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★ 求め方を教えてください / 5年生
問題
3けたの整数のうち、約数が3個あるものはいくつありますか。

書き出すには量が多いので、計算で求める方法があったら教えてください。
No.69523 - 2020/09/14(Mon) 16:38:15
☆ Re: 求め方を教えてください / みずわ
参考です

?@約数が3個ある数･･･素数の2乗

?A2乗して3けたになる整数･･･10から31　

以上から、

　10から31までの素数は{11，13，17，19，23，29，31}

　　7個

補足

　11の2乗が、121
　13の2乗が、169
　17の2乗が、289
　19の2乗が、361
　23の2乗が、529
　29の2乗が、841
　31の2乗が、961
No.69524 - 2020/09/14(Mon) 17:11:40
☆ Re: 求め方を教えてください / 5年生
理解できました！ありがとうございました！
No.69531 - 2020/09/14(Mon) 22:46:51
★ 高校入試の問題 / 中3です、、
求め方まで必要らしいです。。
No.69520 - 2020/09/14(Mon) 13:45:39
☆ Re: 高校入試の問題 / IT
問題文から分ることを、出来るだけ図に記入して載せてください。

(1)辺ABの長さは、分りませんか？
直角△ABCに「三平方の定理」を使うとどうなりますか？
No.69525 - 2020/09/14(Mon) 19:23:11
★ 数?Vです。 / くるみ
分からないので教えてください。
No.69518 - 2020/09/14(Mon) 09:26:29
☆ Re: 数?Vです。 / くるみ
こっちが問題です。
No.69519 - 2020/09/14(Mon) 09:27:29
☆ Re: 数?Vです。 / X
(1)
条件から
r=1/(1+h) (h＞0)
と置くと、二項定理により
nr^n=n/(1+h)^n=n/Σ[k=0〜n](nCk)h^k＜n/{1+nh+{n(n-1)/2}h^2}
∴
0＜nr^n＜1/{1/n+h+{(n-1)/2}h^2} (A)
同様にして
0＜(n^2)r^n＜1/{1/n^2+h/n+{(1-1/n)/2}h^2+(1/6)n(1-1/n)(1-2/n)} (B)
(A)(B)とはさみうちの原理により
問題の命題は成立します。

(2)
これはおまけ問題です。
(1)の結果を使うのはもちろんですが、教科書で
等比数列の和の公式の証明過程 (P)
を復習した上でもう一度、考えてみて下さい。
(P)と同じ方針でまずS[m]、T[n]を計算します。
注)
T[n]の計算にはS[m]の計算結果を使います。
No.69522 - 2020/09/14(Mon) 16:29:45
★ 数3 / パイ
底面の半径が1の直円すいCに球Sが内接しているとする。ただし、SがCに内接しているというのは、Cの底面に接しかつCの側面との共通部分が円周になっているときをいう。
Sの表面積をa、Cの側面の面積をbとする。Sの半径を変えたとき、a/bの最大値を求めよ。

