d[n]≠0よりd[n]→∞といってもいいし、q[n]は全ての2^kで割り切れるからq[n]=0といってもいい）

くらいの方がわかりやすいかと。

＃素朴な疑問として、このレベルの問題に挑戦するのに、解答が
＃正しいかどうかを人に聞かねばわからぬのが不思議です。
＃＃あっちにも投稿しているので回答を控えようと思いましたが、
＃＃あっちの回答がちょっと変なので仕方なくコメントしました。

No.86163 - 2023/08/08(Tue) 22:42:49

★ 楕円での領域における最大最小 / 高3の数Ⅲ

例題の(3)の解?Tについての質問です。
2点あります。

・1つ目
(3)6行目の判別式についてです。
?@?Aの式からy1を消去してkを求めていくのは分かるのですが、判別式が≧0なのが分かりません。
問題設定より、直線はPにおける接線なのだから、判別式=0ではないのでしょうか？
また、判別式=0でk=±2√2とだして、後の条件2<kと合わせて、k=2√2として答えを出すのは間違いなのでしょうか？

・2つ目
そもそも、(3)はSの最大値を求める問題なのに、(1)のx1+2y1=kを前提に解いている点が不明です。
なぜ傾きが-1/2の直線のときに最大を取る前提で問題を解いているのでしょうか？
面積Sの問題設定上であれば、Pの位置によって傾きが-1/2以外の直線と作られたときに最大を取る可能性もあるのではないでしょうか？

上記2点がわかりません。
もともと数?Uの領域あたりが苦手なので、意味不明な質問をしているかもしれませんが、答えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.86138 - 2023/08/05(Sat) 16:48:19

☆ Re: 楕円での領域における最大最小 / 黄桃

>・2つ目
>そもそも、(3)はSの最大値を求める問題なのに、(1)のx1+2y1=kを前提に解いている点が不明です。

これがこの解法のミソ（うまいところ）です。Sを表す式にx1,y1と変数が２つあると扱いが難しいですが、これを１つの変数kだけであらわすことができれば簡単になります。
(2)の答から、Sを最大にするには、kを最大にすればいい、と分かったのです。なので、

>なぜ傾きが-1/2の直線のときに最大を取る前提で問題を解いているのでしょうか？

ではなくて、x1+2y1が取りうる値がわかれば、Sの最大がわかるのです。

＃なぜ傾きが-1/2の直線を考えたのか、というのであれば、
＃こうするとSをkだけの式で表せるからです。

残った問題は、x1+2y1 はどんな値を取りうるのか？を決めることです。

例えば、x1+2y1=0 となりうるか？　これは無理、なぜなら、x1>0,y1>0だから、x1+2y1>0だから。
では、x1+2y1=10 となりうるか？
これは y1=(10-x1)/2 だから、だ円の式に代入して(x1)^2/4+(10-x1)^2/4=1 となるx1があるか？となって、これは x1^2-10x1+48=0 という2次方程式になります。
これがx1>0の解をもつかどうかですが、そもそも判別式が D/4=5^2-48=-23<0 だから解をもちません。
それでは x1+2y1=3 となるのかどうか…とかんがえていくとキリがないので、「じゃあ、この値を仮にkと置いて、まとめて考えよう」ということです。

以上を踏まえて、１つめ
>Aの式からy1を消去してkを求めていくのは分かる
は誤解です。
kを与えて、それを満たす x1,y1があるかどうか考えているのです。もし見つかれば、そのkは取りうる値だし、見つからなければ、取りえない値です。

y1を消去したのだから、残ったのはx1で、そのx1を変数とする2次方程式が出てきたので、その判別式Dの D/4 を考えているのです。

もちろん、おっしゃるように、(3)はkの最大値を求めれば十分なので、図形的考察より、kが最大になるのは、だ円に接する時だから、D=0 より k=2√2 の時、といってもいいです。この解答がそうなってないだけで、きちんと説明すればそれも正解です。