分からないので、教えてください。
No.69517 - 2020/09/14(Mon) 09:10:09
☆ Re: 数3 / X
Sの半径をxと置くと、条件から
a=4πx^2 (A)
一方、Cの対称軸を含む平面による断面の
二等辺三角形において、等しい二辺の長さ
をrとすると、Cの底面による断面を底辺
としたときの高さは三平方の定理により
√(r^2-1)
∴この二等辺三角形の面積について
(1/2)(2r+2)x=(1/2)・2√(r^2-1)
これより
(r+1)x=√(r^2-1)
{(r+1)x}^2=r^2-1
(x^2-1)r^2+2rx^2+x^2+1=0
{(x^2-1)r+(x^2+1)}(r+1)=0
条件よりr＞0ゆえ
r=-(x^2+1)/(x^2-1) (B)
更にこのとき
b=π+(πr^2)(1/r)=π(r+1) (C)
∴a/b=f(x)とすると(A)(C)より
f(x)=(2x^2)/(r+1) (D)
(B)(D)より
f(x)=-(x^2)(x^2-1)
f'(x)=-2x(x^2-1)-2x^3
=-2x(2x^2-1)
条件から
0＜x＜1
に注意してf(x)の増減表を書くことにより
f(x)は
x=1/√2のときに最大値1/4を取ります。
よって求める最大値は1/4
No.69521 - 2020/09/14(Mon) 16:11:57
★ ガウス記号とΣ / あか
nは任意の正の整数で、[n/2]はn/2を超えない最大の整数とするとき、画像のΣの式は成立しますか？
No.69512 - 2020/09/13(Sun) 21:34:05
☆ Re: ガウス記号とΣ / X
左辺の式が値を定義できない項を含んでいます。
No.69513 - 2020/09/13(Sun) 21:37:53
☆ Re: ガウス記号とΣ / あか
k=nのときですか？
つまり、成立しないということですか？
No.69514 - 2020/09/13(Sun) 21:41:04
☆ Re: ガウス記号とΣ / らすかる
k=nのときではなく、k＞n/2のときです。
このときn-2k＜0ですから、左辺の分数の分子も分母も未定義です。
未定義ですから、成立するかどうかも未定義であり、
「成立する」とも「成立しない」とも言えません。
No.69515 - 2020/09/13(Sun) 22:27:54
★ (No Subject) / both
1999年東工大後期試験の問題のようです。
解説を読むとnは自然数であることを前提に解いているようなのですが、このような場合特に指示がなくても自然数であるとして解いても問題ないのでしょうか？
特に積分により原始関数を求めた後にsinの項が0になるという部分が気になります（確かにnは約分で消えるけども、kが自然数であることもnが自然数であることを前提としている）。
どうかよろしくお願いいたします。
No.69507 - 2020/09/13(Sun) 20:09:54
☆ Re: / IT
ネットで、２、３、この問題の問題文を調べましたがｎが自然数とは断ってないようですね。
この問題文ではｎが自然数に限るとは言えないと思います。
（出題者が書き漏らした可能性が高い気がしますが）

なお、2008年東工大後期の同様の問題では「ｎは自然数」と断っています。
No.69508 - 2020/09/13(Sun) 20:51:54
☆ Re: / both
ありがとうございます。
単純に書き忘れ、出題ミスとして考えてよさそうですね。

極限を求めるだけなのでnを自然数と考えてからそれを無限大に飛ばたものを答えとしても差し支えない・・・とはならないですよね、その間でどんな挙動をするか分かりませんので・・・
No.69509 - 2020/09/13(Sun) 21:01:27
★ (No Subject) / 葉月
以下の問題の解答解説をお願いします！
No.69506 - 2020/09/13(Sun) 19:00:08
☆ Re: / X
x=-t^2+4
より
dx=-2tdt

問題の曲線の式のtに関する増減表
を書くことにより、曲線を図示して
考えると、問題の曲線の
-1≦t≦0
に対応する部分をl[1]
0≦t≦2
に対応する部分をl[2]、
求める面積をSとしたとき
S=(l[2]とx軸を上下の境界とする部分の面積)
-(l[1]とx軸を上下の境界とする部分の面積)
=∫[0→2](-t^2+t+2)(-2t)dt-∫[-1→0](-t^2+t+2)(-2t)dt
=…
No.69511 - 2020/09/13(Sun) 21:30:31
☆ Re: / 関数電卓
余計なお世話ですが…
No.69516 - 2020/09/13(Sun) 22:56:39
☆ Re: / 葉月
ありがとうございます。
関数電卓さんのグラフは何かソフトを
用いていますか？
No.69528 - 2020/09/14(Mon) 20:16:56
☆ Re: / 関数電卓
> 何かソフトを
GRAPES です。
こちら が公式サイトで，無料でダウンロード出来ます。
ただし，上のグラフは，GRAPES で作成したものをスクリーンショットで読み込み編集してあります。分かりやすいように。
実は，この編集に結構手間と時間をを掛けています。
No.69529 - 2020/09/14(Mon) 20:41:40
☆ Re: / 葉月
ありがとうございます
No.69540 - 2020/09/15(Tue) 19:40:25
☆ Re: / 葉月
問題の曲線の式のtに関する増減表
を書くことにより、曲線を図示して
考えると、問題の曲線の　部分ってどうやったらいいのでしょうか。
No.69541 - 2020/09/15(Tue) 19:44:12
☆ Re: / 関数電卓
　x＝−t^2＋4，y＝−t^2＋t＋2 …(1)
より
　dx/dt＝−2t, dy/dt＝−2t＋1, dy/dx＝1−1/(2t) …(2)
　d^2y/dx^2＝(1＋1/(2t^2))･(−1/(2t)) …(3)*下の公式参照

−≦t≦2 のとき，(1)より x,y≧0
−1≦t＜0 のとき
　(2)より dy/dx＞0 …単調増加
　(3)より d^2/dx^2＞0 下に凸
t→−0 で dy/dx→∞
t＝0 のとき (x,y)＝(4, 2)
t→＋0 で dy/dx→−∞
0＜t≦1/2 のとき
0≦t≦1/2 のとき
　(2)より dy/dx＜0 …単調減少
　(3)より d^2/dx^2＜0 上に凸
1/2≦t≦2 のとき
　(2)より dy/dx＞0 …単調増加
　(3)より d^2/dx^2＜0 上に凸
で，上に貼ったグラフになります。　
No.69551 - 2020/09/15(Tue) 22:40:02
☆ Re: / 関数電卓
ご参考まで。
　x＝−t^2＋4，y＝−t^2＋t＋2 …(1)
から t を消去すると
　x^2−2xy＋y^2−3x＋4y＝0 …(3)
となります。これを
　X＝(1/√2)x−(1/√2)y
　Y＝(1/√2)x＋(1/√2)y
で，全体を原点の反時計周りに 45°回転すると
　Y＝−2√2X^2＋X …(4)
となります。よって，この曲線は 放物線 です。
No.69568 - 2020/09/16(Wed) 19:20:15
★ (No Subject) / 葉月
以下の問題の解答解説をお願いします。
No.69505 - 2020/09/13(Sun) 18:59:40
☆ Re: / X
w=1/(√3-2z)
をzについて解き
z=(√3)/2-1/(2w)
これを
|z|=1
に代入して
|(√3)/2-1/(2w)|=1
これより
|w√3-1|=2|w|
|w√3-1|^2=4|w|^2
wの共役複素数を\wと書くことにすると
3w^2-(w+\w)√3+1=4|w|^2
w^2+(w+\w)√3-1=0
|w+√3|^2=4
|w+√3|=2
∴wの軌跡は点-√3を中心とする半径2の円
No.69510 - 2020/09/13(Sun) 21:20:12
☆ Re: / 葉月
ありがとうございます。
No.69527 - 2020/09/14(Mon) 20:15:59
★ 大学の課題です / ぽん
鋭角OXY内に定点Aがある。Aを通る直線ｌでｌが角度XOYから切り取る三角形の面積を最小とするｌを作図せよ。ただし定規とコンパスを使用し定規の目盛りは使用してはいけない

この問題を教えてください
No.69501 - 2020/09/13(Sun) 17:07:58
☆ Re: 大学の課題です / IT
直観的には、ｌとOXの交点をB,ｌとOYの交点をCとしたとき
AB=ACとなるようにすれば良さそうです。（未だ厳密には証明していません）

例えば、AB＞ACのとき　BがOに近づく方向にｌが回転すると三角形の面積は減少します。

これが正しかったとすると、作図は
　AからOXに垂線APを引く
　直線AP上でAP=AQとなるQ（Pと異なる）を取る
　Qを通りAPと垂直な直線を引く、この直線とOYの交点をBとする。
　直線BAとOXの交点をCとする。
　求める三角形は△OBC。
でできそうな気がします。
確かめてみてください。

どの分野の課題ですか？　微積分？
No.69502 - 2020/09/13(Sun) 18:17:17
★ 小学5年生算数わかりません / 5年生
解き方を教えてください。
No.69493 - 2020/09/13(Sun) 10:27:15
☆ Re: 小学5年生算数わかりません / IT
５年生だとxとかは使えないのですよね？