このような遠回りに見える解答例にしたのは、おそらく、このkの範囲を求める考え方は、軌跡を求める問題などにも使われるのでその練習も兼ねているのでしょう。

No.86144 - 2023/08/05(Sat) 22:08:13

★ (No Subject) / ぴーたろ

こんにちは。ファイルに置いて、θの象限の求め方だけわかりません。教えてください。

No.86130 - 2023/08/05(Sat) 11:05:28

☆ Re: / IT

sinθcosθの値は、どうやってもとめていくらになりましたか？

No.86131 - 2023/08/05(Sat) 11:26:47

☆ Re: / ぴーたろ

全体を２乗して移項して-3/8です！

No.86132 - 2023/08/05(Sat) 13:30:06

☆ Re: / IT

２次方程式の解の公式でsinθとcosθを求めると良いのでは。

sinθcosθ＜0とsinθとcosθについての対称性からスッキリ決められるかも知れません。
（答えは２象限と４象限ですよね）

No.86133 - 2023/08/05(Sat) 14:30:22

☆ Re: / ぴーたろ

和が-1/2　積が-3/8　である２次方程式を作ります
8x^2+4x-3=0

解いてx=(-1±√7)/4

となりましたが、そこから求まるものですか？？

No.86135 - 2023/08/05(Sat) 14:49:35

☆ Re: / IT

sinθ＝(-1+√7)/4　正、cosθ＝(-1-√7)/4　負
または、
sinθ＝(-1-√7)/4　負、cosθ＝(-1+√7)/4　正
ですから、それぞれθが第何象限かわかります。

（解の公式で値まで求めなくても良さそうですね）

No.86136 - 2023/08/05(Sat) 14:59:19

★ 最小二乗法で推定した係数の不偏性 / 通りすがりのFラン大生

入門統計解析（倉田、星野、新世社）のp287の部分がわかりませんでした。
最小二乗法で推定した係数の不偏性の証明ですが、
マーカーで囲んだ部分の答えがなぜ1になるのかがわかりませんでした。
恐れ入りますが、ご教示お願いいたします。

No.86115 - 2023/08/04(Fri) 14:43:40

☆ Re: 最小二乗法で推定した係数の不偏性 / ast

　(x_i - x^-)x_i=(x_i - x^-)(x_i - x^- + x^-)=(x_i - x^-)^2 + x^-(x_i - x^-)
だから
　Σ_i (x_i - x^-)x_i
　=Σ_i (x_i - x^-)^2 + x^- Σ_i (x_i - x^-)
　= B + 0.

No.86123 - 2023/08/04(Fri) 19:18:12

☆ Re: 最小二乗法で推定した係数の不偏性 / 通りすがりのFラン大生

大変わかりやすいご回答ありがとうございました。
私でも理解することができました。
今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

No.86142 - 2023/08/05(Sat) 21:56:53

★ 図形に内接する円の円周と面積 / takesy

長辺の長さを2、短辺の長さを√2とする長方形2つを長辺が交差し1つの対角が重なるように重ねた図形の、長辺の交点を結んだ直線を直径とする図形に内接する正円の円周と面積を、図形に外接する正円の円周と面積に対する比、長方形の3辺に内接する正円の円周と面積に対する比で表せ
という問題を考えてみました。これに関連する定理などもあれば教えてください。

No.86114 - 2023/08/04(Fri) 14:25:31

☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / らすかる

「1つの対角」は「1組の対角」という意味ですか？

「…を直径とする『図形』」が何を指すのかわかりません。
忖度して考えると、通常は「…を直径とする」のは「円」ですから
「…を直径とする図形」は「…を直径とする円」と推測されます。
しかしそう考えると「…を直径とする円に内接する正円」という
意味不明なことになってしまいます。
あと、「直線」は無限に長いまっすぐな線ですから、
「直線」を直径とするのは不可能です。

「図形に外接する正円」の「図形」は何を指しているのかわかりません。
図形はたくさん考えられますので忖度しようにも全くわかりません。
もし「図形」と書かれているものがすべて同じ「全体の図形」を
指しているのであれば、全部「図形A」のように特定できるような記号を
付けた方が良いと思います。

「円周と面積に対する比」を求めるようになっていますが、
円周の比がaなら面積の比はa^2なのでどちらか一つで十分では？

No.86116 - 2023/08/04(Fri) 15:30:15

☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / takesy

文章がわかりにくくてすみません。こんなイメージです

No.86117 - 2023/08/04(Fri) 15:51:48

☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / らすかる

定理とかわかりませんが、
最小の円を基準とする比ならば
最小の円の直径が√2、赤い円の直径が√3、最大の円の直径が√6なので
円周比は√2：√3：√6、面積比は2：3：6になりますね。

一般には長方形の長辺がa、短辺がbのとき
(最小の円の直径)=b
(赤い円の直径)=(長方形の対角線)×(b/a)=(b/a)√(a^2+b^2)
(最大の円の直径)=(長方形の対角線)=√(a^2+b^2)
なので
円周比は b：(b/a)√(a^2+b^2)：√(a^2+b^2)=ab：b√(a^2+b^2)：a√(a^2+b^2)
面積比は a^2b^2：b^2(a^2+b^2)：a^2(a^2+b^2)

# 三平方の定理を使う基本的な問題ですので、定理などはなさそうな気がします。

No.86122 - 2023/08/04(Fri) 19:13:29

☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / takesy

ご回答ありがとうございます。そうですか特に定理などはないんですかね。ちなみにこの図の円は小さいほうから面積が1,2,3,4,5,6となりますが、黄色の面積5となる円を描くための補助線はどうやって引きますか？

No.86124 - 2023/08/04(Fri) 19:30:19

☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / らすかる

正方形の左上頂点をA、左下頂点をB、右下頂点をC、右上頂点をDとして
直線ADと最大円の交点のうちAに近い方をA'、Dに近い方をD'とし、
直線BCと最大円の交点のうちBに近い方をB'、Cに近い方をC'として
横長の長方形A'B'C'D'を作る
同様に縦長の長方形も作れば、二つの長方形のすべての短辺に接する円は面積が5です。

No.86128 - 2023/08/04(Fri) 21:47:35

☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / takesy

ご回答ありがとうございました。この円に内接する短辺√2の長方形の長辺は√3になりますね。図形面白いですね。

No.86152 - 2023/08/06(Sun) 10:56:25

★ (No Subject) / 高二

前回解答がつかなかったのでもう一度質問させてください。
軌跡の問題です。
｜x│≦y≦2で定まる領域をDとする。点(x,y)がD内を動くとき、点Q(x+y、x^2-y)が動きうる範囲Wを図示せよ。
順像法で解いてたんですけど変域がごっちゃになってよく分からなくなってしまいました。教えてください。

No.86103 - 2023/08/03(Thu) 17:18:52

☆ Re: / らすかる

x+y=X（0≦X≦4）のとき
X-4≦x-y≦0
2X-4≦2x≦X
X-2≦x≦X/2
X-3/2≦x+1/2≦(X+1)/2
(X-3/2)^2＞(X+1)^2/4を解くと0≦X＜2/3（∵0≦X≦4）
0≦X＜2/3のとき
0≦(x+1/2)^2≦(X-3/2)^2
-X-1/4≦(x+1/2)^2-X-1/4≦(X-3/2)^2-X-1/4
-X-1/4≦x^2+x-X≦X^2-4X+2
-X-1/4≦x^2-y≦X^2-4X+2
-X-1/4≦Y≦X^2-4X+2
2/3≦X＜3/2のとき
0≦(x+1/2)^2≦(X+1)^2/4
-X-1/4≦(x+1/2)^2-X-1/4≦(X+1)^2/4-X-1/4
-X-1/4≦x^2+x-X≦(X^2-2X)/4
-X-1/4≦x^2-y≦(X^2-2X)/4
-X-1/4≦Y≦(X^2-2X)/4
3/2≦X≦4のとき
(X-3/2)^2≦(x+1/2)^2≦(X+1)^2/4
(X-3/2)^2-X-1/4≦(x+1/2)^2-X-1/4≦(X+1)^2/4-X-1/4
X^2-4X+2≦x^2+x-X≦(X^2-2X)/4
X^2-4X+2≦x^2-y≦(X^2-2X)/4
X^2-4X+2≦Y≦(X^2-2X)/4
よって求める領域は
y軸 (-1/4≦y≦2)
y=x^2-4x+2 (0≦x≦2/3,3/2≦x≦4)
y=(x^2-2x)/4 (2/3≦x≦4)
y=-x-1/4 (0≦x≦3/2)
で囲まれる領域（境界線を含む）。

No.86106 - 2023/08/03(Thu) 21:02:32

★ 高校の問題 / ふゆ＠中3生

高校の問題です。
答えと解説をお願いしたいです。(1)〜(3)の全部がわかりません。
よろしければ、解説お願い致します。

No.86102 - 2023/08/03(Thu) 12:52:35

☆ Re: 高校の問題 / X

添付写真の内容だけではこの問題は解けません。
[1]の内容もアップして下さい。

No.86105 - 2023/08/03(Thu) 18:36:46

☆ Re: 高校の問題 / ふゆ＠中3生

わかりました。こちらです。

No.86108 - 2023/08/04(Fri) 06:29:22

☆ Re: 高校の問題 / ふゆ＠中3生

問題のグラフです。

No.86109 - 2023/08/04(Fri) 06:32:02

☆ Re: 高校の問題 / ふゆ＠中3生

問題文です。
写真、見づらすぎてすみません。

No.86110 - 2023/08/04(Fri) 06:33:46

☆ Re: 高校の問題 / X

[2]ですが、[1]の結果を使うのでまず[1]から。
[1]
(1)
条件から
m+n=(ka+1)(kb+1) (A)
(2)
条件から
n=2ka+2kb (B)
(3)
条件から
S=(ka)(kb) (C)
ということでka,kbをm,nで表すことが
できればよいので、(A)(B)をka,kbに
ついての連立方程式として解く方針で
まず進めてみます。