予約部屋すべて９人で泊まると考えると
　泊まれる人数は、生徒の総数より、予約部屋数の(2/3)×2だけ増える＝４×9

したがって、予約部屋数=27

よって、生徒の総数は　(27-4)×9＝207人
No.69494 - 2020/09/13(Sun) 11:19:40
☆ Re: 小学5年生算数わかりません / ヨッシー


図の網掛けの部分が同じ（36人分）なので、
上の図で、7人部屋は
　36÷(9−7)＝18(部屋)
9人部屋は9部屋。
よって、人数は
　9×9＋7×18＝207(人)
No.69495 - 2020/09/13(Sun) 11:30:17
☆ Re: 小学5年生算数わかりません / ヨッシー
> ありがとうございます。
>
> 36÷(9−7)＝18の式の解説を教えてください

図で、縦は部屋の定員、横は部屋数、面積は合計人数を表します。
下の図の網掛けの部分の面積(合計人数)は
　9×4＝36
で、これが上の図の網掛けと同じなので、面積は36、
縦は9-7=2なので、横(部屋数)は
　36÷2＝18
です。
No.69498 - 2020/09/13(Sun) 11:42:57
☆ Re: 小学5年生算数わかりません / 5年生
わかりました！！！ありがとうございます！

返信のやり方間違えてすみません
No.69500 - 2020/09/13(Sun) 11:53:42
★ (No Subject) / 葉月
この問題の解説をお願いします。
No.69487 - 2020/09/12(Sat) 14:37:09
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢ＝２√２、ＢＣ＝２√５、ＣＡ＝２√５
ＡＢの中点をＭとすると、ＣＭ⊥ＡＢであり、
　ＣＭ^2＝ＡＣ^2−ＡＭ^2＝20−2＝18
　ＣＭ＝3√2
よって、△ＡＢＣ＝ＡＢ×ＣＭ÷２＝６・・・(答)
３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面の式は
　2x＋2y＋z＝4
これと、点Ｄの距離は
　|2・2＋2・4＋1・6−4|/√(2^2＋2^2＋1^2)＝14/3
よって、四面体ＡＢＣＤの体積は
　(1/3)×6×(14/3)＝28/3　・・・　（答）
No.69488 - 2020/09/12(Sat) 16:29:20
☆ Re: / X
前半の別解)
３点A,B,Cを通る平面の方程式は
ヨッシーさんの仰る通り
2x+2y+z=4 (A)
(A)と原点との距離をHとすると
H=|-4|/√(2^2+2^2+1^2)=4/3
一方、四面体OABCの体積Vは
V=(1/3){(1/2)OA・OB}・OC
=8/3
△ABCを四面体OABCの底面とみると
Hは四面体OABCの高さとなるので
△ABCの面積をSとすると
V=(1/3)SH
∴S=3V/H=6
No.69497 - 2020/09/13(Sun) 11:39:32
☆ Re: / 葉月
お二方ありがとうございます。
No.69504 - 2020/09/13(Sun) 18:59:13
★ (No Subject) / 葉月
この問題の解答解説をお願いします
No.69486 - 2020/09/12(Sat) 14:36:32
☆ Re: / ヨッシー
点Ｃ(0, 3)とします。
　ＣＰ＝√{a^2＋(b-3)^2}＝b＋1
両辺２乗して
　a^2＋(b-3)^2＝(b＋1)^2
　a^2＋9−6b＝2b＋1
　b＝(1/8)a^2＋1
答え　　y＝(1/8)x^2＋1


No.69489 - 2020/09/12(Sat) 17:07:51
☆ Re: / 葉月
ありがとうございます。
因みにこのグラフのやつは何かソフトを使っているのでしょうか？
No.69503 - 2020/09/13(Sun) 18:26:18
★ 2006年富山大の入試問題を捻って / URHANL
2006年富山大の入試問題を捻ります。以下の問題１及びに問題２をまずご覧ください。これがくだんの2006年富山大の入試問題です。

●問題１
a, b を
a < b ,
(1/a) +(1/b) < 1
を満たす任意の自然数とするとき、
(1/a) +(1/b)
の最大値が 5/6 であることを証明せよ。

●問題２
a, b, c を
a < b < c ,
(1/a) +(1/b) +(1/c) < 1
を満たす任意の自然数とするとき、
(1/a) +(1/b) +(1/c)
の最大値が 41/42 であることを証明せよ。


問題１や問題２の解については、例えば以下のサイトに載っています。

●ある入試問題｜青空学園
( http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/node2.html )


上記を一般化する場合にはシルベスター数列を用いて整理することでスッキリとまとめられます。

たとえば以下が参考になります。

●シルベスター数列｜私的数学塾
( http://shochandas.xsrv.jp/seq/sylvester.html )


さて。捻ります。注意深くご覧ください。

命題Ａ
a, b, c, d, e, f, g, h, i を
0 < a < b < c < d < e < f < g < h < i
(1/a) +(1/b) +(1/c) +(1/d) +(1/e) +(1/f) +(1/g) +(1/h) +(1/i) ≦ 1
を満たす任意の自然数とするとき、
(1/a) +(1/b) +(1/c) +(1/d) +(1/e) +(1/f) +(1/g) +(1/h) +(1/i)
の最大値は 1 である。


この命題Ａはシルベスター数列とは関係がありません。

ビックリですよね。
No.69481 - 2020/09/11(Fri) 00:12:08
☆ Re: 2006年富山大の入試問題を捻って / URHANL
(1/3) +(1/5) +(1/7) +(1/9) +(1/11) +(1/15) +(1/21) +(1/231) +(1/315) = 1

(1/3) +(1/5) +(1/7) +(1/9) +(1/11) +(1/15) +(1/35) +(1/45) +(1/231) = 1

だということを以下の記事で知りました。

●エジプト分数の一考察(数研通信98号2020年9月)
( https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/98/98-1.pdf )
No.69482 - 2020/09/11(Fri) 00:37:32
☆ Re: 2006年富山大の入試問題を捻って / らすかる
3項以上なら項がいくつでも最大値は1ですね。
1/(2x)=1/(3x)+1/(6x)なので
n項のとき
1=1/2+1/2
=1/2+1/4+1/4
=1/2+1/4+1/8+1/8
=・・・
=1/2+1/4+1/8+…+1/(2^(n-3))+1/(2^(n-2))+1/(2^(n-2))
=1/2+1/4+1/8+…+1/(2^(n-3))+1/(2^(n-2))+1/(3・2^(n-3))+1/(3・2^(n-2))
のようにすればn項で表せます。
No.69483 - 2020/09/11(Fri) 06:27:31
☆ Re: 2006年富山大の入試問題を捻って / URHANL
らすかるさん