(B)より
ka+kb=n/2 (B)'
一方(A)より
(ka)(kb)+(ka+kb)+1=m+n (A)'
(A)'に(B)'を使うと
(ka)(kb)=m+n/2-1 (A)"
ここから二次方程式の解と係数の関係から…
と進めるのが定石ですが、よく見ると(A)"を
そのまま(C)に代入すればこの問題は終わりです。
ということで
S=m+n/2-1 (D)
(次のレスに続く)

No.86118 - 2023/08/04(Fri) 17:16:38

☆ Re: 高校の問題 / X

(No.86118から続き)
[2]
(1)
対称性から、△OBCの内部にある点の個数は
△OABの内部にある点の個数に等しくm[1]
よって
m=m[1]+l+m[1]=2m[1]+l (E)
(2)
△OABの周囲にある格子点から、辺OB上の格子点を
を除いた格子点の数は
n[1]-l
これは△OBCの周囲にある格子点から、辺OB上の格子点
を除いた格子点の数に等しいので
n=2(n[1]-l)+2 (F)

(3)
(D)に(E)(F)を代入して
S=2m[1]+l+{2(n[1]-l)+2}/2-1
=m[1]+n[1]

No.86119 - 2023/08/04(Fri) 17:36:10

☆ Re: 高校の問題 / ふゆ＠中3生

Xさん、丁寧に説明していただき、ありがとうございました
問題と照らし合わせて、じっくり考えてみたいと思います。

No.86121 - 2023/08/04(Fri) 18:18:07

★ 理科の計算問題 / ふゆ＠中3生

数学の問題ではなく、理科の計算問題ですみません。
図とかもありますが、分からなかったら無視してもらって構いません。
求め方が全くわかっていません。内容的には、中学1年生の理科です。
こんな感じですが、よろしくお願いします。
ちなみに、答えは400Hzです。

No.86100 - 2023/08/03(Thu) 12:48:10

☆ Re: 理科の計算問題 / ふゆ＠中3生

相変わらず、写真を取るのが下手すぎてすみません(^_^;)
下の問題です。

No.86101 - 2023/08/03(Thu) 12:48:48

☆ Re: 理科の計算問題 / X

問題の波形から、音の周期は
0.005[秒]÷2=0.0025[秒]
後はこれの逆数を取ります。

No.86104 - 2023/08/03(Thu) 18:31:29

☆ Re: 理科の計算問題 / ふゆ＠中3生

つまり、0.0025＝25/10000で、その逆数の10000/25が答えということであってますか？
ちなみに、どうして÷2なんですか？
あと、どうして逆数が答えになるのですか？
アホすぎる質問、すみません。

No.86111 - 2023/08/04(Fri) 06:37:16

☆ Re: 理科の計算問題 / GandB

> ちなみに、どうして÷2なんですか？
　1回振動するのに要する時間である周期を求めている。
　0.005[秒]で2回振動しているのだから、周期は
　　0.005[秒]÷2 = 0.0025[秒]

> あと、どうして逆数が答えになるのですか？
　周期と振動数は逆数の関係にある。

　0.0025[秒]を400倍すると

　　0.0025[秒]*400 = 1[秒] ……(※)

になる。0.0025[秒]で1回振動しているのだから、1[秒]では400回振動する。求める音の振動数とはこの1[秒]当たりの振動回数のことで400[Hz]と表す。この400[Hz]を(※)から求めるには
　　400 = 1/0.0025
とすればいいから、周期 0.0025[秒] の逆数を求めていることになる。

No.86113 - 2023/08/04(Fri) 12:05:25

☆ Re: 理科の計算問題 / ふゆ＠中3生

なるほどです。
周期と振動数は逆数の関係にあるってことがわかっていませんでした。
丁寧に説明していただき、ありがとうございました。

No.86120 - 2023/08/04(Fri) 18:16:55