御指導をありがとうございます。

簡明、判りやすいご説明です。 勉強になります。
No.69485 - 2020/09/11(Fri) 19:53:27
★ 極限 / よろしくお願いします
どなたか、これの解答をお願いします。
No.69478 - 2020/09/10(Thu) 19:34:38
☆ Re: 極限 / ヨッシー
分子分母に√(1＋x＋x^2)＋(1＋ax) を掛けて、
　lim[x→0]{(x^2＋x＋1)−(1＋ax)^2}/x^2{√(1＋x＋x^2)＋(1＋ax)}
　＝lim[x→0]{(1−a^2)ｘ^2＋(1−2a)x}/x^2{√(1＋x＋x^2)＋(1＋ax)}
　＝lim[x→0]{(1−a^2)＋(1−2a)/x}/{√(1＋x＋x^2)＋(1＋ax)}
よって、1−2a＝0 でなければならない。　ａ＝1/2
このとき、
　lim[x→0]{(1−a^2)＋(1−2a)/x}/{√(1＋x＋x^2)＋(1＋ax)}
　　＝{(1−1/4)}/２＝3/8
No.69479 - 2020/09/10(Thu) 21:17:22
★ ２倍角の公式と三角関数の合成の応用の問題について / 数学と友達になりたいマン！
この問題の二行目に書かれている式の変換は理解できたのですが、√2(sin2θ・cosπ/4-cos2θ・sinπ/4)から√2sin(2θ-π/4)へと式変換出来るのかが分かりませんでした。なので、そのあとの公式も分かったり分からなかったりしています。
宜しくお願いします
No.69472 - 2020/09/09(Wed) 23:40:27
☆ Re: ２倍角の公式と三角関数の合成の応用の問題について / らすかる
加法定理の公式
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
でα=2θ, β=π/4としたものです。
加法定理の公式は覚えましょう。
No.69473 - 2020/09/10(Thu) 03:11:28
☆ Re: ２倍角の公式と三角関数の合成の応用の問題について / 数学と友達になりたいマン！
ありがとうございます！
分かりました！m(_ _)m
No.69475 - 2020/09/10(Thu) 10:20:10
★ 文字式について / あああああ
(x + h)e3 - xe3 ÷ (x + h) - x
という式がありまして(e3は指数)
その答えが
3hxe2 + 3xhe2 + he3 ÷ hとなりました
ここの中間がどんな計算をしたのか
わからずに質問いたしました。
e2は　2乗を表しています。
どうかご回答お願いします
No.69466 - 2020/09/09(Wed) 12:09:08
☆ Re: 文字式について / X
＞＞(x + h)e3 - xe3 ÷ (x + h) - x
を
{(x+h)^3-x^3}÷{(x+h)-x}
と解釈して回答を。

{(x+h)^3-x^3}÷{(x+h)-x}={{(x+h)-x}{(x+h)^2+(x+h)x+x^2}/h
=h(3x^2+3hx+h^2)/h
=(3hx^2+3xh^2+h^3)/h
No.69467 - 2020/09/09(Wed) 13:18:33
☆ Re: 文字式について / あああああ

{(x+h)^3-x^3}÷{(x+h)-x}={{(x+h)-x}{(x+h)^2+(x+h)x+x^2}/h
この式って分配法則になるように分解してるのでしょうか
となると (x+h)x+x^2←ここの部分がどうしてもわかりません
また(x+h)-xを分解したことで　分母の(x+h)-xもなくなって
1になりhが残らないような気がするんですが、
なぜこうなるのでしょうか？
No.69469 - 2020/09/09(Wed) 16:14:28
☆ Re: 文字式について / X
＞＞この式って分配法則〜
因数分解の公式
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
を使っています。

＞＞また(x+h)-xを〜
確かに約分できますが、そうすると分母に
hが残らないので敢えて約分せずに変形しています。
No.69470 - 2020/09/09(Wed) 17:18:24
☆ Re: 文字式について / あああああ
因数分解の理解が足りず
a^3 - b^3の因数分解の公式を勉強してきました。
{{(x+h)-x}{(x+h)^2+(x+h)x+x^2}/h　←この式は

a^3 - b^3の式じゃないので (x + h)^3 をまとめて a^3にして
-x^3をb^3の部分に当てはめたという認識で大丈夫でしょうか？
1つ疑問なのですが、↑の考え方であっていれば
初期にあったh以外の分母はどうなって消えてしまったのでしょうか？
No.69476 - 2020/09/10(Thu) 11:35:21
☆ Re: 文字式について / X
一つ目の質問)
x+h=a,x=b
とみて、因数分解しています。

二つ目の質問)
分母は
(x+h)-x(=hとなります)
以外にはありません。これ以外の分母とは
どの項を指して言っていますか？
No.69477 - 2020/09/10(Thu) 16:14:43
☆ Re: 文字式について / あああああ
(x+h)-x(=hとなります)　
↑のことを分母といっていますね(思っております)
はじめにあった(x+h)-x←この部分が突然ｈのみにかわって
しまっていたので内部でそういった処理が行われているのかと
おもいまして・・・
またこの　=h　ってどういうことでしょうか？
No.69480 - 2020/09/10(Thu) 21:39:50
☆ Re: 文字式について / X
仰る通り、単に
(x+h)-x=h
の計算を先にしているだけです。
どの意味で
＞＞(=hとなります)
と書いています。
No.69484 - 2020/09/11(Fri) 18:17:41
☆ Re: 文字式について / あああああ
返信遅れてしまいました、すいません。
少し考えてしまいました 極端な話(1 + 2) - 1　で
1 - 1で 2だけにしてしまおう！みたいなことですよね？
ただ数学のルールで()が先に計算されるルールがあったはずなので、1 - 1で 2だけにしてしまおうというのが、できないと思います。そもそも自分がXさんの返信内容への捉え方を間違えているだけでしたら申し訳ないですが・・・
No.69490 - 2020/09/12(Sat) 20:54:06
☆ Re: 文字式について / IT
>数学のルールで()が先に計算されるルールがあったはずなので、
>1 - 1で 2だけにしてしまおうというのが、できないと思います。

実数の加法（足し算）では、「交換法則」と「結合法則」が成り立ちますから、できます。

特に基礎から証明する場合を除いて、このような計算では、いちいち、「交換法則」と「結合法則」を意識したりせずに、一気に　(x+h)-x=h などとします。
No.69491 - 2020/09/12(Sat) 21:46:57
☆ Re: 文字式について / あああああ
ありがとうございます。
実数で計算できるのは知りませんでした。。
ただ頭では、なぜ実数だけ特別にできているのか不思議でしょうがありません。実数も整数もなんら変わりはないはずです。(実数に整数も含まれるため)
なぜ実数だけはできるのでしょうか？
なにかの法則みたいなものがあるのでしょうか
No.69492 - 2020/09/12(Sat) 23:20:10
★ 平方数になるための条件 / CEGIPO
(自作問題です)（学年：社会人）

プログラムをいじっていて
次の現象を見つけました。

/*--------------------------*/
式 840y+121(y:0以上の整数)
/*--------------------------*/

について平方数になる事がかなりの頻度で有る。

そこで質問です。

上式が平方数になるための（必要十分）条件
は具体的にはどのような場合でしょうか？
No.69458 - 2020/09/08(Tue) 15:47:04
☆ Re: 平方数になるための条件 / らすかる
y=
{{134(n-8[n/8])^7-3283(n-8[n/8])^6+31675(n-8[n/8])^5-152145(n-8[n/8])^4
+376971(n-8[n/8])^3-444332(n-8[n/8])^2+207780(n-8[n/8])+176400[n/8]+9240}^2
-85377600}/592704000　（nは0以上の整数）
の場合です。
No.69459 - 2020/09/08(Tue) 19:11:02
☆ Re: 平方数になるための条件 / URHANL
…らすかるさん凄い
No.69463 - 2020/09/08(Tue) 22:41:56
☆ Re: 平方数になるための条件 / らすかる
ちなみに840y+121が平方数になる割合は
840y+1,840y+169,840y+289,840y+361,840y+529
と同じで、840y+kの中では最大です。
No.69464 - 2020/09/09(Wed) 05:09:30
☆ Re: 平方数になるための条件 / CEGIPO
> y=
> {{134(n-8[n/8])^7-3283(n-8[n/8])^6+31675(n-8[n/8])^5-152145(n-8[n/8])^4
> +376971(n-8[n/8])^3-444332(n-8[n/8])^2+207780(n-8[n/8])+176400[n/8]+9240}^2
> -85377600}/592704000　（nは0以上の整数）
> の場合です。

まじですか。
ど、どうやって求めたんですか？らすかるさん。
驚愕です。
No.69465 - 2020/09/09(Wed) 08:53:43
☆ Re: 平方数になるための条件 / らすかる
k^2≡121 (mod 840) を解くと
k≡11,31,59,101,109,151,179,199 (mod 210) となりますので
840y+121=k^2 が成り立つkは
k=11,31,59,101,109,151,179,199,
221,241,269,311,…
となります。a[0]=11, a[1]=31, a[2]=59, …となるような数列の一般項を作ると
（一例として）
a[n]={134(n-8[n/8])^7-3283(n-8[n/8])^6+31675(n-8[n/8])^5-152145(n-8[n/8])^4
+376971(n-8[n/8])^3-444332(n-8[n/8])^2+207780(n-8[n/8])
+176400[n/8]+9240}/840
となりますので、y=(a[n]^2-121)/840に代入して整理すると上に書いた式になります。

a[n]をもう少しうまく作れば、もっと短く書けると思います。
今少し考えただけで
a[n]=(1411200n+705600+67(2n-7-16[n/8])^7-5593(2n-7-16[n/8])^5
+125993(2n-7-16[n/8])^3-611027(2n-7-16[n/8]))/53760
にはなりました。


追記
より短い表記を考えたところ
a[n]=2[105n/8]+5+2[69809103/10^(n-8[n/8])]-20[69809103/10^(n+1-8[n/8])]
でよいことがわかりましたので、yの式は
y={{2[105n/8]+5+2[69809103/10^(n-8[n/8])]-20[69809103/10^(n+1-8[n/8])]}^2
-121}/840
まで簡略化できました。
No.69468 - 2020/09/09(Wed) 13:20:22
☆ Re: 平方数になるための条件 / CEGIPO
念のため、らすかるさんの提示された式で
検証プログラムを作って確認しました。
（桁数が大きくなるので桁数に制限のないpythonという
プログラム言語で確認）
。。。

解き方にこつがあるのはわかりましたが
しかし出てきたの7次式（の2乗）ですよ。
（後に提示された式も簡単じゃない。。。）

確かに合って。。ます。
合って。。。。ます。。。
(もう驚嘆、と言うか、、降参です。）
No.69474 - 2020/09/10(Thu) 06:20:18
★ (No Subject) / ふとん
高校受験用の問題です。
以下の問題の解説をお願いしたいです。

AB＜BCの△ABCの辺BC上にAB=BDとなる点をD、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をEとする。
また、点Dを通り辺ACに平行な直線とBEとの交点をFとする。
∠C=30°、∠EDF=50°とするとき、∠BFDの大きさを求めよ。

答え：115°
No.69457 - 2020/09/08(Tue) 11:23:39
☆ Re: / X
条件から、線分AEは線分ADの垂直二等分線ですので
△AEDはAE=DEの二等辺三角形 (A)
一方、FD//ACですので、錯角により
∠AED=∠EDF=50° (B)
(A)(B)から
∠ADE=(180°-∠AED)/2=25°
なので
∠ADF=∠EDF-∠ADE=25°(C)
ここで線分BEと線分ADの交点をHとすると
△DFHは∠DHF=90°の直角三角形
ですので(C)より
∠DFH=90°-∠ADF=65°
よって
∠BFD=180°-∠DFH=115°
No.69461 - 2020/09/08(Tue) 20:43:22
★ (No Subject) / 葉月
この問題の解答解説をお願いします。
No.69451 - 2020/09/07(Mon) 22:36:46
☆ Re: / X
条件から問題の点Pを中心とする円は
x軸に関して上側にある
ことに注意して、その半径は
b
∴点Pと点(3,0)との距離について
(a-3)^2+b^2=(1+b)^2
これをbについて解きます。
No.69453 - 2020/09/07(Mon) 23:31:13
★ 式の計算過程 / naooo316
お世話になっています。

15/4 = r/2 (5+5/2+3√5/2)の計算結果がr=5-√5/4となるのは何故でしょうか？

r=15/(15+3√5)というところまではできたのですが、ここからどのように有理化して計算すればr=5-√5/4になるのでしょうか？
No.69444 - 2020/09/07(Mon) 19:46:34
☆ Re: 式の計算過程 / IT
分子分母を３で割って
分子分母に5-√5を掛けて
約分すれば良いのでは？
No.69445 - 2020/09/07(Mon) 20:05:54
☆ Re: 式の計算過程 / naooo316
ありがとうございます。解けました。
No.69448 - 2020/09/07(Mon) 20:37:48
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